Giáo trình phương trình vi phân

Nội dung của cuốn sách là trình bày những kiến thức cơ bản của lý thuyết phương trình vi phân,chủ yếu tập trung vào các phương pháp giải các loại phương trình vi phân.Tuy nhiên, để sinh viên có thể bao quát được những vấn đề lớn đặt ra trong lý thuyết phương trình vi phân và thấy được những ứng dụng to lớn của phương trình vi phân,chúng tôi soạn thêm phần tham khảo để trình bày một số vấn đề khó của lý thuyết, ví dụ: các định lý về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm các phương trình vi phân, nghiệm bất thường, điểm bất thường.....và đưa thêm vào những bài toán thực tế rất quen thuộc trong khoa học và xã hội hiện nay dẫn tới phương trình vi phân.

NGUYỄN MẠNH QUÝ

G I Á O T R Ì N H PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

(Sách dành cho Cao đẳng Sư phạm)

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM

M Ụ C L Ụ C

Lòi nói đầu 7

Chương I Phưong trinh vi phân cấp một 9

§1 Mở đáu 9

1 Sơ lược về phương trinh vi phân 9

2 Các bài toán cơ bản của lí thuyết phương trinh vi phân 11

§2 Một số bài toán dán tới phương trinh vi phân (Phẩn dọc thêm) 14

1 Bài toán vật rơi tự do dưới tác dụng của trọng lực 14

2 Bài toán nước chảy qua một cái phễu 15

3 Bài toán tính lãi chổng (lãi gộp) của ngân hàng 17

\ £3 Nhũng khái niệm cơ bán của phương trình vi phàn cấp một 19

1 Những khái niệm cơ bàn 19

2 Ý nghĩa hình học của phưong trinh vi phân cấp một: Hướng trường 22

3 Bài toán ngược của bài toán tích phân phương trinh vi phân 24

§4 Cách giải một sô dạng phương trinh vi phân ca bản 25

Ị Phương trinh giải được đối với đạo hàm 25

2 Phương trinh vi phân vài các biến số phân li 29

6 Phương trinh dưới dạng vi phân toàn phần 35

§5 Phuong trinh vi phản tuyên tinh cấp một 40

1 Nghiệm cùa phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 40

2 Nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất 40

4 Phường trinh Becnuli 43

§6 Cách giãi một số dạng phương trinh vi phân chua giải ra đạo hàm 44

1 Phương trình không chứa X, y, tức là có dạng F(y') = ũ 44

2 Phương trình không chứa y, tức là có dạng F(x, y') = 0 45

3 Phương trinh không chứa X, tức là có dạng F(y, y') = ũ 46

3

4 Phương trinh Lagrăng 47

5 Phưong trình Clerõ (Clairaut) 48

Phụ lục 1 Định li vế sự tốn tại và duy nhất của nghiệm cùa phương trinh vi phán 52

Phụ lục 2 Phương pháp tính gán đúng nghiệm của phương trình vi phân • Sơ đô

chúng minh định li tòn tại và duy nhát của nghiệm của phương trinh vi phân 58

Phụ lục 3 Điếm bất thường - Nghiệm bài thường cùa phương ÍT inh vi phàn 60

Phụ lục 4 Hình bao của mật họ đương cong 66

Phụ lục 5 Quỹ đạo trục giao 72

Bài tập chuông ị 75

Chuông li Phương trình vi phân cấp cao 84

§1 Các khái niệm cơ bân cùa phương ưinh vi phân cấp cao 84

§2 Các phương trinh đơn giàn giải được bằng giám cấp 87

1 Phuưng trình không chúa hàm sô' phải tìm và các dạo hàm của nó tới cấp k - 1 87

2 Phương trinh không chứa biến số độc lập 90

3 Phương trinh có vế trái là một đạo hàm đúng 92

4 Phương trinh có vế trái là hàm số thuần nhất đối với các biến số y, y', ý1"1 94

§3 LI thuyết tống quát vé phương ừinh vi phàn tuyến tinh 95

1 Định nghĩa và kí hiệu 95

2 Sự bất biến cùa tính tuyến tính và tính thuần nhất của phương trình 96

3 Tinh tuyến tinh của toán tử L 100

4 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất 100

5 Hệ hàm số phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tinh 102

6 Nghiên cứu thêm vế hệ nghiệm ca bản 106

§4 Phương trình vi phấn tuyển tinh thuần nhất hệ sá hàng sò 109

1 Phương trinh tuyến tính thuần nhất hệ số hằng số 109

2 Các phương trinh đưa về phương trình tuyến tính hệ số hằng số (Phấn đọc thêm) 114

§5 Phương Ưình vi phân tuyên tinh không thuần nhất 118

1 Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tinh không thuần nhất 118

§6 Phương trinh vi phàn tuyển tính không thuần nhất hệ sô hảng sớ 123

Bài tập chương li 129

Chuông HI Hệ phương trình vi phân 134

§1 Nhùng khái niệm cơ bán của hệ phương trinh vi phân 134

1 Hệ phương trình vi phân 134

2 Một số ví dụ (phần đọc thêm) 136

§2 Quan hệ giũa hệ phương trình vi phân với phương trinh vi phàn cấp cao 138

1 Đưa phương trình vi phân cấp cao vé hệ phương trinh vi phân 138

2 Đưa hệ phưong trình vi phân về một phương trinh vi phân cấp cao 138

§3 Hệ phương trinh vi phân tuyến tính cấp một 144

1 Dạng vecto của hệ phương trinh vi phân tuyến tính cấp một 144

3 Nghiệm cùa hệ phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp một 147

4 Hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính 150

§4 Hệ phương trinh vi phấn tuyến tính thuần nhất cấp một hệ số hàng số í 54

§5 Hệ phương trinh vi phân tuyên tính không thuần nhất cấp mật 161

1 Nghiệm tổng quát của hệ phương trinh tuyến tinh không thuần nhất 161

Bài tập chuông HI 168

Hưởng dẫn và Đáp số bài tập 172

Chuông I 172 Chuông li 178 Chuông UI 182

5

L Ờ I N Ó I Đ Ẩ U

Cuốn sách này là tập HI trong bộ giáo trình Giải tích viết theo chương trinh CĐSP đào tạo giáo viên THCS do Bộ Giáo dục và Đào tạo ban hành năm 2004 Bộ sách gồm:

Tập I: Phép tinh vi phân và tích phân hàm số một biến số

Tập li: Phép tinh vi phân và tích phán hàm số nhiều biền số

Tập HI: Phương trinh vi phán

Theo chường trình, phương trinh vi phân có thể xem là môn học tiếp nối của Giãi tích theo nghĩa: bài toán tìm nghiệm của phương trinh vi phân thực chất là bài toán mỏ rộng tim nguyên hàm Tuy nhiên, do những ứng dụng rộng rãi trong khoa học và kĩ thuật, cùng với những vân đế mới này sinh trong lí thuyết cũng như trong thực hành, phương trinh vi phân đã phát triển mạnh mẽ trở thành một môn học riêng

Nội dung của cuốn sách trinh bày những kiến thức cơ bàn của lí thuyết phương trinh vi phân, chủ yếu tập trung vào các phương pháp giải các loại phương trinh vi phân Tuy nhiên, để sinh viên có thể bao quát được những vấn đề lởn đặt ra trong lí thuyết phường trinh vi phân và thấy được những ứng dụng to lớn của phương trinh vi phân, chúng tôi soạn thêm phẩn tham khảo để trinh bày một số vấn

đề khó của lí thuyết, ví dụ: các định lí về sự tổn tại và duy nhất của nghiệm của các phương trình vi phân, nghiệm bất thường, điểm bất thường và đưa thêm vào những bài toán thực tế rất quen thuộc trong khoa học và xã hội hiện nay dẫn tói phương trình vi phân

Nhũng phần này dành cho sinh viên tự đọc và có thể lấy làm các đề tài xêmine

Để sinh viên dễ tiếp thu, các kiến thức được trình bày theo một trinh tự hợp li, phù hợp với sự phát triển tự nhiên, dẫn dắt từ dễ đến khó; những vấn đề tương tự được trinh bày theo một cấu trúc hầu như song song Ví dụ:

- Trinh bày phương pháp hằng số biến thiên dựa trên cơ sỏ của phép đổi biến số để sinh viên thấy được việc xem các hằng số tích phân tuy ý như là các hàm số lả hoàn toàn tự nhiên, có lí

- Định nghĩa hệ nghiệm cơ bản của phưong trinh vi phân tuyến tính cấp cao và hệ phương trinh

vi phân tuyến tính không dựa trên hệ nghiệm độc lập tuyến tính mà là hệ nghiệm mà tất cả các nghiệm khác của phương trình hoặc hệ phương trinh được biểu diễn qua một tổ hợp tuyến tính cùa hệ nghiệm đó

- Phần trình bày về lí thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp một, và đặc biệt là lí thuyết phương trinh vi phân tuyến tính cấp cao và lí thuyết hệ phưong trinh vi phân tuyến tính cấp một cả vé mặt cấu trúc lẫn hình thức, thậm chí cả về ngôn từ, hầu như song song Theo ý chúng tôi chì cắn làm cho sinh viên nắm vững lí thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp cao, từ đó sinh viên có thể tự mình soi sáng lí thuyết phương trình vi phân tuyến tính cấp một và dùng làm cơ sở để tiếp thu li thuyết

hệ phương trình vi phân tuyến tính

7

Li thuyết hệ phương trình vi phân tuyến tinh là một li thuyết khó, bởi vì một nghiệm của hệ đã bao gồm n hàm số cán tim, và ta phải tìm được n nghiệm như thế độc lập tuyến tinh thi mới tim được nghiệm tống quát cùa hệ phuong trình (tức là phải tim n2 hàm số) Hi vọng với cách trinh bày ờ trên và hình thức trinh bày dưới dạng vectơ biểu diễn bằng ma trận cột sê làm giảm những khó khăn và nhấm lẫn trong quá trình tim nghiệm tổng quát này

Cuốn sách được biên soạn để phục vụ đôi tượng sinh viên

Để tăng cường tính thực hành, phát huy tính tích cực học tập của sinh viên, tác già đã cô' gắng thể hiện qua các khía cạnh sau đây:

- Khi trình bày mỗi khái niệm hoặc định lí, đều dẫn dắt từ nhiều khía cạnh và bằng nhiều ví dụ cụ thể, bằng minh hoa hình học hoặc những bài toán từ thụt tế Đặc biệt, khái niệm nghiệm cùa phuong trinh vi phân là một khái niệm phứt; tạp Trong giáo trình (đặc biệt trong phẩn phụ lục) đua rất nhiều ví dụ để phân tích các loại nghiệm của phuong trinh vi phân

- Phần lớn mỗi chương mục đều có lời mờ đầu, giới thiệu nhũng vấn đề được nghiên cứu trong chuông mục hoặc nêu lên mõi quan hệ với các vãn đề trong các chuông mục khác

- Hệ thống bài tập được soạn thảo kĩ lưỡng, phong phú, đa dạng, có đáp số và hướng dẫn và được phân loại hợp lí Tuy nhiên mỗi chương đều có những bài tập tổng hợp (chưa phân loại), để sinh viên tự nhận dạng và đề ra cách giãi các phương trinh Các bài tập yêu cáu giải theo nhiều cách

- Toàn bộ lí thuyết phương trình, hệ phương trinh vi phân tuyến tính được trình bày dưới dạng tổng quát Nhưng khi giảng dạy, theo ý chúng tôi, có thể chi cán làm cho sinh viên nắm vững lí thuyết phương trinh tuyến tính cấp hai, và hệ hai phuong trình vi phân tuyến tinh cấp một, từ đó sinh viên có thể tự suy luận sang trường hợp tổng quát

Cuốn sách sẽ là tài liệu để sinh viên sử dụng trong các xêmine như vậy

Để tránh gặp các số quá to, việc đánh số các định nghĩa, định li, ví dụ, phương trình , chi được thực hiện trong từng chương, mục và cũng chỉ làm khi cần thiết Khi trích dẫn, tác già nêu rõ chương, mục, số thứ tự các định nghĩa, định lí được nhắc đến, vi dụ định li 3 chuông li, mục 1 §2 , trừ trường hợp chúng nằm ngay trong chuông mục đang xét

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn GS TSKH Nguyễn Thừa Hợp và GS TS Vũ Tuấn đã đọc và góp nhiều ý kiến sáu sắc cho giáo trình này

Việc viết sách thể hiện tinh thắn đổi mới trong học tập còn mới mẻ và nhiều khó khàn Tác già mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các nhà khoa học, các thầy, cô giáo trực tiếp giảng dạy

và các sinh viên trực tiếp học tập theo giáo trình này

Tác giả

C H Ư Ơ N G I

P H Ư Ơ N G T R Ì N H V I P H Â N C Á P M Ộ T

•

§1 Mỏ ĐẦU

1 Sơ lược về phương trình vi phân

Trong thực tế, khi nghiên cứu các quy luật của các hiện tượng tự nhiên và xã hội, thông thường ta không tìm ngay được mối liên hệ giữa các đại lượng đang xét, nhưng lại có thể thiết lập được mối liên hệ giữa các đại lượng ấy cùng với các đạo hàm hoặc vi phân của chúng Như vậy ta nhận được các phương trình có chứa các hàm số chưa biết và các đạo

hàm hoặc vi phân của chúng Các phương trình đó gọi là phương trình vi phân Các hàm số thoa mãn phương trình vi phân gọi là nghiệm của phương trình vi phân Việc tìm các nghiệm của phương trình vi phân gọi là giải phương trình vi phân (các nghiệm đó thường tìm được qua tích phân nên còn gọi là lích phân phương trình vi phân)

Phương trình vi phân đơn giản nhất có dạng:

y' = f(x) trong đó f(x) là một hàm số cùa biến số X, y là hàm số chua biết thoa mãn phương Mình Sau đây là một số phương trình vi phân thường gặp, xuất phát từ các bài toán trong thực tế: Ì) Phương trình chuyển động của chất điểm:

ms" (t) = F[t, sít), s' (t)]

trong đó t là thời gian chuyển động

s(t) là quãng đường đi được của chất điểm tại thời điểm t

m là khối lượng của chất điểm

s' (t) là vận tóc của chuyển động

s" (t) là gia tốc của chuyển động

F là một hàm số của các biến số t, s, s' biểu thị lực tác dụng

Đặc biệt, phương trình chuyển động cùa một vật roi là

s"(t) = -g, trong đó g là gia tốc trọng trường

2) Phương trình dao động tự do của con lắc:

§ + Ịsine = 0,

dt2 /

9

trong đó t là thòi gian của dao động

g là gia tốc trọng trường / là độ dài cùa con lắc 9(t) là góc lệch của con lắc tại thời điểm t so với phương thẳng đứng 3) Phương trình điện lượng của một dòng điện trong mạch đơn:

L ậ + R ^ + I Q = E ( t ),

dt2 dt c trong đó t là thời gian

Q(t) là điện lượng trong tụ điện tại thời điểm t E(t) là hiệu số điện thế của dòng điện

L là tụ cảm

R là điện trở

c là điện dung 4) Phương trình phân huy của chất phóng xạ:

dí

trong đó t là thòi gian

R(t) là lượng chất phóng xạ tại thời điểm t

k là hệ số phóng xạ 5) Phương trình truyền nhiệt trong một dây dẫn:

ổu(x, t) 2 ổ2u(x, t)

——— = <x ^ — ,

trong đó t là thời gian truyền nhiệt

X là vị trí của một điểm thuộc dây dẫn (đặt trên một trục số) u(x, t) là nhiệt độ của dây dẫn tại thời điểm t và tại vị trí X

oe là hệ số truyền nhiệt

6) Phương trình truyền sóng (chẳng hạn trên một dây đàn)

a2u(x, t) 2 a2u(x, t) , = a 7 •

trong đó t là thời gian truyền sóng

X là vị trí của điểm nhận sóng truyền tới u(x, t) là độ lệch của dây so với vị trí thăng bằng tại thời điểm t và tại

vị trí X

7) Phương trình thế năng:

a2u(x, y) | d2u(x, y) ^0

trong đó (x, y) là toa độ của điểm

u(x, y) là thế năng tại điểm đó

Trong các phương trình vi phân trên, hàm số cần tìm có thể phụ thuộc một biên số hay nhiều biến số Nếu trong một phương trình vi phàn, hàm số cẩn tìm là hàm số của một biến

số độc lập thì phương trình đó gọi là phương trình vi phán thường Còn nếu phương trình chứa hàm số cần tìm là hàm số của nhiều biến số độc lập thì gọi nó là phương trình đạo

hàm riêng Phương trình đạo hàm riêng (thường được gọi là phương trình toán lí) cũng đã

phát triển thành một môn học riêng, không thuộc phạm vi cùa cuốn sách này Phương trình

vi phân có thể viết dưới dạng đạo hàm (như các phương trình ờ trên) hoặc dưới dạng vi

phân, ví dụ:

(x + y)dx + (x - y)dy = 0, hoặc xdx + ydy + z(x, y)dz(x, y) = 0

Cấp cùa mội phương trình vi phân là cấp cao nhất cùa đạo hàm (hoặc vi phàn) cùa

hàm số chưa biết tham gia trong phương trình Trong các ví dụ ờ trên, ví dụ 4 là phương

trình vi phân cấp một, các ví dụ còn lại đều là phương trình vi phân cấp hai

2 Các bài toán cơ bản của lí thuyết phướng trinh vi phân

Bài toán cơ bản cùa lí thuyết phương trình vi phân là tìm nghiệm cùa một phương trình

vi phân đã cho và nghiên cứu các tính chất của nghiệm đó Có ba vấn đề cơ bản sau đây đật

ra cho việc tìm nghiệm cùa một phương trình vi phân đã cho:

a Sự lốn tại của nghiệm

Ngay trong bài toán tìm nguyên hàm - bài toán đơn giản nhất cùa phương trình vi

phân - cũng đã phải xét sự tổn tại cùa nghiệm (nguyên hàm) Ví dụ, trong giải tích ta đã

biết, nếu hàm số f(x) liên tục thì phương trình

y' = im

có các nghiệm là các nguyên hàm cùa hàm số f(x)

Nhưng nêu các phương trình có dạng rộng hơn, chang hạn

y' = f(x, y) thì với điều kiện nào cùa hàm số f, phương trình sẽ có nghiệm?

Mặt khác qua đây ta nhận thấy, nghiệm cùa phương trình vi phân thường nhận được

l i

thông qua một hoặc nhiều lần tích phân Các nghiệm tìm được bằng con đường tích phân

còn gọi là nghiệm giải được bằng cẩu phương Cẩn chú ý rằng dù phương trình vi phàn cho

nghiệm dưới dạng một tích phân không thể biểu diễn được dưới dạng hàm số sơ cấp (ví dụ í^-í-dx ) thì phương trình đó vẫn được gọi là giải được bằng cầu phương

J X

Tuy nhiên cẩn chú ý là ngoài những nghiệm giải được bằng cầu phương, phương trình

vi phân vẫn có thể có những nghiệm tìm được không bằng con đường cầu phương Ví dụ,

rõ ràng phương trình

dx-(x-l)dy = 0 ngoài nghiệm tìm được bằng cầu phương y = In IX - 11 + c còn có nghiệm X = Ì (vì chúng thoa mãn phương trình vi phân) nhưng không nhận được bằng cẩu phương

6 Sự duy nhất của nghiệm

Như trên đã thấy, một phương trình vi phân thường có rất nhiều nghiệm Nhưng nếu ta cho thêm một điều kiện phụ thì phương trình có thể chỉ có một nghiêm duy nhất thoa mãn điều kiện phụ dó Chẳng hạn, phương trình

Ỷ = 2x,

có các nghiệm

y(x) = X2 + c, trong đó c là một hằng số tuy ý

Nhưng nếu ta buộc thêm điều kiện:

tại X = 2 ta có y(2) = 3, thì ngay lập tức giá trị của hằng số c được xác định:

3 = 22 + C hay c = - Ì,

do đó ta chỉ có một nghiệm duy nhất

y = X2 - Ì, thoa mãn điều kiện đã cho Điều kiện đó gọi là điều kiện đẩu

Cũng như trên, vấn đề đặt ra là, với những phương trình có dạng tổng quát hơn, chẳng hạn

y' = f(x, y), thì hàm số f phải thoa mãn các điều kiện nào để nghiệm ứng với các điều kiện tương tự cho trước là duy nhắt?

c Phương pháp giải một phương trình vi phân

Do tính phức tạp và đa dạng của phương trình vi phân, không có một cách giải tổng quát nào áp dụng cho tất cả các phương trình vi phân Vì thế người ta phải phân loại các phương trình vi phân và tìm cách giải riêng cho từng loại

Ví dụ loại phương trình vi phân đơn giản nhất

Ý = f(x),

có thể giải được bằng con đường đơn giản: tìm nguyên hàm Trong giáo trình ta sẽ đưa ra

dẩn dẩn các dạng cùa phương trình vi phân và cách giải của từng dạng Đó cũng là trọng

tâm của giáo trình này

Ngoài ra, đi sâu thêm vào lí thuyết phương trình vi phân, còn đặt ra nhiều vấn đề

nghiên cứu các tính chất cùa nghiệm Chẳng hạn:

• Khoảng xác định của nghiệm

Ví dụ cho phương trình

thì nghiệm y = y(x) của nó (nếu có) có được xác định trẽn toàn đoạn [a, p] không? Qua

định lí tồn tại của nghiệm la sẽ thấy nghiệm đó chi chắc chắn xác định trẽn một khoảng

chứa trong đoạn [oe, P), mà khoảng đó lại rít khó xác định trong thực hành

» Sự phụ thuộc liên tục cửa nghiệm vào điêu kiện dấu

Như trên đã nói, ứng với một điều kiện đầu dã cho, ta có thể xác định một nghiệm duy

nhất của phương trình'*' Vấn để là nếu thay đổi điều kiện đẩu thì các nghiệm tương ứng

quan hệ với nhau như thí nào? Có thể chứng minh được rằng, trong một số điều kiện nhất

định, nghiệm y = y(x, Xo, y0) phụ thuộc liên tục vào điều kiện đẩu Xo, y0

'Sựphụ thuộc liên tục cùa nghiệm vào tham số

Rõ ràng nghiệm của phương trình

Cũng có thể chứng minh được rằng, trong một số điểu kiện nhất định của hàm số f,

nghiệm đó phụ thuộc liên tục vào X

'Tính khả vi của nghiệm

Có thể chứng minh rằng:

Nếu trong lân cận của điểm (x„, y0) hàm số f(x, y) có đạo hàm liên tục đến cấp k thì

nghiệm y(x) thoa mãn điều kiện đầu (Xo, y0) của phương trình

'*' Như vậy, nghiệm đó phụ thuộc vào điều kiên đáu và có thê viết dưới dạng y = y(x x,„ y„)

y' = f(x, y), trong đó hàm số f(x, y) xác định trẽn hình chữ nhật D

ý' = f(x, y, Xì, trong đó X e ì c R là một tham số, cũng phụ thuộc tham số X:

y = y(x, X)

13

y' = f(x, y)

có đạo hàm liên tục đến cấp k + Ì trong một lân cận của điểm X,,

Và còn rất nhiều vấn để khác nữa

Tuy nhiên, việc nghiên cứu các tính chất của nghiệm của một phương trình vi phán

xuất phát từ các dữ kiện đã cho trong phương trình là một bài toán khó và, do hạn chế cùa

chương trình, không được xét đến trong giáo trình này

§2 MỘT SÔ BÀI TOÁN DAN TỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

(PHẦN ĐỌC THÊM) Trong mục này ta đưa ra một sô bài toán thuộc các lĩnh vực khác nhau dẩn tới phương

trình vi phân Qua đó bạn đọc thây được những ứng dụng rộng rãi cùa phương trình vi phân

và thấy được cách thiết lặp phương trình vi phân xuất phát từ các bài toán thực tế Thòng

thường người ta dựa vào các định luật đã được xác lập qua thực nghiệm

1 Bài toán vật rơi tự do dưới tác dụng của trọng lực

Giả sử một vật có khối lượng m, đặt ờ độ cao h và được thà để rơi tự do trong không

gian dưới tác dụng của trọng lực Hãy tìm quy luật cùa chuyển động rơi

Theo định luật Niutơn (Isaac Nevvton, 1642 - 1727), chuyển động cùa một chất điểm

có khôi lượng m dưới tác dụng của lực F tuân theo phương trình

mw = F, (Ì) trong đó w là gia tốc của chuyển động

d2s Trong trường hợp này, w = —f, trong đó s(t) là độ cao của vật rơi tai thời điềm t và

dt lực tác dụng F là tổng của các lực:

- Trọng lực hướng từ trên xuống dưới có độ lớn mg, trong đó g là gia tốc trọng trường

- Lực càn của không khí hướng từ dưới lên trên; lực này, theo thực nghiệm, ti lệ với

_ d:s , ds

m—Ỷ = -mg + k—- (3)

Nếu không tính tới lực cản của không khí (tức là xét

chuyển động rơi trong điều kiện lí tưởng: rơi trong chân

không) thì phương trình chuyển động sẽ là

— = -g (4)

ơ đây ta thấy quy luật chuyển động không còn phụ

thuộc khối lượng cùa vật

Trong điều kiện này nêu đật vật ở độ cao lOOm Hãy tính

xem sau bao lâu vật rơi tới đất

s(0) = g.o + c = 100 hay c = 100

Vậy sít) = -—gt2 + 100

Khi s = 0 thì vật rơi tới đất; vậy thời gian vật rơi tới đất được tính từ phương trình:

0 = Ì gt2 + 100 hay t = * 4,52 giây

2 Bài toán nước chảy qua một cái phễu

Già sử có một cái phều đựng đầy nước, chiều cao lOcm, góc đáy là 60" và lỗ đáy có

diện tích 0,5cm2, lúc đầu đóng nắp lỗ đáy Tìm quy luật nước chảy khi mờ nắp lỗ đáy

Trong thời gian bao lâu thì nước trong phều chảy hết?

15

Theo quy luật thúy lực, nước chảy tự do từ một lỗ hổng nằm ờ độ sâu h (so với mưc nước trên bề mặt) có vận tốc là:

v = 0,6,/2gh (cm/s), trong đó g là gia tốc trọng trường

Gọi h(t) là độ cao của mực nước trong phễu tại thời

điểm t Vân tốc nước chảy qua lỗ đáy thay đổi theo h, nhưng

trong quãng thời gian khá bé dt có thể xem như không đổi

Ta hãy tính thể tích nước chảy ra khỏi phễu trong khoảng

thời gian từ thời điểm t đến t + dt theo hai cách:

- Lượng nước chảy qua lỗ đáy theo vận tốc V trong thời

gian đó Trong thời gian này dòng nước chuyển động được

một độ dài là vdt và ta xem lượng nước chảy qua lỗ đáy tạo

thành một cột nước hình trụ có chiều cao là vdt và diện tích

đáy là 0,5cm2, do đó, có thể tích là

V, = 0,5vdt = 0,3^gĩĩdt

- Lượng nước rút trong phễu một độ cao dh trong

khoảng thời gian dt Có thể xem lượng nước đó có thể tích là

thể tích của một hình trụ có chiều cao là dh, bán kính đáy ĩ (xem hình vẽ) là bán kính của

mặt bằng của mực nước tại độ cao h Theo các dữ kiện đã cho, bán kính đó là:

lĩ,

r = htg30° = — h Vậy thể tích nước rút đi trong phễu là

Ì

= TtrMh = ;-7thzdh Đương nhiên lượng nước rút đi trong phễu và lượng nước chảy ra qua lỗ đáy phải cân bằng với nhau:

độ cao h cùa mực nước trong phễu Dê dàng tìm được nghiệm của phương trình vi phân

3 Bài toán tính lãi chống (lãi gộp) của ngân hàng

Thông thường các ngân hàng có luật tính lãi như sau Giả sử có một số tiền nào đó gùi

ngân hàng theo một kì hạn nhất định Hết thời hạn đó, nếu còn tiếp tục gửi thì số lãi hường

trong kì hạn trước được gộp vào vốn và tiền lãi trong kì hạn sau được tính theo vốn mới

Tiền lãi được tính theo cách đó gọi là lãi chồng (hoặc lãi gộp) Vấn đề là cẩn phải tính tiền

vốn sau mỗi kì hạn gửi

Giả sử có số tiền gửi lúc đầu là So theo tỉ lệ lãi hàng năm là 6% Gọi S(t) là tiên vốn

sau thời gian t năm được hưởng lãi chồng Nếu lãi chổng tính theo kì hạn hàng năm thì sau

t năm tiền vốn trở thành:

S(t) = So(l +0,06)' (1) Nếu tính lãi chồng theo kì hạn hai lẩn trong một năm thì

\2l Sít) = s„ 1 + 0,06 1 + 0,06 = s„ 1 + 0,06 (2)

Tổng quát, nếu tính lãi chổng k lẩn trong một năm thì

0,06^

Vấn đề đặt ra là nếu tính lãi chồng liên tục thì số vốn sau thời gian t là bao nhiêu? Ở

17

đây ta phải sử dụng phương pháp vi phân: tìm quan hệ phụ thuộc giữa sự biến dổi (rất nhò)

AS của tiền vốn trong khoảng thời gian Át rất nhò Trong khoảng thời gian này có thể xem tiền vốn S(t) không đổi Khi đó rõ ràng tiền lãi AS tì lệ với lãi suất, tiền vón và thời gian do

Đó chính là quỵ luật tăng trưởng của vốn khi tính lãi chồng liên tục

Dễ dàng thấy được nghiệm cùa phương trình vi phân này là

Sự) = Ce0061, trong đó c là một hằng số

Vì lúc đẩu (tức là tại thời điểm t = 0) số vốn là So, nén ta có:

S(I liên tục

s

So

Năm

Từng quý (k = 4)

Từng ngày (k = 365)

Liên tục (k-•<*))

Qua đó ta thấy: tần suất tính lãi không đem lại nhiều hiệu quả (vì tỉ lệ lãi chênh

nhau rất ít), lãi chổng liên tục gắn như trùng với lãi chồng từng ngày Hiệu quả cho vay

lãi sẽ tốt hơn nếu có số vốn lớn hơn hoặc lãi suất cao hơn

§3 NHỮNG KHÁI NIỆM c ơ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT

1 Những khái niệm cơ bản

Phương trình vi phân cấp mội là một phương trình liên hệ giữa hàm số cẩn tìm và đạo

hàm của nó với biến số độc lập của hàm số Nó có dạng tổng quát

F(x,y,y') = 0 (1) trọng đó F là hàm số của ba biến số Thông thường hàm số F được giả thiết là liên tục Đặc

biệt hàm số đó có thể không phụ thuộc X hoặc y, nhưng nhất thiết phải chứa y'

Nếu phương trình (1) xác định ý' như là hàm số ẩn'*1 cùa các biến số X, y thì nó có thế

viết dưới dạng:

ý' = f(x, y) (2)

và gọi là phương trình đã giải ra đạo hàm Đặc biệt hàm số này có thể chỉ chứa một trong

hai biến số X, y Để đơn giản, trong các vấn đề về lí thuyết, ta chỉ nói tới phương trình (2),

nghiệm cùa phương trình vi phán (2) là một hàm số y = y(x) có đạo hàm và thoa mãn

phương trình, tức là:

y'(x) = f(x, y(x)) Thông thường, nghiệm của phương trình tìm được dưới dạng hàm số ẩn <p(x, y) = 0 và

gọi là tích phân cùa phương trình

(*) Như đã biết:

Nếu (rong một lân cận của điểm (x0, y„, y'„) hàm số F xác dinh và liên tục cùng với các đạo hàm

riêng của nó và thoa mãn các điểu kiện:

F(x„, ¥» y'o) = 0,

và F'y.(x0, y„, y'„) * 0

thì phương trình (Ì) xác định một hàm số (2) liên tục trong một lân cận của điếm (x„, y0) và

Sự tổn tại và duy nhất cùa nghiệm được giới thiệu qua định lí sau đây Trong phẩn phụ

lục ì sẽ phân tích kĩ thêm vé định lí này

Định lí vé sụ tồn tại và duy nhất cùa nghiệm của phương trình vi phân cấp một

Giả sử cho phương trình vi phân cấp một (đã giải ra đạo hàm)

-trên một đoạn nào đó [x„ - h, X(1 + h] c [a, (3] thoa mãn điểu kiện

y = y„ khi X = Xo (3)

Điều kiện (3) gọi là điểu kiện đàu và còn được viết dưới các dạng:

y(x„) = y„ hay y|5(i =y0

Nghiệm thoa mãn điều kiện đẩu gọi là nghiệm riêng của phương trình

Về ý nghĩa hình học, cho một điều kiện đầu tức là cho một điếm xác định trên mặt

phảng toa độ xOy Do đó nghiệm riêng của phương trình là nghiêm mà đồ thị của nó đi

qua điểm đã cho Đồ thị của nghiệm gọi là đường cong lích phán

Bài toán tìm nghiệm của phương trình vi phân thoa mãn một điều kiện đầu gọi là bài

toán đâu hay bài toán Côsi

Qua định lí ta thấy, một phương trình vi phân thường có rất nhiều nghiệm Các

nghiệm đó phụ thuộc một hằng số tuy ý c = y„ là giá trị cùa hàm số tại một điểm Xo nào

đó Điều đó cũng dễ thấy khi ta giải, chẳng hạn, phương trình vi phân đơn giản nhất (với

»11 Nghiệm cùa phương trình này cũng còn được xác định qua nguyên hàm

y = (p(x,C)= Jf(x)dx + C (4)

trong đó c là một hằng số tuy ý Trong trường hợp này, nếu muốn xác định nghiệm

riêng thoa mãn diều kiện đẩu y(x„) = y„ thì ta phải tìm giá trị cùa hằng số c thoa mãn

phương trình:

y„ = cp(x,„ C) (5) Như vậy nghiệm của một phương trình vi phân (cấp một) là một họ hàm số phụ thuộc

một hằng số tuy ý c và gọi là nghiệm lổng quát:

y = <p(x, C) (4') Tuy nhiên trong thực hành nghiệm đó thường tìm được dưới dạng ẩn:

<p(x, y, C) = 0 (6)

Để phân biệt người ta còn gọi (6) là tích phán lổng quái của phương trình

Từ tích phân tổng quát của phương trình, muốn tìm nghiệm riêng thoa mãn điều kiện

đầu y(X(i) = y„ ta phải tìm giá trị của hằng số c từ phương trình:

<p(x„, y,„ C) = 0 Nghiệm lổng quát cùa phương trình vi phân thường tìm dược bằng con dường tích

phân (cầu phương) Tuy nhiên cần chú ý rạng ngoài nghiệm tổng quát, phương trình vi

phân còn có thể có nghiệm tìm dược không bằng con dường tích phân (xem ví dụ 4 dưới

đây, ví dụ 2 trong 2 §4 và đặc biệt trong phụ lục về nghiệm bất thường)

V +1 Với điếu kiện đầu y(0) = Ì la xác định được Co = Ì

Do dó nghiệm riêng úng với diều kiện đầu ở trên là:

y= lnVx2 +7 + 1

Ví dụ 2

Tìm nghiệm của phương trình:

xdx + ydy = 0

Giả sử y = y(x) là nghiệm của phương trình, ta có:

xdx + ydy = xdx +y(x)y'(x)dx = [x + y(x)y'(x)]dx = 0

21

Từ đó: |[x + y(x)y'(x)]dx= Jxdx+ Jydy = x2 +y2 = c

Ta nhận thấy ờ đây c phải là hằng số dương nên có thể thay bằng c = a2

ở đây ta nhận được nghiệm tổng quát cùa phương trình dưới dạng ẩn của y

Trong trường hợp này dễ dàng giải ra y:

Cũng giải bằng cách trên ta được tích phân tổng quát:

Ịsinxdx + |ye>dy = -cosx + (y - l)ey = c

fdx+ f-=-dy = x - - = C'

' V y

Ngoài ra ta còn có nghiệm y = 0, vì nó cũng thoa mãn phương trình vi phân

2 Ý nghĩa hình học của phướng trình vi phân cấp một: Hướng trường

Phương trình vi phân y' = f(x, y) thiết lập sự phụ thuộc giữa toa đô một điểm và hệ số góc của tiếp tuyến của đường cong tích phàn tại điểm đó Do đó nó xấc định một trường

các hướng - gọi là hướng trường và bài toán tích phân phương trình vi phân trờ thành: tìm

các đường cong mà hướng cùa tiếp tuyến cùa chúng tại mỗi điểm là trùng với hướng cùa trường đó Cách tiếp cận đó giúp ta một phương pháp tìm gần đúng đường cong tích phân

Ví dụi

Cho phương trình

Tại mỗi điểm (x, y) * (0, 0), hệ số góc

của tiếp tuyến cùa dường cong tích phân cẩn

y

tìm là —, tức là trùng với hướng của đường

X

thẳng xuất phát từ gốc toa độ đến điểm (x, y)

(hình 3) Như vậy rõ ràng các đường cong

tích phân nằm trong họ các đường thẳng

ta nhận thấy: tại mỗi điểm (x, y) * (0, 0), tích

số của hệ số góc cùa tiếp tuyến của đường

cong tích phân cùa phương trình này (bằng

trường xác định bởi các phương trình vi phân

này là trực giao vói nhau (hình 4)

Từ đó suy ra các đường tròn có tâm tại

tiếp tuyên của đường cong tích phân của phương trình này có hướng khổng đổi với hệ số

góc là một hằng số dương k2 Các đường tròn đó gọi là đường đẳng hướng (hoặc đẳng tài

Từ đó có thể vẽ gần đúng các đường cong tích phân cần tìm

Ngoài ra, trên cơ sở phác thảo của các đường cong tích phân ta có thê* đoán nhận một

số tính chất của chúng

3 Bài toán ngược của bài toán tích phân phương trình vi phân

Ta đã biết nghiệm của một phương trình vi phân thường được biếu diễn dưới dạng (6)

Phương trình này biểu diên một họ đường cong phụ thuộc một tham số

Vấn đề ỏ đây đặt ra là:

Cho một họ đường cong phụ thuộc một tham số là hàng số C:

cp(x, y, C) = 0 (6) Hãy tìm một phương trình vi phân biểu diên họ đường cong này, tức là nhận họ đường

cong này làm nghiệm tổng quát

Giả sử phương trình (6) xác định y là một hàm số ẩn cùa X Đạo hàm (6) theo X ta được:

— + — y = 0 (7)

ổx ổy

Ta đã biết: với điều kiện trong một lân cận nào đó của điểm (Xo, y0, Ca), phương trình

(6) đươc thoa mãn và — (x,), y„, Q,) * 0 thì phương trình (6) xác đinh c như mót hàm số

se

ẩn cùa X, y:

C = M/(x,y) (8) Thay c ở (8) vào (7), tức là khử c từ hai phương trình (6) và (7) ta nhận được một

phương trình vi phân Đó là phương trình vi phân cần tìm

Ví dụi

) Cho họ đường thảng:

y = Cx Đạo hàm theo X, ta được:

y' = c Thay vào phương trình trên ta được phương trình vi phân của họ đường thẳng trên:

y = ý' X (So sánh với ví dụ Ì ở mục trên)

Ví dụ 2

Cho họ đường tròn

X2 + y2 = c2

Đạo hàm theo X, ta được:

2x + 2yy' = 0 hoặc X + yy' = 0

Ở đây hằng số c bị khử ngay từ khi lấy đạo hàm Phương trình cuối cùng là phương

trình vi phân của họ đường tròn (so sánh với ví dụ 2 ở mục trên)

§4 CÁCH GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN cơ BẢN

ì Phướng trình giải dược đối vãi dạo hàm

Dạng tổng quát của loại phương trình này là

^ = f ( x , y ) (1)

dx

Ta lần lượt đưa ra cách giải qua các trường hạp

25

a Phương trình dạng — = f(x), tức là hàm số ờ vế phải không phụ thuộc y, và cũng là

phương trình vi phân đơn giản nhất

Ta đã biết, với giả thiết f(x) là hàm số liên tục, chẳng hạn trong (a, b) thì phương trình

có nghiệm tổng quát là

y= Jf(x)dx + C trong đó c là một hằng số tuy ý Trong trường hợp này, biểu thức trẽn chứa tất cả các nghiệm của phương trình, và tất cả các nghiệm đó đều là hàm số xác định, liên tục, khả vi

Tương tự như trẽn, ờ đây thường giả thiết hàm số f(y) liên tục, chẳng hạn, trong (a, b)

Để tìm nghiệm y = y(x) cùa phương ưình ta giả thiết hàm số y(x) có hàm số ngược

X = x(y) Khi đó phương trình được đưa về dạng trên:

dx _ Ị

dy ~ f(y)' Tuy nhiên ỏ đây hàm số ở vế phải mất tính liên tục tại các điểm làm triệt tiêu hàm số

f(y) Vì thế trước hết ta xét trường hợp khi f(y) * 0 trong một khoảng nào đó Khi đó

nghiệm của phương trình là:

X = Ị-^- + c hoặc X = x0 +

Như vậy có thể xem như nghiệm tổng quát cùa phương trinh được cho dưới dạng ấn

Tuy nhiên phải chú ý rằng với các giá trị y0 làm triệt tiêu hàm số f(y), tức là nghiệm của phương trình f(y) = 0, hàm hằng y = yn cũng thoa mãn phương trình vi phân đã cho Do

đó ngoài nghiệm tổng quát trên, phương trình còn có nghiệm y = y„

c Phương trinh giải được ra đạo hàm

Ta biết phương trình vi phân cấp ì tổng quát rất khó (vé mặt thực hành) giải ra đạo hàm Tuy nhiên cũng có phương trình dẻ dàng giải được ra đạo hàm Ta hãy lấy một ví dụ

để biện luận thêm về nghiệm cùa phương trình

Phương trình thứ hai xác định một họ đường cong

là nhánh dưới cùa parabol bán cubic, nhận dược từ

2 đường cong y = - — X2 tịnh tiến theo trục y Nếu

-gộp hai họ đường cong đó trên một mặt phang toa

độ ta được hình 6

Như vậy, qua mỗi điểm cùa nửa mặt phảng

X > 0 có và chỉ có một nghiệm cùa mỗi phương

trình đã giải ra đạo hàm Nhưng qua mỗi điểm cũng trong nửa mặt phang đó có hai đường cong tích phân của phương trinh đã cho Mỗi đường cong tích phân đó là cả một parabol bán cubia

y = <p.(x) = Vc2-X2

2 với a < X < c

trong đó a là một số tuy ý Hình lì), b), c) biểu diên đổ thị của các hàm số này

b) c) Hinh 7

Tuy nhiên chỉ có hai hàm số dầu [à nghiệm của phương trình vi phân trẽn toàn đoạn

[-C, c] Nếu cho điều kiện đầu chẳng hạn y(0) = 2 thì nghiệm riêng phải rút ra từ hàm số

thứ nhất Trái lại nếu cho điều kiện đầu là y(0) = - 2 thì nghiệm riêng được rút ra từ hàm

số thứ hai Các hàm sổ y = ip,(x) không phải là nghiệm cùa phương trình vi phân trên

[-C, c] vì không liên tục tại điểm X = a, và do đó không có đạo hàm tại điểm này Tuy

nhiên nó là nghiệm cùa phương trình trong một khoảng nào đó không chứa điểm X = a

2 Phương trình vi phân với các biến số phân li

Phương trình vi phân với các biến số phân li (gọi tất là phương trình phân li biến số)

M(x)dx + N(y(x))y' (x)dx = [M(x) + N(y(x))y' (x)]dx B 0

Từ đó:

J[M(X) + N(y(x))y'(x)]dx= |M(x)dx+ |N(y(x))y'(x)dx = C Bằng phép đổi biến số y = y(x) tích phân thứ hai trở thành

jN(y(x))y'(x)dx= jN(y)dy

Do dó tích phân tổng quát của (2) là:

jM(x)dx+ jN(y)dy = C (xem lại cách giải các phương trình trong các ví dụ 2, 3, 4 mục Ì §3)

29

Nếu cho điều kiện đầu y(Xo) = y„ thì có thể tìm nghiệm riêng dưới dạng

X y jM(x)dx+ jN(y)dy = 0

nõ Ki Phương trình (Ì) có thể đưa vé dạng (2) bằng cách chia cả hai vế cho tích N|(y) M2(x) với điều kiện tích đó khác 0:

^ > d x + M d y = 0

M2(x) N,(y) Bây giờ giả sử Xo, y0 là nghiệm của các phương trình M2(x) = 0 và N|(y) = 0 Ta thấy các hàm hằng X = Xo và y = y0 cũng thoa mãn phương trình (1), do đó cũng là nghiệm cùa phương trình

Vì thê cần chú ý rằng bằng cách trẽn, có thể làm mất một số nghiệm của phương trình làm triệt tiêu các thừa số M2(x) và N|(y)

lnịx2 - l | + ln|y2 - l | = ln|c|

Khi (x2 - Ì Ky2 - 1) = 0, ta thấy các nghiệm đại số cùa phương trình này

(*) Thực chất ớ dãy c, chì là một hằng sô tuy ý, cho nên ta có thê thay bằng mội biếu thức thích hóp Dưới đây ta thực hiện diều này trong các trường hợp cán thiết mà không giai thích

x = ± Ì, y = ± Ì, cũng thoa mãn phương trình vi phân đã cho, do đó cũng là nghiệm của phương trình vi

phân Các nghiệm này không nằm trong tích phân tổng quát ờ trẽn Tuy nhiên có thể gộp

các nghiệm này vào tích phân tổng quát dưới dạng đã mũ hoa (ứng với c = 0)

(X2- l)(y2- l) = c Dưới đây ta sẽ xét các phương trình có thể đưa về phân li biến số, nói chung, bằng

phương pháp đổi biến số Từ nay ta thường chi chú ý đến việc tìm tích phân tổng quát của

phương trình, bạn đọc tự tìm lấy các nghiệm đặc biệt

3 Phương trình dạng

ậ! = f(ax + by), (1)

dx trong đó a, b là các hằng số

Bằng phép đổi biến số

z = ax + by, xem z là hàm số mới của X, ta được:

dx dx Với giả thiết a + bf(z) * 0, ta được:

do đó có nghiệm tổng quát là

y = - - X + c

b Nếu với Zo, a + bf(Zo) = 0 thì z = z,, cũng là nghiệm cùa (2), do đó (1) còn có nghiệm

ax + by = Zfl

31

Hàm số thuần nhất đối với X, y là hàm số thoa mãn đổng nhất thức

f(tx, ty) = f(x, y) với mọi X, y, t

y

u = — hay y = xu,

X coi u là hàm số mới của biến số X, ta được:

Tích phân phương trình, ta dược:

Nếu u„ là một nghiêm của phương trình F(u) - u = 0 thì ngoài nghiệm (5), phương

trình (4) còn có nghiệm u = Un, tức là phương trình (2) còn có nghiệm y = u„x

Ví dụ

áy 2xy

Cho phương trình thuần nhất: — =

dx X -y Bằng cách thay biến số y = ux ta được

Nếu c = r = 0, thì phương trình (Ì) là thuần nhất, ta đã có cách giải ở trên

Với c và r bất kì, ta có thể chuyển (Ì) về phương trình thuần nhất bằng phép biến đổi:

X = X + Xo, y = Y + y„ (2)

33

Về mặt hình học, điều đó có nghĩa là chuyển hệ trục toa độ về điểm gốc mới (Xo, y0

trình (1) trở thành phương trình thuần nhất:

dY _ J aX + bYÌ

dX VpX + qY Trường hợp hệ phương trình (3) không có nghiệm (tức là hai đường thẳng trên song

phương trình:

j x - y + l = 0 Ịx+y-3=0

ta được Xo = Ì, y0 = 2 Từ đó thực hiện phép đổi biến số:

x = X + l , y = Y + 2

ta được

dY _ X - Y ^1 X

dX X + Y 1 + Y

X

Y Thúc hiên tiếp phép đổi biến số z = — hay Y = zx, ta được:

X

„ vd Z _ l - Z , (Ị + Z)dZ _dX

Z + X — = - hay :—-—7= „ •

dX l + z 1-2Z-Z2 X Tích phân phương trình ta được:

- - lnỉl - 2Z - z21 = lnlxị - - lnlcl,

Thay z, rồi thay tiếp X, Y bằng công thức biến đổi của nó ta được

X2 -2xy-y2 +2x + 6y = c

6 Phương trình dưới dạng vi phân toàn phẩn

a Phương trình dưới dạng vi phân toàn phần là phương trình có dạng

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 trong đó vế trái là vi phân toàn phần của một hàm số u(x, y) nào đó:

du(x, y) = M(x, y)dx + N(x, y)dy Khi đó phương trình có dạng:

du(x, y) = 0 Nếu y = y(x) là nghiệm của phương trình thì ta có

du(x, y(x)) = 0,

do đó ta được tích phân tổng quát của phương trình là

u(x, y) = c Nếu cho điều kiện đầu y(Xo) = y0 thì nghiệm riêng có dạng:

u(x, y) = u(Xo, y0)

Ta đã biết, điều kiện cần và đủ dể vế trái của (1) là một vi phân toàn phần

5M(X, y) = aN(x, y)

dy ổx Trong giải tích ta cũng biết hai cách tính hàm số u(x, y)

Tích phân phương trình thứ nhất ta được:

u(x, y) = jM(x, y)dx + C(y) Khi tích phân theo X, y được xem như hằng số, vậy hằng số tích phàn phải phụ thuộc

vào y Để xác định C(y) ta lấy đạo hàm của hàm số tìm được theo y rồi thay vào phương

trình thứ hai của (6):

ổ

ây (JM(X, y)dx) + c '(ý) =N(x,y)

Từ dây tìm được C(y), rồi tìm C(y)

Cách 2

Với giả thiết đã cho, hàm số u(x, y) được tính qua một tích phân đường:

u(x, y) = ị M(x, y)đx + N(x, y)dy

Vì tích phân đường này không phụ thuộc đường cong lấy tích phân, nên, để thuận lợi

ta thường chọn một trong hai con đường như hình vẽ 8 Tương ứng với từng con đường a)

và b), tích phân đường (7) được biểu diễn qua các tích phân xác định như sau:

Vậy u(x,y)= —+ i - i - + C(y),

— = x2y + C(y) = x2y + Ỷ hay C(y) = y\

ổy

y 4

Do đó chon C(y) = —

4 Thay C(y) vào u(x, y) vừa tinh được, ta có:

X4 x2y2 y4

u(x, y)= v + T +T "

4 2 4 Tích phân tổng quát cùa phương trình có thể viết

37

Chọn (Xo, y„) = (0, 0) và tính tích phân đường theo con đường ưong hình 8a) ta được:

Có nhiều trường hợp, khi vế trái của phương trình (1) không phải là một vi phân toàn

phần, ta có thể đưa nó về phương trình dưới dạng vi phân toàn phần bằng cách nhãn nó với

một thừa số n(x, y) nào đó:

n(x, y) M(x, y)dx + n(x, y) N(x, y)dy = 0 (8)

Thừa số n(x, y) như vậy gọi là thừa số tích phán

Để vế trái của (8) là một vi phân toàn phần, ta đòi hỏi:

Như vậy, ta đã dẫn tói một phương trình vi phân phức tạp hơn để tìm (i(x, y) Tuy

nhiên trong một số trường hợp đơn giản, việc tìm n(x, y) lại dẻ dàng

Trường hợp Ì: Thừa số tích phân chỉ phụ thuộc X, tức là n(x) Khi đó, (9) trờ thành:

ÔM ÔN dlnụ õy dx

dx N Qua phương trình này ta thấy điểu kiện để thừa số tích phân chỉ phụ thuộc vào X là:

Trường hợp ĩ: Thừa số tích phân chi phụ thuộc y, tức là n(y) Làm tuông tự như trên

ta nhân dược các kết quả sau đây:

- Điều kiên để thừa số tích phân chỉ phụ thuộc y là:

§5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYÊN TÍNH CẤP MỘT

Phương trình Ví phàn luyến tính cấp mội có dạng tổng quát là

Áy' + By + c = 0 trong dó A, B, c là các hàm số liên tục của X (tức là phương trình tuyến tính đối với hàm số

cần tìm và đạo hàm cùa nó)

Nếu trong một khoảng nào đó cùa biến số X, hệ số A không triệt tiêu thì phương trình

có thể đưa về dạng:

y' + p(x)y = f(x) (1)

Dưới đây ta chỉ xét phương trình này và gọi nó là phương trình vi phản luyến tính

không thuần nhất (hoặc là có vế hai)

Nếu f(x) 3 0 thì phương trình có dạng:

y' + p(x)y = 0 (2)

và gọi là phương trình vi phàn tuyến tính thuần nhối (hoặc không có vế hai) tương ứng

với (1)

Phương trình (1) có thể viết dưới dạng giải ra dạo hàm y' = -p(x)y + f(x); theo định lí

tổn tại và duy nhất cùa nghiệm, nếu các hàm số f(x) và p(x) liên tục trên đoạn [a, b] thì

phương trình có nghiệm duy nhất liên tục trên một lãn cận cùa điểm Xo e [a, b] và thoa

mãn điều kiện đầu y(x0) = y,|

1 Nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất

Với y * 0 phương trình (2) có thể đưa vé phân li biến số:

dy

— = -p(x)dx

y

Do đó: In|y[ = -|p(x)dx + c

hay y = ±ec.e-,I'""d\

Có thể thay ±ec bằng hằng số tuy ý c, với c * 0, ta được nghiệm tổng quát của (2)

dưới dạng:

• Ngoài ra phương trình (2) còn nhận thêm nghiệm y = 0

Nghiệm này có thể nhập vào nghiệm tổng quát trên bằng cách cho c = 0

2 Nghiệm của phương trinh tuyến tính không thuần nhất

Nghiệm cùa phương trình vi phân (1) có thể tìm được qua một phép đổi biến số nếu

biết trước một nghiệm riêng của phương trình (2) tương ứng