Phương trình hàm pompeiu và hosszú

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ KIM THOA PHƯƠNG TRÌNH HÀM POMPEIU VÀ HOSSZÚ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ KIM THOA PHƯƠNG TRÌNH HÀM POMPEIU VÀ HOSSZÚ Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Cao Văn Nuôi ĐÀ NẴNG - 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan công trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Học viên Nguyễn Thị Kim Thoa MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nội dung nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.1 SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.1.1 Nicole Oresme (1323 – 1382) 1.1.2 Gregory of Saint – Vincent (1584 – 1667) 1.1.3 Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885) 1.1.4 Jean d’Alember (1717 – 1783) 1.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Phân loại 1.2.3 Ví dụ 1.3 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM 13 CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH HÀM POMPEIU 17 2.1 GIỚI THIỆU 17 2.2 NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM POMPEIU 17 2.3 PHƯƠNG TRÌNH HÀM POMPEIU TỔNG QUÁT 19 2.4 PHƯƠNG TRÌNH HÀM PEXIDERIZED POMPEIU 28 2.5 NHẬN XÉT KẾT LUẬN 39 2.6 MỘT SỐ VÍ DỤ 40 CHƯƠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH HÀM HOSSZÚ 44 3.1 GIỚI THIỆU 44 3.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM HOSSZÚ 44 3.3 NGHIỆM TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM HOSSZÚ 48 3.4 MỘT SỐ VÍ DỤ 61 KẾT LUẬN 75 TÀI LIỆU THAM KHẢO 76 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng giải tích tốn học, có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Các dạng tốn phương trình hàm phong phú đa dạng, bao gồm loại phương trình tuyến tính, phương trình phi tuyến, phương trình ẩn hàm phương trình nhiều ẩn hàm Việc giải phương trình hàm xuất bắt đầu có lý thuyết hàm số, nhiều phương trình hàm xuất phát từ nhu cầu thực tế toán học ngành khoa học khác Phương trình hàm chuyên đề quan trọng chương trình toán trường THPT chuyên Trong kỳ thi olympic toán quốc gia quốc tế, olympic toán khu vực, thường xuất dạng toán khác liên quan đến phương trình hàm Tuy nhiên, học sinh lớp chun cịn quen biết dạng tốn phương trình hàm biết phương pháp để giải chúng Đặc biệt, sách viết đầy đủ chuyên đề phương trình hàm ứng dụng chúng Để giải phương trình hàm khơng cần nắm vững lý thuyết mà cần nhiều kỹ năng, đòi hỏi người học cần có đầu tư thời gian thích đáng vào việc phân tích kỹ lời giải toán cụ thể, phải vận dụng nhiều kiến thức giải, có khả tư tốt, khả khái qt hóa, phán đốn vấn đề Trong