VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN và lý THUYẾT điều KHIỂN hệ THỐNG

VIỆN TOÁN HỌC VIỆT NAM VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM ĐOÀN THỊ THANH HUYỀN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 VIỆN TOÁN HỌC VIỆT NAM VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM ĐOÀN THỊ THANH HUYỀN VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN HỆ THỐNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN KHOA SƠN HÀ NỘI - 2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Khoa Sơn người tận tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Tấm gương đam mê nghiên cứu khoa học, nghiêm túc công việc, gần gũi sống thầy giúp cho có niềm tin, ý thức trách nhiệm tâm cao để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy Tôi xin gửi lời cảm ơn gia đình bạn bè, người đồng hành, hết lòng động viên giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn thạc sĩ Tác giả Đoàn Thị Thanh Huyền i Mục lục Mở đầu Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt 1 Mở đầu 2 Một số toán lý thuyết điều khiển toán học 2.1 Một số khái niệm 2.2 Một số ví dụ 2.2.1 Điều khiển tên lửa 9 2.2.2 Điều khiển nhiệt độ vật liệu 10 Bài toán điều khiển hệ tuyến tính 11 3.1 3.2 Khái niệm điều khiển 11 Ma trận điều khiển 12 3.3 Tính quan sát hệ tuyến tính điều khiển 20 Hệ vô hạn chiều 23 4.1 Hệ điều khiển tuyến tính mô tả nửa nhóm C0 23 4.2 Toán tử điều khiển 24 4.3 4.4 Các khái niệm khác điều khiển 28 Hệ với toán tử bị chặn 30 Tài liệu tham khảo 35 ii Danh mục kí hiệu, chữ viết tắt R C X, Y Rn A, B, C rankA D(A) U C[0, 1] L(X, Y ) tập số thực tập số phức không gian Banach không gian Euclide n chiều ma trận hạng ma trận A miền xác định toán tử A tập tham số điều khiển tập hàm khả vi liên tục đoạn [0, 1] không gian Banach tất toán tử tuyến tính bị chặn Ánh xạ X vào Y Lp [a, b] không gian hàm khả tích Chương Mở đầu Lý thuyết điều khiển phát triển từ 150 năm trước đây, toán điều khiển học bắt đầu mô tả phân tích ngôn ngữ toán học Hiện nay, lý thuyết điều khiển tiếp tục phát triển mạnh mẽ xem lĩnh vực khoa học có nhiều ứng dụng thực tế Một khái niệm lý thuyết điều khiển tính điều khiển Trong trường hợp hữu hạn chiều, hệ điều khiển tuyến tính x˙ = Ax + Bu, A ∈ Kn×n , B ∈ Kn×n với K = R C gọi điều khiển cho trạng thái tùy ý ban đầu x(0) = x0 trạng thái mong muốn cuối x1 , tồn tai số T > hàm điều khiển u(t) ∈ Ω ⊂ Km , cho x(T ) − x1 = (hàm u(t) cần giả thiết hàm đo [0, T ]) Khi đó, ta gọi cặp ma trận (A, B) ∈ Kn×n × Kn×m điều khiển Đối với trường hợp hệ vô hạn chiều, tính điều khiển phát biểu tương tự, nhiên đặc thù vô hạn chiều không gian trạng