SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 2 ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Môn: TOÁN - LẦN 2 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x1 x3 (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. b) Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị (C) bằng 4. Câu 2 (1,0 điểm). a) Giải phương trình: 2(cos sin2 ) 1 4sin (1 cos2 )x x x x b) Giải phương trình:. 1 5 1 5 1 2 xx x Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân 2 1 1 ln e xx I dx x Câu 4 (1,0 điểm). a) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết: 2 3 2z z i b) Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam , 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn. Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a. Câu 6 (1,0 điểm). Viết phương trình đường thẳng đi qua 3; 2; 4A , song song với mặt phẳng :3 2 3 7 0P x y z và cắt đường thẳng 2 4 1 : 3 2 2 x y z d . Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5;7) nằm trên cạnh BC. Đường tròn đường kính AM cắt BC tại B và cắt BD tại N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x- y-7=0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2. Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 2 2 2 24 2 6 5 2 2 13 2( ) ( 2 ) 2 4 . 8 . 2 2 x xy y x xy y x y x y x y y y y x . Câu 9 (1,0 điểm). Cho ,,abc là các số thực dương và 3abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 2 3 1 1 1 abc P ab bc ca a b c Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:…… …………………….; Số báo danh:………………… GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ LẦN 2 KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2015 Câu Nội dung Điểm 1a Cho hàm số y = x1 x3 (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 1,00 Tập xác định: D=R\{3} Sự biến thiên: 2 4 ' 0, . 3 y x D x - Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;3 và 3; . 0,25 - Giới hạn và tiệm cận: lim lim 1; xx yy tiệm cận ngang: 1y . 33 lim ; lim ; xx yy tiệm cận đứng: 3x . 0,25 -Bảng biến thiên: x 3 y’ - - y 1 0,25 Đồ thị: 0,25 1b Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang của đồ thị (C) bằng 4. 1,00 Gọi 3 1 ; 0 0 0 x x xM , (x 0 ≠3) là điểm cần tìm, ta có: Khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang: y =1 là 0 4 d x3 . 0,5 0 0 00 x2 4 4 x 3 1 x 3 x 4 025 Với 0 2x ; ta có M 2; 3 . Với 0 4x ; ta có M 4;5 Vậy điểm M cần tìm là M 2; 3 và M 4;5 . 0,25 2a a) Giải phương trình: 2(cos sin2 ) 1 4sin (1 cos2 )x x x x 0,5 Phương trình đã cho tương đương với: 2cos 2sin2 1 4sin2 .cosx x x x (1 2cos )(2sin2 1) 0xx 0,25 1 5 -5 y x O 3 1 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk 2 13 cos 2 1 12 sin 2 5 2 12 xk x xk x xk ( kZ ) Vậy pt có nghiệm là: 2 3 xk ; 12 xk ; 5 12 xk ( kZ ) 0,25 2b a) Giải phương trình:. 1 5 1 5 1 2 xx x 0,5 5 1 5 1 2 22 xx PT Đặt 51 ( 0) 2 x tt ta có phương trình: 1 21tt t 0,25 Với t=1 51 10 2 x x Vậy phương trình có nghiệm x=0 0,25 3 Tính tích phân 2 1 1 ln e xx I dx x 1 2 1 1 1 1 ln 1 ln e e e xx I dx dx x xdx xx 1 1 ln 1 1 e e A dx x x 2 1 1 ln ln 2 e du dx ux x B x xdx Dat dv xdx x v 2 2 2 2 1 1 .ln .ln 1 1 1 2 2 2 4 4 4 e e e e x x x x e B x dx x 2 5 44 e I 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 4a Tìm phần thực và phần ảo của số phức z biết: 2 3 2z z i 0,25 Gọi , ()z a bi a b R z a bi Ta có : 3a + bi = 3-2i 0,25 Suy ra : a=1 và b = -2 Vậy phần thực là 1 và phần ảo là -2 0,25 4b Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam , 5 nhà vật lý nữ và 3 nhà hóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người, tính xác suất trong 4 người được chọn phải có nữ và có đủ ba bộ môn. 0,5 Ta có : 4 16 1820C Gọi A: “2nam toán ,1 lý nữ, 1 hóa nữ” 0,25 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk B: “1 nam toán , 2 lý nữ , 1 hóa nữ” C: “1 nam toán , 1 lý nữ , 2 hóa nữ “ Thì H= A B C : “Có nữ và đủ ba bộ môn” 2 1 1 1 2 1 1 1 2 8 5 3 8 5 3 8 5 3 3 () 7 C C C C C C C C C PH 0,25 5 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, tam giác SAB cân tại S và SC tạo với đáy một góc 60 0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SA theo a. 1,00 Gọi H là trung điểm AB. Do SAB cân tại S,suy ra SH AB, mặt khác (SAB) (ABCD) nên SH (ABCD) và 0 60SCH . Ta có .1560tan.60tan. 0220 aBHCBCHSH 0,25 . 