Rèn luyện tư duy thông qua dạy học giải toán “phương trình hàm” cho học sinh khá, giỏi toán trung học phổ thông

Rèn luyện tƣ thơng qua dạy học giải tốn “Phƣơng trình hàm” cho học sinh khá, giỏi Tốn Trung học Phổ thơng Phùng Văn Đồn Trƣờng Đại học Giáo dục Luận văn Thạc sĩ ngành: Lý luận Phƣơng pháp dạy học; Mã số: 60 14 10 Ngƣời hƣớng dẫn: TS Phạm Văn Quốc Năm bảo vệ: 2011 Abstract: Hệ thống hóa sở lí luận tƣ tài liệu tâm lý học, giáo dục học, lý luận dạy học mơn Tốn Phân tích tài liệu giải tích, tài liệu viết hàm số phƣơng trình hàm Tìm hiểu đề thi học sinh giỏi Toán địa phƣơng, cấp Quốc gia, vơ địch Tốn nƣớc giới, vơ địch Tốn khu vực vùng lãnh thổ, vơ địch Tốn quốc tế Nghiên cứu vấn đề “Phƣơng trình hàm” diễn đàn toán học Keywords: Toán học; Giáo dục; Phƣơng pháp giảng dạy Content MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Với mong muốn xây dựng đƣợc số dạng tập phƣơng pháp giải “ Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ cho học sinh THPT qua việc dạy học theo chuyên đề bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT, chọn đề tài “Rèn luyện tư thông qua dạy học giải tốn “ Phương trình hàm” cho học sinh khá, giỏi Tốn Trung học Phổ thơng” làm đề tài để nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu Hệ thống tập phƣơng trình hàm tài liệu chun khảo mơn Tốn, diễn đàn toán học, đề thi học sinh giỏi Toán địa phƣơng, Quốc gia Quốc tế, để từ xem xét phân loại nghiên cứu phƣơng pháp giải chúng Qua đƣa đƣợc số dạng tập phƣơng trình hàm khai thác để rèn luyện thao tác kĩ tƣ cho học sinh Đối tƣợng khách thể nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Việc khai thác sử dụng tập “Phƣơng trình hàm” để rèn luyện tƣ cho học sinh THPT 3.2 Khách thể nghiên cứu Quá trình dạy học bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT Vấn đề nghiên cứu - Các “Phƣơng trình hàm” đƣợc phân loại theo dạng phƣơng pháp giải nhƣ ? - Các tốn, dạng tốn “Phƣơng trình hàm” đƣợc khai thác để rèn luyện tƣ cho học sinh khá, giỏi Toán THPT nhƣ nào? Giả thuyết khoa học Qua việc dạy học giải số dạng toán “Phƣơng trình hàm” rèn luyện đƣợc cho học sinh số phẩm chất, lực tƣ Toán học, qua góp phần nâng cao đƣợc chất lƣợng dạy học Tốn mang tính chiều sâu trƣờng THPT Phƣơng pháp nghiên cứu 6.1 Nghiên cứu lí luận 6.2 Nghiên cứu thực tiễn Phạm vi nghiên cứu Bài tập “Phƣơng trình hàm” số phƣơng pháp giải “Phƣơng trình hàm” thƣờng dùng Một số nét đề tài Tuyển chọn đƣợc phƣơng pháp giải số dạng “Phƣơng trình hàm” để dùng để dạy học bồi dƣỡng học sinh khá, giỏi toán THPT Khai thác đƣợc số tập “Phƣơng trình hàm” để rèn luyện số phẩm chất tƣ cho học sinh khá, giỏi Toán THPT Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đƣợc trình bày chƣơng Chƣơng : Cơ sở lý luận thực tiễn Chƣơng : Phƣơng pháp giải số dạng “Phƣơng trình hàm” việc tƣ cho học sinh khá, giỏi Toán Trung học Phổ thông Chƣơng : Thực nghiệm sƣ phạm CHƢƠNG CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Lịch sử vấn đề nghiên cứu rèn luyện 1.2 Tƣ vai trò dạy học chuyên đề “Phƣơng trình hàm” việc rèn luyện tƣ cho học sinh khá, giỏi Toán THPT 1.2.1 Khái niệm tư Tƣ trình nhận thức phản ánh thuộc tính chất, mối quan hệ có tính quy luật vật tƣợng thực khách quan (Theo định nghĩa Phạm Minh Hạc (chủ biên) Tâm lý học Nxb Giáo dục Hà Nội, 1992) 1.2.2 Một số đặc điểm tư Tƣ nảy sinh gặp hồn cảnh có vấn đề, tƣ có tính khái qt, tƣ có tính gián tiếp; Tƣ ngƣời có quan hệ mật thiết với ngơn ngữ: tƣ ngơn ngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau, nhƣng không đồng với Sự thống giữ tƣ ngôn ngữ thể rõ khâu biểu đạt kết q trình tƣ duy; Tƣ có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, tƣ thƣờng nhận thức cảm tính, dù tƣ có khái qt trừu tƣợng đến đâu nội dung tƣ chứa đựng thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, biểu tƣợng trực quan,…) X L Rubinstein khẳng định rằng: “Nội dung cảm tính có trừu tƣợng, tựa hồ nhƣ làm thành chỗ dựa cho tƣ duy” (dẫn theo Đavƣđov V V Các dạng khái quát hóa dạy học Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2000) 1.2.3 Tư Tốn học 1.2.3.1 Các loại hình tư Toán học Tư hàm suy nghĩ để nhận thức, giải vấn đề tƣơng quan đối tƣợng thay đổi kéo theo đối tƣợng khác thay đổi Tư lôgic suy nghĩ để nhận thức, giải vấn đề theo quy tắc suy luận lơgic Tư thuật tốn suy nghĩ để nhận thức, giải vấn đề theo trình tự định Tư trừu tượng suy nghĩ để nhận thức, giải vấn đề theo dấu hiệu chất Tư sáng tạo suy nghĩ nhận thức theo phƣơng diện mới, giải vấn đề theo cách mới, vận dụng hoàn cảnh Tư biện chứng xem xét vật tƣợng mối quan hệ biện chứng, có tính quy luật, quan điểm toàn diện, vận động phát triển theo nhiều quan điểm khác (Dựa theo Bùi Văn Nghị Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên Trung Học Phổ Thơng chu kì 2004 – 2007 Nxb Đại học Sƣ phạm, 2005) 1.2.3.2 Các thao tác tư Toán học Phán đoán : Dựa vào điều biết, thấy để suy xét rút nhận định điều chƣa biết, chƣa xảy Phân tích tổng hợp : Theo từ điển tiếng Việt Phân tích phân chia thật hay tƣởng tƣợng đối tƣợng nhận thức thành yếu tố; trái với tổng hợp Tổng hợp tổ hợp tƣởng tƣợng hay thật yếu tố riêng rẽ làm thành chỉnh thể; trái với phân tích Cịn theo Triết học Phân tích phƣơng pháp phân chia toàn thể thành phận, mặt, yếu tố để nghiên cứu hiểu đƣợc phận, mặt, yếu tố Tổng hợp phƣơng pháp dựa vào phân tích liên kết, thống phận, mặt, yếu tố lại để nhận thức đƣợc toàn thể So sánh : Thao tác nhằm phát đặc điểm chung khác số đối tƣợng So sánh thƣờng dẫn đến tƣơng tự, khái quát hóa Tương tự : Là thao tác tƣ dựa giống tính chất quan hệ đối tƣợng khác ( Hai phép chứng minh tƣơng tự đƣờng lối phƣơng pháp chứng minh giống ) Khái quát hóa đặc biệt hóa : Khái quát hóa suy luận chuyển từ khảo sát tập hợp đối tƣợng (khái niệm, tính chất,…) sang tập hợp khác rộng chúa tập hợp ban đầu làm tập cách nêu bật số đặc điểm chung phần tử tập hợp xuất phát, hay mở rộng khái niệm, tính chất tập hợp xét Trừu tượng hóa : Là gạt bỏ dấu hiệu khơng chất để tìm dấu hiệu chất(Việc phân biệt chất hay khơng chất mang tính tƣơng đối) (Dựa theo Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Đại học Sƣ phạm Hà Nội, 2002) 1.2.4 Dạy học giải tốn “ Phương trình hàm” 1.2.4.1 Vai trị tập q trình dạy học Hình thành, củng cố tri thức, kĩ năng, kĩ xảo giai đoạn khác trình dạy học, kể kĩ ứng dụng Toán học vào thực tiễn; Phát triển lực trí tuệ : Rèn luyện thao tác tƣ duy, hình thành phẩm chất trí tuệ; Bồi dƣỡng giới quan vật biện chứng, hình thành phẩm chất đạo đức ngƣời lao động (Dựa theo Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Đại học Sƣ phạm Hà Nội, 2002) 1.2.4.2 Phương pháp chung để giải Toán 1.2.4.3 Tiềm chuyên đề “Phương trình hàm” việc rèn luyện tư cho học sinh THPT Chun đề “Phƣơng trình hàm” có nhiều tập hay đẹp mặt thẩm mĩ Tốn học, khó học sinh THPT nhƣng học sinh giỏi Tốn đƣợc bồi dƣỡng chuyên đề tƣ học sinh đƣợc rèn luyện phát triển tốt tốn phƣơng trình hàm thể đƣợc nhiều nét để học sinh rèn luyện tƣơng đối đầy đủ thao tác tƣ Tốn học, cịn địi hỏi học sinh phải tƣ cao Vì việc bồi dƣỡng chuyên đề cho học sinh khá, giỏi Toán việc cần thiết quan trọng trình giáo dục trƣờng THPT 1.2.5 Công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi Toán THPT chuyên đề “Phương trình hàm” 1.2.5.1 Khái niệm học sinh khá, giỏi Toán THPT Học sinh khá, giỏi Toán THPT học sinh có khả Tốn đạt thành tích cao học tập mơn Tốn Những học sinh có khả Tốn học sinh tiếp thu nhanh học, thành thạo biến đổi biểu thức Toán học, biết suy luận lập luận chứng minh định lí hay tốn, biết liên hệ chủ đề tốn chƣơng trình Tốn THPT 1.2.5.2 Vai trị cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi 1.2.5.3 Thực trạng dạy học chuyên đề “Phương trình hàm”ở trường THPT Hiện nay, chuyên đề “Phƣơng trình hàm” chƣa đƣợc đề cập nhiều trƣờng THPT Các học sinh chuyên Toán đƣợc tiếp cận đƣợc học “Phƣơng trình hàm” từ nhiều năm nay, cịn học sinh trƣờng phổ thơng có hội tiếp cân lĩnh vực xa họ, gặp phải bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn để gải đa số học sinh cảm thấy “Phƣơng trình hàm” lĩnh vực khó lí là: đƣợc rèn luyện, tài liệu tham khảo viết “Phƣơng trình hàm” ít, giáo viên không dạy chuyên không đầu tƣ nghiên cứu sâu mảng nên ngại dạy cho học sinh Vì chun đề “Phƣơng trình hàm” cũ Tốn học sơ cấp nhƣng lại vấn đề hầu hết học sinh THPT CHƢƠNG PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG “PHƢƠNG TRÌNH HÀM” VÀ VIỆC RÈN LUYỆN TƢ DUY CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG 2.1 Một số kiến thức hàm