Về tính ổn định của phương trình hàm cauchy

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ BÍCH HUYỀN VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ BÍCH HUYỀN VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS CAO VĂN NUÔI Đà Nẵng – Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Nguyễn Thị Bích Huyền MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn Tổng quan tài liệu nghiên cứu CHƢƠNG 1: LỊCH SỬ PHƢƠNG TRÌNH HÀM VÀ CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 SỰ RA ĐỜI CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM 1.1.1 Nicole Orsme (1323-1328) 1.1.2 Gregory of Saint- Vincent (1584-1667) 1.1.3 Augustin- Louis Cauchy (1789-1857) 1.1.4 Jean d’Alembert (1717-1783) 1.2 MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƢƠNG TRÌNH HÀM 1.3 PHƢƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY 11 1.4 CÁC DẠNG BÀI TỐN PHƢƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY VÀ ỨNG DỤNG 18 CHƢƠNG 2: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM CAUCHY CỘNG TÍNH 24 2.1 ĐỊNH NGHĨA TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM 24 2.2 DÃY CAUCHY VÀ CHUỖI CẤP SỐ NHÂN 25 2.3 ĐỊNH LÝ HYERS 30 2.4 TỔNG QUÁT HÓA CỦA ĐỊNH LÝ HYERS 36 2.5 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN 44 CHƢƠNG 3: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM MŨ CAUCHY 48 3.1 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM MŨ 48 3.2 ỔN ĐỊNH KIỂU GER CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM MŨ 56 KẾT LUẬN 63 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 64 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Phƣơng trình hàm lĩnh vực quan trọng giải tích tốn học Phƣơng trình hàm không đối tƣợng để nghiên cứu mà bên cạnh cịn đóng vai trị nhƣ công cụ đắc lực ứng dụng vào lĩnh vực khác Chuyên đề phƣơng trình hàm phần hay đƣợc đƣa vào bồi dƣỡng cho học sinh trƣờng trung học phổ thông chuyên Và dạng tốn khác có liên quan đến phƣơng trình hàm thƣờng xuất kì thi học sinh giỏi nhƣ kì thi Olympic toán quốc gia quốc tế Trong năm gần đây, nhà tốn học tiếp cận phƣơng trình hàm với nhiều mục tiêu nghiên cứu khác Trong đó, vấn đề tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy đƣợc nhà toán học đặc biệt quan tâm nghiên cứu Trong nghiên cứu, nhà khoa học đặt câu hỏi: Nếu thay đổi giả thiết định lý liệu khẳng định kết luận định lý cịn “đúng xấp xỉ” hay khơng ? Và mở rộng vấn đề nghiên cứu tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy là: Nếu có biến đổi nhỏ cơng thức hay phƣơng trình có biến đổi nhỏ kết tƣơng ứng hay không? Đây vấn đề mở đầu cho việc nghiên cứu tính ổn định phƣơng trình hàm Với lí khả tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề phƣơng trình hàm tơi chọn đề tài: “Về tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy” làm luận văn tốt nghiệp bậc cao học Mục tiêu nghiên cứu Luận văn “ Về tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy” nhằm giải thích khảo sát tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy Trong trình bày định lý nhà tốn học Hyers tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy cộng tính, phƣơng trình hàm mũ Cauchy ổn định kiểu Ger phƣơng trình hàm mũ Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu luận văn phƣơng trình hàm Cauchy ứng dụng, phƣơng trình hàm mũ Cauchy số lý thuyết, định lý liên quan đến tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy Đồng thời tìm hiểu khái quát đời phƣơng trình hàm Phạm vi nghiên cứu: Luận văn chủ yếu đề cập đến phƣơng trình hàm Cauchy định lý tính ổn định phƣơng trình hàm có liên quan Phƣơng pháp nghiên cứu Phƣơng pháp tự nghiên cứu, tìm hiểu, thu thập tài liệu từ sách tiếng Anh, sách tham khảo, giáo trình Giáo sƣ Nguyễn Văn Mậu tài liệu nghiên cứu khác có liên quan đến khảo sát tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy Phƣơng pháp phân tích, tổng hợp tài liệu trao đổi với giáo viên hƣớng dẫn để trình bày nội dung vấn đề luận văn cách phù hợp Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, ba chƣơng danh mục tài liệu tham khảo Chƣơng Trình bày tóm tắt vài nét đời phƣơng trình hàm, sở lý thuyết, dạng tốn phƣơng trình hàm Cauchy ứng dụng Chƣơng Trình bày tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy cộng tính nhƣ: dãy Cauchy, định lý Hyers, tổng quát hóa định lý Hyers Chƣơng Trình bày tính ổn định phƣơng trình hàm mũ Cauchy nhƣ: phƣơng trình hàm mũ, phƣơng trình hàm Cauchy nhân tính, ổn định kiểu Ger phƣơng trình hàm mũ Tổng quan tài liệu nghiên cứu Đề tài nêu lý thuyết phƣơng trình hàm Cauchy hệ thống tập, phƣơng pháp giải số tốn phƣơng trình hàm có ứng dụng phƣơng trình hàm Cauchy Khảo sát tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy cộng tính, nhân tính phƣơng trình hàm mũ Cauchy CHƢƠNG LỊCH SỬ PHƢƠNG TRÌNH HÀM VÀ CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1.1 SỰ RA ĐỜI CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM Trong phát triển chung Tốn học, phƣơng trình hàm đóng vai trị quan trọng khơng lí thuyết hàm số mà cịn có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Phƣơng trình hàm giống nhƣ phƣơng trình đại số tốn học bậc trung học nhƣng ẩn phƣơng trình hàm nhiều hàm số Vì dạng tốn phƣơng trình hàm phong phú đa dạng bao gồm loại phƣơng trình tuyến tính, phi tuyến tính phƣơng trình ẩn hàm, phƣơng trình nhiều ẩn hàm Phần trình bày vài nét đời phƣơng trình hàm 1.1.1 Nicole Orsme (1323-1328) Nicole Orsme nhà khoa học lớn kỉ XIV, nhà toán học ngƣời Pháp Những nghiên cứu ơng góp phần khơng nhỏ khoa học thời Phục Hƣng Năm 1348, Nicole Orsme giành đƣợc học bổng Đại học Pari Năm 1355, ông có thạc sĩ đƣợc bổ nhiệm làm hiệu trƣởng trƣờng Đại học Navarre Pháp Chuyên đề phƣơng trình hàm đƣợc nhà tốn học quan tâm nghiên cứu từ sớm Từ kỉ XIV, nhà toán học Nicole Orsme xác định hàm số bậc nghiệm phƣơng trình hàm Cụ thể là, ơng đặt tốn tìm hàm số f ( x) thỏa mãn với x, y, z  , đơi phân biệt, phƣơng trình hàm y  x f ( y )  f ( x)  z  y f (z)  f ( y ) (1.1) Và Nicole Orsme tìm đƣợc nghiệm phƣơng trình (1.1) là: f ( x)  ax  b với a, b số 1.1.2 Gregory of Saint- Vincent (1584-1667) Những năm sau đó, phƣơng trình hàm đƣợc biết đến rộng rãi nhƣng chƣa có lý thuyết chung cho phƣơng trình hàm