Hàm đánh giá và ứng dụng trong bài toán cân bằng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 TRỊNH THỊ LUẬN HÀM ĐÁNH GIÁ VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. LÊ DŨNG MƯU HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện đề tài “Hàm đánh giá và ứng dụng trong bài toán cân bằng”, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, tạo điều kiện của tập thể Ban Giám hiệu, ban chủ nhiệm phòng Sau Đại học, giảng viên Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành về sự giúp đỡ đó. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS. TSKH Lê Dũng Mưu – thầy giáo trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học, bạn bè và gia đình đã động viên, khích lệ, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2013 Tác giả TRỊNH THỊ LUẬN LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan các số liệu và kết quả nêu trong luận văn là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2013 Tác giả TRỊNH THỊ LUẬN ii Mục lục Mở đầu 1 1 Bài toán cân bằng 3 1.1. Phát biểu bài toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1. Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2. Ví dụ điển hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2. Sự tồn tại nghiệm của bài toán . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3. Một số phương pháp giải bài toán cân bằng . . . . . . . 13 1.3.1. Phương pháp điểm bất động . . . . . . . . . . . . 13 1.3.2. Phương pháp nguyên lý bài toán phụ . . . . . . . 16 1.3.3. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . 18 1.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Phương pháp hàm đánh giá 28 2.1. Phương pháp hàm đánh giá Auslender . . . . . . . . . . 29 2.2. Phương pháp hàm đánh giá Fukushima . . . . . . . . . . 33 2.3. Phương pháp hàm đánh giá không ràng buộc . . . . . . . 36 iii 2.4. Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Kết luận chung 46 Tài liệu tham khảo 47 iv MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cho E là tập lồi đóng trong R n , khác rỗng và f : E × E → R ∪ {+∞} là hàm thỏa mãn f(x, x) = 0 với mọi x ∈ E. Xét bài toán: Tìm điểm x ∗ ∈ E sao cho f(x ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ E. Bất đẳng thức này lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1955 bởi H. Nikaido, K. Isoda để nghiên cứu bài toán cân bằng Nash. Đến năm 1972, nó đã được Ky Fan xét đến dưới dạng một bất đẳng thức minimax nên được gọi là bất đẳng thức Ky Fan. Do bài toán này thường được sử dụng để thiết lập điểm cân bằng trong Lý thuyết trò chơi nên đến năm 1992, nó đã được các tác giả L.D. Muu và W. Oettli gọi là bài toán cân bằng cổ điển hay bài toán cân bằng vô hướng. Sau công trình của E. Blum và W. Oettli [4], bài toán này được rất nhiều người quan tâm nghiên cứu. Nhiều bài toán quan trọng, nhiều mô hình thực tế, trong đó có các bài toán rất khó về mặt tính toán như bài toán tìm điểm bất động Kakutani,. . . đều có thể quy về dạng của bài toán cân bằng (xem [Muu] và [4]). Do đó vấn đề giải bài toán cân bằng là một đề tài hấp dẫn, thu hút sự quan tâm của nhiều người. 1 2. Mục đích nghiên cứu Giới thiệu một số phương pháp giải bài toán cân bằng đặc biệt là phương pháp hàm đánh giá. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng của hàm đánh giá để giải bài toán cân bằng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Luận văn nghiên cứu bài toán cân bằng, các hàm đánh giá Auslender, Fukushima, hàm đánh giá không ràng buộc và ứng dụng của nó trong việc giải bài toán cân bằng. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong Giải tích lồi, Lý thuyết tối ưu. 6. Dự kiến đóng góp Tổng hợp lại một cách hệ thống và tương đối đầy đủ về bài toán cân bằng và phương pháp hàm đánh giá để giải bài toán này. Làm tài liệu tham khảo cho những người quan tâm đến bài toán cân bằng và phương pháp giải bài toán này. 2 Chương 1 Bài toán cân bằng Trong chương này, ta sẽ giới thiệu bài toán cân bằng và một số bài toán có thể mô tả được dưới dạng của bài toán cân bằng. Phần tiếp theo sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của nó và cuối cùng ta sẽ trình bày một số cách tiếp cận cơ bản để giải bài toán này. Nội dung của chương chủ yếu được lấy từ các tài liệu [1] - [7]. 