Phương trình hàm sinh bởi phép quay và một số áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN TUẤN PHƯƠNG TRÌNH HÀM SINH BỞI PHÉP QUAY VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN, 2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Đặc trưng biến đổi cyclic 1.1 1.2 Phép biến đổi phân tuyến tính 1.1.1 Mối liên hệ hàm phân tuyến tính phương trình bậc hai 1.1.2 Nhóm cyclic hàm phân tuyến tính Một số nhóm hữu hạn đường tròn 11 1.2.1 Nhóm cyclic đường tròn đơn vị 11 1.2.2 Nhóm cyclic hàm số phân tuyến tính đường tròn đơn vị 12 1.2.3 Nhóm cyclic đường thẳng thực 14 Phương trình hàm sinh phép đối hợp với hệ số 15 2.1 Phương trình hàm tuyến tính phân tuyến tính với hệ số 15 2.2 Phương trình hàm với vế phải hàm số 23 Phương trình hàm sinh phép đối hợp với hệ số biến thiên 27 3.1 Nghiệm riêng phương trình hàm 27 3.2 Nghiệm phương trình 28 3.3 Nghiệm phương trình không 30 Một số áp dụng 4.1 33 Xác định dãy cấp số đặc biệt 33 4.1.1 Cấp số cộng 34 4.1.2 Cấp số nhân 35 4.1.3 Cấp số tổng quát 35 4.2 Xác định số dãy số phân tuyến tính 37 4.3 Phương trình hàm tập số tự nhiên 38 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Lý chọn đề tài Trong toán học phổ thông toán phương trình hàm loại toán thường khó Liên quan đến dạng toán toán đặc trưng hàm số tính chất liên quan Để tổng quan phương pháp giải dạng toán trên, cần thiết phải hệ thống hóa kiến thức nâng cao dạng phương trình hàm ứng dụng chúng Đề tài "Phương trình hàm sinh phép quay số áp dụng" nhằm đáp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ thiết thực cho việc giảng dạy nhà trường phổ thông Đề tài liên quan đến nhiều chuyên đề, có đặc trưng tính chất hàm số, tính chất dãy số, tính chất nhóm cyclic (nhóm quay vòng) nhiều kiến thức khác Mục đích nghiên cứu Nhằm hệ thống tổng quan toán phương trình hàm cho ứng dụng khác toán phổ thông Nắm số kĩ thuật tính toán biến đổi tuyến tính phân tuyến tính, đặc trưng hàm số, tính chất hàm thực số phức Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các toán phương trình hàm xét ứng dụng liên quan Nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình GS - TSKH Nguyễn Văn Mậu, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, Tạp chí toán học tuổi trẻ, ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Tạo đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy học chuyên đề toán trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo từ toán Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm chương Chương : Đặc trưng biến đổi cyclic Chương 2: Phương trình hàm sinh phép đối hợp với hệ số Chương 3: Phương trình hàm sinh phép đối hợp với hệ số biến thiên Chương 4: Một số áp dụng Qua tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu tận tình giúp đỡ, định hướng, động viên và ân cần bảo cho hoàn thành luận văn Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy cô hội đồng khoa học thuộc Đại học Thái Nguyên, thầy, cô giảng dạy lớp cao học Toán K2 trường Đại học khoa học-Đại học Thái Nguyên tạo điều kiện cho học tập, nghiên cứu định hướng cho trình học tập nghiên cứu Tuy cố gắng nghiên cứu kĩ đề tài viết luận văn song khó tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận bảo, hướng dẫn thầy cô đóng góp ý kiến bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh có ý nghĩa Tôi xin chân thành cảm ơn Thái nguyên, ngày 09.09.2010 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Đặc trưng biến đổi cyclic 1.1 Phép biến đổi phân tuyến tính 1.1.1 Mối liên hệ hàm phân tuyến tính phương trình bậc hai Trước hết ta khảo sát phương trình bậc hai với hệ số thực dạng m = x, m = x+γ (1.1) (1.1) ⇔ x2 + γx − m = 0, x = −γ (1.2) Ta có Phương trình (1.2) có nghiệm thực i Nếu = γ + 4m ≥ γ = (1.2) có nghiệm kép x0 = − √ γ ii Nếu ≥ (1.2) có nghiệm phân biệt x1,2 = − ∓ 2 √ γ i − iii Nếu < (1.2) có nghiệm phức liên hợp x1,2 = − ∓ 2 Tiếp theo ta cách đặt ẩn số phụ để đưa phương trình đại số tổng quát sinh hàm phân tuyến tính ω(x) dạng αx + β = x, αγ − β = x+γ (1.3) phương trình dạng (1.1) Thật ta sử dụng đồng thức sau αx + β β − αγ =α+ x+γ x+γ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn viết phương trình (1.3) dạng α+ β − αγ β − αγ =x⇔α+ =x−α+α x+γ (x − α) + (γ + α) hay β − αγ = t, t + (γ + α) (1.4) t = x − α Rõ ràng phương trình (1.4) có dạng (1.1) Trong trường hợp đặc biệt γ + α = phương trình (1.4) có dạng đơn giản β + α2 =t t (1.5) hàm phân tuyến tính tương ứng có tính chất đặc biệt: ω(ω(x)) = x tức hàm ω(x) có tính chất đối hợp (đối hợp bậc 2) Từ nhận xét ta thấy hàm phân tuyến tính ω(x) = ax + b đưa cx + d αx + β , với αδ − βγ = αδ − βγ = −1 Từ toán γx + δ phương trình hàm sinh hàm phân tuyến tính đưa phương trình dạng ω(x) = sinh biến đổi dạng (1.1) phép biến hình sơ cấp phép tịnh tiến, phép quay, phép đồng dạng phép nghịch đảo Đồng thời từ ta dùng tất biến đổi hàm bậc hai áp dụng cho hàm phân tuyến tính Trong trường hợp phương trình (1.1) có nghiệm phức hàm ω(x) hàm đối hợp bậc toán giải nào? Đó vấn đề phức tạp vượt khỏi khuôn khổ chương trình toán bậc phổ thông Vấn đề đặt làm mà ta chọn hàm ω(x) thỏa mãn điều kiện nêu trên? • Trường hợp 1: Xây dựng hàm ω(x) cho phương trình ω(x) = x có nghiệm kép x = x0 Xuất phát từ đẳng thức (x − x0 )2 = ⇒ x2 − 2xx0 + x20 = ⇒ x(x − 2x0 ) = −x20 ⇒ x = − x20 x − 2x0 Suy hàm ω(x)) cần tìm x20 ω(x) = − x − 2x0 • Trường hợp 2: Xây dựng hàm ω(x) cho phương trình ω(x) = x có nghiệm phân biệt x = x1 ; x = x2 Xuất phát từ đẳng thức (x − x1 )(x − x2 ) = ⇒ x2 − x(x1 + x2 ) + x1 x2 = ⇒ x[x − (x1 + x2 )] = −x1 x2 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn x1 x2 x − (x1 + x2 ) Suy hàm ω(x) cần tìm ⇒x=− ω(x) = − x1 x2 x − (x1 + x2 ) Tiếp theo ta khảo sát số tính chất hàm phân tuyến tính tổng quát C 1.1.2 Nhóm cyclic hàm phân tuyến tính Xét hàm phân tuyến tính dạng ω(x) = αx + β γx + δ (1.6) L1 (z) = α1 x + β1 γ1 x + δ1 L2 (z) = α2 x + β2 γ2 x + δ2 hai hàm phân tuyến tính tùy ý tích chúng kí hiệu L1 ◦ L2 (z) xác định sau α2 x + β2 + β1 (α1 α2 + β1 γ2 )z + α1 β2 + β1 δ2 γ2 x + δ2 L(z) = L1 ◦ L2 (z) = = α2 x + β2 (γ1 α2 + δ1 γ2 )z + γ1 β2 + δ1 δ2 γ1 + δ1 γ2 x + δ2 α1 Rõ ràng L(z) hàm phân tuyến tính Suy với tích tập hợp hàm phân tuyến tính lập thành nhóm Ta kí hiệu nhóm G Dễ thấy G nhóm vô hạn không giao hoán Với hàm phân tuyến tính ω(z) = ta chia tử mẫu cho az + b với ad − bc = cz + d (1.7) | ad − bc | ta thu ω(z) = αz + β với αδ − βγ = ±1, γz + δ Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (1.8) ta giả thiết αδ − βγ = ta thấy G nhóm hàm αz + β phân tuyến tính dạng ω(z) = với αδ − βγ = ±1 γz + δ Với ∀ω ∈ G ta viết α β γ δ Aω = Khi ta có nhận xét sau Nhận xét 1.1 Giả sử ω1 ω2 thuộc G ta có Aω2 ω1 = Aω2 Aω1 (1.9) Nhận xét 1.2 e(z) = −1z + 1z + ≡ 0z + 0z − phần tử đơn vị nhóm G Ta kí hiệu I phần tử đơn vị nhóm G Nhận xét 1.3 Giả sử ω ∈ G ω ≡ I A = E A = −E, E ma trận đơn vị Mệnh đề 1.1 Giả sử ω(z) = αz + β thuộc G Khi với ∀n ∈ N ta có γz + δ Anω = λn Aω − λn−1 E (1.10) λk − (α + δ)λk−1 + λk−2 = (1.11) λ0 = 0, λ1 = với k = 1, 2, Chứng minh Theo quy nạp với n = (1.10) hiển nhiên Giả sử với n = k với n = k+1 ta có: Ak+1 = Akω Aω = (λk Aω −λk−1 E)Aω = λk A2ω −λk−1 Aω ω = λk [(α +δ)Aω −E]−λk−1 Aω = [λk (α +δ)−λk−1 ]Aω −λk E = λk+1 Aω −λk E λk+1 = λk (α + δ) − λk−1 Bây ta xác định λk từ công thức (1.11) Dễ thấy (1.11) phương trình vi phân tuyến tính bậc có phương trình đặc trưng t2 −(α+δ)t+1 = với biệt số = (α + δ)2 − Vậy ta có Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.4 Giả sử ω(z) = αz + β thuộc G n ∈ N Khi γz + δ • Nếu α + δ = λn = n • Nếu α + δ = −2 λn = (−1)n+1 n 1 • Nếu α + δ = ±2 λn = (xn1 − xn2 ) = (xn2 − xn1 ) θ1 θ2 bậc θ1 θ2 α + δ + θ2 α + δ + θ ; x2 = hai (α + δ)2 − x1 = 2 Từ nhận xét ta thấy để Anω = E điều kiện cần đủ λn = λn−1 = −1 Vậy ta phát biểu kết nhận dạng Mệnh đề 1.2 Giả sử ω ∈ G có dạng (1.6) ω ≡ I Khi ω n ≡ I α + δ = cos kπ với k ∈ {1, 2, , n − 1} n Định lý 1.1 Giả sử ω ∈ G cho trước n ∈ N, n ≥ cố định Khi ω thỏa mãn điều kiện ωn ≡ I ω n ≡ I, m = 1, 2, 3, , n − (1.12) α + δ = cos αδ − βγ = kπ , k ∈ {1, 2, , n − 1} , (n, k) = n Chứng minh Theo mệnh đề 1.2, ta có α + δ = cos kπ ,với k ∈ {1, 2, , n − 1} n k π kπ k1 π Nếu (n, k) = l > α + δ = cos = cos ln = cos n1 = n n1 l n n < n Theo mệnh đề 1.2, ta có ω ≡ I, mâu thuẫn với giả thiết ω n1 ≡ I với l ∀m ∈ {1, 2, , n − 1} Vậy nên (n, k) = kπ ứng với k ∈ {1, 2, , n − 1} (n, k) = Từ Ngược lại, giả sử α + δ = cos n mệnh đề 1.2, suy ω n ≡ I Giả sử tồn m ∈ N, ≤ m < n cho ω m ≡ I Từ k1 π mệnh đề 1.1, suy tồn k1 ∈ {1, 2, , m − 1} cho α + δ = cos Khi n 10 Số hóa Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... trưng biến đổi cyclic Chương 2: Phương trình hàm sinh phép đối hợp với hệ số Chương 3: Phương trình hàm sinh phép đối hợp với hệ số biến thiên Chương 4: Một số áp dụng Qua tác giả xin bày tỏ lòng... tuyến tính với hệ số 15 2.2 Phương trình hàm với vế phải hàm số 23 Phương trình hàm sinh phép đối hợp với hệ số biến thiên 27 3.1 Nghiệm riêng phương trình hàm ... cần thiết phải hệ thống hóa kiến thức nâng cao dạng phương trình hàm ứng dụng chúng Đề tài "Phương trình hàm sinh phép quay số áp dụng" nhằm áp ứng mong muốn thân đề tài phù hợp mà sau phục vụ