số 2.1.1 Các định nghĩa tính chất 2.1.2 Đặc trưng số hàm số sơ cấp chương trình tốn THPT 2.1.3 Khái niệm “Phương trình hàm” Phƣơng trình hàm phƣơng trình đặc biệt mà ẩn (hoặc vài) hàm số Giải phƣơng trình hàm việc tìm tất hàm số thỏa mãn phƣơng trình hàm cho số điều kiện cho trƣớc 2.2 Phƣơng pháp giải số dạng “Phƣơng trình hàm” 2.2.1 Phương pháp đưa hệ phương trình Phƣơng pháp đƣa hệ phƣơng trình phƣơng pháp thƣờng đƣợc sử dụng cho việc giải phƣơng trình hàm có dạng a(x ) f [u (x )] + b(x ) f [v(x )] = c(x ) , a(x ), b(x ), c(x ), u (x ), v(x ) hàm số cho trƣớc, f hàm số cần tìm thỏa mãn phƣơng trình hàm Thơng thƣờng giải phƣơng trình hàm dạng thƣờng dùng phép thích hợp để tạo phƣơng trình hàm khác có dạng tƣơng tự Kết hợp phƣơng trình hàm cho với phƣơng trình hàm vừa tạo đƣợc hệ gồm nhiều phƣơng trình hàm từ hệ ta tìm đƣợc hàm số theo yêu cầu Phƣơng pháp làm nhƣ đƣợc gọi phƣơng pháp đƣa hệ phƣơng trình Bài tốn (Việt Nam 2000) Tìm tất hàm số f : ¡ ® ¡ thỏa mãn x f (x ) + f (1 - x ) = 2x - x , " x Î ¡ (1) Lời giải Thay x - x vào phƣơng trình (1) ta đƣợc x f (1 - x ) + f (x ) = 2(1 - x ) - (1 - x )4 , " x Ỵ ¡ (2) í x f (x ) + f (1 - x ) = 2x - x ï ï Từ (1) (2) ta có hệ phƣơng trình ì ï x f (1 - x ) + f (x ) = 2(1 - x ) - (1 - x )4 ï ï î Þ (x - x - 1) f (x ) = (x - x - 1)(1 - x ) , " x Ỵ ¡ Nếu x - x - ¹ Û x ¹ Đặt a = a 2b + f ( 1± f (x ) = - x 1+ 1- 1+ 1+ vào (1) ta đƣợc Þ = - ;f( ) = b Thay x = 2 a 2 1- ) = 2a - a Þ f ( 1- ) = 2a - a - a 2b Thử lại thấy hàm số thỏa mãn tốn.Vậy hàm số cần tìm í ï ï - x ( " x ¹ a; - ) ï ï a ï 1+ ï b(x = a ) (với a = , f (a ) = b ) f (x ) = ì ï ï ï ï 2a - a - a 2b(x = - ) ï ï a ỵ 2.2.2 Phương pháp đưa phương trình “Sai phân cấp 2” Phƣơng trình “Sai phân cấp 2” phƣơng trình có dạng au n + + bu n + + cu n = , a, b, c số cho trƣớc u n số hạng tổng quát dãy số cha c xỏc nh vi n ẻ Ơ Phng pháp đƣa phƣơng trình “Sai phân cấp 2” đƣợc thể nhƣ sau Giả sử ta cần tìm tất hàm số f : D ® ¡ thỏa mãn af ( f (x )) + bf (x ) + cx = , " x Ỵ D Với a, b, c số thuộc ¡ * cho trƣớc Thay x fn (x ) vào phƣơng tình ta đƣợc afn + (x ) + bfn + 1(x ) + cfn (x ) = , " x ẻ D, " n ẻ Ơ í u = x ; u = f (x ) ï ï +¥ Xét dãy số {u n }n = đƣợc xác định công thức ì ï u n = f (u n - )( " n ẻ Ơ * ) ù ù ợ Khi ta có phƣơng trình sai phân au n + + bu n + + cu n = , " n ẻ Ơ Ta có phƣơng trình đặc trƣng al + bl + c = Giả sử l 1; l nghiệm phƣơng trình đặc trƣng Theo lý thuyết phƣơng trình Sai phân l 1; l nghiệm thực ta có n n l ¹ l u n = Al + B l , " n ẻ Ơ l = l = l u n = (A n + B )l n , " n Î ¥ Nếu l 1; l nghiệm phức u n = r n (A cos n j + B sin n j ) , " n ẻ Ơ , ú r , j ln lƣợt mô đun Arcgument số phức l 1; l íx = u ï Khi ta có hệ phƣơng trình ï Giải hệ phƣơng trình ta tìm đƣợc hàm số ì ï f (x ) = u ï ỵ f (x ) Bài tốn Tìm tất hàm số f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f ( f (x )) = f (x ) - 2x , " x Ỵ ¡ Lời giải Thay x fn (x ) vào (17) ta đƣợc fn + (x ) - fn + 1(x ) + fn (x ) = , " x ẻ Ă , " n ẻ Ơ í u = x ; u = f (x ) ï ï +¥ Xét dãy số {u n }n = đƣợc xác định cơng thức ì ï u n = f (u n - )( " n ẻ Ơ * ) ù ù ợ Khi ta có phƣơng trình sai phân u n + - 3u n + + 2u n = , " n ẻ Ơ Ta cú phng trình đặc trƣng l - 3l + = Phƣơng trình có hai nghiệm l = 1; l = íx = u = A + B ï Khi u n = A.1 + B , " n ẻ Ơ Suy ï ì ï f (x ) = u = A + 2B ï ỵ n n Từ ta đƣợc f (x ) = x + B , " x Ỵ ¡ f (x ) = 2x - A , " x Ỵ ¡ Lần lƣợt thay vào (17) ta đƣợc A = 0; B = Vậy hàm số cần tìm f (x ) = x , " x Ỵ ¡ f (x ) = 2x , " x Î ¡ 2.2.3 Phương pháp sử dụng giới hạn tính liên tục hàm số (17) Bài tốn tổng qt Tìm tất hàm số liên tục f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f (x ) = bf (ax ) , " x Ỵ ¡ , a ¹ ± 1, (1 - a )(1 - b ) ³ Bài toán tổng quát Tìm tất hàm số liên tục f : ¡ + ® ¡ thỏa mãn f (x ) = af (x a ) , " x Ỵ ¡ + , a ¹ ± 1, a ¹ Bài tốn 11 Tìm tất hàm số liên tục f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f (x ) - x f ( ) = - x2 + x + 1, " x Ỵ ¡ 2 (22) Lời giải Gọi f * (x ) nghiệm riêng phƣơng trình (22) Ta có f *(x ) - * x f ( ) = - x2 + x + 2 (22’) Nhận thấy vế phải (22’) tam thức bậc hai nên nghiệm riêng tam thức bậc hai Suy f *(x ) = ax + bx + c , thay vào (22’) ta đƣợc x x (a( ) + b + c ) = - x + x + , " x Ỵ ¡ 2 ax + bx + c Û 7a 3b