1.1. Phát biểu bài toán và ví dụ 1.1.1. Phát biểu bài toán Định nghĩa 1.1.1. Cho E là tập lồi đóng trong R n , khác rỗng và f : E × E → R ∪ {+∞} là hàm thỏa mãn f(x, x) = 0 với mọi x ∈ E. Bài toán cân bằng là bài toán: Tìm điểm x ∗ ∈ E sao cho f(x ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ E. (1.1) Điểm x ∗ được gọi là điểm cân bằng. Bài toán này thường được kí hiệu là (EP). 3 1.1.2. Ví dụ điển hình Bài toán tối ưu. [5] Cho E là tập đóng, khác rỗng trong không gian R n . Xét hàm số ϕ : E → R. Bài toán tối ưu là bài toán: Tìm x ∗ ∈ E sao cho ϕ(x ∗ ) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ E, hay ta có thể viết dưới dạng min {ϕ(x)|x ∈ E} . (1.2) Đặt f(x, y) := ϕ(y) − ϕ(x), ∀x, y ∈ E thì tập nghiệm của bài toán tối ưu sẽ trùng với tập nghiệm của bài toán cân bằng. Thật vậy, giả sử x ∗ ∈ E là nghiệm của bài toán (1.2), khi đó ta có: ϕ(x ∗ ) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ E ⇒ ϕ(y) − ϕ(x ∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ E ⇒ f(x ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ E, tức là x ∗ là nghiệm của bài toán (EP). Ngược lại, nếu x ∗ ∈ E là nghiệm của bài toán cân bằng (1.1), khi đó: f(x ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ E ⇒ ϕ(y) − ϕ(x ∗ ) ≥ 0, ∀y ∈ E ⇒ ϕ(x ∗ ) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ E, suy ra x ∗ ∈ E là nghiệm của bài toán (1.2). Vậy bài toán tối ưu trên là một trường hợp riêng của bài toán (EP). Bài toán bất đẳng thức biến phân. [5] Cho E là tập lồi đóng, khác rỗng trong R n , F : E → R n là một ánh xạ đơn trị. Bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán: (V I) : Tìm x ∗ ∈ E sao cho F (x ∗ ), y − x ∗  ≥ 0, ∀y ∈ E. 4 Ta đặt f(x, y) := F(x), y − x , khi đó tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân sẽ trùng với tập nghiệm của bài toán cân bằng. Thật vậy, giả sử x ∗ ∈ E là nghiệm của bài toán (VI), khi đó: F (x ∗ ), y − x ∗  ≥ 0, ∀y ∈ E, suy ra f(x ∗ , y) := F (x ∗ ), y − x ∗  ≥ 0, ∀y ∈ E. Điều này tương đương với x ∗ là nghiệm của bài toán (EP). Ngược lại, nếu x ∗ ∈ E là nghiệm của bài toán cân bằng, khi đó: f(x ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ E. Theo cách đặt ta có: f(x ∗ , y) := F (x ∗ ), y − x ∗  ≥ 0, ∀y ∈ E, hay x ∗ là nghiệm của bài toán (VI). Vậy bài toán bất đẳng thức biến phân là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng. Bài toán bù. [5] Cho E là nón lồi, đóng trong R n . Gọi E ∗ là nón cực của C. Xét F : E → R n . Bài toán bù là bài toán: Tìm x ∗ ∈ E sao cho F x ∗ ∈ E ∗ , F x ∗ , x ∗  = 0. Đặt f (x, y) = F x, y − x , ∀x, y ∈ E. Khi đó tập nghiệm của bài toán bù sẽ trùng với tập nghiệm của bài toán cân bằng. Thật vậy, nếu x ∗ là nghiệm của bài toán bù thì f (x ∗ , y) = F x ∗ , y − x ∗  = F x ∗ , y ≥ 0, ∀y ∈ E, 5 [...]... R được gọi là hàm đánh giá của bài toán cân bằng nếu: (i) g (x) ≥ 0, ∀x ∈ E; (ii) Với mọi x∗ ∈ E, g (x∗ ) = 0 khi và chỉ khi x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng (2.1) Nhận xét Từ định nghĩa ta thấy hàm: g (x) := sup [−f (x, y)] x∈E là hàm đánh giá của bài toán cân bằng (2.1) 28 (2.2) 2.1 Phương pháp hàm đánh giá Auslender Định nghĩa 2.1.1 Cho E là tập đóng trong Rn Khi đó, hàm đánh giá g được xác định... sử dụng hàm đánh giá vào việc giải bài toán cân bằng, tức là ta quy việc giải bài toán cân bằng về giải bài toán cực trị Nội dung của chương chủ yếu lấy từ các tài liệu [8], [9] Xét bài toán cân bằng Tìm điểm x∗ ∈ E sao cho f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ E, (2.1) trong đó f : E × E → R ∪ {+∞} là hàm thỏa mãn f (x, x) = 0, ∀x ∈ E Định nghĩa 2.1 [9] Cho E là tập đóng của Rn Khi đó, hàm g : E → R được gọi là hàm. .. T1 ), thì dừng lại và xk+1 là một nghiệm ε-xấp xỉ của bài toán cân bằng Trái lại tăng