Một số vấn đề về hàm suy rộng l schwartz

Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích LỜI CẢM ƠN Bản khóa luận tốt nghiệp bước để em làm quen với công việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ khó khăn làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em nhận giúp đỡ, động viên thầy cô giáo bạn sinh viên Khoa Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu thầy cô khoa Toán toàn thể thầy cô Trường Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo em suốt trình học tập Khoa Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Tạ Ngọc Trí, người tận tình hướng dẫn để em hoàn thành khóa luận Qua em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Dương Thị Thanh SVTH: Dương Thị Thanh K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn TS Tạ Ngọc Trí với cố gắng nỗ lực thân, em hoàn thành Khóa luận Trong trình nghiên cứu thực Khóa luận tốt nghiệp, em có tham khảo tài liệu số tác giả nêu mục Tài liệu tham khảo Em xin cam đoan kết Khóa luận kết nghiên cứu em, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2011 Sinh viên Dương Thị Thanh SVTH: Dương Thị Thanh K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích MỤC LỤC Nội dung Trang Lời nói đầu Chương I : Không gian hàm thử 1.1 Một vài kí hiệu khái niệm 1.2 Không gian hàm thử D(Ω) Chương II : Không gian hàm suy rộng 13 2.1 Không gian hàm suy rộng D’(Ω) 13 2.2 Không gian hàm giảm nhanh không gian hàm suy rộng tăng chậm 18 Chương III : Tích chập phép biến đổi Fourier 21 3.1 Tích chập 21 3.1.1 Tích chập hàm S (¡ n ) 21 3.1.2 Tích chập hàm suy rộng hàm 23 3.1.3 Tích chập hàm suy rộng 24 3.2 Phép biến đổi Fourier 26 3.2.1 Phép biến đổi Fourier S (¡ n ) 26 3.2.2 Phép biến đổi Fourier S (¡ n ) 31 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 SVTH: Dương Thị Thanh K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài Hàm suy rộng kể từ đời vào kỷ XX góp phần quan trọng vào việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Do nghiệm phương trình đạo hàm riêng nói chung, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính nói riêng, thường không tồn toàn cục, nên nhu cầu mở rộng khái niệm nghiệm cho phương trình đạo hàm riêng ngày trở nên cấp thiết Sự đời lý thuyết hàm suy rộng với đóng góp chủ yếu nhà Toán học người Pháp L Schwartz giải vấn đề lý thuyết phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, đồng thời góp phần thúc đẩy phát triển nhiều ngành khoa học khác Trong hiểu biết hàm suy rộng xa lạ mẻ sinh viên Với mong muốn tìm hiểu vấn đề bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học, em chọn đề tài: “MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ HÀM SUY RỘNG L SCHWARTZ” Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học Từ hình thành tư logic đặc thù môn tìm hiểu kiến thức biến đổi Fourier hàm suy rộng Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu không gian hàm suy rộng - Nghiên cứu