Chuyên đề: Lượng giác qua các kì thi biên soạn bởi thầy Nguyễn Văn Rin, Cao học Toán ĐHSP Huế. Tài liệu gồm các phần sau: Kiến thức cần nhớ: Công thức lượng giác Phương trình lượng giác (FULL). Các phương pháp chính giải phương trình lượng giác (kèm theo các thủ thuật sử dụng MTBT để giải). Trọn bộ các câu Pt lượng giác qua các Đề thi ĐH từ 2002 đến 2014. Tuyển tập các phương trình lượng giác trong các đề thi thử Đại học năm 2014 của từ các trường THPT trên cả nước. Đáp án lượng giác qua các kỳ thi.
Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin 1 LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Công thức lượng giác Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm ( ) 0 0 ; M x y sao cho số đo cung AM α = . tan AP α = có nghĩa k.v.c.k 2 k π α π ≠ + cot BQ α = có nghĩa k.v.c.k k α π ≠ 3. Hàm số lượng giác của những góc (cung) có liên quan đặc biệt 2. Giá trị lượng giác của các góc (cung) đặc biệt α 0 6 π 4 π 3 π 2 π sin α 0 1 2 2 2 3 2 1 cos α 1 3 2 2 2 1 2 0 tan α 0 3 3 1 3 cot α 3 1 3 3 0 1. Hệ thức cơ bản giữa các HSLG sin tan cos α α α = cos cot sin α α α = 2 2 1 1 tan cos α α + = 2 2 1 1 cot sin α α + = 2 2 sin cos 1 α α + = ( )( ) 2 sin 1 cos 1 cos α α α = + − ( )( ) 2 cos 1 sin 1 sin α α α = + − ( ) 2 1 sin 2 sin cos α α α ± = ± 4 4 2 2 sin cos 1 2sin cos α α α α + = − 6 6 2 2 sin cos 1 3sin cos α α α α + = − a. Hai góc đối nhau ( ) cos cos α α − = ( ) sin sin α α − = − ( ) tan tan α α − = − ( ) cot cot α α − = − b. Hai góc bù nhau ( ) cos cos π α α − = − ( ) sin sin π α α − = ( ) tan tan π α α − = − ( ) cot cot π α α − = − d. Hai góc hơn kém π ( ) cos cos π α α + = − ( ) sin sin π α α + = − ( ) tan tan π α α + = ( ) cot cot π α α + = c. Hai góc phụ nhau cos sin 2 π α α − = sin cos 2 π α α − = tan cot 2 π α α − = cot tan 2 π α α − = e. Hai góc hơn kém 2 π cos sin 2 π α α + = − sin cos 2 π α α + = tan cot 2 π α α + = − cot tan 2 π α α + = − Khi đ ó, 0 cos x α = 0 sin y α = 0 0 tan y x α = 0 0 cot x y α = ( ) sin 2 sink α π α + = ( ) cos 2 cosk α π α + = ( ) sin , sin sin , k k k α α π α + = − ch½n lÎ ( ) tan tank α π α + = ( ) cot cotk α π α + = ( ) cos , cos cos , k k k α α π α + = − ch½n lÎ www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác 2 11. Phép biến đổi hàm số ( ) 2 2 asin cos 0y x b x a b= + + ≠ Cũng có thể biến đổi Đặc biệt, áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có 10. Công thức biến đổi tích thành tổng ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 cos cos cos cos 2 1 sin sin cos cos 2 1 sin cos sin sin 2 1 cos sin sin sin 2 α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β α β = + + − = − + − − = + + − = + − − 4. Công thức cộng ( ) cos cos cos sin sin α β α β α β ± = ∓ ( ) sin sin cos cos sin α β α β α β ± = ± ( ) tan tan tan 1 tan tan α β α β α β ± ± = ∓ 5. Công thức nhân đôi sin 2 2sin cos α α α = 2 2 cos2 cos sin α α α = − 2 2 2cos 1 1 2sin α α = − = − 2 2tan tan2 1 tan α α α = − 6. Công thức nhân ba 3 sin3 3sin 4sin α α α = − 3 cos3 4cos 3cos α α α = − 3 2 3tan tan tan3 1 3tan α α α α − = − 7. Công thức hạ bậc 2 1 cos2 cos 2 α α + = 2 1 cos2 sin 2 α α − = 2 1 cos2 tan 1 cos2 α α α − = + 3 3sin sin3 sin 4 α α α − = 3 cos3 3cos cos 4 α α α + = 9. Công thức biến đổi tổng thành tích cos cos 2cos cos 2 2 α β α β α β + − + = cos cos 2sin sin 2 2 α β α β α β + − − = − sin sin 2sin cos 2 2 α β α β α β + − + = sin sin 2cos sin 2 2 α β α β α β + − − = ( ) sin tan tan cos cos α β α β α β ± ± = 8. Biểu diễn qua tang góc chia đôi Đặt tan 2 t α = . Khi đó, 2 2 sin 1 t t α = + 2 2 1 cos 1 t t α − = + 2 2 tan 1 t t α = − 2 1 cot 2 t t α − = 2 2 2 2 2 2 sin cos a b y a b x x a b a b = + + + + ( ) 2 2 cos sin sin cosa b x x ϕ ϕ = + + ( ) 2 2 sina b x ϕ = + + với tan . b a ϕ = ( ) 2 2 sin sin cos cosy a b x x α α = + + ( ) 2 2 cosa b x α = + − với tan . a b ϕ = sin cos 2sin 2 cos 4 4 x x x x π π + = + = − sin cos 2sin 2 cos . 4 4 x x x x π π − = − = + sin 3cos 2sin 2cos 3 6 x x x x π π ± = ± = ± ∓ 3sin cos 2sin 2cos 6 3 x x x x π π ± = ± = ± ∓ www.VNMATH.com Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin 3 b. Phương trình cos x m = - Nếu 1m > thì phương trình vô nghiệm. - Nếu 1m ≤ thì chọn góc α sao cho cos m α = . Khi đó, ( ) 2 cos cos 2 x k x k x k α π α α π = + = ⇔ ∈ = − + ℤ Đặc biệt, cos 0 2 x x k π π = ⇔ = + cos 1 2 x x k π = ⇔ = ( ) k ∈ ℤ cos 1 2 x x k π π = − ⇔ = + ( ) cos cos cos cosx x α π α = − ⇔ = − *Tổng quát 2 cos cos 2 k k α β π α β α β π = + = ⇔ = − + II. Phương trình lượng giác 1. Phương trình lượng giác cơ bản 2. 3. 4. 5. 6. 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Phương pháp giải. 3. Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x Phương trình có dạng sin cosa x b x c+ = Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2 a b c+ ≥ . Phương pháp giải. a. Phương trình sin x m = - Nếu 1 m > thì phương trình vô nghiệm. - Nếu 1 m ≤ thì chọn góc α sao cho sin m α = . Khi đó, ( ) 2 sin sin 2 x k x k x k α π α π α π = + = ⇔ ∈ = − + ℤ Đặc biệt, sin 0 x x k π = ⇔ = sin 1 2 2 x x k π π = ⇔ = + ( ) k ∈ ℤ sin 1 2 2 x x k π π − = − ⇔ = + * Tổng quát 2 sin sin 2 k k α β π α β α π β π = + = ⇔ = − + c. Phương trình tan x m = Chọn góc α sao cho tan m α = . Khi đó, ( ) tan tan x x k k α α π = ⇔ = + ∈ ℤ Phương trình luôn có nghiệm với mọi m . *Tổng quát tan tan k α β α β π = ⇔ = + d. Phương trình cot x m = Chọn góc α sao cho cot m α = . Khi đó, ( ) cot cot x x k k α α π = ⇔ = + ∈ ℤ Phương trình luôn có nghiệm với mọi m . *Tổng quát cot cot k α β α β π = ⇔ = + Phương pháp 1. Dùng tan b a ϕ = để đưa phương trình về dạng cơ bản như sau: ( ) sin cos sin tan cos sin cos b c c x x x x a a a c x a ϕ ϕ ϕ + = ⇔ + = ⇔ + = Phương pháp 2*. Chia 2 vế cho 2 2 a b+ để đưa phương trình về dạng cơ bản như sau: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos cos a b c x x a b a b a b c x a b ϕ + = + + + ⇔ − = + với 2 2 sin a a b ϕ = + và 2 2 cos b a b ϕ = + . Phương pháp 3. (Thường dùng khi phương trình chứa tham số) Dùng ẩn số phụ tan 2 x t = thì phương trình trở thành: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 . . 