3 154 4.15 3 1 3 1 32 . aaaSSHV ABCDABCDS 0,25 Qua A vẽ đường thẳng song song với BD. Gọi E là hình chiếu vuông góc của H lên và K là hình chiếu của H lên SE, khi đó (SHE) HK suy ra HK (S, ). Mặt khác, do BD//(S, ) nên ta có , , , , , 2 ( ,( . )) 2 d BD SA d BD S d d B S d H S HK 0,25 Ta có 0 45DBAEAH nên tam giác EAH vuông cân tại E, suy ra 22 aAH HE 2 2 2 2 . 15 . 15 2 . 31 15 2 a a HE HS HK a HE HS a a Vậy . 31 15 2, aSABDd 0,25 6 Viết phương trình đường thẳng đi qua 3; 2; 4A , song song với mặt phẳng :3 2 3 7 0P x y z và cắt đường thẳng 2 4 1 : 3 2 2 x y z d . 1,00 Ta có 3; 2; 3 P n . Giả sử B(2 + 3t ; –4 – 2t ; 1 + 2t) là giao điểm của và d . 0,25 Khi đó 1 3 ; 2 2 ;5 2AB t t t , || . 0 2 PP AB P AB n ABn t . 0,25 Vậy (8; 8;5)B và 5; 6;9AB . 0,25 Vậy phương trình đường thẳng 3 2 4 : 5 6 9 x y z . 0,25 E k A H B D C S GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk 7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD, điểm M(5;7) nằm trên cạnh BC. Đường tròn đường kính AM cắt BC tại B và cắt BD tại N(6;2), đỉnh C thuộc đường thẳng d: 2x-y-7=0. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD, biết hoành độ đỉnh C nguyên và hoành độ đỉnh A bé hơn 2. 1,00 Gọi I là tâm đường tròn đường kính AM thì I là trung điểm AM. Dễ thấy 0 2 90MIN sdMN MBN Điểm C d: 2x-y-7=0. C(c;2c-7) Họi H là trung điểm của MN =>H(11/2; 9/2) Phương trình đường thẳng trung trực của MN đi qua H và vuông góc với MN là d: x-5y+17=0 Điểm I => I(5a - 17;a) 0,25 22 (1; 5) 26 (22 5 ;7 ) 22 5 7 MN MN IM a a IM a a Vì MIN vuông cân tại I và 22 2 26 13 22 5 7 13 5 26 234 520 0 4 MN IM a a a aa a Với a=5 =>I(8;5) => A(11;9) (loại) Với a=4 =>I(3;4) => A(1;1) (t/m) 0,25 Gọi E là tâm hình vuông nên 1 11 ( ; 3) ;5 22 cc E c EN c Vì AC BD .0AC EN 2 11 ( 1). 2 8 . 5 0 2 7( / ) 5 48 91 0 13 () 5 c c c c c t m cc c loai Suy ra: C(7;7) => E(4;4) 0,25 Pt BD: x+y−8=0, pt BC:x−7=0 ⇒B(7,1)⇒D(1,7) 0,25 8 Giải hệ phương trình 2 2 2 2 24 2 6 5 2 2 13 2( ) (1) ( 2 ) 2 4 . 8 . 2 2 (2) x xy y x xy y x y x y x y y y y x 1,00 Điều kiện: 2 0 0 x y xy Xét y = 0, hệ vô nghiệm nên y khác 0 . Chia cả 2 vế của (1) cho y ta được: 0,25 E H N I B A C D M GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk 22 2 6 5 2 2 13 2( 1) Dat t= ( 1) x x x x x y y y y y x t y 22 4 3 2 22 : 2 6 5 2 2 13 2( 1) t 2 3 4 4 0 1( i) 1 2 0 2( / ) PT t t t t t t t t t loa tt t t m 0,25 Với t = 2 => x=2y, thế vào (2) ta được: 24 42 3 3 4 2 2 4 . 8 . 2 2 2 4 2 2 2 2 2 8 . 4 . 2 2 2 4 2 2 8 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2. 2 (3) y y y y y y y y y y y y y y yy y y y yy y y y Xét hàm số f(u)=u 3 +2u với u>0; có f’(u) = 3u 2 +2>0, mọi u>0 => hàm số đồng biến Từ (3) 3 22 2 2 2 2 4 2 2 0 1f f y y y y y yy 0,25 Hệ có nghiệm duy nhất (2;1) 0,25 9 Cho ,,abc là các số thực dương và 3abc . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 3 2 3 1 1 1 abc P ab bc ca a b c 1,00 Áp dụng Bất đẳng thức: 2 ( ) 3( )x y z xy yz zx , ,,x y z ta có: 2 ( ) 3 ( ) 9 0ab bc ca abc a b c abc 3ab bc ca abc Ta có: 3 3 (1 )(1 )(1 ) (1 ) , , , 0a b c abc a b c . Thật vậy: 23 33 3 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 3 3 ( ) (1 ) a b c a b c ab bc ca abc abc abc abc abc 0,25 Khi đó: 3 3 2 3(1 ) 1 abc PQ abc abc (1). Đặt 6 abc t ; vì a, b, c > 0 nên 3 01 3 abc abc 0,25 Xét hàm số 2 32 2 , 0;1 3(1 ) 1 t Qt tt 5 22 32 2 1 1 ( ) 0, 0;1 11 t t t Q t t tt . Do đó hàm số đồng biến trên 0;1 1 1 6 Q Q t Q (2). Từ (1) và (2): 1 6 P . 0,25 Vậy maxP = 1 6 , đạt được khi và và chi khi : 1abc . 0,25 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk . thế vào (2) ta được: 24 42 3 3 4 2 2 4 . 8 . 2 2 2 4 2 2 2 2 2 8 . 4 . 2 2 2 4 2 2 8 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2. 2 (3) y y y y y y y y y y y y y y yy y y y yy y y y Xét hàm số f(u)=u 3 +2u với u>0;. NINH TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SỐ 2 ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA NĂM 20 15 Môn: TOÁN - LẦN 2 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1 (2, 0 điểm). Cho. 2cos 2sin2 1 4sin2 .cosx x x x (1 2cos )(2sin2 1) 0xx 0 ,25 1 5 -5 y x O 3 1 GV Nguyễn Khắc Hưởng - THPT Quế Võ số 2 - http://nguyenkhachuong.tk 2 13 cos 2 1 12 sin 2 5 2 12 xk x xk x xk