Gory of Saint- Vincent số nhà toán học lớn thời đƣợc xem ngƣời đầu lý thuyết Logarithm tìm hàm hypebol phƣơng trình hàm: f ( xy)  f ( x)  f ( y) Ơng xét tốn diện tích phần mặt phẳng giới hạn đƣờng y  ; x  1; x  t ; x, y  x  Ơng kí hiệu diện tích f (t) chứng tỏ f (t) thỏa mãn phƣơng trình hàm f ( xy)  f ( x)  f ( y) , x, y   , (1.2) hàm logarit f ( x)  log a x, a  0, a  Tuy nhiên, nghiệm phƣơng trình hàm x, y   (1.3) f ( xy)  f ( x)  f ( y) , năm sau nhờ Augustin- Louis Cauchy tìm đƣợc cách giải 1.1.3 Augustin- Louis Cauchy (1789-1857) Augustin- Louis Cauchy nhà toán học ngƣời Pháp sinh ngày 21 tháng năm 1789 Pari ngày 23 tháng năm 1857 Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trƣờng trung tâm Parthenon Ở vua Parthenon đặt kỳ thi học sinh giỏi cho tất trƣờng nƣớc Pháp Cauchy đứng đầu lớp đạt nhiều giải môn học tiếng La Tinh, Hy Lạp Ông vào học trƣờng Bách khoa Pari lúc 16 tuổi Tháng năm 1812, 23 tuổi ông trở bệnh làm việc sức nên quay Paris Năm 1813, ông từ bỏ nghề kĩ sƣ để chuyên lo toán học 50    (2  1) p ,   p  Tƣơng tự ta có f (23 a)  f (22 a)2   f (22 a)  f (23 a)   f (22 a)2  f (22 a)  f (23 a)  f (22 a)2    (  p)2  (   )    (3  1) p  p(  )  p    (3  1) p Bằng phƣơng pháp quy nạp ta có đƣợc f (2n a)    (n  1) p , (3.8) với số nguyên dƣơng n Thật vậy, giả sử (3.8) chứng minh với n Ta chứng minh (3.8) trƣờng hợp n  f (2n 1 a)  f (2n a)   f (2n a)  f (2 n 1 a)   f (2n a)  f (2n a)  f (2n 1 a)  f (2n a)    [  (n  1) p]2  (   )    2 (n  1) p  p (n  1)    2(n  1) p  p (n  1)    (n  2) p Vậy f (2n a)    (n  1) p , với số nguyên dƣơng n Hơn x, y, z  , ta có f ( x  y  z)  f ( x  y) f ( z )   , (3.9) 51 f ( x  y  z )  f ( x) f ( y  z )   (3.10) Theo bất đẳng thức tam giác kết hợp (3.9), (3.10) ta suy f ( x  y ) f ( z )  f ( x) f ( y  z )  f ( x  y ) f ( z )  f ( x  y  z )  f ( x  y  z )  f ( x) f ( y  z )      2 Khi f ( x  y ) f ( z )  f ( x) f ( y ) f ( z )  f ( x  y ) f ( z )  f ( x) f ( y  z )  f ( x ) f ( y  z )  f ( x ) f ( y ) f ( z )  2  f ( x) f ( y  z )  f ( y) f ( z )  2  f ( x)  , f ( x  y)  f ( x) f ( y) f ( z )  2  f ( x)  , x, y, z  (3.11) Đặt z  2n a , ta đƣợc f ( x  y )  f ( x) f ( y )  2  f ( x)  f (2n a) (3.12) mà (3.8) nên    f ( x)  f ( x  y )  f ( x) f ( y )     (n  1) p Cho n   (3.13), ta đƣợc f ( x  y)  f ( x) f ( y)  0, x, y  Vì f ( x  y)  f ( x) f ( y) , x, y  Khi f ( x)  E ( x) , E : Vậy Định lý 3.1 đƣợc chứng minh  hàm mũ (3.13) 52 Từ định lí tiếng Hyers, ta thấy f :  thỏa mãn f ( x  y)  f ( x)  f ( y)   , x, y  với   đó, tồn hàm cộng tính A :  cho f ( x)  A( x)   Điều nói f ổn định cặp ( , ) Tuy nhiên Định lý 3.1  nói f : thỏa mãn f ( x  y)  f ( x) f ( y)   , x, y    f bị chặn f hàm mũ Điều nghĩa f siêu ổn định cặp ( , ) Ánh xạ f thỏa mãn bất đẳng thức cho đƣợc gọi xấp xỉ mũ (hoặc  - mũ) Vì ánh xạ xấp xỉ mũ f :  bị chặn hàm mũ Sau ta xét phƣơng trình hàm Cauchy nhân tính Định lý 3.2 [5] Cho f :  hàm thực thỏa mãn f ( xy)  f ( x) f ( y)   , x, y  ,   (3.14) Khi f bị chặn f hàm nhân tính Chứng minh Đặt     4  (2  1)2   4 hay        Giả sử f không thỏa mãn bất đẳng thức f ( x)  Khi tồn a    4  cho f (a)   , nghĩa f (a)     , với   (3.15) 53 Thay x  y  a vào (3.14), ta đƣợc f (a )  f (a)   (3.16) Khi f (a )  f (a)2   f (a)2  f (a )   f (a)  f (a)  f (a )  f (a)   (theo 3.16)  (   )2      2   (vì      )    2    2 (vì   ) Bằng phƣơng pháp quy nạp ta chứng minh đƣợc f (a )    (n  1) , n  1,2, n Theo (3.14) với x, y, z  , ta có f ( xyz )  f ( xy) f ( z )   f ( xyz )  f ( x) f ( yz )   Theo bất đẳng thức tam giác f ( xy) f ( z)  f ( x) f ( yz)  f ( xy) f ( z)  f ( xyz)  f ( xyz)  f ( x) f ( yz) hay f ( xy) f ( z)  f ( x) f ( yz)  f ( xyz)  f ( xy) f ( z)  f ( xyz)  f ( x) f ( yz)  2 , f ( xy) f ( z )  f ( x) f ( y) f ( z )  f ( xy) f ( z )  f ( x) f ( yz )  f ( x) f ( yz )  f ( x) f ( y) f ( z )  2  f ( x)  Suy 54 f ( xy)  f ( x) f ( y) f ( z)  2  f ( x)  Chọn z  a , ta đƣơc n f ( xy)  f ( x) f ( y) f (a )  2  f ( x)  n  f ( xy )  f ( x) f ( y)   f ( xy )  f ( x) f ( y )  2  f ( x)  n f (a ) 2  f ( x)    (n  1) với x, y  , n  1,2, Cho n   , ta đƣợc f ( xy)  f ( x) f ( y), x, y  Vậy f hàm nhân tính Do Định lý 3.2 đƣợc chứng minh Tiếp theo, ta xét tính ổn định phƣơng trình hàm liên quan với tốn tử Reynold Cụ thể phƣơng trình hàm f ( xg ( y))  f ( x) f ( y), x, y  Ở f , g :  (3.17) hàm chƣa biết Trong trƣờng hợp g hàm đồng nhất, nghĩa g ( y)  y phƣơng trình hàm (3.17) rút gọn đến phƣơng trình hàm mũ Cauchy f ( xy)  f ( x) f ( y) Nếu g  f , phƣơng trình hàm (3.17) sinh phƣơng trình hàm hợp sau f ( xf ( y))  f ( x) f ( y), x, y  Định lý 3.3 [5] Cho f , g :  (3.18) hàm thực thỏa mãn f ( xg ( y))  f ( x) f ( y)   , x, y  ,   (3.19) Khi f bị chặn phương trình hàm (3.17 ) thỏa mãn Chứng minh Giả sử hàm f không bị chặn Khi chọn dãy 55 x n : n  phần tử cho  f ( xn )   n   Đặt y  xn (3.19), ta đƣợc f ( xg ( xn ))   f ( x)  f ( xn ) f ( xn ) (3.20) Do f ( xn )   n   , từ (3.20) ta thu đƣợc f ( x)  lim n  f ( xg ( xn )) , x  f ( xn ) (3.21) Trong (3.19) thay x xg ( xn ) , ta có f ( xg ( xn ) g ( y))  f ( xg ( xn )) f ( y)   , x, y  (3.22) Từ (3.22) dễ dàng thấy lim n  f ( xg ( xn ) g ( y ))  f ( xg ( xn )) f ( y )  f ( xn ) (3.23) Sau từ (3.21 ) (3.23), ta thu đƣợc f ( xg ( y))  lim n   lim n  f ( xg ( y) g ( xn )) f ( xn ) f ( xg ( xn ) g ( y))  f ( xg ( xn )) f ( y) f ( xg ( xn ))  lim f ( y) n  f ( xn ) f ( xn ) = f ( x) f ( y) Vậy Định lý 3.3 đƣợc chứng minh Định lý 3.4 [5] Giả sử  :  hàm thực Cho f :  hàm thực thỏa mãn f ( xy)  f ( x) f ( y)   ( x), x, y  (3.24) Khi f bị chặn f hàm nhân tính Chứng minh Giả sử hàm f khơng bị chặn Khi chọn dãy  xn : n  56 phần tử cho  f ( xn )   n   Đặt y  xn (3.24), ta đƣợc f ( xxn )  ( x)  f ( x)  f ( xn ) f ( xn ) (3.25) Do f ( xn )   n   , từ (3.25), ta đƣợc f ( x)  lim n  f ( xxn ) , x  f ( xn ) (3.26) Thay y (3.24) xn y , ta có f ( xxn y)  f ( x) f ( yxn )   ( x), x, y  (3.27) Từ (3.27) dễ dàng thấy lim n  f ( xxn y )  f ( x) f ( yxn )  f ( xn ) (3.28) Sau từ (3.26), (3.28), ta đƣợc f ( xy )  lim n  = lim n  f ( xyxn ) f ( xn ) f ( xxn y )  f ( x) f ( xn y ) f ( xn y )  f ( x)lim x  f ( xn ) f ( xn ) = f ( x) f ( y ) Vậy Định lý 3.4 đƣợc chứng minh Nhận xét Ta chứng minh đƣợc định lý thay