phép biến đổi Fourier số không gian hàm: không gian S( n), L1( n), L2( n) không gian hàm suy rộng S’( n) Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp phân tích, tổng hợp - Đọc tài liệu, tra cứu Cấu trúc luận văn SVTH: Dương Thị Thanh K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Nội dung khoá luận gồm chương : Chương 1: Không gian hàm thử - Chương giới thiệu số kí hiệu khái niệm cần thiết cho nội dung luận văn - Nêu định nghĩa tính chất không gian hàm thử D( ) Chương 2: Không gian hàm suy rộng - Chương nêu định nghĩa, tính chất không gian hàm suy rộng D’( ) Các phép toán, tính chất hàm suy rộng - Nêu định nghĩa, tính chất không gian hàm giảm nhanh S( n) - Nêu định nghĩa, tính chất không gian hàm tăng chậm S’( n) Chương 3: Tích chập phép biến đổi Fourier - Chương nêu định nghĩa, tính chất phép toán tích chập hàm bản, hàm với hàm suy rộng hàm suy rộng - Nêu định nghĩa, tính chất phép biến đổi Fourier hàm S( n), L1( n), S’( n) CHƢƠNG I: KHÔNG GIAN HÀM THỬ 1.1 Một vài kí hiệu khái niệm SVTH: Dương Thị Thanh K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích 1.1.1 Một vài kí hiệu ¢n : x ( x1, x2 , , xn ) : xi ¢ , i 1,2, , n ¡ n: x ( x1, x2 , , xn ) : xi ¡ , i 1,2, , n C ( ) : tập hàm liên tục C k ( ) : tập hàm khả vi liên tục tới cấp k C ( ) : tập hàm khả vi vô hạn, liên tục Lp ( ) : tập hàm f đo theo nghĩa Lebesgue f f ( x) p cho p p Lloc ( ) : tập hợp hàm khả tích địa phương bậc p, p (hay tập hàm xác định trên cho với tập V compact f khả tích V ) Một vectơ có dạng ( 1, , , n ), j ¢ , ( j 1,2, , n) gọi đa số (hay n- số) với độ dài (hay cấp ) n Toán tử vi phân kiên kết với đa số D D1 D2 Dn n , j D j j Cho xj j , j 1,2, , n tập mở khác rỗng ¡ n Ta nói hàm số f : £ thuộc £ ( ) toán tử vi phân D f tồn liên tục với đa số ¢ n , nghĩa f £ ( ) f hàm khả vi liên tục cấp Giá hàm liên tục f : SVTH: Dương Thị Thanh £ , kí hiệu supp f , xác định bởi: K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích supp f cl x : f ( x) Nếu K tập compact ¡ n , kí hiệu: DK Nếu K f K C ( ): supp f đồng DK với C ( ) 1.1.2 Một vài khái niệm ¡ £ ) Một không gian vectơ tôpô X trường (với không gian vectơ trường trang bị tôpô cho ánh xạ ( x, y ) a x y ( , y ) a y liên tục Trong không gian vectơ tôpô X , tập hợp E X gọi tập bị chặn, với lân cận V gốc 0, có số s cho t s E tV Nếu gốc có lân cận bị chặn không gian X gọi bị chặn địa phương (locally bounded) Một tập hợp E x X, t X không gian vectơ tôpô X gọi tập hút t ( x) cho x tE Nếu £ mà 1, ta có E E E gọi tập cân (balanced subset) X Một không gian vectơ tôpô X gọi không gian lồi địa phương (locally convex) có sở lân cận gốc gồm toàn tập lồi Một không gian lồi địa phương gọi không gian Fréchet không gian metric đủ với metric cảm sinh d thỏa mãn d ( x z, y z ) d ( x, y ) (d bất biến với phép tịnh tiến) Một không gian vectơ tôpô X gọi có tính chất Heine- Borel tập đóng bị chặn X tập compact 1.2 Không gian hàm thử D( ) Nếu K tập compact ¡ hàm f C (¡ n ) cho supp f SVTH: Dương Thị Thanh n ta kí hiệu DK không gian tất K K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Nếu K Chuyên ngành: Giải tích DK f Để xây dựng tôpô C ( ) : supp f K C ( ) cho C ( ) trở thành không gian Fréchet có tính chất Heine- Borel C ( ) với K Kj int K j DK tập đóng ta chọn tập compact K j , ( j 1,2, ) cho U j K j định nghĩa họ nửa chuẩn pN C ( ) , N 1,2, bởi: pN ( f ) max D f ( x) : x K N , N Khi pN xác định tôpô lồi địa phương, khả mêtric C ( ) Với x , hàm số x a f ( x) liên tục theo tôpô Vì không gian hàm khác x nên DK DK giao đóng C ( ) Một sở địa phương không gian cho tập hợp VN f C ( ) : pN ( f ) , ( N 1,2, ) N Nếu fi dãy Cauchy C ( ), N cố định fi đủ lớn Do đó, D fi D fj K N N D fi hội tụ tập compact nhiên g0 C ( ) cho g f j VN , với i, j N Điều chứng tỏ tới g , đặc biệt fi ( x) D g0 fi g0 ( x) Hiển g0 theo tôpô C ( ) Do C ( ) không gian Fréchet Điều với không gian đóng DK Giả sử E MN D f C ( ) tập đóng bị chặn Vì E bị chặn nên tồn cho pN ( f ) M N , N 1,2,3, với f M N K N SVTH: Dương Thị Thanh E Bất đẳng thức N , liên tục đồng bậc K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích E K N D f:f N Theo định lý Ascoli nguyên lý Cantor dãy E chứa dãy tụ tập compact với đa số fi cho D fi hội Do fi hội tụ theo tôpô C ( ), chứng tỏ E tập compact Vậy C ( ) có tính chất Heine- Borel Định nghĩa 1.1: Hợp tất không gian tập compact hàm bản) Hiển nhiên K chạy tập tất , gọi không gian hàm thử (hay không gian , kí hiệu D( DK D( ) ) không gian vectơ với phép cộng phép nhân với vô hướng thông thường hàm nhận giá trị phức Với D( N ) max D ( x) : x , N , N 1,2, gọi chuẩn hàm tập không rỗng mở ¡ n Kí hiệu: Cho tôpô không gian Fréchet K DK với tập compact K tập tất tập lồi cân đối W tập compact K D( ) cho W K với tập tất hợp tập hợp có dạng W DK W, với D( ) Trong suốt chương ta giả sử K tập mở không rỗng Mệnh đề 1.1: SVTH: Dương Thị Thanh K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp tôpô không gian a) Chuyên ngành: Giải tích D( sở địa phương ) b) ) với D( không gian vectơ tôpô lồi địa phương Chứng minh: a) Giả sử V1 , V2 , V2 V1 Để chứng minh (a) ta cần chứng minh Theo định nghĩa tồn i Chọn K cho chứa DK i Wi W D( i V1 V2 , ) Wi (*) W cho: Vi , (i 1,2) Vì 1, , (1 Wi mở DK i )Wi , DK nên i Do tính lồi Wi nên i i Wi (1 i Wi i i )Wi Wi Do (*) với W ( 1W1) i Wi Wi Vi (i 1,2) ( 2W2 ) Vậy (a) chứng minh b) Giả sử 1, D( Đặt W D( không nằm Phép cộng 1 W ) ): W Do , với max ( x) W x tập đóng tương đối liên tục, tính lồi tập W W ( 2) W, Với phép nhân vô hướng, chọn vô hướng 0 SVTH: Dương Thị Thanh ( 0) 10 ( 1, nên D( ) D( ) ) K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Kí hiệu: ( f Chuyên ngành: Giải tích g )( x) y ) g ( y )dy, x ¡ n f (x ¡ (3.1) n Do f ( x) g ( x ) thuộc S (¡ n ), S (¡ n ) L1 (¡ n ) nên f ( x) g ( x ) hàm khả tích ¡ n , hay tích phân tồn Khi f g gọi tích chập hàm f , g Vì S (¡ n ) L1 (¡ n ) L2 (¡ n ) nên tích chập hàm L1 (¡ n ), L2 (¡ n ) định nghĩa tương tự Nhận xét 3.1: Nếu f , g L1loc (¡ n ) hai hàm có giá compact tích chập f , g xác định Thật vậy, L1loc (¡ n ) nên f , g hàm khả tích ¡ n , nghĩa tồn Vì f , g tích phân xác định (3.1) Giả sử g hàm có giá compact, ta có: f (x ¡ n ¡ y ) g ( y )dy dx g ( y) n ¡ f (x n ¡ g ( y) f L1 f (x ¡ supp g g y ) dx dy n y ) dx dy n L1 Vậy tích chập hàm f , g xác định Mệnh đề 3.1: Giả sử f , g L1 (¡ n ) Khi f f g1 g L1 (¡ n ) f g (Đẳng thức có f ( x) 0, g ( x) ) Chứng minh: Giả sử f ( x), g ( x) L1 (¡ n ) thì: SVTH: Dương Thị Thanh 21 K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích (f g )( x) y ) g ( y )dy, x ¡ n f (x n ¡ Khi đó, f g1 ¡ n ¡ n ¡ n ¡ ¡ f (x y ) g ( y )dy dx f (x y ) g ( y ) dydx n n g ( y) Với y cố định, đặt t x ¡ y ) dx ¡ g1 f L1 (¡ n ) f ¡ n , tức tồn C cho ( f f g L1 (¡ n ) f g n L2 (¡ n ) ( f Nhận xét 3.2: Nếu f , g f n g ( y ) dy ¡ Với f , g f (t ) dt n f y ) dx dy y ta có: f (x ¡ f (x n f g g1 g )( x) hàm bị chặn C, x ¡ n g )( x) Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Holder có: (f g )( x) f (x ¡ y ) g ( y )dy n ¡ 2 f (t ) dt ¡ (f g )( x) n y ) dy n g ( y ) dy ¡ f g 2 n C n C Mệnh đề 3.2: Với , D ( g ( y ) dy ¡ f (x S ¡ )( x) (( D SVTH: Dương Thị Thanh ) n C (¡ n ) )( x) ( (D 22 ))( x), x ¡ n, ¢ n K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Chứng minh: S ¡ Vì D ( n S ¡ nên D )( x) D (x D (x y ) ( y )dy ) ( x) x t dy (D D ( y ) ( y )dy n ¡ y y x ¢ n Khi ta có: , n ¡ Đặt t n )( x) D (x dt y ) ( y )dy D n ¡ (t ) ( x t )dt n ¡ (t ) D ( x t )dt = (D ) ( x) n ¡ 3.1.2 Tích chập hàm suy rộng hàm D' ¡ Định nghĩa 3.2: Cho f theo hàm , kí hiệu f (i) f C (¡ n ), D ( f (ii) supp ( f ) D ¡ , n Tích chập hàm suy rộng f xác định sau : f Mệnh đề 3.3 : Cho f n :xa D' ¡ n f , ( x) D ¡ )( x) (( D f ) (supp f n f ( y), ( x y) Khi ta có kết luận : )( x) ( f ( D ))( x), x ¡ n , Zn supp ) Chứng minh: (i) Bằng cách chứng minh tương tự chứng minh định lý 3.2 ta có: f* C (¡ n ), D ( f )( x) (( D f ) (ii) Lấy x ¡ n , giả sử ( f SVTH: Dương Thị Thanh )( x) ( f ( D ))( x), x ¡ n , Zn )( x) 23 K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Vì f Chuyên ngành: Giải tích ( x) y supp f để ( x y) nên supp f ( y), ( x , hay tồn I supp f y ) supp Do x supp f supp Vì tổng hai tập đóng tập đóng nên supp ( f Mệnh đề 3.4: Cho , (f Nếu f D ¡ ) S' ¡ n n ) D' ¡ , f f ( S ¡ , hàm suy rộng f theo hàm (supp f ) n n supp ) Khi đó: f ( ) (f ) định nghĩa tính chất tích chập phát biểu tương tự 3.1.3 Tích chập hàm suy rộng Định nghĩa 3.3: Cho f , g D' ¡ n mà hàm suy rộng có giá compact Tích chập hàm suy rộng f theo hàm suy rộng g , kí hiệu g , xác định bởi: f g, f ( x), g ( y ), ( x Mệnh đề 3.5: Cho f , g D' ¡ n y) , D(¡ n ) mà hàm suy rộng có giá compact Khi đó: D (f g) D f g f D g Chứng minh: Với D(¡ n ), ta có: SVTH: Dương Thị Thanh 24 K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích D (f g ), ( 1) g) f g, D =( 1) f ( x), g ( y ), Dx ( x y) =( 1) f ( x), g ( y ), Dy ( x y) = f ( x), D g ( y ), ( x y) = f ( x) D g ( y ), ( x y) = f Suy D ( f f D g, D g Do tính chất giao hoán nên D (f g) D (g f) g D f D f g Vậy ta có điều phải chứng minh D' ¡ Ví dụ 3.1: Với f n có f f f Thật vậy, f , f ( x), ( y ), ( x y) = f ( x ), ( x ) = f, f, ( x), f ( y ), ( x y) = f ( y ), ( y ) = f, f f Hơn nữa, D f f D f D f 3.2 Phép biến đổi Fourier 3.2.1 Phép biến đổi Fourier S ¡ n a Định nghĩa SVTH: Dương Thị Thanh 25 K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích S (¡ n ) Biến đổi Fourier hàm , kí hiệu f Định nghĩa 3.4: Giả sử f f , Ff , hàm xác định bởi: f ( ) (2 ) n e ¡ ix f ( x)dx, ¡ n n Và biến đổi Fourier ngược hàm , kí hiệu f , f , F f , hàm xác định bởi: f ( ) (2 ) n eix f ( x)dx, ¡ Ví dụ 3.2: Cho f ( x) e x ¡ n n , ta có f f Chứng minh chi tiết [2], trang 54 b Tính chất Mệnh đề 3.6: ( Công thức Parseval ) Giả sử f , g S (¡ n ) Khi đó: f ( x)g ( x)dx ¡ n f ( x) g ( x)dx ¡ (3.2) n Chứng minh: Phép biến đổi Fourier hàm thuộc S (¡ n ) bị chặn ¡ n nên tích phân (3.2) tồn Hơn nữa, SVTH: Dương Thị Thanh 26 K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích n f ( x)g ( x)dx (2 ) ¡ n n ¡ f ( y) n ¡ = f ( y )dy g ( x)dx n ¡ n =(2 ) ixy e ¡ n g ( x)dx dy n f ( y ) g ( y )dy = ¡ ixy e f ( x ) g ( x )dx n ¡ S (¡ n ) Khi đó: Mệnh đề 3.7: Giả sử f , g n )2 ^ ( f * g ) ( ) (2 f ( ) g ( ) Chứng minh: Sử dụng định nghĩa phép biến đổi Fourier định lý Fubini có: (2 ) n 2( f * g ) ^ ( ) (2 ) n ¡ =(2 ) n ix f (x ¡ n n ¡ n iy g ( y) n e ¡ e ¡ f (x y )e iy g ( y )dy dx n e n y ) g ( y )dy dx n i( x y) e ¡ =(2 ) e ( f * g )( x)dx n ¡ =(2 ) ix n ¡ =(2 ) e iy i( x y) f (x y )dx dy n g ( y )dy f ( ) n = f ( ) g ( ) ^ Vậy ( f * g ) ( ) (2 SVTH: Dương Thị Thanh n )2 f ( ) g( ) 27 K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Mệnh đề 3.8: Giả sử f a Với đa số n S ¡ Khi đó: thì: D ( f ( )) ( i )| | ( x f )^ ( ), D ( f ( )) i ( x f ) ( ) b Với đa số ( f ( )) ( i ) ( D f )^ ( ), thì: ( f ( )) i ( D f ) ( ) Chứng minh: a Ta có: D ( f ( )) D (2 ) n e ¡ (2 ) n ix n ( ix) e ¡ f ( x)dx ix f ( x)dx n ( i ) ( x f ) ^ ( ) Tương tự : D ( f ( )) i ( x f ) ( ) b Ta có: ( f ( )) (2 ) n ( iDx ) e ¡ =(2 ) ix f ( x) dx n n e ¡ ix ( iDx ) f ( x)dx n =( i ) ( D f ) ^ ( ) Tương tự : ( f ( )) i ( D f ) ( ) Mệnh đề 3.9: Giả sử f S ¡ n Khi ( f ) f Chứng minh: SVTH: Dương Thị Thanh 28 K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Với f , S ¡ Chuyên ngành: Giải tích n , n ix e ((2 ) ¡ n iy e ¡ f ( y) dy) ( ) d n eix f ( ) ( ) d ¡ n e ¡ ix n f ( )((2 ) n e ¡ iy ( y) dy) d n Nên theo định lý Fubini có: f ( y )((2 ) ¡ n n ( y )((2 ) ¡ Hay ¡ n n n f ( y )( ¡ ei ( x ¡ ^ ) (x y) ei ( x x f ( y) ¡ (x , Cho Vậy ( f ^ ) n ( x) x ( ), ( ) ( y )( f ^ ) ( x y )dy n y)dy n ( ) Nên f ( )d )dy ( y)( f ^ ) ( x y)dy ¡ Chọn ( x) (2 ) y) n n n 2e ( )d )dy ¡ 0, có: ( ) y )dy n f ( x) ( f ^ ) ( x) f, f Mệnh đề 3.10: Giả sử f , SVTH: Dương Thị Thanh S (¡ n ) S ¡ n Khi đó: 29 K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích a ( f * ) ( ) (2 n )2 f ( ) ( ), ( f * ) ( ) (2 n )2 f ( ) ( ) ^ b (2 n )2 ( f )^ ( ) f ( ) * ( ), (2 n )2 ( f ) ( ) f ( ) * ( ) Chứng minh: a Theo định lý Fubini có: n ^ ( f * ) ( ) (2 ) e ¡ iy e ¡ ( n f ( y) ( x ¡ f ( y )((2 ) n e ¡ iy y) dy) dx n n e ¡ ix i( x y) (x y )dx )dy ) n f ( y )dy ( ) n n )2 =(2 n )2 Tương tự : ( f * ) ( ) (2 f ( ) ( ) f ( ) ( ) b Ta có: Với f ( f * )( ) (2 n ) (( ( f * )( ) (2 n ) (( L1 ¡ n Hơn nữa, với f ^ f ) (( f ) (( ^ ) ) ( ) (2 n )2 ( f )^ ( ) , ) ) ( ) (2 n )2 ( f ) ( ) ta có định nghĩa tính chất tương tự L2 ¡ n ta có tính chất sau: Mệnh đề 3.11: (Định lý Plancherel) SVTH: Dương Thị Thanh 30 K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Ánh xạ Chuyên ngành: Giải tích : S (¡ n ) S (¡ n ) thác triển tới toán tử đơn vị L2 (¡ n ) Mệnh đề chứng minh chi tiết [7], trang 15 3.2.2 Phép biến đổi Fourier S ' ¡ n a Định nghĩa: Định nghĩa 3.6: Cho f n S' ¡ Biến đổi Fourier hàm suy rộng , kí hiệu f , f , Ff , hàm suy rộng tăng chậm xác định : f, f, , S (¡ n ) Và biến đổi Fourier ngược, kí hiệu f , f , F f , hàm suy rộng tăng chậm xác định : f, f, , S (¡ n ) b Tính chất Mệnh đề 3.12: Giả sử f a Với đa số S' ¡ n Khi đó: thì: ( D f )( ) ( i )| | ( x f )^ ( ), ( D f )( ) i ( x f ) ( ) b Với đa số thì: ( ( Mệnh đề 3.13: Giả sử f S' ¡ SVTH: Dương Thị Thanh f )( ) ( i ) ( D f )^ ( ), f )( ) i ( D f ) ( ) n , S (¡ n ) Khi đó: 31 K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích a ( f * ) ( ) (2 n )2 ( ) f ( ), ( f * ) ( ) (2 n )2 ( ) f ( ) ^ b (2 n )2 ( f )^ ( ) f ( ) * ( ), (2 n )2 ( f ) ( ) f ( ) * ( ) Chứng minh: a.Với f S' ¡ n S (¡ n ) f * , S' ¡ n Khi đó, biến đổi Fourier ( f * ) hàm suy rộng tăng chậm xác định: (f * ) , f* , (( f * ) * ( = f ,( * ) = f ,(2 Trong đó, S ¡ n n )2 ( ^ nên ( f * ) ( ) (2 Tương tự : ( f * ) ( ) (2 n )2 f ,(( ) n )2 ) )(0) ) * (2 n )2 ) f, ( ) f ( ) ( ) f ( ) b Ta có: ( f * )( ) ((2 n ) (( ( f * )( ) ((2 n ) (( ) ( f ) ) ( ) (2 n )2 ( f )^ ( ) , ) ( f ) ) ( ) (2 n )2 ( f) ( ) Ví dụ 3.5 : Cho hàm - Dirac xác định SVTH: Dương Thị Thanh 32 , (0) (2 ) n K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Thật vậy, , , (0) (2 ) n ( x) dx ¡ (2 ) ¡ (2 ) ( x)dx n (2 ) Suy n n n 2, , S (¡ n ) n KẾT LUẬN SVTH: Dương Thị Thanh 33 K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Trong giải tích đại, hàm suy rộng kiến thức mẻ, có đóng góp quan trọng nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính Thông qua việc giới thiệu số kí hiệu khái niệm sở, đặc điểm số tính chất không gian hàm thử D( ) chương I để nêu đặc điểm, tính chất hàm suy rộng chương II tìm hiểu tích chập phép biến đổi Fourier chương III Khóa luận giúp em tiếp thu, nâng cao kiến thức hiểu biết hàm suy rộng thấy vai trò quan trọng Toán học Thông qua việc thực khóa luận em học cách trình bày đề tài nghiên cứu khoa học, học cách trình bày nội dung kiến thức cách có hệ thống theo hiểu biết Trong khóa luận em đưa số ví dụ minh họa cho khái niệm số kết Tuy nhiên, thời gian có hạn nên khóa luận em có nhiều thiếu xót, mong nhận góp ý, giúp đỡ thầy cô bạn để khóa luận hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO SVTH: Dương Thị Thanh 34 K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích [1] Nguyễn Phụ Hy (1992), Giáo trình giải tích hàm, Đại học Sư phạm Hà Nội [2] Đặng Anh Tuấn (2005), Lý thuyết hàm suy rộng không gian Sobolev [3] Gerd Grubb (2009), Distributions and Operators, Springer Science, Business Media, LLC [4] Walter Rudin (1921), Functional Analysis, Tata Macu Graw-Hill, Inc, New Delhi [5] Tạ Ngọc Trí (2004), The Colombeau theory of generalized functions, KdV institute, Facutly of science University of Amsterdam The Netherlands [6] I.F Wilde, Distribution Theory (Generalized functions) Notes [7] M.W.Wong (1998), Weyl Transforms, Springer-Verlag New York, Inc SVTH: Dương Thị Thanh 35 K33A- SP Toán [...]... gọi l không gian các hàm suy rộng trên l p thành một không gian, , kí hiệu l D '( ) Dựa vào định nghĩa trên ta xét một số ví dụ sau: Ví dụ 2.1: Các hàm số liên tục trên l các hàm suy rộng Thật vậy, giả sử f l một hàm liên tục trên khả tích trên Khi đó f l một hàm Hơn nữa, f, f ( x) ( x)dx f ( x) dx sup ( x) , Đặt C f ( x) dx 0 thì f, f ( x) ( x) dx D( ) D( C.sup ( x) , ) Vậy f l hàm suy rộng. .. GIAN CÁC HÀM SUY RỘNG 2.1 Không gian hàm suy rộng SVTH: Dương Thị Thanh D '( ) 12 K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích Định nghĩa 2.1: Một phiếm hàm tuyến tính u : D( ) rộng (theo nghĩa Schwartz) xác định trên £ gọi l một hàm suy , nếu với mọi tập compact K , có một số thực C 0 và một số nguyên không âm N sao cho u, sup D D( , ) N x với supp K Tập tất cả các hàm suy rộng xác... (theo nghĩa Schwartz) Ví dụ 2.2: Các hàm f trong Lp ( ), 1 f, Ví dụ 2.3: Hàm p f ( x) ( x)dx, cũng l các hàm suy rộng với D( ) Dirac : SVTH: Dương Thị Thanh : D(¡ n ) £ a , 13 (0) K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Vì , (0) tập compact trong ¡ n Chuyên ngành: Giải tích D( ¡ 1.sup ( x) , n K , với K l ) , mà supp l một hàm suy rộng (gọi l hàm suy rộng Dirac nên hay hàm Delta Dirac) Ví dụ 2.4: Hàm x :... được gọi l bằng nhau nếu: f, g, , D 4 Đạo hàm của hàm suy rộng: Định nghĩa 2.2: Cho f tính D f , ( 1) D' f ,D , 1, , 2 , , Zn Phiếm hàm tuyến n được gọi l đạo hàm suy rộng cấp D α của hàm suy rộng trong Ω, kí hiệu l D f Nếu f, với mọi C DK D f, thì C D N C N Do đó, D f l hàm suy rộng Với mọi f , mọi D' D f ¢ n , ta có công thức: , D D f D D f Ví dụ 2.5: Hàm Heaviside H ( x) Ở đây H : ¡ rộng H... gọi l các hàm giảm nhanh Không gian S (¡ n ) được gọi l không gian các hàm giảm nhanh Ví dụ 2.7: Hàm số f ( x) x me x2 thuộc S (¡ ) với mỗi m ¢ Định nghĩa 2.4: Các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên S (¡ n ) được gọi l các hàm suy rộng tăng chậm Không gian tuyến tính của các hàm suy rộng tăng chậm được kí hiệu l S '(¡ n ) Vậy T S '(¡ n ) khi và chỉ khi hàm T : S (¡ n ) trên S (¡ n ), nghĩa l hàm. .. ( S ¡ , của hàm suy rộng f theo hàm (supp f ) n n supp ) Khi đó: f ( ) (f ) thì định nghĩa và tính chất của tích chập cũng được phát biểu tương tự như trên 3.1.3 Tích chập giữa các hàm suy rộng Định nghĩa 3.3: Cho f , g D' ¡ n mà ít nhất một hàm suy rộng có giá compact Tích chập của hàm suy rộng f theo hàm suy rộng g , kí hiệu l g , được xác định bởi: f g, f ( x), g ( y ), ( x Mệnh đề 3.5: Cho... cộng các hàm suy rộng: Cho , g D’(Ω) thì SVTH: Dương Thị Thanh +g D’(Ω) được xác định theo qui tắc: 14 K33A- SP Toán Khóa luận tốt nghiệp Chuyên ngành: Giải tích f g, f, g, , D 2 Phép nhân một số với một hàm suy rộng: D’(Ω) và Cho D’(Ω) được xác định theo qui tắc: thì f, f, , D Với hai phép toán trên thì D’(Ω) trở thành một không gian tuyến tính 3 Hai hàm suy rộng bằng nhau: Hai hàm suy rộng , g... chỉ khi f n , f k ,m 0 với mỗi k , m ¢ , nghĩa l một phiếm hàm tuyến tính T trên S (¡ n ) l hàm suy rộng tăng chậm khi và chỉ khi T ( fn ) 0 với fn k ,m 0, k , m ¢ Mệnh đề 2.5: Một phiếm hàm tuyến tính T trên S (¡ n ) l một hàm suy rộng tăng chậm khi và chỉ khi tồn tại C 0 với mỗi k , m ¢ thỏa mãn: T( f ) Mệnh đề 2.6: Cho g C f k ,m , f S ( ¡ n ) L2 (¡ n ) thì ánh xạ tuyến tính Tg : f a SVTH: Dương... S (¡ n ) L1 (¡ n ) nên f ( x) và g ( x ) l các hàm khả tích trên ¡ n , hay tích phân trên l tồn tại Khi đó f g được gọi l tích chập của các hàm f , g Vì S (¡ n ) L1 (¡ n ) L2 (¡ n ) nên tích chập giữa các hàm trong L1 (¡ n ), L2 (¡ n ) được định nghĩa tương tự Nhận xét 3.1: Nếu f , g L1 loc (¡ n ) và một trong hai hàm này có giá compact thì tích chập của f , g cũng xác định Thật vậy, L1 loc (¡ n... với supp K , K l tập compact trong ¡ Ta có: x, x ( x)dx ¡ x ( x)dx ¡ x sup ( x) dx sup ( x) ¡ ¡ ¡ sup ( x) ¡ x dx K Đặt C x dx K x dx 0 thì x, C.sup ( x) , D(¡ ) K K Vậy x l một hàm suy rộng Mệnh đề 2.1: Một phiếm hàm tuyến tính u xác định trên D( suy rộng khi và chỉ khi lim u, hội tụ tới 0 trong j j D( ) khi j 0, với mọi dãy j ) l một hàm Như vậy có thể thấy D '( ) l không gian liên hợp của ... Hai hàm suy rộng nhau: Hai hàm suy rộng , g D’(Ω) gọi nếu: f, g, , D Đạo hàm hàm suy rộng: Định nghĩa 2.2: Cho f tính D f , ( 1) D' f ,D , 1, , , , Zn Phiếm hàm tuyến n gọi đạo hàm suy rộng. .. chập hàm suy rộng Định nghĩa 3.3: Cho f , g D' ¡ n mà hàm suy rộng có giá compact Tích chập hàm suy rộng f theo hàm suy rộng g , kí hiệu g , xác định bởi: f g, f ( x), g ( y ), ( x Mệnh đề 3.5:... suy rộng xác định gọi không gian hàm suy rộng lập thành không gian, , kí hiệu D '( ) Dựa vào định nghĩa ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 2.1: Các hàm số liên tục hàm suy rộng Thật vậy, giả sử f hàm