Hôm nay, tôi muốn giành thời gian trao đổi một số kinh nghiệm với các bạn đồng nghiệp trong một phạm vi hẹp đề cập đến bài tập tính toán các đại lượng trong hình học phẳng Oclit cổ điển.
Trang 1ví như một trò chơi rất trí tuệ.
Một bài tập khó mà hay, là bài tập được giấu mối rất khéo, không thể nhìn rangay lời giải như những bài toán quen biết hay cơ bản, mà lời giải lại không quá rắc rối
Hôm nay, tôi muốn giành thời gian trao đổi một số kinh nghiệm với các bạn đồng nghiệp trong một phạm vi hẹp đề cập đến bài tập tính toán các đại lượng trong hình học phẳng Oclit (cổ điển) Tuy nhiên khái niệm “tính toán” ở đây cũngchỉ có tính chất tương đối thôi
Chuyên đề này chưa đề cập tới các công cụ hiện đại như véc tơ, hình học xạ ảnh hay hình giải tích, mà hy vọng sẽ được trình bày trong một dịp khác Mặt khác chúng tôi cũng không xét tới kiểu giá trị logic mệnh đề
Ví dụ 1.1
Cho tam giác ABC, có AB > AC
a/- Chứng minh rằng đường trung tuyến BM lớn hơn đường trung tuyến CN.b/- So sánh các đường phân giác BD và CE
Thế thì nếu chấp nhận bài toán tính toán với các giá trị kiểu logic mệnh đề,
ta có thể phát biểu lại thành:
Cho tam giác ABC, có AB > AC
a/- Chứng minh rằng giá trị mệnh đề “Đường trung tuyến BM > đường trungtuyến CN” là đúng
b/- Tính giá trị logic của mệnh đề “Đường phân giác BD lớn hơn đường phân giác CE”
Như vậy, chúng ta tạm thời chỉ xét đến các đại lượng hình học cơ bản như
độ dài, góc, diện tích hoặc tỉ số các độ dài, tỷ số các diện tích, mà gác lại các
Trang 2bài tập tính toán với kiểu logic mệnh đề Tuy nhiên nhiều bài tập kiểu khác như chứng minh, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng có thể phát biểu dưới dạng bài tập tính toán!
Trong bài báo này, tôi chỉ nêu lên một số ví dụ cụ thể, phân tích hướng giải rồi dẫn đến các bài tập mới suy ra từ một bài toán, thế hình trước đó, coi như những bài tập thực hành Việc khái quát lên thành hệ thống lý thuyết thì không được xét ở đây, mà giành cho các bạn đồng nghiệp quan tâm suy ngẫm phục vụ cho công việc cụ thể thường nhật của mỗi người!
Ví dụ 1.2
Cho một ∆ABC cân ở A với
∠BAC=20o và BC=a, điểm D nằm trên cạnh
AB sao cho AD=BC Tính ∠BDC
Phân tích:
Vì ∠BAC=20o và ABC=80o chênh lệch 60o
nên có thể phải vẽ thêm một đường nào đó tạo ra góc 60o Cuối cùng chọn được các
có thể kiến thức lượng giác để giải quyết, song cũng không đơn giản!
A
Hinh 1
Trang 31/- Cho một ∆ABC cân ở A với ∠BAC = 20o và BC = a, điểm D nằm trên cạnh
AB Tính AD theo a để ∠BDC = 30o
2/- Cho một ∆ABC cân ở A với ∠BAC = 20o và BC = a, điểm D nằm trên cạnh
AB sao cho AD = BC Tính diện tích của ∆ADC theo a
3/- Cho một ∆ABC cân ở A với ∠BAC = 20o và BC = a, điểm D nằm trên cạnh
AB sao cho ∠BDC = 30o, tính AD theo a
$2 Bài tập tính toán các yếu tố cơ bản trong hình học phẳng
a/- Bài toán tính độ dài (khoảng cách)
Phương pháp 1 Đưa về việc tính cạnh của một tam giác
Ví dụ 2.1
Cho hình vuông ABCD cạnh a Trong hình vuông lấy điểm E sao cho ∠DCE =∠CDE = 15o Tính khoảng cách từ E đến A và đến B Đây là mộtbài cổ điển rất hay
Phân tích:
Bài toán quy về việc tính cạnh của ∆ABE
Mẹo: Vẽ ∆DCF đều ra phía ngoài hình vuông Chứng minh ∆FEC cân tại F BCFE là một hình thoi BE = BC = a
Và cũng có AE=a
Bài tập thực hành:
1/- Vẫn giả thiết đó Tính khoảng cách từ B đến AE
2/- Vẫn giả thiết đó Tính bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABE
3/- Không cho sẵn 15o mà hỏi ∠DCE =∠CDE=? để ∆ABE đều
C D
E F
Hinh 2
Trang 4Phương pháp 2 Đưa về việc tính đường cao của một tam giác
Ví dụ 2.2
Cho đoạn thẳng AB=a Vẽ các tia Ax và
By vuông góc với AB và về cùng một phía của đường thẳng (AB) Trên Ax chođiểm M di động, trên By cho điêm N di động sao cho luôn có MN=AM+BN Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
Bài này tương đương với việc tìm một điểm cố đinh, tính khoảng cách từ điểm
Hình3 đó đến (MN)
Phân tích:
Do tính cân đối, vai trò của M và N như nhau, nên tâm đường tròn bí ẩn này phải nẳm trên đường trung trực của AB Nghi ngờ là điểm I trung điểm của AB
Ta sẽ phải tính khoảng cách từ I đến MN, tức là đường cao của ∆IMN
Kéo dài MI cắt đường thẳng (BN) ở P Khi đó ∆IBP = ∆IAM IP = IM và BP =
AM NP = MN ∆MIN = ∆PIN d(I,MN) = IB (đường cao của 2 tam giác bằng nhau) Mà IB không đổi nên d(I,MN) không đổi
Vậy MN luôn tiếp xúc với đường tròn đường kính AB
Bài tập thực hành:
1/- Vẫn giả thiết như trong ví dụ Tính tổng khoảng cách từ A và B đến đường
thẳng (MN) theo a (Gợi ý: tổng khoảng cách đó bằng 2IH =AB=a).
2/- Xét hình thang AMNB Gọi giao điểm 2 đường chéo là O Tìm AM và BN để
∆OAB có OA+OB đạt giá trị lớn nhất? nhỏ nhất?
3/- Vẫn giả thiết như trong ví dụ nhưng bỏ điều kiện AM và BN vuông góc với
AB mà tạo với AB những góc bằng nhau
Tính khoảng cách từ trung điểm của AB tới (MN) theo a và
4/- Cho đoạn thẳng AB=a Vẽ các tia Ax và By song song với về cùng khác phía với nhau đối với (AB) Trên M và N chạy trên Ax và By sao cho luôn có MN = |
AM - BN| Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
Trang 5Hình 4 Giải:
Cuối cùng, EA=2a/3, d(O;AB)=2a/3
Đáp số: d(O;AB)=2a/3, d(O;BC)= a/3, d(O;CD)=a/3 và d(O;AD)=2a/3.
Bài tập thực hành:
1/- Không cho hình thang này vuông, mà cho thành cân, biết 2 đáy là a và b, đường cao là h Tính khoảng cách từ giao điểm 2 đường chéo đến các cạnh của hình thang
2/- Không cho hình thang này vuông, mà cho biết góc tạo bởi 2 cạnh AD, BC tạo với đáy các góc 30o và 60o tương ứng, biết 2 đáy là a và b Tính khoảng cách từ giao điểm 2 đường chéo đến các cạnh của hình thang
3/- Vẫn cho hình thang này vuông, CD = AD = a Tính độ dài cạnh AB để tổng khoảng cách từ giao điểm 2 đường chéo đến các cạnh của hình thang bẳng (5+)a/3
Ví dụ 2.4
Cho một hình thang vuông ABCD đáy là AB và CD, vuông ở A và D,
CD=AD=a và AB=2a Lấy điểm E trên cạnh AD và F trên cạnh CD sao cho DE/EA=BF/FC Gọi G và H là giao điểm của AC và BD với EF tương ứng Tính tổng các khoảng cách từ G và H đến AB
O
F
C D
E
Trang 6Phân tích:
Khi thấy những đường thẳng // hay bài toán có các tý số đoạn thẳng, nên nghĩ đến định lý Talét
Từ E kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD ở I
Khi đó = = = IF // BD
Từ đây, dễ dàng hàng loạt tý số bằng nhau Cuối cùng được
Gọi K là trung điểm HG, ta có:
d(G,AB) + d(H,AB) = 2d(K,AB) = d(E,AB) + d(F,AB)
Có thể chế biến thành nhiều bài tập khác, chẳng hạn:
1/- Ta không hỏi như đã hỏi mà tính hiệu EG - HF, hay EG - GH, hay chứng minh EF = 3GH
2/- Không cho cạnh AB = 2a, mà bắt tính AB theo a = CD để EF = 2GH
3/- Cho E và F di động trên AD và BC tương ứng mà vẫn đảm bảo =
Tìm quỹ tích trung điểm của GH
Hinh 5
I
H G
C D
E
Trang 74/- Trong ví dụ trên, ta đã lấy E và F là những điểm chia trong các đoạn DA và
BC tương ứng theo cùng một tỷ số Nay ta thanh thành chia ngoài thì bài toán cũng rất hay, (d(G,AB) + d(H,AB) = 2a)
5/- Trong ví dụ trên, ta thay điều kiện =
bằng = hoặc = thì ta vẫn chứng minh được EG = HF
Đồng thời nếu cho AB ≠ 2a thì mà cho AB = 3a chẳng hạn, rồi bắt tìm và tính đoạn EF sao ngắn nhất sao cho EG = GH = HF Hoặc bắt tìm và tính đoạn EF saongắn nhất sao cho EG = GH = HF
Phân tích:
Theo cách giải trong ví dụ trên ta thấy nếu
= thì EG chỉ bằng GH khi AB=2CD
Do đó muốn EG = GH = HF thì phải chọn điều kiện = hay EF // AB
Xem hình 6
Kéo dài AG cắt CD ở I Muốn EG = GH = HF thì I phải là trung điểm của CD (theo định lý Ta lét áp dụng vào chùm đồng quy)
Có 2 khả năng là EF ở trong khoảng giữa O và CD hay giữa O và AB
Nhưng trường hợp thứ nhất cho EF ngắn hơn Từ đó tính đươc EF = 3a/2
Nếu gọi J là trung điểm của AB, DJ cắt AC ở G, đường thẳng qua G và song song với AB sẽ là lời giải của trường hợp EF lớn nhất
Chú ý:
Nếu không bắt E và F nằm trên các đoạn AD và BC mà ra ngoài dải phẳng của 2 đường thẳng (CD) // (AB) thì có thể hỏi theo cách chung hơn: Tìm các
đường thẳng // AB mà bị các đường thẳng chứa các cạnh và các đường chéo chia thành
O
F
C D
E
F A
Hinh 7
E
D
C B
Trang 8Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài tam giác tam giác cân DAB với
∠ADB=120o và tam giác đều ACE Gọi F là trung điểm của BC Tính ∠DEF
Theo cách giải trên, cứ ∠DAB + ∠EAC = 90o thì cách tính các góc ∠ADE và
∠GCE vẫn cho kết quả bằng nhau
Do đó, có thể thay các tam giác ∆DAB và ∆EAC bằng các tam giác cân tại D và
E tương ứng sao cho góc ở đáy của 2 tam giác này có tổng bằng 90o , hay
∠ADB + ∠AEC = 180o là được
Bài tập thực hành:
Từ đó ta có thể tạo ra các bài tập mới, chẳng hạn, ta được các đề sau:
