Hàm đánh giá và ứng dụng trong bài toán cân bằng

Mục đích nghiên cứuGiới thiệu một số phương pháp giải bài toán cân bằng đặc biệt làphương pháp hàm đánh giá.. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng của hàm đánh giá để giải bài toán câ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRỊNH THỊ LUẬN

HÀM ĐÁNH GIÁ VÀ ỨNG DỤNG TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH LÊ DŨNG MƯU

HÀ NỘI, 2014

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện đề tài “Hàm đánh giá và ứng dụng trongbài toán cân bằng”, tôi đã nhận được rất nhiều sự giúp đỡ, tạo điều kiệncủa tập thể Ban Giám hiệu, ban chủ nhiệm phòng Sau Đại học, giảngviên Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chânthành về sự giúp đỡ đó

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Lê Dũng Mưu –thầy giáo trực tiếp hướng dẫn và chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trìnhhoàn thành luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên cao học, bạn

bè và gia đình đã động viên, khích lệ, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi nhữngthiếu sót, hạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp củaquý thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Tác giả xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2013

Tác giả

TRỊNH THỊ LUẬN

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan các số liệu và kết quả nêu trong luận văn là trungthực và không trùng lặp với các đề tài khác

Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2013

Tác giả

TRỊNH THỊ LUẬN

Mục lục

1 Bài toán cân bằng 3

1.1 Phát biểu bài toán và ví dụ 3

1.1.1 Phát biểu bài toán 3

1.1.2 Ví dụ điển hình 4

1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán 9

1.3 Một số phương pháp giải bài toán cân bằng 13

1.3.1 Phương pháp điểm bất động 13

1.3.2 Phương pháp nguyên lý bài toán phụ 16

1.3.3 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 18

1.4 Kết luận 27

2 Phương pháp hàm đánh giá 28 2.1 Phương pháp hàm đánh giá Auslender 29

2.2 Phương pháp hàm đánh giá Fukushima 33

2.3 Phương pháp hàm đánh giá không ràng buộc 36

2.4 Kết luận 45

Tài liệu tham khảo 47

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cho E là tập lồi đóng trong Rn, khác rỗng và f : E × E → R ∪ {+∞}

là hàm thỏa mãn f (x, x) = 0 với mọi x ∈ E Xét bài toán:

Tìm điểm x∗ ∈ E sao cho f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ E

Bất đẳng thức này lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1955 bởi H.Nikaido, K Isoda để nghiên cứu bài toán cân bằng Nash Đến năm

1972, nó đã được Ky Fan xét đến dưới dạng một bất đẳng thức minimaxnên được gọi là bất đẳng thức Ky Fan Do bài toán này thường được

sử dụng để thiết lập điểm cân bằng trong Lý thuyết trò chơi nên đếnnăm 1992, nó đã được các tác giả L.D Muu và W Oettli gọi là bài toáncân bằng cổ điển hay bài toán cân bằng vô hướng Sau công trình của

E Blum và W Oettli [4], bài toán này được rất nhiều người quan tâmnghiên cứu

Nhiều bài toán quan trọng, nhiều mô hình thực tế, trong đó có cácbài toán rất khó về mặt tính toán như bài toán tìm điểm bất độngKakutani, đều có thể quy về dạng của bài toán cân bằng (xem [Muu]

và [4]) Do đó vấn đề giải bài toán cân bằng là một đề tài hấp dẫn, thuhút sự quan tâm của nhiều người

2 Mục đích nghiên cứu

Giới thiệu một số phương pháp giải bài toán cân bằng đặc biệt làphương pháp hàm đánh giá

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu ứng dụng của hàm đánh giá để giải bài toán cân bằng

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu bài toán cân bằng, các hàm đánh giá Auslender,Fukushima, hàm đánh giá không ràng buộc và ứng dụng của nó trongviệc giải bài toán cân bằng

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp nghiên cứu trong Giải tích lồi, Lý thuyếttối ưu

Chương 1

Bài toán cân bằng

Trong chương này, ta sẽ giới thiệu bài toán cân bằng và một số bàitoán có thể mô tả được dưới dạng của bài toán cân bằng Phần tiếp theo

sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của nó và cuối cùng ta sẽ trình bày một

số cách tiếp cận cơ bản để giải bài toán này Nội dung của chương chủyếu được lấy từ các tài liệu [1] - [7]

1.1 Phát biểu bài toán và ví dụ

1.1.1 Phát biểu bài toán

Định nghĩa 1.1.1 Cho E là tập lồi đóng trong Rn, khác rỗng và

f : E × E → R ∪ {+∞} là hàm thỏa mãn f (x, x) = 0 với mọi x ∈ E.Bài toán cân bằng là bài toán:

Tìm điểm x∗ ∈ E sao cho f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ E (1.1)Điểm x∗ được gọi là điểm cân bằng Bài toán này thường được kí hiệu

là (EP)

1.1.2 Ví dụ điển hình

Bài toán tối ưu [5]

Cho E là tập đóng, khác rỗng trong không gian Rn Xét hàm số

ϕ : E → R Bài toán tối ưu là bài toán:

Tìm x∗ ∈ E sao cho ϕ(x∗) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ E,hay ta có thể viết dưới dạng

min {ϕ(x)|x ∈ E} (1.2)Đặt f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x), ∀x, y ∈ E thì tập nghiệm của bài toán tối

ưu sẽ trùng với tập nghiệm của bài toán cân bằng

Thật vậy, giả sử x∗ ∈ E là nghiệm của bài toán (1.2), khi đó ta có:

ϕ(x∗) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ E

⇒ ϕ(y) − ϕ(x∗) ≥ 0, ∀y ∈ E

⇒ f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ E,tức là x∗ là nghiệm của bài toán (EP)

Ngược lại, nếu x∗ ∈ E là nghiệm của bài toán cân bằng (1.1), khi đó:

f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ E

⇒ ϕ(y) − ϕ(x∗) ≥ 0, ∀y ∈ E

⇒ ϕ(x∗) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ E,suy ra x∗ ∈ E là nghiệm của bài toán (1.2)

Vậy bài toán tối ưu trên là một trường hợp riêng của bài toán (EP).Bài toán bất đẳng thức biến phân [5]

Cho E là tập lồi đóng, khác rỗng trong Rn, F : E → Rn là một ánh

xạ đơn trị Bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán:

(V I) : Tìm x∗ ∈ E sao cho hF (x∗), y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ E

Ta đặt

f (x, y) := hF (x), y − xi ,khi đó tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân sẽ trùng vớitập nghiệm của bài toán cân bằng

Thật vậy, giả sử x∗ ∈ E là nghiệm của bài toán (VI), khi đó:

hF (x∗), y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ E,suy ra f (x∗, y) := hF (x∗), y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ E Điều này tương đươngvới x∗ là nghiệm của bài toán (EP)

Ngược lại, nếu x∗ ∈ E là nghiệm của bài toán cân bằng, khi đó:

f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ E

Theo cách đặt ta có:

f (x∗, y) := hF (x∗), y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ E,hay x∗ là nghiệm của bài toán (VI)

Vậy bài toán bất đẳng thức biến phân là một trường hợp riêng củabài toán cân bằng

Bài toán bù [5]

Cho E là nón lồi, đóng trong Rn Gọi E∗ là nón cực của C Xét

F : E → Rn Bài toán bù là bài toán:

Tìm x∗ ∈ E sao cho F x∗ ∈ E∗, hF x∗, x∗i = 0

Đặt f (x, y) = hF x, y − xi , ∀x, y ∈ E Khi đó tập nghiệm của bài toán

bù sẽ trùng với tập nghiệm của bài toán cân bằng

Thật vậy, nếu x∗ là nghiệm của bài toán bù thì

f (x∗, y) = hF x∗, y − x∗i = hF x∗, yi ≥ 0, ∀y ∈ E,

suy ra x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng.

Ngược lại, nếu x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng Khi đó

Điều này tương đương với x∗ là nghiệm của bài toán bù

Bài toán điểm bất động Brouwer [5]

Cho E là tập lồi đóng khác rỗng, F : E → E là ánh xạ đơn trị Bàitoán điểm bất động Brouwer là bài toán:

Tìm x∗ ∈ E sao cho F (x∗) = x∗.Điểm x∗ được gọi là điểm bất động của ánh xạ F

Ta đặt f (x, y) := hx − F (x), y − xi , ∀x, y ∈ E Khi đó tập nghiệm củabài toán điểm bất động Brouwer sẽ trùng với tập nghiệm của bài toáncân bằng

Thật vậy, giả sử x∗ là nghiệm của bài toán điểm bất động Brouwer, tacó

f (x∗, y) = hx∗ − F (x∗) , y − x∗i = 0 ≥ 0, ∀y ∈ E

Suy ra x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng

Ngược lại, giả sử x∗ là nghiệm của bài toán (EP), ta có

f (x∗, y) = hx∗ − F (x∗) , y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ E

Lấy y = F (x∗), ta được

0 ≤ hx∗ − F (x∗) , F (x∗) − x∗i = −kx∗ − F (x∗)k2.Suy ra x∗ = F (x∗)

Bài toán cân bằng Nash [5]

Cho Ei ∈ Rn, i ∈ I là các tập con khác rỗng trong Rn với I là tậphữu hạn các phần tử, I = {1, 2, , n} Đặt E = Q

Khi đó bài toán cân bằng Nash được phát biểu như sau:

Tìm x∗ ∈ E sao cho: fi(x∗) ≤ fi(x∗[yi]), ∀i ∈ I, ∀y ∈ E

Điểm x∗ được gọi là điểm cân bằng Nash

Bài toán điểm yên ngựa [5]

Cho E1 ⊆ Rn, E2 ⊆ Rm và ϕ : E1 × E2 → R Bài toán điểm yên ngựa

Khi đó nếu điểm u∗ = (x∗1, y1∗) là nghiệm của (1.6), ta có

ϕ(x∗1, y) ≤ ϕ (x∗1, y1∗) ≤ ϕ(x, y1∗), ∀v ∈ E

⇒ ϕ(x∗1, y) ≤ ϕ(x, y1∗)

⇒ ϕ(x, y1∗) − ϕ(x∗1, y) ≥ 0,hay f (u∗, v) ≥ 0, ∀v ∈ E, tức là u∗ là nghiệm của bài toán cân bằng.Ngược lại, nếu u∗ là nghiệm của bài toán cân bằng, ta có

f (u∗, v) ≥ 0, ∀v ∈ E

Theo cách đặt, ta có

ϕ(x, y1∗) − ϕ(x∗1, y) ≥ 0,suy ra ϕ(x∗1, y) ≤ ϕ(x, y1∗)

Với y = y1∗, x = x∗1, ta có

ϕ(x∗1, y) ≤ ϕ (x∗1, y∗1) ≤ ϕ(x, y1∗),với mọi (x, y) ∈ E1 × E2

Điều này tương đương với u∗ là nghiệm của bài toán (1.6)

1.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán

Ta xét định lý quan trọng sau:

Định lý minimax [3] Cho C ⊆ Rn, D ⊆ Rm là các tập lồi, đóng khácrỗng và f : C × D → R Giả sử với mọi y ∈ D, hàm f (., y) tựa lồi, nửaliên tục dưới trên C và với mọi x ∈ C, hàm f (x, ) tựa lõm, nửa liên tụctrên trên D Khi đó nếu có một trong hai điều kiện sau:

(A) Có một tập hữu hạn N∗ ⊂ D và một số α∗ > λ sao cho tập

Mệnh đề 1.2.1 [3] Cho C là một tập lồi đóng khác rỗng và song hàmcân bằng φ có các tính chất: φ(x, ) là hàm tựa lồi, nửa liên tục dưới trên

C, φ(., y) là hàm tựa lõm, nửa liên tục trên trên C Giả sử

(A1) Có một tập hữu hạn N∗ ⊂ C sao cho tập

compact Khi đó bài toán (EP) có nghiệm

Chứng minh Đặt f (x, y) := −φ(x, y) và D ≡ C Khi đó hàm f thỏamãn mọi điều kiện của Định lý minimax Ta có

(i) f (., y) nửa liên tục trên trên E với mọi y ∈ E;

(ii) f (x, ) tựa lồi trên E với mọi x ∈ E

Khi đó bài toán cân bằng có nghiệm, nếu như E compact hoặc điều kiệnbức sau thỏa mãn:

Tồn tại tập compact B sao cho

E ∩ B 6= ∅, ∀x ∈ E\B, ∃y ∈ E : f (x, y) < 0

Ta xét mệnh đề sau là một trường hợp riêng của định lý Ky Fan.Mệnh đề 1.2.2 Cho E là một tập lồi, compact khác rỗng và song hàmcân bằng f : E × E → R ∪ {+∞} có các tính chất:

(i) f (., y) nửa liên tục trên trên E với mọi y ∈ E;

(ii) f (x, ) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên E với mọi

x ∈ E

Khi đó bài toán cân bằng (EP) có nghiệm

Chứng minh Với mỗi x ∈ E, gọi S(x) là tập nghiệm của bài toán

min {f (x, y) : y ∈ E}

Vì E là compact và f (x, ) nửa liên tục dưới, nên theo định lý Weistrass,bài toán này tồn tại nghiệm Mặt khác, do E lồi, compact, f (x, ) lồi nênS(x) lồi, compact Theo định lý cực đại của Berge, ánh xạ S nửa liêntục trên suy ra S là ánh xạ từ E vào E Theo định lý điểm bất độngKakutani, tồn tại x∗ ∈ E thỏa mãn x∗ ∈ S(x∗)

Do f (x, ) lồi, khả dưới vi phân, theo điều kiện cần và đủ tối ưu của quyhoạch lồi, ta có

1.3 Một số phương pháp giải bài toán cân bằng

Trong phần này, ta sẽ trình bày một vài cách tiếp cận cơ bản để giảibài toán cân bằng Đó là phương pháp điểm bất động, phương phápnguyên lý bài toán phụ và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Trướctiên ta đi vào phương pháp điểm bất động

có tính chất

xk+1 − x∗ 2 ≤ r xk − x∗ 2, ∀k ≥ 0,với 0 < ρ ≤ 2T1

2, trong đó x∗ là nghiệm duy nhất của bài toán cân bằng

2 ⇒ 2ρT2 ≤ 1 Vậy

xk+1 − x∗ 2 ≤ [1 − 2ρ (ε − T1)] xk − x∗ 2.Mệnh đề đã được chứng minh

Ta có hệ quả sau:

Hệ quả 1.3.1 Cho T1 < ε, 0 < ρ ≤ 2T1

2 Khi đó

xk+1 − x∗ ≤ r xk − x∗ , ∀k ≥ 0,trong đó 0 < r := p1 − 2ρ (ε − T1) < 1

với k = 0, 1,

là một nghiệm ε-xấp xỉ của bài toán cân bằng

Trái lại tăng k thêm 1 và thực hiện lại Bước 2

1.3.2 Phương pháp nguyên lý bài toán phụ

Để giải một bài toán đôi khi ta phải quy nó về bài toán khác đơn giảnhơn mà ta dễ dàng tìm được nghiệm Ở đây, ta sẽ quy việc giải bài toáncân bằng về giải bài toán cân bằng phụ

Định nghĩa 1.3.1 Cho R : E × E → R, bài toán:

Tìm x∗ ∈ E sao cho: ϕ (x∗, y) := ρf (x∗, y) + R (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ E,trong đó ρ > 0, được gọi là bài toán cân bằng phụ

Mệnh đề 1.3.2 [5] Cho f : E × E → R là song hàm cân bằng thỏamãn điều kiện:

(1) f (., y) nửa liên tục trên trên tập E;

(2) f (x, ) lồi, nửa liên tục dưới và khả dưới vi phân trên E

R : E × E → R là một song hàm cân bằng, không âm và thỏa mãn cáctính chất:

(3) R khả vi trên E và ∇2R (x, x) = 0, ∀x ∈ E;

(4) R (x, ) lồi mạnh trên E với ∀x ∈ E

Khi đó x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng khi và chỉ khi nó là nghiệmcủa bài toán cân bằng phụ

Chứng minh (⇒) Do R là song hàm cân bằng, không âm thỏa mãn(3),(4) nên ta có

Vậy x∗ ∈ E là nghiệm của bài toán cân bằng phụ.

(⇐) Giả sử x∗ ∈ E là nghiệm của bài toán cân bằng phụ Khi đó, ta có

x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán:

min

y∈E {ρf (x∗, y) + R (x∗, y)} Theo điều kiện cần và đủ tối ưu của quy hoạch lồi và ∇2R (x, x) =

0, ∀x ∈ E, ta có:

0 ∈ ∂2ϕ (x∗, x∗) + NE(x∗)

= ∂2f (x∗, x∗) + ρ∇2R (x∗, x∗) + NE(x∗)

= ∂2f (x∗, x∗) + NE(x∗) ,suy ra ∃u∗ ∈ ∂2f (x∗, x∗) thỏa mãn

hu∗, y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ E

Do tính chất dưới vi phân của hàm lồi, f (x∗, ) , ∀y ∈ E, ta có:

hu∗, y − x∗i ≤ f (x∗, y) − f (x∗, x∗) = f (x∗, y) Suy ra f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ E Hay x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng

Thuật toán sau đây sẽ giúp ta giải bài toán cân bằng phụ

có nghiệm tối ưu duy nhất yk

Nếu yk = xk thì thuật toán dừng lại, xk là nghiệm của bài toán cân bằng.Trái lại, ta tiếp tục Bước 3

Bước 3 Giải bài toán:

min

y∈E εf yk

, y k
, y − xk tìm nghiệm duy nhất xk+1

Lấy k := k + 1 và quay lại Bước 1

Như vậy, từ việc giải bài toán cân bằng ta có thể quy về giải bài toáncân bằng phụ, bài toán này có thể dễ dàng tìm được nghiệm dựa vàoThuật toán 1.3.2, từ đó ta suy ra nghiệm của bài toán cân bằng

1.3.3 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov

Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov là một phương pháp cơ bản thườngđược sử dụng để giải các bài toán đặt không chỉnh Tuy nhiên hiện nayngười ta đã mở rộng phương pháp này để giải các bài toán cân bằng.Xét bài toán cân bằng:

Tìm điểm x∗ ∈ E sao cho f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ E (1.14)Bài toán cân bằng sẽ được hiệu chỉnh bởi bài toán:

Giả sử x (ε) là nghiệm của bài toán hiệu chỉnh với mỗi ε > 0, khi đó{x (ε) : ε > 0} được gọi là một quỹ đạo nghiệm của bài toán

Ta có các giả thiết sau

(A1) f (., y) nửa liên tục trên với mỗi y ∈ E

(A2) f (x, )nửa liên tục dưới và lồi với mỗi x ∈ E

Định lý 1.3.1 [6] Giả sử

(i) f đơn điệu trên E và thỏa mãn các giả thiết (A1), (A2)

