127 phương trình lượng giác trong bộ đề tuyển sinh đại học gồm 3 tập của Nhà xuất bản Giáo dục. Nhiều câu phương trình lượng giác trong các đề thi đại học có dạng gần giống với các đề thi này. Tài liệu được tổng hợp bởi thầy Trần Xuân Bang, GV Toán, trường THPT chuyên Quảng Bình.
Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 1 127 phơng trình lợng giác Các Phơng trình LG trong bộ đề thi ts vào ĐH và CĐ 1. cosx + 1 cos x + sinx + 1 sin x = 10 3 2. log 3 (sin 2 x - sinx) + 1 3 log ( cos 2 ) 2 x sin x+ = 0 3. Tìm các giá trị x (0; 2 ) thỏa phơng trình: sin 3 sin 1 cos 2 x x x = sin2x + cos2x 4. Cho pt: (1- a)tg 2 x - 2 cos x + 1 + 3a = 0 a) Giải pt khi a = 1 2 b) Tìm tất cả các giá trị tham số a để pt đã cho có hơn một nghiệm (0; 2 ) 5. Giải pt: 2cosx - sin x = 1 6. Giải và biện luận theo k pt: 1 cos x - 1 sin x = k 7. Giải pt: tgx +tg 2 x + tg 3 x + cotgx + cotg 2 x +cotg 3 x = 6 8. cos 3 4x = cos3xcos 3 x + sin3xsin 3 x 9. Tìm nghiệm x ( - 3 4 ; ) của pt: a 2 sinx - asin 2 x - a 2 cosx + acos 2 x = cosx - sinx 10. Cho pt cos2x (2m + 1)cosx + m + 1 = 0 a) Giải pt khi m = 3 2 b) Tìm tất cả các giá trị m để pt có nghiệm ( 2 ; 3 2 ) 11. Xác định a để hai pt sau tơng đơng: 2cosxcos2x = 1 + cos2x + cos3x 4cos 2 x cos3x = acosx + (4 a)(1 + cos2x) 12. Giải bất phơng trình: 4(x 3 2x + 1)(sinx + 2cosx) 9 3 2 3x x + 13. Xác đinh a để pt sau có nghiệm: cos 6 x + sin 6 x = a sin 2x 14. Tìm min, max y = 3 sinx + cosx = 2 3 2 x + 15. Tìm nghiệm của pt sin((x+1)y) = sin 2 xy + sin 2 (x-1)y biết rằng (x+1)y, xy, (x- 1)y là số đo các góc của một tam giác. Đề 149 Giải: (x+1)y + xy + (x-1)y = xy = /3 (x +1)y = xy + y = /3 + y 0 < /3 + y < 2 /3 Suy ra: - /3 < y < /3 www.VNMATH.com Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 2 (x-1)y = xy y = /3 y 16. Giải pt sin 3 x + cos 3 x = 2 sin 4 x Đề 150 17. Giải hệ pt: sin 1/ 4 3 xcosy tgx tgy = = Đề 12 18. Giải hệ pt: cot 2sin( / 4) cot 2sin( / 4) tgx gx y tgy gy x + = + + = Đề 23 19. Cho pt 2 2 3 3 sin tg x x + + m(tgx +cotgx) 1 = 0 a) Giải pt khi m = 4 b) Tìm m để pt có nghiệm. Đề 13 20. 2cos 2 3 5 x + 1 = 3cos 4 5 x Đề15 21. Tìm các nghiệm x ( 2 ; 3 ) của pt sin(2x + 5 2 ) - 3cos(x - 7 2 ) = 1 + 2sinx Đề16 22. 2 (2sinx 1) = 4(sinx 1) cos(2x + /4) sin(2x + /4) Đề17 23. 3cosx + 4sinx + 6 3cos 4sin 1 x x+ + = 6 Đề18 24. 8sin 2 xcosx = 3 1 cos sinx x + Đề 22 25. Giải hẹ pt: 1 sin cos sin cos 2 3 2sin 2 sin 2 2 x x y y x y + = + = + Đề 32 26. Giải hẹ pt: sin sin 2 cos cos 2 x y x y + = + = Đề 33 27. Cho hpt: 2 2(cos 2 cos 2 ) 1 4 cos 0 x y m x y m = + = Tìm m để hệ có nghiệm. Tìm nghiệm đó. Đề 65 28. 1 cos 2 3 cos 2 1 tgy tgx tgxtgy y x = + = Đề 75 29. Cho pt: msinx + (m+1)cosx = m/cosx a) gpt khi m = 1/2 b) Giả sử m là giá trị làm cho pt có nghiệm. Gọi x 1 , x 2 là hai nghiệm sao cho x 1 + x 2 /2 + k . Hãy tính cos2(x 1 + x 2 ) Đề 145 *** Chú ý rằng: cos2(x 1 + x 2 ) = 2 1 2 2 1 2 1 ( ) 1 ( ) tg x x tg x x + + + 30. sinx + 2 2 2 sin 2 sin 3x sinx x + = Đề 146 www.VNMATH.com Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 3 31. Cho pt : 6 6 2 2 cos sin 2 2 cos sin x x mtg x x x + = a) Giải pt khi m = 1/8 b) Với giá trị nào của m thì pt có nghệm Đề 147 32. tg 2 x = 1 cos 1 sin x x Đề 133 33. cos3xcos 3 x + sin3xsin 3 x = 2 /4 Đề 135 34. Tìm tổng tất cả các nghiệm x [0;40] của pt: 2cos 2 x + cotg 2 x = 3 2 sin 1 sin x x + Đề 136 35. 2sin(3x + 3 4 ) = 2 1 8sin 2 2xcos x + Đề 25 36. a) sin2(x - ) sin(3x - ) = sinx b) Tìm a để pt sin2(x - ) sin(3x - ) = asinx có nghiệm x k Đề 28 37. 1 1 2 cos sin 2 sin 4x x x + = Đề 30 38. tg 2 2xtg 2 3xtg5x = tg 2 2x - tg 2 3x + tg5x Đề 34 39. 2 2 sin cos cos cos sin sin x x y x x y = = Đề 79 40. Cho hệ: 2 2 sin s x mtgy m tg y m n m + = + = a) Giải hệ khi m = 1 b) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm Đề 87 41. tg 2 x + tg 2 y + cotg 2 (x + y) =1 Đề 99 42. Cho pt : 1 sin 1 sinx x k+ + = a) Giải pt khi k = 2 b) Giải và biện luận theo k. Đề 37 43. Tìm t sao cho pt: 2sin 1 sin 2 x t x + = + có 2 nghiệm thuộc đoạn [0; ] Đề 38 44. a) 3cosx + cos2x cos3x + 1 = 2sinxsin2x (1) b) Tìm tất cả các giá trị của tham sốm để pt(1) tơng đơng với pt sau: mcos3x + (4 8m)sin 2 x + (7m 4)cosx + (8m 4) = 0 Đề 40 45. cos2x - 3 sin2x - 3 cosx sinx + 4 = 0 46. 2 + 2sinx 2cos 2 x - 2 sin( x+ /4) = 0 47. Cho pt sinx + mcosx = 1 (1) a) Giải pt khi m = - 3 b) Tìm m để pt (1) vô nghiệm. c) Xác định m để pt(!) tơng đơng với msinx + cosx = m 2 . Đề 42 48. 3(cos 2 cot 2 ) 2sin 2 2 cot 2 cos 2 ) x g x x g x x + = Đề 45 www.VNMATH.com Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 4 49. cot gx = tgx + 1 sin x Đề 46 50. 2 cos (2sin 3 2) 2cos 1 1 sin 2 x x x x + + = 1 Đề 47 51. sin 2 2x cos 2 8x = sin( 17 2 + 10x) Đề 48 52. 3sin3x - 3 cos9x = 1 + 4sin 3 3x Đề 49 53. sin cosx x + 4sin2x = 1 Đề 51 54. cos 4 3 x = cos 2 x Đề 52 55. Giải và biện luận: 2 2 2 a - bcosx 2 a - b tgy = sinx 1 + tg y Đề 44 56. Cho pt 3cosx + 2 sin x = k Giải pt khi k = 2, k = 3. Đề 57 57. Tìm số dơng a nhỏ nhất thỏa pt: cos( (a 2 + 2a 1/2)) - sin a 2 Đề 58 58. x 2 2xsinxy + 1 = 0 Đề 60 59. cos2x + 1 + sin2x =2 sinx + cosx Đề 64 60. Với những giá trị nào của m thì pt sau có nghiệm: 1 2 cos 1 2sinx x m+ + + = Đề 66 61. 2cos 3 x + cos2x + sinx = 0 Đề 68 62. 4cosx - 2cos2x cos4x = 1 Đề 69 63. 3tg3x + cotg2x = 2tgx + 2 sin 4x Đề 71 64. a) gpt (cos4x cos2x) 2 = 5 + sin3x b)Xác định a để pt sau có nghiệm: (cos4x cos2x) 2 = (a 2 + 4a + 3)( a 2 + 4a + 6) + 7 + sin3x Đề 74 65. Giải các pt: sin 4 x + cos 4 (x + /4) = 1/4 (tgx + 1 4 cotgx) n = cos n x + sin n x , n = 2, 3, 4 Đề 77 65. a) Các số x, y, z thỏa: x + y + z = n Chứng minh : cos 2 x + cos 2 y + cos 2 z = 1 + (-1) n .2cosxcosycosz b) Giải phơng trình: 2log 3 cotgx = log 2 cosx Đề 78 66. a) cos 4 x sin 4 x = cos sinx x + c) Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà số đo các góc của nó nghiẹm đúng phơng trình: (56-65sinx)(80-64sinx-65cos 2 x) Đề 80 67. 