tốn học đại, phương trình hàm đóng vai trị quan trọng để giải vấn đề liên quan Đồng thời phương trình hàm ứng dụng nhiều chương trình phổ thơng, chương trình học sinh giỏi tốn Hiện nay, đất nước ngày trọng phát triển mạnh giáo dục, với nhu cầu tơi cố gắng tìm hiểu phương trình hàm nhằm mục đích phục vụ tốt cho cơng tác giảng dạy Từ lý trên, định chọn đề tài luận văn thạc sĩ mình: “Phương trình hàm Pompeiu Hosszú” Mục đích nội dung nghiên cứu đề tài Mục tiêu đề tài nhằm tìm hiểu lịch sử phát triển phương trình hàm, đồng thời nghiên cứu hai loại phương trình hàm Pompeiu Hosszú, khảo sát nghiệm chúng Nội dung đề tài dự định chia thành chương: - Chương Đại cương phương trình hàm - Chương Phương trình hàm Pompeiu - Chương Phương trình hàm Hosszú Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn phương trình hàm Pompeiu phương trình hàm Hosszú Phạm vi nghiên cứu luận văn xây dựng sở lý thuyết hệ thống loại phương trình hàm Pompeiu Hosszú Vận dụng để tìm nghiệm hai loại phương trình hàm Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo khoa học tài liệu tác giả nghiên cứu liên quan đến phương trình hàm Pompeiu Hosszú Tham gia buổi seminar thầy hướng dẫn để trao đổi kết nghiên cứu nhằm hồn thành tốt luận văn Đóng góp đề tài Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến phương trình hàm Pompeiu Hosszú nhằm xây dựng hệ thống lý thuyết loại phương trình hàm Pompeiu Hosszú Chứng minh chi tiết làm rõ số mệnh đề, định lý, đưa số ví dụ minh hoạ có chọn lọc nhằm làm cho vấn đề sáng tỏ Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, luận văn gồm chương danh mục tài liệu tham khảo Chương 1: Đại cương phương trình hàm (Trình bày đời phương trình hàm; Định nghĩa, phân loại số ví dụ Phương trình hàm; tồn nghiệm phương trình hàm) Chương 2: Phương trình hàm Pompeiu (Giới thiệu phương trình hàm Pompeiu, tìm nghiệm phương trình hàm Pompeiu, Phương trình hàm Pompeiu tổng quát, Phương trình hàm Pexiderized Pompeiu số ví dụ) Chương 3: Phương trình hàm Hosszú (Giới thiệu Phương trình hàm Hosszú, nghiệm tổng quát phương trình hàm Hosszú số ví dụ) CHƯƠNG ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.1 SỰ RA ĐỜI CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM Hiện nhà trường phổ thơng, mảng kiến thức phương trình hàm chưa đề cập nhiều Phần lớn học sinh tiếp cận với phương trình hàm học sinh lớp chun tốn, cịn học sinh đại trà lĩnh vực xa lạ, khó tiếp cận Đa số học sinh tìm hiểu phương trình hàm cảm thấy khó dạng tốn địi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức giải, có khả tư tốt, khả khái qt hóa, phán đốn vấn đề