Bài toán tính tích phân xác định bằng định nghĩa và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐINH LÝ MỸ HUỆ BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐINH LÝ MỸ HUỆ BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ THỊ HOÀI THU TS NGUYỄN THÀNH CHUNG Đà Nẵng - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Đinh Lý Mỹ Huệ LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ cách hoàn chỉnh, bên cạnh nỗ lực cố gắng thân cịn có hướng dẫn nhiệt tình quý Thầy Cô, động viên ủng hộ gia đình bạn bè suốt thời gian học tập nghiên cứu thực luận văn thạc sĩ Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô giáo Thầy giáo hướng dẫn em TS LÊ THỊ HOÀI THU TS NGUYỄN THÀNH CHUNG, người hết lòng giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho em hoàn thành luận văn Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến tồn thể q Thầy Cơ khoa Tốn khoa Sau đại học - Trường Đại học sư phạm Đà Nẵng tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập nghiên cứu thực đề tài luận văn Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến Trường THCS-THPT Trung Hóa, xin cảm ơn anh chị bạn đồng nghiệp không ngừng hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho em suốt thời gian học tập nghiên cứu làm luận văn Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp Cao học Phương Pháp Toán Sơ cấp K36 nhiệt tình giúp đỡ em trình học tập vừa qua Đinh Lý Mỹ Huệ MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.1 Khái niệm tích phân xác định 1.2 Điều kiện khả tích 1.3 Tính chất 13 1.4 Các lớp hàm khả tích 19 1.5 Công thức Newton-Leibnitz 21 1.6 Phương pháp đổi biến số tích phân phần 22 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẰNG ĐỊNH NGHĨA 24 2.1 Bài tốn xét tính khả tích hàm số tính tích phân xác định định nghĩa 24 2.2 Bài tốn tính giới hạn dãy số tích phân xác định 28 2.3 Bài tốn tính độ dài đường cong phẳng 33 2.4 Bài tốn tính diện tích hình phẳng 38 2.5 Bài tốn tính thể tích vật thể 48 2.6 Bài toán tính diện tích mặt trịn xoay 55 2.7 Bài tốn tính xấp xỉ tích phân xác định 60 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết tích phân đóng vai trị quan trọng ngành tốn học nói riêng khoa học nói chung Chính vậy, vấn đề lý thuyết tích phân chọn lọc đưa vào chương trình trung học phổ thông năm lớp 12 Những nội dung kiến thức trình bày đầy đủ chi tiết chương trình đại học, đồng thời mở rộng khái niệm tích phân miền khác với cách hiểu khác Bài tốn tính tích phân gắn liền với nhiều ứng dụng thực tiễn, gần gũi sử dụng phổ biến cơng việc đo đạc tính toán Trong năm trở lại đây, việc giảng dạy khái niệm tốn học địi hỏi gắn liền với mơ hình thực tiễn nhiều Học sinh khơng biết dạng tốn cách giải mà cần hiểu khái niệm tốn học có ý nghĩa gì, mối liên hệ khái niệm với khái niệm toán học liên quan cuối thấy ứng dụng thực tiễn công việc, sống hàng ngày Trong chương trình phổ thơng, khái niệm tích phân giới thiệu sơ lược, chủ yếu nhằm mục đích cho học sinh nắm bắt phương pháp tính tích phân Với hạn chế kiến thức chuẩn bị, cách xây dựng lý thuyết tích phân xác định chương trình phổ thơng dấn đến cách tính hầu hết dựa vào việc tìm nguyên hàm Hơn nữa, vấn đề lý thuyết không chứng minh chi tiết mà công nhận để vận dụng Điều làm mờ nhạt khái niệm tích phân xác định dẫn đến việc học sinh hiểu đầy đủ khái niệm này, không thấy rõ liên hệ với khái niệm độ dài, diện tích, thể tích, Với mục đích tìm hiểu rõ khái niệm tích phân xác định, phương pháp tính tích phân xác định định nghĩa vấn đền liên quan, lựa chọn đề tài luận văn thạc sĩ "Bài tốn tính tích phân xác định định nghĩa số vấn đề liên quan" Mục đích nghiên cứu Với mong muốn cung cấp cho học sinh, đồng nghiệp có nhìn tổng quát việc tính tính phân xác định định nghĩa số vấn đề liên quan Đối tượng nghiên cứu Bài tốn tính tích phân xác định định nghĩa số ứng dụng tích phân xác định Phạm vi nghiên cứu Những nội dung lý thuyết tích phân chương trình THPT Ngồi ra, chúng tơi tham khảo thêm số kiến thức tích phân chương trình đại học Phương pháp nghiên cứu • Tham khảo tài liệu tính tích phân xác định định nghĩa vấn đề liên quan đến tích phân xác định tập số thực • Xin ý kiến, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn Tổng quan cấu trúc luận văn Đề tài nhằm mang lại cách nhìn tổng quan tính tích phân xác định định nghĩa số vấn đề liên quan Nó giúp em học sinh THPT có thêm nhãn quan học giải tốn tích phân xác định ứng dụng Nó tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên học sinh việc nâng cao chất lượng dạy học Trường THPT Nội dung luận văn trình bày gồm hai chương Ngồi luận văn cịn có phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo • Chương 1: Khái niệm tính chất tích phân xác định • Chương 2: Một số dạng tốn liên quan đến tốn tính tích phân xác định định nghĩa 63 2.7.2 Công thức Simpson Cho hàm số f (x) xác định liên tục đoạn [a, b] chia đoạn [a, b] thành 2n khoảng điểm chia a = x0 < x1 < x2 < < xi < < x2n = b b−a , i = 0, 2n 2n Tại điểm chia xi ta tính f (xi ) đặt f (xi ) = yi , i = 0, 2n Định lí 2.7.2 Cho hàm số f (x) xác định liên tục đoạn [a, b] xi = α + ih, h = b I= f (x)dx Khi ta có a I ≈ Is = h [(y0 + y2n ) + 4(y1 + y3 + + y2n−1 ) + 2(y2 + y4 + + y2n−2 )] b−a 2n Công thức gọi công thức Simpson với h = Chứng minh Trong cơng thức hình thang, xấp xỉ f (x) đa thức nội suy bậc nhất, ta xấp xỉ f (x) đa thức nội suy bậc hai, ta chia [a, b] thành 2n khoảng điểm chia a = x0 < x1 < x2 < < xi < < x2n = b b−a , i = 0, 2n xi = α + ih, h = 2n Tại điểm chia xi ta tính f (xi ) đặt f (xi ) = yi , i = 0, 2n Khi ta có x2 b I= f (x)dx = a x4 f (x)dx + x0 x2n f (x)dx + + x2 f (x)dx x2n−2 x2 f (x)dx ta xấp xỉ f (x) đa thức nội suy Lagrange bậc hai Để tính x0 L2 (x) Ta có L2 (x) = y0 l0 (x) + y1 l1 (x) + y2 l2 (x) 64 với    l0 (x) =         l1 (x) =           l2 (x) = Ta có (x − x1 )(x − x2 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 ) (x − x0 )(x − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x − x0 )(x − x1 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 ) x2 x2 f (x)dx ≈ x0 L2 (x)dx x0 Để tính tích phân vế phải ta thực phép đổi biến x = x0 + ht có dx = hdt, ứng với x0 t = 0, ứng với x2 t = 2, l0 (x) = (t − 1)(t − 2), l1 (x) = −t(t − 2), l2 (x) = t(t − 1) Do x2 y0 y2 (t − 1)(t − 2) − y1 t(t − 2) + t(t − 1) dt 2 L2 (x)dx = h x0 =h ( y0 y2 3y0 y2 − y1 + )t2 + (− + 2y1 − )t + y0 dt 2 2 cuối x2 f (x)dx ≈ x0 h (y0 + 4y1 + y2 ) 65 Tương tự, suy  x4   h    f (x)dx ≈ (y2 + 4y3 + y4 )     x2               x2n    h   f (x)dx ≈ (y2n−2 + 4y2n−1 + y2n )     x2n−2 Cuối ta suy I ≈ Is = h [(y0 + y2n ) + 4(y1 + y3 + + y2n−1 ) + 2(y2 + y4 + + y2n−2 )] b−a 2n Ví dụ 2.7.1 Dùng cơng thức hình thang cơng thức Simpson, tính với h = dx , (chia [2, 5] thành khoảng nhau) ln x gần tích phân sau: Bài giải Dưới cho giá trị x f (x) = tương ứng: ln x x0 = 2, ⇒ y0 ≈ 1, 44269 x1 = 2, ⇒ y1 ≈ 1, 09137 x2 = 3, ⇒ y2 ≈ 0, 91024 x3 = 3, ⇒ y3 ≈ 0, 79823 x4 = 4, ⇒ y4 ≈ 0, 72135 x5 = 4, ⇒ y5 ≈ 0, 66486 x6 = 5, ⇒ y6 ≈ 0, 62133 dx lưu ý hàm số f (x) = nguyên ln x ln(x) Gọi I := hàm biểu diễn dạng hàm sơ cấp Gọi IT , IS giá trị 66 xấp xỉ I tính theo cơng thức hình thang công thức Simpson ta y0 + y + y1 + y + y3 + y4 + y5 = 0, 5[1, 03201 + 4, 18605] = 2, 60903 5−2 [(y0 + y6 ) + 4(y1 + y3 + y5 ) + 2(y2 + y4 )] IS = 3.6 = [2, 06402 + 10, 21784 + 3, 26318] = 2, 59084 |IS − IT | < 0, 019 IT = 0, Ví dụ 2.7.2 Dùng cơng thức hình thang cơng thức Simpson, tính π gần tích phân sau: √ π cos xdx, (chia [0, ] thành 10 khoảng nhau) √ Bài giải Dưới giá trị x f (x) = cos x tương ứng: x0 = 0o ⇒ y0 ≈ 1, 000000 x1 = 6o ⇒ y1 ≈ 0, 997257 x2 = 12o ⇒ y2 ≈ 0, 980130 x3 = 18o ⇒ y3 ≈ 0, 975218 x4 = 24o ⇒ y4 ≈ 0, 955796 x5 = 30o ⇒ y5 ≈ 0, 930605 x6 = 36o ⇒ y6 ≈ 0, 899450 x7 = 42o ⇒ y7 ≈ 0, 862060 x8 = 48o ⇒ y8 ≈ 0, 818000 x9 = 54o ⇒ y9 ≈ 0, 766670 x10 = 60o ⇒ y10 ≈ 0, 707110 π Gọi IT , IS giá trị xấp xỉ I = √ cos xdx theo cơng thức hình 67 thang cơng thức Simpson ta có 6.3, 1416 (y0 + y1 0) [ + (y1 + y2 + + y9 )] 180 = (0, 10472)[0, 853555 + 8, 194069] IT = = (0, 10472)(9, 047624) ≈ 0, 9475 IS = (0, 03491)[(y0 + y1 ) + 4(y1 + y3 + y5 + + y9 ) + 2(y2 + y4 + + y8 )] = (0, 03491)[(1, 70711) + 4(4, 537705) + 2(3, 662559)] = (0, 03491)[1, 70711 + 18, 15082 + 7, 324518] = (0, 03491)(27, 182448) = 0, 9489 |IS − IT | < 0, 0014 Bài tập tương tự Bài tập 2.7.1 Dùng cơng thức hình thang cơng thức Simpson tính x2 dx gần tích phân I = Bài tập 2.7.2 Dùng cơng thức hình thang cơng thức Simpson tính dx gần tích phân J = 1+x Bài tập 2.7.2 Dùng công thức hình thang cơng thức Simpson tính sin x dx gần tích phân K = 1+x 68 KẾT LUẬN Luận văn "Bài tốn tính tích phân xác định định nghĩa số vấn đề liên quan" đạt kết sau (a) Hệ thống lại số kiến thức tính tích phân xác định định nghĩa số ứng dụng tích phân xác định (b) Hệ thống phân loại số dạng toán tính tích phân xác định định nghĩa ứng dụng tích phân xác định bao gồm tốn tính tích phân xác định định nghĩa, tính độ dài đường cong phẳng, tính diện tích hình phẳng, diện tích mặt trịn xoay, thể tích mặt trịn xoay tính gần tích phân xác định Các ví dụ chọn lọc phong phú, đa dạng kèm theo lời giải chi tiết thể tương đối đầy đủ, bao quát toán 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp, Nguyễn Huỳnh Phán, Nguyễn Thái Sơn, Trần Đình Thanh (2007), Giải tích tốn học, NXB Giáo dục [2] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng (2007), Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục [3] James Stewart (2016), Giải tích 1, NXB Hồng Đức [4] Lê Văn Trực (2007), Giải tích tốn học-Tập 1, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [5] Ngơ Thị Sinh (2015), Tích phân ứng dụng, Trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2018), Toán học cao cấp-Tập 2, Phép tính giải tích biến số, NXB Giáo dục [7] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh (2018), Bài tập toán cao cấp-Tập 2, Phép tính giải tích biến số, NXB Giáo dục [8] Nguyễn Huy Đoan, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Phạm Thị Bạch Ngọc, Đoàn Quỳnh, Đặng Hùng Thắng (2010), Bài tập Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục [9] Nguyễn Xuân Liêm (2009), Giải tích-Tập 1, NXB Giáo dục [10] Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Tiến Tài, Cấn Văn Tuất (2007), Giải tích 12, NXB Giáo dục DAI HOC DA NANG TRUONGD~IHQCStrPH4M S6: J!10'r> IQD-DHSP CONG HoA xX HOI crm NGHiA VI~TNAM DQe I~p - TV - Hanh phuc Dil NJng, [If- thang J.L ndm JOl3 QVYETDJNH V~ vi~e giao d~ titi va traeh nbi~m hU'(Yngd~n lu~n van thac si mtu TRUONG TRtrONGDAIHOC SUPHAM Can c~ Nghi dinh s6 32/CP 04/4/1994 cua Chinh phu v~ viec l?p Dai h9CDa Nang; Can cir Thong tu s6 08/2014/TT-BGDDT 20/3/2014 cua Be Giao due va Dao t