1/- Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài tam giác tam giác cân DAB với ∠ADB
= 100o và ∆ACE cân tại E với ∠AEC = 80o Gọi F là trung điểm của BC Tính
∠DEF
2/- Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài tam giác tam giác DAB vuông cân tại D
và ∆ACE vuông cân tại E Gọi F là trung điểm của BC Tính ∠FDE
3/- Cho tam giác ABC.Vẽ về phía ngoài tam giác tam giác DAB cân tại D và
∆ACE cân tại E, sao cho ∠ADB + ∠AEC = 180o Gọi F là trung điểm của BC Tính ∠FGE
Phương pháp 2 Đưa về việc tính góc nội tiếp
Trang 9Ví dụ 2.6
Cho vòng tròn (O,R) và một điểm Atrên nó Vẽ đường tròn tâm O’ đường kính OA Điểm M trên đường tròn (O) vàM’ trên đường tròn (O’) sao cho cung
AM và cung AM’ có độ dài bằng nhau,
và cùng chiều quay khi đi từ A tới M và
từ A tới M’, quanh tâm O và O’ tương ứng Tính ∠MOM’
Hình 8 Phân tích:
Theo công thức tính độ dài cung L = R, trong đó là số đo góc ở tâm theo rađian, R là bán kính, ta có:
Độ dài cung AM = (số đo ∠MOA).OA,
độ dài cung AM’ = (số đo ∠M’O’A).O’A
Theo giả thiết và do OA = 2O’A, suy ra ∠M’O’A = 2 ∠MOA
Mà do ∆O’OM’ cân, ∠M’O’A = 2.∠M’OO’
Từ đó, ∠MOA =∠M’OO’, và ∠MOM’ = 0
AM và cung AM’ có độ dài bằng nhau, và cùng chiều quay khi đi từ A tới
M và từ A tới M’, quanh tâm O và O’ tương ứng Tìm quỹ tích trung điểm của MM’
9
2 1
Trang 102/- Cho vòng tròn (O’,r) tiếp xúc trong với vòng tròn (O,R) tại M, và R=2r Rồi cho vòng tròn (O’) lăn không trượt bên trong vòng tròn (O) kéo theo tiếp điểm Mchuyển động Hỏi quỹ tích của M (Bài này không phải là tính toán, nhưng chứngminh 3 điểm thẳng hàng cũng coi như tính góc )
Phương pháp 3 Đưa về việc tính góc ở hai hình đồng dạng
Ví dụ 2.7
Cho ∆ABC có ∠A = Đường tròn (B,BA) và đường tròn (C,CA) cắt nhau ở điểm nữa là D Một đường thẳng qua D cắt hai đường tròn tại 2 điểm nữa tương ứng là E và F (khác phía với nhau đối với D) Vẽ các tiếp tuyến với 2 đường tròn tương ứng taij E và F, mà giao của chúng được gọi là G Tính ∠EGF theo
B
C D E
F G
Trang 11Hình 10
Ví dụ 2.8
Cho ∆ABC và đường tròn nội tiếp trong nó có tâm là I và tiếp xúc với các cạnh AB, BC và CA tại C1, A1 và B1 tương ứng Cho BI kéo dài cắt đường thẳng (A1B1) tại K Gọi là góc nhọn tạo bởi cặp đường thẳng (BI) và (A1B1)
Trang 12c/- Bài toán tính liên quan đến tỷ số các đoạn thẳng
Phương pháp 1 Dựa vào định lý Talet
Ví dụ 2.9
Cho đoạn AB và 2 tia Ax, By song song với nhau, cùng phía với nhau đối với đường thẳng (AB) Trên Ax và By lấy các điểm M và N di động sao cho
+ = , với a là một độ dài cho trước Gọi I
là giao điểm của AN và BM Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến đường thẳng (AB) là không đổi
Trang 13Phân tích:
Vẽ đoạn IJ song song với AM
Khi đó, theo định lý Talét áp dụng vào tam giác, ta có:
Theo mốt của bài này ta có thể làm ra các bài tập mới:
1/- Cho đoạn AB và 2 tia Ax, By song song với nhau, cùng phía với nhau đối với đường thẳng (AB) Trên Ax và By lấy các điểm M và N di động sao cho 1/AM + 1/BN = 1/a, với a là một độ dài cho trước Tìm quỹ tích của I là giao điểm của
AN và BM
2/- Cho đoạn AB và 2 tia Ax, By song song với nhau, cùng phía với nhau đối với đường thẳng (AB) Trên Ax và By lấy các điểm M và N di động sao cho 1/AM + 1/BN = 1/a, với a là một độ dài cho trước Gọi I là giao điểm của AN và BM Tìm vị trí của M và N để IA+IB đạt giá trị lớn nhất? nhỏ nhất?
3/- Cho đoạn AB và 2 tia Ax, By song song với nhau, khác phía với nhau đối với đường thẳng (AB) Trên Ax và By lấy các điểm M và N di động sao cho 1/AM - 1/BN = 1/a, với a là một độ dài cho trước Gọi I là giao điểm của AN và BM Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến đường thẳng (AB) là không đổi
4/- Cho đoạn AB và 2 tia Ax, By song song với nhau, khác phía với nhau đối với đường thẳng (AB) Trên Ax và By lấy các điểm M và N di động sao cho |1/AM - 1/BN| = 1/a, với a là một độ dài cho trước Gọi I là giao điểm của AN và BM Chứng minh rằng khoảng cách từ I đến đường thẳng (AB) là không đổi
5/- Cho hai tia Ax và By tạo với nhau góc Điểm M và N chạy trên Ax và By sao cho + = , với a là một độ dài không đổi Gọi I và J là trung điểm của AB và
MN tương ứng Chứng minh J cố định và tính IJ theo a và
Trang 14Ví dụ 2.10
Cho góc nhọn ∠xOy = và điểm I cố định trên đường phân giác trong của góc đó Một cát tuyến quay quanh I cắt Ox và Oy tại
A và B tương ứng Chứng minh rằng + = ,
với a là một độ dài xác định được
Hình 14 Phân tích:
Kẻ tia IC // Oy, cắt Ox ở C
Thì ∆COI cân và ta có
OC = IC = không đổi, (hoàn toàn xác định), đặt bằng a
Theo định lý Talét áp dụng vào tam giác ta có:
= và =
Cộng hai đẳng thức đó lại, vế với vế, ta được
a.( + ) = = 1 và suy ra kết luận:
+ = , với a = , đ.p.c.m
Bài tập thực hành:
Từ bài tập này ta có thể xây dựng nhiều bài tập tương tự, chẳng hạn:
1/- Cho góc nhọn ∠xOy < 180O và một cát tuyến thay đổi cắt Ox và Oy tại A và
B tương ứng sao cho + = , với a là một độ dài cho trước Chứng minh rằng AB luôn đi qua một điểm I cố định! Tính OI theo a và = ∠xOy Xem hình 15
2/- Cho góc nhọn ∠xOy < 180O và điểm I cố định trên đường phân giác ngoài
của góc đó Một cát tuyến quay quanh I cắt Ox
và Oy tại A và B tương ứng Chứng minh rằng
| - | = 1/a, với a là một độ dài xác định được 3/- Cho góc nhọn ∠xOy < 180O và một cát tuyến thay đổi cắt Ox và Oy tại A và B tương ứng sao cho - = ,, với a là một độ dài cho trước Chứng minh rằng AB luôn đi qua một điểm cố định!
C
z x
I A
O
Trang 154/- Cho góc nhọn ∠xOy < 180O và một cát tuyến thay đổi cắt Ox và Oy tại A và
B tương ứng sao cho + = , với a là một độ dài cho trước Chứng minh rằng AB luôn đi qua một điểm cố định!
(Gợi ý: Lấy D trên Ox mà OD = 1 đ.v.đ.d Vẽ DE = OD Đường thẳng (OE) cắt
(AB) ở I Do tính đồng dạng hay định lý Talét ta có CI = 2OC
Ta tính tổng các tỷ số:
1 = + = + = OC.( + ) = OC OC = không đổi C cố định )
5/- Từ thế hình này các bạn có thể tạo ra các bài toán cực trị rất hay, chẳn hạn cho
A và B chuyển động mà luôn thỏa mãn điều kiện như + không đổi Tìm vị trí của A, B để diện tích, hay chu vi của tam giác OAB đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
Ví dụ 2.11
Cho hình vuông ABCD Trên đường chéo BD lấy điểm M tùy ý khác B và D Hạ MH và MK vuông góc với AB và AD tương ứng DH va BK cắt nhau ở I Tính góc CMI (Bản gốc là chứng minh C,
M và I thẳng hàng)
Hình 16 Phân tích:
Dễ thấy CK DH và BH CH và CM KH (góc có cạnh tương ứng vuông góc) Do 3 dường cao của một tam giác thì đồng quy, nên CM phải đi qua trực tâm I Hay C, M và I thẳng hàng, tức là góc CMI=180o
Bài tập thực hành:
Thay đổi giả thiết ta có thêm nhiều bài tập hay:
1/- Vẫn cho hình vuông nhưng không cho M nằm trên BD (kể cả ở ngoài hình vuông, trừ những điểm M mà cho hay MH.MK = AB.AD), C, M và I vẫn thẳng
hàng (Gợi ý: dùng định lý Talét và Menelauýt).
C D
M
H
K
I
Trang 162/- Như 1/- nhưng thay thành hình chữ nhật, mọi thứ vẫn đúng! Không cần cho
M nằm trên BD (kể cả ở ngoài hình chữ nhật, trừ những điểm M mà cho DH //
BK), C, M và I vẫn thẳng hàng (Gợi ý: dùng định lý Talét và Menelauýt).
3/- Như 2/- nhưng thay thành hình bình hành Thay “Hạ MH và MK vuông góc với AB và AD tương ứng” thành “Vẽ MH và Mk song song góc với AD và AB mọi thứ vẫn đúng! Không cần cho M nằm trên BD (kể cả ở ngoài hình bình hành, trừ những điểm M mà (DH) // (BK)), C, M và I vẫn thẳng hàng
C D
H
K I
M P
Q
Hình 17 Gợi ý: dùng định lý Talét và Menelauýt:
Ta sẽ chứng minh 3 điểm C, M và I thẳng hàng nhờ định lý Menelauýt áp dụng vào ∆HDP Theo định lý Talét áp dụng vào tam giác, ta có:
= , (1); = , (2) và hiển nhiên = , (3)
Nhân 3 đẳng thức (1), (2) và (3) ta được = 1, đ.p.c.m.)
4/- Lại trở lại hình vuông ABCD, cho cạnh là a Hạ MH và MK vuông góc với
AB và AD tương ứng Tìm quỹ tích các điểm M trên mặt phẳng sao cho DH //
BK (Gợi ý : Quỹ tích là đường hyperbol y = ).
5/- Cho tứ giác ABCD mà các đường thẳng (AB) và (CD) cắt nhau ở S, các đường thẳng (AD) và (BC) cắt nhau ở T Lấy một điểm M khác S và T Đường thẳng (MS) cắt (AD) ở K, Đường thẳng (MT) cắt (AB) ở H Giả sử (DH) cắt (BK) tại I Tính số đo góc ∠CIM Thực chất là chứng minh sự thẳng hàng của 3
điềm C, I và M (Gợi ý : Dùng phép chiếu xuyên tâm, hay định lý Pappuýt).
Phương pháp 2 Dựa vào hình đồng dạng
