Tích phân xác định và ứng dụng trong giải toán trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HUỲNH PHÚC HẢI TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HUỲNH PHÚC HẢI TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Huỳnh Phúc Hải MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 BÀI TỐN DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG 1.2 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.3 ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH 1.4 Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.5 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN 1.5.1 Các tính chất tích phân xác định 1.5.2 Các định lý giá trị trung bình 1.6 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.6.1 Tích phân với cận thay đổi 1.6.2 Công thức Newton - Leibniz 1.7 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.7.1 Phép đổi biến số tích phân xác định 1.7.2 Cơng thức tích phân phần 1.8 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 1.8.1 Tích phân suy rộng loại 1.8.2 Tích phân suy rộng loại 1 1 2 3 10 10 16 19 19 21 22 22 26 29 29 34 CHƯƠNG ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC TRUNG HỌC PHỔ THƠNG 38 2.1 TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG PHẲNG 38 2.2 TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 44 2.2.1 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = f (x) 44 2.2.2 Diện tích hình phẳng đường có phương trình tham số 51 2.2.3 Diện tích hình phẳng đường cong tọa độ cực 54 2.3 TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ 57 2.3.1 Tính thể tích vật thể biết thiết diện thẳng 57 2.3.2 Tính thể tích vật thể trịn xoay 59 2.4 TÍNH DIỆN TÍCH MẶT TRÒN XOAY 66 CHƯƠNG ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TỐN TỔ HỢP VÀ GIỚI HẠN DÃY SỐ 70 3.1 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TOÁN TỔ HỢP 70 3.1.1 Nhị thức Newton 70 3.1.2 Các dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp tích phân 71 3.1.3 Các dạng tốn tổ hợp ứng dụng tích phân 72 3.2 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TỐN GIỚI HẠN DÃY SỐ 87 3.2.1 Phương pháp giải toán 87 3.2.2 Một số ví dụ 88 KẾT LUẬN 94 TÀI LIỆU THAM KHẢO 95 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) DANH MỤC CÁC HÌNH Số hiệu 1.1 1.2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16 2.17 2.18 2.19 2.20 Tên hình vẽ Hình thang cong AabB Diện tích hình thang cong D Độ dài đường cong AB, Đường xoắn Acsimet Diện tích hình phẳng giới hạn f (x) ≥ Ox Diện tích hình phẳng giới hạn f (x) ≤ Ox Diện tích hình phẳng giới hạn f (x) Ox Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong tạo miền kín Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong tạo miền kín Hình vẽ ví dụ 2.6 Hình vẽ ví dụ 2.7 Hình vẽ ví dụ 2.8 Diện tích hình phẳng giới hạn cung Cycloide Diện tích hình phẳng giới hạn đường Cardioide Diện tích hình phẳng giới hạn đường Parabole Thể tích vật thể giới hạn mặt Elipxơit Thể tích vật thể giới hạn đường cong quay quanh Ox Thể tích vật thể giới hạn đường cong quay quanh Ox Thể tích vật thể giới hạn đường cong quay quanh Oy Thể tích vật thể giới hạn đường cong quay quanh Oy Hình vẽ ví dụ 2.23 Trang 38 43 44 44 45 46 47 47 48 50 51 52 55 56 58 59 60 60 61 65 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Ngày phép tính tích phân chiếm vị trí quan trọng tốn học Tích phân ứng dụng rộng rãi để tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay Đây cịn đối tượng nghiên cứu giải tích, tảng cho Lý thuyết hàm, Lý thuyết phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng Ngồi ra, phép tính tích phân cịn ứng dụng rộng rãi xác suất, thống kê, vật lý, học, thiên văn học, y học Trong chương trình tốn THPT, phép tính tích phân giới thiệu cho học sinh lớp 12, nội dung quan trọng đề thi tuyển sinh đại học cao đẳng năm Với tầm quan trọng phép tính tích phân vậy, với mong muốn tạo tài liệu có ý nghĩa tham khảo tốt cho học sinh giáo viên THPT, gợi ý giáo viên hướng dẫn TS Lê Hải Trung nên tơi chọn đề tài "Tích phân xác định ứng dụng giải tốn trung học phổ thơng" làm luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu Luận văn hồn thành với mục tiêu tìm hiểu kiến thức định nghĩa, tính chất, ý nghĩa tính phân xác định, tích phân suy rộng Đồng thời nghiên cứu ứng dụng cụ thể phép tính tích phân giải tốn trung học phổ thơng, lĩnh vực hình học, tổ hợp, giới hạn dãy số Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tích phân xác định, tích phân suy rộng ứng dụng tích phân giải tốn hình học, tổ hợp, giới hạn dãy số hàm biến thực Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng phương pháp tốn học giải tích, vận dụng kiến thức tốn sơ cấp vi phân, tích phân, tổ hợp, dãy số để tiến hành nghiên cứu Trong luận văn, kiến thức sử dụng thuộc chun ngành giải tích tốn học, đại số Đóng góp đề tài Đề tài sử dụng tài liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên giáo viên giảng dạy mơn tốn khối phổ thông trung học Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn cấu trúc chương sau đây: Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị Chương 2: Ứng dụng tích phân xác định giải tốn hình học trung học phổ thơng Chương 3: Ứng dụng tích phân xác định giải toán tổ hợp giới hạn dãy số CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, tác giả trình bày định nghĩa tính chất tích phân xác định Đồng thời thông qua công thức Newton–Leibnitz, tác giả trình bày phương pháp để tính tích phân xác định Bên cạnh số kiến thức ý nghĩa hình học, tích phân suy rộng tác giả trình bày Các kiến thức chương tác giả tham khảo từ tài liệu [1], [2], [4], [5], [6] 1.1 BÀI TỐN DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG Cho hàm số y = f (x) liên tục, đơn điệu không âm đoạn [a, b] Xét hình thang cong AabB giới hạn đường thẳng x = a, x = b, trục hoành Ox đồ thị hàm số y = f (x) Hình 1.1: Hình thang cong AabB Ta định nghĩa diện tích S hình thang cong AabB sau Chia đoạn [a, b] cách tùy ý thành n đoạn nhỏ điểm chia x0 , x1 , x2 , , xn , cho điểm chia thỏa mãn a = x0 < x1 < x2 < < xn−1 < xn = b Từ điểm chia, ta dựng đường thẳng x = xi (i = 1, 2, , n) song song trục tung Oy để chia hình thang cong ban đầu AabB thành n hình thang cong nhỏ Mi−1 xi−1 xi Mi Trên đoạn nhỏ chia [xi−1 , xi ] ta chọn điểm ξi dựng hình chữ nhật với chiều rộng ∆xi = xi − xi−1 chiều cao f (ξi ) Khi đó, diện tích hình chữ nhật f (ξ1 )∆x1 , f (ξ2 )∆x2 , , f (ξn )∆xn Tổng diện tích n hình chữ nhật biễu diễn gần diện tích S hình thang cong AabB Do ta viết: n Sn = f (ξi )∆xi (1.1) i=1 Nhận xét tổng diện tích n hình chữ nhật gần diện tích hình thang cong AabB n lớn đoạn chia nhỏ Do đó, chuyển qua giới hạn n → ∞ cho max ∆xi → (i = 1, 2, , n) diện tích S cần tìm hình thang cong AabB n f (ξi )∆xi , sau: giá trị giới hạn tổng i=1 n S = lim Sn = n→∞ lim max ∆xi →0 f (ξi )∆xi (1.2) i=1 1.2 ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Cho f (x) hàm số xác định đoạn [a, b] Chia đoạn [a, b] cách tùy ý thành n đoạn nhỏ điểm chia x0 , x1 , x2 , , xn , thỏa mãn a = x0 < x1 < x2 < < xn−1 < xn = b Đặt d = max{∆xi } với ∆xi = xi − xi−1 (i = 1, 2, , n) Ta gọi điểm chia P = {xi } phân hoạch đoạn [a, b] d(P ) (hay gọi tắt d) đường kính phân hoạch Trên đoạn chia [xi−1 , xi ], lấy điểm ξi (i = 1, 2, , n) tùy ý lập tổng: n In = f (ξi )∆xi i=1 (1.3) 81 Ví dụ 3.10 Cho n ∈ N ∗ x(1 − x)19 dx a) Tính tích phân In = b) Tính tổng 1 1 18 19 S = C19 − C19 + C19 − + C19 − C19 20 21 Lời giải a) Đặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt Đổi cận x = ⇒ t = 1, x = ⇒ t = Khi 19 I=− 19 (1 − t)t dt = t −t 20 t20 t21 − dt = 20 21 = 420 (19) b) ta có khai triển nhị thức Newton: 2 18 18 19 19 (1 − x)19 = C19 − C19 x + C19 x − + C19 x − C19 x Suy 1 2 18 18 19 19 x C19 − C19 x + C19 x − + C19 x − C19 x dx In = 1 2 18 19 19 20 C19 x − C19 x + C19 x − + C19 x − C19 x dx = 18 20 19 21 1 C19 x − C19 x + C19 x − + C19 x − C19 x = 20 21 1 1 18 19 = C19 − C19 + C19 − + C19 − C19 20 21 Từ (19) (20) suy 1 1 18 19 S = C19 − C19 + C19 − + C19 − C19 = 20 21 420 (20) 82 Ví dụ 3.11 Cho n ∈ N ∗ x(1 − x2 )n dx a) Tính tích phân In = b) Chứng minh 1 1 (−1)n n Cn − Cn + Cn − Cn + + Cn = 2(n + 1) 2(n + 1) Lời giải a) Đặt t = − x2 ⇒ dt = −2xdx Đổi cận x = ⇒ t = 1, x = ⇒ t = Khi In = − 1 tn dt = 1 tn+1 n t dt = n+1 = 2(n + 1) (21) b) ta có khai triển nhị thức Newton: (1 − x2 )n = Cn0 − Cn1 x2 + Cn2 x4 − Cn3 x6 + + (−1)n Cnn x2n Suy x Cn0 − Cn1 x2 + Cn2 x4 − Cn3 x6 + + (−1)n Cnn x2n dx In = Cn0 x − Cn1 x3 + Cn2 x5 − Cn3 x7 + + (−1)n Cnn x2n+1 dx = 1 (−1)n n 2n+2 C x − Cn x + Cn x − Cn x + + C x = n 2n + n n 1 1 (−1) = Cn0 − Cn1 + Cn2 − Cn3 + + Cnn 2(n + 1) Từ (21) (22) suy 1 1 (−1)n n Cn − Cn + Cn − Cn + + Cn = 2(n + 1) 2(n + 1) (22) 83 c Tính tích phân hàm đa thức sau nhân thêm số vắng Khi gặp tốn chứng minh hay tính tổng tổ hợp mà số hạng tổng 1 quát không Cnk mà Cnk ta phải nhân thêm x vào hàm k+1 k+2 đa thức trước tính tích phân, số hạng tổng quát Cnk ta phải nhân thêm x2 vào hàm đa thức trước tính k+3 tích phân Tương tự cho trường hợp khác Ví dụ 3.12 Cho n ∈ N ∗ Chứng minh 1 1 n2n+1 + n C + C + C + + C = n n n n+2 n (n + 1)(n + 2) Phân tích tốn Ta thấy vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng cuối có hệ số Cnk nên ta phải nhân thêm x vào k+2 hàm đa thức trước tính tích phân Tổng khơng đan dấu nên ta x(1 + x)n dx sử dụng Lời giải Ta có khai triển: (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + + Cnn xn ⇔ x(1 + x)n = Cn0 x + Cn1 x2 + Cn2 x3 + + Cnn xn+1 Suy 1 x(1 + x)n dx = Cn0 x + Cn1 x2 + Cn2 x3 + + Cnn xn+1 dx (23) x(1 + x)n dx = V T (23) = = (1 + x − 1)(1 + x)n dx (1 + x)n+2 (1 + x)n+1 n+1 n − (1 + x) − (1 + x) dx = n+2 n+1 84 2n+2 − 2n+1 − n2n+1 + = − = n+2 n+1 (n + 1)(n + 2) (24) Cn0 x + Cn1 x2 + Cn2 x3 + + Cnn xn+1 dx V P (23) = 1 1 Cnn xn+2 = Cn0 x2 + Cn1 x3 + Cn2 x4 + + n+2 1 1 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn n+2 Từ (24) (25) suy (25) 1 1 n2n+1 + n C + C + C + + C = n n n n+2 n (n + 1)(n + 2) Ví dụ 3.13 Cho n ∈ N ∗ Chứng minh 1 1 1 Cn − Cn + Cn − + (−1)n Cnn = n+2 (n + 1)(n + 2) Phân tích tốn Ta thấy vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích Cnk nên ta phải nhân thêm x phân Vì số hạng cuối có hệ số k+2 vào hàm đa thức trước tính tích phân Tổng đan dấu nên ta sử x(1 − x)n dx dụng Lời giải Ta có khai triển: (1 − x)n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x2 − + (−1)n Cnn xn ⇔ x(1 − x)n = Cn0 x − Cn1 x2 + Cn2 x3 − + (−1)n Cnn xn+1 Suy 1 x(1 − x)n dx = Cn0 x − Cn1 x2 + Cn2 x3 − + (−1)n Cnn xn+1 dx (26) 85 x(1 − x)n dx Ta có V T (26) = Đặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt Đổi cận x = ⇒ t = 1, x = ⇒ t = Khi (1 − t)tn dt = V T (26) = − 1 (1 − t)tn dt = tn+1 tn+2 = − n+1 n+2 = tn − tn+1 dt 1 − = n + n + (n + 1)(n + 2) (27) Cn0 x − Cn1 x2 + Cn2 x3 − + (−1)n Cnn xn+1 dx V P (26) = (−1)n n n+2 1 C x = Cn x − Cn x + Cn x − + n+2 n 1 1 Cnn = Cn0 − Cn1 + Cn2 − + (−1)n n+2 Từ (27) (28) suy (28) 1 1 1 Cn − Cn + Cn − + (−1)n Cnn = n+2 (n + 1)(n + 2) Ví dụ 3.14 Cho n ∈ N ∗ Tính tổng 1 1 Cnn S = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + n+3 Phân tích tốn Ta thấy vế trái có chứa phân số, ta nghĩ đến việc sử dụng tích phân Vì số hạng cuối có hệ số Cnk nên ta phải nhân thêm x2 k+3 vào hàm đa thức trước tính tích phân Tổng khơng đan dấu x2 (1 + x)n dx nên ta sử dụng 86 Lời giải Ta có khai triển: (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x2 + + Cnn xn ⇔ x2 (1 + x)n = Cn0 x2 + Cn1 x3 + Cn2 x4 + + Cnn xn+2 Suy 1 x2 (1 + x)n dx = Cn0 x2 + Cn1 x3 + Cn2 x4 + + Cnn xn+2 dx (29) x2 (1 + x)n dx Ta có V T (29) = Đặt t = + x ⇒ dt = dx x2 = (t − 1)2 Đổi cận x = ⇒ t = 1, x = ⇒ t = Khi x2 (1 + x)n dx = V T (29) = (t − 1)tn dt = tn+2 tn+1 = − n+2 n+1 = tn+1 − tn dt n2n+1 + 2n+2 − 2n+1 − − = n+2 n+1 (n + 1)(n + 2) (30) Cn0 x2 + Cn1 x3 + Cn2 x4 + + Cnn xn+2 dx V P (29) = 1 1 = Cn0 x3 + Cn1 x4 + Cn2 x5 + + Cnn xn+3 n+3 1 1 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn n+3 Từ (30) (31) suy 1 1 n2n+1 + n S = Cn + Cn + Cn + + C = n+3 n (n + 1)(n + 2) (31) 87 3.2 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TRONG GIẢI TOÁN GIỚI HẠN DÃY SỐ 3.2.1 Phương pháp giải toán Cho f (x) hàm số xác định đoạn [a, b] Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ điểm chia x0 , x1 , x2 , , xn , thỏa mãn a = x0 < x1 < x2 < < xn−1 < xn = b, b−a b−a b−a ; x2 = a + ; xn = a + n = b n n n Đặt d = max{∆xi } với ∆xi = xi − xi−1 (i = 1, 2, , n) Trên đoạn chia [xi−1 , xi ], lấy điểm ξi = xi (i = 1, 2, , n) b−a b−a Ta có ξi = a + i , suy f (ξi ) = f a + i n n Theo định nghĩa tích phân xác định, ta lập tổng: với x0 = a; x1 = a + n n Sn = f (ξi )(xi − xi−1 ) = f (ξi )∆xi = i=1 = n i=1 f a+i i=1 b−a b−a · n n b−a b−a b−a b−a f a+ +f a+2 + + f a + n n n n n Nếu f (x) liên tục [a, b] thì: b n lim Sn = lim n→∞ d→0 f (ξi )∆xi = i=1 f (x)dx a Như với toán cho tổng Sn = u1 + u2 + + un , để tìm giới hạn tổng lim Sn , nhiều trường hợp ta dẫn giải tốn n→∞ n f (ξi )∆xi tính tích phân tương ứng, từ dạng tổng tích phân i=1 tính giới hạn cần tìm Phương pháp giải toán bao gồm bước sau: Bước Biến đổi tổng giới hạn Sn dạng Sn = b−a b−a b−a b−a f a+ +f a+2 + + f a + n n n n n 88 b−a = n n f a+i i=1 b−a n Bước Chỉ hàm f chứng minh f liên tục đoạn [a, b] nên khả tích đoạn [a, b] b f (x)dx Bước Tính tích phân kết luận lim Sn = n→∞ a Một số toán thường cho dạng đơn giản a = 0, b = Khi bước tính tốn rút gọn cho dễ hiểu sau: Bước Biến đổi tổng Sn dạng 1 n Sn = f +f + + f n n n n = n n f i=1 i n Bước Chỉ hàm f chứng minh f liên tục đoạn [0, 1] nên khả tích đoạn [0, 1] Bước Tính tích phân kết luận lim Sn = f (x)dx n→∞ 3.2.2 Một số ví dụ Ví dụ 3.15 Tìm lim Sn với n→∞ Sn = π 2π (n − 1)π sin + sin + + sin n n n n Lời giải Xét hàm số f (x) = sin πx đoạn [0, 1] Chia đoạn [0, 1] thành n đoạn nhỏ nhau, đoạn điểm chia x0 , x1 , x2 , , xn , thỏa n mãn: i x0 = < x1 = < x2 = < < xi = < < xn = n n n n f (ξi )∆xi với ∆xi = xi − xi−1 = Ta có Sn = i=1 Chọn ξi = xi = · n iπ suy f (ξi ) = f (xi ) = sin · n n 89 Vậy n Sn = n iπ sin n n f (ξi )∆xi = i=1 i=1 Ta có hàm số f (x) = sin πx liên tục đoạn [0, 1] nên khả tích đoạn [0, 1] Theo định nghĩa ta có: n lim Sn = lim n→∞ n →0 i=1 iπ sin = n n −1 sin πxdx = cos πx = π π n→∞ π Ví dụ 3.16 Tìm lim Sn với Vậy lim Sn = n→∞ Sn = 1 + + + n+1 n+2 2n Lời giải Ta có Sn = n 1 1+ n + 1+ n n 1+ n + + đoạn [0, 1] Chia đoạn [0, 1] thành n đoạn 1+x nhỏ nhau, điểm chia x0 , x1 , x2 , , xn , thỏa mãn: Xét hàm số f (x) = x0 = < x1 = i < x2 = < < xi = < < xn = n n n n Ta có Sn = i=1 Chọn ξi = xi = f (ξi )∆xi với ∆xi = xi − xi−1 = · n suy f (ξi ) = f (xi ) = n · Vậy n Sn = n f (ξi )∆xi = i=1 i=1 · n i 1+ n n 1+ i n = i=1 i+n 90 liên tục đoạn [0, 1] nên khả tích đoạn 1+x [0, 1] Theo định nghĩa ta có: Ta có hàm số f (x) = n lim Sn = lim n→∞ n →0 i=1 = i+n 1 dx = ln(1 + x) = ln 1+x Vậy lim Sn = ln n→∞ Ví dụ 3.17 Tìm lim Sn với n→∞ Sn = √ 1 +√ + + √ 4n2 − 4n2 − 22 3n2 Lời giải n 1 2 n 4− 4− 4− n n n Xét hàm số f (x) = √ đoạn [0, 1] Chia đoạn [0, 1] thành n − x2 đoạn nhỏ nhau, điểm chia x0 , x1 , x2 , , xn , thỏa mãn: i x0 = < x1 = < x2 = < < xi = < < xn = n n n n Ta có Sn = f (ξi )∆xi với ∆xi = xi − xi−1 = · n i=1 1 Chọn ξi = xi = suy f (ξi ) = f (xi ) = n i 4− n n n 1 ⇒ Sn = f (ξi )∆xi = · n i i=1 i=1 4− n Ta có hàm số f (x) = √ liên tục đoạn [0, 1] nên khả tích − x2 đoạn [0, 1] Theo định nghĩa ta có: Sn = + n lim Sn = lim n→∞ n →0 i=1 + + 1 · n 4− i n √ = dx − x2 91 Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt π Đổi cận x = ⇒ t = 0, x = ⇒ t = Khi π 1 √ dx = − x2 cos tdt = − (2 sin t)2 π cos tdt = 4(1 − sin t2 ) π π dt = = π π n→∞ Ví dụ 3.18 Tìm lim Sn với Vậy lim Sn = n→∞ Sn = n+ + n+ + + 6n − n+ Lời giải Ta có n 6n − 1+ 1+ 1+ 3n 3n 3n 1 ⇒ 2Sn = + + + 6n − n 1+ 1+ 1+ 3n 3n 3n Xét hàm số f (x) = đoạn [0, 2] Chia đoạn [0, 2] thành n đoạn 1+x nhỏ nhau, điểm chia x0 , x1 , x2 , , xn , thỏa mãn: 2i < < xn = x0 = < x1 = < x2 = < < xi = n n n Sn = + + + n · n i=1 2 2(i − 1) 2i 6i − Chọn ξi = xi−1 + xi = · + · = 3 n n 3n Suy f (ξi ) = f (xi ) = · 6i − 1+ 3n Vậy n n 2Sn = f (ξi )∆xi = · 6i − n i=1 i=1 1+ 3n Ta có 2Sn = f (ξi )∆xi với ∆xi = xi − xi−1 = 92 liên tục đoạn [0, 2] nên khả tích đoạn 1+x [0, 2] Theo định nghĩa ta có: Ta có hàm số f (x) = n · n lim 2Sn = lim = 6i − n→∞ n →0 i=1 1+ 3n √ Vậy lim Sn = ln = ln n→∞ Ví dụ 3.19 Tìm lim Sn với dx = ln(1 + x) = ln 1+x n→∞ sin Sn = π n 2π n π + 2π + cos2 n n nπ n + + nπ + cos2 n π n 2π n π + 2π + cos2 n n nπ n + + nπ + cos2 n π n2 + cos2 sin n sin Lời giải Ta có sin Sn = π n2 + cos2 sin n sin nπ π π 2π 2π nπ sin sin sin π n n n n n n + + = + π nπ 2π n + cos2 2 + cos + cos n n n x sin x Xét hàm số f (x) = đoạn [0, π] Chia đoạn [0, π] thành n + cos2 x đoạn nhỏ nhau, điểm chia x0 , x1 , x2 , , xn , thỏa mãn: x0 = < x1 = π 2π iπ < x2 = < < xi = < < xn = π n n n n f (ξi )∆xi với ∆xi = xi − xi−1 = Ta có Sn = i=1 π · n iπ iπ sin iπ n n · Chọn ξi = xi = suy f (ξi ) = f (xi ) = iπ n + cos2 n 93 Vậy n Sn = n f (ξi )∆xi = i=1 i=1 iπ iπ sin π n n · iπ n + cos2 n x sin x liên tục đoạn [0, π] nên khả tích + cos2 x đoạn [0, π] Theo định nghĩa ta có: Ta có hàm số f (x) = n lim Sn = lim n→∞ n →0 i=1 iπ iπ sin π n n · iπ n + cos2 n π x sin x dx + cos2 x = Đặt x = π − t ⇒ dx = −dt Đổi cận x = ⇒ t = π , x = π ⇒ t = Khi π x sin x dx = + cos2 x I= π π π sin t dt − + cos2 t (π − t) sin t dt + cos2 t π = π (π − t) sin(π − t) (−dt) = + cos2 (π − t) π t sin t dt = + cos2 t −πd(cos t) −I + cos2 t π ⇒ 2I = −π arctan(cos t) = −π arctan(−1) − arctan π π π π2 ⇒I=− − − = 4 π2 Vậy lim Sn = n→∞ 94 KẾT LUẬN Luận văn "Tích phân xác định ứng dụng giải toán trung học phổ thơng" đề cập đến vấn đề sau đây: Hệ thống lại kiến thức tích phân xác định: Định nghĩa, ý nghĩa hình học tích phân xác định, tính chất tích phân xác định, cơng thức Newton–Leibnitz Bên cạnh trình bày cách tương đối kiến thức tích phân suy rộng Trình bày phương pháp để tính tích phân xác định, kèm theo số ví dụ minh họa Trình bày phương pháp tính ví dụ minh họa để tính độ dài đường cong phẳng Trình bày phương pháp tính ví dụ minh họa để tính diện tích hình phẳng diện tích mặt trịn xoay Trình bày phương pháp tính ví dụ minh họa để tính thể tích vật thể Trình bày phương pháp nhận biết ứng dụng tích phân vào việc giải số tốn tính tổng chứng minh dãy số có kí hiệu tổ hợp Trình bày phương pháp ứng dụng tích phân vào việc tinh giới hạn dãy số Mặc dù cố gắng thời gian trình độ hạn chế nên luận văn dừng lại mức tìm hiểu giới thiệu số ứng dụng tích phân giải tốn hình học, tổ hợp giới hạn dãy số trung học phổ thơng Trong q trình thực luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn bè 95 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Trần Đức Long (2007), Giáo trình giải tích tập - Phép tính tính phân hàm biến, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [2] Đinh Thế Lục (2009), Giải tích hàm biến, Viện Toán học [3] Trần Phương (2006), Tuyển tập chuyên đề kĩ thuật tính tích phân, Nhà xuất Tri thức [4] Nguyễn Duy Tiến (2001), Bài giảng giải tích tập 1, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Đình Trí (2004), Tốn học cao cấp tập Bài tập Toán học cao cấp tập 2, Nhà xuất Giáo dục [6] Lê Văn Trực (2007), Giải tích tốn học tập 1, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội [7] Jean - Marie Monier, Lý Hồng Tú dịch (2001), Giáo trình giải tích 300 tập có lời giải, Nhà xuất Giáo dục [8] Võ Thành Văn (2009), Chuyên đề ứng dụng nguyên hàm tích phân giải toán THPT, Nhà xuất Đại học Sư phạm Tiếng Anh [9] Andrew Browder (1995), Mathematical Analysis: An Introduction, Springer [10] James Stewart (2002), Calculus - Concepts and contexts, 2nd edition, Brooks-Cole [11] Vladimir A Zorich (2004), Mathematical Analysis, Springer ... Giới hạn khơng tồn nên tích phân phân kỳ 38 CHƯƠNG ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Trong chương này, tác giả trình bày ứng dụng tích phân việc tính độ dài... bị Chương 2: Ứng dụng tích phân xác định giải tốn hình học trung học phổ thơng Chương 3: Ứng dụng tích phân xác định giải tốn tổ hợp giới hạn dãy số 3 CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương... DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HUỲNH PHÚC HẢI TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC