chuyên đề về về phương trình hàm (phương trình hàm với cặp biến tự do)

Bài 2PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CẶP BIẾN TỰ DO I/ HÀM SỐ CHUYỂN ĐỔI CÁC PHÉP TÍNH SỐ HỌC Trong I/ này, ta giải các bai toán xác định các hàm chuyển đổi các phép tính số học đơn giản cộng, trừ,

Bài 2

PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CẶP BIẾN TỰ DO

I/ HÀM SỐ CHUYỂN ĐỔI CÁC PHÉP TÍNH SỐ HỌC

Trong I/ này, ta giải các bai toán xác định các hàm chuyển đổi các phép tính số học

đơn giản (cộng, trừ, nhân, chia) của đối số sang các phép tính đối với các giá trị hàm

tương ứng.

Ta sẽ giải quyết các bài toán trên trong lớp các hàm xác định và liên tục trên toàn trục

thực.

Bài toán 1 ( Phương trình hàm Cauchy) Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thỏa

mãn điều kiện sau

), ( )

f y

x

Giải Từ (1) suy ra f( 0 ) 0 , f( x) f(x) và với y x thì

), ( 2 )

f x

k

) ( )

(kx f x

f

N n

R x

x f k

x f x

Từ đó, theo nguyên lí quy nạp, ta có

),

( )

f

Kết hợp với tính chất f( x) f(x) ta được

,

), ( )

f

Từ (2) ta có

2 2

2

2 2

2 )

(

2 2

n

f

x f

x f x

f

Từ đó suy ra

) ( 2

m m

Sử dụng giả thiết liên tục của hàm f (x) , suy ra

, )

Nhận xét.

1/ Từ điều kiện (1), ta thấy chỉ cần giả thiết f (x) là hàm liên tục tại một điểm x0 R

cho trước là đủ Khi đó, hàm f (x) thỏa mãn (1) sẽ liên tục trên R.

Thật vậy, theo giả thiết thì

) ( 0

) ( lim

0

x fx

f

x x

và với mỗi x1 R ta đều có

),

( )

( )

f

Từ đó suy ra

) ( )

( lim

)

(

1 1

x f x

f x

x x

f x

f

x x x

x

).

( )

( )

( )

(x0 f x1 f x0 f x1f

2/ Kết quả của Bài toán 1 sẽ không thay đổi nếu ta thay R bằng α , hoặc

β , tùy ý.

Bài toán 2 Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

) ( ) (x f y f

y x

Giải Nhận xét rằng f (x) 0 là một nghiệm của (5) Xét trường hợp f (x) 0

Khi đó tồn tại x0 R sao cho f(x0) 0 Theo (5) thì

0 )

( )

( )

Suy ra f (x) 0 , x R và

0 2

2 2

)

(

2

x f x

x f x

Đặt ln ( ) ( ) ( ( ) g ( x) )

e x

f x g x

y x

f y

x

) ( )

) (

0 )

(

a a x

f

x f

x

Bài toán 3 Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

R x

x f

R y

x y

f

x f y

x f

, 0 )

(

, , ) (

) (

(6)

(6) z y R

y f

y x

f x

) ( )

(

Do đó

R x

x f

R y

z y f z f y

z

f

, 0 )

(

, ), ( ) (

Từ kết quả của Bài toán 2 và do f (x) 0 suy ra f(x) a x , với a 0 tùy ý.

Kết luận

x

a x

f( ) , trong đó a 0 tùy ý.

Bài toán 4 Xác định các hàm f (x) liên tục trên R \ 0 thỏa mãn điều kiện

0

\ ,

), ( ) ( )

1 ( 1

)

f , x R (8) Nếu f( 1 ) 1 thì từ (8) suy ra f (x) 0 và nghiệm này thỏa mãn (7).

Xét f( 1 ) 1 Khi đó

x f x f x

x f

Vậy f (x) 0 với mọi x R \ 0 và do đó

0 )

( )

( ) ( )

u v g u g v

u

Theo Bài toán 2 thì (9) g(t) a t, t R (a 0 tùy ý) và do đó

R x

x x

e a

a e

x x

x x

f x

Do f (x)là hàm liên tục trên R , nên

R x

x

R x

,

, )

(

ư

tùy R x

x

R x

x x

β

Bài toán 5 Xác định các hàm f (x) liên tục trên R \ 0 thỏa mãn điều kiện

) ( )

( )

g v

u

Theo Bài toán 1 thì (12) g )(t bt và do đó

R a

R x

x a

ln(

2

1 )

( 2

1

)

x b x

b x

x

Bài toán 6 Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

) ( )

( )

Giải Từ (13) với x y 0 , ta có

0 )

0 ( )

0 ( )

( )

(x f

Bài toán 7 Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

), ( )

f y

R y

t y f t

f t

Theo kết quả của Bài toán 5, thì

x b x

Kết luận :

x b x

Nhận xét.

Lời giải của các Bài toán 1-7 dựa vào giả thiết liên tục của hàm số cần tìm Nếu ta

thay giả thiết liên tục bằng giả thiết khả vi thì lớp hàm nhận được vẫn không thay đổi và

phương pháp giải sẽ ngắn gọn hơn nhiều.

Bài toán 8 Tìm các hàm f (x) xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn điều kiện \

) ( )

f y

x

Giải Lần lượt lấy đạo ham hai vế của (15) theo biến x và y, ta được

) ( '

) ( '

Bài toán 9 Tìm các hàm f (x) xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn điều kiện

) ( ) (x f y f

y x

( ) ( )

( )

( )

Ngoài các giả thiết quen biết về tính liên tục và tính khả vi của hàm cần

tìm, trong phương trình hàm còn có rất nhiều giả thiết dạng khác như tìm

nghiệm của các phương trình hàm trên một tập tùy ý của R và chỉ đòi hỏi

hàm số cần tìm giới nội (bị chặn), đơn điệu hoặc liên tục một phía trên các

Tóm lại f(x) là hàm liên tục tại x = 0 và x R

(để lập dãy q n thỏa mãn các điều kiện trên, chỉ cần cho ứng với mỗi số tự

nhiên n một số hữu tỉ q n sao cho

Vì f(x) giới nội trong 1,1 Tương tự như Bài toán 13, từ (30) suy rằng

g(x) liên tục trong R và g x( ) α x, với α Rtùy ý sao cho α ln c

II/ HÀM SỐ CHUYỂN ĐỔI CÁC ĐẠI LƯỢNG TRUNG BÌNH

Từ cặp số dương x, y chúng ta có thể lập vô số các đại lượng trung bình Trong II/

này, chúng ta sẽ xét một số bài toán xác định các hàm số chuyển đổi một số dạng trung

bình thường gặp trong chương trình toán học ở bậc phổ thông cơ sở như các đại lượng

trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình điều hòa, trung bình bình phương Những

đại lượng này được sắp xếp theo thứ tự sau:

x g x g

( ) , ,

Vì g(x) liên tục trên R, nên (i) là phương trình hàm Cauchy và do đó

g(x) = ax Suy ra f(x) = ax + b (a,b R) Thử lại ta thấy nghiệm f(x) = ax+b

( ) ( ), , 2

Trong đó g(x) = lnf(x) Theo kết quả của bài toán 1 thì g(x) = ax + b

Suy ra nghiệm của Bài toán 2 có dạng

ax ( ) b, ,

f x Theo bài toán 1 thì g(x) = ax +b

Vì g(x) > 0 với mọi x R nên a = 0 và g(x) = b (b > 0) và f(x) =1

b,b > 0

Kết luận:

Từ điều kiện của Bài toán suy ra f x( ) 0, x R

Nếu tồn tại x0 0 sao cho f x( )0 0 thì từ (5) suy ra

f x

Kết luận:

( ) 0 ( ) a;

f x

f x cx a Rc > 0 tùy ý.

Bài toán 6 Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

( ) ( )

, , 2

F(x) = alnx + b, a,b R tùy ý

Bài toán 7 Tìm hàm f(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn điều kiện

f x Theo kết quả của Bài toán 6 thì g(x) = a lnx + b

Để f(x) liên tục trong R thì g x( ) 0 với mọi x R Điều đó tương đương

Bài toán 10 Tìm các hàm f(x) xác định liên tục trên R\ 0 và thỏa mãn điều

f x b với a,b 0 tùy ý.

Bài toán 14 Tìm các hàm f(x) xác định, liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện

x y

Giải.

Từ giả thiết suy ra f x( ) 0, x 0.

Nếu tồn tại x0 sao cho f(x0) = 0 thì

2 2 0

( ) (0) 0, 0.

x x

Vậy f x( ) 0, x 0 Mặt khác, cũng từ (15), ta có

2 2

2 ( ) ( ) , 2

1 ( ) ( ), 2

f x f y

x y R

x y f

f x

b, với ab 0,b 0 tùy ý.

Nhận xét Nếu trong các Bài toán 1-16, điều kiện f(x) liên tục được thay bằng điều

kiện f(x) khả vi thì lời giải của các bài toán đó sẽ ngắn gọn hơn nhiều.

Bài toán 17 Tìm các hàm f(x) xác định, khả vi trên R và thỏa mãn điều kiện

Suy ra f x'( ) f '( ),y x y, R, nghĩa là f x'( ) const Do đó f(x) = ax + b

và hàm này rõ ràng thỏa mãn các điều kiện của bài toán

Giải Từ (18) ta có f x( ) 0, x R Ta thấy, nếu tồn tại x0 R sao cho f x( )0 0 ,

thì từ (18) suy ra f x( ) 0 Giả thiết rằng f(x) > 0 x R Lần lượt lấy đạo hàm hai vế

III/ HÀM SỐ SINH BỞI CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA HÀM SỐ LƯỢNG

GIÁC, HYPERBOLIC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC

Trong Bài 1, V, chúng ta đã liệt kê các đặc trưng hàm của các hàm số

lượng giác, lượng giác ngược và của các hàm hyperbolic Chẳng hạn, đối với

hàm f(x) = cos x, ta có đặc trưng hàm dạng

Trong III/ này sẽ khảo sát các bài toán ngược, tức là xét bài toán xác

định các hàm f(x) thỏa mãn điều kiện dạng (0)

Bài toán 1 Tìm các hàm f(x) xác định, liên tục trên R và thỏa mãn điều

2

x

trái với giả thiết f x0 1.

trái với giả thiết f x0 1

2 1

1 2

và thỏa mãn các điều kiện , , ,

Kết hợp với giả thiết f x là hàm liên tục trên D, ta có

i

của bài toán.

1

1

2 2

1 1

2

x f

f x

x f

x f

Lập luận tương tự bằng phương pháp quy nạp ta có

Thử lại, ta được

Kết luận:

1 1 ,

f x

f x

f x thax a

Bài toán 5 Tìm các hàm f x , f x 1 xác định, liên tục trên \ 0 và thỏa

, 1

0

; 1

1 , 2

x

f x a

0 , 0

x x x Đặt

0

0

2 0

2 0

Giả sử

0

0

2 0

2 0

cos sin ,

Khi đó theo (14) ta được:

1 2 0

2 0

cos sin ,

2 0

sin , cos ,

Hay

2

2

sin , cos ,

Bài toán 7 Tìm các cặp hàm f(x) và g(x) xác định, liên tục trên và thỏa mãn

thấy cả hai cặp hàm này đều thỏa mãn bài toán.

2sinmα cos α sin m 1 α sin m 1 α sin m 1 α sin m 1 α sin m 1 α

x g

α α

x f

x g

x g

α

Từ (iii) và (vi) suy ra

đối với (i) ta được:

Khi đó có thể viết (18) dưới dạng

trường hợp này, ta được

Khi đó có thể viết (19) dưới dạng

Lập luận tương tự như cách giải phương trình hàm Cauchy, ta được

g u au a u 0, π

Bài toán 1 Choa b, R\ {0}.Tìm các hàm f x( )xác định, liên tục trênRvà

thỏa mãn điều kiện

Theo kết quả của phương trình hàm Cauchy thì f x( ) cx, c R.

b) Nếu a b 1 thì f(0) nhận giá trị tùy ý Khi đó

Bài toán 2 Cho a b, R\ {0}. Tìm các hàm f x( ) xác định, liên tục trên Rvà

Theo kết quả của phương trình hàm Cauchy thì f x( ) cx,c R. Thế vào

(2) ta thấy f x( ) cx thỏa mãn (2) khi và chỉ khi c = 0, tức là f x( ) 0.

b) Nếu a b 1 thì b a 1 và f(0) nhận giá trị tùy ý Khi đó

(1) f(ax by) f(0) a f x[ ( ) f(0)] b f y[ ( ) f(0)], x y, R.

Do đó g(ax by) g(a )x g by( ), x y, R,trong đó g x( ) f x( ) f(0),

(0) 0

Do g x( ) 0 nên theo kết quả phần a) ta có g( )x 0. Suy ra f x( ) d d, R

tùy ý

Kết luận :

Nếu a b 1 thì f x( ) 0.

Nếu a b 1 thì f x( ) d d, R tùy ý

Bài toán 3 Cho a b, R\ {0}. Tìm các hàm f R: R xác định, liên tục trên

Nếu a b 1 thì h u( ) cu d, c d, Rtùy ý g u( ) e cu d

ln ( ) c x d, 0.

Bài toán 4 Cho α β , R\ 0 Tìm các hàm f R: R xác định, liên tục trên

R và thỏa mãn điều kiện

Bài toán 5 Cho β R\ 0 Tìm các hàm f R: R xác định, liên tục trên

1

, 2

Bài toán 8 Cho các số a b c d, , , 0. Tìm các hàm f x( ) xác định và đồng biến

Thử lại, ta thấy hàm f x( ) vừa nhận được là một hàm đồng biết trong

toán khi và chỉ khi c 0.

2 Giả sử g x( ) là đa thức với hệ số nguyên, f là hàm nhận giá trị nguyên

trên tập các số nguyên sao cho

3 Tìm các hàm f x( ) xác định, đồng biến trong ( , 0) và thỏa mãn điều

V/ PHƯƠNG TRÌNH VỚI NHIỀU ẨN HÀM

Bài toán 1 Tìm các cặp hàm f x g x( ), ( ) xác định trên R sao cho

( ) ( ) ( ) g(x y), x, y

Giải.

Thay y x vào (1), ta được f( x) f x( ), x R. (i)

Tiếp theo, sủ dụng (1) và (i), ta được

Do đó, f x( ) ax, x 0.

Thế x 0 vào (i) ta có f(0) 0. Do vậy f x( ) ax, x R. Thế f x( ) ax

vào (i), ta được

tương tự ta cũng có g( )x 0, x R.Cho x y,từ (3) suy ra

( ) ( ) 0, ,

điều này không xẩy ra

Kết luận:

Không tồn tại cặp hàm f x( )và g x( ) thỏa mãn bài toán

Bài toán 4 Tìm các cặp hàm f x g x( ), ( )xác định trên Rsao cho f x( )liên tục

trên Rvà thỏa mãn điều kiện

2 (x y) h x( ) h y( ) (x y g x) ( y), x y, R. (i)Thay

Suy ra q x( ) a, x R. tiếp tục thay y x vào (5), ta được g x( ) a x, R.

Thế các biểu thức vừa tìm được của q x( )và g x( )vào (5), ta được hệ thực

Bài toán 6 Tìm các hàm f x g x q x( ), ( ), ( ) xác định và liên tụcR trên sao cho

q x g x là hàm liên tục tùy ý trên Rvới g(0) 0.

Thế vào (6), ta được nghiệm

0, x 0, ( )

g x q x là hàm liên tục tùy ý trên Rvới q(0) 0.

Thế vào (6), ta được nghiệm

0, x 0, ( )

f x

f x

( ),

h x liên tục tùy ý trong , 0 với h(0) 0.

g x b a x R

2 2 2

x

q x b a x R

trong đó b b1, 2tùy ý sao cho b b1 2 b

Bài toán 7 Tìm các hàm f x( ), g( )x và q x( )xác định và liên tục trên R sao

2 4