Mục đích chính của luận án là giải quyết bài toán số 2 đưa ra dạng ma trận cho các định lý biển diễn dương của Putinar-Vasilescu, Dick inson-Povh và Handelman
èấ ặ ầ ẻ èỹ ý è ầè Ç ÉÍ ỈÀ Ỉ ìỈÀ Å ÌÊ Ỉ Ë ÈÀ Ỉ Á ÌÊü ÊÁỉỈ ¸ üỈÀ Ä ÁêÍ ÁéỈ Ỉ ẻ èậ ẻ ặ ỗ ổặ ẫ ặ ổặ ặ ặ ậ ẻ è ốè ậ ậ ẳẵẳ èỵ è è ặ ỡặ ặ èốặ ậợ èầ ặ ỹặ ặ ắẳẵ Ị ØỊ ÌƯ Ĩ ỊØ Ị Ị Ø ÉÙÝ Ỉ Ì Ờ Ị Ị Ị Ì˺ Äò Ị ÌỊ èậ ề èệề ẩ ề ữề ẵ ẩ ậ èậ ẩ ẩ ề ữề ắ èậ ề èể ề ẻ ữề èể ề ẩ ề ữề ¿ Ì˺ Äò ÌƯ Đ Ì ơỊ Ë Ị ¹ èệ è ể ề èệ ề ề ì ề ẫí ặ ề ề ể ữ ỉệ ề ểé ẵ ỉ ẻ ữề ề é ẹ ặ ẻ ữỉ ặ ẹ ẩ ũề ề ề é ề ề ỉ ẳẳ ề í ẵ ỉ ề ẳẵ ề ẹ ắẳẵ ỉ ỉứẹ é ề ề ỉ ạè ữề ẫ ẻ ữỉ ặ Đ ¹ÌỨỊ Ø Đ Ø Ị Ø Ị Ø Ð ÷Ù ÌƯ Ị ÉÙÝ Ỉ Ị Ä ÄÙ Ị Ị Ị Ý ÌỊ Ú Ì˺ Ĩ ỊØ Ị ÌỨỊ À ÄÙ Ị Ị Ð ØỨỊ Ø ¸ Ị Ø ºÌ ÌƯ Đ Ĩ Ị Ị ÉÙÝ Ỉ ÜỊ Đ Ĩ Ị Ị Ø Ị Ý Ð Ị ØỊ Ị ĨƠ Ơ× Ị Ú × Ị òỊ Ù Ø Ị Ị Ø º À Ị ÕÙ ØƯĨỊ Ị Ì Ì Ì˺ Äò øỊ ØƯ º Ä ÄÙ Ị ề ề í ẫí ặ ề ì í ỉ é Ị Ị Ị Ĩ ỊØ Ị Ø ÷Ị Ị Ù º ÜỊ Ú Ø Ì ơỊ ×ú Äò Ị ÌỊ º Ì Ý Ú òỊ Ù Ø º Ø Ø Ị ÜỊ Ị ÌỨỊ À º Ì Ý ÐÙ Ị Ø Ý Ị Ĩ Ĩ Ø Ý Ø ØƯĨỊ Ị Ờ Ð Đ Ị Ị Ø Ị ơỊ Đ Ị Ị Úø Ị Ị ØĨ Ị Đ ẹ ề ề ẹ ữ èệ ẹ áỉ ỉ ề ỉệểề ề ũề ự éữá ễ ỉ ề òỊ¸ ¸ Ị ØƯ Ì Đ Ú Ư Ø ÙÝòỊ Ị ÜỊ Ø Ĩ Ú Ð óÙ Ị Đ Ị ơỊ ÷Ị Ø Ø Ị Ị Ị òỊ Ù Ø ÌƯ Ị Ì ÜỊ Đ Ị Ø ØƯĨỊ ÕÙ ØỊ Ì ÜỊ Ð ÷Ơº óÙ Ị Ý Ị Đ Ờ ÷Ù ÌƯ Ị Ù Ị Ø Ý Ú Ị Ø Ị Ø Ị Ị Ư Ø Ị óÙ ú ẹủ ữỉá ỉ ĩ ề ỉ ểệ ẹ ỉẹ Ị Ð ưƠ Ĩ Ị Ë Ơ Ø ØƯ ưỊ ÉÙÝ Ỉ Ị Ĩ Ø Ĩ Đ Ị ơỊ Ị Ø Ờ Ị Ị Ịº Ị Ì Ị Ị ÷Đ Ã Ĩ Ì Ị òỊ Ø Ị Ø Ơ ØỨỊ Ịº Ị Ị òỊ Ù × Ị Ø ÌƯ Ø Ơ Ú Ị òỊ Ùº øỊ Ị Ĩ ĨỊº ÌøỊ Ø Ð ØƯ Đ À Ì Ý¸ È Ù ù Úó Ú Ị Ị¸ È ỊØ Ø ĨØ º Ì Ị Ü Ị Ð Đ Ị ơỊ Ị ữễ é ề ề ề ũềá ì Ị Ú ÷ Ø Ị ơỊ Ù Ị ¸Ø ÜỊ ĨỊ ơỊ òỊ Ĩ ÐÙ Ị Ư Ø ÉÙÝ Ỉ òỊ Ị Ị ÉÙÝ Ỉ Ị Ị Ị Ø Ị Ĩ ºỈ Ø ºÀ Ð Ø Ị Ø Ị Ú Ị Ø ÝòỊ Ø Đ Ø Ơ Ú Ị ÜỊ Ð Ị × Ù × ơỊ Ị Đđ Ø Ị ÝòÙ ĐøỊ º Đ Ị× Ị Ø Ị Ø Ĩ óÙ ÷Ị Ø Ø Ị Ø Ø Ø Ơ Ø ØƯ Ị º Ị ÷Đ Ã Ĩ ÌĨ Ị Ị Ø Ý Ĩ¸ ể ỉệểề ể ỉ ữềá ĩề ềỉ òỊ Ù Ø òỊ¸ Ø Ị Ø ơỊ Ị Ơ Ị Ð Ị Ù × Ị º Ì Ị Ø ƠÚ Ị óÙ Đ Ý Đ Ị Ú Ø ºÅ Ĩ Ø Ị ØøỊ Ú Ị Ơ à Ĩ ÌĨ Ị¸ ÌƯ Ị ÌỨỊ À º ÌƯ û ØƯ Ị Ú òỊ¸ Ø Ý Ð Ì Ü Ị Đ Ị Ì ơỊ ×ú À Å Ị ÌĨ Ịº ó Ð òỊ ÕÙ Ị ơỊ Ị Ð õỊ Ị Ú × Ù Đ ØĐ Ị × Ù × ơỊ Ì ơỊ ×ú Ĩ × Ø ÕÙ ØỊ Ị òỊ Ù Ø Ị ÌỊ Ú Ì ơỊ ×ú òĐ Ø º Ì Ý ÐÙ Ị Ø Ơ¸ Ð Đ Ú ÷ Ú Ĩ Ø ƠÚ Ị òỊ Ùº Ì Ý Ø Ĩ Ĩ Ø ÝØ Ð Ị ÜÙÝòỊ ØƯ Ĩ Ĩ Ị Ị Ị Ư Ø Ị Ĩ Ì Ị ØƯĨỊ ÕÙ ØỊ Ị × Ù × ơỊ Ì ơỊ ×ú Äò Ù Ð Đ Ị ẹ ề ề ểé ề ỉứề ẹ ữỉ ụề ẹá Ơ ¸ Ị Ú òỊ Đº Đđ ÐÙ Ị Đ ØƯ ÐÙ Ị Ị Ị Ú òỊ¸ ÐÙ Ị Ị ¸ ×ð Ơ Ị Ú òỊ òỊ Ù Ü Ị ữỉá ỉ í ì ề ể ề ề ỉứề ÝòÙ Ø Đ ĨỊº Ị Ú ĨỊ Ø Ị ÝòÙ ÑøÒ º Ñ Ò Ò Ú øÒ ÐÙ Ò Ð Ị øỊ ÝòỊ Đº Å Å Ä Ù ½ Ị ẵ ỉ ì ẵẵ ậ ễ ẵắ ề ụỉ ế ề ề ỉể ề ỉ ẵắẵ ữẹ ẵ ½º¿º ØĨ Ị Ø Ù ÀÐ Ø Đ Ø ệỉ ẹ ỉ ì ẵ ề é ỉ ừề Ú Ị Ð Ị Ð Ị õỊ Ị Ĩ Ø ºººººººººººººº Ừ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººººº ØÓ Ò Ñ Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵẵ ỉể ề ỉ ẵắ ØĨ Ị Đ Đ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵẵ ì ỉ ẵ èựề ĩ Ị Ù Ừ Ú ơỊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¿º½º ½º º ÀøỊ ½º é ỉể ề ỉ ẵắắ ỉ ì Ø Ĩ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Ø Đ ØƯ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵắ ỉ ẹ ỉệ Ò Ú Ø ÙÒ Ò Ø Ò º º º º º º º º º º º º ẵắ ề ẹ ỉệ ề º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ẵ ề ắ ậ ễ ề ỉệ ệ ũề ắẵ ề ẹ ỉệ ề ề é ắắ í ể ề é ề ắ ậể ì ề ề ề ìỉệÔ ểẹạ ỉ ỉ Đ ØƯ Ị Ý º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ½ Đ ØƯ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ Ị Ð õỊ Ị Ĩ Ø Đ ØƯ Ị ½ ¿º½º Ị Đ ØƯ Ị ề é ẩỉ ề ệạẻ ì é ì º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¿º¾º Ị Đ ØƯ Ị Ị Ð ¿º¿º Ị Đ ØƯ Ị Ị Ð À Ị ¿º¿º½º Ị Đ ØƯ ề ềìểềạẩể º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º½ ÐĐ Ị º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ị Ð À Ị ÐĐ Ị ØƯòỊ n¹ Ị øỊ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ắẳ ắ ề ẹ ỉệ ề ỉ Ø Ù Ø ØĨ Ị ØøĐ ØƯòỊ Đ Ø ÷Ị Ð Ị Ð À Ị õỊ ÐĐ Ị ØƯòỊ ề ể ỉ ữề é ểẹễ ỉ º º º º º º º º º º ắẵ ẹ ỉệ ề ểẹễ ỉ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¾ à ÐÙ ề è é ữ ỉ ề ắ ẹ ể ề Đ Ị ØỊ ¾ Ø Ð òỊ ÕÙ Ò ôÒ ÄÙ Ò Ò Å Ù Ø n ôÒ X1 , ã ã ã , Xn ữ ì ØƯĨỊ Kº à à ÷Ù K[X] := K[X1 , · · · , Xn ] Ð Ú Ò Mt (K), Mt (K[X]) ÐÒ Ð Ø Ð Ú Ò Đ ØƯ Ị ÚÙ Ị Ơ t Ú Ơ Ị Ø ØƯĨỊ K Ú K[X]º Å ØƯ Ị A ∈ Mt (K[X]) õỊ Ð Đ Ø Đ ØƯ Ị Ị Đ Ø Ø Ø n Ị X1 , · · · , Xn Ú Ĩ Đ Ø Ø ẹ ỉệ ềá ữ ì ỉệũề Mt (K) ề ì Ù ÷Ù Đ Úø Ị Ø d Aα X α , A= |α|=0 ¸ α = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn ¸ |α| := α1 + · · · + αn ¸ X α := X1α1 · · · Xnαn ¸ Aα ∈ Mt (K)¸ d Ð ØƯĨỊ Ị Ø ỊØ Mt (K[X]) Ø ơỊ¸ Ị Ị Ị Ø Ú ØỊ ØƯĨỊ Aº ¸ ÕÙ Ị Ø Đ ơỊ Ø Ị Ị Ø ØƯĨỊ ØĨ Ị ÄÙ Ị Ị¸ Đ Đ ØƯ Ị ØƯĨỊ Đ ØƯ Ịº òỊ Ù ùỊ Ý ½º Ø Ð Đ Ø Ĩ Ĩ ÄÙ Ị Ị Ð Ø Đ ØƯ Ị¸ Ú ØĨ Ị Ĩ ¸ Ø Ù Ị Ø ÷Ị Ĩ Ị ØĨ Ị Ð òỊ ÕÙ Ị ØƯĨỊ Đ ØƯ Ị Đ Ø ÌƯĨỊ Ơ Ị Ị Ý Ị Ø ØỊ Ü Ø Ø Đ ØƯ Ị Ị Ị Ùº Ơ Ị Ư òỊ ÷Ø Ị ẹ ỉệ ề ễ ề ỉ ì ỉ × Ùº ơỊ Ý Đ Ø × Ú Ị ó Ð òỊ ÕÙ Ị ơỊ Ø Đ ØƯ Ị Đ Ø ơỊ¸ Ø Ð P (z) = Ad z d + · · · + A1 z + A0 , ỉệểề ázé ỉ ụề ì Ai Mt (C), ∀i = 0, , dº Ø Đ ØƯ Ị Đ Ø ơỊ Ð × Đ Ư Ị Ø Ị òỊ ØƯ Ị λIt − A Đ Ø Đ ØƯ Ị A ∈ Mt (C)¸ ØƯĨỊ It Ð Đ ØƯ ề ề ỉệểề Mt (C) ặụ Ad = 0á Ø ø P (z) Ø Ø Đ ØƯ Ị dº Ã Ð Đ Ø Ad = It ¸ P (z) Ò x ∈ Ct Ú λ ∈ C × Ĩ Ĩ P (λ)x = 0¸ Ø ø λ Ð Đ Ø Ú Ø Ư òỊ P (z) Ø Ị Ị Ú Ð Đ Ø Đ ØƯ Ị ĐĨỊ º Ỉ Ø Ị Ø Ư òỊ Ỉ Đ Ø Ú Ø P (z)¸ Ú Ú Ý¸ Đ ØƯ Ư òỊ P (z) x ØƯ Ư òỊ ÷Ù P (z) Ð Đ Ø Ị σ(P (z)) Ú Ø ÷Đ Ð Ơ Ð Đ Ø ØƯ Ư òỊ λº ØƯ Ị Ø(P (z))º Ì Ơ Ø Đ ØƯ Ị P (z)º ØĨ Ị ØƯ Ư òỊ Ø ´ÈĨÐÝỊĨĐ Ð ỊÚ ÐÙ ÈƯĨ Ð Đ ¹ È Èµ Ð ØøĐ Đ Ø t Đ Ø Ú Ø Ị x ∈ C × Ĩ Ĩ P (λ)x = 0º ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ơd=1 Ị Ø Ư òỊ Ø Ị ÕÙ Ø Ax = λBx À ỊỊ ¸ Ị A1 = It Ø ø Ị Ø ØĨ Ị ØƯ Ơ ØƯ Ư òỊ λ Ú ØĨ Ị ØƯ ØƯ Ư òỊ Ù Ị Ax = λx ØĨ Ị ÷Ø ØƯ Ư òỊ ´ÉÙ Ư Ø ỊÚ é ẩệể é ẹ ẫ ẩà ỉ ề ề Ú ØƯ Ị Ø Đ ØƯ Ị Đ Ø ơỊ Ị óÙ Ị Ị ØƯĨỊ ÐúỊ Ú Ị Ơ Ị ØỊ Ú Ơ Ị ¸ Ø Ù Ø Ï ề ệạểễ é ỉ íụỉ ệề ỉự ì ề ỉệứề ẵ ễ d = 2º Ị¸ Ð Ø ÙÝ Ù Ø òỊ Ú Ý Ị ½ Ø Úó Ø Đ ØƯ Ị é ệ ị ệá ề ề ểéé ệ ẵ ề ẹ ẵ ề ìỉ ệ ắ ℄ Ị Đ º òỊ Ị Úó Ị Ị ¸ Ị ØĨ Ị Ị ØƯ Ư òỊ É È Ị óÙ Ị É È ØỊ À Đ ƯÐ Ị ¸ ềệể è ìì ệ ẵ ỉể ề Ù Ø òỊ Đ ØĨ Ị ½º Ị Ø Ĩ P (z) = Ad × Ĩ Ĩ zd Ị Ú Ĩ Ĩ Ý ØƯĨỊ Ù Ị × Ị Ú ËÙ ℄ Ø Ơ ØỨỊ Ị Ú Ĩ Ư Ị ệ ề ìỉ ệ ấể ẹ ề ½ ℄¸ Ị Ø Ù Ø ØĨ Ị òỊ Ù ØƯĨỊ ÄÙ Ị Ị Ị + · · · + A1 z + A0 Ð Ñ Ø Ø Ø Ù Øº Å Ø Ø Ị ÕÙ Ị ØĨ Ị É Èº × Ùº Đ ØƯ Ịº ûƯ × mÚ M Ø Ø m ≤ |λ| ≤ M, ∀ λ ∈ σ(P (z)), Ø Ð ûƯ ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ã Ý Ị Ị Ø Ø Ĩ Ơ t = 1á ỉ é ỉệ ũề ề ú ề ẵá ¿¿℄¸ ÂĨÝ Ð¸ Ä ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ø Ø Ĩ è ìì ệ ễ ẹ ề ắ ễ t > 1á ữ ỉứẹ ỉ ỉỉ ề ể ẹ ỉ ụề ữì ễ í ÕÙ ĨÚ Ð Ø Đ ØƯ Ị¸ Ø í ẵá ỉ ỉệứề í ẹ ỉ × Ú Ị ó Ð òỊ ÕÙ Ị ơỊ Ø Ơ t = 1¸ Ø Ð Ü Ø Ø × ơỊ Ð Ị i=1 Ị Ị × Ị Ø Ị ØƯĨỊ Rn Ü Ị Đ Øº ÷Ù fi2 |fi ∈ R[X], n ∈ N , ØƯĨỊ R[X] Ị G m MG = {t0 + Đ ÙỊ Ị Ị Ø ØƯòỊ R[X] i=1 ti gi |ti ∈ σ=(σ1 , ,σm )∈{0,1}m Ø óỊ Ø Ø Ị Ị Ø ØƯòỊ R[X] MG ⊆ TG ¸ Ú R[X]2 , i = 0, , m}, G TG = { Ư Đ ØƯ Ị × KG = {x ∈ Rn |g1 (x) ≥ 0, , gm (x) ≥ 0}, Ø ƠỊ Ĩ Ù Ị Ĩ À Đ Ú Ì ìì ệ ỉể ề ẵá ệ ềẹ n ứề ễ ề ìỉệÔểẹ ẹ ụề R[X]2 = ễ Ø Ị ØĨ Ị Ị Ý Đ ØƯ Ị P (z) Ø Ý ØƯĨỊ ÕÙÝ ×Ĩ × Ị Ú Ĩ f ∈ R[X] := R[X1 , , Xn ], G = {g1 , , gm } ⊆ R[X]º Ã Ø ễ á ỉệ ệ ũề ỉ ữề Ú ØỊ Ị Ø ØƯĨỊ ÄÙ Ị Ị Ð Đ ØƯ Ị Ị óÙ ÌƯĨỊ Ơ Ị Ị Ý Ị ỉ ẵ èệ ỉ ũềá ĩ ỉ ỉệ ề P (z)º ¸ Ø ư Ư ÐÐ Ú Ê ØƯ Ư òỊ Ø Ị ØĨ Ị ´ØĨ Ị Ø µ ẹ ỉệ ề ữ ì ắắ ự ựề Ù Ø òỊ ¾º ØƯ Ư òỊ σm |tσ ∈ tσ g1σ1 gm R[X]2 }, Gº G = ∅ Ø K∅ = Rn , M∅ = T∅ = ¾ R[X]2 ơỊ Ð Ị Ị õØ Ð Ý Ị f ∈ TG ´ óÙ Ị Ý Ị Ý MG ) Ø ø f ≥ ØƯòỊ KG º Ị Ĩ ¸Đ Ø Ù Ø Ị òỊ Ø Ư Ð óÙ Ị Ì Ð ¸ f ≥ ØƯòỊ KG =⇒ f ∈ TG ´ Ý MG )? Ò Ð ừề ề ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉịàá ừề ề ẹ ặ ỉề ỉ ìỉ éé ềì ỉịà èệểề ẹ ỉ ì ỉ é ữ ề ềá ắàá ỉ ỉ ỉ ề ề é ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉị ể ỉệểề ỉể Ò ÐÙ Ò Ú Ò Ò Ø Ø Ò Ò ỉ ề ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉị ề é ừề ề ặụ ỉệ é é ÌƯĨỊ ØƯ Ị ¸ Ị Ơ Ị Ø Đ Ø ỉệ ề ể ễ ẵ ẳẳá é × Ừ Ư ơỊ Ú Ư Đ Ø Ị × Ị Ý Ơ ØĨ Ị Ø R[X]º à ề í ữỉ ẵ ỉ é ệỉ ẵ f ậ ỉ ề ì ề é ẹ ắ ệỉ àá ỷ ệ ệ ề èể ề Ø ØĨ Ị Ø Ĩ f ∈ R[X]º ữ k fi gi i=1 ặụ f ỉệũề Rn ìí ệ R[X]2 ? ỉệểề ì ỉệũề ỷ ề ỉệểề ỉ ỉ ẩ ệìề ẹ ỉể ề ỉ ẵ ỉệểề ì R(X)2 = ề é ì ề ề ỉ ỉ í ữỉá G = ∅¸ Ø Ù f ≥ ØƯòỊ Rn =⇒ f ∈ Ù ØƯ Ð Ỵ ÷ Ị òỊ Ù Ị Ð ØĨ Ị Đ ẹ ề ỉ ềá ữ R(X) é ỉệ ề Ø Ò Ú Ò |k ∈ N, fi , gi ∈ R[X], gi = 0, i = 1, · · · , k Ø Ý Ị f∈ õỊ ØĨ Ò Ø Ò Ù Ò Ú ØÖ ÕÙ Ò ØÖ Ị ØƯĨỊ Ø Ð ØĨ Ị ØøĐ ØĨ Ị Ø ỉ ẳẵà ề ễ G = ∅, KG = Rn ¸ ØĨ Ị ØƯòỊ Ð Ø Ị óÙ Ị Ị òỊ Ù ÕÙ Ị Ø Đ Ø ÐúỊ Ú Ị ÙỊ × Ü Ị Ú Ð Ø ÙÝ ØĨ Ị Ø º ÌƯĨỊ ề é ẹ ỉ ỉ ề ú ụềá ìì ƯƯ Ù Ø òỊ Ø ơỊ Úó Ị Ị Ị¸ ắ ỉ R(X)2 f R[X]á G KG Ü Ị Ị ØƯòỊº ÌƯĨỊ ØƯ ØĨ Ị Ø Ù Ø Ị Ư Ị Ù º ¾ ℄Ð Ị Ị Ð Ị x∈KG ØĨ Ị Ø Ù ¸ ÕÙÝ Ĩ Ị Ø f ∗ = inf f (x), Ú Ơ Ị ÕÙ ØƯ Ø ẹ ỉ ề é ừề ẳẵà ỉ Ú Ð × Ø Ị Ý ÈÙØ Ị Ư ¿ ℄ Ø Ð Ơ Đ Ø ØĨ Ò Ø Ù Ø º Ë Ù Ý Ò Ø Đ Ị Ư Ị ØƯĨỊ Ú ÷ ÕÙÝ ØĨ Ị Ø Ù Ø ´Ü и Ý Ị Ị Ị f ∗ = inf f (x) = sup{λ|λ ≤ f (x), x ∈ KG } x∈KG = sup{λ|f (x) − λ ≥ 0, x ∈ KG } = sup{λ|f (x) − > 0, x KG } ặ ỉ ụá ữ ỉứẹ f íửề ì ề ỉứẹ ×ÙƠƯ ĐÙĐ × λ × Ĩ Ĩ f − λ ØƯòỊ KG º ÕÙÝ ØĨ Ị Ị ݸ Đ Ø ØƯĨỊ Ị Ị Ø Ị Ð Ø ÝØ ụ ề ẹ ể ề ú ữề ề ẹ ẹ ỉ ú ữề ề ể ề ì ề ẫí ể ề ẻ ỉ ề ề ềá ỉệểề ĩ Ø Ị øỊ Ơ Ị ¸ Ø ỉ ụễ ề ề ề ậ ẩà Đ Ø ØƯĨỊ Ị Ị ưỊ Ð Ị óÙ Ị ÷Ị f − λ ≥ ØƯòỊ KG Ð Ü Ø õỊ f − λ m f − λ = t0 + ØƯĨỊ ti ∈ R[X]2 º Ì é ề ề ụề ữ ĩ ỉ ỉể Ị Ð Ị óÙ ti gi , i=1 ÷Ị f − λ ≥ ØƯòỊ KG Ø Ị f − λ ∈ MG º óÙ Ị Ý f sos,G = sup{|f MG } ẳắà f sos,G f ∗ º À Ị Ị Ê Ư Ị ¸ ÒôÙ f − λ ∈ MG Ø ø f − λ ≥ ØƯòỊ KG º Ĩ õỊ Ị Ĩ Ø f − λ ØƯòỊ KG Ø ø f sos,G = f ∗ º Ị Ị ơỊ Đ Ø ÉÙÝ Ĩ Ị ÌÙÝ Ị òỊ Ú ÷ ØøĐ f sos,G Ø ti ØƯĨỊ õỊ f − λº Ị Ị Ü Ị ¸ ¸ Ị Ø Đ Ø Úø Ị Ø Đ Ø ÉÙÝ Ĩ Ị Ü Ị Ð Ị Ị ¸ Ị Ị Ø Ü Ø × Ị ÙÝòỊ k Ú 2k ≥ max{deg(f ), deg(g1 ), , deg(gm )} Ø ØĨ Ị m fksos,G = sup{λ|f − λ = t0 + fksos,G à i=1 R[X]2 , deg(t0 ), deg(ti gi ) ≤ 2k} ti gi , ti ∈ ØùÒ ÕÙ ẹ ỉ ẫí ể ề ĩ ề ềề ẳà ¸ sos,G fksos,G ≤ fk+1 ≤ f sos,G ≤ f ∗ Ú lim f sos,G k→∞ k = f sos,Gº Ì ơƠ Ø Ĩ Ị Ø Đ Đ Ịº Ị Ø Ị Ø ØĨ Ị Đ Đ Ị ´ Ø ÷Ù Ú ØƯ Ị Ð ØĨ Ị Đ Đ Ị Ơ Ø Ị õỊ Ị ØƯĨỊ Ú ữ ì ề ẵà ễ ụẹ ẹ ỉíụề ỉựề º À f ∈ R[X1 , , Xn ]¸ Ĩ K Ð Đ Ø Ø Ơ ĨỊ Ị ØƯĨỊ Rn º Ð ÷Ù Ø Ị Ø Đ Ø Ĩ ĨƯ Ð Ị µÚ L(f ) = ÕÙÝ ØĨ Ị Ĩ L : R[X1 , , Xn ] → R Ð Đ Ø ØƯĨỊ K × Ĩ Ĩ Ú Đ f dà? K é ề ẵ ắẳà × Ùº Ư Đ Ø Ị Ð ½ ´À Ú é ề ắẳà K ì ể ể ẹ ú óÙ ÷Ị Ị Ú f ∈ R[X1 , , Xn ] ỉ ữề ề ểì ỉ ềỉ ửỉ ềỉ L(f ) = Đ Ø Ĩ ĨƯ Ð Ĩ ề àá ỉ ề ề ỉệểề ềề Ĩ ØƯĨỊ f dµ K Ð L(f ) ≥ Ú Ú Ị Đ f ≥ ØƯòỊ K º Ú Ø Ơ Ø Ơ ĨỊ Ị ØƯĨỊ Rn Ị K = KG ¸ Ú G Ð Đ Ø Ø Ơ ĨỊ Ø R[X]¸ Đ Ø Ị ØĨ Ị Đ Đ Ị Ơ Ø Ị × Ùº Ù Ị ¾ Ë Ơ Ị ÌƯĨỊ Ơ º ØƯ Ị ØƯ Ư òỊ Ị Ị Ý Ị Ø Ị Ø Đ ØƯ Ị òỊ Ù × Ơ Ị Ị Ư Ý Ø Ð Ơ Ĩº ÕÙ ùỊ ỉệểề ề ề í ắẵ ề ẹ ỉệ ề ề é ỉệ ệ ũề ề ìỉệÔểẹạ ỉệ ệ ũề P (z) Ø Đ ØƯ Ị Đ Ø ơỊ Ý Ó P (z) = Ad z d + Ad−1 z d−1 + · · · + A1 z + A0 é ẹ ỉ ữ ì Ai Mt (C) ỉ Ñ Ò Ad Ad−1 · · · A0 0; Ad ≻ ¸Đ Ø Ú Ĩ Ù Ị Đ ỉệ ề ữ ì ỉ ẹ ề ỉ ề ỉệểề ỉ úề ề ễ ẹ ẵ ề é ắẵắ Ø Đ ØƯ Ị Ú Đ ØƯ Ị Ñ Ò λmin (A0 ) ≤ |λ| ≤ 1, 2λmax (Ad ) ØƯĨỊ ¸ λmin (A0 ) Ð ØƯ Ư òÒ Ò Ò Ø A0 Ú λmax (Ad ) Ð ề é ắẵ ỉệ ệ ũề é ề ề ỉ Ó P (z) = Ad z d + Ad−1 z d−1 + · · · + A1 z + A0 é ẹ ỉ ữ ì Ai Mt (C) ỉ Ñ Ò A0 A1 · · · Ad ≻ à ¸Đ ØƯ Ư òỊ λ P (z) Ø Ø Đ ØƯ Ị Ú Ad º Đ ØƯ Ị ẹ ề || ề é ắẵ ể P (z) = Ad z d + Ad−1 z d−1 + · · · + A1 z + A0 Ð Đ Ø Ø Đ ØƯ Ị Đ ØƯ Ị ÷ × Ai ∈ Mt (C) Ð Ü Ị Ị º Ỉ λ ∈ C Ð Đ Ø ØƯ Ư òỊ P (z)¸ Ø ø i=0, ,d−1 λmin (Ai ) λmax (Ai+1 ) ≤ |λ| ≤ ½ max i=0, ,d−1 λmax (Ai ) λmin (Ai+1 ) ¾º¾ Ị Ð Ị Ù Ý Ĩ Ø Đ ØƯ Ị ề é ắắẵ A0 ề ể P (z) = Ad z d + Ad−1 z d−1 + · · · + A1 z + A0 Ð Ñ Ø º Ĩ r, R Ø Ị Ị Ð Ị ÷Đ Ị Ø Ø Đ ØƯ Ị Ú −1 h(z) = Ad z d + Ad−1 z d−1 + · · · + A1 z − A−1 Ú g(z) = A−1 d à ¸Đ ØƯ Ư òỊ λ P (z) Ø Đ ØƯ Ị Ad −1 d z − Ad−1 z d−1 − · · · − A0 Đ Ị r ≤ |λ| ≤ R Ị Ð ¾º¾º¾º Ị Ĩ P (z) = Ad z d + Ad−1 z d−1 + · · · + A1 z + A0 Ð Ñ Ø ÷Ù M := A−1 max Ai d ºÃ Ø Đ ØƯ Ị Ú Đ ØƯ Ị Ad Ø Đ ØƯ Ị Ú Đ ØƯ Ị Ad i=0, ,d−1 à ¸Ø Ø ØƯ Ư òỊ P (z) Ị Đ ØƯĨỊ ú Đ K o (0, + M ) = {z ∈ C| |z| < + M } Ị Ð ¾º¾º º Ị Ĩ P (z) = Ad z d + Ad−1 z d−1 + · · · + A1 z + A0 Ð Ñ Ø ¸Đ ØƯ Ư òỊ P (z) ØƯĨỊ ú Ị ºÃ K(0, r1 ) = {z ∈ C| |z| ≤ r1 }, ỉệểề áM ĩ ề ề ỉệểề ề é ắắắá Ú r1 Ð Ị ÷Đ Ị Ð ỊỊ Ø Ơ Ò ØÖøÒ z d+1 − (1 + M )z d + M = Ị Ð ¾º¾º º Ị ºÃ Ó P (z) = Ad z d + Ad−1 z d−1 + · · · + A1 z + A0 Ð Đ Ø ÷Ù Ai A−1 α′ := max d Ø Đ ØƯ Ị Ú Đ ØƯ Ị Ad i=0, ,d−2 à ¸Ú Đ ØƯ Ư òỊ λ |λ| ≤ Ị Ð ¾º¾º º Ị ºÃ P (z) Ø + Ad−1 A−1 + d − Ad−1 A−1 d 2 + 4α′ Ó P (z) = Ad z d + Ad−1 z d−1 + · · · + A1 z + A0 Ð Ñ Ø Ø ÷Ù γ := max (Ad−i − Ad−i−1 )A−1 , A−1 := d Đ ØƯ Ị Ú Đ ØƯ Ị Ad i=1, ,d à ¸Ú Đ ØƯ ệ ũề || ề é ắắẵẳ ề ÷Ù P (z) Ø + (Ad − Ad−1 )A−1 + d − (Ad − Ad−1 )A−1 d Ó P (z) = Ad z d + Ad−1 z d−1 + · · · + A1 z + A0 Ð Ñ Ø δ′ := max i=0, ,d−1 Ø + 4γ Đ ØƯ Ị Đ ØƯ Ị Ad −1 (Ad−1 A−1 , A−1 := d )Ai Ai1 Ad ẵ áẹ ỉệ ệ òỊ λ P (z) Ø Đ Ị √ |λ| ≤ (1 + + 4δ′ ) Ò Ð ắắẵắ ề ữ ể P (z) = Ad z d + Ad−1 z d−1 + · · · + A1 z + A0 Ð Ñ Ø ǫ′ := à ¸Ú Ñ P (z) Ø |λ| ≤ + √ ề é ắắẵ A0 ề ẹ ØƯ Ị Đ ØƯ Ị Ad −1 , A−1 := (It − Ad−1 A−1 d )Ai + Ai−1 Ad max i=0, ,d−1 ØƯ Ư òỊ λ Ø Ĩ P (z) = Ad z d + Ad−1 z d−1 + · · · + A1 z + A0 Ð Ñ Ø ºÃ ÷Ù Ai A−1 A′ := max d Ø Đ ØƯ Ị Ú Đ ØƯ Ị Ad i=0, ,d−1 à ¸Ú Đ ØƯ Ư òỊ λ P (z) Ø −1 Ad A−1 ≤ |λ| ≤ + λ0 A′ , 2(1 + A′ )d−1 (A′ d + 1) ØƯĨỊ ¸ λ0 Ð Đ Ø Ị Ị Ð ắắẵ A0 ề ữẹ ễ ề ỉệứề x = − (A′ x+1)d Mp := p Ai p , Mp′ := Đ ØƯ Ư òỊ λ Ai p i=1 q −q (Mp′ )q + A−1 ËĨ × Ị Đ ØƯ Ị Đ ØƯ Ị Ad P (z) Ø A−1 ¾º¿ Ø p d i=0 ¸Ú Ĩ Ị (0, 1)º Ó P (z) = Ad z d + Ad−1 z d−1 + · · · + A1 z + A0 Ð Đ Ø Ĩ p, q > × Ó Ó 1p + 1q = 1º à ÷Ù d−1 à Ị Đ ØƯĨỊ −q < |λ| < + Mp A−1 d q q Ị ÌƯĨỊ Å ¾º½ Ú Å ¾º¾ Ị Ø ØƯ Ịº ÌƯĨỊ Ơ Ị Ị Ý Ị Ø Ð Ơ Ø Ð Ơ Đ Ø × Ị Ĩ ØƯ Ư òỊ Ị Úó Ị ØƯòỊ Ú Ị Ĩ ØƯ Ư òỊ Ø Đ Ø Đ ØƯ Ịº Ì ¸ Ị Ø Ø ×Ĩ × Ị Ị Ị Ý ề ệ ẹạè ìì ệ ắắ ỉệũề Ò Úù º ØùÒ ØÓ Ò Ò Ý Ø ÷Ị Ø Ị ÕÙ Ơ Ị ĐóĐ Đ Ị Ù ề ẹ ầ è ẻ ệì ểề º¼º ØĐ Ø Ø Đ ØƯ Ị P (z) ì 5á d = ẹ ỉệ ề ữ ì é Ai = 10i3 rand(5), i = 0, · · · , 8; A9 = rand(5), ØƯĨỊ rand(5) ÷Ù Ĩ Đ Ø Đ ØƯ Ị Ị Ù ề ũề ì ỉ ễ ẵ ềễ ề ặ(0, 1) ú ỉệ ễ ắ ắà ắ ắẵẵ ắẵ ắ ẵẳ ắ ẵ ẵ ẵ ắ ẵ ¾ ×106 Ù Ị¾ Ị Ð Ù Ý Ơ Ị ể Pá ề ắ ì106 ề é í ễ ề ể PU ề ắ ì106 ẵ ẵắ ẳ ề ềắ ì106 ềắ ì106 ề ắẵ ề é ằữ ế ỉệ ẵ ắắá ắắ ẵ ắắ ắắ ắẵ ắắ ắắẵ ắắ ắắẵẳá ắắẵắ ẵ ắắ ì106 ẳẵ ắ ắ ắà ắ ắ ắ ẵ ắ ắẵ ẵ ềắ ì106 ềắ ềắ ễ ềắ ì1010 ềắ ề ắá ễ ì107 ỉệ ẳ ắ ắắẵẵ ẳ ắắẵ ẳ ì105 ì105 ỉ ỉệểề ề ề ềắ ì1010 ắắ ắắ Ị ØƯòỊ Ị ×10−10 ×10−5 Đ Ú Ì ×× ÙƯ ề ì106 ề ắ ề é ềắ ì106 ỉệ ềắ ì106 ề ắắ ắắ ỉ ễ ắắắá ắắ ú ề ỉệũề ề ễ ề Ị Ĩ CL Ø À Đ Ú Ì ×× ÙƯ Ù Ị¾ Ù Ị¾ Ù Ị¾ Ị ¾º Ị Ø ½ ØƯĨỊ ÄÙ Ị Ị Ị ¿ Ị Ð õỊ ÕÙ ùỊ ØƯĨỊ ¿º½ Ị Ị Ị Ý Ị Đ ØƯ Ị Ị Ø Ị ỉệểề ể ẵắá ẳ ề é ẩỉ ề ệạẻ ì é ì ữ ế ẵẵ ề é ẩỉ ề ệạẻ ì é ì á f R[X] ỉ ẹ ỉệ Ò Ò Ò Ø ÙÒ Ò × deg(f ) = 2d, deg(gi ) = 2di , i = 1, , m ỉà ữ ể G = {g1 , ã · · , gm } ⊆ R[X] Ú d′ := max{di |i = 1, · · · , m} Ỉ f > ØƯòỊ KG Ú f2d > ØƯòỊ (KG )2d′ \ {0}¸ Ø ø Ø Ị Ø Đ Ø × Ị ÙÝòỊ r ≥ × Ĩ Ĩ (1 + X12 + · · · + Xn2 )r f MG ẵà ề é ẵắ ể G = {G1 , · · · , Gm } ⊆ St (R[X]) Ú F ∈ St (R[X])º 2di , i = 1, , mº à ÷Ù d′ := max{di |i = 1, · · · , m} × Ư Ị F ≻ ØƯòỊ KG Ú F2d ≻ ØƯòỊ (KG )2d′ \ {0}º Ã Đ Ø Ø Ơ ĨỊ ề G R[X] áỉ ềỉ ì deg(F) = 2d, deg(Gi ) = Đ Ø × Ị ÙÝòỊ ´µ Đ Ø Ø Đ ØƯ Ị X ∈ Mt (R[X]) × Ĩ Ĩ (1 + X12 + · · · + Xn2 )r XFXT ∈ (MG )t ⊆ MG ´ µ Đ Ø Ø ÌƯĨỊ ØƯ Ị Ị ẹ rá ề b R[X] ì ể ể b2 (1 + X12 + · · · + Xn2 )r F ∈ (MG )t ⊆ MG º Ô G = ∅¸ Ø ø M∅ = T∅ =: t R[X]¸ ØƯĨỊ ¸ k R[X] = t à ¸ Ị Ø Ị ĨƯĨÐÐ ƯÝ º¿℄µº i=1 Ị ATi Ai : Ai ∈ Mt (R[X]), i = 1, , k, Ú Ñ ỉ ữ ế é ề ẹ ỉệ ề ẵ k Ð × Ø Ị òỊ Ị Ĩ Ị Ð ừề ề ấ ịề ẳá ữ ế ẵ F2d Ó F ∈ St (R[X]) Ð Ñ Ø Ø Ñ ØƯ Ị Ü Ị n ≻ ØƯòỊ R \ {0} ỉ ề ỉ ẹ ỉ ì ề ÙÝòỊ Ị ĐrÚ ´µ Đ Ø ´ µ Đ Ø ¿º¾ Ø Ø Đ ØƯ Ị X ∈ Mt (R[X]) × Ó Ó (1 + X12 + · · · + Xn2 )r XFXT ∈ Ò b ∈ R[X] × Ó Ó b2 (1 + X12 + · · · + Xn2 )r F ∈ Ị Đ ØƯ Ị ữ ế ắẵ ề é ề é ềìểềạẩể 2dº × F ≻ ØƯòỊ Rn Ú t R[X]; t R[X] ềìểềạẩể ề ỉà ể G = {g1 , · · · , gm } ⊆ R[X] Ú ÷Ù := max{di |i = 1, · · · , m} ặụ ẹ ỉ ì ề íũề ề ẹr Ò Ø ÙÒ Ò f ∈ R[X]º × deg(f ) = 2d, deg(gi ) = 2di , ∀i = 1, · · · , mº à n f > ØƯòỊ R+ ∩ KG Ú f2d > ØƯòỊ Rn+ ∩ (KG )2d′ \ {0}¸ Ø ø Ø Ị Ø Ị Đ× Ĩ Ĩ Ø h1 , · · · , hm R[X] ữ ì d m (1 + X1 + · · · + Xn )r f = gi hi i=1 Ị Ð ¿º¾º¾º Ĩ G = {G1 , · · · , Gm } ⊆ St (R[X]) Ú F ∈ St (R[X])º × deg(F) = 2d, deg(Gi ) = ′ ÷Ù d := max{di |i = 1, · · · , m}º Ỉ F ≻ ØƯòỊ Rn+ ∩ KG Ú F2d ≻ ØƯòỊ 2di , i = 1, , mº à Rn+ ∩(KG )2d′ \{0}¸ Ø ø Ø Ị Ø Đ Ø × Ị ÙÝòỊ Ị Đ r ¸ Ú Đ Ø Ø Ơ ĨỊ Ù Ị G = {g1 , · · · , gk } ⊆ R[X] Ú ´µ Ø Đ ØƯ Ị Ị Mt (R[X]) × Ĩ Ĩ Ü Ò Ò H1 , · · · , Hk ∈ St (R[X]) Ú Đ Ø Ü Ị Ĩ P ⊆ Rn Ð Đ Ø Ø Ị k Ị é ề ữề é ểẹễ ỉ ỉíụề ØùÒ λ1 , · · · , λm ∈ R[X]º j=1 H′ j gj r b (1 + X1 + · · · + Xn ) F = Ò Đ ØƯ Ị Hj gj ; Ị H′ , · · · , H′ k ∈ St (R[X]) Ú Đ Ø ¿º¿ Đ ØƯ Ị X ∈ k (1 + X1 + · · · + Xn )r XFXT = ´ µ Ø Đ ØƯ Ị Ị b ∈ R[X] × Ĩ Ĩ Ø Ị Ị ÐĐ Ị Ơ Ị ØƯĨỊ Ù j=1 λi ¸ Ư Ò ¸Ú Ò Ø P = {x ∈ Rn |λi (x) ≥ 0, i = 1, · · · , m} ẵ ũề ĩ ề ỉ ì ệ ề ẵ ề ẹ ỉệ ề èệểề ễ Ò Ò Ý {λ0 , λ1 , · · · , λn } Ð Ị Ð À Ị ÐĐ Ị ØƯòỊ n¹ Ị øỊ Ị Ø Ü Ø P é ẹ ỉ nạ ữỉ ỉệ ề ỉ ẹ Pá Ø Ð Đ ´¿º µ λi (X) = 1, λi (vj ) = δij λi (X)vi , i=0 i=0 Ø λi ∈ R[X] Ð ØÙÝơỊ ØùỊ Ú n n X= Ĩ F ∈ St (R[X]) Ð Đ Ø Ị øỊ ØƯĨỊ Rn ûỊ {v0 , v1 , · · · , } Ú Đ ØƯ Ị d > 0º Ị Ø Ø Ú F Ị × Ù Aα X α , F(X) = |α|≤d ØƯĨỊ A Mt (R) ỉ ề ệềìỉ ềạ ị Ö FØ Ò Ò Ú P n Fd (Y ) := Fd (Y0 , · · · , Yn ) := õ Ị Ø Ý Ư Ị Fd (Y ) St (R[Y ]) é ẹ ỉ ữ û Ư Ư Ị Y i vi Aα i=0 |α|≤d Ø α Đ ØƯ Ị Ø ÙỊ Ị n Yi d−|α| ´¿º µ i=0 Ø dº À Ị Ị ¸Ø Ò Ò ÕÙ Ò Fd (λ0 , · · · , λn ) = F(X) Ì Ĩ Ë Ư ệạểé ẹ ỉ ễ ỷ ì = (α1 , · · · , αn ) ∈ Nn ¸ Ị Ø ÷Ù α! := α1 ! · · · αn !; Dα := ∂1α1 · · · ∂nαn ặ íá ề ỉ ỉ ụỉ é Fề ì F(X) = ||d ẻ ềễ ã áỉ ể ậ ệ ệạểé ề ỉ D F(0) α X α! Ò Ò L(F) := max |α|≤d Ị Ð ¿º¿º½º Ø õỊ F= |α|=N +d áẹ D F(0) ||! ì P ⊆ Rn Ð Đ Ø n¹ Ị øỊ Ĩ Ị ØƯòỊ Ú F ∈ St (R[X]) Ð Đ Ø × Ư Ị F λIt ØƯòỊ P Ú λ > ữ L := L(Fd ) d > 0º Đ ØƯ Ị d(d − 1) L − d¸ F Ø N> λ ØƯĨỊ ú Bα ∈ St (R) Ð Ü Ò Bα λα0 ã ã ã nn , ề ắẳ ắ ề Đ ØƯ Ị ÌƯĨỊ Ơ Ị Ị Ý Ì Ĩ ỉ ề ỉ ì ỉ ề é ề ÐĐ Ị ØƯòỊ Ị Ø Ü Ø ÷Ị P Ð ¸ ĨĐƠ Ø Ú m Ị ci ∈ R ì ể ể ì ệ ề ữề é ĨĐƠ Ø Ơ Ị ØƯĨỊ ci λi (X) = 1º Ì Ư Ị ÝĐ Ĩ ci λi λi ´¿º ề ỉ ỉ i=1 m ẵắà i (X) = i=1 À ỊỊ ¸ õ Ị ưĐ ØƯ Ư Ị Ú Đ i = 1, · · · , ná ỉ ề ỉ ể ì ỉ bij R, j = 1, · · · , m × Ó X = λ · BT ÷Ù R[Y ] := R[Y1 , · · · , Ym ]¸ Ú Ü Ø Ã Ò ÙÚ Ò ϕ : R[Y ] R[X], m ẵắà ỷ ệ ệ ề i=1 Yi − ∈ à Ö(ϕ)º Ø r1 (Y ), · · · , rs (Y ) ∈ R[Y ]¸ ẵà ể Yi i (X), i = 1, ã ã ã , m ề ỉ ỉ ì ò Ị I := à Ư(ϕ) ×Ị I := à Ö(ϕ) = r1 (Y ), · · · , rs (Y ) , s ØƯĨỊ ¸ m i=1 Yi Ư Ị − Ð Đ Ø ØƯĨỊ ri Ị Ĩ Ị Ùϕ Đ×Ị Đ Ø ºÃ i=1 Ị ÙÚ Ị Mϕ : Mt (R[Y ]) −→ Mt (R[X]), Ỵ Ñ g(X) = |α|≤d aα X α ∈ R[X]¸ G = (gij (Y )) −→ (ϕ(gij (Y ))) ÷Ù m g(Y ) := |α|≤d Ó F = (fij ) ∈ St (R[X]) Ð Đ Ø Đ fij Ü Ị Ø ri2 (Y )º ÷Ù r(Y ) := aα (Y · B T )α Đ ØƯ Ị Yi d−|α| i=1 ´¿º½ µ ∈ R[Y ] d > 0º à ÷Ù F := (fij ) St (R[Y ])á ỉệểề ẵ µ ó ¿º¿º¿º Ĩ F = (fij ) ∈ St (R[X]) Ð Đ Ø Ø Đ ØƯ Ị d > 0º à ÷Ù F := (fij ) ∈ St (R[Y ])º × F ≻ ØƯòỊ P º Ã Ø Ị Ø Đ Ø × Ø Ị òỊ Ð Ị c × Ĩ Ĩ F + crIt ≻ ØƯòỊ m¹ Ị øỊ Ø òÙ Ù Ị ∆m º Ư Ò F := F + crIt m Yi ¸ i=1 Ị Ø Ị õỊ F Ị Ị Đ Ø Ị Ơ Ø Ð Đ Ø Ø Ø ÙỊ Ị Đ ØƯ Ị Ø ÙỊ Ị Ø Ị × Ù B Y , F= ||d ắẵ ỉ èí ề òỊ¸ Ø ÙỊ Ị Bβ ∈ St (R), Ú Fº Ø Ø ư¸ Ị F Ị Ø m Ø ø Ø ÙÒ Ò Ø Ò Yi Ð i=1 m h F = Bβ Y ( F h h Ó P ¸ ϕ¸ Mϕ ¸ r ¸ F¸ F¸ F Ị λIt ØƯòỊ ∆m Ú Ø λ>0Ị Ĩ õỊ º ØƯòỊ¸ ØƯĨỊ Ø d := (F) Ú L := L(F )º à Ị Ị ØƯòỊ P º × Ư Ị d(d − 1) L − d¸ F N> λ ¸Ú Ị Cαλα1 · · · λαmm , |α|=N +d ¸Đ ¸FÐ Ü h F= ØƯĨỊ ẵ i=1 ||d ề é ắ Yi )d|| β Cα ∈ St (R) Ð Ü Ò Ò º ¿º¿º¿ Å Ø Ø Ù Ø ØĨ Ị ØøĐ õỊ ÷Ị Ð ĨĐƠ Ø ĨĐ Ø ÷Ị Ð λ1 , ã ã ã , m R[X]á ẵ ĨĐƠ Ø P Ú Ị Ị Ĩ Ơ Ị ØƯĨỊ Ø Đ ØƯ Ị Ị Ư Ị ¸ Ị Ị Ị ØƯòỊ Đ Ø Ị Ø ØÙÝơỊ ØùỊ P = {x ∈ Rn |λi (x) ≥ 0, i = 1, · · · , m} ĨĐ Ø Ø Đ ØƯ Ị F = (fij ) ∈ St (R[X]) d>0Ú Ü Ị Ị ØƯòỊ P º Ì Ị Ð ¿º¿º¾ ẵ ề ỉ ệ ỉứẹ õỊ Ĩ F Ị × Ù m i=1 ci λi (X) ẵà èứẹ ì ỉ ề ũề ci R ì ể ể = ẻ ữ ỉứẹ ci ề ơỊ Ĩ Đ Ø ÷Ơ Ị ĐỊ Ị ØỊ ØÙÝơỊ ỉựề ắà ữễ ề ỉệứề ỉíụề ỉựề m i = 1, · · · , n, bij λi (X), Xi = j=1 ØøĐ Đ ØƯ Ị B = (bij )i=1,ããã ,n;j=1,ããã ,m ậ ề ẵ ØøĐ fij )¸ i, j = 1, · · ã , t ậ ề ì èứẹ ẹ ỉ ì c ậ ệÔ ể Ị Ư ØøĐ Đ Ø × {r1 , · ã ã , rs } ể ề ẵ Ü Ý Ị Ø Đ ØƯ Ị Ø ÙỊ Ị h Ơ Ị Ị Ø Ị à Ư(ϕ) Ị Ù Ú Ị ϕº Ð Ị × Ĩ Ĩ F + crIt ≻ ØƯòỊ ∆m º ´ µ ÌøĐ Đ Ø × Ø Ị òỊ λ × Ĩ Ĩ F (y) ´ µ ØỊ λIt Ú Đ h ØF F := F + crIt º y ∈ ∆m º h ẵẳà ỉứẹ L := L(F ) èứẹ Đ Ø × Ø Ị òỊ N > d(d − 1) L d ẵẳà èứẹ ẹ ỉệ ề ữ ì ỉ ẹ ỉệ ề ( ề Ị Đ Ø õỊ Ĩ Fº m N h i=1 Yi ) F ắắ St (R[Y ])á ỉ Ý Yi Ú Ĩ λi (X)¸ Ị Ø Ã ÐÙ ề èệểề ề ề ẵà è ụỉ é ễ ỉ ửá ắẵ ề ỉ ỉ ẹ ỉì ề Ø Ị Ø Ư ¸ ÕÙ ùỊ × Ù Ị ØƯòỊ Ú Ị Ĩ Ị Đ ØƯ Ị Ĩ Ị Ø Ư Đ Ø× ØƯ Ư òỊ ề é ề ìỉệÔểẹạ ề ẹ ỉệ ề ể ắắắá ắắ ắắ ắắ ắắẵẳá ắắẵắá ắắẵ ắắẵ ắắẵ ỉ ỉệểề ề ề Ú Ị Ư À Đ ØƯ Ị Đ Ø Ý ´Ü Đ Ị Ð òỊ ề ỉ ề ụề ề é ắẵắá ắẵá Ý ´Ü Đ Ị Ø Ị Ð ×Ĩ × ề ề ẹ è ìì ệ ắắ ĩ ẹ ắà ắà ệ ẹ é ũề ữ ỉựề Ò Ú Ø ÙÒ Ò Ø Ò ´Ü Ñ Å÷Ị Đ Ø Ø Đ ØƯ Ị ØƯòỊ Đ Ø ỉ ễ ề ú ẵ ẵá ẵ ắá ẵ ẵ ì ề é ẵắàá Ø Ư Đ Ø ×ÙÝ Ư Đ Ø Ị Đ ØƯ Ị Ĩ Ị Ð Ị Đ ØƯ Ị Ị Ð õỊ õỊ ´ µ Ư Đ Ø Ị Đ ØƯ Ị Ĩ Ị Ð ´ µ Ư Đ Ø Ị Đ ØƯ Ị Ĩ Ị Ð À Ị ỉệũề ẹ ỉ ắà è ề ề ừề éẹ Ị¸ ÕÙ ØƯòỊ Ð Đ ¸ Ú Ị Ø Ú Ø Đ ØƯ Ị¸ Ị Ị Ø Ị Ơ Ø òĐ Ú Ĩ Ị Ị Ị Ê ÞỊ ĩ ẹ ữ ế ẵà ề ề ứề ĩ ẹ ề é ẵà ĩ ề ề ỉ ú ÜÙ Ø Đ Ø Ø Ø ØøĐ ÕÙ ựề ỉệểề ề ề ẩỉ ề ệạẻ ì é × Ù ´Ü Đ Ị Ị×ĨỊ¹ÈĨÚ ´Ü Đ õỊ Đ Ø Ị ØƯòỊ Đ Ø õỊ Ị Ý Ĩ ỉệểề ẳắ ỉ ề é ắắà ẹ ỉệ ề ĩ ề ề ữề é ểẹễ ỉ ĩ ẹ ề Ð Ø Đ ØƯ Ị ´Ü Đ Å ¿º¿º¿µº Ĩ ẵắá ẳ ỉ úề ề ễ ề ề ũề Ù Ị ØƯĨỊ Ì Ù Ị Ð õỊ ỉ ỉ íũỉ ẹ ẵ ề ể ú ưỊ Ú ØĨ Ị Đ Đ Ịº Å Ø× Ú Ị óỊ ½º ÌøĐ Ĩ Ị Ð òỊ Ù Ø ơƠ Ø óÙ ÷Ị õỊ Ị Đ Ù Ø ØƯĨỊ Ị Đ ØƯ Ị õỊ ề ẩỉ ề ệạẻ ì é ì ềìểềạẩể º Ỉ ÙÝòỊ Ị Ø ØƯĨỊ õỊ Ị Ú Ø Đ ØƯ Ị ´ ØƯòỊ Ð Ĩ ú ẵ ể ề ẹà ỉệũề ẹ Ø Ø Ơ Ị Ð Ị Ø Ơ Ị òỊ Ùº ¾º ÌøĐ Ị óÙ Ĩ Ị × Ị Ị Ð ưỊ Ú ØƯĨỊ ÐúỊ Ú ¸ Ø Ị Ø Ơ Ị Ø Ø Ĩ ¸Đ Ø Ị Đ õỊ ỊØ õỊ Ị Ø Ị ÝØ Ĩ Ị ể ề ỉ ể ậ ệ ệạểé ắ Ø ℄ Ư ØƯĨỊ ÄÙ Ị Ị Ị ÜÙ Ø ữề ẹ ậ ẹÔ ề ỉ ẹ ỉệ ề ề ỉệũề í ậ ẹÔ ề ẹ ỉệ Ị ØƯĨỊ Ä Ø ÙÝ Ø ÷Ịº Ì Ð ữ ỉ ẵ ẹ ể Ô ệ ệỉ ề ẵ ắ àá ệ ề ỉ ệ ề ỉ ĨỊ Ị Ị ÉÙ Ư Ø ¸ º Å Ø ậ ẹ ề ẹạ ẵẳẳạẵẵ ắ ấ ẩ ệé ề ắẳẳẵàá ỉệ ĩ ỉ ểệ ề ề è ệ ề éíì ìá ậễệ ề ệá ặ ểệ àá ẩểéíềểẹ éì ề ẩểéíềểẹ é ề ế é ỉ ìá ậễệ ề ệạẻ ệé éí ẵ áặ ểệ ề èạ ẹ ẵ àá ĩỉệ ẹ é ễểì ỉ × Đ ¹ ℄ ź º Ĩ ℄ º Ư ƠƯ × ỊØ Ø ĨỊ Ø ĨƯ Đ ĨƯ ÙÐÐ ắẵàá ắ ẹễệ Đ ắẳẳ àá ỉ ẹễệ Đ ắẳẵắàá ấ é é ệ ệ ẹ ềỉ ểệẹìá ỉ ềề ắẵá ẵạẵ ề ế ệ ỉ ẹể é ì ểề ạệ ề ì ểẹ ỉệí ểệ ẹ ỉệ ì ể ệ ểẹẹỉ ỉ ệ ề ìá é ề ệ ạẵẳ é ệ ắẳẵàá ểẹ ềỉ ễệể é ẹì ểệ ểễ ệ ỉểệ ễểéíềểẹ éìá ỉ ẹễệ Đ ề ề é ễễé ẳẵẵàá ẳ ạẵ ỉỉ ề ặ àá ầề ỉ ể é ẵ éể ỉ ểề ể ỉ ị ệểì ể ễểéíềểẹ éá ễễệểĩ è ểệí ắ ắ ẹ ệ ắẳẳ àá ầề ỉ ẵàá ẵạẵ ẵẳ ẩ éể ỉ ểề ể ị ệểì ể ểẹễé ĩ ễểéíềểẹ éìá ề ế é ẩệ ềìểềá ẩể ắẳẵ àá ÇỊ Ị ÜØ Ị× ĨỊ Ĩ È ÐÝ ³× ÈĨ× ỉ ìỉ éé ềì ỉịá éể ễễé ỉ é ầễỉ ẹ ẵ àá ẵ ắ ẵẵ èệ ềì ỉểẹ ỉ ẵắ è ắẳẵ àá ẵ ắàá ẵ ẵạẵ ắ ẵ è ì ẹ ỉỉ ẵ ẵ ấ ề ề ìỉệÔểẹạ ểềỉệểé ắá ắẵ ẵ ắẵ í ỉ ểệ ẹ ểệ ặểỉ ểề ẩểì ỉ ìỉ éé ềìÔỉị ểệ ỉệ ĩ ẩểéíềểẹ éìá ệệ ề ẽ ẹẹ ệ ắẳẳ àá è ũá è ặ íừề ắẳẵ àá ầề ỉ é ệ ắẳẵẵàá ỉệ ì ề ệ ị ệá ẽ ề ề ề ẩệ ììá ểề ểề ề ặ ệ ễ ì ề ấ ể ỉ ểề ể ểẹ ỉệíá ểéé ệ ẵ ểệ ắ àá ẹ ệ ệẹ ỉ ề ễểéíềểẹ é ẹ ỉệ ìá ìỉạẽ ìỉ ỉ ề ÐÙ × Ĩ Å ØƯ Ü ÈĨÐÝỊĨĐ Ð× ÍỊ Úº ẩệ ììá ặ é ẹ ềỉ ệí ẹ ỉệ ìá ắề ểệ ẹ ệ ề ẵ ệ ẩ ề ìỉ ệ ề ấể ẹ ề ẵ ắàá ỉệ ĩ ẩểéíềểẹ éìá ể ẵ ạẻ èạ ể ắẳẵ àá ẩểì ỉ ễểéíềểẹ éì ểề ềểề ề ểẹ ỉệíá ẵ àá ì ì ẹạ é ề é ểệ ỉ ẹ ểệ ỉ èệ ềìá ỉ ậể ỉ àá ệỉ é ẵ ề é ễệể é ẹìá ề ẹ ẩệ ììá ặ ểệ ệ ì ỉìá ề ì ẵẳ ½ ℄ ˺ À Đ ƯÐ Ị ¸ º º ÅÙỊƯĨ Ị ½ ℄ Ị Ư Ø º Ì ìì ệ ắẳẵàá ểẹễé ỉ ìểéỉ ểề ể ế ệ ỉ àá ấ ễệ ì ềỉ ề ễểéíềểẹ éì í ƠĨ× Ø Ú Ð Ị Ư ÙỊ Ø ĨỊ× ĨỊ ĨĐƠ ỉ ểề ĩ ễểéíạ éẹ ề ẵ ệ ẩ ỉ ẵắá ắ ắẳ é ề ẵ àá ầề ỉ ẹ ềì ểềá ẹ ệ ỉ ắẵ ặ ỉ ễễé ỉ ểềìá ậ Šº Å ØƯ Ü Đ Ị ƠƠк ¿ ¸ ạắắ é ệỉ ẵ ìỉệ ỉ ểề ề ỉ ểềì ề ẹểệ ỉ è ìì ệ ắẳẳẵàá ậỉệ ỉệ ẹ ề ¾¾℄ Ỉº º À ¾¿℄ ĐĨĐ ỊØÙĐ ƠƯĨ Ð Đ ểệ ắạ ắ ề é è ìì ệ ắẳẳàá Ô ệ àá ễì ểìễ ỉệ ểệ ễểéíềểẹ é ễễé ắẵàá ẵ ạắẳ ểề ì ểệ ệìỉ éé ềì ỉị ề ểề ề é ễệể é ẹìá ề é ì ể ỉệ ĩ ẩểéíềểẹ éìá Ị Ư Ð Ư Ị Ø Ư ĨƯĐ Ị Ð× ËÙĐĐ ÚĨỊ ĨƯĐ ỊÕÙ Ư Ø Ị¸ Å Ø º ềề ắá ắạ ẳ ắ ểí éá éé ề ẫ ấ ẹ ề ẵ àá ầề ỉ éể ỉ ểề ể ị ệểì ể ễểéíềểẹ éìá ề ỉ éé ẵẳá ề éíì ỉ ẵắá ẳ ạắ ềề ĩ ễệ ểệ ểềề ìá ắ ệ ề ẵ àá ắ ẩ ề ìỉ ệ ẵ àá ẹ ạẹ ỉệ ì ề ệ ỉ ề ìíìỉ ẹìá ẩ ệ ẹểề ẩệ ììá ầĩ ểệ ắ ìì ệệ ắẳẳẵàá éể é ểễỉ ẹ ị ỉ ểề ỉ ễểéíềểẹ éì ề ỉ ầễỉ ẹ ẵẵàá ẵ ễệể é ẹ ể ẹểẹ ềỉìá ậ ắ ệ ềỉ ắẳẳ àá ậẹì ể ×ÕÙ Ư × ĐĨĐ ỊØ Đ ØƯ × Ị ĨỜ ẹ ị ỉ ểề ể ệ ễểéíềểẹ éìá ề ề ễễé ỉ ểềì ể é ệ ểẹ ỉệíá ặ ểệ ậễệ ề ệá ẵ ẵ ạắ ẳ ắ ẳ è ũ ắẳẵ àá ậểẹ ẩểì ỉ ìỉ éé ềìÔỉị ẹ ệ ểệ ễểéíềểẹ é ẹ ỉệ ìá ẩểì ỉ ỉí ẵ àá ẵạ ắ è ũá è ắẳẵ àá ề éẹ ềì ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉị ểệ ÈĨÐÝỊĨĐ Ð Å ØƯ × ÈĨ× Ø Ú Ị Ø ểề ẩểéí ệ ẩểì ỉ ỉí ắắắàá ẳ ẵ ệ ề ẵ àá ểẹ ỉệí ể ễểéíềểẹ éìá ỉ ẹ ỉ é ậệ íì ẹ ệ ỉ ậể á ấ ể ìé ề ắ ệì éé ắẳẵẳàá ẩểì ỉ ễểéíềểẹ éì ề ìẹì ể ìế ệ ìá ậễệ ề ệ ẻ éể ềể ¡ ¸ º ˺ Å ØƯ ỊĨÚ Ị Ì º ź ấ ìì ì ẵ ễệể é ẹìá ề ế é ỉ ìá ệểìá ẽểệé ậ ềỉ ậ ề ễểệ àá èểễ ì ề ễểéíềểẹ éìá ĩỉệ ẹ é º Ỵº Å ÐĨÚ ỊĨÚ ¡ Ị Ì º ź ấ ìì ì ắẳẳẳàá ề ế é ỉ ì ểệ ễểéíềểẹ é ị ệểìá ề ậệ í ểề ì é ÁỊ ÕÙ Ð Ø × ´Ì º ź Ê ×× ìá ểệ ệ ỉ àá ỉ ẹ ỉ ì ề ỉì ắ é ìạ ễễé ỉ ểềì ẵ ẵ ạắẳắá é ệá àá è è ểỉị ề ẵ ậíẹễ ẽệ ỉạẩ ỉỉ ệìểề ặ ìỉ ệể ắẳẳẳàá ậế ệ è è ệé éì ¿ ℄ Ư Ø Đ Ø ¹ ĨĐ ØƯ Ị ế é ỉ ìá ề ề ế é ỉ ì ẳ ậ ì á ìỉ ẵ ạắ ẵ ẹ ẩệ ììá ắẳ ạắắ íá ề ậ ề àá ẩệể ề ỉ ểề é ìíìỉ ẹì ề ểễỉ ẹ ị ỉ ểề ễệể é ẹì ề ệ ề ấểểìá ỉểệìá ẩ ệ ểệẹ ề ầễỉ ẹ ị ỉ ểềá ẳ ẳ é ệ ẹ ẩ ệì Ô ệ ễểì ỉ ẩ éí ẵ ắ àá ệìỉ ééề ểề ẩểéíềểẹ ềá ẻ ệỉ é ì ệ ặ ỉệạ ểệì ì ệ ẵ ẵạẵ ẻ ẩể ệìá ấ ịề ắẳẳẵàá ề ểề ểệ ẩ éí ì ỉ ểệ ẹ ỉ ễểì ỉ ểề ễểéí ệ ẩệ ễễé é ệ ẵ ắắẵạắắ àá ẩểì ỉ ễểéíềểẹ éì ểề ểẹễ ỉ ì ẹ é ẩỉ ề ệ ẵ º ¼℄ ź ÈÙØ Ị Ư Ị Å Ø º ắàá ẵ àá ẵẳ àá ề ểệẹ ắ ậ ệ ệ ắẳẳàá ậẹì ể ìế ệ ì ểề ệ é é ậ ệ ệ ắẳẳ àá ìỉ ề ì ệ ệ ìá ỉ ắ ệ ễệ ì ềỉ ỉ ểềì ể ềểềạề ắ ẳ ỉ ễểéíềểẹ éìá é ệ ắ ẽ ậ ệ ệá ẽ ểé ắẳẳ àá ỉệ ĩ ìẹạể ¹×ÕÙ Ư × Ư Ð Ü Ø ĨỊ× ĨƯ ƯĨ ìỉ ì ẹ ỉ ẩệể ệ ẹ ẵẳ ẵáắàá ẵ ẵàá è ểễ ệ ỉểệ é ệ × Ị Ư ƠƯ × ỊØ Ø ĨỊ Ø ĨƯݺ ầễ ệ ỉểệ è ểệí ệ Ôì ệ ẻ ệé ì éạ ểìỉểềạ ệé ề ạẹểẹ ềỉ ễệể Ð Đ ĨƯ ĨĐƠ Ø × Đ Ð ℄ ú ậ ẹÔ ắẳạắẳ ề ẵ ậ ẹÔ ề ắẳẳ àá ậ ẹÔ ề ắẳẳ àá ặểề ểẹẹỉ ỉ ệ é é ề ẹ ệ ề ắ ẳ ìỉệ ỉ ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉị ểệ ỉ ễễé ỉ ểềì ể é ệ ẽ íé é àá é ìì ể ệ ỉ ềề ẵá ềề ắ ềì ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉịá ẩệ éể é ểễỉ ẹ ị ỉ ểề ể ễểéíềểẹ éì ì ề ìế ệ ìá ậ ầễỉ ẹ ẵ àá ắẳạ ắ ể ệ ắẳẳ àá ậ ểệ ẵ ệ × Ø׸ Å Ø º ¸ º Ư ĨĐ ØƯÝ ìểẹ ì ểề ễỉì ề ệìỉ ì ểẹ ỉệíá ẻểé ỉ ễễé ậễệ ề ệá ặ ểệ ẵ ậ ể ệ ắẳẳắàá ề é ểệ ỉ ẹ ễễệể ỉể ậ ẹÔ é ệ ẵ àáẳ ạẵ ẳ ậ ề ỉ ễệể ệ ẹìá ạắẵẵ ậ ẹÔ ề ẵ ẳàá ề ểề ề ì ề ễễé ỉ ểềìá ẵ ặ ỊỊº Ĩ ỊĨĐ Ị ØĨƯ× Ị À Ð Ừ³× × Ú ỊØ ỊØ ƠƯĨ Ð Đ¸ Å Ø º º ắắẳá ấ ịề ẵ ẹ ềì ểề é ĩỉ ềì ểềá ạẵẵẳ ẵ ề ề ỉ àá ệ ì ỉìá ề àá ậểé ề ẹểẹ ềỉ ễệể é ẹì í ẻ × Ð × Ù ´½ ƠƠÐ Ø ĨỊ× ØĨ ƠĨÐÝỊĨĐ Ð× Ư ỊØ Ø ỊØ Ð × Ị ×ÙĐ× Ĩ ÐĨ Ð Đ Ị ĐÙĐ ĨÙỊ × Ĩ ƠĨÐÝỊĨĐ Ð ÙỊ Ø ểềì ẵạ ắ ễễé í ệề ỉ ì ắ àá ắ ẻ ậ ẹểề ề ẩ ệểỉỉ ắẳẳ àá ầề ỉ ỉể ìỉệ ỉệ é íề ẹ ìá ậ ậ ậề ề Ϻ ź Ë ỊÙĐ Ư Ð ×ĨÐÙØ ĨỊ Ĩ (λ2 A + B + C)x = b ề ểẹễỉ ắá ẵ ạẵ ắẳẵẵàá ầề ỉ ể ỉ ểề ể ệểì ể ẩểéíềểẹ éìá ẹ ệ ễễé ỉ ểề ểẹễ ỉ ẵẵàá ẵạẵẳ ậỉ ề é ẵ ắẳ àá ặééìỉ éé ềì ỉị ề ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉị ề ì ẹ é ẵ ề ỉệ ĩ ểẹ ỉệíá Å Ø º ỊỊº º ĨỊØ ỊÙ ØÝ Ị ÄĨ Ø ĨỊ Ĩ Đ Ưº Å Ø º ËĨ º ½ ệ ề ề é ệểì ể ề ệ àá ậ ắẳẵ àá ễễé ắàá ệ ìỉ é ẵ ểẹ ề ỉ ểềì ể ẩểéíềểẹ éìá ẩệể é ểệ ỉ Đ ĨƯ ÕÙ Ư Ø ¾ ỊÚ ÐÙ ƠƯĨ Ð ẹìá ậ ề ẹ ề ỉệứề ẵà è ứề ắẳẵ àá ặểỉ ểề ẩểì ỉ ìỉ éé ềìÔỉị ể ỉ ẹ ỉ ì ẵ ắàá ẵ ẵạẵ ắ ắà ũ ề èệứề ẩểì Ø Ú ´¿µ Ø Ì Ì Ị Ø ĨỊ ÈĨÐÝ ứề ũ ứề ắẳẵ àá ề ề èệứề ặ íừề èệề ểệ ỉệ ĩ ẩểéíềểẹ éì ìỉạẽ ìỉ ểệề é éẹ ềì ẩểì ỉ ìỉ éé ềì ỉị ểệ ẩểéíềểẹ é ỉệ ì ệ ẩểì ỉ ỉí ắắắàá ØƯ Ü ÈĨÐÝỊĨĐ Ð× ´×Ù Đ ØØ Ð òỊ ÕÙ ề ụề ề ề ẳ ắẳẵ àá ầề Ø ÄĨ Ø ĨỊ Ĩ ỊÚ ÐÙ × Ĩ ... ∈ Ct ¸ |vi | ||Ax||p ||x||p =0 ||x||p ||A||p := max Ì Ị Ị ú ØƯòỊ Ø Ø Ú Ð Ax ||Ax||p = max ||x||p =0 ||x|| ||x||p =0 ||x||p ||A||p := max = max ||Ay||p , Ú ||y||p =1 ẵ t yC p ữ ề ắ ậ ễ Ị ÌƯĨỊ... ì Ai Mt (C) Ð Ü Ị Ị º Ỉ λ ∈ C Ð Đ Ø ØƯ Ư òỊ P (z)¸ Ø ø i=0, ,d−1 λmin (Ai ) λmax (Ai+1 ) ≤ |λ| ≤ ½ max i=0, ,d−1 λmax (Ai ) λmin (Ai+1 ) ¾º¾ Ị Ð Ị Ù í ể ỉ ẹ ỉệ ề ề é ắắẵ A0 Ị Ĩ P (z) = Ad... ØƯĨỊ Ø óỊ Ị Ơ ẹ ẵ ề é ắẵắ ỉ ẹ ỉệ Ị Ú Đ ØƯ Ị Đ Ị λmin (A0 ) ≤ |λ| ≤ 1, 2λmax (Ad ) ØƯĨỊ ¸ λmin (A0 ) Ð ØƯ Ư òỊ Ị Ị Ø A0 max (Ad ) é ề é ắẵ ỉệ Ư òỊ Ð Ị Ị Ø Ĩ P (z) = Ad z d + Ad−1 z d−1 + · · ·