k thêm 1 và thực hiện lại Bước 2 15 1.3.2 Phương pháp nguyên lý bài toán phụ Để giải một bài toán đôi khi ta phải quy nó về bài toán khác đơn giản hơn mà ta dễ dàng tìm được nghiệm Ở đây, ta sẽ quy việc giải bài toán cân bằng về giải bài toán cân bằng phụ Định nghĩa 1.3.1 Cho R : E × E → R, bài toán: Tìm x∗ ∈ E sao... nghiệm của bài toán cân bằng khi và chỉ khi nó là nghiệm của bài toán cân bằng phụ Chứng minh (⇒) Do R là song hàm cân bằng, không âm thỏa mãn (3),(4) nên ta có R (x∗ , y) ≥ 0, ∀x∗ , y ∈ E Mặt khác, do x∗ ∈ E là nghiệm của bài toán cân bằng nên f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ E Ta có ε > 0 ⇒ εf (x∗ , y) ≥ 0, ∀y, x∗ ∈ E ⇒ εf (x∗ , y) + R (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ E 16 Vậy x∗ ∈ E là nghiệm của bài toán cân bằng phụ (⇐)... đóng và khác rỗng nên hình chiếu của xg trên SEP (E, f ) được xác định duy nhất, hình chiếu đó chính là x∗ 1.4 Kết luận Trong Chương 1, chúng ta đã giới thiệu bài toán cân bằng và một số ví dụ điển hình, qua đó có thể thấy được mối quan hệ giữa những bài toán này và tầm quan trọng của bài toán cân bằng trong lý thuyết toán học và trong ứng dụng thực tế Phần tiếp theo nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài. .. nhất xk+1 Lấy k := k + 1 và quay lại Bước 1 Như vậy, từ việc giải bài toán cân bằng ta có thể quy về giải bài toán cân bằng phụ, bài toán này có thể dễ dàng tìm được nghiệm dựa vào Thuật toán 1.3.2, từ đó ta suy ra nghiệm của bài toán cân bằng 1.3.3 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một phương pháp cơ bản thường được sử dụng để giải các bài toán đặt không chỉnh Tuy... ∀y ∈ E Hay x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng Thuật toán sau đây sẽ giúp ta giải bài toán cân bằng phụ Thuật toán 1.3.2 [5] Bước 1 Lấy x0 ∈ E, ε > 0 và k := 0; Bước 2 Giải bài toán: min εf xk , y + R (y) − y∈E R xk , y − xk có nghiệm tối ưu duy nhất y k Nếu y k = xk thì thuật toán dừng lại, xk là nghiệm của bài toán cân bằng Trái lại, ta tiếp tục Bước 3 17 Bước 3 Giải bài toán: min εf y k , y + R (y)... được gọi là hàm đánh giá Auslender Hàm đánh giá này nhìn chung không khả vi Mệnh đề sau đây sẽ đưa ra điều kiện để hàm đánh giá (2.2) là khả vi liên tục Từ đó có thể áp dụng phương pháp hàm đánh giá giải bài toán cân bằng Mệnh đề 2.1.1 [9] Giả sử (i) f (x, y) là hàm lồi mạnh theo biến y, với mọi x ∈ E; (ii) f khả vi với biến x, với mọi y ∈ E và f x là liên tục trên E × E; (iii) Khi đó, hàm g (x) :=... = −f x (x, y (x)) 29 Do f x và y (x) là liên tục suy ra g (x) là liên tục tại x,(đpcm) Tiếp theo, chúng ta sẽ giới thiệu phương pháp giải bài toán cân bằng dựa theo hàm đánh giá Auslender Thuật toán hàm đánh giá giải bài toán cân bằng khi f (x, ) lồi mạnh được mô tả như sau: Thuật toán 2.1.1 [9] Cho g (x) := sup {−f (x, y)} y∈E Bước 1 Cho k = 0, x0 ∈ E Bước 2 Giải bài toán tối ưu: min f (xk , y) y∈E... ∀y ∈ E, suy ra f (x∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ E chứng tỏ x∗ là nghiệm của bài toán (EP) Mệnh đề đã được chứng minh 12 1.3 Một số phương pháp giải bài toán cân bằng Trong phần này, ta sẽ trình bày một vài cách tiếp cận cơ bản để giải bài toán cân bằng Đó là phương pháp điểm bất động, phương pháp nguyên lý bài toán phụ và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Trước tiên ta đi vào phương pháp điểm bất động 1.3.1 Phương . đến bài toán cân bằng và phương pháp giải bài toán này. 2 Chương 1 Bài toán cân bằng Trong chương này, ta sẽ giới thiệu bài toán cân bằng và một số bài toán có thể mô tả được dưới dạng của bài toán. nghiên cứu bài toán cân bằng, các hàm đánh giá Auslender, Fukushima, hàm đánh giá không ràng buộc và ứng dụng của nó trong việc giải bài toán cân bằng. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương. phương pháp giải bài toán cân bằng đặc biệt là phương pháp hàm đánh giá. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng của hàm đánh giá để giải bài toán cân bằng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên