Bài toán tính tích phân xác định bằng định nghĩa và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐINH LÝ MỸ HUỆ BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐINH LÝ MỸ HUỆ BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ THỊ HOÀI THU TS NGUYỄN THÀNH CHUNG Đà Nẵng - 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả Đinh Lý Mỹ Huệ LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ cách hoàn chỉnh, bên cạnh nỗ lực cố gắng thân cịn có hướng dẫn nhiệt tình quý Thầy Cô, động viên ủng hộ gia đình bạn bè suốt thời gian học tập nghiên cứu thực luận văn thạc sĩ Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô giáo Thầy giáo hướng dẫn em TS LÊ THỊ HOÀI THU TS NGUYỄN THÀNH CHUNG, người hết lòng giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho em hoàn thành luận văn Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến tồn thể q Thầy Cơ khoa Tốn khoa Sau đại học - Trường Đại học sư phạm Đà Nẵng tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập nghiên cứu thực đề tài luận văn Xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến Trường THCS-THPT Trung Hóa, xin cảm ơn anh chị bạn đồng nghiệp không ngừng hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho em suốt thời gian học tập nghiên cứu làm luận văn Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp Cao học Phương Pháp Toán Sơ cấp K36 nhiệt tình giúp đỡ em trình học tập vừa qua Đinh Lý Mỹ Huệ MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.1 Khái niệm tích phân xác định 1.2 Điều kiện khả tích 1.3 Tính chất 13 1.4 Các lớp hàm khả tích 19 1.5 Công thức Newton-Leibnitz 21 1.6 Phương pháp đổi biến số tích phân phần 22 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẰNG ĐỊNH NGHĨA 24 2.1 Bài tốn xét tính khả tích hàm số tính tích phân xác định định nghĩa 24 2.2 Bài tốn tính giới hạn dãy số tích phân xác định y2 l2 (x) 64 với    l0 (x) =         l1 (x) =           l2 (x) = Ta có (x − x1 )(x − x2 ) (x0 − x1 )(x0 − x2 ) (x − x0 )(x − x2 ) (x1 − x0 )(x1 − x2 ) (x − x0 )(x − x1 ) (x2 − x0 )(x2 − x1 ) x2 x0 x2 f (x)dx ≈ L2 (x)dx x0 Để tính tích phân vế phải ta thực phép đổi biến x = x0 + ht có dx = hdt, ứng với x0 t = 0, ứng với x2 t = 2, l0 (x) = (t − 1)(t − 2), l1 (x) = −t(t − 2), l2 (x) = t(t − 1) Do x2 L2 (x)dx = h x0 y0 y2 (t − 1)(t − 2) − y1 t(t − 2) + t(t − 1) dt 2 ( =h cuối y2 3y0 y2 y0 − y1 + )t2 + (− + 2y1 − )t + y0 dt 2 2 x2 x0 f (x)dx ≈ h (y0 + 4y1 + y2 ) 65 Tương tự, suy  x4   h    f (x)dx ≈ (y2 + 4y3 + y4 )     x2               x2n    h   (y2n−2 + 4y2n−1 + y2n ) f (x)dx ≈     x2n−2 Cuối ta suy I ≈ Is = h [(y0 + y2n ) + 4(y1 + y3 + + y2n−1 ) + 2(y2 + y4 + + y2n−2 )] b−a 2n Ví dụ 2.7.1 Dùng cơng thức hình thang cơng thức Simpson, tính với h = gần tích phân sau: dx , (chia [2, 5] thành khoảng nhau) ln x Bài giải Dưới cho giá trị x f (x) = tương ứng: ln x x0 = 2, ⇒ y0 ≈ 1, 44269 x1 = 2, ⇒ y1 ≈ 1, 09137 x2 = 3, ⇒ y2 ≈ 0, 91024 x3 = 3, ⇒ y3 ≈ 0, 79823 x4 = 4, ⇒ y4 ≈ 0, 72135 x5 = 4, ⇒ y5 ≈ 0, 66486 Gọi I := x6 = 5, ⇒ y6 ≈ 0, 62133 dx lưu ý hàm số f (x) = nguyên ln x ln(x) hàm biểu diễn dạng hàm sơ cấp Gọi IT , IS giá trị 66 xấp xỉ I tính theo cơng thức hình thang cơng thức Simpson ta y0 + y6 + y1 + y2 + y3 + y4 + y5 = 0, 5[1, 03201 + 4, 18605] = 2, 60903 5−2 IS = [(y0 + y6 ) + 4(y1 + y3 + y5 ) + 2(y2 + y4 )] 3.6 = [2, 06402 + 10, 21784 + 3, 26318] = 2, 59084 |IS − IT | < 0, 019 IT = 0, Ví dụ 2.7.2 Dùng cơng thức hình thang cơng thức Simpson, tính π gần tích phân sau: √ π cos xdx, (chia [0, ] thành 10 khoảng nhau) √ Bài giải Dưới giá trị x f (x) = cos x tương ứng: x0 = 0o ⇒ y0 ≈ 1, 000000 x1 = 6o ⇒ y1 ≈ 0, 997257 x2 = 12o ⇒ y2 ≈ 0, 980130 x3 = 18o ⇒ y3 ≈ 0, 975218 x4 = 24o ⇒ y4 ≈ 0, 955796 x5 = 30o ⇒ y5 ≈ 0, 930605 x6 = 36o ⇒ y6 ≈ 0, 899450 x7 = 42o ⇒ y7 ≈ 0, 862060 x8 = 48o ⇒ y8 ≈ 0, 818000 x9 = 54o ⇒ y9 ≈ 0, 766670 x10 = 60o ⇒ y10 ≈ 0, 707110 π Gọi IT , IS giá trị xấp xỉ I = √ cos xdx theo cơng thức hình ... lại số kiến thức tính tích phân xác định định nghĩa số ứng dụng tích phân xác định (b) Hệ thống phân loại số dạng tốn tính tích phân xác định định nghĩa ứng dụng tích phân xác định bao gồm tốn tính. .. biến số tích phân phần 22 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẰNG ĐỊNH NGHĨA 24 2.1 Bài tốn xét tính. .. ——————————– ĐINH LÝ MỸ HUỆ BÀI TỐN TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn