Cơ sở phương trình vi phân và lí thuyết ổn định

NGUYỄN THẾ HỒN - PHẠM PHU Cơ SỞ PHIÍƠNG T R ÌN H V I PH Â N \J ầ (Tái lần thứ sáu) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM ■ ■ LỊI NĨI ĐẰU C ủ n g n h m ò n khoa, h ọ c k h c , p h n g t r i n h vi /h n x u ã t h iện sỏ p h t triền cùa kh oa học, k i tiu ặ t n h ữ n g yêu cầu d ò i hỏi thực tế Dã cỏ ì h ữ n g tà i liệ u , g i ả o t r i n h d'ê c ậ p đ ế n n h ữ n g b i to n a học, v ậ t lý d ẫ n d ế n n g h i ê n c ứ u p h n g t r i n h V p h n tương ứng Ỏ d â y c h ú n g tơi m u ố n giói thiệu un b n dọc m ộ t v í d ụ vẽ m ộ t ứ n g d ụ n g c ủ a p h n g tì n h vi p h n tr o n g s i n h hoe G iả s ta c ò n n g h i ê n ctu s ự p h t tr iể n c ù a m ộ t q u ả n thề Gọi x ít) lờ m ậ t • rìx CƯ) quán th ể ỏ thời d i e m t, x(t) = — tốc d ộ p i ả t tr iể n c ủ a q u â n th ể Tọi m ỗ i th i d i ể m t, tốc đ ộ pi.át triển nói ch u n g ti lệ với s ố lượng quàn th ề tie ỉa với m ậ t d ộ cùa 11Ó : X = h(t)x (chằng hạn, s ố h ọ n g c n g n h i ề u c n g l m con) N h n g tạ i m ỗ i th i d ể m t m ộ t sô v ậ t củ a q u n t h ề c ũ n g c h ế t d i (do btĩih tậ t bị loài khác ăn thịt) Vờ s ố lượng CƠI vật "chết di" ti lệ vói m ậ t độ quần tỉể D o d ó tơc d ộ p h t tr iể n c ủ a q u ầ n t h ề d ợ c v iế t cách c h í n h x c h n d i d n g X = x(k(t) - h(t)x) (*) Đ ại lượng k(t) - huIX dược gọi tốc d ộ p h t triển rung q u ầ n thề Nếu q u n th ể p h t triển chưa dén , -mức tới hạn (chàng h n m ô i t r n g c u n g c p d y d ủ th ứ c ă n c h o q u ầ n th ể ) t h ì tốc đ ộ p h t t r i ể n r i ê n g k ( t) - h (t)x > N ế u q u ầ n t h ể p h t tr iể n q u ả m ứ c tó i h n t h ì k ( t) - h ( t) x < (c h ả n g h n d o m ô i tr n g k h ô n g t h ể c u n g cắ p d ầ y đ ủ t h ứ c ăn) P h n g t r ì n h (*) m ộ t p h n g t r ì n h v i p h ả n c p m ộ t v t h n g d ợ c g ọ i p h n g t r ì n h lo g i s t ic V iệc n g h i ê n c ứ u p h n g t r ì n h (*) có m ộ t ý n g h í a q u a n tr ọ n g t r o n g s i n h t h i học T h i g i a n q u a t r o n g n c ta d ã x u t h i ệ n m ộ t s ố g iá o t r ì n h p h n g t r ì n h vi p h ả n (xem [1], [2]) N h n g g i ả o t r ì n h n y i n d ã lả u v có h n n ê n h i ệ n n a y t r ê n t h ị t r n g k h n g cị n n ữ a Đ ề d p ứ n g n h u c ầ u b n d ọ c , n h t d ố i v ó i t ầ n g lớ p s i n h v i ê n , c h ú n g tô i v i ế t g i o t r ì n h n y n h m c u n g cáp tư n g d ố i d ầ y đ ủ n h ữ n g k i ế n th ứ c b ả n c ủ a l í t h u y ế t sỏ p h n g t r ì n h v i p h ả n v d i s â u h n , n h ữ n g k i ế n t h ứ c b ả n lí th u y ế t ổn d ịn h n g h iệ m p h n g tr ìn h vi p h ả n Chư ơng I chương II p h ầ n m ộ t chủ y ế u tr ìn h b y p h n g p h p g i ả i p h n g t r ì n h v i p h â n c p m ộ t c ủ n g n h cách tìm n g h iệ m k ì d ị q u ỹ d o d n g g iá c C h n g I I I g i ó i th i ệ u m ộ t s ố p h n g t r ì n h vi p h â n cáp n có t h ể g i ả i đ ợ c h o ặ c h t h p c p d ợ c C h n g I V t r ì n h b y l í t h u y ế t tổ n g q u t c ủ a p h n g t r ì n h tu y ế n t í n h c p n v từ d ó s u y r a c u t r ú c n g h i ệ m t ổ n g q u t c ủ a ló p p h n g t r ì n h n y Chương V c h ỉ m ộ t số p h n g trìn h vi p h ả n t u y ế n tính, c p n m đ ố i vói c h ú n g , ta có t h ể x â y d ự n g dược nghiệm tồng quát bàng biểu thức tường minh Cũng ỏ chương ván d'ê nhỏ lí thuyết dinh tinh phương trình vi phân dược đ'ê cập đến Đó Là vấn đ'ê dao dộng nghiệm phương trinh tuyến tính cáp hai Phần dầu chương Ví trinh bày phương pháp giải hệ phương trinh vi phần chứng m inh định lí tơn tại, nhát nghiệm tốn Cơsi Nhờ liên hệ hệ n phương trinh vi phản cấp với phương trình vi phản cấp n, từ dây suy định Lý tòn nhát nghiệm phương trinh vi phần cáp n dã phất biểu mà không chứng m inh ỏ chương 111 Phần chương V I trinh bày lí thuyết tổng quát vè hệ phương trinh vi phản tuyến tính từ suy cáu trúc nghiệm chúng Cuối , chi cách xây dựng nghiệm tồng quát biểu thức tường m inh hệ phương trinh vi phàn tuyến tính VỚI hệ số Bắt dâu từ chương l phần h a i, muốn giới thiệu dến bạn dọc phương hướng bàn cùa lí thuyết định tính phương trinh vi phân có nhiêu ứng dụng thực tiễn Đó ổn định nghiệm, ơàn nói rang khn khổ phần sách chúng tơi khơng có tham vọng di sâu trinh bày đầy dừ lí thuyết ồn định mà chủ yếu muốn giới thiệu vói bạn dọc khái niệm nhát số kết kinh diền nhát lí thuyết T r o n g lẩ n t ả i b ả n n y , CUÔĨ I sách sử a chừa k h n h i ề u l ô i in n v m ộ t sô s a i s ó t v ề t í n h to n C c tá c g iá c h â n t h n h c m ơn T S T r ị n h T u ả n A n h T h s N g u y ễ n T r ọ n g H ả i đ ả có n h ữ n g n h ậ n x é t góp ý q báu đ ể cu ìĩ sách hoàn th iệ n tố t T u y n h iê n v ẫ n k h ô n g t h ể tr n h k h ỏ i n h ữ n g sa i sót t r o n g c c h t r i n h b y c u ìĩ s c h C h ú n g tô i r ấ t m o n g n h ậ n n h ữ n g góp ý x ả y d ự n g b n đọc g ầ n xa X i n c h â n t h n h c ả m ơn tr c T h t x i n g i đ ị a c h ỉ : N h x u ấ t b n G iáo d ụ c V iệt N a m - T r ầ n H n g Đ ạo H N ội CÁC TÁC GIẢ Plan Cơ s ỏ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN C hư ơng I PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÂP MỘT §1 CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẨU l Đ ị n h n g h ĩ a P h n g t r ì n h vi p h â n c ấ p m ộ t có d n g t ổ n g quát : F(x, y, y’) = (1.1) tro ig đò hàm F xác định tro n g miền D c R N e u t r o n g m i ế n D, t p h n g t r ì n h ( 1 ) t a có t h ể giải đ ợ c y ’ : y ’ = f(x, y) ( ) t h ì t a đ ợ c p h n g t r ì n h vi p h â n c ấ p m ộ t đ ã g iả i r a đ o h m tỉàni y = đ - c gọi 1) ( X, ( f i x ) x c đ ị n h v k h ả vi t r ê n nghiệm khoảng I = c ủ a p h n g t r ì n h (1.1) n ế u ’( x) ) E D với )) F ( x , f ( x ) , ( t o n p h ấ n ) th e o t c ủ a h ầ m v(t, X ) t r o n g n g h í a c ủ a h ệ (2.1) Nếu X = đ o h m X (t) m ộ t n g h iệ m c ủ a h ệ (2.1) th ì v (t, X) c h ín h to n p h ầ n theo t h m v (t,X ) h ợ p v ( t , X ( t ) ) , t ứ c = ^ v (t,X (t)) Đ ị n h lỉ t h ứ n h ấ t L i a p u n ố p N ếu đ ố i vói hệ q u y d ổ i (2.1) tịn m ộ t h m xác đ ịn h d n g v ( t , X ) G c & J) ( T J ( T c T) CÓ đ o h m d ấ u ả m v ( t , X ) t h e o t t r o n g n g h í a c ủ a hệ, t h ì n g h i ệ m tầ m thư ờng x = ( a < t < o o ) L i a p u n ố p k h i t —> 4- c ủ a hệ d ã c h o n đ ị n h th e o 00 C h ứ n g m i n h T h e o đ i ể u k i ệ n c ủ a đ ị n h lí t h ì c d m ộ t h m l i ê n t ụ c x c đ ị n h d n g cư(X) s a o c h o v ( t , X ) ^ co (X ) > 354 với X * ( ) -C S P T V P B va v(t, 0) = cư(0) = T ro n g không gian R£ x é t m ặ t c ầ u Sg II X | | = £ hoàn t o n b ị c h ứ a t r o n g T Q, tro n g đđ V ì m ặ t c ầ u SE m ộ t tậ p du íơ ng hàim trê n S£ cho đ ố đ t (2.4) < com pắcvà n ê n ( t h e o đ ị n h lí đ ợ c t i m ộ t đ i ể m X* £ ^ h < h m cư ( X ) V âyơxtras) c ậ n G S£ n o đ đ , i n f w ( X ) = £y(X*) = a > H liên tụ c củ a v ậ y (2.5) X e s£ G iả sử tQ e (a, + 00) t ù ; y ý H m v ( t Q, X ) l i ê n t ụ c t h i e o X v v ( t Q, 0) = D o đóí t ổ n m ột lân c ậ n 11XII ỗ < £ sa o cho < a với ^ v ( t0 , X) II X | | < (5 Bây ngíhiệm ta khơng < (2.6) xét tẩm m ột thư ờng b a it kì X = X(t) « vớii điểu l |X ( t )|| < kiện (2.7) ban đấu Hình 38 (h ) Ta ch ứ n g m in h r ằ n g quỹ đạo củ a n g h iệm n y h o n to n n ằ ì m b ê n t r o n g m ặ t c ầ u S £, t ứ c l II X ( t ) | | < € v i t Q ^ T h ậ t vậy, k h i t = t < 00 (2.8) t Q t a cổ II X ( t ơ) II < ố < £ G ià sử b ất đ ẳ n g th ứ c t (2 ) t h ỏ a m ã n [ t Q, +co) v t j l đ i ể m k h ô n g p h ả i với m ọi đẩu tiên ng hiệm X (t) g ặ p b iê n Sv 355 t ứ c l II X ( t ) I I < £ với t biến đ ộ n g h m 0^ v(t) = t < tj v ||X ( tj) || = £ H ã y x é t s ự v(t, X (t)) dọc th e o n g h iệ m X (t) Từ đ i ề u k i ệ n c ủ a đ ị n h lí dv v(t) = ^ 60 n ê n h m v ( t ) l k h ô n g t ă n g D o đ ố t ( ) v ( ) t a cổ a > v(to, X(tQ)) ^ v(tj, X(tj)) ^ cy(X(tj)) ^ a, đ i ề u n y l p h i lí N h v ậ y , n g h i ệ m X = X ( t ) v i m ọ i t G [ t n, bên tro n g m ặ t cấu S xá c định với t II X ( t )|| b i £ < < £ v ới t ^ t < h ữ u h n H nên nghiệm 5$ t < 00 (kéo dài vơ h ạn phía II X ( t ) II 8và 00) phải) 00, < ỗ Đ i ề u đ ó có n g h ĩ a l n g h i ệ m t ầ m t h n g X s ổn đ ịn h theo L iap u n ố p t -» + 00 H ệ q u N ế u đ ố i v i h ệ vi p h â n t u y ế n t í n h t h u ầ n n h ấ t dX ^ = A (t)X ( A ( t ) G C [ t ơ, 00» t ổ n t i h m x c đ ị n h d n g v (t, X) c ố đ o h m t r o n g n g h ĩ a c ủ a h ệ v ( t , X) ^ th ì t ấ t n g h iệm v b ị c h ặ n t r ê n n a t r ụ c [ t Q, X ít) c ủ a hệ xác đ ịn h 00) VÍ d ụ X é t t í n h ổ n đ ị n h c ủ a n g h i ệ m t ầ m ^ dv ^ - 2y)(l - = - ( X X = —(y + x ) ( l - X2 - T G iải C h ọ n h m v(t, X, 2+ y) = X th n g củ a hệ - 3y2) _ n 3y2) y R õ r n g h m đố x c định dương Đạo hàm h m n y t h e o t t r o n g n g h ĩ a c ủ a h ệ = 2x (2y - x ) ( l - X2 - y2) - 4y(x + y ) ( l - X2 - y 2) = - (1 - X2 - y ) (x2 + y 2) ^ với X, y đủ bé T a t h ấ y r ằ n g t ấ t c ả c c đ i ề u k i ệ n c ủ a đ ị n h lí t r ê n đ ợ c t h ỏ a m ãn, nghiệm tẩ m thường X = , y = hệ cho ổn định C h ú ý T r o n g đ ị n h lí t h ứ n h ấ t L i a p u n ố p c đ t h ể t h a y t í n h x c đ ị n h d n g c ủ a h m v(t, X) b ằ n g t í n h x c đ ị n h â m , n h n g đ đ đòi hỏi v(t, X) p h ả i h m d ấ u d n g V iệc c h ứ n g m i n h h o n t o n t n g tự Đ ịn h l í t h ứ h a i L i a p u n ố p G i ả s d ố i v ó i h ệ q u y d ổ i (2 1) tò n m ộ t h m xác đ ịn h d n g v(t, X) E v ô c ũ n g b é b ậ c c a o k h i X —* ăm ^ ( T q ) có g i ó i h n v có d o h m t h e o t x c d ị n h v ( t , X ) t r o n g n g h ỉ a c ủ a h ệ d ó K h i đ ó n g h i ệ m tầ h í t h n g X = Ta th a h ệ ổn đ ị n h t i ệ m c ậ n k h i t —» + nhận, khô n g ng m in h 00 đ ị n h lí n y Cd th ể xem p h ấ n c h ứ n g m i n h t r o n g [4] H ệ q u ả N ế u đ ố i với h ệ vi p h â n t u y ế n t í n h t h u ầ n n h ấ t d * A d t ~ v A (t)X t ổ n tạ i h m x c đ ịn h d n g v(t, X) t h ỏ a m ã n c c đ iề u k iệ n t r o n g đ ị n h lí t h ứ h a i c ủ a L i a p u n ố p t h ì m ọ i n g h i ệ m c ủ a h ệ đ đ đ ề u ổ n đ ịn h t iệ m c ậ n t o n cục C h ú ý T r o n g đ ị n h lí t r ê n t a có t h ể t h a y đ i ề u k i ệ n x c đ ị n h d n g c ủ a h m v(t, X) b ằ n g đ iề u k iệ n x c đ ịn h â m , n h n g đ ò p h ả i c ố đ i ể u k i ệ n x c đ ị n h d n g đ ổ i v i v ( t , X) Ví dụ X ét tín h ổ n đ ịn h c ủ a n g h iệ m t ẩ m th n g hệ dx d t ặ đt -2 “ 5y ■ x = 5x 357 G iải H m V = + y X 2 thỏa m a n đ iề u kiện c ủ a đ ịn h lí L i a p u n ố p T h ậ t v ậ y : v(x, y ) ^ v v(0, 0) = ; = 2x ( - 5y - x 3) + 2y(5y — Sy3) = — (4x4 + 6y4) ^ dv T dt = ề X = 0, y = 0 §3 T Í N H K H Ô N G Ổ n Đ Ị N H N G H I Ệ M Đ ị n h lỉ t h ứ L i a p u n ố p Giả sử đ ố i với hệ quy d ổ i (2 1) t ô n t i h m v ( t , X ) E C ^ ^ ( T 0) có g i i h n vơ c ũ n g b é b ậ c c a o k h i X —> v có d o h m với d ấ u x c đ ị n h v ( t , X ) t h e o t t r o n g n g h i a c ủ a hệ N ế u v i m ộ t t 11 X 11 < A ^ > a n o đ ó tr o n g cậ n b t kì h < H t ò n t i đ i ể m (t y X Q) s a o c h o d ấ u c ủ a h m v(t, X ) t r ũ n g với d ấ u c ủ a d o h m v ( t , X ) , tứ c s a o c h o v ( t G , X o) v ( t , x 0) > ( ) t h ì n g h i ệ m t ầ m t h n g X = c ủ a h ệ ( ) k h ô n g ồn đ ị n h tỉveo L i a p u n ó p k h i t —* 4- 00 Tk k h ô n g c h ứ n g m in h đ ị n h lí n y v i ệ c c h ứ n g m i n h c ũ n g h oàn to n tương tự việc chứng m inh định lí sau (cũng \vê t í n h k h n g ổ n đ ịn h n g h i ệ m ) m t a t iế n h n h T rước h ế t, t r o n g đ ị n h lí t r ê n đ ò i h ỏ i đ o h m v ( t , X) t r o n g n g h ĩ a c ủ a h ệ p h ả i ccđ d ấ u d n g t r o n g m ộ t l â n c ậ n toàn p h â n c ủ a gốc tốc độ o T h ự c , đ iều kiện có th ể g iảm n h ẹ đ n g kể, nđ th ể h iệ n đ ị n h lí t ổ n g q u t s a u Đ ị n h l í T ì s h e t a é p G i ả s đ ố i v ó i h ệ q u y d ổ i (2 ) t r o m g +00 , m iê n T = {tQ ^ v i l i ê n tụ c v(t, X) với m i e n t < ||x || ^ h < H } t ò n t i m ộ t h m khiả dương E = {(t, X) G T, v(t, X ) > } , m i ề n E có t h i ế t d i ệ n m ỏ k h c k h n g D t d í n h với gốc tọa độ đ ố i với m ỗ i t 00) 358 E [t , ; n g o i t r ê n p h ầ n b iên c ủ a m i ê n o E n ằ m v'ê p h í a t r o n g h ì n h trụ T (bao g ô m t r ụ c O t) đ ẳ n g t h ứ c (nếu V xác đ ị n h d n g t h i p h ầ n c ủ a b iê n sau dược thỏa m ã n d ó q u y m ộ t đ i ể m d u y n h t g ố c tọa đ ộ ) v(t, X ) = K h i d ó , n ế u : 1) H m v(t, X) bị c h ặ n t r o n g m i ề n E ; ) H m V (t, X ) t r o n g m i e n E có đ o h m v ( t , X ) t r o n g n g h i a c ủ a h ệ (2.1) d n g ; 3) T r o n g m ỗ i m iên {v(t, X ) ^ a > 0} t h ỏ a m ã n b t đ ằ n g t h ứ c v ( t , X ) ^ ịi > 0, t r o n g đ ó ịi = ịi ( a ) l s ố d n g p h ụ t h u ộ c vào a, t h ì n g h i ệ m t m t h n g c ủ a hệ (2.'1) k h ô n g ổn đ ị n h th e o L i a p u n ố p t • 00 Chứng m inh G iả sử ố > b é t ù y ý Vì đ i ể m biên D 0= o đ iểm th iết diện mở D n ê n tr o n g siêu p h ả n g t = t Q tổn điểm X o G D cho < I IX II < ỗ < h, ng o ài r a v(tfV X ơ) = a > Ta chứng (h m inh 39) n g h i ệ m X (t) x c đ ị n h v i đ i ể u k iệ n b a n đ ẩ u X ( t 0) = X t) k h i t t ă n g dấn s ẽ rời khỏi hình c ấ u IIXII < h t ^ điều kiện 2) t Q D o c ủ a đ ị n h lí v(t, X(t))> v(t, X(t)) > v(t, X (t)) ^ kh i v(t, X (t)) > H ình 39 từ đố t ^ v ( t Q, X ( t 0)) = a t Q t a có (3.2) V ì n g h i ệ m X ( t ) c ố t h ể r i k h ỏ i m i ề n E c h ỉ v ợ t q u a p h ầ n t r o n g c ủ a biên m ộ t thờ i đ iể m > tQ đó, m v(tj, X (tj)) = v(t, a X (t)) ^ ch o n ê n t a có ( c h u y ể n 0, n g o i r a > t n ^ t < tj, qua giới h ạn t —» tj - t ro n g bất đ ẳ n g thức trên) v(tj), X (tj)) điều ^ a > 0, k h ô n g th ể x ảy r a N h vậy, n g h iệ m hoàn to àn nằm tro n g m iễn { v ( t , X) a ^ X (t) t ^ t > 0} c ủ a E T đ ố t h e o đ i ề u k i ệ n 3) c ủ a đ ị n h lí, t a đ ợ c v (t,X )(t)) ^ p > (3.3) L ấ y t í c h p h â n t n g v ế đ ố i v i b ấ t đ ẳ n g t h ứ c ( ) với t ^ t () t a có v(t, X(t)) ^ v(tQ, X(tQ)) 4- f j ( t B ấ tđ ả n g thức - t0) (3.4) (3.4) k h ô n g t h ể x ả y r a t h e o đ iể u kiện 1) c ủ a đ ị n h lí t h ì h m v ( t , X ) bị c h ặ n t r o n g m i ề n E N h vậy, tr o n g lâ n c ậ n ỗ b ấ t kì c ủ a đ iể m m ột 11 X 11 < n g h iệm phía tro n g t = t G tồn X (t) rời h k h i t —* + 00 Đ iề u c h ứ n g tỏ r n g th n g X = khỏi o hình cấu nghiệm tám k h ô n g ổn đ ịn h th eo L iapunốp V í d ụ X é t t í n h ổ n đ ị n h c ủ a n g h i ệ m t ầ m t h n g h ệ n dx dt ụ dt Gi ải X é t h m V = đ â y m iền E = 1-1 X3 o {(t, X, * + y = y- + X y + xy + * y3 Ố y ) G T, X > 0, y > } VI t r o n g E h m V xác định dương, nên phần biên cần xét gốc tọa đ ộ ( , ) , v t i đ ố v ( , 0) = T r o n g E h m V r õ r n g b ị c h ặ n N goài E 360 tổ n m ộ t h m L i a p u n ố p v(t, X) E loại 1, t ứ c l h m n y t h ỏ a m ã n c c đ i ề u k i ệ n c ủ a đ ị n h lí t h ứ n h ấ t L i a p u n ố p ổ n định Đ ể xây d ự n g h m v (t, X) n g i t a x é t m ộ t h ệ p h ụ £ tro n g đổ F (t, Y) = = F (t,Y ) (4.2) G ( t , Y).^>(Y) v (p(Y ) G C ^ R y ) l m ộ t h m th ỏ a m ã n điều kiện