Phương trình hàm sinh bởi nhóm cyclic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ HỒNG ÁNH PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI NHĨM CYCLIC Chuyên ngành : Mã số : 60 46 40 PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2011 Cơng trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Phản biện 1: TS Lê Hồng Trí Phản biện 2: PGS.TS Trần Đạo Dõng Luận văn bảo vệ hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học họp Đà Nẵng vào ngày 17 tháng năm 2011 * Có thể tìm thấy thơng tin luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng Giải tích tốn học Các dạng tốn phương trình hàm phong phú thường khó Qua nhiều thập kỷ gần đây, phương trình hàm có ảnh hưởng sâu sắc đến tất lĩnh vực toán học Đặc biệt phương trình hàm trở thành mảng quan trọng thường xuất kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic Toán khu vực quốc tế, Olympic sinh viên trường Đại học Cao Đẳng Liên quan đến chuyên đề dạng tốn đặc trưng hàm tính chất liên quan hàm số Để tổng quan phương pháp giải dạng toán trên, cần thiết phải hệ thống hóa kiến thức nâng cao dạng phương trình hàm ứng dụng chúng, đề tài "Phương trình hàm sinh nhóm cyclic" nhằm đáp ứng mong muốn thân chuyên đề toán sơ cấp phù hợp để sau phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy nhà trường phổ thơng Đề tài liên quan đến nhiều chuyên đề, có vấn đề đặc trưng hàm số, tính chất dãy số, tính chất nhóm cyclic, khơng gian tuyến tính nhiều kiến thức khác đại số, hình học giải tích Mục đích nghiên cứu Nhằm hệ thống tổng quan tốn phương trình hàm cho ứng dụng khác tốn phổ thơng Nắm số kĩ thuật nhóm, đặc trưng hàm số, tính chất hàm thực phép biến hình trục thực, từ có ứng dụng cụ thể phù hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tốn phương trình hàm xét ứng dụng liên quan Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, Tạp chí tốn học tuổi trẻ, Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận: - Nghiên cứu gián tiếp qua trang web - Nghiên cứu trực tiếp từ tài liệu Thầy hướng dẫn, đồng nghiệp bạn học viên lớp Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: - Thực nghiệm sư phạm trường trung học phổ thông - Dự buổi hội thảo chuyên đề - Đặc biệt tiếp thu ý kiến xây dựng Thầy hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng giáo viên học sinh trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc nâng cao chất lượng dạy học chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm đam mê, sáng tạo dạng toán xuất phát từ toán Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, chương, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo Chương 1.