c x + x + = - x2 + x + 1, " x Ỵ ¡ Suy a = - 8 ;b = ; c = Vậy f *(x ) = - x + x + , " x Ỵ ¡ 7 Đặt g(x ) = f (x ) - f *(x ) = f (x ) - (- x + x + 2) Khi phƣơng trình cho trở thành g(x ) - Suy g(x ) = x g( ) = , " x Ỵ ¡ 2 x x x g( ) = g( ) = = n g( n ) , " x ẻ Ă , " n ẻ Ơ 2 2 2 Vì f (x ) liên tục nên g(x ) liên tục Suy g(x ) = lim nđ + Ơ Suy f (x ) = - x + x + 2, " x Ỵ ¡ x g( n ) = , " x Î ¡ n 2 Thử lại thấy hàm số thỏa mãn tốn Vậy có hàm số thỏa mãn toán f (x ) = - x + x + 2, " x Ỵ ¡ Bài tốn 16 (IMO Sortlist 1982) Tìm tất hàm số liên tục f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f (x ) + f (x ) = x + x , " x Ỵ ¡ (27) Lời giải Đặt g(x ) = f (x ) - x , " x Ỵ ¡ Thay vào (27) ta có g(x ) = - g(x ) , " x Î ¡ Suy g(x ) = g(- x ) , " x Ỵ ¡ Với x > ta có 1 g(x ) = - g(x ) = g(x ) = - g(x ) = g(x ) = = g(x ) , " x Ỵ ¡ + , " n ẻ Ơ 42 4n M hm s f (x ) liên tục nên g(x ) liên tục Suy g(x ) = lim g(x ) = g(1) = c , " x Ỵ ¡ + , c ẻ Ă 4n nđ + Ơ M g(x ) chẵn nên g(x ) = c , " x Î ¡ , c Î ¡ Suy f (x ) = x + c , " x Ỵ ¡ , c Ỵ ¡ Thử lại thấy hàm số thỏa mãn toán c = Vậy hàm số cần tìm f (x ) = x , " x Ỵ ¡ 2.2.4 Phương pháp Quy nạp Toán học Phƣơng pháp Quy nạp Toán học phƣơng pháp thƣờng đƣợc sử dụng tập hợp số tự nhiên Khi sử dụng phƣơng pháp vào việc giải “Phƣơng trình hàm” ta thƣờng thực theo bƣớc: - Tính giá trị hàm số f cần tìm số giá trị tập hợp số tự nhiên dựa vào giả thiết toán - Dựa vào giá trị f vừa tính ta dự đốn cơng thức hàm số f - Chứng minh công thức vừa dự đoán quy nạp Trong trƣờng hợp hàm số f cần tìm có tập xác định l  , Ô , Ă thỡ ta phi tỡm cơng thức hàm số f tập ¥ trƣớc mở rộng cơng thức vừa tìm đƣợc lần lƣợt trờn cỏc hp  , Ô , Ă Bài tốn 22 Tìm tất hàm số f : Ơ * đ Ơ * tha f (1) = f (m + n ) = f (m ) + f (n ) + mn , " m , n ẻ Ơ * Li gii Cho m = n = ta đƣợc f (2) = f (1) + = = + 10 (34) Cho m = 2, n = ta đƣợc f (3) = f (2) + f (1) + = = + + Cho m = 3, n = ta đƣợc f (4) = f (3) + f (1) + = 10 = + + + Từ giá trị f (n ) với n = 1;2;3;4 vừa tính ta dự đoán f (n ) = + + + + n = n (n + 1) , "n ẻ Ơ * Tht vy vi n = , ta có f (1) = hiển nhiên Giả sử f (k ) = k (k + 1) (k + 1)(k + 2) Ta chứng minh f (k + 1) = 2 Cho m = 1, n = k vào (34) ta đƣợc f (k + 1) = f (1) + f (k ) + k = + Vậy f (n ) = k (k + 1) (k + 1)(k + 2) +k= 2 n (n + 1) , " n Ỵ ¥ * hàm số cần tìm 2.2.5 Phương pháp biến Phƣơng pháp biến phƣơng pháp thƣờng đƣợc sử dụng giải “Phƣơng trình hàm” Nội dung phƣơng pháp thay biến có mặt phƣơng trình nhƣ x , y , giá trị đặc biệt thƣờng số 0, ± 1, ± 2, mà giá trị thuộc tập xác định hàm số điều kiện ràng buộc biến có Nhiều ta phải biến biểu thức để làm xuất số biểu thức cần thiết, rút gọn đƣợc hai vế “Phƣơng trình hàm” ban đầu thành “Phƣơng trình hàm” đơn giản Bài tốn 34 (Anh 2010) Tìm tất hàm f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f (x ) f (y ) = f (x + y ) + xy , " x , y Ỵ ¡ Lời giải Cho y = vào (50) ta đƣợc f (x )( f (0) - 1) = , " x Ỵ Ă Nu f (0) ị f (x ) = , " x Ỵ ¡ (khơng thỏa mãn toán) Nên f (0) = Cho y = - x ta đƣợc f (x ) f (- x ) = f (0) - x hay f (x ) f (- x ) = - x , " x Ỵ ¡ Cho x = ta đƣợc f (1) f (- 1) = Þ f (1) = f (- 1) = Với f (1) = Cho y = ta đƣợc f (x ) f (1) = f (x + 1) + x hay = f (x + 1) + x Þ f (x ) = - x , " x Ỵ ¡ Với f (- 1) = Cho y = - ta đƣợc 11 (50) f (x ) f (- 1) = f (x - 1) - x hay = f (x - 1) - x Þ f (x ) = + x , " x Ỵ ¡ Thử lại thấy hàm số thỏa mãn tốn Vậy hàm số cần tìm f (x ) = - x , " x Î ¡ f (x ) = + x , " x Ỵ ¡ 2.2.6 Phương pháp sử dụng phương trình hàm Cauchy Nhiều tốn “Phƣơng trình hàm” ta giải cần phải sử dụng kết “Phƣơng trình hàm Cauchy” Trong tốn “Phƣơng trình hàm” giả thiết tốn đƣa hàm số cần tìm có tính liên tục tập hợp thỏa mãn đẳng thức mà biến đổi chứng minh đƣợc hàm số cần tìm có tính chất cộng tính, nhân tính, hệ thức chuyển đổi phép toán số học Nhiều trƣờng hợp ta phải dùng phép đặt hàm phụ để đƣa “Phƣơng trình hàm” dạng “Phƣơng trình hàm” theo hàm phụ thỏa mãn “Phƣơng trình hàm Cauchy” Bài tốn 59 Tìm tất hàm liên tục f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f (x + y ) = f (x ) + f (y ) + 2xy , " x , y Ỵ ¡ (105) Lời giải Gọi f * (x ) nghiệm riêng (105) Ta có f *(x + y ) = f *(x ) + f *(y ) + 2xy , " x , y Ỵ ¡ (106) Ta thấy vế phải (106) có phần dƣ biểu thức 2xy có bậc hai nên nghiệm riêng có dạng f *(x ) = ax Thay vào (106) ta đƣợc a(x + y )2 = ax + ay + 2xy Û 2axy = 2xy , " x , y Ỵ ¡ Suy a = Vậy f *(x ) = x , " x Ỵ ¡ Đặt g(x ) = f (x ) - f *(x ) = f (x ) - x Khi (105) trở thành g(x + y ) = g(x ) + g(y ) , " x , y Ỵ ¡ Mà f (x ) liên tục nên g(x ) liên tục Theo phƣơng trình Cauchy ta đƣợc g(x ) = bx , " x Î ¡ , b Î ¡ Suy f (x ) = x + g(x ) = x + bx , " x Ỵ ¡ , b Î ¡ Thử vào (105) thấy thỏa mãn Vậy hàm số thỏa mãn toán f (x ) = x + bx , " x Ỵ ¡ ;b Ỵ ¡ 2.2.7 Phương pháp sử dụng tính đơn điệu, cộng tính nhân tính hàm số tính đối xứng biến Khi giải “Phương trình hàm” ta nên ý đến điểm sau Nếu hệ thức cho có tính đối xứng biến với nên đổi chỗ biến với để thu đƣợc hệ thức khác Nếu hàm số f cộng tính đơn điệu ¡ ¡ 12 + f (x ) = ax , " x Î ¡ Nếu hàm số f đơn điệu thực f đơn ánh Nếu hàm số f đơn điệu có cơng thức f tập số hữu t Ô thỡ ta thng chn hai dóy s hu tỉ đơn điệu ngƣợc chuyển qua giới hạn để suy công thức f ¡ ¡ + Trong trƣờng hợp ta dự đốn đƣợc cơng thức hàm số f mà hàm số f lại có tính đơn điệu ta chứng minh tính cơng thức Nếu ta chứng minh đƣợc hàm số f cần tìm vừa có tính chất cộng tính lại vừa có tính chất nhân tính ta f (x ) = , " x Ỵ ¡ f (x ) = x , " x Ỵ ¡ 2.3 Rèn luyện số phẩm chất tƣ thông qua số tốn “Phƣơng trình hàm” 2.3.1 Rèn luyện tư “Khái qt hóa” “Đặc biệt hóa” thơng qua số tốn Trong “Phƣơng trình hàm” thƣờng có mặt hàm số cần đƣợc xác định từ A ® B , A đƣợc gọi tập nguồn hay tập xác định, tập B đƣợc gọi tập đích hàm số Thơng thƣờng tập hợp A, B tập hợp số đƣợc biết chƣơng trình Tốn THPT nh Ơ ,  , Ô , Ă hoc tập tƣơng ứng chúng Các tập hợp trờn li cú quan h bao hm Ơ è  è Ô è Ă nờn nu hm s f cú cơng thức tập hợp cơng thức tập hợp chứa Dựa vào điều giải “Phƣơng trình hàm” thực đƣợc số việc sau Một là, ngồi việc dự đốn cơng thức hàm số dựa vào tính chất đặc trƣng hàm số cần tìm ta dự đốn cơng thức tập hợp nhỏ chứa tập hợp nguồn cho toán Để làm đƣợc điều đặc biệt hóa theo đƣờng quy nạp Hai là, xây dựng đƣợc chuỗi toán tập hợp chứa tập hợp cho Trong trƣờng hợp muốn có cơng thức hàm số f tập hợp mà tập hợp chứa tức từ tập hợp nhỏ đến tập lớn chứa tập hợp cho ta phải thêm điều kiện để hàm số f thỏa mãn Nếu thực đƣợc điều ta khái qt đƣợc tốn Nhiều trƣờng hợp khơng khái qt hóa tốn cách mở rộng tập hợp mà cịn mở rộng toán đƣờng khác nhƣ thêm vào “Phƣơng trình hàm” hay vài hàm số cần tìm khác, thêm biến vào “Phƣơng trình hàm” cho để đƣợc “Phƣơng trình hàm” tổng qt hơn,… 13 2.3.1.1 Bài tốn “Phương trình hàm” đề thi Na Uy 1998 Trong đề thi vô địch Tốn Na Uy năm 1998 có tốn sau Tỡm tt c c cỏc hm s f : Ô đ Ô tha f (x + y ) + f (x - y ) = f (x ) + f (y ) , " x , y ẻ Ô Nhn xột 13: Trong bi toỏn trờn ta thấy tập nguồn tập đích hàm số f cn tỡm l s hu t Ô , ta tìm cơng thức hàm số f trờn Ô thỡ cụng thc ú cng ỳng trờn cỏc Ơ v  vỡ hai hp ny u l ca Ô Da vo iu để giải toán ta giải tốn trên tập hợp ¥ ¢ , việc ta đặc biệt hóa tốn để tốn đơn giản hơn, sau ta giải tốn tập hp Ô Bi toỏn 86 Tỡm tt c c cỏc hm s f : Ơ đ Ơ tha f (m + n ) + f (m - n ) = f (m ) + f (n ) , " m , n ẻ Ơ (185) Li giải Cho m = n = vào (185) ta đƣợc f (0) = Đặt f (1) = a ẻ Ơ Cho m = n = vào (185) ta đƣợc f (2) = 4a = a 22 Cho m = 2, n = vào (185) ta đƣợc f (3) = 9a = a 32 Ta có f (n ) = an , " n ẻ Ơ , a ẻ Ơ Tht với n = ta có f (0) = (đúng) Giả sử f (k ) = ak Cho m = k, n = vào (185) ta đƣợc f (k + 1) + f (k - 1) = 2f (k ) + 2f (1) Û f (k + 1) + a(k - 1)2 = 2ak + 2a Suy f (k + 1) = ak + 2ak + a = a(k + 1)2 Vậy f (n ) = an , " n Î ¥ , a Î ¥ Thử lại ta thấy hàm số thỏa mãn toán Vậy hàm số cần tìm f (n ) = an , " n ẻ Ơ , a ẻ Ơ Bài tốn 87 Tìm hàm số f :  đ  tha f (m + n ) + f (m - n ) = f (m ) + f (n ) , " m , n ẻ  Li gii Cho m = n = vào (186) ta đƣợc f (0) = t f (1) = a ẻ  Theo tốn 86 ta có f (n ) = an , " n ẻ Ơ , a Î ¢ Cho m = vào (186) ta có f (n ) = f (- n ) , " n ẻ  Vi " n ẻ  - ta có f (n ) = f (- n ) = a(- n )2 = an 14 (186) Vậy f (n ) = an , " n ẻ  , a ẻ  Th li ta thấy hàm số thỏa mãn toán Vậy hàm số cần tìm f (n ) = an , " n ẻ  , a ẻ  Bài tốn 88 (Na Uy 1998) Tìm tất c cỏc hm s f : Ô đ Ô tha mãn f (x + y ) + f (x - y ) = f (x ) + f (y ) , " x , y ẻ Ô (187) Lời giải Cho x = y = vào (187) ta đƣợc f (0) = Cho x = vào (187) ta đƣợc f (- y ) = f (y ) , " y ẻ Ô suy f (x ) hàm số chẵn Đặt f (1) = a Theo tốn ta có f (n ) = an , " n ẻ  , a ẻ Ô Cho y = x vo (187) ta đƣợc f (2x ) = f (x ) = 22 f (x ) , " x Ỵ ¤ Bằng quy nạp ta suy đƣợc f (nx ) = n f (x ) , " n ẻ Ơ , " x ẻ Ô Từ kết ta có an = f (n ) = f (m n n n n ) = m f ( ) Þ f ( ) = a ( )2 , " n ẻ  , " m ẻ Ơ * m m m m Suy f (r ) = ar , " r ẻ Ô Th li thy hm s thỏa mãn toán Vậy f (x ) = ax , " x ẻ Ô , a ẻ ¤ hàm số cần tìm Nhận xét 14: Để bi toỏn trờn cú th m rng t Ô tập ¡ ta cần phải thêm tính liên tục hàm số f Khi ta có tốn sau Bài tốn 89 Tìm hàm số liên tục f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f (x + y ) + f (x - y ) = f (x ) + f (y ) , " x , y Ỵ ¡ (188) Lời giải Theo tốn 88 ta có f (r ) = ar , " r Ỵ Ô +Ơ {} Ly x ẻ Ă bt k Xét dãy số hữu tỉ rn n=1 cho lim rn = x nđ + Ơ Vỡ hm s f (x ) liên tục ¡ nên ta có f (x ) = f ( lim rn ) = lim f (rn ) = lim arn = ax nđ + Ơ nđ + Ơ nđ + ¥ Thử lại thấy hàm số f (x ) = ax , " x Ỵ ¡ , a Ỵ ¡ thỏa mãn toán Vậy f (x ) = ax , " x Ỵ ¡ , a Ỵ ¡ hàm số cần tìm Nhận xét 15: Đến mở rộng tốn 89 cách tăng số lượng hàm số phương trình hàm 188 việc thay hàm số f hay vài hàm số khác g, h, k Ta toán sau 15 Bài toán 90 Tìm tất hàm số liên tục f , h : ¡ ® ¡ thỏa mãn f (x + y ) + f (x - y ) = 2h(x ) + 2h(y ) , " x , y Ỵ ¡ (189) Lời giải Cho y = vào (189) ta có f (x ) + f (x ) = 2h(x ) + 2h(0) Suy f (x ) = h (x ) + h (0) = h(x ) + c (với c = h (0) ) Thay vào (189) ta có h (x + y ) + c + h (x - y ) + c = 2h (x ) + 2h (y ) Đặt g(x ) = h (x ) - c Khi ta có phƣơng trình g(x + y ) + g(x - y ) = 2g(x ) + 2g(y ) , " x , y Ỵ ¡ (190) Vì hàm h (x ) liên tục ¡ nên hàm g(x ) liên tục ¡ Theo toán 89 ta có g(x ) = ax , " x Î ¡ Suy h(x ) = ax + c , f (x ) = h(x ) + c = ax + 2c Thử lại thấy hàm số thỏa mãn toán Vậy f (x ) = ax + 2c , h(x ) = ax + c cặp hàm số cần tìm Bài tốn 91 Tìm tất hàm số liên tục f , g, h : ¡ ® ¡ thỏa mãn f (x + y ) + g(x - y ) = 2h(x ) + 2h(y ) , " x , y Ỵ ¡ (191) x Lời giải Cho x = y vào (191) ta đƣợc f (2x ) = 4h(x ) - a Þ f (x ) = 4h( ) - a (với g(0) = a ) x Cho y = , đặt h (0) = b ta đƣợc g(x ) = 2h(x ) + 2b - 4h( ) + a Thay vào (191) ta đƣợc é x+y x- y ù 2ê ( h ) - h( )ú+ h(x - y ) + b = h(x ) + h(y ) , " x , y Ỵ ¡ ê 2 ú ë û Đặt H (x ) = h (x ) - b Ta có phƣơng trình é x+y x- y ù 2ê ( H ) - H( )ú+ H (x - y ) = H (x ) + H (y ) , " x , y Ỵ ¡ ê 2 ú ë û Vì hàm số viết thành tổng hàm số chẵn hàm số lẻ nên H (x ) = He (x ) + H o (x ) với He (x ), H o (x ) lần lƣợt hàm số chẵn, lẻ Thay x - x vào (192) ta đƣợc 16 (192) é -x+y -x- y ù 2ê ( H ) - H( )ú+ H (- x - y ) = H (- x ) + H (y ) ê ú 2 ë û é x- y x+y ù ) - H( )ú+ H (x + y ) = H (x ) + H (- y ) ê 2 ú ë û Thay y - y ta đƣợc ê ( H Từ ta có é -x+y -x+y -x- y -x- y ù ê e( H ) + Ho ( ) - He ( ) - Ho ( )ú ê ú 2 2 ë û + He (- x - y ) + H o (- x - y ) = He (- x ) + H o (- x ) + He (y ) + H o (y ) (193) é x- y x- y x+y x+y ù ê e( H ) + Ho( ) - He ( ) - Ho( )ú ê 2 2 ú ë û + He (x + y ) + H o (x + y ) = He (x ) + H o (x ) + He (- y ) + H o (- y ) (194) Cộng phƣơng trình (193) (194) ta đƣợc é x+y x- y ù ê e( H ) - He ( )ú+ H e (x - y ) = H e (x ) + H e (y ) , " x , y Ỵ ¡ ê 2 ú ë û (195) Thay y - y vào (195) ta đƣợc é x- y x+y ù ê e( H ) - He ( )ú+ H e (x + y ) = H e (x ) + H e (- y ) , " x , y Ỵ ¡ ê 2 ú ë û (196) Cộng phƣơng trình (195) (196) ta đƣợc He (x + y ) + He (x - y ) = 2He (x ) + 2He (y ) , " x , y Ỵ ¡ Vì hàm h (x ) liên tục ¡ nên hàm H e (x ) liên tục ¡ Theo toán 89 ta có H e (x ) = ax , " x , y Ỵ ¡ Trừ phƣơng trình (193) cho (194) ta đƣợc é x- y x+y ù ê Ho ( ) + Ho ( )ú- H o (x + y ) = - H o (x ) - H o (y ) , " x , y Î ¡ ê 2 ú ë û (197) Thay y - y vào (197) ta đƣợc é x+y x- y ù ê Ho ( ) + Ho ( )ú- H o (x - y ) = - H o (x ) - H o (- y ) , " x , y Ỵ ¡ (198) ê 2 ú ë û Cộng hai phƣơng trình (197) (198) ta đƣợc 17 Ho (x + y ) + H o (x - y ) = 2H o (x ) , " x , y Ỵ ¡ (199) íu = x + y ï Đặt ï Khi phƣơng trình (199) trở thành ì ïv = x - y ï ỵ Ho( H (u ) + H o (v ) u+v )= o , " u, v Ỵ ¡ 2 (200) Ta thấy (200) phƣơng trình Jensen nên H o (x ) = bx + c , " x Ỵ ¡ ;b, c Ỵ ¡ Mà H o (x ) lẻ nên c = Þ Ho (x ) = bx , " x Ỵ ¡ ;b Ỵ ¡ Vậy H (x ) = H e (x ) + H o (x ) = ax + bx , " x Ỵ ¡ ; a, b Ỵ ¡ Suy x h(x ) = H (x ) + b = ax + bx + b , f (x ) = 4h( ) - a = ax + 2bx + 4b - a ; g(x ) = 2h(x ) + 2b - f (x ) = ax + a , " x Ỵ ¡ ; a, b, a , b Ỵ ¡ Thử lại thấy hàm số thỏa mãn toán Vậy hàm số cần tìm f (x ) = ax + 2bx + 4b - a , g(x ) = ax + a , h(x ) = ax + bx + b " x Ỵ ¡ ; a, b, a , b Ỵ ¡ Bài tốn 92 Tìm tất hàm số liên tục f , g, h, k : ¡ ® ¡ thỏa mãn f (x + y ) + g(x - y ) = 2h(x ) + 2k (y ) , " x , y Ỵ ¡ (201) Lời giải Đổi chỗ x y cho phƣơng trình (201) ta đƣợc f (y + x ) + g(y - x ) = 2h(y ) + 2k (x ) , " x , y Ỵ ¡ (202) Cộng hai phƣơng trình (201) (202) ta đƣợc f (x + y ) + g(x - y ) + g(y - x ) = 2(h(x ) + k (x )) + 2(h(y ) + k (y )) Đặt l(x ) = h (x ) + k (x ) ta đƣợc phƣơng trình f (x + y ) + g(x - y ) + g(y - x ) = 2l(x ) + 2l(y ) , " x , y Î ¡ (203) x Cho x = y , đặt g(0) = a ta đƣợc f (2x ) + 2a = 4l(x ) Þ f (x ) = 2l( ) - a Suy f (x + y ) = 2l( x+y ) - a , " x, y Ỵ ¡ Cho y = , đặt l(0) = b ta đƣợc f (x ) + g(x ) + g(- x ) = 2l(x ) + 2b Þ g(x ) + g(- x ) = 2l(x ) - f (x ) + 2b 18 (204) x Þ g(x ) + g(- x ) = 2l(x ) - 4l( ) + 2a + 2b Þ g(x - y ) + g(y - x ) = 2l(x - y ) - 4l( x- y ) + 2a + 2b , " x , y Ỵ ¡ (205) Thay (204), (205) vào (203) ta đƣợc 4l( x+y x- y ) - 2a + 2l(x - y ) - 4l( ) + 2a + 2b = 2l(x ) + 2l(y ) 2 Þ 4l( x+y x- y ) + 2l(x - y ) - 4l( ) + 2b = 2l(x ) + 2l(y ) 2 éx+y x- y ù Þ ê( l ) - l( )ú+ l(x - y ) + b = l(x ) + l(y ) , " x , y Ỵ ¡ ê 2 ú ë û (206) Đặt L (x ) = l(x ) - b Phƣơng trình (206) trở thành é x+y x- y ù Þ 2ê ( L ) - L( )ú+ L (x - y ) = L (x ) + L (y ) , " x , y Ỵ ¡ ê 2 ú ë û Làm tƣơng tự tốn 91 ta có đƣợc L(x ) = ax + bx Þ l(x ) = ax + bx + b x Suy f (x ) = 2l( ) - a = a x + bx + 2b - a Đặt k (0) = g Các hàm số g(x ), h (x ), k (x ) thỏa mãn hệ phƣơng trình í h (x ) + k (x ) = l (x ) ï ï ì ï f (x ) + g(x ) = 2h (x ) + 2g ï ỵ í h(x ) = ax + bx + b - k (x ) ï ï Û ï ì ï g(x ) = 2(ax + bx + b - k (x )) + 2g - ( a x + bx + 2b - a ) ï ï ï ỵ í h(x ) = ax + bx + b - k (x ) ï ï Û ï ì ï g(x ) = 3a x + bx - 2k (x ) + 2g + a ï ï ï ỵ Thay vào phƣơng trình (201) ta đƣợc a 3a (x + y )2 + b(x + y ) + 2b - a + (x - y )2 + b(x - y ) - 2k (x - y ) + 2g + a 2 = 2(ax + bx + b - k (x )) + 2k(y ) 19 Û k(x - y ) = k(x ) - k(y ) + ay - axy + g , " x , y Ỵ ¡ (207) Đặt u(x ) = k (x ) - mx - n thay vào (207) ta đƣợc u(x - y ) = u(x ) - u(y ) + (a - 2m )y - (a - 2m )xy + (n - g) Chọn m = a , n = g ta đƣợc phƣơng trình u (x - y ) = u (x ) - u (y ) Û u (x + y ) = u (x ) + u (y ) , " x , y Î ¡ Vì k (x ) liên tục ¡ nên u (x ) liên tục ¡ Vậy u (x ) liên tục cộng tính ¡ nên ta có u (x ) = cx Vậy ta có k (x ) = a a x + g + u (x ) = x + cx + g ; 2 g(x ) = 3a a a x + bx - 2( x + cx + g ) + 2g + a = x + (b - 2c )x + a ; 2 a a h(x ) = ax + bx + b - ( x + cx + g ) = x + (b - c )x + b - g 2 Thử lại thấy hàm số thỏa mãn toán Vậy hàm số cần tìm f (x ) = a a x + bx + 2b - a , g(x ) = x + (b - 2c)x + a ; 2 h (x ) = a a x + (b - c)x + b - g , k (x ) = x + cx + g 2 " x Ỵ ¡ ; a, b, c, a , b , g Ỵ ¡ 2.3.1.2 Bài tốn “Phương trình hàm” đề thi Italia 1999 IMO 1992 2.3.3 Nhận dạng đẳng thức qua “Phương trình hàm” CHƢƠNG THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM 3.1 Mục đích nhiệm vụ thực nghiệm 3.1.1 Mục đích thực nghiệm Thực nghiệm sƣ phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi hiệu đề tài “Rèn luyện tư thông qua dạy học giải Tốn “Phương trình hàm” cho hoc sinh khá, giỏi Tốn Trung học Phổ thơng” 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 20 Thực nghiệm giảng dạy phƣơng pháp giải số dạng Tốn “Phƣơng trình hàm” việc khai thác số tốn “Phƣơng trình hàm” cho nhóm học sinh khá, giỏi Tốn khối 12 trƣờng THPT Ngơ Quyền – Ba Vì thuộc thành phố Hà Nội 3.2 Tổ chức thực nghiệm 3.2.1 Đề kiểm tra lần Bài Tìm tất hàm số f : ¡ ® ¡ thỏa mãn x f (x ) + f (1 - x ) = 2009x - 2012 , " x Ỵ ¡ Bài Tìm tất hàm số liên tục f : ¡ f ( x ) - x f (x ) = + ® ¡ thỏa mãn 2011 - 2011x , " x Ỵ ¡ + x 3.2.2 Đề kiểm tra lần Bài Tìm tất hàm liên tục f : ¡ ® ¡ thỏa mãn f (2011x - 2012y ) = 2011f (x ) - 2012 f (y ) , " x , y Ỵ ¡ Bài Tìm tất hàm f : ¡ + ® ¡ thỏa mãn f (x ) f (y ) = f (xy ) + 1 + + 2011 , " x , y Ỵ ¡ x y + 3.2.3 Bài tập làm nhà Bài Tìm tất hàm số f : ¤ ® ¤ thỏa mãn f (x + y ) = f (x ) + f (y ) f (xy ) = f (x ) f (y ) , " x , y ẻ Ô Bi Tỡm cách giải khác tốn Tìm tất hàm số nghịch biến f : ¡ f (x + f (y )) = + ® ¡ thỏa mãn y , " x, y Ỵ ¡ xy + + Điều kiện hàm số f nghịch biến bỏ đƣợc hay khơng? 3.3 Kết kiểm tra số nhận xét sau thực nghiệm 3.3.1 Kết kiểm tra Điểm 0-2 3-4 5-6 7-8 - 10 Tổng số Số lần 11 30 Số lần 2 15 30 Số nhà 18 30 3.3.2 Một số nhận xét sau thực nghiệm 21 Nhìn chung, sau học xong chuyên đề “Phƣơng trình hàm”, em học sinh vận dụng đƣợc phƣơng pháp giải “Phƣơng trình hàm” để làm đƣợc tập “Phƣơng trình hàm” kiểm tra KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ Chuyên đề “Phƣơng trình hàm” lĩnh vực cịn xa lạ với hầu hết học sinh THPT nay,vì khó Nhƣng bên cạnh khó chun đề lại giúp khơng lợi ích vào việc rèn luyện phát triển tƣ cho học sinh THPT, việc nghiên cứu chuyên đề để sử dụng vào trình dạy học tốn trƣờng THPT cần thiết Hiện nay, tài liệu tiếng Việt tiếng nƣớc ngồi viết chun đề “Phƣơng trình hàm” cịn nên giáo viên học sinh khơng có nhiều tài liệu tham khảo chuyên đề để học tập nghiên cứu Do nhiều tập đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho quan tâm đến chuyên đề “Phƣơng trình hàm” Với hy vọng nho nhỏ đó, đề tài đóng góp phần nho nhỏ vào việc nâng cao chất lƣợng giáo dục Mong cấp lãnh đạo từ nơi tác giả học tập, nơi tác giả công tác cấp quản lý tạo điều kiện giúp đỡ tác giả sau trình thực đề tài để đề tài ngày hồn thiện thành cơng References Sách tiếng Việt Tơ Văn Ban Giải tích tập nâng cao Nxb Giáo dục Việt Nam, 2005 Trần Nam Dũng (Chủ biên) Chuyên đề Toán học số Nxb Thành phố Hồ Chí Minh, 2010 Đavƣđov V.V Các dạng khái quát dạy học(Sách dịch) Nxb Đại học Quốc Gia Hà Nội, 2000 Phạm Minh Hạc (Chủ biên) Tâm lý học Nxb Giáo dục Hà Nội, 1992 Nguyễn Thái Hòe Rèn luyện tư qua việc giải tập Toán Nxb Giáo dục Việt Nam, 2004 Phan Huy Khải Các toán hàm số Nxb Giáo dục Việt Nam, 2007 Nguyễn Bá Kim Phương pháp dạy học mơn Tốn Nxb Đại học Sƣ phạm, 2002 Hƣng Thịnh Lạc Phương pháp tư lơgic (Sách dịch) Nxb Văn hóa Thơng tin, 2008 Nguyễn Phú Lộc Dạy học hiệu mơn Giải Tích trường phổ thông Nxb Giáo dục Việt Nam, 2010 10 Nguyễn Văn Lộc(Chủ biên) Tuyển chọn thi vơ địch Tốn địa phương, Quốc gia, Quốc tế Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội, 2010 22 11 Nguyễn Văn Mậu(Chủ biên) Một số chuyên đề Giải Tích bồi dưỡng học sinh giỏi trung học phổ thơng Nxb Giáo dục Việt Nam, 2010 12 Nguyễn Văn Mậu Phương trình hàm Nxb Giáo dục, 2001 13 Bùi Văn Nghị Giáo trình phương pháp dạy học nội dung cụ thể mơn Tốn Nxb Đại học Sƣ phạm, 2008 14 Bùi Văn Nghị(Chủ biên) Tài liệu bồi dưỡng thường xuyên giáo viên trung học phổ thông Nxb Đại học Sƣ phạm, 2005 15 Bùi Văn Nghị Vận dụng lí luận vào thực tiễn dạy học mơn Tốn trường phổ thông Nxb Đại học Sƣ phạm, 2009 16 Polya Giải toán nào(Sách dịch) Nxb Giáo dục Việt Nam, 1997 17 Sácđacốp Tư học sinh(Sách dịch) Nxb Giáo dục Hà Nội, 1970 18 Chu Trọng Thanh Cơ sở toán học đại kiến thức mơn Tốn phổ thơng Nxb Giáo dục Việt Nam, 2011 19 Nguyễn Trọng Tuấn Bài toán hàm số qua kì thi Olimpic, Nxb Giáo dục Việt nam, 2005 20 Lê Hải Yến Dạy học phương pháp tư Nxb Đại học Sƣ phạm, 2008 Sách tiếng Anh 21 Chiristopher G.Small Functional Equations and How to Solve Them Springer, 2007 22 Graeme West Functional Equations for the Olimpiad Enthusiast Kent Ohio USA, 1997 23 Lee Peng Yee Mathematical Olypiad in China World scientific Singapore, 2007 24 Marek Kuczma Funtional equations in a single variable Warszawa, 1968 25 Prasanna Sahoo Mean value theorems and functional equations World scientific Singapore, 1998 26 Samuel Goldberg Introduction to Difference Equations New York, 1960 Các trang Web 27 www.imomath.com 28 www.mathlink.ro 23 ... hiệu đề tài ? ?Rèn luyện tư thông qua dạy học giải Tốn “Phương trình hàm” cho hoc sinh khá, giỏi Tốn Trung học Phổ thơng” 3.1.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 20 Thực nghiệm giảng dạy phƣơng pháp giải số dạng... giỏi Toán THPT chuyên đề “Phương trình hàm” 1.2.5.1 Khái niệm học sinh khá, giỏi Toán THPT Học sinh khá, giỏi Toán THPT học sinh có khả Tốn đạt thành tích cao học tập mơn Tốn Những học sinh có... pháp giải nhƣ ? - Các tốn, dạng tốn “Phƣơng trình hàm” đƣợc khai thác để rèn luyện tƣ cho học sinh khá, giỏi Toán THPT nhƣ nào? Giả thuyết khoa học Qua việc dạy học giải số dạng toán “Phƣơng trình