thái nên bên cạnh tính điều khiển "chính xác" phát biểu người ta phải xét đến khái niệm điều khiển xấp xỉ : x(T ) − x1 < , với > cho trước Khái niệm tính điều khiển được Kalman đưa bắt đầu nghiên cứu từ năm 60 kỷ trước thu hút quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học suốt nửa kỷ qua Bài toán chủ yếu nhà toán học tập trung nghiên cứu lĩnh vực tìm tiêu chuẩn (điều kiện cần đủ) để kiểm tra tính điều khiển hệ tuyến tính hữu hạn chiều vô hạn chiều tổng quát nói Chương Mở đầu dạng hệ khác như: hệ tuyến tính không dừng (tức ma trận hệ phụ thuộc thời gian A(t), B(t)), hệ thời gian rời rạc, hệ kỳ dị (tức hệ có dạng E x˙ = Ax + Bu), hệ có chậm (ví dụ: x(t) ˙ = A0 x(t) + A1 x(t − h) + Bu), v.v Trong năm gần đây, vấn đề quan tâm đặc biệt nghiên cứu tính điều khiển hệ chịu ảnh hưởng "nhiễu nhỏ" xác định bán kính điều khiển hệ nhằm định lượng hóa tính vững (robustness) tính điều khiển hệ tác động nhiễu Các toán liên quan tính điều khiển với tính chất khác như: tính ổn định, tính quan sát được, tính ổn định hóa được, v.v nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Các toán tương tự cho hệ phi tuyến hệ tổng quát khác nhiều tác giả nghiên cứu với nhiều kết phong phú sâu sắc Trong luận văn trình bày số vấn đề tính điều khiển không gian hữu hạn chiều không gian vô hạn chiều Nội dung luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, danh mục tài liệu tham khảo ba chương với nội dung sau: Chương 2: Trình bày số kiến thức chung lý thuyết điều khiển, khái niệm toán tính chất định tính hệ tuyến tính, số ví dụ minh họa cho tính chất toán nghiên cứu lý thuyết định tính hệ điều khiển Chương 3: Trình bày định lý mệnh đề tính điều khiển tuyến tính không gian hữu hạn chiều ví dụ Chương 4: Trình bày tính điều khiển không gian vô hạn chiều, bao gồm hệ mô tả nửa nhóm toán tử tuyến tính bị chặn không gian vô hạn chiều trường hợp riêng hệ mô tả toán tử tuyến tính bị chặn A, B Các tiêu chuẩn điều khiển xác xấp xỉ phát biểu chứng minh Một số ví dụ đưa để minh họa nêu rõ khác biệt hệ hữu hạn chiều vô hạn chiều Trong phần kết luận giới thiệu ngắn gọn số kết tiêu biểu Chương Mở đầu toán có liên quan khác như: toán quan sát được, toán ổn định hóa được, toán điều khiển hệ có ràng buộc điều khiển toán tính bán kính điều khiển Chương Một số toán lý thuyết điều khiển toán học 2.1 Một số khái niệm Xuất phát điểm lý thuyết điều khiển phương trình vi phân f (0) = x ∈ Rn y˙ = f (y, u), (2.1) với vế bên phải phụ thuộc tham số u ∈ U ⊂ Rn Tập U tập tham số điều khiển Phương trình vi phân phụ thuộc tham số đối tượng nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân cổ điển thời