vế phải bất phƣơng trình (3.24)  ( y ) 3.2 ỔN ĐỊNH KIỂU GER CỦA PHƢƠNG TRÌNH HÀM MŨ Kết sau theo nghĩa Ger Semrl (1996) ta không chứng minh  1 Hệ [5] Cho    0,  g :  4  thỏa mãn đồng dƣ 57 g ( x  y)  g ( x)  g ( y)     ,   , x, y  Khi tồn hàm a :  cho a( x  y)  a( x)  a( y)  , x, y  , g ( x)  a( x)   , x  Tiếp theo, ta trình bày ổn định kiểu Ger phƣơng trình hàm mũ Cauchy Định lý 3.5 [5] Cho f :  \ 0 thỏa mãn bất đẳng thức f ( x  y) 1   , f ( x) f ( y ) (3.29) với   0,1 x, y  Khi tồn hàm mũ E:  \ 0 cho  E ( x) f ( x)  1  max  1 , 1    2 , x  f ( x ) E( x ) (1   )     (3.30) Chứng minh Với số phức  khác biểu diễn nhƣ sau    exp(i arg  ) với   arg    Khi từ (3.29), ta suy f ( x  y) exp i (arg f ( x  y )  arg f ( x)  arg f ( y ))    , x, y  f ( x) f ( y ) Từ bất đẳng thức có hai hệ thức sau 1   f ( x  y) 1  f ( x) f ( y ) (3.31) arg f ( x  y)  arg f ( x)  arg f ( y)  2   sin 1  ,sin 1   , x, y  58 Do ta giả thiết   , nên sin 1    Theo hệ quả, tồn hàm a :  cho a( x  y)  a( x)  a( y)  2 , x, y  (3.32) a( x)  arg f ( x)  sin 1  , x  (3.33) Từ (3.31) ta suy 1  ln f ( x  y)  ln f ( x)  ln f ( y)  ln(1   )  ln 1   ln   ln(1   ) 1  Vậy ln f ( x  y)  ln f ( x)  ln f ( y)   ln(1   ), x, y  Vì tồn hàm cộng tính h :  cho h( x)  ln f ( x)   ln(1   ), x  Ta định nghĩa hàm E : (3.34)  \ 0 E ( x)  exp(h( x)  ia( x)) Vì h đồng cấu, từ (3.32) E ( x  y)  exp(h( x  y)  ia( x  y))  exp(h( x)  h( y)  ia( x)  ia( y)  i 2 k )  E ( x) E ( y) , x, y  , k  số Hơn nữa, ta chứng minh đƣợc f ( x)   exp ln f ( x)  h( x)  exp i(arg f ( x)  a( x))   , x  E ( x) Thật vậy, ta xét exp ln f ( x)  h( x)  exp i(arg f ( x)  a( x))   , x  59  exp ln f ( x)  h( x)  i(arg f ( x)  a( x))  1  exp ln f ( x)  i arg f ( x)  h( x)  ia( x))  1 exp ln f ( x)  i arg f ( x)   exp ia( x)  h( x)  1 exp(ln f ( x) ).exp(i arg f ( x))  exp ia( x)  h( x)   Vì f ( x) hàm số phức nên f ( x)  r (cos  isin ) Suy f ( x)  r , arg f ( x)    k 2 , k  Do exp(i arg f ( x))  exp(i  ik 2 )  exp(i ).exp(ik 2 )  exp(i ).(cos k 2  i sin k 2 )  exp(i ) Vậy exp(i arg f ( x))  exp(i )  (cos  isin ) Thay vào (3.35), ta đƣợc exp(ln f ( x) ).exp(i arg f ( x)) 1 exp ia( x)  h( x)  exp(ln r ).exp(i ) 1 exp ia( x)  h( x)   r (cos  i sin  ) 1 exp ia( x)  h( x)  (3.35) 60  f ( x) 1 E ( x) Do f ( x)   exp ln f ( x)  h( x)  exp i(arg f ( x)  a( x))   1, x  E ( x) Vậy f ( x)   exp ln f ( x)  h( x)  exp i(arg f ( x)  a( x))   , x  E ( x) Do (3.33), (3.34) ta thấy số phức f ( x) / E ( x) phụ thuộc vào tập hợp     :1      (1   )1;  sin 1   arg  sin 1   Điều cho thấy sup   :    (1   ) 1 exp(i sin 1  )   cos(sin 1  )  i sin(sin 1  )   1   1 cos(sin 1  )   i sin(sin 1  ) 1  1        cos(sin 1  )  1   sin(sin 1  )  1    1    2         cos(sin 1  )     cos (sin 1  )    sin (sin 1  )    1    1    1        1 1 1   cos (sin  )  sin (sin  )   cos(sin  )     1    1        1     cos(sin  ) 1    1    61 2 2 2         cos (sin 1  )    1    1            1  sin (sin 1  )     1    1          1      sin(sin  )     , 1    1    (3.36) với   0,1 nên sin(sin 1  )    sin(sin 1  )    Do từ (3.36), suy 1   (1   ) 2 (1   ) (1   ) 1  2 (1   ) 