(ii) g là song hàm cân bằng đơn điệu trên E với hệ số γ > 0 thỏa mãncác giả thiết (A1), (A2) và

|g (x, y)| ≤ δ kx − xgk ky − xk , ∀x, y ∈ E,trong đó δ > 0 là hằng số

Khi đó với mỗi ε > 0 bài toán hiệu chỉnh luôn có duy nhất nghiệm x (ε)

và các khẳng định sau là tương đương:

(a) lim

ε→0 +x (ε) tồn tại

(b) lim

ε→0 +sup kx (ε)k < ∞

(c) Tập nghiệm của bài toán cân bằng khác rỗng

Hơn nữa, nếu một trong ba khẳng định trên được thỏa mãn thì lim

ε→0 +x (ε)chính là nghiệm duy nhất của bài toán EP  ˜E, g

, với ˜E := SEP (E, f ),

g (x, y) := hx − xg, y − xi, (SEP (E, f ) là tập nghiệm của bài toán cânbằng)

Chứng minh Do f , g đơn điệu trên E suy ra fε(., y) cũng đơn điệu trên

E và thỏa mãn điều kiện (A1),(A2) Do đó bài toán EP(E, fε) luôn códuy nhất nghiệm với ε > 0

(a) ⇒ (b): Hiển nhiên

(b) ⇒ (c): Do {x (ε)} bị chặn khi ε → 0+ suy ra với mỗi dãy các sốdương {εk} hội tụ về 0, dãy nghiệm xk := {x (εk)} phải có ít nhấtmột dãy conxk j hội tụ tới x∗ Vì xk j là nghiệm duy nhất của bàitoán EP



E, fεkj

với ∀kj ∈ N nên ta có

Điều này chứng tỏ rằng x∗ là nghiệm của bài toán cân bằng VậySEP(E, f ) 6= φ.

(c) ⇒ (a): Giả sử ¯x là một nghiệm tùy ý của bài toán cân bằng và{εk} là dãy bất kỳ các số dương hội tụ về 0 Đặt xk := {x (εk)} lànghiệm của bài toán EP(E, fε) Khi đó với mỗi k ∈ N , ta có

g xk, ¯x
+ g ¯x, xk
≤ −γ xk − ¯x 2 (1.16)Suy ra

g ¯x, xk
≤ −γ xk− ¯x 2,hay

−g ¯x, xk
≥ γ xk− ¯x 2.Theo giả thiết ta có được

δ k¯x − xgk xk − ¯x ≥ −g ¯x, xk
≥ γ xk− ¯x 2

Từ đó suy ra

xk − ¯x ≤ δ

γ k¯x − xgk , ∀k

Do đó dãy xk bị chặn Gọi x∗ là điểm giới hạn của xk Không mấttính tổng quát giả sử xk → x∗ ∈ K, k → ∞ ta có

Do đó dãy xk hội tụ về x∗

Nếu f đơn điệu thì song hàm cân bằng fε của bài toán hiệu chỉnhEP(E, fε) là đơn điệu nên bài toán này có duy nhất nghiệm Còn khi fgiả đơn điệu, bài toán hiệu chỉnh EP(E, fε) có nghiệm khi và chỉ khi bàitoán gốc EP(E, f ) có nghiệm, tuy nhiên, nó không còn duy nhất nghiệmnữa mà quỹ đạo nghiệm của nó hội tụ đến một nghiệm của bài toán gốcEP(E, f )

Ta xét định lý sau đây

Định lý 1.3.2 [6] Giả sử f giả đơn điệu trên E và thỏa mãn các giảthiết (A1), (A2) Khi đó các khẳng định sau là tương đương:

...

Nếu f đơn điệu song hàm cân fε tốn hiệu chỉnhEP(E, fε) đơn điệu nên tốn có nghiệm Cịn fgiả đơn điệu, tốn hiệu chỉnh EP(E, fε) có nghiệm bàitốn gốc EP(E, f