Tìm hiểu về bài toán Pompeiu và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN KHOA : TOÁN-CƠ-TIN HỌC Trần Thế Dũng TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN POMPEIU VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP HỆ ĐẠI HỌC CHÍNH QUY Ngành: Toán học Cán bộ hướng dẫn: TS. Đặng Anh Tuấn HÀ NỘI- 2012 Lời cảm ơn Nhân dịp này, e m xin chân thành cảm ơn thầy Đặng Anh Tuấn, người đã trực tiếp hướng dẫn và tận tình chỉ bảo em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Đồng thời, em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy giáo, c ô giáo trong khoa Toán-Cơ-Tin, trường Đại học Khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc gia Hà Nội, đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa. Cuối c ùng xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, c ổ vũ động viên và đóng góp nhiều ý kiến quý báu trong cuộc sống, công việc và học tập nói chung cũng như trong việc thực hiện khoá luận này. Hà Nội, ngày 16 tháng 5 năm 2012. Sinh viên Trần Thế Dũng 1 Mục lục Mở đầu 4 Giới thiệu 4 0.1 Bài toán Pompeiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 0.2 Bài toán Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Bài toán tổng hợp phổ 8 1.1 Tổng hợp phổ trong E(R n ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Ideal bất biến đối với phép quay . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 Tính chất Pompeiu, Morera 29 2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2 Kết quả chính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Ứng Dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận 52 Tài liệu tham khảo 53 2 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU • B(a, R) : Hì nh cầu mở tâm a bán kí nh R. • D α : Đạ o hàm suy rộng cấp α. •  T , FT : Biến đổi Fourier của hàm T . • F −1 T : Biến đổi Fourier ngược của hàm T . • C(R n ) : Không gia n các hàm liên tục trên R n với tôpô hội tụ đều trên từng compact. • E(R n ): Không gian các hàm khả vi vô hạn trong R n . • E ′ (R n ): Không gian các hàm suy rộng có giá compact trong R n . •  E ′ (R n ) = {  T : T ∈ E ′ (R n )}. • T = E − lim m→∞ T m : Dãy {T m } hội tụ trong E tới hàm T ∈ E. • T = E ′ − lim m→∞ T m : Dãy {T m } hội tụ trong E ′ tới hàm T ∈ E ′ . • T =  E ′ − lim m→∞ T m : Dãy {T m } hội tụ trong  E ′ tới hàm T ∈  E ′ . • Kerφ : Hạt nhân của φ. • M A : Không gi an ideal cực đại của A. • M α = {z = (z 1 , z 2 ) ∈ C 2 : z 2 1 + z 2 2 = α}. • µ D , µ r : Độ đo diện tích trên D, B( 0, r). • ν Γ , ν r : Độ đo dξ của Γ, ∂B(0, r). • σ Γ , σ r : Độ đo tuyến tính chuẩn hoá trên Γ, ∂B(0, r). • J n : Hàm Bessel loại 1 cấp n. • Q n (ζ 0 ) = {ζ 1 /ζ 2 : J n (ζ 1 ) = J n (ζ 2 ) = ζ 0 }. 3 Mở đầu Bài toán Pompeiu được Pompeiu đưa ra vào năm 1929, là bài toán ngược có dạng: Miền D có dạng gì để từ việc tích phân của một hàm trên bất cứ miền là ảnh của D qua các phép dịch chuyển cứng ( phép dịch chuyển bảo toàn khoảng cách ) đều bằng 0 thì hàm đồng nhất bằng 0. Khoá luận này sẽ trình bày lại một phần bài báo [2] . Bố cục của khoá luận bao gồm. ⋄ Giới thiệu. Ở phần này chúng ta sẽ đưa ra định nghĩa cho bài toán Pompeiu, bài toán Morera, sau đó là một số kết quả cơ bản sẽ được dùng đến ở các chương 1, 2. ⋄ Chương 1: Bài toán tổng hợp phổ. Chương 1 sẽ nói về bài toán tổng hợp phổ. Mệnh đề 1.1 cho phép ta chuyển bài toán tổng hợp phổ xét trên không gian con đóng, bất biến đối với phép quay của E(R n ) về bài toán cho ideal đóng trong vành  E ′ (R n ). Kết quả chí nh trong chương này ( Định lý 1.2 ) được chứng minh bằng cách sử dụng Định lý 0.1. ⋄ Chương 2: Tính chất Pompe iu, Morera. Định lý 2.1 đưa ra tiêu chuẩn cho việc kiểm tra một tập có thoả mãn tính chất Pompeiu, Morera hay không. Định lý 2.2 cho ta mối liên hệ giữa tính chất Pompe iu và tính chất Morera. Định lý 2.3, 2.8, 2.9 lần lượt cho ta các kết quả, độ do diện tích của hình tròn không có tính chất Pompeiu, độ đo di ện tích của elip và miền đa giác có tính chất Pompeiu. 4 0.1 Bài toán Pompeiu Năm 1929 D.Pompeiu đưa ra bài toán sau, bài toán này thường được gọi là bài toán Pompeiu. Bài toán phát bi ểu như sau : Cho D là một miền bị chặn trong R 2 , và  là nhóm tất cả các phép dịch chuyển cứng trong mặt phẳng. Giả sử rằng f là hàm liên tục trên mặt phẳng thoả mãn  σ(D) f(x, y)dxdy = 0, ∀σ ∈  . (1) Khi đó c ó suy ra được f(x, y) ≡ 0 ? Trong bài báo đầu tiên [14], Pompeiu khẳng định rằng câu trả lời là đúng khi D là hình tròn. Tuy nhiên sau đó kết quả này được phát hiện là sai; ví dụ như với hàm f(x, y) = sinax, trong đó a được chọn thích hợp. Sau đó, Pompeiu chứng minh trong [15] rằng câu trả lời là đúng khi D là hình vuông, với giả thiết f có giới hạn tại vô cùng. Những hạn chế này sau đó được khắc phục bởi C. Christov, người chứng minh khẳng định cho câu hỏi nếu D l à hình tam giác hoặc hình bình hành [11], [12]. Cuối cùng, trong [1] L.B rown, F.Schnitzer và A. Shields chứng minh kết quả đặc biệt hơn và tổng quát hơn kết quả của Christov. Bài toán Pompeiu có thể phát biểu dưới dạng khác. Với miền D sao cho (1) đúng thì có suy ra được f ≡ 0 ? Trong khoá luận này chúng ta sẽ giải quyết bài toán này bằng cách sử dụng biến đổi Fourie r của độ đo diện tích trên D ( Định lý 2.1). Sử dụng kết quả này, chúng ta chứng minh được kết quả: Bài toán Pompeiu là đúng khi D là hình elip (Định lý 2.8), miền đa gi ác ( Định lý 2. 9). 0.2 Bài toán More ra Nghiên cứu bài toán Pompeiu chúng ta sẽ thấy nó có mối liên hệ với một số bài toán khác, một trong số trong đó là bài toán Morera. Bài toán Morera được phát biể u như sau : Giả sử { Γ} là một tập các đường cong 5 đóng trong mặt phẳng với biên có độ dài hữu hạn, f là hàm liên tục trên R 2 . Đặt ζ = x + iy, giả sử rằng,  σ(Γ) f(ζ)dζ = 0 với mọi σ ∈  và Γ ∈ {Γ}. (2) Lúc đó f có là hàm nguyên, chỉnh hình theo biến ζ hay không? Trong [10] bằng cách sử dụng định lý Green L.Zalcman chứng minh rằng khi D là miền phẳng có biên Γ là đường cong có độ dài hữu hạn, bài toán Pompe iu cho miền D đúng thì bài toán Morera cho Γ cũng đúng. Khoá luận này sẽ chứng minh rằng điều ngược lại cũng đúng (Định lý 2.2) . Cặp giữa E(R n ) và E ′ (R n ) được kí hiệu là T (f) với f ∈ E(R n ) và T ∈ E ′ (R n ). Định nghĩa T ∗ f là tích chập của T và f. Tập các độ đo Borel µ với giá c o m pact trong R n sẽ được đồng nhất với không gian con của E ′ (R n ) qua công thức µ(f) =  R n f(t)dµ(t) . Với T ∈ E ′ (R n ), biến đổi Fourier của T được xác định bởi  T (z) = T (e iz.x ), trong đó z = (z 1 , . . . , z n ) ∈ C n , x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ R n và z.x = z 1 x 1 + ··· + z n x n . Định lý Paley-Wi ener-Schwartz [[16], trang 21] đồng nhất không gian  E ′ (R n ) = {  T : T ∈ E ′ (R n )} với không gian các hàm nguyên F trên C n sao cho |F (z)| ≤ C(1 + |z|) N e A|Imz| , z ∈ C n , (3) trong đó C, A, N là các hằng số, |z| 2 = |z 2 | 2 + . . . + |z n | 2 và Imz = (Imz 1 , . . . , Imz n ) là ảnh của z. Sự hội tụ trong  E ′ (R n ) được đặc trưng bởi. Mệnh đề 0.1. ([[3], bổ đề 5.17]) M ột dãy F j trong  E ′ (R n ) hội tụ tới F ∈  E ′ (R n ) khi và chỉ khi i ) F j → F đều trên từng compact của C n , và ii) Bất đẳng thức (3) đúng với tất cả F j trong đó A, C, N là các hằng số độc lập với j. 6 Trong khoá luận này, chúng ta sẽ s ử dụng kết quả của Mệ nh đề 0.1 làm định nghĩa cho sự hội tụ của một dãy F j ∈  E ′ (R n ). Định nghĩa 0.1. Ta nói tập con I của  E ′ (R) không có không điểm chung trên C nếu với mọi z ∈ C tồn tại f ∈ I sao cho f(z) = 0. Định lý 0.1. (L.Schwartz [16]) Cho I là i deal của  E ′ (R) thoả mãn I không có không điểm chung trên C. Khi đó tồn tại một dãy hàm trong I hội tụ tới hàm hằng 1. Mệnh đề 0.2. Cho V là không gian con đóng, bất biến qua phép tịnh tiến của C(R n ) và V 1 = V ∩E(R n ). Khi đó ta có V 1 = V với tôpô của C(R n ). Nếu bài toán Pompeiu, Morera, tổng hợp phổ đúng cho các hàm trong E(R n ) thì bằng cách sử dụng Mệnh đề 0.2 ta suy ra được rằng bài toán Pompeiu, Morera, tổng hợp phổ cũng đúng cho các hàm trong C(R n ) 7 Chương 1 Bài toán tổng hợp phổ 1.1 Tổng hợp phổ trong E(R n ) Xét bài toán tổng hợp phổ trong E(R n ) [16]. Một hàm được gọi l à đa thức - mũ nếu nó c ó dạng f(x) = p(x)e iz.x trong đó x ∈ R n , z ∈ C n và p là đa thức. Cho V là không gian con đóng, bất biến đối với phép tịnh tiến của E(R n ), V 0 là không gian tuyến tính, đóng sinh bởi các hàm đa thức - mũ thuộc V . Khi đó V 0 ⊂ V . Bài toán tổng hợp phổ được đặt ra là : khi nào thì có V 0 = V ? Chúng ta sẽ xem xét bài toán trên bằng cách đưa bài toán về việc xét ideal đóng trong vành  E ′ (R n ). Với V và V 0 được xác định như trên, định nghĩa: V ⊥ = {T ∈ E ′ (R n ) : T (f) = 0 với mọi f ∈ V } , V ⊥ 0 = {T ∈ E ′ (R n ) : T (f) = 0 với mọi f ∈ V 0 } , và I = {  T : T ∈ V ⊥ }, I 0 = {  T : T ∈ V ⊥ 0 }. Mệnh đề sau đưa ra một cách phát biểu khác của bài toán tổng hợp phổ. Mệnh đề 1.1. I và I 0 là các ideal đóng trong  E ′ (R n ). Hơn nữa I = I 0 nếu và chỉ nếu V = V 0 . Chứng minh: (1) I là ideal đóng trong  E ′ (R n ) I là vành con của  E ′ (R n ) 8 Đóng cộng : Với bất kì  T 1 ,  T 2 ∈ I, ta sẽ chứng minh  T 1 +  T 2 ∈ I. Thật vậy, do  T 1 ,  T 2 ∈ I nên T 1 , T 2 ∈ V ⊥ suy ra T 1 , T 2 ∈ E ′ (R n ) và T 1 (f) = T 2 (f) = 0 với mọi f ∈ V. Từ đó T 1 + T 2 ∈ E ′ (R n ), và (T 1 + T 2 )(f) = T 1 (f) + T 2 (f) = 0 với mọi f ∈ V, suy ra T 1 + T 2 ∈ V ⊥ , do đó  T 1 +  T 2 =  T 1 + T 2 ∈ I. Đóng nhân : Với bất kì  T 1 ,  T 2 ∈ I, ta sẽ chứng minh  T 1 .  T 2 ∈ I. Thật vậy, do  T 1 ,  T 2 ∈ I nên T 1 , T 2 ∈ E ′ (R n ) và T 1 (f) = T 2 (f) = 0 với mọi f ∈ V (1.1) Từ đó T 1 ∗T 2 ∈ E ′ (R n ) và (T 1 ∗T 2 )(f) = T 1 ((T 2 ∗f  )   với f  (x) = f(−x). Do V bất biến đối với phép tịnh tiến nên với f ∈ V thì f  ∈ V , ta lại có (T ∗g)(x) = T (  g) với  g(x) = g(x − y), kết hợp với (1.1) nhận được T 2 ∗ f  = 0 với mọi f ∈ V , do đó (T 1 ∗ T 2 )(f) = T 1 ((T 2 ∗ f  )  ) = T 1 (0) = 0 với mọi f ∈ V. Điều này chứng tỏ T 1 ∗ T 2 ∈ V ⊥ , vậy  T 1 .  T 2 =  T 1 ∗ T 2 ∈ I. Chứng minh I đóng. Giả sử có dãy {  T m } với  T m ∈ I, m = 1, 2, . . . sao cho tồn tại T ′ ∈  E ′ (R n ) thoả mãn T ′ =  E ′ − lim m→∞  T m . Ta cần chứng minh rằng T ′ ∈ I. Vì T ′ ∈  E ′ (R n ) nên tồn tại T ∈ E ′ (R n ) sao cho T ′ =  T , do đó để chứng minh T ′ ∈ I ta chỉ cần chứng minh T ∈ V ⊥ . Trước hết ta sẽ chứng minh T = E ′ − lim m→∞ T m . (1.2) Do  T =  E ′ − lim m→∞  T m nên theo định nghĩa của sự hội tụ trong  E ′ (R n ) suy ra 9 [...]... và σ ∈ kéo theo f=0 Kết quả của Pompeiu và Christov trong phần giới thiệu chỉ ra rằng độ đo diện tích của một tam giác hay của một hình bình hành có tính chất Pompeiu Định nghĩa 2.2 Chúng ta nói rằng họ J ⊂ E ′(R2 ) có tính chất Morera nếu f ∈ E(R2 ), T (f ◦ σ) = 0 với mọi T ∈ J và σ ∈ khi và chỉ khi f là một hàm nguyên, chỉnh hình theo ζ = x + iy Với T ∈ E ′ (R2 ) và τ ∈ T, định nghĩa Tτ là hàm phân... (1.15) kéo theo kết luận của (1.18), khẳng định được chứng minh Từ Mệnh đề 1.2 bài toán tổng hợp phổ trong E(Rn) được đưa về bài toán xác định ideal đóng I trong E ′ (Rn) sao cho I = Iloc Định lý 0.1 cho ta Định lý sau Định lý 1.1 Với mỗi ideal đóng I trong E ′(R), I = Iloc 1.2 Ideal bất biến đối với phép quay Từ Định lý 1.1 và Mệnh đề 0.2 mỗi không gian con đóng, bất biến đối với phép tịnh tiến của C(R)... tập con của E ′ (R2 ) và tập Z = ∩{T −1(0) : T ∈ J} Giả sử Mα ⊂ Z với mọi α = 0 i) J có tính chất Pompeiu khi và chỉ khi 0 ∈ Z / + ii) J có tính chất Morera khi và chỉ khi M0 ⊂ Z và tồn tại T ∈ J sao cho [(z2 − iz1 )−1T (z)]z=0 = 0 iii) Các điều kiện sau trên J là tương đương a) Với f ∈ E(R2 ), T (f ◦ σ) = 0 với mọi T ∈ J và σ ∈ khi và chỉ khi f điều hoà trên R2 2 2 b) M0 ⊂ Z và tồn tại T ∈ J sao cho... ◦ τ −1 ), f ∈ E(R2) Một tập con J ⊂ E ′ (R2 ) được gọi là bất biến đối với phép quay nếu Tτ ∈ J với mọi T ∈ J và τ ∈ T Kí hiệu 2.1 Với α ∈ C, đặt 2 2 Mα = {z = (z1 , z2) ∈ C2 : z1 + z2 = α} + − Và viết M0 = M0 ∪ M0 , với ± M0 = {z : z2 = ±iz1 } 29 + − Chú ý 2.1 M0 , M0 và Mα là tất cả các tập bất biến qua T, và suy ra từ chứng minh của Bổ đề 1.2 rằng nếu f là hàm nguyên trên C2 và tồn tại z0 ∈ Mα sao... chung của I0 theo Bổ đề 1.1 Nếu tập các số α nhận 0 là điểm giới hạn, khi đó f (z) đồng nhất bằng 0 trên vô lí Vậy tập các số α không thể nhận 0 là điểm giới hạn Từ đó suy ra rằng nếu (0, 0) không là không điểm cô lập chung của I0 2 2 thì phải tồn tại một không điểm chung w = 0 của I0 sao cho w1 + w2 = 0 Nhưng do z1 + iz2 và z1 − iz2 không là ước của mọi hàm trong I0 , tương tự Bổ đề 1.1 suy ra rằng... các hàm trong Kerφ, điều này mâu thuẫn với Bổ đề 1.2 Từ đó bao đóng J của {f |∆ : f ∈ J} trong A là ideal trong A và không chứa trong ideal cực đại, suy ra J = A, do đó tồn tại dãy {fn} với fn ∈ J sao cho ′ E− lim fn = 1, m→∞ 27 suy ra ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N sao cho ∀n ≥ n0 thì |fn (z) − 1| < ε, ∀z ∈ ∆ Chọn một số n1 nào đó thoả mãn n1 ≥ n0 và đặt f = fn1 thì f ∈ J và |f (z) − 1| < ε, ∀z ∈ ∆ Ta cũng có |f (z)... (ξ)Gj (ξ), j=1 với hj ∈ E ′ (R) và Gj ∈ J1 , j = 1, m Do Gj là hàm chẵn và J1 là ideal của B nên m m hj (ξ)Gj (ξ) + j=1 m hj (−ξ)Gj (−ξ) = j=1 j=1 (hj (ξ) + hj (−ξ))Gj (ξ) ∈ J1 1 Nói cách khác ta có Hn (ξ) = 2 (Fn(ξ) + Fn (−ξ)) ∈ J1 và Hn → 1 trong E ′ (R) Sử dụng Mệnh đề 0.1 và chứng minh trên ta có: tồn tại dãy {fn} với fn ∈ J hội tụ tới 1 trong E ′ (R2 ), kết hợp với J ⊂ J và J đóng suy ra 1 ∈ J , chứng... thiết Vậy giả sử của ta là sai, tức J có tính chất Pompeiu Phần i) của định lý được chứng minh 2 2 2 2 Có ∂ f = −z1 fz , và ∂ f = −z2 fz Mặt khác fz điều hoà khi và chỉ khi 2 ∂x ∂y 2 ∂2f ∂x2 2 2 2 + ∂ f = 0, nên fz điều hoà khi và chỉ khi z1 + z2 = 0 Nói cách khác ∂y 2 fz điều hoà khi và chỉ khi z ∈ M0 Tương tự, ta nhận được fz chỉnh hình theo ζ khi và chỉ khi ∂fz = 0 ∂ζ + Tiếp theo ta sẽ chứng minh... cho pn+1 (z) không là ước của f, và viết f (z) = pn (z)g(z) với g ∈ E ′ (R2 ) Khi đó h ∈ Iloc và gh = f h ∈ I, do đó g ∈ J Giả sử g(τ (w)) = 0 , ∀τ ∈ T, theo Bổ đề 1.1 p(z) là ước của g, do đó pn+1(z) là ước của f (z) điều này vô lí theo cách chọn của f 21 Vậy phải tồn tại τ ∈ T sao cho g(τ (w)) = 0 Do J là bất biến đối với phép quay và g ∈ J nên g ◦ τ là hàm thuộc J và không triệt tiêu tại w 2 2 Giả... thành Từ định lý 1.2 và những nghiên cứu trong phần giới thiệu chúng ta nhận được Định lý 1.3 Mỗi không gian con bất biến đối với phép tịnh tiến và phép quay của C(R2) hoặc E(R2 ) được sinh bởi hàm đa thức mũ nằm trong nó 28 Chương 2 Tính chất Pompeiu, Morera 2.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Chúng ta nói rằng họ J ⊂ E ′ (R2 ) có tính chất Pompeiu nếu f ∈ E(R2 ), T (f ◦ σ) = 0 với mọi T ∈ J và σ ∈ kéo theo