1  = 1 : Tƣơng tự, ta thu đƣợc cận E ( x) / f ( x)   , hay f ( x) E ( x)       , x  f ( x) E ( x) (3.37) Điều thiết lập bất đẳng thức (3.30) Tiếp theo, ta chứng minh E Đặt E1 :  \ 1 hàm mũ khác E thỏa mãn bất đẳng thức (3.30) Do E E1 hàm mũ nên ta có E ( x)  E (nx) n n E1 ( x)  E1 (nx) , x  Kết hợp với (3.35), ta đƣợc E ( x) E (nx) 1n f (nx) 1n ( ) ( ) E1 ( x) f (nx) E1 (nx) n 62 n n  (1   ) (1   ) Lấy giới hạn n   , ta đƣợc 1 E ( x) n lim  lim(1   ) (1   ) n  n  E1 ( x) n Do E ( x)  E1 ( x) Vậy hàm mũ E Định lý 3.5 đƣợc chứng minh 63 KẾT LUẬN Luận văn giới thiệu sơ lƣợc đời phƣơng trình hàm, hệ thống số kiến thức phƣơng trình hàm Cauchy ứng dụng để giải toán liên quan đến phƣơng trình hàm Luận văn trình bày định nghĩa, định lý dãy Cauchy tính ổn định phƣơng trình hàm Trên sở giải thích khảo sát tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy cộng tính, nhân tính phƣơng trình hàm mũ Cauchy Qua tác giả nhận thấy nhận thức vấn đề phƣơng trình hàm Cauchy đƣợc nâng lên rõ rệt Việc tìm hiểu tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy sở giúp tác giả hiểu sâu vấn đề để phục vụ nhiều cho việc học tập giảng dạy thân Do thời gian thực luận văn có hạn, trình độ ngƣời viết có nhiều hạn chế dù thân cố gắng nhƣng sai sót điều khó tránh khỏi Vì thế, mong nhận đƣợc đóng góp quý thầy cô, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn đƣợc hoàn thiện Luận văn đƣợc hồn thành dƣới hƣớng dẫn tận tình thầy giáo TS Cao Văn Nuôi Tác giả xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán trƣờng Đại học Sƣ Phạm- Đại học Đà Nẵng, thầy, cô giáo trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho tác giả thời gian học tập để hồn thành luận văn 64 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng việt [1] Bộ Giáo Dục Đào Tạo – Hội Toán Học Việt Nam (2004), Tuyển tập 30 năm tạp chí Tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục [2] Trần Nam Dũng, Nguyễn Văn Mậu, (2007), Dãy số - Giới hạn, NXBGD [3] Nguyễn Văn Mậu (2012), Lớp phương trình hàm Cauchy, d’Alembert dạng tốn liên quan, Hội thảo Khoa học: Các chuyên đề chuyên Toán bồi dƣỡng học sinh giỏi Trung học phổ thông, Nha Trang [4] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXB Giáo Dục Tiếng Anh [5] Christopher G Small (2000), Funtional Equations and How to Solve Them, Springer [6] Prasanna K Sahoo, Palaniappan Kanappan (2001), Introduction to functional equations, Chapman and Hall book/CRC Press ... Về tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy? ?? nhằm giải thích khảo sát tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy Trong trình bày định lý nhà tốn học Hyers tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy cộng tính, ... Hyers, tổng qt hóa định lý Hyers Chƣơng Trình bày tính ổn định phƣơng trình hàm mũ Cauchy nhƣ: phƣơng trình hàm mũ, phƣơng trình hàm Cauchy nhân tính, ổn định kiểu Ger phƣơng trình hàm mũ 3 Tổng... phƣơng trình hàm Cauchy hệ thống tập, phƣơng pháp giải số tốn phƣơng trình hàm có ứng dụng phƣơng trình hàm Cauchy Khảo sát tính ổn định phƣơng trình hàm Cauchy cộng tính, nhân tính phƣơng trình hàm