2 Phương pháp hàm đánh giá
2.3. Phương pháp hàm đánh giá không ràng buộc
Hàm đánh giá được chia làm 2 loại. Đó là hàm đánh giá có ràng buộc và hàm đánh giá không ràng buộc. Ở 2 phần trên chúng ta đã giới thiệu loại hàm đánh giá có ràng buộc là hàm đánh giá Ausleder và hàm đánh giá Fukushima. Trong phần này sẽ giới thiệu tiếp loại hàm đánh giá thứ 2-hàm đánh giá không ràng buộc, còn gọi là hàm D-đánh giá (D-gap function).
Trước hết ta nhắc lại một số khái niệm liên quan đến song hàm cân bằng.
Một song hàm cân bằng f được gọi là (i) đơn điệu, nếu với mọi x, y ∈ E, ta có
f (x, y) +f (y, x) ≤ 0;
(ii) đơn điệu chặt, nếu với mọi x, y ∈ E, x 6= y, ta có
(iii) đơn điệu mạnh với hằng số τ, nếu với mọi x, y ∈ E, ta có
f (x, y) +f (y, x) ≤ −τkx−yk2.
Mệnh đề 2.3.1. [8]
(i) Nếu f (x, .) là bán liên tục và f là đơn điệu, khi đó tập nghiệm của bài toán cân bằng (2.1) trùng với tập nghiệm của bài toán đối ngẫu
x∗ ∈ E : f (y, x∗) ≤ 0,∀y ∈ E (2.4)
và nó là lồi đóng.
(ii) Nếu f là đơn điệu chặt, khi đó bài toán cân bằng (2.1) có nhiều nhất một nghiệm.
(iii) Nếu f (., y) là bán liên tục với mỗi y ∈ E và f là đơn điệu mạnh, thì bài toán cân bằng (2.1) có một nghiệm duy nhất.
Cho f là song hàm cân bằng, đơn điệu; f (x, .) là lồi và nửa liên tục dưới với mỗi x ∈ E; f (., y) là bán liên tục với mỗi y ∈ E. Ta gọi E∗ là tập nghiệm của bài toán cân bằng (2.1).
Giả sử rằng tồn tại một song hàm cân bằng ϕ : E×E →R thỏa mãn: (a) ϕ là đơn điệu mạnh với hằng số τ > 0,
(b) với mọi x, y ∈ E đều thỏa mãn ϕ(x, y) ≤ kxk ky −xk;
(c) ϕ(., y) là bán liên tục với mỗi y ∈ E và ϕ(x, .) lồi và nửa liên tục dưới với mọi x∈ E.
Ta xét bài toán đã bị nhiễu sau:
Tìm điểm xε ∈ E sao cho: f (xε, y) +εϕ(xε, y) ≥0,∀y ∈ E, ε >0.
(2.5) Đặt Φ (x, y) = f (x, y) +εϕ(x, y), khi đó Φ là một song hàm cân bằng, đơn điệu mạnh với hằng số ετ và Φ (x, .) là lồi, nửa liên tục dưới với mỗi
x ∈ E, hơn nữa, Φ (., y) là bán liên tục với mỗi y ∈ E. Áp dụng Mệnh đề 2.3.1 với f = Φ, ta có bài toán cân bằng (2.5) luôn có một nghiệm
duy nhất.
Định lý 2.3.1. [8] Nếu E∗ 6= ∅, khi đó {xε} → x∗ khi ε →0, với
x∗ ∈ E∗ : ϕ(x∗, ω) ≥ 0,∀ω ∈ E∗, (2.6) trong đó E∗ là tập nghiệm của bài toán cân bằng (2.1).
Chứng minh. Trước hết, theo Mệnh đề 2.3.1 bài toán (2.6) có duy nhất một nghiệm x∗. Nếu x∗ ∈ E∗, khi đó
f (x∗, xε) ≥0
và
f (xε, x∗) +εϕ(xε, x∗) ≥ 0.