gian dài, ví dụ: toán phụ thuộc liên tục nghiệm vào tham số nghiên cứu giải quyết, điều kiện thích hợp Tuy nhiên vấn đề nghiên cứu lý thuyết điều khiển toán học có nội dung đặc thù khác khái niệm điều khiển đóng vài trò then chốt Sự điều khiển chia làm hai loại: "điều khiển vòng kín" (closed loop control) "điều khiển vòng hở" (open loop control) Điều khiển vòng hở hàm u(.) : [0; +∞) −→ U cho phương trình: y(t) ˙ = f (y(t), u(t)), t ≥ 0, y(0) = x (2.2) có nghiệm xác định Điều khiển vòng kín định nghĩa ánh xạ k : Rn −→ U , 2.1 MỘT Chương SỐ KHÁI Một NIỆMsố toán lý thuyết điều khiển toán học phụ thuộc tham số t ≥ 0, cho phương trình y(t) ˙ = f (y(t), k(y(t))), t ≥ 0, y(0) = x (2.3) có nghiệm xác định Khi đó, ánh xạ k(.) gọi thông tin phản hồi Điều khiển gọi chiến lược hay đầu vào, nghiệm tương ứng 2.2 2.3 gọi trạng thái hay đầu hệ Mục đích lý thuyết điều khiển tìm điều khiển (hay chiến lược, đầu vào) cho trạng thái (hay đầu ra) y(t) tương ứng có tính chất mong muốn Phụ thuộc vào tính chất đầu liên quan có khái niệm định tính toán điều khiển khác Tính điều khiển Một trạng thái z ∈ Rn gọi đạt từ x thời gian T , tồn điều khiển vòng hở u(.) cho nghiệm y(.), y(0) = x, y(T ) = z Nếu trạng thái z đạt từ trạng thái tùy ý x thời gian T , hệ 2.1 gọi điều khiển Trong số tình cần tính chất điều khiển yếu hơn, ví dụ chuyển từ trạng thái đến trạng thái cho trước, cụ thể gốc điểm cân Bài toán tìm đặc trưng sử dụng để kiểm tra tính điều khiển hệ điều khiển toán quan trọng lý thuyết điều khiển, nhiên đến giải cho trượng hợp riêng, chẳng hạn hệ tuyến tính Tính ổn định định hóa x, u¯) Giả sử tồn x ∈ Rn u ∈ U , cho f (x, u) = Khi (¯ gọi cặp điểm dừng hệ thống Hàm k : Rn −→ U thỏa mãn k(x) = u gọi điều khiển phản hồi ổn định hóa (stabilizing feedback control) x trạng thái dừng ổn định hệ y˙ = f (y(t), k(y(t))), t ≥ 0, y(0) = x (2.4) Trong lý thuyết phương trình vi phân có vài phương pháp để xác định trạng thái cân cho trước có ổn định hay không Trong lớp phương trình dạng (2.4), câu hỏi có tồn hay không trạng thái x ổn định vấn đề 3.3 TÍNH QUAN SÁT ĐƯỢC Chương CỦA HỆBài TUYẾN toánTÍNH điều ĐIỀU khiển KHIỂN ĐƯỢC hệ tuyến tính Định lý 3.3.1 Các điều kiện sau tương đương: i Hệ 3.10 3.11 quan sát ii Hệ 3.10 3.11 quan sát T > iii Ma trận RT không suy biến với số T > iv Ma trận RT không suy biến với T > v Rank[A∗ |C ∗ ] = n Chứng minh Phương trình w(.) phân tích đơn giản tương đương với i ii Bên cạnh đó: T T |Cz x (r)|2 dr |w(r)| dr = 0 T S ∗ (r)C ∗ CS(r)x, x dr = = RT x, x Do tính quan sát T > tương đương RT x, x = với x = phần đối xứng ma trận RT đại lương không âm không suy biến, lại tương đương với Định lý 3.2.1 quan sát từ ma trận điều khiển RT tương ứng với (A∗ , C ∗ ) xác Ví dụ 3.4 Xét phương trình dn (z) dn−1 (z) + a + + an z = 0, dt(n) dt(n−1) (3.12) w(t) = z(t), t ≥ (3.13) giả sử: Ma trân A C tương ứng từ    0  A=    −an −an−1 3.12 3.13 có dạng:  0  0    , C = 0   −a2 −a1 21 3.3 TÍNH QUAN SÁT ĐƯỢC Chương CỦA HỆBài TUYẾN toánTÍNH điều ĐIỀU khiển KHIỂN ĐƯỢC hệ tuyến tính Ta kiểm tra trực tiếp rank[A∗ |C ∗ ] = n cặp (A, C) quan sát 22 Chương Hệ vô hạn chiều Chương trình bày tính điều khiển hệ điều khiển tuyến tính không gian vô hạn chiều số ví dụ 4.1 Hệ điều khiển tuyến tính mô tả nửa nhóm C0 Cho E không gian Banach Họ nửa nhóm toán tử họ toán tử tuyến tính bị chặn S(t) : E −→ E, t ≥ thỏa mãn S(t + s) = S(t)S(s), t, s ≥ 0, S(0) = I (4.1) cho lim S(t)x = x t→0 , ∀x ∈ E (4.2) Trong trường hợp E không gian hữu hạn chiều toán tử A công thức S(t) = eAt , t ≥ z˙ = Az, z(0) = x ∈ E đồng với đạo hàm S(.) 0: S(t) − I dS (0) = lim = A t→0 dt t (4.3) Trong trường hợp tổng quát, phận tương ứng A gọi toán tử vi phân, hàm sinh S(t), t ≥ Nói chung, toán tử không xác định toàn E mà miền xác định D(A) bao gồm tất x ∈ E cho giới hạn sau tồn S(t)x − x t→0 t lim 23 (4.4) Chương Hệ vô hạn chiều 4.2 TOÁN TỬ ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC toán tử A cho công thức S(t)x − x , t→0 t Ax = lim x ∈ D(A) (4.5) Ví dụ 4.1 Cho A toán tử tuyến tính bị chặn E , họ +∞ At S(t) = e tm m A , = m! m=0 t ≥ 0, nửa nhóm với hàm sinh A 4.2 Toán tử điều khiển Trong phần này, nghiên cứu tính điều khiển hệ vô hạn chiều y(0) = x ∈ E y˙ = Ay + Bu, (4.6) Từ công thức tổng quát ma trận điều khiển, ta xác định toán tử điều khiển cho công thức T S(r)BB ∗ S ∗ (r)xdr, QT x = x ∈ E (4.7) Từ Định lý 3.2.1 Định lý Clayley - Hamilton với ∀x ∈ E hàm S(r)BB ∗ S ∗ (r)x, r ∈ [0, T ] liên tục tích phân Bochner xác định Hơn nữa, với số c > T |S(r)BB ∗ S ∗ (r)x|dr ≤ c|x|, x ∈ E Toán tử QT toán tử tuyến tính liên tục, thân nghịch đảo xác định không âm Với x, y ∈ E ta có T |B ∗ S ∗ (r)x|2 dr ≥ 0, QT x, x = T S(r)BB ∗ S ∗ (r)x, y dr QT x, y = T x, S(r)BB ∗ S ∗ (r), y dr = = x, QT y 24 (4.8) Chương Hệ vô hạn chiều 4.2 TOÁN TỬ ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC Suy QT toán tử đối xứng xác định không âm Do vậy, tồn 1 (QT2 )2 đối xứng xác định không âm cho (QT2 )2 = QT Vì E không gian Hilbert tách nên ta định nghĩa toán tử giả ngược −1 2 −1 = (Q Q−1 Q T T ) Công thức nghiệm (4.6) T t S(t − s)Bu(s)ds y(t) = S(t)a + (4.9) với T > 0, ta đặt T LT u = S(T − s)Bu(s)ds, suy LT u toán tử tuyến tính liên tục từ không gian L2 [0, T ; U ] vào E Bổ đề 4.2.1 Các điều kiện sau tương đương i Im(F ) ⊂ Im(G); ii ∃c > cho {F (x) : x ≤ 1} ⊂ {Gy : y ≤ c} Chứng minh ii ⇒ i Lấy z ∈ Im(F ), z = Do z = F (x) với x = thuộc X Vì xx = nên ∃y : y ≤ c F ( xx ) = G(y) Suy z x = F( ) = G(y) x x Do z = G(y x ) ∈ Im(G) Bây ta chứng minh i ⇒ ii Nếu ker(G) = toán tử G−1 F : X → Y định nghĩa tốt Đầu tiên, chứng minh đồ thị (x, G−1 F (x)), x ∈ X đồ thị đóng Thật vậy, giả sử (xn , G−1 F (xn )) tiến đến (x, y) n tiến vô Ta có xn → x ⇒ F (xn ) → F (x), G−1 F (xn ) → y ⇒ F (xn ) → G(y) Do F (x) = G(y) Suy y = G−1 F (x) Vậy đồ thị (x, G−1 F x), x ∈ X đồ thị đóng Theo định lí đồ thị đóng suy G−1 F toán tử tuyến tính liên tục Do tồn c > cho G−1 F (x) ≤ c, ∀x : x ≤ Suy {F (x) : x ≤ 1} ⊂ {G(y) : y ≤ c} Nếu ker(G) = Xét không gian thương [Y ] = Y / ker(G) Trong [Y ] xác định chuẩn [y] = inf{ y + u : u ∈ ker(G)}, ∀[y] ∈ [Y ] 25 Chương Hệ vô hạn chiều 4.2 TOÁN TỬ ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC Dễ chứng minh không gian thương [Y ] với chuẩn trở thành không gian Banach Toán tử [G] : [Y ] −→ Z, [G]([y]) = G(y) toán tử tuyến tính liên tục Vì Im(G) Im([G]) nên Im(F ) ⊂ Im([G]) Mặt khác ker([G]) = [0] nên áp dụng phần ta có {F (x) : x ≤ 1} ⊂ {[G]([y]) : [y] ≤ c} ⊂ {G(y + u) : y ∈ Y, u ∈ ker(G), y + u ≤ c + 1} Do {F (x) : x ≤ 1} ⊂ {G(y) : y ≤ c + 1} Kết sau biết đến giải tích lồi Định lý 4.2.1 (Hệ định lý tách tập lồi) Cho M tập lồi E , x0 ∈ / M Khi tồn σ > 0, ϕ thuộc E ∗ , ϕ = cho ϕ(x) + σ ≤ ϕ(x0 ), ∀x ∈ M Bổ đề 4.2.2 Hai điều kiện sau tương đương i Tồn c > cho F ∗ (f ) ≤ c G∗ (f ) , ∀f ∈ Z ∗ ; ii Tồn c > cho {F (x) : x ≤ 1} ⊂ {G(y) : y ≤ c} Chứng minh ii ⇒ i F ∗ (f ) = sup{|f (F (x))| : x ≤ 1} ≤ sup{f (z) : z ∈ {G(y) : y ≤ c}} = sup{f (G(y)) : y ≤ c} = c G∗ (f ) , ∀f ∈ Z ∗ i ⇒ ii Giả sử tồn F (x0 ) ∈ {F (x) : x ≤ 1}\{G(y) : y ≤ c} (trong x0 ≤ c số thỏa mãn: F ∗ (f ) ≤ c G∗ (f ) , ∀f ∈ Z ∗ Từ Bổ đề 4.2.1 ta có ∃f ∈ Z ∗ , f = 0, σ > cho f (G(y)) + σ ≤ f (F (x0 )), ∀y : y ≤ c Vì c G∗ (f ) = sup{f (G(y)) : y ≤ c} ≤ f (F (x0 )) − σ < f (F (x0 )) ≤ F ∗ (f ) 26 (mâu thuẫn) Chương Hệ vô hạn chiều 4.2 TOÁN TỬ ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC Kết sau biết đến giải tích hàm Định lý 4.2.2 Cho H không gian Hilbert tách Φ : H → H toán tử tuyến tính bị chặn Khi tập {Φ(y) : y ≤ c} tập đóng Định lý 4.2.3 Nếu Y không gian Hilbert tách Im(F ) ⊂ Im(G) tương đương với ∃c > : F ∗ (f ) ≤ c G∗ (f ) , ∀f ∈ Z ∗ Chứng minh Chứng minh định lý suy từ Bổ đề 4.2.1, Bổ đề 4.2.2 Định lý 4.2.2 Định lý 4.2.4 Giả sử E U không gian Hilbert tách Khi đó, i Tồn hàm u ∈ L2 [0, T ; U ] chuyển từ trạng thái a ∈ E tới trạng thái b ∈ E thời gian T > S(T )a − b ∈ ImQT2 , ∀a, b ∈ E ii Nếu S(T )a − b ∈ ImQT , điều khiển u(t) = −B ∗ S ∗ (T − t)Q−1 T (S(T )a − b, t ∈ [0, T ] Chứng minh Ta ý điều khiển u ∈ UT chuyển từ trạng thái a tới trạng thái b thời gian T > tương đương với tồn điều khiển u ∈ L2 [0, T ; U ] để b ∈ S(T )a + LT (u) Vì ta cần chứng minh ImLT = ImQT2 Giả sử x ∈ E u ∈ L2 [0, T ; U ] T u, L∗T x = LT u, x = S(T − r)Bu(r), x dr T u(r), B ∗ S ∗ (T − r)x dr, = 27 (4.10) 4.3 CÁC KHÁI NIỆM KHÁC NHAU CỦA ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC Chương Hệ vô hạn chiều Suy L∗T x = B ∗ S ∗ (T − r)x với ∀r ∈ [0, T ] T L∗T x |B ∗ S ∗ (T − r)x|2 dr = QT x, x = = QT2 x = (QT2 )∗ x , x ∈ E Do L∗T x = (QT2 )∗ x , x ∈ E Vì E L2 [0, T ; U ] không gian Hilbert tách nên từ Định lý 4.2.3 suy ImLT = Im(QT2 ) Bây giờ, ta chứng minh ii Ta có LT L∗T x = LT (B ∗ S ∗ (T − r)x) T S(T − r)BB ∗ S ∗ (T − r)xdr = (4.11) T S(r)BB ∗ S ∗ (r)xdr = QT x = Đặt y = b − S(T )a, u = L−1 T y, z = QT y −1 2 Ta thấy, y ∈ Im(QT ) ⊂ Im(QT ) = Im(LT ) QT z = Q−1 T y −1 −1 Từ 4.11 suy LT L∗T QT2 z = QT2 z = y Hơn nữa, LT v = 0, v ∈ L2 [0, T ; U ] −1 −1 L∗T QT2 z, v = QT2 z, LT v = −1 Suy ra, L∗T QT2 z thuộc phần bù trực giao Ker(LT ) Theo định nghĩa −1 ∗ toán tử giả ngược suy L−1 T y = LT QT z Vì vậy, điều khiển −1 −1 ∗ ∗ −1 ∗ ∗ u(t) = L−1 T y = LT QT z = LT QT y = −B S (T − r)QT (S(T )a − b) dịch chuyển từ trạng thái a đến trạng thái b thời gian T > 4.3 Các khái niệm khác điều khiển Các kết hai phần trước dẫn đến giải tích quan trọng quan sát khái niệm khác điều khiển Giả sử RT (a) tập tất trạng thái đạt tới từ a thời gian T ≥ Hiển nhiên ta có RT (a) = S(T )a + ImLT 28 4.3 CÁC KHÁI NIỆM KHÁC NHAU CỦA ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC Chương Hệ vô hạn chiều Định nghĩa 4.3.1 Hệ 4.6 gọi điều khiển xác từ a thời gian T > RT (a) = E Định nghĩa 4.3.2 Hệ 4.6 gọi điều khiển xấp xỉ từ a thời gian T > RT (a) = E Định nghĩa 4.3.3 Hệ 4.6 gọi điều khiển không thời gian T > trạng thái tùy ý dịch chuyển đến thời gian T > Định lý 4.3.1 Các điều kiện sau tương đương: y(0) = x ∈ E điều khiển xác từ trạng thái thời gian T > i Bài toán y˙ = Ay + Bu, ii Tồn c > cho ∀x ∈ E T |B ∗ S ∗ (t)x|2 dt ≥ c|x|2 (4.12) iii (4.13) ImQT2 = E Chứng minh Nếu toán điều khiển xác từ trạng thái điều khiển trường hợp đặc biệt từ Tuy nhiên, điều khiển xác từ thời gian T tương đương từ ImL ⊃ E Áp dụng Định lý 4.2.3 từ G = LT F = I , có điều kiện 4.12 Tiếp đến ta chứng minh ii ⇒ iii Với ánh xạ F, G trên, áp dụng Định lý 4.2.3 suy Im(LT ) = E Từ chứng minh phần i Định −1 −1 lý 4.2.4 ta có Im(LT ) = Im(QT2 ).Do Im(QT2 ) = E Cuối ta −1 chứng minh iii ⇒ i Ta có Im(LT ) = Im(QT2 ) = E nên suy RT (a) = S(T )a = Im(LT ) = E, ∀a ∈ E Do hệ điều khiển xác trạng thái tùy ý thời gian T > 29 4.4 4.4 Chương Hệ vô hạn chiều HỆ VỚI CÁC TOÁN TỬ BỊ CHẶN Hệ với toán tử bị chặn Cho phương trình trạng thái X˙ = Ax + Bu, t ≥ (4.14) Trong đó, x: vecto không gian Banach X phức tách u : vecto điều khiển không gian Banach U A ∈ B(X), B ∈ B(U, X), với t ≥ liên tục theo t x˙ cấu tạo hàm theo thời gian t từ chuẩn X Điều khiển chấp nhận cho 4.14 [0, T ] tất U Hàm giá trị u(t) tích phân Bocher chuẩn u(t) bị chặn [0, T ] điều khiển chấp nhận u(t) có nghiệm (thuộc toán Cauchy) bao gồm nghiệm Phương trình 4.14 x(0) = x0 ∈ X , thỏa mãn Phương trình 4.14 [0, T] Nghiệm viết giống trường hợp hữu hạn chiều: t At At eA(t−τ ) B(τ )u(τ )dτ e x(t, x0 , u) = e x0 + (4.15) − toán tử lên thuộc B(X), nghiệm phương trình thỏa mãn tính chất thông thường Do đó, nghiệm trở thành t At eA(t−τ ) B(τ )u(τ )dτ x(t, x0 , u) = e x0 + ta ý hàm u(t) tích phân Bocher, ta có: ∞ t A(t−τ ) Lτ u(.) = e B(τ )u(τ )dτ = t n A B[ n=0 (t − τ )n u(τ )dτ ], n! với khoảng hữu hạn ≥ t ≥ T ta kiểm tra trực tiếp Trường hợp đặc biệt đáng ý không gian điều khiển u hữu hạn chiều với chiều m 30 4.4 Chương Hệ vô hạn chiều HỆ VỚI CÁC TOÁN TỬ BỊ CHẶN Công thức 4.14 viết: m X˙ = Ax + bi ui , i=1 với bi = Bei , {ei }i=1, , m; ui ∈U sở U Trong trường hợp u(t) bao hàm chấp nhận hàm ui (t) đo bị chặn Định nghĩa 4.4.1 Hệ 4.14 điều khiển xấp xỉ khoảng hữu hạn [0, T ] cho ε > 0, x0 , x1 ∈ X , tồn hàm u(t) điều khiển chấp nhận đoạn [0, T ], cho x(T, x0 , u) − x1 ≤ ε với điểm đầu x0 , tập tất điểm x0 điều khiển chấp nhận [0, T ] trù mật X Mệnh đề 4.4.1 (Mệnh đề bản) Cho X không gian tuyến tính định chuẩn, E tập thuộc X , Clsp{E} = X phiếm hàm tuyến tính bị chặn triệt tiêu E Định lý 4.4.1 Hệ 4.14 điều khiển xấp xỉ [0, T ] ∗ ∗ n Clsp{An BU, n ≥ 0} = X ∩∞ n=0 N {B (A ) } = {0X ∗ } Chứng minh a) Hệ 4.14 điều khiển xấp xỉ x∗ (eA(T −t) Bu) = ∗ đoạn [0, T ]×U , tức = tương ứng B ∗ eA (T −t) x∗ = đoạn [0, T ], tức x∗ = “ ⇐ ” : Thật vậy, = x∗ ∈ X ∗ cho không gian KT tất trạng thái đạt từ đầu [0, T ] gồm tất nón lồi đóng {x : x ∈ X, x∗ (x) = 0} không trù mật X “ ⇒ ”: Nếu không gian KT không trù mật X x∗ (KT ) = với số = x∗ ∈ X dẫn đến x∗ (eA(T −t) Bu) = đoạn [0, T ] × U b) x∗ (eAt Bu) = đoạn [0, ∞] × U , tức x∗ = x∗ (B ∗ (A∗ )n ) = 0, n = 0, 1, tất u ∈ U , tức x∗ = ( ∗ Tương tự: B ∗ eA t x∗ = đoạn [0, ∞] tức x∗ = B ∗ (A∗ )n x∗ = 0, n = 0, 1, , tức x∗ = 0) Chứng minh dễ dàng 31 4.4 Chương Hệ vô hạn chiều HỆ VỚI CÁC TOÁN TỬ BỊ CHẶN phản chứng với x∗ = 0, đặt t = 0, đạo hàm theo t t = theo hướng, ta sử dụng chuỗi khai triển cho hàm mũ theo hướng m i=1 bi ui Hệ 4.4.1 Hệ X˙ = Ax + điều