1 1 2 0 t t a b c t t b c t at c b − + = + + ⇔ + − + − = (Đây là phương trình bậc hai theo t ). - Dạng 2 sin sin 0a x b x c+ + = , đặt sin , 1 1.t x t= − ≤ ≤ - Dạng 2 cos cos 0a x b x c+ + = , đặt cos , 1 1.t x t= − ≤ ≤ - Dạng 2 tan tan 0a x b x c+ + = , đặt tant x= . www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác 4 Cách sử dụng MTBT đưa phương trình dạng asin cos x b x c + = về phương trình lượng giác cơ bản ( ) sin X x Y c + = hoặc ( ) cos X x Y c − = . ☺ ☺☺ ☺ * Đưa về dạng ( ) sin X x Y c + = - Chuyển máy qua chế độ rađian: SHIFT MODE 4 - Nhập vào màn hình: Pol(a,b bằng cách bấm SHIFT +, nhập a, bấm SHIFT ) để máy tính xuất hiện dấu “,”, nhập b. - Bấm ALPHA ) = để xem giá trị của X. - Bấm ALPHA S D⇔ = để xem giá trị của Y. - Khi đó, ( ) asin cos sin x b x c X x Y c + = ⇔ + = . * Đưa về dạng ( ) cos X x Y c − = thì làm tương tự, nhập Pol(b,a ta được X, Y. Khi đó, ( ) asin cos cos x b x c X x Y c + = ⇔ − = . Chú ý: • Chuyển về sin thì bấm hệ số của sin trước và góc cùng dấu. • Chuyển về cos thì bấm hệ số của cos trước và góc trái dấu. Ví dụ 1: Giải phương trình 3sin2 cos2 3x x− = Cách 1 - Đưa vế trái về sin bấm: ( 3, 1Pol − ta được 2 X = và 6 Y π = − . Giải: 3sin2 cos2 3 2sin 2 3 6 x x x π − = ⇔ − = 3 sin 2 sin 6 2 3 x π π ⇔ − = = 2 2 6 3 2 2 6 3 x k x k π π π π π π π − = + ⇔ − = − + 2 2 2 5 2 2 6 x k x k π π π π = + ⇔ = + 4 5 12 x k x k π π π π = + ⇔ = + . Cách 2 - Đưa vế trái về cos bấm: ( 1, 3Pol − ta được 2 X = và 2 3 Y π = . Giải: 2 3sin 2 cos2 3 2cos 2 3 3 x x x π − = ⇔ − = 2 3 cos 2 cos 3 2 6 x π π ⇔ − = = 2 2 2 3 6 2 2 2 3 6 x k x k π π π π π π − = + ⇔ − = − + 5 2 2 6 2 2 2 x k x k π π π π = + ⇔ = + 5 12 4 x k x k π π π π = + ⇔ = + . Ví dụ 2: Giải phương trình 2sin 2cos 2 x x − + = Cách 1 - Đưa vế trái về sin bấm: ( 2,2Pol − ta được 2 2 X = và 3 4 Y π = . Giải: 3 2sin 2cos 2 2 2sin 2 4 x x x π − + = ⇔ + = 3 1 sin sin 4 2 6 x π π ⇔ + = = ⇔ Cách 2 - Đưa vế trái về cos bấm: (2, 2Pol − ta được 2 2 X = và 4 Y π = − . Giải: 2sin 2cos 2 2 2cos 2 4 x x x π − + = ⇔ + = 1 cos cos 4 2 3 x π π ⇔ + = = ⇔ Ví dụ 3: Giải phương trình sin3 3cos3 1 x x + = Giải: 1 sin3 3cos3 1 2sin 3 1 sin 3 sin 3 3 2 6 x x x x π π π + = ⇔ + = ⇔ + = = ⇔ www.VNMATH.com Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin 5 hoặc 1 sin3 3cos3 1 2cos 3 1 cos 3 cos 6 6 2 3 x x x x π π π + = ⇔ − = ⇔ − = = ⇔ 4. Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x Phương trình có dạng ( ) sin cos sin cos 0a x x b x x c± + + = Phương pháp giải. 5. Phương trình đẳng cấp đối với sin x và cos x - Đẳng cấp bậc 2 có dạng 2 2 sin cos sin cosa x b x c x x d+ + = Phương pháp giải. - Đẳng cấp bậc 3 có dạng 3 3 2 2 sin cos sin cos sin cos esin cos 0a x b x c x x d x x x f x+ + + + + = Phương pháp giải. Dùng ẩn số phụ ( ) sin cos 2sin 2 . 4 t x x x t π = ± = ± ≤ 2 2 1 1 2sin cos sin cos 2 t t x x x x − ⇒ = ± ⇒ = ± . Phương trình trở thành ( ) 2 2 1 . 0 2 2 0. 2 t at b c bt at c b − ± + = ⇔ ± + + =∓ (Đây là phương trình bậc hai theo t với 2t ≤ ). Phương pháp 1. i. Nếu cos 0 x = không thỏ a ph ươ ng trình thì chia 2 v ế cho 2 cos x ta đượ c ph ươ ng trình b ậ c hai đố i v ớ i tant x = là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 tan tan 1 tan tan tan 0.a x b c x d x a d x c x b d+ + = + ⇔ − + + − = ii. N ế u cos 0 x = th ỏ a ph ươ ng trình thì đặ t cos x làm th ừ a s ố chung r ồ i gi ả i, b ằ ng cách thay 2 2 sin 1 cos x x = − . Phương pháp 2. Dùng công th ứ c h ạ b ậ c 2 1 cos2 sin 2 x x − = ; 2 1 cos2 cos 2 x x + = và sin2 sin cos 2 x x x = để đư a ph ươ ng trình đ ã cho v ề d ạ ng đ ã bi ế t. i. N ế u cos 0 x = không th ỏ a ph ươ ng trình thì chia 2 v ế cho 3 cos x ta đượ c ph ươ ng trình b ậ c ba đố i v ớ i tant x = là ( ) ( ) 3 2 2 2 tan tan tan tan 1 tan 1 tan 0a x b c x d x e x x f x+ + + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 tan tan tan 0.a e x d f x c e x b f ⇔ + + + + + + + = ii. N ế u cos 0 x = th ỏ a ph ươ ng trình thì đặ t cos x làm th ừ a s ố chung r ồ i gi ả i, b ằ ng cách thay 2 2 sin 1 cos x x = − . 6. i. Phương trình dạng sin ,cos ,tan ,tan ,cot 0 2 x f x x x x = Phương pháp giải. Đặ t tan 2 x t = , r ồ i áp d ụ ng công th ứ c tang góc chia đ ôi bi ể u di ễ n sin ,cos ,tan ,cot x x x x theo t . ii. Phương trình dạng ( ) sin 2 ,cos2 ,tan ,tan2 ,cot2 0f x x x x x = Phương pháp giải. Đặ t tant x = , r ồ i áp d ụ ng công th ứ c tang góc chia đ ôi bi ể u di ễ n sin 2 ,cos2 ,tan2 ,cot2 x x x x theo t . www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác 6 B. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHÍNH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. Phân tích thành nhân tử Phương pháp phân tích thành nhân tử thường chiếm đa số trong các đề thi đại học. Để tìm một nhân tử của phương trình, ta thường sử dụng máy tính bỏ túi rồi nhóm thừa số chung theo nhân tử đó ☺. Phương pháp (Toán học Tuổi trẻ) - Bước 1: Sử dụng MTBT nhẩm nghiệm. • Chuyển phương trình về dạng ( ) 0f x = . • Nhập vào MTBT hàm số ( ) f x . • Tiến hành thử lần lượt các góc lượng giác đặc biệt 2 3 5 0; ; ; ; ; ; ; ; ;2 6 4 3 2 3 4 6 π π π π π π π π π với chức năng CALC của MTBT. - Bước 2: Giả sử ta tìm được nghiệm 3 x π = . Khi đó, thử tiếp với các góc lượng giác có liên quan đặc biệt với nó. • Thử với góc đối: 3 x π = − nếu thỏa mãn thì phương trình có nghiệm x sao cho 1 cos 2 x = hay phương trình có một nhân tử là 2cos 1 x − . • Thử với góc bù: 2 3 x π = n ế u th ỏ a mãn ph ươ ng trình thì ph ươ ng trình có nghi ệ m x sao cho 3 sin 2 x = hay ph ươ ng trình có m ộ t nhân t ử là 2sin 3x − . • Thử với góc hơn kém π : 4 3 x π = ho ặ c 2 3 x π − = n ế u th ỏ a mãn ph ươ ng trình thì ph ươ ng trình có nghi ệ m x sao cho tan 3x = hay ph ươ ng trình có m ộ t nhân t ử là sin 3cos x x − . Trong tr ườ ng h ợ p này, n ế u ph ươ ng trình có h ệ s ố t ự do a thì ta thay b ở i ( ) 2 2 sin cos a x x + r ồ i ti ế n hành nhóm nhân t ử chung. - Bước 3: Nhóm th ừ a s ố chung theo nhân t ử đ ã bi ế t. - Bước 4: Gi ả i ph ươ ng trình tích. Ví dụ 1: Giải phương trình sin 2 cos2 3sin cos 1 0 x x x x − + − − = (KD – 2010) Nh ậ p vào MTBT sin 2 cos2 3sin cos 1 x x x x − + − − . S ử d ụ ng ch ứ c n ă ng CALC c ủ a MTBT ta tìm đượ c m ộ t nghi ệ m 6 x π = . • Th ử v ớ i giá tr ị đố i: 6 x π − = không th ỏ a ph ươ ng trình. • Th ử v ớ i giá tr ị bù: 5 6 x π = th ỏ a ph ươ ng trình. V ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m x sao cho 1 sin 2 x = hay ph ươ ng trình có m ộ t nhân t ử là 2sin 1 x − ☺ . Giải: Ta có sin 2 cos2 3sin cos 1 0 x x x x − + − − = ( ) 2 2sin cos 1 2sin 3sin cos 1 0x x x x x⇔ − − + − − = ( ) ( ) 2 cos 2sin 1 2sin 3sin 2 0x x x x⇔ − + + − = ( ) ( )( ) cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0x x x x⇔ − + − + = ( )( ) 2sin 1 sin cos 2 0x x x⇔ − + + = www.VNMATH.com Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin 7 ( ) 1 sin 2 sin cos 2 x x x VN = ⇔ + = − 2 6 5 2 6 x k x k π π π π = + ⇔ = + ( ) k ∈ℤ . Vậy nghiệm của phương trình là 2 6 x k π π = + ; 5 2 6 x k π π = + . Chú ý: Trong bài trên cos2 x có 3 công thứ c, ở đ ây ph ươ ng trình có nhân t ử là 2sin 1 x − nên ta áp d ụ ng công th ứ c đư a v ề sin , t ứ c là 2 cos2 1 2sin x x = − ☺ . Ví dụ 2: Giải phương trình ( ) 2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x+ = − + (KB – 2012) Nh ậ p vào MTBT ( ) 2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x + − + − . S ử d ụ ng ch ứ c n ă ng CALC c ủ a MTBT ta tìm đượ c m ộ t nghi ệ m 2 3 x π = . • Th ử v ớ i giá tr ị đố i: 2 3 x π − = th ỏ a ph ươ ng trình. V ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m x sao cho 1 cos 2 x = − hay ph ươ ng trình có m ộ t nhân t ử là 2cos 1 x + ☺ . Giải: Ta có ( ) 2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x + = − + 2 2cos 2 3sin cos cos 3sin 1 0x x x x x⇔ + − + − = ( ) ( ) 2 2cos cos 1 3sin 2cos 1 0x x x x⇔ − − + + = ( )( ) ( ) cos 1 2cos 1 3sin 2cos 1 0x x x x⇔ − + + + = ( ) ( ) 2cos 1 3sin cos 1 0x x x⇔ + + − = 2cos 1 0 3sin cos 1 x x x + = ⇔ + = 1 cos 2 1 sin 6 2 x x π − = ⇔ + = 2 2 3 2 x k x k π π π = ± + ⇔ = ( ) k ∈ ℤ . V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là 2 2 3 x k π π = ± + ; 2 x k π = . Ví dụ 3: Giải phương trình ( ) 2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos x x x x x + + = + (DBII – KA – 2007) Nh ậ p vào MTBT ( ) 2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos x x x x x + + − + . S ử d ụ ng ch ứ c n ă ng CALC c ủ a MTBT ta tìm đượ c m ộ t nghi ệ m 2 3 x π = . • Th ử v ớ i giá tr ị đố i: 2 3 x π − = không th ỏ a ph ươ ng trình. • Th ử v ớ i giá tr ị bù: 3 x π = không th ỏ a ph ươ ng trình. • Th ử v ớ i giá tr ị h ơ n π : 5 3 x π = th ỏ a ph ươ ng trình. V ậ y ph ươ ng trình có nghi ệ m x sao cho tan 3x = − hay ph ươ ng trình có m ộ t nhân t ử là sin 3cos x x + ☺ . Khi đ ó để nhóm đượ c nhân t ử sin 3cos x x + , ta thay h ệ s ố t ự do 2 2 1 sin cos x x = + . www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác 8 Giải: Ta có ( ) 2 2cos 2 3sin cos 1 3 sin 3cos x x x x x + + = + ( ) 2 2 2 2cos 2 3sin cos sin cos 3 sin 3cos 0x x x x x x x⇔ + + + − + = ( ) 2 2 sin 2 3sin cos 3cos 3 sin 3cos 0x x x x x x⇔ + + − + = ( ) ( ) 2 sin 3cos 3 sin 3 cos 0x x x x⇔ + − + = ( )( ) sin 3cos sin 3cos 3 0x x x x⇔ + + − = ( ) sin 3cos 0 sin 3cos 3 x x x x VN + = ⇔ + = tan 3 3 x x k π π − ⇔ = − ⇔ = + ( ) k ∈ℤ . Vậy nghiệm của phương trình là 3 x k π π − = + . Ví dụ 4: Giải phương trình ( ) 2 4cos sin 