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên, ta có
εϕ(xε, x∗) ≥ −[f (x∗, xε) +f (xε, x∗)] ≥0. Vì ϕ là đơn điệu mạnh, ta có −εϕ(x∗, xε) = −ε[ϕ(xε, x∗) +ϕ(x∗, xε)] +εϕ(xε, x∗) ≥ ετ k xε−x∗k2 (2.7) và kx∗ k≥ τ kxε −x∗ k .
Mặt khác, dãy {xε} là hội tụ, do đó nó có giới hạn. Theo Mệnh đề 2.3.2(i),
Φ (x, xε) = f (x, xε) +εϕ(x, xε) ≤ 0,∀x ∈ E.
Vì Φ (x, .) là lồi và nửa liên tục dưới đối với bất kì điểm giới hạn x0 của
{xε}, ta có
0 ≥lim
ε→0[f (x, xε) +εϕ(x, xε)] = lim
nghĩa là x0 là nghiệm của (2.4). Theo Mệnh đề 2.3.1 nó cũng là nghiệm của bài toán cân bằng. Vậy tất cả các giới hạn của {xε} được chứa trong
E∗. Mặt khác, từ (2.7) ta có: −ϕ(x∗, xε) ≥ τ kxε −x∗k2, cho ε →0, ta được 0 ≥ −ϕ(x∗, x0) ≥ τ kx0 −x∗k2 ≥0. Vậy lim ε→0xε = x∗(đpcm).
Từ giờ trở đi ta xét bài toán cân bằng (2.1) với
f (x, y) = h(x, y) +ϕ(x)−ϕ(y),
h : E×E → R là hàm khả vi, h(x, .) là lồi ∀x ∈ E và ϕ :E → R là lồi, liên tục nhưng không nhất thiết là hàm khả vi. Nói cách khác, xét bài toán:
Tìm x∗ ∈ E thỏa mãn: h(x∗, y) + ϕ(x∗)−ϕ(y) ≥0,∀y ∈ E. (2.8) Giả sử B là ma trận xác định dương, đơn điệu mạnh với τ > 0 và
kBk ≤ 1. Khi đó ta xét bài toán sau:
Tìm xε ∈ E sao cho: h(xε, y) +ϕ(xε)−ϕ(y) +εhBxε, y −xεi ≥ 0,∀y ∈ E, (2.9)
với ε > 0 cho trước.
Gọi E∗ là tập nghiệm của bài toán cân bằng (2.8). Từ Mệnh đề 2.3.1 ta có bài toán cân bằng (2.9) luôn có duy nhất nghiệm. Hơn nữa, theo Định lý 2.3.1, nếu E∗ 6= ∅, khi đó {xε} → x∗ khi ε →0, với
Để cho ngắn gọn, ta ký hiệu hε(x, y) = h(x, y) +εhBx, y−xi. Rõ ràng, hε là đơn điệu mạnh. Do đó, để giải bài toán cân bằng (2.9) với mỗi ε > 0 cố định, chúng ta có thể áp dụng phương pháp hàm đánh giá không ràng buộc. Đặt Φ(αε)(x, y) =−hε(x, y)−ϕ(y) +ϕ(x)−0,5αky −xk2 và µ(αε)(x) = sup y∈E Φ(αε)(x, y) = Φ(αε) x, y(αε)(x) (2.10) với α là số cố định. Hàm µ(αε) có thể coi là hàm đánh giá của bài toán EP(2.9). Lưu ý rằng, bài toán (2.10) luôn luôn có nghiệm duy nhất
yα(ε)(x) do Φ(αε)(x, .) là lõm mạnh và liên tục.