Đặc trưng biến đổi cyclic Trong chương này, tác giả trình bày số định nghĩa tính chất hàm phân tuyến tính, tốn tử đối hợp bậc n Chương Phương trình hàm sinh phép biến đổi cyclic Chương trình bày cách giải số ví dụ minh họa dạng phương trình hàm sinh phép biến đổi cyclic loại phương trình thường gặp :Phương trình tuyến tính với hệ số hằng; Phương trình tuyến tính với vế phải hàm số; Phương trình dạng khơng với hệ số biến thiên Chương Một số áp dụng Trình bày số ví dụ áp dụng dãy cấp số đặc biệt , dãy số phân tuyến tính toán liên quan Chương ĐẶC TRƯNG CÁC BIẾN ĐỔI CYCLIC 1.1 Phép biến đổi phân tuyến tính Định nghĩa 1.1 Hàm số có dạng ω(x) = ax + b , ad − bc = gọi cx + d hàm phân tuyến tính - Nếu c = ω(x) gọi hàm phân tuyến tính thực - Nếu c = ω(x) gọi hàm bậc Nhận xét 1.1 Ý nghĩa hình học lớp hàm số phân tuyến tính biến az + b số phức z ∈ C → z = := g(z) cz + d z → z + a, (a = x + iy ∈ C) phép tịnh tiến song song với vectơ →(x; y) − u z → rz, (r ∈ R+ ) phép vị tự tâm O(0; 0), tỉ số r z → −z phép đối xứng tâm O(0; 0) z → z phép đối xứng trục x Ox z → eϕ z, (eϕ = cosϕ + isinϕ) phép quay tâm O(0; 0) góc ϕ z → az, (a = |a| earga ∈ C) phép quay vị tự tâm O(0; 0) b z → az + b = a(z + c), a, b ∈ C, a = 0, c = a dạng phép đồng k z → , (k ∈ R+ ) phép vị tự z Với c = 0, ánh xạ phân tuyến tính z → z = az + b q = p+ có cz + d z+h thể thực sau: z → z1 = z+h → z2 = 1.2 q az + b → z3 = qz2 → z = z3 +p = p+ = z1 z + h cz + d Điều kiện đối hợp nhóm cyclic bậc n Định nghĩa 1.2 (xem [3]) Cho hàm số ω : X → X Ta định nghĩa dãy hàm số ωn : X → X sau ω0 (x) := x; ω1 (x) = ω(x) ; ωn+1 (x) = ω(ωn (x)), ∀n ∈ N, ∀x ∈ X Khi ωn (x) gọi hàm lặp bậc (cấp, thứ ) n hàm số ω Số m ∈ N∗ nhỏ thỏa mãn ωm (x) = x gọi bậc lặp hàm số ω(x) Khi ta cịn gọi hàm ω(x) hàm đối hợp bậc m Trong trường hợp không tồn m thỏa mãn đẳng thức ta nói hàm ω(x) bậc lặp vơ hạn Định nghĩa 1.3 Cho X không gian hàm xác định liên tục R ω(x) hàm thuộc X, cho trước Với f ∈ X xét toán tử (W f )(x) = f (ω(x)) Khi W gọi tốn tử đối hợp bậc n W n = I 1.2.1 Nhóm cyclic bậc n tốn tử đối hợp Định lí 1.1 Điều kiện cần đủ để W toán tử đối hợp bậc n (n > 1) ωn (x) = x, ∀x ∈ R, n ∈ N∗ , ω1 (x) := ω(x), ωn+1 (x) = ω(ωn (x)), Nhận xét 1.2 Nếu W toán tử đối hợp bậc n hiển nhiên tập hợp {I, W, W , , W n−1 } lập thành nhóm cyclic bậc n 1.2.2 Điều kiện đối hợp bậc n phép biến đổi phân tuyến tính ax + b với ad − bc = ±1 Khi cx + d điều kiện cần đủ để hàm phân tuyến tính ω(x) có tính chất đối hợp mπ bậc n (n > 1) |a + d| = ±2 cos , m = 1, 2, , n − n Định lí 1.2 (xem [3]) Giả sử ω(x) = Mệnh đề 1.1 Nếu phép biến hình xạ ảnh "điểm" f đường ∆ đối hợp n, (n ≥ 3) thiết phải phép biến hình xạ ảnh eliptic ∆ Mệnh đề 1.2 Một phép biến hình xạ ảnh đường thẳng đối hợp n, (n ≥ 3) phép biến đổi phân tuyến tính liên kết với xoay vịng chu kỳ n, tức hàm phân tuyến tính liên kết hàm tuần hoàn chu kỳ n 1.3 Điều kiện để biến đổi tuyến tính giao hốn phản giao hốn với biến đổi đối hợp Định nghĩa 1.4 Hai hàm số ω(x) g(x) gọi giao hoán với g(ω(x)) = ω(g(x)) Hai hàm số ω(x) g(x) gọi phản giao hoán với g(ω(x)) = −ω(g(x)) Định nghĩa 1.5 Giả sử v(x), ω(x) hàm thuộc X cho trước tốn tử V W xác định theo cơng thức (V f )(x) = f (v(x)) (W f )(x) = f (ω(x)), ∀x ∈ R; f ∈ X Khi V W gọi giao hốn với V W = W V, hay v(ω(x)) ≡ ω(v(x)) 1.3.1 Phương trình hàm xác định hàm phân tuyến tính giao hốn Ta xét ω(x) hàm phân tuyến tính có dạng ω(x) = ax + b cx + d Xét toán tử (Af )(x) = f (ω(x)), f ∈ X Ta đặt hệ số hàm ω(x) tương ứng với ma trận (thường gọi simbol toán tử A) Aω = a b c d Khi Tính chất 1.1 Tốn tử (Bf )(x) = f (ϕ(x)), f ∈ X giao hoán với A simbol Aω giao hốn với simbol Aϕ , Aϕ = α β γ δ ma trận ứng với hàm phân tuyến tính có dạng ϕ(x) = αx + β γx + δ Tính chất 1.2 Điều kiện để Aω B = BAω B = Aω X0 + X0 Aω , (1.10) ma trận Aω có đa thức đặc trưng PA (λ) = λ2 − 1, X0 tốn tử tuyến tính tùy ý Tính chất 1.3 Giả sử ma trận Aω cấp m có đa thức đặc trưng PA (λ) = λ2 + δλ + γ có nghiệm đơn Khi BAω = Aω B B = Aω X0 + X0 Aω + δX0 , (1.11) (với X0 ma trận cấp m tuỳ ý) 1.3.2 Một số áp dụng Trong phần ta sử dụng tính chất 1.2 1.3 để giải số dạng phương trình hàm −9 Tìm tất hàm x−6 sốf : R \ {6} → R \ {6} thỏa mãn điều kiện sau Bài toán 1.1 (xem [3]) Cho hàm số ω(x) = f (ω(x)) = −9 , ∀x ∈ R \ {6} f (x) − 15 Tìm tất hàm x+2 số f : R \ {−2} → R \ {−2} thỏa mãn điều kiện sau Bài toán 1.2 (xem [3]) Cho hàm số ω(x) = f (ω(x)) = 15 f (x) + x−2 Tìm tất hàm x−1 f : R \ {1} → R \ {1} thỏa mãn điều kiện sau Bài toán 1.3 (xem [3]) Cho hàm số ω(x) = f (ω(x)) = f (x) − f (x) − Tóm lại: Gắn hàm phân tuyến tính tương ứng với ma trận simbol sử dụng tính chất 1.2, 1.3 cơng cụ mạnh việc giải toán hàm phân tuyến tính giao hốn Tuy nhiên chương trình tốn bậc THPT, học sinh chưa học ma trận nên gặp phải nhiều khó khăn Vì vậy, số tập sau, ta trình bày lời giải số sử dụng phép biến đổi phân tuyến tính Cụ thể số tập áp dụng phương trình hàm có dạng f (ω(x)) = ω(f (x)) Bài toán 1.4 (xem [1]) Cho số b, c ∈ R \ {0} d ∈ R.Tìm hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện f (x + b) = cf (x) + d, ∀x ∈ R (1.13) Bài toán 1.5 (xem [3]) Xác định hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện sau f (ax + b) = af (x) + b (1.16) Bài toán 1.6 (xem [1]) Cho số a ∈ R \ {0; 1; −1}, b ∈ R \ {0} c ∈ R Tìm tất hàm f : R → R thỏa mãn điều kiện f (ax) = bf (x) + c, ∀x ∈ R (1.19) a Tìm tất hàm số x f (x) dương R \ {0} thỏa mãn điều kiện Bài toán 1.7 (xem [3]) Cho a = 0, ω(x) = f (ω(x)) = a f (x) 10 thành ε Pk k εk Pk + a2 P k + a1 K = a0 εn−1 Pk k + · · · + an−1 k=1 k=1 k=1 n n n n k=1 n (a0 + a1 εk + a2 ε2 + · · · + an−1 εn−1 )Pk k k = k=1 n Q(εk )Pk = k=1 với Q(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + · · · + an−1 tn−1 Thay K vào phương trình (2.4) ta n Q(εk )Pk f = b k=1 n ⇔ Pj Q(εk )Pk f = Pj b, j = 1, 2, , n k=1 ⇔ Q(εj )Pj f = Pj b, j = 1, 2, , n - Nếu Q(εj ) = Pj f = [Q(εj )]−1 Pj b n n [Q(εj )]−1 Pj b Pj f = k=1 k=1 n [Q(εj )]−1 Pj b f= k=1 - Giả sử tồn j để Q(εj ) = từ phương trình Q(εj )Pj f = Pj b ta có = Pj b Do điều kiện cần để phương trình Q(εj )Pj f = Pj b có nghiệm Pj b = Thật vậy, giả sử điều kiện cần thỏa mãn Khi Pj f tùy ý n Xét T = dj Pj , với dj = k=1 [Q(εj )]−1 , nếuQ(εj ) = λj tùy ý, khiQ(εj ) = Khi n f= dj Pj b k=1 nghiệm tổng quát phương trình (2.1) (2.5) 11 2.1 Phương trình tuyến tính với hệ số Trong mục ta xét cách giải số phương trình (2.1) vế phải số (tức b(x) = const) Bài toán tổng quát Xác định hàm số f (x) thoả mãn điều kiện sau αx + β f = af (x) + b, ∀x ∈ R \ {−γ}, (2.6) x+γ α, β, γ, a, b số thực, a = 0, αγ − β = Ta khảo sát toán (2.6) ba trường hợp đặc trưng điển hình sau i) Phương trình ω(x) = x có hai nghiệm thực phân biệt, ii) Phương trình ω(x) = x có nghiệm kép (thực), iii) Phương trình ω(x) = x khơng có nghiệm thực Nhận xét 2.1 Phương trình trường hợp (iii) tương đương với phương trình ω(x) = x có hai nghiệm (phức) liên hợp với số liên hợp phức với Ta chuyển toán tổng quát toán tổng quát sinh hàm bậc quen biết mà ta biết cách giải Bài toán tổng quát Xác định hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện sau f (αx + β) = af (x) + b, ∀x ∈ R, (2.7) α, β, a, b số thực a = 0, α = dạng toán tổng quát sinh phép đối hợp bậc n dạng sau Bài toán tổng quát Xác định hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện sau αx + β f = af (x) + b, ∀x ∈ R \ {−γ}, (2.8) x+γ α, β, γ, a, b số thực a = 0, αγ − β = ωk (x) ≡ x, ωk+1 (x) := ω(ωk (x)), ω0 (x) := x Sau ta xét toán cụ thể minh họa cho số phương pháp 12 Xác định tất 2−x hàm số f : R \ {2} → R thỏa mãn điều kiện sau Bài toán 2.1 (xem [3]) Cho hàm số ω(x) = f (ω(x)) = 2f (x) − 1, ∀x ∈ R \ {2} (2.9) Xác định tất 3−x hàm số f : R \ {3} → R thỏa mãn điều kiện sau Bài toán 2.2 ( [1]) Cho hàm số ω(x) = f (ω(x)) = 2f (x) − 3, ∀x ∈ R \ {3} (2.11) ax + b , c = 0, ad − bc = cx + d cho phương trình ω(x) = x có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Tìm tất d hàm số f : R \ − → R cho c Bài toán 2.3 (xem [1]) Cho hàm số ω(x) = d f (ω(x)) = 2f (x) − 3, ∀x = − (2.13) c −1 Tìm tất hàm Bài toán 2.4 (xem [1]) Cho hàm số ω(x) = x−2 số f : R \ {2} → R cho f (ω(x)) = 2f (x) − 3, ∀x ∈ R \ {2} Bài toán 2.5 (xem [3]) Cho hàm số ω(x) = (2.14) Xác định hàm 3−x số f : R \ {3} → R thỏa mãn điều kiện sau f (ω(x)) = 3f (x) + 2, ∀x ∈ R \ {3} (2.15) ax + b ,a = Bài toán 2.6 (xem [1]) Cho q ∈ R cho hàm số ω(x) = x−1 1, b = − (ax + b)2 Tìm tất hàm số f : R \ {1} → R cho f (ω(x)) = −f (x) + q, ∀x = (2.16) ax + b , c = 0, ad − bc = cx + d cho phương trình ω(x) = x có nghiệm kép x = x0 Tìm tất d hàm số f : R \ {− } → R cho c −d f (ω(x)) = −2f (x) + 3, ∀x = (2.17) c Bài toán 2.7 (xem [1]) Cho hàm số ω(x) = 13 Bài toán 2.8 (xem [1]) Cho hàm số ω(x) = 2x − Tìm tất x−2 hàm số f : R \ {2} → R cho f (ω(x)) + f (x) = 3, ∀x = Bài toán 2.9 (xem [3]) Cho hàm số ω(x) = (2.18) Xác định hàm 2−x số f : R \ {2} → R thỏa mãn điều kiện sau f (ω(x)) = 2f (x) + 5, ∀x ∈ R \ {2} Bài toán 2.10 (xem [1]) Cho hàm số ω(x) = − (2.19) Tìm tất x+1 hàm số f : R \ {−1, 0} → R cho f (ω(ω(x)) + f (ω(x)) + f (x) = 3, ∀x = −1, x = Bài toán 2.11 (xem [1]) Cho hàm số ω(x) = − (2.22) Ký hiệu x+1 ω2 (x) = ω(ω(x)) ω3 (x) = ω(ω(ω(x))) Tìm tất hàm số f : R \ {−1, −3, 1} → R cho f (ω3 (x)) = f (x) f (ω2 (x)) + f (ω(x)) + f (x) = 3, ∀x ∈ {−1, −3, 1} 2.2 (2.23) Phương trình tuyến tính với vế phải hàm số Trong mục ta xét cách giải số phương trình (2.1) vế phải hàm số xác định Bài toán 2.12 (xem [1]) Cho hàm số h(x), ∀x ∈ R ω(x) = 2x − Tìm tất hàm số f : R \ {2} → R cho x−2 f (ω(x)) = f (x) + h(x), ∀x = (2.25) Bài toán 2.13 (xem [1]) Cho hàm số q(x) xác định R ω(x) = − Tìm tất hàm số f : R \ {−1, 0} → R cho x+1 f (ω(ω(x))) + f (ω(x)) + f (x) = q(x), ∀x ∈ R \ {−1, 0} (2.27) 14 Bài toán 2.14 (xem [1]) Cho hàm số q(x) xác định R ω(x) = − x+1 Ký hiệu ω2 (x) = ω(ω(x)), ω3 (x) = ω(ω(ω(x))) Tìm tất hàm số f : R \ {−1, −3, 1} → R cho f (ω3 (x)) = f (x) f (ω2 (x)) + f (ω(x)) + f (x) = q(x), ∀x ∈ {−1, −3, 1} (2.28) Nhận xét 2.2 Dựa vào tập ta nhận thấy kĩ thuật hay sử dụng để giải phương trình hàm tìm nghiệm riêng Nghiên cứu tính chất nghiệm riêng Hiển nhiên, nghiệm cần tìm phải có tính chất Từ ta có hướng giải phương trình hàm cho Khi tìm nghiệm riêng nên có số ý sau: Chú ý 1: (Điều kiện để hàm số hàm hằng) f ≡ C ⇔ f (x) = f (y), ∀x, y ∈ Df f (x) = g(y), ∀x, y ∈ D ⇔ f (x) = C g(x) = C, (C := const, C ∈ R), ∀x ∈ D (2.29) Phương pháp sử dụng nhận xét gọi phương pháp phân ly biến số Các dạng phương trình f (x) = f (y), f (x) = g(y) gọi dạng phương trình có biến số phân ly Trong viết ta sử dụng kí hiệu f ≡ C thay cho mệnh đề ”f (x) = C, ∀x ∈ Df ” Chú ý 2: (Điều kiện để hàm số có đạo hàm hàm hằng) Cho hàm số f (x) liên tục [a, b], có đạo hàm f (x) (a; b) Khi f (x) = C, ∀x ∈ [a, b] ⇔ f (x) = 0, ∀x ∈ (a, b), C = f (x0 ), với x0 số thuộc đoạn [a, b] Chú ý 3: (Điều kiện để đa thức hàm hằng) Cho đa thức P (x) ∈ R[x], có bậc khơng q (≤)n Khi Nếu P (x) có nhiều n nghiệm P (x) = 0, ∀x ∈ R, hay P ≡ 15 Nếu tồn a ∈ R, a = cho P (x + a) = P (x), ∀x ∈ R P (x) = C với x ∈ R hay P ≡ C Sau ta xét số toán cụ thể Bài toán 2.15 (xem [3]) Cho a số thuộc R∗ Tìm hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (x + a) = f (x) + b, ∀x ∈ R (2.30) Bài toán 2.16 (xem [3]) Cho a, b, m ∈ R, m = 1, am = Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (x + a) = mf (x) + b, ∀x, y ∈ R (2.31) Bài toán 2.17 (xem [3]) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (2x + 1) = 3f (x), ∀x ∈ R (2.33) 2.3 Phương trình dạng không với hệ số biến thiên Cho trước hàm số a(x), b(x) Xét phương trình dạng f (ω(x)) = a(x)f (x) + b(x) (2.36) ωn (x) = x với < n ∈ N - Trường hợp 1: Khi a(x) = a = const, phương trình (2.36) trở thành f (ω(x)) = af (x) + b(x) hay f (ω(x)) − af (x) = b(x), cách giải biết chương 2, phần - Trường hợp 2: Khi a(x) hàm số bất biến phép biến đổi ω(x), tức a(ω(x)) ≡ a(x), cách giải tương tự chương 2, phần - Trường hợp 3: Khi a(x) hàm số liên tục tùy ý Để ngắn gọn ta viết phương trình (2.36) thành f (ω) = af + b Ta định nghĩa a1 := a(ω(x)); a2 := a(ω2 (x)); · · · ; an−1 := a(ωn−1 (x)); b1 := b(ω(x)); b2 := b(ω2 (x)); · · · ; bn−1 := b(ωn−1 (x)); (2.37) 16 Thay x ωn−1 (x) vào phương trìn 2.37 ta f (x) = an−1 f (ωn−1 ) + bn−1 Tiếp tục thay x ωn−2 (x) vào phương trình 2.37 ta f (ωn−1 ) = an−2 f (ωn−2 ) + bn−2 f (ω) = af (x) + b Từ suy f (x) = an−1 [an−2 f (ωn−2 ) + bn−2 ] + bn−1 = an−1 an−2 f (ωn−2 ) + an−1 bn−2 + bn−1 = an−1 an−2 [an−3 f (ωn−3 ) + bn−3 ] + an−1 bn−2 + bn−1 = an−1 an−2 an−3 f (ωn−3 ) + an−1 an−2 bn−3 + an−1 bn−2 + bn−1 n =( n n an−j )f (ωx ) + j=1 j=1 Đặt an−j bn−(j+1) + · · · + b an−j bn−(j+2) + j=1 n ( an−j )f (ωx ) = A(x) j=1 n n an−j bn−(j+1) + · · · + b = B(x) an−j bn−(j+2) + j=1 j=1 Khi 2.36 viết lại sau f (x) = A(x)f (x) + B(x) ⇔ [1 − A(x)]f (x) = B(x) (2.38) + Nếu − A(x) = 0, ∀x nghiệm phương trình (2.38)là f (x) = B(x) với A(x), B(x) xác định − A(x) + Nếu − A(x) = 0, tạix = x0 điều kiện cần để phương trình (2.36) có nghiệm B(x0 ) = Bài toán 2.18 (xem [1]) Cho hàm số a(x) b(x) xác định R ω(x) = − x Tìm tất hàm số f : R → R cho a(x)f (ω(x)) + f (x) = b(x), ∀x ∈ R (2.39) 17 Bài toán 2.19 (xem [1]) Cho hàm số a(x) b(x) xác định R ω(x) = − Tìm tất hàm số f : R \ {0} → R cho x a(x)f (ω(x)) + f (x) = b(x), ∀x = (2.40) Bài toán 2.20 (xem [3]) Tìm tất hàm số f : R \ {0} → R thỏa mãn điều kiện (x − 1)f (x) + f = x2 x (2.41) với x = Bài tốn 2.21 (xem [3]) Tìm tất hàm số f : R \ {0; 1} → R thỏa mãn điều kiện x2 + 1+x = f (x) + (x + 1)f 1−x x−1 (2.43) Nhận xét 2.3 Ngồi cách giải đơi ta cịn bắt gặp dạng tập ví dụ sau: Tìm tất hàm số f thỏa mãn điều kiện x (2.47) f (x) = f x−1 x Kết Nhận xét hàm số g(x) = hàm số đối hợp x−1 x → x→ x−1 x x−1 x x−1 −1 = x, ∀x = Ta thấy hai nghiệm riêng f (x) = x; f (x) = x Nhà toán học người Anh Charles Babbage (1791-1871) nghiên cứu mở rộng toán (2.47) thu nghiệm tổng quát phương trình f (x) = f (g(x)) trường hợp g(x) hàm đối hợp f (x) = τ (x; g(x)), τ (x; g(x)) hàm tùy ý đối xứng với x, g(x) Sau thông qua ví dụ ta xét kĩ thuật giải phương trình hàm sử dụng tính chất hàm số liên tục 18 Bài toán 2.22 (xem [3]) Tìm f (x) ∈ C( R) thỏa mãn điều kiện 2f (2x) = f (x) + x, ∀x ∈ R (2.48) Bài toán 2.23 (xem [3](Croatia 1996)) Cho t ∈ (0; 1) Tìm tất hàm số f : R → R liên tục thỏa mãn điều kiện f (x) − 2f (tx) + f (t2 x) = x2 , ∀x ∈ R (2.51) Bài toán 2.24 (xem [3]) Tìm tất hàm số f : R → R liên tục thỏa mãn điều kiện 3f (2x + 1) = f (x) + 5x, ∀x R (2.55) Bài tốn 2.25 (xem [3]) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện  f (x) = 1;   f (x) + f (y) = f (x + y), ∀x, y ∈ R; (2.57)   f (x)f = 1, ∀x = x Bài toán 2.26 (xem [3]) Tìm f (x) ∈ C( R), thỏa mãn điều kiện |f (x + h) − f (x − h)| < h2 , ∀x ∈ R, ∀h > (2.58) 19 Chương MỘT SỐ ÁP DỤNG 3.1 Xác định dãy cấp số đặc biệt Trong phần mô tả số lớp hàm số chuyển đổi cấp số tập số R, Z 3.1.1 Hàm số chuyển đổi từ cấp số cộng Hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số cộng Bổ đề 3.1 (xem [4]) Cho cấp số cộng {an }và hàm số f : R → R+ x+y f (x) + f (y) thỏa mãn điều kiện f ( )= , ∀x, y > 2 Khi dãy {f (an )} cấp số cộng Bài toán 3.1 (xem [4]) Tìm hàm số f (x) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện f x+y f (x) + f (y) = , ∀x, y ∈ R 2 Hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số nhân Bổ đề 3.2 (xem [4]) Cho cấp số cộng {an } hàm số f : R → R+ thỏa mãn điều kiện f x+y = f (x)f (y), ∀x, y > Khi dãy {f (an )} cấp số nhân 20 Bài tốn 3.2 (xem [4]) Tìm hàm f (x) xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện x+y f = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R Hàm số chuyển đổi cấp số cộng thành cấp số điều hòa Bổ đề 3.3 (xem [4]) Cho cấp số cộng {un } , un = 0, ∀n ∈ N hàm số 2f (x)f (y) x+y = , ∀x, y ∈ R f : R → R+ thỏa mãn điều kiện f f (x) + f (y) Khi dãy {f (un )} cấp số điều hịa Bài tốn 3.3 (xem [4]) Tìm hàm f : R → R+ xác định liên tục R thỏa mãn điều kiện x+y 2f (x)f (y) f = , ∀x, y ∈ R f (x) + f (y) 3.1.2 Hàm số chuyển đổi từ cấp số nhân Hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số cộng Bổ đề 3.4 (xem [4]) Cho cấp số nhân {an } với an > 0, ∀n ∈ N f (x) + f (y) √ , ∀x, y > hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện f ( xy) = Khi dãy {f (an )} cấp số cộng Bài toán 3.4 (xem [4]) Tìm hàm số f (x) xác định liên tục R f (x) + f (y) √ thỏa mãn điều kiện f ( xy) = , ∀x, y ∈ R 2 Hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số điều hòa Bổ đề 3.5 (xem [4]) Cho cấp số nhân {an } với an > 0, ∀n ∈ N cho 2f (x)f (y) √ hàm số f : R+ → R+ thỏa mãn điều kiện: f ( xy) = f (x) + f (y) Khi dãy {f (an )} cấp số điều hịa Bài tốn 3.5 (xem [4]) Tìm hàm f (x) xác định liên tục R+ thỏa mãn điều kiện 2f (x)f (y) √ f ( xy) = , ∀x, y ∈ R+ f (x) + f (y) Hàm số chuyển đổi cấp số nhân thành cấp số nhân 21 Bổ đề 3.6 (xem [4]) Cho cấp số nhân {an } với an > 0, ∀n ∈ N cho hàm số f : R+ → R+ thỏa mãn điều kiện f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R+ Khi dãy số {f (an )} cấp số nhân Bài tốn 3.6 (xem [4]) Tìm hàm số f (x) xác định, liên tục R thỏa mãn điều kiện f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R+ 3.1.3 (3.1) Hàm chuyển đổi từ cấp số điều hòa Hàm chuyển đổi cấp số điều hòa thành cấp số cộng Bổ đề 3.7 (xem [4]) Cho cấp số điều hòa {un }, un = 0, ∀n ∈ N hàm số f : R → R+ thỏa mãn điều kiện f 2xy f (x) + f (y) = , ∀x, y ∈ R, x, y, x + y = x+y Khi dãy {f (un )} cấp số cộng Bài toán 3.7 (xem [4]) Tìm hàm số f (x) xác định, liên tục R \ {0} thỏa mãn điều kiện f 2xy f (x) + f (y) = , ∀x, y ∈ R, x, y, x + y = x+y (3.3) Hàm chuyển đổi cấp số điều hòa thành cấp số nhân Bổ đề 3.8 (xem [4]) Cho cấp số điều hòa {un } , un = 0, ∀n ∈ N hàm số f (x) xác định liên tục R \ {0} thỏa mãn điều kiện f 2xy = x+y 1 + f (x) f (y) , ∀x, y ∈ R, x, y, x + y = Khi dãy {f (un )} cấp số điều hòa Bài tốn 3.8 (xem [4]) Tìm hàm số f (x) xác định liên tục R \ {0} thỏa mãn điều kiện f 2xy = x+y 1 + f (x) f (y) , ∀x, y ∈ R, x, y, x + y = (3.4) 22 3.2 Xác định số dãy số phân tuyến tính Bài toán 3.9 (xem[3]) Cho a > hàm số a(n) : N ⇒ R xác định sau a(0) = 1; a(1) = a; a(n + 1) = a2 (n) − a(n), n ∈ N∗ (n − 1) a Với k ∈ N∗ , đặt f (k) = 1 + + ··· + a(0) a(1) a(k) Chứng minh k ∈ N∗ sup f (k) = (2 + a − 3.3 a2 − 4) Một số dạng toán khác Bài toán 3.10 (xem[3]) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện i) f (−x) = −f (x) với x thuộc R, ii) f (x + 1) = f (x) + với x thuộc R, iii) f f (x) = với x = x x Bài toán 3.11 (xem[3]) Cho f hàm số không giảm xác định đoạn [0,1], thỏa mãn đồng thời điều kiện 1) f (0) = 0; 2) f (1 − x) = − f (x), ∀x ∈ [0, 1]; x f (x) , ∀x ∈ [0, 1] = 1 Hãy tính f ,f 13 3) f Trong tốn phương trình hàm tập số nguyên, mối liên hệ dạng bất đẳng thức số chìa khóa để tìm giá trị hàm số điểm 23 Bài toán 3.12 (xem[3]) Cho hàm số f : N∗ → N∗ thỏa mãn đồng thời điều kiện sau i) f (2) = 4, ii) f (mn) = f (m)f (n) với m, n thuộc N∗ , iii) f (m) > f (n) với m > n Hãy tìm f (3)? Bài tốn 3.13 (xem[7](Romannian Competitions 1998)) Tìm tất hàm đơn điệu f : R → R thỏa mãn phương trình hàm f (x + f (y)) = f (x) + y n , ∀x, y ∈ R, (3.8) n số nguyên dương cố định Bài toán 3.14 (xem [7]) (Iranian Competitions-1999) Giả sử f : R+ → R+ hàm giảm ngặt thỏa mãn f (x + y) + f (f (x) + f (y)) = f (f (x + f (y)) + f (y + f (x))), ∀x, y ∈ R+ (3.10) Bài toán 3.15 (xem[7]) Tìm tất hàm f : R → R với thuộc tính chẳng hạn n ≥ 1, f n (x) = −x, ∀x ∈ R (ở f n có nghĩa hợp thành n lần f với thân nó) Bài tốn 3.16 (xem[7](AMM-1984)) Cho α số thực khác cố định Tìm tất hàm liên tục f : R → R thỏa mãn f (2x − f (x) ) = αx, ∀x ∈ R α (3.14) Bài tốn 3.17 (xem[3]) Tìm f (x) ∈ F ( R) thỏa mãn điều kiện sau f (x2 + f (y)) = y + f (x), ∀x ∈ R (3.17) Bài toán 3.18 (xem[3]) Tìm tất hàm số f (x) : (−1; +∞) → (−1; +∞) thỏa mãn điều kiện f (x + f (y) + xf (y)) = y + f (x) + y(f (x)), ∀x, y ∈ (−1; +∞) (*) f (x) hàm số tăng ngặt khoảng: (−1; 0) (0; +∞) x 24 KẾT LUẬN Các kết luận văn "Phương trình hàm sinh nhóm cyclic" tập trung nghiên cứu trình bày số vấn đề : Trình bày theo hướng hệ thống đặc trưng hàm số tính chất phép biến đổi phân tuyến tính, điều kiện đối hợp bậc n Trình bày cách giải dạng phương trình hàm với đối số biến đổi dạng cyclic với hệ số hệ số biến thiên Vận dụng để giải số toán liên quan Tiếp theo, xét số áp dụng đại số giải tích dãy số Tác giả mong muốn luận văn phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy phương trình hàm nhà trường tương lai ... minh họa dạng phương trình hàm sinh phép biến đổi cyclic loại phương trình thường gặp :Phương trình tuyến tính với hệ số hằng; Phương trình tuyến tính với vế phải hàm số; Phương trình dạng khơng... trưng hàm tính chất liên quan hàm số Để tổng quan phương pháp giải dạng toán trên, cần thiết phải hệ thống hóa kiến thức nâng cao dạng phương trình hàm ứng dụng chúng, đề tài "Phương trình hàm sinh. .. "Phương trình hàm sinh nhóm cyclic" tập trung nghiên cứu trình bày số vấn đề : Trình bày theo hướng hệ thống đặc trưng hàm số tính chất phép biến đổi phân tuyến tính, điều kiện đối hợp bậc n Trình