1 2 3 cos cos2 2sin 1 0x x x x x+ + − − = Nhập vào MTBT ( ) 2 4cos sin 1 2 3 cos cos2 2sin 1 x x x x x + + − − . Sử dụng chức năng CALC của MTBT ta tìm được một nghiệm 2 3 x π = . • Thử với giá trị đối: 2 3 x π − = không thỏa phương trình. • Thử với giá trị bù: 3 x π = không thỏa phương trình. • Thử với giá trị hơn π : 5 3 x π = thỏa phương trình. Vậy phương trình có nghiệm x sao cho tan 3x = − hay phương trình có một nhân tử là sin 3cos x x + ☺. Khi đó để nhóm được nhân tử sin 3cos x x + , ta thay hệ số tự do 2 2 1 sin cos x x = + . Giải: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4sin cos 4cos 2 3cos 2cos 1 2sin sin cos 0x x x x x x x x⇔ + + − − − + = ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 4sin cos 4 3cos 2sin 2 3cos sin 3cos 0x x x x x x x⇔ + − + − − = ( ) ( ) ( )( ) 2 4cos sin 3 cos 2 sin 3cos sin 3cos sin 3cos 0x x x x x x x x x⇔ + − + − + − = ( )( ) 2 sin 3 cos 4cos 2 sin 3cos 0x x x x x⇔ + − − + = ( )( ) sin 3 cos 2cos2 sin 3cos 0x x x x x⇔ + − + = sin 3cos 0 2cos2 sin 3cos x x x x x + = ⇔ = − tan 3 5 cos2 cos 6 x x x π = − ⇔ = − 3 5 2 2 6 5 2 2 6 x k x x k x x k π π π π π π = − + ⇔ = − + = − + + 3 5 2 6 5 2 18 3 x k x k x k π π π π π π = − + ⇔ = − + = + ( ) k ∈ ℤ . Vậy nghiệm của phương trình là 3 x k π π = − + ; 5 2 6 x k π π = − + ; 5 2 18 3 x k π π = + . www.VNMATH.com Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin 9 II. Biến đổi phương trình về dạng sin cosa x b x c+ = Dấu hiệu: Trong phương trình lượng giác có xuất hiện 3sin kx hoặc 3coskx thì phương trình đó có thể đưa được về dạng sin cosa x b x c + = ☺. Ví dụ 1: Giải phương trình ( ) ( )( ) ( ) 1 2sin cos 3 1 2sin 1 sin x x I x x − = + − (KA – 2009) Giải: Điều kiện: 2 2 sin 1 2 1 6 sin 2 7 2 6 x k x x k x x k π π π π π π ≠ + ≠ − ⇔ ≠ + − ≠ ≠ + . Với điều kiện trên, ta có ( ) ( ) 2 cos sin2 3 1 sin 2sin I x x x x ⇔ − = + − ( ) cos sin 2 3 cos2 sin x x x x ⇔ − = + sin 2 3cos2 3sin cos x x x x ⇔ + = − + 5 2sin 2 2sin 3 6 x x π π ⇔ + = + 5 sin 2 sin 3 6 x x π π ⇔ + = + 5 2 2 3 6 5 2 2 3 6 x x k x x k π π π π π π π + = + + ⇔ + = − + + 2 2 2 18 3 x k k x π π π π = + ⇔ − = + ( ) k ∈ℤ . Đối chiếu với điều kiện, ta được nghiệm của phương trình 2 18 3 k x π π − = + . Ví dụ 2: Giải phương trình ( ) 3 sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sin x x x x x x + + = + (KB – 2009) Giải: Ta có ( ) 3 sin cos sin2 3cos3 2 cos4 sin x x x x x x + + = + ( ) 2 1 2sin sin cos sin2 3cos3 2cos4 x x x x x x ⇔ − + + = sin cos2 cos sin2 3cos3 2cos4 x x x x x x ⇔ + + = sin3 3cos3 2cos4 x x x ⇔ + = cos 3 cos4 6 x x π ⇔ − = 4 3 2 6 4 3 2 6 x x k x x k π π π π = − + ⇔ = − + + ( ) 2 6 2 42 7 x k k x k π π π π − = + ⇔ ∈ = + ℤ . Vậy nghiệm của phương trình là 2 6 x k π π − = + ; 2 42 7 x k π π = + . Ví dụ 3: Giải phương trình ( ) 2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x + = − + (KB – 2012) Giải: Ta có ( ) 2 cos 3sin cos cos 3sin 1 x x x x x + = − + ( ) 2 2cos 1 2 3sin cos cos 3sin x x x x x ⇔ − + = − www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin Chuyên đề lượng giác 10 cos2 3sin 2 cos 3sin x x x x ⇔ + = − cos 