Hiện tài liệu đề cập phương trình hàm chưa nhiều Do đó, việc giúp học sinh tiếp cận với phương trình hàm dễ dàng giải số toán phương trình hàm yêu cầu cần thiết Vì vậy, luận văn nghiên cứu giải số vấn đề liên quan đến hai loại phương trình hàm Pompeiu Hosszú Chương này, tóm lược đơi nét lịch sử phát triển phương trình hàm phát triển Tốn học 1.1.1 Nicole Oresme (1323 – 1382) Nicole Oresme nhà tốn học người Pháp, ơng nhà khoa học lớn thời Trung cổ có đóng góp quan trọng cho khoa học thời phục hưng Năm 1348, Nicole Oresme giành học bổng đại học Paris Năm 1355, ơng có Thạc Sĩ bổ nhiệm làm hiệu trưởng trường Đại Học Navarre Pháp Phương trình hàm nhà khoa học nghiên cứu từ sớm Từ kỷ XIV, Nicole Oresme xác định hàm số bậc nghiệm phương trình hàm Nicole Oresme đưa tốn tìm hàm f(x) thỏa mãn ∀x, y, z ∈ ℝ, đơi phân biệt phương trình hàm sau: y  x f ( y )  f ( x)  z  y f ( z )  f ( y) (1.1) Nicole Oresme tìm nghiệm phương trình (1.1) f(x) = ax+b Với a, b số 1.1.2 Gregory of Saint – Vincent (1584 – 1667) Những năm tiếp theo, phương trình hàm biết nhiều lại khơng có lý thuyết chung viết cho phương trình hàm lúc Lúc có nhà tốn học Gregory of Saint – Vincent tìm hàm hypebol phương trình hàm f(xy) = f(x) + f(y) Gregory of Saint – Vincent xét tốn diện tích phần mặt phẳng giới hạn đường y = ; x = 1; x = t; ∀x, y ∈ ℝ+ Ơng kí hiệu diện tích x f(t) chứng tỏ f(t) thỏa mãn phương trình hàm: f(xy) = f(x) + f(y) ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ+ Ngày hàm f(x) = logax (𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1) 1.1.3 Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1885) Augustin – Louis Cauchy sinh ngày 21 tháng năm 1789 Paris ngày 23 tháng năm 1857 Paris Năm 13 tuổi, Cauchy vào học trường trung tâm Parthenon Ở vua Napoleon đặt kỳ thi học sinh giỏi cho tất trường nước Pháp Cauchy đứng đầu lớp đạt nhiều giải môn học tiếng La Tinh, Hy Lạp Khi 16 tuổi ông gặp thầy dạy toán giỏi thi đỗ thứ vào trường Đại Học Bách Khoa Cauchy - chàng trai trẻ đầy tham vọng, sinh viên xuất sắc, chọn nghiệp kỹ thuật, chuẩn bị cho thân thi đỗ vào École 62 Thay (3.83) (3.84) vào phương trình (3.82) dẫn tới f (x + y – xy)+ k(xy) = f(x) + f(y) + b1 + b2 (3.85) Thay y = (3.85) nhận k(x) = f(x) + b1 + b2 (3.86) Vì cách sử dụng (3.86), (3.85) trở thành, f(x + y − xy) + f(xy) = f(x) + f(y) (3.87) ∀𝑥, 𝑦 ∈ ℝ Để xác định nghiệm tổng quát phương trình (3.87), ta chấp nhận phương pháp tương tự với phương pháp Daróczy (1971) Định nghĩa G ∶ ℝ2 → ℝ xác định G(x, y) : = f(x) + f(y) – f (xy) (3.88) G(−u, v) + G(−uv, w) = f(−u) + f(v) + f(w) − f(−uvw) (3.89) G(−u, vw) + G(v, w) = f(−u) + f(v) + f(w) − f(−uvw) (3.90) Ta có Từ (3.89) (3.90), suy G(−u, v) + G(−uv, w) = G(−u, vw) + G(v, w) (3.91) ∀u, v, w ∈ ℝ Bằng cách sử dụng (3.87) (3.88), (3.91) viết lại sau f(−u + v + uv) + f(−uv + w + uvw) = f(−u + vw + uvw) + f(v + w − vw) Đặt w  (3.92) (3.92), ta v 1 v v f(−u + v + uv) + f (−uv + + u) = f(1) + f (v + − 1) (3.93) 63 ∀ u ∈ ℝ v ∈ ℝ\{0} Chọn x, y ∈ ℝ với x + y ∈ ℝ+ Ta tìm u, v ∈ ℝ với v ≠ 0, thỏa mãn u  v  uv  y  (3.94) uv   u  x 1 v (3.95) Cộng (3.94) (3.95), ta v  x y2 v (3.96) Điều dẫn đến phương trình bậc hai sau: v  ( x  y  2)v   (3.97) Phương trình bậc hai (3.97) có hai nghiệm thực phân biệt khác biệt thức  ( x  y  2)   ( x  y)( x  y  4)  tích hai nghiệm P = >0 Cho vo hai nghiệm phân biệt (3.97) Rõ ràng vo  , vo   x y2 vo Bằng cách sử dụng (3.96) Do uo  mãn hệ phương trình (3.94) – (3.95) y   vo , u o vo thỏa vo  64 Chọn x, y ∈ ℝ với x  y  , ta thay (3.94) (3.95) vào (3.93) f (x  1)  f (y 1)  f (1)  f (x  y 1) (3.98) Ta định nghĩa: A(x) : = f (x  1)  f (1) (3.99) Từ (3.98), suy A (x + y) = A(x) + A(y) (3.100) ∀x, y ∈ ℝ với x + y ∈ ℝ+ Bây ta mở rộng (3.100) ℝ2 Nếu x  y  , ta tìm số t ∈ ℝ để t + x ∈ ℝ+ t + x + y ∈ ℝ+ Bằng cách sử dụng (3.100), ta nhận A(t) + A(x + y) = A(t + x + y) (vì t + x + y ∈ ℝ+ ) = A(t + x) + A(y) (Bằng cách sử dụng (3.100)) = A(t) + A(x) + A(y) (vì t + x ∈ ℝ+ ) Do (3.100) thỏa mãn ∀x, y ∈ ℝ A hàm cộng tính ℝ Từ (3.99) ta có f (x  1)  f (1)  A(x) Suy f (x)  A(x  1)  f(1) Hay f (x)  A(x)  A(1)  f (1) Từ (3.86) (3.101), suy (3.101) 65 k( x)  A( x)  A(1)  f (1)  b1  b2 (3.102) Từ (3.83) (3.101), suy g( x)  A( x)  A(1)  f (1)  b1 (3.103) Từ (3.84) (3.101), suy h( x)  A( x)  A(1)  f (1)  b2 (3.104) Ví dụ 2: Tìm tất hàm 𝑓 liên tục ℝ thỏa mãn phương trình hàm f(x + y) + f(xy) = f(x) + f(y) + f(x) f(y) ∀x, y ∈ ℝ (3.105) Giải Nếu f nghiệm Giả sử f(x) = k, ∀x phương trình (3.105) trở thành k + k = k + k + k2 ⇒ k2 = ⇒ k = Nên nghiệm phương trình (3.105) f ≡ Nếu f nghiệm Cho x = y = vào phương trình (3.105), ta f (0) = ⇒ f(0) = Cho y = vào (3.105), suy f(x + 1) = f(x) f(1) + f(1) (3.106) Đặt f(1) = a Từ (3.106), suy f(x + 1) = af(x) + a, ∀x (3.107) 66 Nếu a = ⇒ f(x + 1) = 0, ∀x ⇒ f hàm (trái với giả thiết) Vậy a ≠ Xét số tự nhiên n Từ (3.107) suy f(n) = af(n − 1) + a = a[af(n − 2) + a] + a = a2 f(n − 2) + a(1 + a) =⋯ = an−1 f(1) + a(1 + a + ⋯ + an−2 ) = an + a(1 + a + ⋯ + an−1 ) Trường hợp 1: a ≠ Khi đó, ∀n ∈ ℕ f(n) = an + a an−1 − an − a an+1 − a an − = an + = = a , ∀n ∈ ℕ a−1 a−1 a−1 a−1 Thay vào (3.105), ∀x, y ∈ ℕ ta có ax+y − axy − ax − ay − ax − ay − a + a = a + a + a a−1 a−1 a−1 a−1 a−1 a−1 ax+y − + axy − = ax − + ay − + a(ax − 1)(ay − 1) ax+y+1 − axy − ax+y − ax+1 − ay+1 + a = (3.108) Cho 𝑥 = 𝑦 = (3.108), suy 𝑎3 − 𝑎 − 𝑎2 − 𝑎2 − 𝑎2 + 𝑎 = ⇒ 𝑎3 − 3𝑎2 = ⇒ [ 𝑎=0 ⇒𝑎=3 𝑎=3 Cho 𝑥 = 1, 𝑦 = (3.108), suy 𝑎4 − 𝑎2 − 𝑎3 − 𝑎2 − 𝑎3 + 𝑎 = ⇒ 𝑎4 − 2𝑎3 − 2𝑎2 + 𝑎 = ⇒ 𝑎 ≠ Hai điều mâu thuẩn với Vậy trường hợp không tồn hàm f 67 thỏa mãn Trường hợp 2: a = Khi đó, ∀n ∈ ℕ Từ (3.107), suy f(x + 1) = f(x) + 1, ∀x Bằng phương pháp quy nạp, ta có f(n) = n , ∀n ∈ ℤ { f(x + n) = f(x) + n , ∀x ∈ ℝ, ∀n ∈ ℤ ∀p, q ∈ ℤ ; p, q ≠ Từ (3.105), ta có p p p p f (q ) = f(q) + f ( ) + f(q) f ( ) − f (q + ) q q q q Hay p p p f(p) = f(q) + f ( ) + f(q) f ( ) − f (q + ) q q q Theo giả thiết quy nạp, suy p p p p = q + f ( ) + q f ( ) − f ( ) − q q q q p p = q f ( ) q Suy p p f( ) = ∀p, q ∈ ℤ \ {0} q q Do f(x) = x , ∀x ∈ ℚ Do 𝑓 liên tục nên ∀𝑟 ∈ ℝ, ta chọn dãy hữu tỷ (𝑥𝑛 ) cho lim 𝑥𝑛 = 𝑙𝑖𝑚𝑦𝑛 = 𝑥 có 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑙𝑖𝑚𝑥𝑛 ) = lim 𝑓(𝑥𝑛 ) = 𝑙𝑖𝑚𝑥𝑛 = 𝑥 68 Vậy 𝑓(𝑥) = 𝑥 , ∀𝑥 ∈ ℝ Ví dụ 3: Tìm tất hàm f, g, h, k ∶ ℝ → ℝ thỏa mãn phương trình hàm f(x + y) = h(x) + k(y) − g(xy) ∀x, y ∈ ℝ (3.109) Giải Cho x = y = riêng biệt phương trình hàm (3.109), ta thấy f(y) = h(0) + k(y) – g(0) ⇒ k(y) = f(y) + g(0) – h(0) (3.110) f(x) = h(x) + k(0) – g(0) ⇒ h(x) = f(x) + g(0) – k(0) (3.111) sử dụng (3.110) (3.111) vào (3.109), ta nhận f (x + y ) = f(x) + f(y) - g(xy) + 2g(0) – k(0) – h(0) Hay f (x + y ) - f(x) + f(y) = - g(xy) + 2g(0) – k(0) – h(0) Đặt l(x) = - g(x) + 2g(0) – k(0) – h(0) (3.112) Suy f (x + y) - f(x) – f(y) = - l(xy) (3.113) Thay y = (3.113), ta -l(x) = f (x + 1) - f(x) - f(1) (3.114) Từ (3.113) (3.114), ta nhận f (x + y) - f(x) - f(y) = f(1 + xy) - f (xy) - f(1) f (x + y) + f (xy) = f(1 + xy) + f(x) + f(y) - f(1) (3.115) 69 Đặt F(x) : = f(x) – f(1) (3.116) Phương trình (3.115) viết lại: F(x + y) + F(xy) = F(1 + xy) + F(x) + F(y) (3.117) ∀x, y ∈ ℝ Thay y –y (3.117), ta F(x - y) + F(-xy) = F(1 - xy) + F(x) + F(-y) (3.118) Cộng vế theo vế (3.117) vào (3.118), ta nhận F(x + y) + F(x - y) + F(xy) + F(-xy) = F(x) + F(y) + F(-y) + F(1 + xy) + F(1 - xy) (3.119) ∀x, y ∈ ℝ Hoán đổi x y (3.119), ta có F(x + y) + F(y - x) + F(xy) + F(-xy) = F(y) + F(x) + F(-x) + F(1 + xy) + F(1 - xy) (3.120) Lấy (3.119) trừ (3.120), ta F(x - y) - F(y - x) = F(x) - F(-x) + F(-y) - F(y) (3.121) Đặt  ( x) : F ( x)  F ( x) Từ phương trình (3.121), suy  ( x  y)   ( x)  ( y) ∀x, y ∈ ℝ Vì  hàm cộng tính, ta có F ( x)  F ( x)  A( x) (3.122) 70 Trong A: ℝ → ℝ hàm cộng tính Tiếp theo, ta lấy (3.117) trừ (3.118) nhận F(x + y) - F(x - y) + F(xy) - F(-xy) = F(1 + xy) - F(1 - xy) + F(y) - F(-y) (3.123) Sử dụng (3.122) (3.123), ta nhận F(x + y) - F(x - y) + A(xy) = F(1 + xy) - F(1 - xy) + A(y) Hay [F(x + y) + F(1 - xy)] - [F(x - y) - F(1 + xy)] = A(y) - A(xy) (3.124) Định nghĩa ω ∶ ℝ → ℝ xác định  ( x) : F ( x)  A( x) x ∈ ℝ (3.125) Suy  ( x  y)   (1  xy )  F ( x  y)  1 A( x  y)  F (1  xy )  A(1  xy ) (3.126) 2  ( x  y)   (1  xy )  F ( x  y)  1 A( x  y)  F (1  xy )  A(1  xy ) (3.127) 2 Thay (3.126), (3.127) vào (3.124), ta có 1 A( x  y)  A(1  xy)   ( x  y)   (1  xy) 2 1  A( x  y )  A(1  xy )  A( y )  A( xy ) 2  ( x  y)   (1  xy)  ( x  y)  (1  xy)  ( x  y)  (1  xy)  A( y)  A( xy)  A( y)  A( xy)  Suy ( x  y)  (1  xy)  ( x  y)  (1  xy ) (3.128) 71 ∀x, y ∈ ℝ Chọn 2x  m  n  m 2y  m  n  m cho  m  x  y, t    mn  x y   n   xy  (3.129) Thay (3.129) vào (3.128), ta nhận n n  ( m  n )   (1  )   ( m )   (1  ) (3.130) (n, m)  D , với D: = {(n, m) ∈ ℝ2 /m ∈ ℝ+ , m + n ∈ ℝ+ } Định nghĩa G(m) : =  ( m ) , m ∈ ℝ+ (3.131) H (n) :  (1  n n )   (1  ) 4 (3.132) Ta thấy (3.130) trở thành G (m + n ) = G(m) + H(n) (n, m)  D Bây hoán đổi m n (3.133), ta G (n + m) = G(n) + H(m) Trong (3.133) cho m=0, suy H(n) = G(n) -  , n ∈ ℝ+ Trong  số Do (3.133) trở thành (3.133) 72 G (m + n ) = G(m) + G(n) -  m, n > Đặt A1(m) = G(m) -  m>0 Suy A1 (m + n) = G(m + n) − β = G(m) + G(n) − β − β = [G(m) − β] + [G(n) − β] = A1 (m) + A1 (n) Vậy A1 hàm cộng tính Từ (3.131) ta thấy  (n)  A1 (n )   (3.134) ∀n ∈ ℝ+ Thay x = (3.128) ta  ( y)  ( y) Vì phương trình (3.134) m < Hơn x = y (3.128) xuất  (0) Vì (3.134) số thực m Từ (3.116), (3.125) (3.134), ta nhận f ( x)  F ( x)  f (1)   (x)   A1 ( x )  A( x)  f (1) A( x)    f (1) x∈ℝ (3.135) Từ (3.110) (3.135), ta k( x)  f ( x)  g (0)  h(0)  A1 ( x )  Từ (3.111)và (3.135), ta A( x)    f (1)  g (0)  h(0) (3.136) 73 h( x)  f ( x)  g (0)  k (0)  A1 ( x )  A( x)    f (1)  g (0)  k (0) (3.137) Cuối từ (3.112), (3.114) (3.135), ta -g(x) = l(x) + b = f (x + 1) - f(x) + b - f(1) = A1[(x+1)2 ]  1 A(1  x)    f(1)  A1 ( x )  A( x)    f(1)  b  f (1) 2 2 = A1 (1  x  x)  A1 ( x )  1 A(1  x)  A( x)  b  f (1) 2  A1 (1)  A1 ( x )  A1 ( x)  A1 ( x )   A1 ( x)  A1 (1)  1 A(1)  A( x)  A( x)  b  f (1) 2 A(1)  b  f (1) Suy g ( x)  2 A1 ( x)  A1 (1)  A(1)  b  f (1) Trong b = k(0) + h(0) – 2g(0) = f(0) - g(0) Cho x = (3.137), ta có h(1)  A1 (1)  A(1)    f (1)  g (0)  k (0) Hay h(1)  f (1)  k (0)  g (0)  A1 (1)  Tiếp theo cho x = (3.111) h(1)  f (1)  g (0)  k (0) A(1)   (3.138) 74 Suy h(1)  f (1)  g (0)  k (0)  (3.139) Từ (3.138) (3.139), suy A1 (1)  A(1)    Vì g( x)  2 A1 ( x)    b  f (1) Cuối thay A( x) A(x) ta nghiệm f(x) = A1 (x ) + A(x) + f(1) + β k(x) = A1 (x ) + A(x) + f(1) + β + g(0) − h(0) h(x) = A1 (x ) + A(x) + f(1) + β + g(0) − k(0) {g(x) = −2A1 (x) − β − f(1) + b (3.140) 75 KẾT LUẬN Luận văn “Phương trình hàm Pompeiu Hosszú” trình bày dạng phương trình hàm phương pháp để giải chúng Luận văn giới thiệu hai dạng phương trình hàm Pompeiu Hosszú; cách khảo sát nghiệm hai dạng phương trình hàm thơng qua số định lý, bổ đề, mệnh đề hệ Trong điều kiện thời gian có hạn khả thân hạn chế, tác giả chưa có điều kiện phát triển thêm phương pháp giải hai loại phương trình hàm Pompeiu Hosszú, nghiên cứu sâu phần tập liên quan đến hai loại phương trình hàm Mặc dù cố gắng nhiều luận văn không tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp q thầy bạn Luận văn hoàn thiện hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình TS Cao Văn Ni Qua đây, tác giả xin gởi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo TS Cao Văn Nuôi, người đưa đề tài tận tình hướng dẫn suốt trình nghiên cứu tác giả Đồng thời, tác giả xin gởi lời cảm ơn chân thành đến thầy cô giáo giảng dạy trang bị kiến thức, tạo điều kiện cho tác giả trình học tập 76 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Bộ Giáo Dục Đào Tạo – Hội Toán Học Việt Nam (2004), tuyển tập 30 năm tạp chí tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo Dục [2] Ngô Quang Dũng (2006), Phương trình hàm, Sáng kiến kinh nghiệm mơn Toán, Trường THPT Phạm Thành Trung, Tiền Giang [3] Nguyễn Văn Mậu (1997), Phương trình hàm, NXBGD [4] Nguyễn Văn Mậu, Bùi Cơng Huấn (2004), Một số chun đề tốn học chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi, Nhà xuất Giáo dục, Hà Nội TIẾNG ANH [5] Chiristopher G.Small (2000), Funtional Equations and How to Solve Them, Springer [6] Prasanna K.Sahoo, Palaniappan Kanappan (2001), Introduction to functional equations, Chapman & Hall book/CRC Press [7] J.Aczel (1996), Lectures on Functional Equational equation and their applications, Academic Press INC, Birkhauser, New York ... cương phương trình hàm (Trình bày đời phương trình hàm; Định nghĩa, phân loại số ví dụ Phương trình hàm; tồn nghiệm phương trình hàm) Chương 2: Phương trình hàm Pompeiu (Giới thiệu phương trình hàm. .. hàm Pompeiu, tìm nghiệm phương trình hàm Pompeiu, Phương trình hàm Pompeiu tổng quát, Phương trình hàm Pexiderized Pompeiu số ví dụ) Chương 3: Phương trình hàm Hosszú (Giới thiệu Phương trình hàm. .. ∀x, y ∈ ℝ∗ Phương trình hàm gọi phương trình hàm Pompeiu Trong chương này, ta xác định nghiệm phương trình hàm Pompeiu, phương trình hàm Pompeiu tổng quát phương trình hàm Pompeiu loại Pexider