Tính ổn định của một số lớp phương trình hàm với cặp biến tự do

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ THANH TÂM TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT SỐ LỚP PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CẶP BIẾN TỰ DO Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU HÀ NỘI- 2014 Mục lục Lời nói đầu Tính ổn định phương trình hàm dạng Cauchy 1.1 Tính ổn định phương trình hàm cộng tính 1.2 Tính ổn định phương trình hàm nhân tính 1.3 Tính ổn định hàm logarit 1.4 Tính ổn định hàm lũy thừa Tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp lượng trung bình 2.1 Tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp đại trung bình cộng vào trung bình cộng 2.2 Tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp đại trung bình cộng vào trung bình nhân 2.3 Tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp đại trung bình cộng vào trung bình điều hòa 2.4 Tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp đại trung bình cộng vào trung bình bậc hai Tính ổn định số dạng phương trình hàm 3.1 Tính ổn định phương trình sóng 3.2 Tính ổn định phương trình đa thức 3.3 Tính ổn định phương trình dạng tồn phương Kết luận Tài liệu tham khảo 11 13 18 đại 25 lượng lượng lượng lượng khác 25 27 29 31 33 33 37 40 44 45 LỜI NĨI ĐẦU Lý thuyết phương trình hàm chủ đề lâu đời toán học phân tích Nó đời từ sớm có mặt hầu hết nơi có ứng dụng lĩnh vực đời sống kỹ thuật Đã có nhiều nhà tốn học lớn nghiên cứu lĩnh vực như: Cauchy, D’Alembert, Banach, Gauss, họ có nhiều đóng góp to lớn Trong giảng tiếng S.M.Ulam câu lạc toán trường đại học Wisconsin vào năm 1940 đưa số vấn đề chưa giải Một số vấn đề dẫn đến hướng nghiên cứu mà ngày biết đến nghiên cứu tính ổn định phương trình hàm Thơng thường khái niệm ổn định toán học nghiên cứu thường có điểm chung ta thường giải tốn: Khi điều cịn thay đổi "một chút" giả thiết định lý mà khẳng định kết định lý "xấp xỉ" đúng.Như câu hỏi đặt tính ổn định phương trình hàm gì, có điểm chung giống khơng phương trình hàm tìm nghiệm tính ổn định nghiệm phương trình hàm gì? Để lý giải phần vấn đề giới thiệu q trình xây dựng cơng thức, giải vấn đề thực luận văn với đề tài "Tính ổn định số lớp phương trình hàm với cặp biến tự do" Bố cục luận văn gồm chương Chương Tính ổn định phương trình hàm dạng Cauchy Mục đích chương đưa định nghĩa điều kiện ổn định phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy nhân tính, phương trình hàm logarit phương trình hàm lũy thừa số ví dụ minh họa Chương Tính ổn định phương trình hàm chuyển tiếp đại lượng trung bình Chương đưa tốn tìm nghiệm xét tính ổn định nghiệm phương trình chuyển tiếp đại lượng trung bình Chương Tính ổn định số phương trình hàm dạng khác Các kết luận văn trình bày dựa tài liệu tham khảo [1]-[12] Luận văn thực hướng dẫn tận tình nghiêm khắc GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu.Thầy dành nhiều thời gian quý báu để hướng dẫn, giải đáp thắc mắc Qua xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy toàn thể ban lãnh đạo thầy khoa Tốn - Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội giúp có thêm nhiều kiến thức để hồn thành luận văn khóa học cách tốt đẹp Các thầy phịng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành thủ tục bảo vệ luận văn học tập Các thầy bạn seminar Tốn Giải Tích góp ý để tơi hồn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tất giúp đỡ đóng góp quý giá Cuối thân kiến thức cịn có nhiều hạn chế nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót.Rất mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Nguyễn Thị Thanh Tâm Chương Tính ổn định phương trình hàm dạng Cauchy Định nghĩa 1.1 Phương trình hàm phương trình mà hai vế phương trình biểu thức xây dựng từ số hữu hạn hàm chưa biết từ số hữu hạn biến độc lập Thơng thường phương trình hàm tổng qt cho thường khơng kèm theo giả thiết có đặc trưng giải tích lên hàm tính đo được, tính bị chặn, khả tích, khả vi, liên tục, Như ta biết, phương trình hàm phương trình thơng thường mà nghiệm hàm Để giải tốt vấn đề này, cần phân biệt tính chất hàm với đặc trưng hàm Sau đặc trưng hàm số hàm sơ cấp i) Hàm bậc f (x) = ax + b; a = 0; b = có tính chất f x+y = f (x) + f (y) , en∀x, y ∈ R 2 ii) Hàm tuyến tính: f (x) = ax; a = có tính chất: f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R iii) Hàm mũ: f (x) = ax , a > 0, a = có tính chất: f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R iv) Hàm logarit: f (x) = loga |x| ; a > 0, a = có tính chất: f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y = x, y ∈ R v) Hàm lũy thừa: f (x) = |x|a có tính chất: f (xy) = f (x)f (y) ∀x, y = x, y ∈ R vi) Các hàm lượng giác: +) Hàm f (x) = sin x có tính chất f (3x) = 3f (x) − 4f (x), ∀x ∈ R +) Hàm f (x) = cos x có tính chất: f (2x) = 2f (x) − 1, ∀x ∈ R Tiếp theo, ta đề cập đến tính ổn định phương trình hàm Cauchy cộng tính số phương trình hàm dạng Cauchy 1.1 Tính ổn định phương trình hàm cộng tính Trước hết ta nhắc lại phương trình hàm Cauchy cộng tính: Giả sử hàm f : R → R hàm thỏa mãn tính chất f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R, (∗) f gọi hàm cộng tính Định nghĩa 1.2 Giả sử f : R → R cho với ε > cho trước tồn số δ > cho |f (x + y) − f (x) − f (y)| < δ, ∀x, y ∈ R hàm cộng tính M : R → R để |f (x) − M (x)| < ε, ∀x ∈ R phương trình hàm Cauchy (*) gọi ổn định Định lý 1.1 Giả sử hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện: Với ε > cho trước ta có |f (x + y) − f (x) − f (y)| ≤ ε với ∀x, y ∈ R (1.1) Khi với x ∈ R, giới hạn sau tồn : A(x) = lim 2−n f (2n x) n→∞ xác định hàm cộng tính A : R → R thỏa mãn điều kiện |f (x) − A(x)| ≤ ε, ∀x ∈ R Chứng minh Thay x = y vào (1.1) ta 1 f (2x) − f (x) ≤ ε 2 (1.2) Sử dụng phương pháp quy nạp ta |2−n f (2n x) − f (x)| ≤ (1 − 2−n )ε (1.3) Trong (1.3) thay x 2x ta 1 f (22 x) − f (2x) ≤ ε 2 Khi f (22 x) − 2f (x) − f (2x) − 2f (x) = 1 f (22 x) − f (2x) ≤ ε 2 Hay 1 f (2 x) − f (x) − f (2x) − f (x) ≤ ε 22 22 Nên 1 f (2 x) − f (x) ≤ ε + 22 22 Do 1 1 n f (2 x) − f (x) ≤ ε + + · · · + = ε − 2n 22 2n 2n Bây ta chứng minh dãy f (2n x) dãy Cauchy với x ∈ R n Chọn m > n 1 1 n m f (2 x) − f (2 x) = | m−n f (2m−n 2n x) − f (2n x)| n m n 2 2 1 ≤ n ε − m−n 2 1 − ) 2n 2m =ε f (2n x)} dãy Cauchy với x ∈ R R không gian 2n Banach nên tồn A : R → R cho Do dãy { A(x) = lim 2−n f (2n x), n→∞ với x ∈ R hay 1 n f (2 x) ε ≤ 2n 2n Tiếp theo ta chứng minh A hàm cộng tính Thay x, y 2n x 2n y ta A(x) − 1 1 n n n f (2 (x + y)) − f (2 x) − f (2 y) ≤ ε 2n 2n 2n 2n với n ∈ Z∗+ , x, y ∈ R Cho n → ∞ ta |A(x + y) − A(x) − A(y)| ≤ ε Với x ∈ R ta có 1 n f (2 x)] + [ f (2n x − A(x))]| n n 2 1 ≤ |f (x) − n }f (2n x)| + | n f (2n x) − A(x)| 2 1 ≤ ε(1 − n ) + ε n = ε 2 |f (x) − A(x)| = |[f (x) − Cuối ta cần chứng minh hàm A Thật giả sử tồn hàm cộng tính A1 : R → R Khi với x ∈ R |A(x) − A1 (x)| = 2ε |[A(nx) − f (nx)] + [A1 (nx) − f (nx)]| ≤ n n Vậy A1 = A Như định lý cho ta kết phương trình Cauchy cộng tính ổn định Ví dụ 1.1 Tìm tất hàm f, g, h : R → R thỏa mãn phương trình sau f (x + y) = g(x) + h(y), ∀x, y ∈ R (1.4) Thay y = vào ta f (x) = g(x) + h(0), ∀x ∈ R, hay f (x) = g(x) + α, với α = h(0) Do g(x) = f (x) − α với x ∈ R Thay x = vào , ta f (y) = h(x) + β, với β = g(0), hay h(x) = f (x) − β , với x ∈ R Phương trình trở thành f (x + y) = f (x) + f (y) − α − β, ∀x, y ∈ R (1.5) Đặt f (x) = A(x) + α + β Thay vào (1.5) A(x + y) + α + β = A(x) + α + β + A(y) + α + β − α − β, hay A(x + y) = A(x) + A(y), ∀x, y ∈ R Vậy A hàm cộng tính R nên  f (x) = A(x) + α + β g(x) = A(x) + β  h(x) = A(x) + α Nhận xét 1.1 Nếu tốn có thêm giả thiết: hàm f, g, h liên tục nghiệm tìm  f (x) = ax + α + β g(x) = ax + β  h(x) = ax + α với a, α, β số tùy ý Tiếp theo ta xét tính ổn định phương trình (1.5) Mệnh đề 1.1 Giả sử hàm f, g, h : R → R thỏa mãn điều kiện |f (x + y) − g(x) − h(y)| ≤ ε (1.6) với ε số dương tùy ý cho trước với x, y ∈ R Khi tồn hàm cộng tính A : R → R cho  |f (x) − A(x) − f (0)| ≤ 6ε |g(x) − A(x) − g(0)| ≤ 4ε  |h(x) − A(x) − h(0)| ≤ 6ε với x ∈ R Chứng minh Thay y = vào (1.6), ta |f (x) − g(x) − h(0)| ≤ ε, ∀x ∈ R, (1.7) |f (0) − g(0) − h(0)| ≤ ε (1.8) suy Thay y = vào (1.6), ta |f (y) − h(y) − g(0)| ≤ ε, ∀t ∈ R (1.9) Từ (1.7) (1.9) |h(x) − g(x) − h(0) + g(0)| = |f (x) − g(x) − h(0) + h(x) + g(0) − f (x)| ≤ |f (x) − g(x) − h(0)| + |f (x) − h(x) − h(0)| hay |h(x) − g(x) − h(0) + g(0)| ≤ 2ε, ∀x ∈ R (1.10) Sử dụng (1.7), ta |f (x + y) − g(x + y) − h(0)| ≤ ε, ∀x, y ∈ R (1.11) Ta có |f (x+y)−g(x+y)−h(0)| = |f (x+y)−g(x)−h(y)−g(x+y)+g(x)+h(y)−h(0)| Kết hợp (1.6) (1.11) thu |g(x + y) − g(x) − h(y) + h(0)| ≤ |f (x + y) − g(x + y) − h(0)| Mệnh đề 2.4 Giả sử hàm f thỏa mãn điều kiện f x+y − (f (x))2 + (f (y))2 ≤ ε, ∀x, y ∈ R với ε > tùy ý cho trước Khi đó, tồn hàm cộng tính A : R → R cho |(f (x))2 − A(x) − (f (0))2 | ≤ 4ε, ∀x ∈ R 32 (2.15) Chương Tính ổn định số dạng phương trình hàm khác 3.1 Tính ổn định phương trình sóng Trước hết ta tìm hiểu phương trình sóng Giả sử f : R2 → R cho f (x + h, y) + f (x − h, y) − f (x, y + h) − f (x, y − h) = 0, ∀x, y, h ∈ R (3.1) Ta định nghĩa toán tử 1,h 2,h với h ∈ R sau: h h ϕ(x, y) = ϕ x + , y − ϕ x − , y ; 1,h 2 2,h ϕ(x, y) = ϕ x, y + h h − ϕ x, y − 2 Với ∀x, y ∈ R ϕ : R2 → R (3.1) viết lại thành 1,h f (x, y)− 2,h f (x, y) = Ta nhận thấy phương trình phương trình sóng Haruki f : R2 → R liên tục thỏa mãn điều kiện (3.1) với x, y, h ∈ R tồn hàm α; β : R → R cho f (x + y) = α(x + y) + β(x − y), ∀x, y ∈ R Nếu α, β : R → R hàm tùy ý A : R2 → R hàm song cộng tính phản đối xứng nghĩa A(x + y, z) = A(x, z) + A(y, z); 33 A(y, x) = −A(x, y), với ∀x, y, z ∈ R f : R2 → R định nghĩa f (x, y) = α(x + y) + β(x − y) + A(x, y), ∀x, y ∈ R Khi (3.1) thỏa mãn Đặc biệt với f : R2 → R xác định g : R2 → R với g(x, y) = f (x + y, x − y)., ∀x, y ∈ R Khi f thỏa mãn điều kiện (3.1) g thỏa mãn điều kiện g(x + h, y + h) − g(x + h, y) − g(x, y + h) + g(x, y) = 0, ∀x, y, h ∈ R Từ kết ta có định lý Định lý 3.1 (xem [1],[12]) Giả sử (G, +) nhóm Abel, X khơng gian Banach, với δ > f : G × G → X cho: |f (x + h, y + h) − f (x + h, y) − f (x, y + h) + f (x, y)| ≤ δ, ∀x, y, h ∈ G Khi tồn hàm α, β : G → X A : R2 → R hàm song cộng tính phản đối xứng cho |f (x, y) − [α(x) + β(y) + A(x, y)]| ≤ 20δ, ∀x, y ∈ G Định lý 3.2 Giả sử f : R2 → R, δ > thỏa mãn điều kiện: |f (x + h, y + h) − f (x + h, y) − f (x, y + h) + f (x, y)| ≤ δ, ∀x, y, h ∈ R Khi tồn hàm ϕ, ψ : R → R cho |f (x, y) − ϕ(x) + ψ(y)| ≤ 60δ, ∀x, y ∈ R Chứng minh Theo Định lý 3.1 tồn hàm α, β : R → R hàm song cộng tính phản đối xứng A : R2 → R cho |f (x, y) − [α(x) + β(y) + A(x, y)]| ≤ 20δ, ∀x, y ∈ G Với y ∈ R; x → f (x, y) đo R Ta kí hiệu S tập tất phần tử y cho R\S có độ đo khơng Giả sử chọn y1 ; y2 ∈ S |f (x, y1 ) − [α(x) + β(y1 ) + A(x, y1 )]| ≤ 20δ, ∀x ∈ R 34 Và |f (x, y2 ) − [α(x) + β(y2 ) + A(x, y2 )]| ≤ 20δ, ∀x ∈ R Vì A cộng tính với biến thứ nên viết |f (x, y1 ) − f (x, y2 ) − β(y1 ) + β(y2 ) − A(x, y1 − y2 )| ≤ 40δ, ∀x ∈ R Vì x → f (x, y1 ) − f (x, y2 ) đo đươc R nên A bị chặn tập (ta gọi T ) R đo Lebesgue Như x → A(x, y1 − y2 ) cộng tính R bị chặn T Suy tồn số thực c(y1 − y2 ) cho A(x, y1 − y2 ) = c(y1 − y2 ), ∀x ∈ R Đặt U = {y1 − y2 : y1 , y2 ∈ S} Với z ∈ U tồn c(z) ∈ R cho A(x, z) = c(z)x, ∀x ∈ R Vì S đo nên U chứa lân cận đặt V Lấy y ∈ R, chọn z ∈ V số tự nhiên n cho y = nz A(x, y) = nA(x, z) = nc(z)x, ∀x ∈ R Vì với y ∈ R tồn số c(y) ∈ R cho A(x, y) = c(y)x, ∀x ∈ R Vì A phản đối xứng nên c(y)x = A(x, y) = −A(y, x) = −c(x)y, ∀x, y ∈ R Đặc biệt c(x)x = −c(x)x, ∀x ∈ R nên c(x) = với x = 0, x ∈ R Rõ ràng c(0) = A(x, y) = với x, y ∈ R Vậy |f (x, y) − [α(x) + β(y)]| leq20δ, ∀x, y ∈ R 35 Tiếp theo chọn x0 , y0 ∈ R cho: x → f (x, y0 ) y → f (x0 , y) đo R Đặt ϕ(x) = f (x, y0 ) − β(y0 ) ψ(y) = f (x0 , y) − α(x0 ), ∀x, y ∈ R Khi ϕ ψ đo R Hơn ta có |f (x, y0 ) − (α(x) − β(y0 ))| ≤ 20δ, |f (x0 , y) − (α(x0 ) + β(y))| ≤ 20δ, ∀x, y ∈ R Vì |ϕ(x) − α(x)| ≤ 20δ, ∀x ∈ R Và |ψ(y) − β(y)| ≤ 20δ, ∀y ∈ R Do |f (x, y) − (ϕ(x) + ψ(y))| ≤ 60δ, ∀x, y ∈ R Hệ 3.1 Giả sử f : R2 → R số δ > thỏa mãn điều kiện |f (x + h, y + h) − f (x + h, y) − f (x, y + h) + f (x, y)| ≤ δ, ∀x, y, h ∈ R Giả sử tồn x0 , y0 ∈ G cho x → f (x, y0 ) y → f (x0 , y) liên tục R Khi tồn hàm a, b : R → R liên tục cho |f (x, y) − (a(x) + b(y))| ≤ 180δ, ∀x, y ∈ R Chứng minh Áp dụng Định lý 3.2 tồn hàm ϕ, ψ : R → R cho |f (x, y) − ϕ(x) + ψ(y)| ≤ 60δ, ∀x, y ∈ R Vì |f (x, y0 ) − (ϕ(x) − ψ(y0 ))| ≤ 60δ 36 Và |f (x0 , y) − (ϕ(x0 ) + ψ(y))| ≤ 60δ, ∀x, y ∈ R Đặt a(x) = f (x, y0 ) − ψ(y0 ); b(y) = f (x0 , y) − ϕ(x0 ), với x, y ∈ R Khi a, b liên tục R |a(x) − ϕ(x)| ≤ 60δ, ∀x ∈ R; |b(y) − ψ(y)| ≤ 60δ, ∀y ∈ R Vì ta kết luận tồn hàm a, b : R → R liên tục cho |f (x, y) − (a(x) + b(y))| ≤ 180δ, ∀x, y ∈ R 3.2 Tính ổn định phương trình đa thức Ta biết phương trình đa thức phương trình có dạng an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (3.2) Trước hết ta xét tính ổn định nghiệm phương trình đa thức xn + αx + β = (3.3) Với x ∈ [−1; 1] ta có định nghĩa sau Định nghĩa 3.1 Phương trình (3.3) gọi ổn định tồn số K > cho với ε > 0, y ∈ [−1, 1] thỏa mãn điều kiện |y n + αy + β| ≤ ε, tồn z ∈ [−1, 1] để z n + αz + β = 0, thỏa mãn điều kiện |y − z| ≤ Kε Với định nghĩa ta có định lý sau 37 Định lý 3.3 Giả sử |α| > n, |β| < |α| − y ∈ [−1, 1] thỏa mãn bất đẳng thức sau |y n + αy + β| ≤ ε (3.4) Khi tồn nghiệm v ∈ [−1, 1] (3.3) cho |y − v| ≤ Kε, với K > số Chứng minh Với ε > y ∈ [−1, 1] mà |y n + αy + β| ≤ ε Ta có số K theo ε v cho |y − v| < Kε, với ∀v ∈ [−1, 1], thỏa mãn điều kiện |xn + αx + β| = Ta đặt g(x) = (−β − xn ), α ∀x ∈ [−1, 1] Khi (−β − xn ) ≤ α Ta đặt X = [−1, 1] , d(x, y) = |x − y| (X, d) khơng gian metric đủ g ánh xạ từ X vào X Với x, y ∈ X ta có |g(x)| = 1 n (−β − xn ) − (−β − y n ) ≤ |x − y n | α α |α| = |x − y||xn−1 + xn−2 y + · · · + xy n−2 + y n−1 | |α| d(g(x), g(y)) = Từ |α| ≥ n, x, y ∈ [−1, 1]; x = y ta d(g(x), g(y)) ≤ γd(x, y) n ∈ (0, 1) |α| Vì g ánh xạ co từ X vào X ta đặt S Suy tồn v ∈ X g(v) = v Với γ = 38 Vì phương trình đa thức có nghiệm thuộc [−1, 1] Tiếp theo ta chọn K = , |α|(1 − γ) |y − v| = |y − g(y) + g(y) − g(v)| ≤ |y − g(y)| + |g(y) − g(v)| ≤ y − (−β − y n ) + γ|y − v| α n |y + αy + β| + γ|y − v| = |α| Suy |y − v| ≤ |y n + αy + β| |α(1 − γ)| Định lý chứng minh Bây ta xét tính ổn định phương trình đa thức an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = (3.5) Tương tự ta có định nghĩa sau Phương trình (3.5) gọi ổn định tồn số K > 0, với ε > y ∈ [−1, 1] |an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 | ≤ ε Khi tồn z ∈ [−1, 1] thỏa mãn điều kiện an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 z + a0 = 0, cho |y − z| ≤ Kε Từ ta có định lý tính ổn định Định lý 3.4 Cho phương trình an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = Nếu |a0 | < |a1 | − (|a2 | + |a3 | + · · · + |an |) |a1 | > 2|a2 | + 3|a3 | + · · · + (n − 1)|an−1 | + n|an | Khi phương trình tồn nghiệm v ∈ [−1, 1] 39 Định lý 3.5 Nếu điều kiện Định lý 3.5 y ∈ [−1, 1] thỏa mãn bất đẳng thức |an y n + an−1 y n−1 + · · · + a1 y + a0 | ≤ ε Khi phương trình 3.5 ổn định Chứng minh Xem [11] 3.3 Tính ổn định phương trình dạng tồn phương Trước hết ta nhắc lại định nghĩa phương trình dạng toàn phương Hàm bậc hai f (x) = cx2 thỏa mãn phương trình hàm f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y) (3.6) Vì phương trình (3.6) gọi phương trình hàm dạng toàn phương Định lý 3.6 Giả sử G nhóm Abel, X khơng gian Banach hàm f : G → X hàm toàn phương với x, y ∈ G f bị chặn Khi |f (x + y) + f (x − y) − 2f (x) − 2f (y)| ≤ δ, ∀x, y ∈ G (3.7) với δ > 0, tồn ánh xạ toàn phương q : G → X để δ |f (x) − q(x)| ≤ , ∀x ∈ G (3.8) Ngoài hàm q cho f (2n x) q(x) = lim , ∀x ∈ G x→∞ 4n δ Chứng minh Trong (3.7) chọn x = = y ta được: |f (0)| ≤ Cũng từ (3.7) lấy x = y ta được: |f (2x) − 4f (x) − f (0)| ≤ δ Khi |f (2x) − 4f (x) − f (0)| ≤ δ Hoặc δ f (2x) − f (x) ≤ δ ≤ 40 (3.9) Thay x 2x từ (3.9) ta f (22 x) − f (2x) ≤ δ Khi 1 f (22 x) − f (x) + f (x) − f (2x) ≤ δ 4 32 Hoặc ta có 3 f (2 x) − f (x) δ + δ ≤ 42 32 δ = δ(1 + ) < Bằng phương pháp quy nạp toán học ta 1 1 δ n f (2 x) − f (x) ≤ δ(1 + + · · · + ) = δ(1 − ) < 4n 4n 4n f (2n x) Tiếp theo ta cần chứng minh { } dãy Cauchy với x ∈ G 4n Chọn m > n 1 1 n m f (2 x) − f (2 x) f (2m−n 2n x) − f (2n x) = n m n m−n 4 4 δ 1 δ ≤ n (1 − m−n ) = ( n − m ) 4 4 f (2n x) Vậy { } dãy Cauchy với x ∈ G 4n Từ X không gian Banach hội tụ đến hàm giới hạn ta gọi q : G → X Ta có |q(x + y) + q(x − y) − 2q(x) − 2q(y)| = lim n |f (2n x + 2n y) + f (2n x − 2n y) − 2f (2n x) − 2f (2n y)| n→∞ δ ≤ lim n → n→∞ Suy q hàm toàn phương Tiếp theo ta chứng minh (3.8) Ta có f (2n x) |q(x) − f (x)| = lim − f (x) n→∞ 4n 41 f (2n x) = lim − f (x) n→∞ 4n δ ≤ lim n→∞ δ = Vậy (3.8) Cuối ta chứng minh tính q Chứng minh phản chứng Giả sử q : G → X không nhất, nghĩa tồn hàm toàn phương t : G → X mà: δ |t(x) − f (x)| ≤ , ∀x ∈ G Ta có: |t(x) − q(x)| ≤ |t(x) − f (x)| + |f (x) − q(x)| ≤ δ δ + = δ 2 Bởi ta |t(x) − q(x)| ≤ δ Vì hàm tồn phương hàm bậc hai nên ta có n2 t(x) n2 q(x) − | n2 n2 t(nx) q(nx) = − n2 n2 δ = |t(nx) − q(nx)| ≤ → ∞ n n |t(x) − q(x)| = | Do t(x) = q(x) với x ∈ G Vì q Định lý chứng minh Định lý 3.7 (xem [1],[12]) Giả sử có ánh xạ f : X → Y thỏa mãn bất đẳng thức |f (x + y + z) + f (x − y) + f (y − z) + f (z − x) − 3f (x) − 3f (y) − 3f (z)| ≤ δ (3.10) Khi tồn ánh xạ toàn phương g : X → Y thỏa mãn điều kiện f (x + y + z) + f (x − y) + f (y − z) + f (z − x) = 3f (x) + 3f (y) + 3f (z) 42 bất đẳng thức δ |g(x) − f (x)| ≤ , ∀x ∈ X thỏa mãn 43 KẾT LUẬN Như nội dung luận văn là: - Tổng kết lại kết có tính ổn định phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy nhân tính, phương trình hàm logarit phương trình hàm lũy thừa - Đưa số ví dụ cho phương trình - Tổng kết lại kết ổn định nghiệm phương trình chuyển tiếp đại lượng trung bình - Đưa ví dụ minh họa - Tổng kết lại kết ổn định phương trình sóng, phương trình đa thức, phương trình hàm dạng tồn phương Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, 1997, Phương trình hàm, NXBGD [2] T Acze’l 1966, Lectures on functional equations and their applications, Academic Press, New York/San Francisco/London [3] J.Acz’el and J.Dhombres, 1989, Functional Equations in Several Variables, Academic Press, New York/San Francisco/London [4] M Alimohammady and A Sadeghi, July 2012, On the Superstability and Stability of the Pexiderized Exponential Equation Article 2, Volume 1, Number 2, Page 61-74 [5] Baker, J.A., 1980 The stability of the cosine Equation Proceeding of the American Mathematical Society, 80 (3), 411-416 [6] M Bean and J.A Baker, 1990, The stability of a functional analogue of the wave equation, Can Math Bull., 33, 376 [7] Christopher G Small, 2000, Functinal equations and how to solve them, Springer [8] P.W Cholewa, 1983 The stability of the sine Equation Proceeding of the American Mathematical Society, 88 (4), 631-634 [9] Chung, 2010, Stability of a Jensen type logarithmic functional equation on restricted domains and its asymptotic behaviors Adv Diff Equ 2010 [10] S.Czerwik, 1992, On the stability of the quadratic mappings in normed spaces, Abh Math Semin Univ Hamb, 59[11] Z Daroczy and A Jarai, On the measurable solution of a functional equation of the information theory, Acta Math Acad Sci Hungaricae, vol.34, 105-116, 1979 [12] D.H Hyers, 1983, The stability of homomorphisms and ralated topics, in Global Analysis- Analysis on Manifolds, (ed Th.M Rassias), Band 57, Teste zur Mathematik, Teubner, Leipzig, 140 -153 [13] Pl.Kannappan, 2000, Functional Equations and Inequalities with Applications, Springer Monogaphs in Mathematics, 2000 [14] M Kuczma, B Choczewski, R Ger, 1990, Interative hàm al Equations, Cambridge University Press, Cambridge/New York/Port Chester/Melbourne/Sydney [15] P.K Sahoo, T Riedel, 1998, Mean Value Theorems and Functional Equations, World Scientific, Singapore/New Jersey/London/HongKong -385pp, v64 [16] B.J.Venkatachala, 2002, Functional Equations - A problem Solving Approach, PRISM 46 ... Tính ổn định phương trình hàm dạng Cauchy 1.1 Tính ổn định phương trình hàm cộng tính 1.2 Tính ổn định phương trình hàm nhân tính 1.3 Tính ổn định hàm logarit 1.4 Tính ổn định. .. Tổng kết lại kết có tính ổn định phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy nhân tính, phương trình hàm logarit phương trình hàm lũy thừa - Đưa số ví dụ cho phương trình - Tổng... Chương Tính ổn định phương trình hàm dạng Cauchy Mục đích chương đưa định nghĩa điều kiện ổn định phương trình hàm Cauchy cộng tính, phương trình hàm Cauchy nhân tính, phương trình hàm logarit phương