2 cos 3 3 x x π π ⇔ − = + ( ) 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 x x k x k k k x x k x π π π π π π π π π − = + + = + ⇔ ⇔ ∈ − = − − + = ℤ . Vậy nghiệm của phương trình là 2 2 3 x k π π = + ; 2 3 k x π = . III. Biến đổi về phương trình bậc cao đối với một hàm số lượng giác Ví dụ 1: Giải phương trình sin3 cos2 sin 0 x x x + − = (KD – 2013) Giải: Ta có sin3 cos2 sin 0 x x x + − = 3 2 3sin 4sin 1 2sin sin 0 x x x x ⇔ − + − − = 3 2 4sin 2sin 2sin 1 0 x x x ⇔ + − − = ( ) ( ) 2 2sin 1 2sin 1 0x x⇔ + − = 2 2sin 1 0 2sin 1 0 x x + = ⇔ − = 1 sin 2 cos2 0 x x − = ⇔ = 2 6 7 2 6 4 2 x k x k k x π π π π π π − = + ⇔ = + = + ( ) k ∈ℤ . Vậy nghiệm của phương trình là 2 6 x k π π − = + ; 7 2 6 x k π π = + ; 4 2 k x π π = + . Ví dụ 2: Giải phương trình cos3 cos2 cos 1 0 x x x + − − = (KD – 2006) Giải: Ta có cos3 cos2 cos 1 0 x x x + − − = 3 2 4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0 x x x x ⇔ − + − − − = 3 2 4cos 2cos 4cos 2 0 x x x ⇔ + − − = cos 1 cos 1 1 cos 2 x x x = ⇔ = − − = 2 2 3 x k x k π π π = ⇔ = ± + ( ) k ∈ℤ . V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là x k π = ; 2 2 3 x k π π = ± + . Ví dụ 3: Giải phương trình cos3 4cos2 3cos 4 0 x x x − + − = (KD – 2002) Giải: Ta có cos3 4cos2 3cos 4 0 x x x − + − = ( ) 3 2 4cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0 x x x x⇔ − − − + − = 3 2 4cos 8cos 0 x x ⇔ − = ( ) 2 4cos cos 2 0 x x⇔ − = ( ) cos 0 cos 2 2 x x k x VN π π = ⇔ ⇔ = + = ( ) k ∈ℤ . V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là 2 x k π π = + . www.VNMATH.com [...].. .Lượng giác qua các kỳ thi www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin C LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI Giải các phương trình sau (KA – A1 – 2014) 1 sin x + 4cos x = 2 + sin 2 x π 2 1 + tan x = 2 2 sin x + 4 3 3 sin 2 x + cos 2 x = 2 cos x − 1 1 + sin 2 x + cos... cos x − 1 π 1 + cos 2 x 119 2 cos − x = 1 + cot x 4 sin x 120 (1 − tan x )(1 + sin 2 x ) = 1 + tan x (THPT Chuyên Lý Tự Trọng) (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu) (THPT Hùng Vương) 121 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu) (THPT Chuyên Lương Văn Chánh) (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) ( tan x + 1) sin 2 x + cos 2 x + 2 = 3 ( cos x + sin x ) sin x 1 122 cos 2 2 x − sin (12π + 4 x ) −... 151 152 ( ) ( ) 153 3 1 − 3 cos 2 x + 3 1 + 3 sin 2 x = 8 ( sin x + cos x ) ( (THPT Đức Thọ) (THPT Chuyên Tỉnh Lào Cai) (THPT Hà Huy Tập) (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) ) 3 sin 3 x + cos3 x − 3 − 3 3 (THPT Chuyên Vĩnh Phúc) 154 π 2 sin 2 x − = 2sin x − 1 4 (THPT ĐặngThúc Hứa) 16 Lượng giác qua các kỳ thi www.VNMATH.com π π 4 + sin x 155 cos 2 + x + cos 2 − x = 2 3 3 156 sin 4 x... Rin (Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc) (Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc) (Sở GD & ĐT Vĩnh Phúc) (THPT Quế Võ 1) (THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu) (THPT Chuyên Quốc Học – Huế) (THPT Can Lộc) (Đại học Vinh) (THPT CN Việt Trì) (THPT Chuyên Lý Tự Trọng) (THPT Chuyên Lý Tự Trọng) (THPT Chuyên Lê Quý Đôn) (THPT Chuyên Trần Phú) (THPT Chuyên Trần Phú) (THPT Nam Sách) (Nguoithay.vn) ( 172 cos x cos3 x + 2 3 sin x − 4 + 3 = sin x 2... khóa XXII - ĐHSP Huế CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638 21 Nguyễn Văn Rin www.VNMATH.com Chuyên đề lượng giác Chú ý: Có thể giải phương trình lượng giác bằng trang web http://www.wolframalpha.com/ ☺ Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội –... x + 1 = (DBI – KB – 2002) cos 4 x x 89 tan x + cos x − cos 2 x = sin x 1 + tan x tan (DBII – KA – 2002) 2 2sin x + cos x + 1 90 Cho phương trình = a (a là tham số) (DBI – KA – 2002) sin x − 2 cos x + 3 1 a Giải phương trình khi a = b Tìm a để phương trình có nghiệm 3 91 2cos 2 x + sin 2 x cos x + sin x cos 2 x = 2 ( sin x + cos x ) (ĐHSP – ĐHL TPHCM) 92 4 ( sin 4 x + cos 4 x ) + 3 sin 4 x... Nguyễn Trường Tộ Facebook: Nguyễn Văn Rin - SĐT: 0122.551.4638 ☺ ☺☺ 14 Lượng giác qua các kỳ thi www.VNMATH.com Nguyễn Văn Rin ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2014 103 sin 3 x + 2cos 2 x = 3 + 4sin x + cos x (1 + sin x ) 104 2 cos 2 x − ( sin x + cos x ) 1 + tan x 2 2 = (Đại học Vinh) 3 π π sin 4 + 3 x − sin 4 + x (THPT Hồng Quang) 2 2 π cos 2 x − 2 sin x + + 2 4 =1 105 1... sin 3 x + 2cos 2 x = 3 + 4sin x + cos x (1 + sin x ) (THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu) (THPT Chuyên Nguyễn Đình Chiểu) (THPT Chu Văn An) (THPT Chu Văn An) (Đại học Vinh) 127 2cos 2 2 x − 2cos 2 x + 4sin 6 x + cos 4 x = 1 + 4 3 sin 3x cos x (THPT Triệu Sơn 4) 128 ( tan x + 1) sin 2 x + cos 2 x = 0 (THPT Chuyên Quốc Học – Huế) 15 Chuyên đề lượng giác Nguyễn Văn Rin www.VNMATH.com 2 cos 2 x − sin 2 x cos... KD – 2003) (DBI – KD – 2003) 13 Chuyên đề lượng giác Nguyễn Văn Rin x ( 2 − 3 ) cos x − 2sin 2 − π 4 www.VNMATH.com 2 =1 2cos x − 1 82 3cos 4 x − 8cos 6 x + 2cos 2 x + 3 = 0 83 3 − tan x ( tan x + 2sin x ) + 6cos x = 0 81 (DBII – KB – 2003) (DBI – KB – 2003) (DBII – KA – 2003) 84 cos 2 x + cos x ( 2 tan x − 1) = 2 (DBI – KA – 2003) 85 Xác định m để phương trình 2 ( sin 4 x + cos 4 x ) +... (VNMATH.COM) Nguyễn Văn Rin – Cao học Toán khóa XXII - ĐHSP Huế CS1: 33/240 Lý Nam Đế - CS2: 240/57 Lý Nam Đế - CS3: 01 Nguyễn Trường Tộ 17 Chuyên đề lượng giác Nguyễn Văn Rin www.VNMATH.com ĐÁP ÁN LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI 1 x = ± π 3 + k 2π 23 x = −π π + kπ ; x = ± + k 2π 4 3 2π π 3 x = + kπ ; x = k 2π ; x = + k 2π 2 3 2 x = 4 x = 5 6 7 8 9 π + kπ ; x = π 11 x = 12 x = π 4 π 3 π 2 25 x = k 26 x = 28 x = . V ậ y nghi ệ m c ủ a ph ươ ng trình là 2 x k π π = + . www.VNMATH.com Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin 11 C. LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI Giải các phương trình sau 1. sin 4cos 2 sin. + II. Phương trình lượng giác 1. Phương trình lượng giác cơ bản 2. 3. 4. 5. 6. 2. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Phương pháp giải. . Lượng giác qua các kỳ thi Nguyễn Văn Rin 1 LƯỢNG GIÁC QUA CÁC KỲ THI A. MỘT SỐ KIẾN THỨC CẦN NHỚ I. Công thức lượng giác Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm (