2 Phương pháp hàm đánh giá
2.2. Phương pháp hàm đánh giá Fukushima
Nhìn chung, hàm đánh giá Auslender thường không khả vi, do đó vấn đề xây dựng một hàm đánh giá khả vi, liên tục đã được quan tâm. M.Fukushima là người đầu tiên đề xuất ra hàm đánh giá này.
Định nghĩa 2.2.1. Cho H : E×E →R là một hàm không âm, khả vi liên tục và lồi mạnh trên tập lồi E theo biến y thỏa mãn:
(i) H (x, x) = 0,∀x ∈ E, (ii) H0y(x, x) = 0,∀y ∈ E. Khi đó hàm
g(x) := max
y∈E [hF (x), x−yi −H (x, y)]
được gọi là hàm đánh giá Fukushima.
Thông thường, người ta lấy H (x, y) := 12 hx−y, M(x−y)i với M là ma trận đối xứng xác định dương cấp n.
Định lý 2.2.1. [9] Cho E là một tập con đóng trong Rn, f (x, y) là một hàm lồi theo biến y, với mọi x ∈ E, khả vi theo biến x và f0x liên tục trên E×E.
Cho H(x, y) : X ×X →R là một hàm khả vi liên tục trên E×E, lồi mạnh với biến y, với mọi x ∈ E thỏa mãn:
(i) H (x, y) ≥ 0,∀(x, y) ∈ E ×E; (ii) H(x, x) = 0,∀x ∈ E; (iii) H0y(x, x) = 0,∀x ∈ E. Khi đó, hàm: h(x) := max y∈E [−f (x, y)−H (x, y)]
là hàm đánh giá khả vi liên tục của bài toán cân bằng và đạo hàm của nó được cho bởi công thức:
h0(x) =−f0x(x, y(x))−H0x(x, y(x)),
với y(x) := arg miny∈E[f (x, y) +H(x, y)].
Chứng minh. Áp dụng Mệnh đề 1.3.2 ta có thể quy bài toán (EP) về bài toán (AEP). Lấy ρ = 1, áp dụng Định lý 2.1.1 cho bài toán (AEP) ta có đpcm.
Ta xét thuật toán sau đây:
Thuật toán 2.2.1. [9] Cho h(x) := max
y∈E {−f (x, y)−H (x, y)}. Bước 1. Cho k = 0, x0 ∈ E.
Bước 2..Giải bài toán tối ưu:
min
y∈E {f (xk, y) +H (xk, y)}
để thu được một nghiệm là y(xk). Đặt:
dk := y(xk)−xk.
Xác định tk với tk là nghiệm của bài toán:
min
0≤t≤1{h(xk +tdk)}.
Cho xk+1 = xk+ tkdk.
toán dừng.
Ngược lại, đặt k = k+ 1 và quay lại Bước 2.
Định lý sau đây chỉ ra tính hội tụ của Thuật toán 2.2.1.
Định lý 2.2.2. [9] Cho E là tập lồi, compact, H (x, y) : E ×E → R là hàm không âm, khả vi liên tục trên E ×E, y là biến, x ∈ E thỏa mãn:
(i)H (x, y) ≥0,∀(x, y) ∈ E ×E; (ii)H (x, x) = 0,∀x ∈ E; (iii)H0y (x, x) = 0,∀x ∈ E. và f0x(x, y) + H0x(x, y) +f0y(x, y) +H0y(x, y), y −x ≥ 0,
với mọi (x, y) ∈ E×E. Khi đó, với mọi x0 ∈ E, dãy {xk} được sinh ra từ Thuật toán 2.2.1 thuộc E và hội tụ tới nghiệm của bài toán cân bằng.
Tương tự Thuật toán 2.1.2, thuật toán sau đây cũng xác định độ dài bước tk theo quy tắc Armijo.
Thuật toán 2.2.2. [9] Cho h(x) := max
y∈E {−f (x, y)−H (x, y)}. Bước 1. Cho k = 0, x0 ∈ E.
Bước 2. Nếu h(xk) = 0, thì thuật toán dừng lại. Trái lại, ta tiếp tục thực hiện Bước 3.
Bước 3. Giải bài toán tối ưu:
min
y∈E {f (xk, y) +H (xk, y)}
để thu được một nghiệm là y(xk). Đặt:
dk := y(xk)−xk.
Xác định tk (độ dài bước) theo cách sau:
Chọn số nguyên không âm mk nhỏ nhất trong các số m thỏa mãn:
đặt: tk = βmk và xk+1 = xk +tkdk.
Nếu kxk+1−xk k≤ ε với ε > 0 là sai số cho trước thì thuật toán dừng. Ngược lại, đặt k = k+ 1 và quay lại Bước 2.
Hệ quả sau đây chỉ ra tính hội tụ của Thuật toán 2.2.2.
Hệ quả 2.2.1. [9] Cho {xk} là dãy được sinh ra từ Thuật toán 2.2.2. Giả sử E là tập lồi, compact trong Rn và
f0x(x, y) +H0x(x, y) +f0y(x, y) +H0y(x, y), y−x ≥µ k x−yk2,
∀(x, y) ∈ E×E, µ > 0, σ < µ/2.
Khi đó, với mọi x0 ∈ E, dãy {xk} ⊂ E và hội tụ tới nghiệm của bài toán cân bằng.