1 + sin 2 x sinx - cos 2 x sin 2 x = 2cos 2 ( 4 - 2 x ) Đề 81 68. Xác định tham số m sao cho phơng trình sau có 7 nghiệm khác nhau thuộc khoảng ( - ;2 2 ) Đề 82 69. a) cos2x cos6x + 4(3sinx 4sin 3 x + 1) = 0 www.VNMATH.com Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 5 b) (sin 3 2 x + 1/ sin 3 2 x ) 2 + (cos 3 2 x + 1/ cos 3 2 x ) 2 = 4 81 cos 4 4 x Đề 83 70. cos 2sin cos3 1 2sin cos 2x x x x x + = + Đề 86 71. Cho phơng trình (2sinx 1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 4cos 2 x a. Giải pt khi m = 1. b. Tìm m để pt có đúng hai nghiệm thuộc [0; ] đề 89. 72. sin sin 2 sin 3 3 cos cos 2 cos 3 x x x x x x + + = + + 90 73. 6sinx 2cos 3 x = 5sin 4 cos 2cos 2 x x x 93 74. sin4xcos16x = 1 Đề 91 75.Giải và biện luận pt: (m-1)sin 2 x 2(m+1)cosx+2m-1=0 đề 95 76. a) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất: y = cos sinx x+ b) Tìm m để pt sin4x = mtgx có nghiệm khác k Đề 96 77. Cho pt: 6tgx + acotg3x = tg2x a) Gpt với a = 0 b) Gpt với a = 5 Đề 97 78. tg 2 x = 3 3 1- cos x 1- sin x Đề 100 79. 1) Các độ dài cạnh của tam giác ABC lập thành một cấp số nhân. chứng minh rằng tam giác đó không thể có hai góc lớn hơn 60 0 . 2) Gpt: 2(tgx sinx) + 3(cotgx cosx) + 5 = 0 Đề 106 8 sin cosx x 0. 1) Gpt: 2 sin x - 2sinx + 2 = 2sinx - 1 2) Tam giác ABC có các góc A, B, C theo thứ tự lâp thành cấp số nhân công bội bằng 2. Chứng minh 1 1 1 a b c = + . Đề 107 81. Gpt: 1 cos 1 cos 4 cos x x sinx x + + = Đề 108 82. Gpt: 10 10 6 6 2 2 sin cos sin cos 4 4 cos 2 sin 2 x x x x x x + + = + Đề 109 83. Giải các pt: 1) 1 cos 4 sin 4 2sin 2 1 cos 4 x x x x = + 2) cos 3 x + sin 3 x = sinx cosx Đề110 84. Gpt: cos 2 1 sin 2 2 sin cosx x x x+ = Đề 111 85. 6sinx 2cos 3 x = 5sin2xcosx Đề 112 86. sin 3 x(1 + cotgx) + cos 3 x(1 + tgx) = 2 Đề 113 87. Cho pt (4 6m)sin 3 x + 3(2m 1)sinx + 2(m-2)sin 2 xcosx (4m 3)cosx = 0 1) Gpt khi m = 2 2) Tìm m để pt có đúng một nghiệm thuộc [0; 4 ] Đ114 88. Cho pt: 2cosxcos2xcos3x + m = 7cos2x 1) Giải pt khi m = - 7 www.VNMATH.com Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 6 2) Xác định m để pt có nhiều hơn một nghiệm thuộc [ 3 8 ; 8 ] Đề 115 89. Tìm a, b để hai pt sau tơng đơng: asin2x + 2 = 2cosx + a 2 sinx 2sin 2 x + cos2x + sin2x + b = 2bsinx + cosx + 1 Đề 117 90. Giải và biện luận theo a pt: 2 2 2 2 sin 2 1 cos 2 a x a tg x x + = Đề 124 91. Gpt: sinx + 3 cosx = 2 cos 2 3 sin 2x x+ + Đề 127 92. Giải và biện luận: cosax + cos 2bx cos(a+2b)x = 1 Đề 129 93. Giải pt: sin 2 x + 1 4 sin 2 3x = sinxsin 2 3x Đề 131 Các Phơng trình LG trong các đề thi ts vào ĐH và CĐ từ 2002 94. D2002. Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phơng trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 95. B2002. Giải phơng trình sin 2 3x - cos 2 4x = sin 2 5x - cos 2 6x 96. A2002. Tìm nghiệm thuộc đoạn (0; 2 ) của phơng trình: cos3x + sin3x 5 sinx + = cos2x + 3 1 + sin2x 97. D2003. Giải phơng trình 2 2 2 x x sin - tg x - cos = 0 2 4 2 98. B2003. Giải phơng trình cotgx - tgx + 4sin2x = 2 sin2x 99. A2003. Tìm nghiệm thuộc đoạn (0; 2 ) của phơng trình: 2 cos2x 1 cotgx - 1 = + sin x - sin2x 1 + tgx 2 100. D2004. Giải phơng trình (2cosx - 1)(2sinx + cosx) = sin2x - sinx 101. B2004. Giải phơng trình 5sinx - 2 = 3(1 - sinx)tg 2 x 102. D2005. Giải phơng trình 4 4 3 cos + sin x + cos x - sin 3x - - = 0 4 4 2 103. B2005. Giải phơng trình 1 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0 104. A2005. Tìm nghiệm thuộc đoạn (0; 2 ) của phơng trình: cos 2 3x.cos2x - cos 2 x = 0 105. D2005 - TK1. Giải phơng trình 3 sinx tg - x + = 2 2 1+cosx 106. D2005 - TK2. Giải phơng trình sin2x + cos2x + 3sinx - cosx - 2 = 0 107. B2005 - TK1. Giải phơng trình 3 2 2 cos x - - 3cosx - sinx = 0 4 www.VNMATH.com TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh 7 108. B2005 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 2 π cos2x - 1 tg + x - 3tg x = 2 cos x 109. A2005 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 2 2 x 3 π 4sin - 3cos2x = 1 + 2cos - 2 4 x 110. A2005 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh 3 π 2 2 cos x - - 3cosx - sinx = 0 4 111. A2006. Gi¶i ph−¬ng tr×nh ( ) 6 6 2 cos x + sin x - sinxcosx = 0 2 - 2sinx 112. B2006. Gi¶i ph−¬ng tr×nh x ctogx + sinx 1 + tgx.tg = 0 2 113. D2006. Gi¶i ph−¬ng tr×nh cos3x + cos2x - cosx - 1 = 0 114. A2006 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 3 3 2 3 2 cos3cos sin 3 sin 8 x x x + − = 115. A2006 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2sin 2 4sin 1 0 6 x x π − + + = 116. B2006 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: ( ) ( ) 2 2 2 2sin 1 2 3 2 cos 1 0x tg x x− + − = 117. B2006 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos2x + (1 + 2cosx)(sinx - cosx) = 0 118. D2006 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos 3 x + sin 3 x + 2sin 2 x = 1 119. D2006 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 4sin 3 x + 4sin 2 x + 3sin2x + 6cosx = 0 120. A2007. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (1 + sin 2 x)cosx + (1 + cos 2 x)sinx = 1 + sin2x 121. B2007. 1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2sin 2 2x + sin7x - 1 = sinx 122. D2007. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2 sin cos 3 cos 2 2 2 x x x + + = 123. A2007 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 1 1 sin2x + sinx - - = 2cotg2x 2sinx sin2x 124. A2007 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2 2cos 2 3 sin cos 1 3(sin 3 cos )x x x x x+ + = + 125. B2007 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin2x cos2x + = tgx - cotgx cosx sinx 126. B2007 - TK2. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin 5 2 4 x π − - cos 2 4 x π − = 3 2 cos 2 x 127. D2007 - TK1. Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2 2 sin cos 1 12 x x π − = www.VNMATH.com TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh TrÇn Xu©n Bang-GV To¸n-Tr−êng THPT Chuyªn Qu¶ng B×nh 8 www.VNMATH.com . Quảng Bình Trần Xuân Bang-GV Toán-Trờng THPT Chuyên Quảng Bình 1 127 phơng trình lợng giác Các Phơng trình LG trong bộ đề thi ts vào ĐH và CĐ 1. cosx + 1 cos x + sinx + 1 sin x = 10 3 . = Đề 124 91. Gpt: sinx + 3 cosx = 2 cos 2 3 sin 2x x+ + Đề 127 92. Giải và biện luận: cosax + cos 2bx cos(a+2b)x = 1 Đề 129 93. Giải pt: sin 2 x + 1 4 sin 2 3x = sinxsin 2 3x Đề 131. Các Phơng trình LG trong các đề thi ts vào ĐH và CĐ từ 2002 94. D2002. Tìm x thuộc đoạn [0; 14] nghiệm đúng phơng trình: cos3x - 4cos2x + 3cosx - 4 = 0 95. B2002. Giải phơng trình sin 2 3x