khiển xấp xỉ nếu: Clsp{An bi } = Clsp{b1 , b2 , , bm , Ab1 , Abm , A2 b1 , } = X Ví dụ 4.2 Xét phương trình: X˙ = Ax(t) + bu(t), t ≥ 0, u(t) ∈ R (4.16) X = l1 = {x = (x1 , x2 , ) : ∞ i=1 |xi | < ∞} không gian Banach xác định x = ∞ i=1 |xi | Toán tử A : l1 → l1 với Ax = A(x1 , x2 , ) = (0, x1 , x2 , ) Toán tử b : R → l1 với b = (1, 0, 0, ) Hệ 4.16 điều khiển xấp xỉ l1 ⇔ H = Clsp{b, Ab, A2 b, } = l1 Theo Hệ 4.14, ta có b = (1, 0, 0, , 0) Ab = (0, 1, 0, , 0) A2 b = (0, 0, 1, , 0) với bu = {ub = (u, 0, , 0), u ∈ R} Điều xảy với ∀x ∈ l1 , ∀ε > : ∃h ∈ H, (h ∈ Clsp{e1 , e2 , , en , } = Clsp{b, Ab, }) ∞ i=1 |xi | với x = (x1 , x2 , ) = Ta có < ∞ ⇐⇒ lim n→∞ |xi |, lim Sn = lim i=1 −→ ∞ n Sn = ∞ i=1 |xi | n→∞ n→∞ |xi | = S i=1 =⇒ |Sn − S| −→ ∞ ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃N : |xi | < ∞ i=N +1 32 4.4 Chương Hệ vô hạn chiều HỆ VỚI CÁC TOÁN TỬ BỊ CHẶN Khi đó, H N i=1 ei xi h= = (x1 , x2 , , xn , 0, 0, , 0) e1 = (1, 0, 0, ) e2 = (0, 1, 0, ) ei = (0, , 1i , 0, ) ∞ |xi | < ε, tức là, H = Clsp{b, Ab, A2 b, , An b, } = l1 =⇒ X − h = N +1 Vậy hệ điều khiển xấp xỉ Ví dụ 4.3 Xét phương trình Volterra: ∂w(t, ξ) = ∂t ξ w(t, s)ds + b(ξ)u(t), t ≥ 0, ≤ ξ ≤ (4.17) b(ξ) đa thức, w(t, ξ) thuộc C[0, 1] với t, u(t) ∈ R Ta có C[0, 1] không gian Banach với f = sup|f | : ∀x ∈ [0, 1] ξ Toán tử A: C[0, 1] → C[0, 1] với Af (ξ) = f (s)ds Toán tử B : R → C[0, 1] với bv = b(ξ)v Giả sử ξ ξ2 ξn b(ξ) = a0 + a1 + a2 + + an 1! 2! n! Ta có: ξ ξ2 ξn b(ξ)v = (a0 + a1 + a2 + + an )v, 1! 2! n! suy ra: ξ ξ2 ξ3 ξn n 1dξ = ξ; A b = ; A b = ; , A b = 2! 3! n! Ab = Đặt fk (ξ) = a0 ξk ξ k+1 ξ k+n + + + , n ≥ k! (k + 1)! (k + n)! Phương trình Volterra dạng 4.17 điều khiển xấp xỉ H = Clsp{b, Ab, A2 b, , An b, } = C[0, 1] tương đương với n Clsp{1; 1!ξ ; ξ2! ; ξ3! ; ; ξn! } = Điều xảy a0 = Thật vậy, a0 = fk (0) = 0, ∀k = Do đó, Clsp{fk (ξ)} ⊂ {f (ξ)} ∈ C[0, 1], fk (0) = 0} Suy ra, phương trình Volterra không điều 33 4.4 Chương Hệ vô hạn chiều HỆ VỚI CÁC TOÁN TỬ BỊ CHẶN khiển xấp xỉ Nếu a = 0, không tính tổng quát, ta giả sử a0 = n Theo định lý Weierstrass ta có: H = Clsp{1; 1!ξ ; ξ2! ; ξ3! ; ; ξn! } = C[0, 1] Vậy phương trình Volterra điều khiển xấp xỉ theo Hệ 4.4.1 34 Tài liệu tham khảo [1] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, Đại học quốc gia Hà Nôi, 2001 [2] Phạm Kỳ Anh, Các phương pháp giải số toán điều khiển tối ưu, Đại học quốc gia Hà Nội, 2001 [3] Jerzy ZaBczyk, Mathematical control theory: An introduction Birkhauser, Boston Basel Berlin, 1992 [4] Roberto Rriggiani, controllability and observability in Banach space with bounded operators, SIAM J.cotrol optim, 13(1975), 462 - 491 35