Điều kiện cần và đủ tối ưu cho bài toán EP(2.9) và bài toán (2.10) được xây dựng trong mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.3.2. [8]
(i) xεlà nghiệm của bài toán cân bằng (2.9) nếu và chỉ nếu xε ∈ E và
h∇yhε(xε, xε), y−xεi +ϕ(y)−ϕ(xε) ≥ 0,∀y ∈ E. (2.11)
ii) Với mọi x0 ∈ E ta có
h∇yhε(x0, yα(x0)) +α(yα(x0)−x0), y −yα(x0)i
+ϕ(y)−ϕ(yα(x0)) ≥ 0,∀y ∈ E.
(2.12) Mệnh đề 2.3.3. [8]
(i) Cho µ(αε)(x) ≥ 0, với mọi x ∈ E.
(ii) Nếu µ(αε)(x) = 0 và x ∈ E, thì x ∈ Eε∗. (iii) Các thuộc tính sau đây là tương đương:
Vậy, bài toán cân bằng (2.9) có thể được thay thế bằng việc tối ưu hóa bài toán sau:
min
x∈E → µ(αε)(x).
Hàm đánh giá µ(αε) là không trơn nên việc giải nó tương đối khó khăn. Để đơn giản hơn, chúng ta sẽ sử dụng hàm đánh giá khác gọi là hàm đánh giá không ràng buộc.
Ta xét hàm fαβ(ε)(x) =µα(ε)(x)−µ(βε)(x) với 0< α < β. Mệnh đề 2.3.4. [8] Với mỗi x ∈ Rn, ta có k x−yβ(ε)(x)k2 ≤ 2fαβ(ε)(x)/(β −α) ≤k x−yα(ε)(x)k2, trong đó 0 < α < β.
Chứng minh. Theo định nghĩa ta có
fαβ(ε)(x) = Φ(αε) x, yα(ε)(x) −Φ(βε) x, yβ(ε)(x) ≥ Φ(αε) x, yβ(ε)(x) −Φ(βε) x, y(βε)(x) ≥ (β −α) k x−yβ(ε)(x)k2/2,
nghĩa là vế trái của bất đẳng thức trên đúng, tương tự ta cũng có vế phải của bất đẳng thức, suy ra đpcm.
Các mệnh đề tiếp theo được suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 2.3.3 và 2.3.4, nói rằng hàm đánh giá không ràng buộc fαβ(ε) không giải trên tập E mà giải trên toàn không gian.
Mệnh đề 2.3.5. [8]
(ii) fαβ(ε)(x) = 0 khi và chỉ khi x ∈ Eε∗.
Vậy, bài toán EP(2.9) tương đương với bài toán không ràng buộc sau
min
x∈Rn →fαβ(ε)(x).
Tuy nhiên, do fαβ(ε)(x) không lồi nên bài toán có cực tiểu địa phương nhưng không phải cực tiểu toàn cục. Vì vậy, ta phải đưa thêm giả thiết để phương pháp hội tụ đến nghiệm của bài toán cân bằng ban đầu.
Giả sử:
(a) Ánh xạ ∇yh(., .) là liên tục Lipschitz với hằng số Lh. (b) Ánh xạ ∇xh(., .) là liên tục.
(c) Ánh xạ ∇xh(x, .) là đơn điệu với mỗi số cố định x ∈ Rn.
Từ (a) ta có ∇yhε(., .) là liên tục Lipschitz với hệ số L0h = Lh + 1. Ngoài ra từ (c) ta có ∇xhε(x, .) là đơn điệu mạnh với mỗi x ∈ Rn.
Với mỗi x ∈ Rn, ta đặt
H (x) =∇yh(x, y)|y=x
khi đó
Hε(x) = ∇yhε(x, y)|y=x = H (x) +εBx.
Do h là đơn điệu nên H cũng đơn điệu (xem [11], Mệnh đề 2.1.17)[8]. Hơn nữa, ta có song hàm hε là đơn điệu mạnh với hệ số ετ và ánh xạ
Hε : Rn →Rn cũng đơn điệu.
Kết quả sau đây là rất quan trọng trong việc áp dụng hàm đánh giá không ràng buộc vào giải bài toán cân bằng (2.8).
Mệnh đề 2.3.6. [8]
(i) Cho (a), (b) thỏa mãn. Khi đó hàm fαβ(ε) là khả vi liên tục và
∇fαβ(ε)(x) =∇xhεx, yβ(ε)(x)− ∇xhεx, yα(ε)(x) +β x−yβ(ε)(x) −α x−yα(ε)(x) ;
(ii) Cho (a), (b), (c) thỏa mãn. Khi đó ∇fαβ(ε)(x) = 0 hay x ∈ Eε∗. Việc chứng minh mệnh đề này được suy ra trực tiếp từ Định lý 4.1 và 5.1 trong [6] (xem [8]).
Bổ đề 2.3.1. Cho
(i) Ánh xạ ∇yh(., .) là liên tục Lipschitz với hằng số Lh.
(ii) Ánh xạ ∇xh(., .) là liên tục Lipschitz với mỗi tập con của Rn×Rn. Khi đó k x0−xε k≤ γˆ x0−yβ(ε)(x0) ,∀x0 ∈ Rn,
với γˆ = (β + 2L0h)/(ετ), xε là nghiệm của bài toán cân bằng.
Chứng minh. Lấy một điểm tùy ýx0 ∈ Rn. Đặty0 = yβ(ε)(x0). Theo (2.11) với y = y0 và (2.12) với α = β, y = xε, ta có 0≤ h∇yhε(xε, xε)− ∇yhε(x0, y0), y0−xεi +βhy0−x0, xε −y0i = h∇yhε(xε, xε)− ∇yhε(x0, x0), y0−xεi +h∇yhε(x0, x0)− ∇yhε(x0, y0), y0 −xεi+βhy0 −x0, xε−y0i. Vì H là đơn điệu, ta có ετ k xε−x0k2 ≤ h∇yhε(xε, xε)− ∇yhε(x0, x0), x∗ −x0i ≤ h∇yhε(xε, xε)− ∇yhε(x0, x0), y0 −x0i +h∇yhε(x0, x0)− ∇yhε(x0, y0), x0 −xεi +h∇yhε(x0, x0)− ∇yhε(x0, y0), y0−x0i +βhy0 −x0, xε−x0i+βhy0 −x0, x0 −y0i. Từ ∇yhε(x0, .) là đơn điệu, ta có h∇yhε(x0, x0)− ∇yhε(x0, y0), y0 −x0i ≤ 0.
Mặt khác, βhy0−x0, x0 −y0i ≤ 0 và theo giả thiết ta có
ετ k x∗ −x0k2 ≤ L0h k x∗ −x0 kk y0 −x0 k +L0h kx∗ −x0 kky0 −x0 k
có nghĩa là
k x0 −xε k≤ γˆ k x0 −yβ(ε)(x0),∀x0 ∈ Rn,
với γˆ = (β + 2L0h)/(ετ).
Định lý 2.3.2. [8] Cho ánh xạ ∇yh(., .) được xác định như Bổ đề 2.3.1, khi đó với γ >˜ 0 và với ε > 0 tùy ý, ta có
ε2 k x−xεk2 ≤ ˜γfαβ(ε)(x),∀x ∈ E,
với xε là nghiệm của bài toán cân bằng.
Chứng minh. Kết hợp Mệnh đề 2.3.4 và Bổ đề 2.3.1, ta có ε2 k x−xεk2 ≤h2(β +L0h)2/ τ2(β −α)ifαβ(x) = ˜γfαβ(ε)(x),∀x ∈ Rn, suy ra đpcm. Đặt r(x) = yα(ε)(x)−yβ(ε)(x), s(x) = α h x−y(αε)(x) i −β h x−yβ(ε)(x) i .
Bây giờ chúng ta đưa ra thuật toán sử dụng hàm đánh giá - D cho bài toán cân bằng (2.9).
Thuật toán 2.3.1. [8]
Bước 1. Chọn điểm ban đầu x0 ∈ Rn và ρ > 0, θ ∈ (0,1), γ > 0. Đặt k = 0.
Bước 2. Nếu fαβ(ε) xk = 0, thì dừng lại, xk là một nghiệm của bài toán (EP). Trái lại, ta tiếp tục thực hiện Bước 3.
Bước 3. Đặt dk = r xk+ρs xk.
Bước 4. Tìm số nguyên không âm mk nhỏ nhất trong các số m sao cho
Bước 5. Đặt λk = θm, xk+1 = xk+λkdk, k = k+ 1 và quay trở lại Bước 1.
Định lý sau đây chỉ ra tính hội tụ của Thuật toán 2.3.1. Định lý 2.3.3. [8] Cho
(i) Ánh xạ ∇yh(., .) là liên tục Lipschitz với hằng số Lh.
(ii) Ánh xạ ∇xh(., .) là liên tục Lipschitz với mỗi tập con của Rn×Rn. (iii) Ánh xạ ∇yh(x, .) là đơn điệu với mỗi số cố định x ∈ Rn.
Khi đó chuỗi xk được sinh ra bởi Thuật toán 2.3.1 với ρ ∈ (0,ρ˜) và
γ ≤ ετ /2, hội tụ đến tập nghiệm của bài toán cân bằng.
2.4. Kết luận
Trong chương này, chúng ta đã giới thiệu 3 hàm đánh giá: hàm đánh giá Auslender, hàm đánh giá Fukushima, hàm đánh giá không ràng buộc và đưa ra các thuật toán để giải bài toán cân bằng dựa vào 3 hàm đánh giá trên.
KẾT LUẬN CHUNG
Có thể nói, bài toán cân bằng là đề tài được nhiều người quan tâm nghiên cứu vì vai trò quan trọng của nó trong lý thuyết toán học và trong ứng dụng thực tế. Luận văn trên đây đã giới thiệu các khái niệm, định lý và một số phương pháp giải bài toán cân bằng đặc biệt là phương pháp hàm đánh giá. Những nội dung chính được trình bày trong luận văn bao gồm:
• Phát biểu bài toán cân bằng và một số ví dụ điển hình, sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng và một số phương pháp giải bài toán này.
• Trình bày phương pháp hàm đánh giá giải bài toán cân bằng. Dựa vào các hàm đánh giá Aslender, Fukushima và hàm đánh giá không ràng buộc để đưa bài toán cân bằng về bài toán cực tiểu có ràng buộc và không có ràng buộc.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
[1] Phan Huy Khải – Đỗ Văn Lưu (2000), Giải tích lồi, Nhà xuất bản Khoa học và Kĩ thuật, Hà Nội.
[2] Lê Dũng Mưu (1998), Nhập môn các phương pháp tối ưu, Nhà xuất bản Khoa học và Kĩ thuật, Hà Nội.
[3] Hoàng Tụy (2010),Lý thuyết Tối ưu, Bài giảng Cao học, Viện Toán học.
Tiếng Anh
[4] E. Blum and W. Oettli (1994), From Optimization and Variational Inequality to Equilibrium Problems, The Math. Student, 63, pp. 127-149. [5] Nguyen Van Hien (2002), Lecture Notes on Equilibrium Problems, Namur, Belgium.
[6] P.G. Hung, L.D.Muu (2012), On Inexact Tikhonov and Proximal Point Regularization Methods for Pseudomonotone Equilibrium Prob- lems, Vietnam Journal of Mathematics, 3, pp. 255-274.
[7] I. Konnov (2001), Combined Relaxation Methods for Variational Inequalities, Springer.
[8] I. Konnov (2003), D-Grap Functions and Descent Methods for a Class of Monotone Equilibrium Problems, Lobachevskii Journal of Math- ematics, 13, pp. 57-65.
[9] G. Mastroeni (2003), Gap Functions for Equilibrium Problems, Journal of Global Optimization, 4, pp. 411-426.