Về định lí birkhoff và một số vấn đề liên quan trong lí thuyết ergodic

õ tốt r t ỡ sỹ ú ù t ổ tr tờ t t ổ tr t t ổ tr trữớ P s t tọ ỏ t ỡ s s tợ r ữớ t t ú ù tr sốt q tr t õ t q ợ ổ t ự ỡ ỳ tớ ỹ t ỏ ũ rt ố ữ ổ tr ọ ỳ t sõt ữủ sỹ õ õ ỵ t ổ õ ữủ t ỡ t ỡ t õ tốt r r q tr ự t õ õ t ởt số t tr t t õ ữủ t sỹ ố ộ ỹ t tr q tr t ự õ ữủ sỹ ữợ t t r ụ ữ t ổ tr t ữủ sỹ õ õ ỵ t ổ õ ữủ t ỡ t ử é ợ t ổ ổ ổ Lp tử t r trữ r q ởt ữớ trỏ số õ tốt r ỹ tỗ t r P tr t r ỡ tr tr t Pr r ỡ tr r r õ r r t tứ q r r q ởt số t ự t t t t õ tốt r é ỵ t t ởt t ữủ ỹ t ữủ ởt t r q tr t tr t t ụ ữủ ởt số t ú ỳ t q ỹ tờ qt t tt t õ q sỷ ổ t ổ tỡ õ rở ổ ự t ợ ố ữủ ự t s s ổ t s t tt r ởt số q t r ự õ ú ró ỡ ú ợ tr ũ ợ sỹ t sỹ ữợ t t r t ỵ r ởt số q tr ỵ tt r trú õ õ ỗ ữỡ ữỡ ổt số tự ỡ s ữỡ r r ự ữợ q ợ ổ ự t s ỡ t t ỵ tt r ỵ r ự ỵ tt r ởt số q ỵ r ự õ Pữỡ ự t t s s tờ ủ ữỡ é ợ t ởt ổ t t T : X X x X ự ố ợ t ữủ ởt {x, T (x), T (x), T (x), } q T n (x) = x t ữủ t ợ t t ữ s T : [0, 1] [0, 1] ố ởt [a, b] [0, 1], x [0, 1] số q tr rữợ t t t trữ A t ữủ ,x A A = ,x /A õ tốt r số t tr q tr n1 [a,b] (T j (x)) j=0 õ t t tr q tr n n1 [a,b] (T j (x)) j=0 õ t số q tr lim n n n1 [a,b] (T j (x)) j=0 ởt t q q trồ õ r r s ú t r r t t số tr ự r trữớ ủ r lim n n n1 [a,b] (T j (x)) = b a j=0 ợ x X ởt tờ qt t ợ ữủ f t t t số q tr ởt t A X lim n n n1 f (T j x) j=0 r ố ợ t ợ n n n1 f (T j x) = lim f dà j=0 rữợ ự t ỵ ú t ởt số tự õ tốt r ổ ởt ợ M t ữủ số M; A, B M t A B M; A M t Ac M ởt ợ t ữủ số ; E t ũ õ X\E ; En ữủ t ủ tr t En n=1 ởt ổ tr t ởt t ủ số r (X) ữủ số ọ t t tt t ởt t ởt số t t õ ởt số : R + {} ữủ ởt à() = 0; En t ủ ữủ ổ ởt t tr t à( En ) = n=1 à(En ) n=1 (X, , à) ổ à(X) < t ỳ õ tốt r à(X) = t st (X, , à) tữỡ ự ổ st ởt st n tử n ợ ộ f C(X, R) f dàn X f dà X n õ ởt t t ú ỡ tr t ủ ổ õ t t õ õ ổ s tr M ợ ủ ỳ tt ợ ộ ([a, b]) = b a s s tr R/Z R/Z M ợ ủ ỳ tt ợ ởt ([a, b]) = b a s tr ữớ trỏ r ổ st ởt số t x X x ,x A x (A) = ,x /A x st õ ữủ r t õ tốt r (X, , à) ổ ởt số f : X R ữủ f [(c, )] ợ c R ởt số f : X R ỡ tr õ õ t t ữ tờ ủ t t trữ t tr r f= A i i=1 ợ R, Ai , Ai ổ ởt ổ X = r Ai ợ ởt ỡ f : X R t t i=1 f tr X f dà r f dà = X à(Ai ) i=1 f t tỗ t ởt ỡ t fn s fn f n õ t t ổ f tr X f dà f dà = lim X n fn dà f õ t t t f = f + f ợ f + = max{f, 0} f = max{f, 0} t t t f t tr X f dà f dà = f + dà f dà X õ tốt r f, f, sỷ tt f = f f = f t ữủ dà à(E, ) E, õ à(E, ) à(E, ) < à(E, ) = õ f = f h.k.n lim n n n1 f (T j x) = f (x) h.k.n (1) j=0 ự t gn = n n1 f Tj j=0 t gn gn dà |f | dà ts õ lim gn = |f | ữủ tự f L1 (X, , à) n ự ợ n N k Z Dkn = x X/ k+1 k f (x) < n n ợ ộ > t õ Dkn B k = Dkn n T Dkn = Dkn t ữủ f dà ( Dkn k )à(Dkn ) n > t t õ f dà Dkn k à(Dkn ) n õ tốt r õ Dkn f dà k+1 à(Dkn ) n n1 à(Dkn ) + Dkn f dà Dkn D ủ t t õ X = kZ X f dà n1 à(X) + = n + X X f dà f dà ú ợ tt n t õ f dà f dà X X ữỡ tỹ ố ợf õ (f )dà f dà X X f dà = f dà f dà f dà = f dà ố ũ t ự f = E(f /I) rữợ t t ú ỵ r f t õ ữủ ố ợ ỡ ỳ t t t f dà f dà = I I õ f = E(f \I) (2) ứ t ữủ lim n n n1 f (T j x) = E(f /I) j=0 õ tốt r q r r q q (X, , à) ổ st T : X X ởt t r f L1 (X, , à) n n1 f (T j x) f dà j=0 n ợ h.k.n x X ự ỵ r r ợ số t t t õ ợ lim n n n1 f (T j x) = E(f /I) j=0 tỗ t E(f /I) tọ E(f /I) T = E(f /I) h.k.n r E(f /I) sỷ õ số t õ E(f /I) dà = c ì à(X) = c õ E(f /I) dà = f dà õ f dà = c lim n q n n1 f (T j x) = f dà j=0 õ tốt r r B t ợ h.k.n x X t số q tr ữủ ữ r à(B) card j {0, 1, , n 1} /T j x B = à(B) h.k.n n n lim ự õ t số q tr ữủ ữ r 1 lim card j n 1/T j x B = lim n n n n n1 B (T j (x)) j=0 ỵ r r ợ f = B t ữủ n n n1 B (T j (x)) = lim B dà = à(B) j=0 ỵ (X, , à) ổ st T : X X ởt t s tữỡ ữỡ i r ii ợ A, B n n1 à(T j A B) à(A)à(B) n j=0 ự (i) (ii) sỷ r r A L1 (X, , à) ỵ r r õ r n n1 A T j à(A) n h.k.n j=0 B ữủ n n1 A T j B à(A) B n h.k.n j=0 õ tốt r tr ỵ tử trở t ữủ n n1 à(T j A B) = n j=0 = n1 A T j B dà j=0 n1 A n j=0 T j B dà à(A) à(B) n (ii) (i) sỷ T A = A à(T j A B) = à(A) n n1 à(A) à(A) n j=0 à(A) = à(A)2 õ à(A) = r số t tữớ t số x [0, 1] õ t t ữ ởt số t x = x0 x1 x2 = j=0 xj 10j+1 õ xj {0, 1, , 9} tr t tr t tú tr ổ số số ởt số x [0, 1] ữủ t tữớ ợ ỡ số õ õ ởt tr t ộ t t số ợ ỳ số r tr tr õ t T : [0, 1] [0, 1] ợ t r ợ t ố số ú t õ s tr r t ố ợ õ tốt r sỹ t ỳ tr ữ ỵ r x [0, 1] õ tr x= j=0 xj = x0 x1 x2 10j+1 õ T (x) = 10 xj 10j+1 mod xj 10j mod j=0 = x0 + = j=0 j=0 xj+1 10j+1 = x1 x2 x3 ỵ t số tỹ tr t tữớ tr ỡ số ự é t tr t tú tr ổ số õ õ tr t ố k {0, 1, , 9} õ t r xj = k T j (x) [ kr , k+1 ) r 1 card{0 j n1/xj = k} = n n n1 [ k , k+1 ) (T j x) r r j=0 ỵ r r t tr tr tử [ k , k+1 ) (x)dx = r r r X10 (k) t t ủ x [0, 1] tử õ à(X10 (k)) = ộ X10 = X10 (k). õ à(X10 ) = k=0 x X10 t t số ỳ số r tr tr tự t tữớ tr ỡ số (1) õ tốt ỳ số r t (2n )nN : ỳ số t số n N số ỳ số số t t tr ữủ t tr ỡ số số t số t ỳ số ú t s t ỳ số ỳ số t ợ t số ỵ r r ú t s r r ỳ số ỳ số t ợ t số ữủ ổ tự log10 (1 + ) k rữợ t ú ỵ r ỳ số 2n tỗ t số r s k.10r 2n < (k + 1).10r ử2.100 250 < 3.100 r r ỳ số r log10 (k.10r ) log10 2n < log10 [(k + 1).10r ] r log10 k + r nlog10 < log10 (k + 1) + r õ nlog10 Ik = [log10 k, log10 (k + 1)] t log10 = số (nlog10 mod 1)nN = 0, log10 mod 1, 2log10 mod 1, 3log10 mod 1, = 0, log10 mod 1, log10 + log10 mod 1, 2log10 + log10 mod 1, õ tốt r q ợ q t õ Card{ N n < N s ỳ số t 2n k} N1 Card{ n < N s (n log10 mod 1) Ik } N1 Card{ n < N s T n (0) Ik } N1 N Ik (T n (0)) n=0 log10 ổ t q ổ t õ ỵ r r ợ f = Ik t ữủ Card{ N n < N s ỳ số t 2n k} N 1 Ik (T n (0)) N N n=0 = lim = Ik dà = à(Ik ) = log10 (k + 1) log10 k = log10 (1 + k1 ) số ú t õ t sỷ r r ự t st ởt ỳ số r tr tr số số tỹ ữ ộ x [0, 1]t số số tỹ r tr tr số (k + 1)2 log ( ) log k(k + 2) ự t s t ss õ x [0, 1] ổ t õ ổ tr số x= x0 + x1 + x + õ tốt r t số õ T (x) = x1 + x2 + x + õ 1 = x1 + T (x) x2 + x3 + ] õ t õ x1 = [ T (x) õ xn = [ T 1n x ] ố k N ữ ỵ r õ tr số t ợ ỳ số tự x0 = k ú [ x1 ] = k õ õ x0 = k ú k x s fM dà K õ ợ x / N t õ lim inf n n n1 n n n1 f (T j x) lim j=0 fM (T j x) = fM dà K j=0 tũ ỵ t õ ợ x /N lim inf n n õ n n1 f (T j x) = j=0 f (T j x) j=0 ợ h.k.n x X õ tốt r t r ởt số ự r ữ ộ x [0, 1] xn = rn x ữủ ố ỗ r T : R/Z R/Z õ r ố ợ s x [0, 1] xn = r n x ợ {xn } ởt tỷ xn [a, b] [0, 1] l Z\{0} fl (x) = e2ilx õ Nl , à(Nl ) = õ n n1 2ilxn e j=0 = n n1 fl (T j x) fl (x)dx = j=0 ợ x / Nl N = lZ\{0} Nl õ à(Nl ) = t ủ ữủ t õ à(N ) = õ x / N t õ ợ l Z\{0} n n1 e2ilxn = j=0 t x / N t xn ữủ ố ỗ t x (0, 1) õ tr số x = [x0 , x1 , x2 , ] ự r lim (x0 n n + x1 + + xn1 ) = õ tốt r ợ t x [0, 1] ủ ỵsỷ t x (0, 1) t t t tr số [x0 , x1 , ] t f : (0, 1) R f (x) = ki [ k=1 õ f (x) = k ú ,1) k+1 k (x) < x < k1 k+1 f (x) = k x0 = k õ f (T j x) = k ú xj = k ú t õ t t 1 (x0 + + xn1 ) = n n n1 f (T j x) j=0 ó r f ữủ ữ f / L1 (X, , à) ổ ss ợ f dà = log = log log k=1 k=1 kà ( k+1 , k1 ] (k+1) k log k(k+2) k=1 k(k+1) k+2 = t q t lim n n n1 f (T j x) = j=0 ợ h.k.n x X ợ ss s t ủ ố ữ ổ õ lim n n n1 f (T j (x)) = j=0 ợ t x X õ tốt r õ tr ởt số s r ởt số r ởt số q t q trồ ữ r r ự õ ởt số t ự ỳ ố t ỹ t ởt số t t t tr t õ ữủ sỹ ữợ t t r t ỡ õ tốt r tr t t Pử tr t sữ r rs tờ ủ str t ữớ tsstr rtrrtrt [...]... ừ tự t tữớ tr ỡ số (1) õ tốt ỳ số ồ r t (2n )nN : ỳ số t ừ số n N số ỳ số số t t tr ừ ữủ t tr ỡ số ử số t ừ số t ỳ số ớ ú t s t ỳ số ỳ số t ợ t số ỵ r ừ r ú t s r r ỳ số ỳ số t ợ t số ữủ ổ tự 1 log10 (1 + ) k rữợ t ú ỵ r ỳ số ừ 2n tỗ t số r 0 s k.10r 2n < (k + 1).10r ử2.100 250 < 3.100 r r ỳ số ừ r log10 (k.10r... à(A) 2 khi n j=0 à(A) = à(A)2 õ à(A) = 0 r ử số t tữớ t số x [0, 1] õ t t ữ ởt số t x = x0 x1 x2 = j=0 xj 10j+1 õ xj {0, 1, , 9} tr t tr t tú tr ổ số số ởt số x [0, 1] ữủ ồ t tữớ ợ ỡ số õ õ ởt tr t ộ t t số ợ ỳ số r tr tr ừ õ t T : [0, 1] [0, 1] ợ t r ợ t ố số ú t õ ở s à tr ở r t ố ợ õ tốt ồ r sỹ... ỵ t số tỹ tr t tữớ tr ỡ số ự é t tr t tú tr ổ số õ õ tr t ố k {0, 1, , 9} õ t r xj = k T j (x) [ kr , k+1 ) r 1 1 card{0 j n1/xj = k} = n n n1 [ k , k+1 ) (T j x) r r j=0 ỵ r ừ r t ồ tr tr ở tử 1 [ k , k+1 ) (x)dx = r r r X10 (k) t t ủ x [0, 1] ở tử õ à(X10 (k)) = 1 ộ X10 = 9 X10 (k). õ à(X10 ) = 1 k=0 x X10 t t số ỳ số r tr... ừ r ợ số ừ t t t õ ợ 1 lim n n n1 f (T j x) = E(f /I) j=0 tỗ t E(f /I) tọ E(f /I) T = E(f /I) h.k.n r E(f /I) sỷ õ số t õ E(f /I) dà = c ì à(X) = c õ E(f /I) dà = f dà õ f dà = c lim n q 1 n n1 f (T j x) = f dà j=0 õ tốt ồ r r B t ợ à h.k.n x X t số q ừ tr ữủ ữ r à(B) 1 card j {0, 1, , n 1} /T j x B = à(B) à h.k.n n n lim ự õ t số q ừ... cn e2inx n= f T õ ộ rr cn e2in e2inx n= s số rr t t r cn = cn e2in õ tốt ồ r ợ n Z / Q, e2in = 1 trứ õ cn = 0 ợ n = 0 õ f õ ộ rr c0 f r R/Z T : X X t r ố ợ ở s à ự f L (X, , à) sỷ r f T = f à 2 sỷ f õ ộ rr am e2imx (trong L2 ) f (x) = m= ợ ộ j 0 f T j õ ộ rr j am e2im2 x m= s số rr t t am = a2j m ợ m Z ờ s õ r an 0 |n|... ữủ tr sỷ r v à õ ởt ữủ ổ f s v(B) = f dà B ợ B ỡ ỳ f t t ữủ õ ũ t t t f M ởt t số ú ỵ r à ởt ở tr M ởt sỹ f L1 (X, , à) ú t õ t ởt ở v tr M v(A) = f dà A t v à/A õ t õ ởt số M ữủ t E(f /M ) s v(A) = E(f /M ) dà ồ E(f /M ) ồ õ ừ f ố ợ số M tữớ E(f /M ) ợ f ổ f t t f t ữỡ f = f+ f õ õ tốt ồ r f+ , f 0 E(f /M )... tr t t tỗ t t t ởt ở r tr ự õ tữỡ ữỡ ợ ự r õ ỹ tr ồ ởt ữủ {fi } i=0 ừ C(X, R) t số t f0 M(X, T) R :à f0 dà tử t tỗ t v M (X, T ) s f0 dv = sup f0 dà àM (X,T ) ú t M0 = {v M (X, T )/ f0 dv = sup f0 dà} àM (X,T ) t tr r r M0 ổ rộ M0 õ õ t õ tốt ồ r ú t t số t t f1 M1 = {v M0 / f1 dv = sup f1 dà} àM0 ữ tr M1 ởt t ổ rộ õ ừ M0 tử q ú t Mj =... ồ rớ t õ à(T k T k F ) à(X) = 1 F ) = à( k=0 k=0 à(Tk F ) = à(F ) k 0 ở ữủ t số tr tờ tr õ ũ tr à(F ) ự õ à(F ) = 0 à(A\E) = 0 r ỡ tr (X, ) ổ ở T : X X ởt ờ ữủ õ t ở st t t t õ r r ỡ tr ổ tr t T : X X ởt ờ tử s tữỡ ữỡ i r ỡ tr ii ợ ộ f C(X) tỗ t ởt số f s 1 n n1 f (T j x) c(f ) ợ x X n j=0 ự õ tốt ồ r (ii) (i) sỷ r... (x) = m= ợ ộ j 0 f T j õ ộ rr j am e2im2 x m= s số rr t t am = a2j m ợ m Z ờ s õ r an 0 |n| õ m = 0 t õ am = a2j m 0 j õ ợ m = 0 t õ am = 0 ự f õ ộ rr a0 ởt số r õ tốt ồ r số T : [0, 1) [0, 1) ữủ 0 , x=0 T (x) = 1 = 1 mod 1 , 0 < x < 1 x x t r t ở ss à(B) = 1 ln 2 1 dx 1+x B t õ t t s t t ss t r ố ợ ở ss ỹ tỗ t ừ ở r à... ồ õ ữ ởt t tỷ E(./M) : L1 (X, , à) L1 (X, M, à) ợ E(f /M ) ữủ i E(f /M ) M ữủ ii E(f /M )dà ợ A M f dà = A A r ừ r t tứ t I = {B B/T 1 B = B} số ừ t t r ừ r (X, , à) ổ st T : X X ởt ờ t ở t số ừ t t ợ ộ f L1 (X, , à) t õ 1 n n1 f (T j x) E(f /I) j=0 ợ à x X ự ữủ ỵ ú t ỹ t q ừ ỵ s t tự ỹ (X, , à) ổ st T : X X ởt ờ t ở f L1 (X, ... t số ỳ số r tr tr tự t tữớ tr ỡ số (1) õ tốt ỳ số r t (2n )nN : ỳ số t số n N số ỳ số số t t tr ữủ t tr ỡ số số t số t ỳ số ú t s t ỳ số. .. ỳ số t ợ t số ỵ r r ú t s r r ỳ số ỳ số t ợ t số ữủ ổ tự log10 (1 + ) k rữợ t ú ỵ r ỳ số 2n tỗ t số r s k.10r 2n < (k + 1).10r ử2.100 250 < 3.100 r r ỳ số ... r số t tữớ t số x [0, 1] õ t t ữ ởt số t x = x0 x1 x2 = j=0 xj 10j+1 õ xj {0, 1, , 9} tr t tr t tú tr ổ số số ởt số x [0, 1] ữủ t tữớ ợ ỡ số õ õ ởt