Bài toán quan hệ biến phân và một số vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ BÍCH HẠNH BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TRẦN THỊ BÍCH HẠNH BÀI TOÁN QUAN HỆ BIẾN PHÂN VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Xuân Tấn Thái Nguyên - Năm 2015 Mục lục Mở đầu iv Một số kiến thức 1.1 Nón 1.2 Ánh xạ đa trị 1.3 Tính liên tục theo nón 1.4 Tính lồi theo nón ánh xạ đa 1.5 Tính đơn điệu 1.6 Một số định lý bổ trợ Bài 2.1 2.2 2.3 trị toán quan hệ biến phân số vấn đề liên quan Bài toán quan hệ biến phân Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân Định lý điểm bất động tồn tạị nghiệm toán quan hệ biến phân 2.4 Một số vấn đề liên quan 2.4.1 Bài toán tựa tối ưu loại hai 2.4.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân 2.4.3 Bài toán tựa cân tổng quát Tài liệu tham khảo i 1 9 11 11 15 23 26 26 28 29 31 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan: Bài luận văn tốt nghiệp công trình nghiên cứu thực cá nhân tôi, thực sở nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu khảo sát phân tích từ thực tiễn hướng dẫn khoa học GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu trình bày luận văn hoàn toán trung thực chưa sử dụng để bảo vệ cho học vị nào, phần trích dẫn tài liệu tham khảo ghi rõ nguồn gốc Thái nguyên, ngày 20 tháng năm 2015 Tác giả Trần Thị Bích Hạnh Xác nhận Khoa Xác nhận giáo viên hướng dẫn GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn ii Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Thầy dành nhieuf thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Qua đây, xin gửi tới quý thầy cô Khoa Toán trường Đaị học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên, thầy cô tham gia giảng dạy khóa cao học 2013-2015, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình học tập Trường Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè bạn đồng nghiệp thân mến quan tâm, tạo điều kiện cổ vũ, động viên hoàn thành tốt nhiệm vụ iii Mở đầu Bài toán: Tìm x ∈ D cho F (¯ x ≤ F (x)) với x ∈ D, ký hiệu: min{F (x)|x ∈ D}, đó, D tập không gian X, gọi miền chấp nhận được, F : D → R hàm mục tiêu, đóng vai trò trọng tâm lý thuyết tối ưu Dựa vào cấu trúc tập D tính chất hàm F , người ta phân loại toán thành lớp toán khác Nếu D tập mở, F hàm khả vi, ta gọi toán toán tối ưu trơn Nếu F hàm số đạo hàm, toán gọi toán tối ưu không trơn Trong lớp toán tối ưu không trơn, người ta phân loại thành nhiều toán toán quy hoach tuyến tính, quy hoạch lồi, quy hoạch Lipschits, quy hoạch liên tục, Bài toán tối ưu mở rộng cho trường hợp F ánh xạ từ tập D vào không gian tô pô tuyến tính có xác định thứ tự phần sinh nón Từ khái niệm thứ tự phần này, ta có khái niệm khác điểm hữu hiệu tập hợp như: hữu hiệu lý tưởng, hữu hiệu Pareto, hữu hiệu yếu, hữu hiệu thực sự, Từ đó, ta phát biểu toán tối ưu véctơ khác Cho X, Y hai không gian véctơ tôpô, D ⊂ X tập khác rỗng Cho C nón Y , A ⊂ Y tập điểm hữu hiệu A nón C ký hiệu αM in(A/C), với α = I, P, P r, W, tương ứng loại điểm hữu hiệu lý tưởng, điểm hữu hiệu Pareto, điểm hữu hiệu thực điểm hữu hiệu yếu (các khái niệm trình bày chương luận văn này) Cho F : D → Y Bài toán: Tìm x¯ ∈ D cho F (¯ x) ∈ αM in(F (D)/C) gọi toán tối ưu véctơ α tương ứng với I, P, P r, W Tổng quát hơn, người ta phát triển toán tối ưu với F ánh xạ đa trị gọi toán tối ưu véctơ đa trị Ngoài ra, người ta nghiên cứu toán tối ưu với tập ràng buộc D tập nghiệm tối ưu toán tối ưu khác, toán gọi toán tối ưu hai cấp lý thuyết tối ưu, ta quan tâm đến lớp toán tựa( hay gọi toán phụ thuộc tham số) năm 2001, A.Gueraggio N.X Tấn [4] iv đưa toán sau: A Bài toán tựu tối ưu đơn trị loại Cho X, Y, Z không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y tập khác rỗng C nón Z Cho ánh xạ đa trị S : D×K ⇒ D, T : D × K ⇒ K ánh xạ đơn trị F : K × D × D → Z Bài toán: Tìm (¯ x, y¯) ∈ D × K cho: i) x¯ ∈ S(¯ x, y¯); ii) y¯ ∈ T (¯ x, y¯); iii) F (¯ y , x¯, x¯) ∈ αM in(F (¯ y , x¯, S(¯ x, y¯))/C) gọi toán tựa tối ưu véctơ α tổng quát loại ( α để từ: lý tưởng, Pareto, thực sự, yếu) Kí hiệu toán (GV QOP 1)α Năm 2013, Đ.T.Lục N.X.Tấn [8] nghiên cứa toán tối ưu α tổng quát loại 2, kí hiệụ(GV QOP 1)α Bài toán phát biểu trường hợp lý tưởng sau: B Bài toán tựu tối ưu đơn trị loại Cho X, Y, Z không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y tập khác rỗng C nón Z Cho ánh xạ đa trị S1 , S2 : D ⇒ D, T : D × K ⇒ K ánh xạ đơn trị F : K × D × D → Z Tìm x¯ cho: i) x¯ ∈ S1 (¯ x); ii) F (y, x, x¯) ∈ αM in(F (y, x¯, S(¯ x)+C) với x ∈ S2 (¯ x), y ∈ T (x, x¯) gọi toán tựa tối ưu α loại Trong lý thuyết tối ưu, toán tối ưu có liên quan mật thiết đến toán cân bằng, với lớp toán cân bằng, ta xét toán sau: C Bài toán điểm cân vô hướng v Cho D tập khác rỗng không gian X, f : D × D → R, f (x, x) = 0, ∀x ∈ D Bài toán tìm x¯ ∈ D cho: f (¯ x, y) ≥ 0, ∀y ∈ D Tương tự toán tối ưu, người ta xét toán tựa cân bằng, cụ thể toán sau D Bài toán tựa cân lý tưởng đơn trị loại Cho X, Y, Z không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y tập khác rỗng C nón Z Xét ánh xạ đa trị S, T : D ×K ⇒ D ánh xạ đơn trị F : K × D × D → Z thỏa mãn F (y, x, x) ∈ C, với (x, y) ∈ D × K Tìm (¯ x, y¯) ∈ D × K thỏa mãn: i) x¯ ∈ S(¯ x, y¯); ii) y¯ ∈ T (¯ x, y¯); iii) F (¯ y , x¯, x) ∈ C, với x ∈ S(¯ x, y¯) Bài toán gọi toán tựa cân loại ký hiệu (IQEP 1) E Bài toán tựa cân lý tưởng đơn trị loại Cho X, Y, Z W không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y, E ⊂ W tập khác rỗng Cho ánh xạ đa trị S1 : D ⇒ D, S2 : D ⇒ E, T : K × D ⇒ Zvà ánh xạ đơn trị F : K × D × E ⇒ Y Tìm x¯ ∈ A cho: x¯ ∈ S1 (¯ x) ∈ F (y, x¯, x) với x ∈ S2 (¯ x) y ∈ T (¯ x, x) Bài toán giáo sư Nguyễn Xuân Tấn, Đinh Thế Lục đưa gọi toán tựa cân lý tưởng loại kí hiệu (IQEP 2) Đối với lớp toán bao hàm thức biến phân, ta xét số toán tiêu biểu sau: F Bài toán tựa biến phân lý tưởng loại vi Cho X, Y, Z không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y tập khác rỗng Cho ánh xạ đa trị S : D × K ⇒ D, T : D × K ⇒ K với tập giá trị khác rỗng Xét ánh xạ đa trị F, G : K × D × D ⇒ Z Bài toán tìm x¯ ∈ X cho: i) x¯ ∈ S1 (¯ x, y¯); ii) y¯ ∈ T (¯ x, y¯); iii) F (¯ y , x¯, x) ∈ G(¯ y , x¯, x¯) + C với x ∈ S(¯ x, y¯) Bài toán gọi toán tựa biến phân lý tưởng loại lí hiệu (IP 1) Các toán tựa biến phân tìm tài liệu [5] Giáo sư Nguyễn Xuân Tấn đặt toán tựa biến phân sau: G Bài toán tựa biến phân lý tưởng loại Cho X, Y, Z W không gian véctơ tôpô, D ⊂ X, K ⊂ Y, E ⊂ W tập khác rỗng Cho ánh xạ đa trị S1 : D ⇒ D, S2 : D ⇒ E, T : K×D ⇒ Zvà ánh xạ đơn trị G, H : K×D×E → Y Giả sử C : K × D ⇒ Y ánh xạ nón (tức là, với (x, y) ∈ K × D, C(y, x) nón Y ) Bài toán: Tìm x¯ ∈ D cho: i) x¯ ∈ S1 (¯ x); ii) y¯ ∈ T (¯ x, x¯); iii) G(y, x¯, x) ∈ H(y, x¯, x¯) + C(y, x¯) với x ∈ S2 (¯ x) y¯ ∈ T (¯ x, x¯) gọi toán tựa biến phân lý tưởng loại Việc phân lớp toán với toán khác có phương pháp giải hữu hiệu, đặc biệt áp dụng cho toán Tuy nhiên, việc xét toán mức tổng quát cần thiết mang lại hiểu biết sâu sắc vấn đề, đặc biệt liên hệ toán rời Người ta phát biểu toán cho ánh xạ đa trị Trong luận văn này, xét toán quan hệ biến phân loại 2, phát biểu sau: Cho A, B, Y tập khác rỗng Xét S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ B, A ⊆ X, B ⊆ Z T : A × B ⇒ Y ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng Giả sử R(a, b, y) ⊂ A × B × Y quan hệ ba a ∈ A, b ∈ B, y ∈ Y Nếu ba phần tử có quan hệ R đó, ta nói R(a, b, y) xảy hay R(a, b, y) ∈ R vii Ta quan tâm tìm a ¯ ∈ A cho: 1) a ¯ điểm bất động S1 , tức a ¯ ∈ S1 (¯ a); 2) R(a, b, y) xảy với b ∈ S2 (¯ a), y ∈ T (¯ a, b) Tương tự ta phát biểu toán quan hệ biến phân loại Các toán có liê quan chặt chẽ với toán nêu trên.Ta ký hiệu toán (VR) Mục đích luận văn trình bày lại kết toán quan hệ biến phân báo "An abstract problem in variational analysis " tác giả D.T.Luc [7] Hầu hết toán lý thuyết điều khiển tối ưu liệt kê trường hợp riêng toán quan hệ biến phân Việc nghiên cứu toán quan hệ biến phân cho ta cách tiếp cận thống việc nghiên cứu mô hình khác lý thuyết điều khiển tối ưu đa trị, lý thuyết cân bao hàm thức biến phân Kết trình bày luận văn định lý tồn nghiệm toán quan hệ biến phân, Từ với toán liên quan nhận điều kiện để tồn nghiệm Luận văn chia làm chương Chương chương chuẩn bị Trong chương người viết nêu lại cách ngắn gọn khái niệm, tính chất nón ánh xạ đa trị để tiện cho việc trình bày kết chương sau Các khái niệm tìm tài liệu [1] tài liệu khác tối ưu véctơ Một số định lý lý thuyết tối ưu liệt kê phần cuối chương nhằm giúp người đọc dễ theo dõi chứng minh định lý có chương sau Các định lý chứng minh lại luận văn, chúng tìm thấy tài liệu tham khảo Chương phần luận văn Trong chương này, người viết trình bày lại toán quan hệ biến phân, chứng minh cách chi tiết định lý tồn tại, đồng thời đưa số ví dụ toán liên quan Có thể nói toán quan hệ biến phân toán tổng quát lý thuyết tối ưu bởi, với toán toán tối ưu, toán cân bằng, toán bao hàm thức biến phân, cách trang bị quan hệ R thích hợp ta đưa toán (VR) Nội dung trình bày chương gồm: Phát biểu toán quan hệ biến phân (VR), ví dụ có liên quan, định lý tồn nghiệm toán quan hệ biến phân (VR) Tiếp theo ta thiết lập số điều kiện tồn nghiệm toán: toán tối ưu loại 2, toán bao hàm thức tựu biến phân, toán tựu cân tổng quát cách sử dụng định lý tồn nghiệm viii Vậy (VR) có lời giải theo Định lý 2.1 Định nghĩa 2.3 Quan hệ R gọi KKM với tập hữu hạn {a1 , a2 , , ak } A với tổ hợp lồi a với {a1 , a2 , , ak } ta tìm số i ∈ {1, 2, , k} cho R(a, , y) xảy với y ∈ T (a, ) Trường hợp đặc biệt, a tổ hợp lồi Nhận xét sau có lợi lập luận sau Nhận xét 2.1 Nếu R KKM R(a, a, y) với y ∈ T (a, a) Định lý 2.2 Bài toán (VR) có lời giải thỏa mãn điều kiện sau: i) A tập lồi, compact, khác rỗng ii) Ánh xạ P ánh xạ có giá trị đóng iii) Với a ∈ A, bao lồi S2 (a) chứa S1 (a) iv) Quan hệ R KKM Chứng minh Xét ánh xạ P : A ⇒ A xác định bởi: P (a) = [A \ S2−1 (b)] ∪ {´ a ∈ A ∈ S1 (´ a), R(´ a, a, y)} xảy ∀y ∈ T (´ a, a) Ta chứng minh P (a) = ∅ với a ∈ A P ánh xạ KKM Giả sử tồn a0 ∈ A a ∈ A \ S21 (a0 ), điều dẫn đến a ∈ S2−1 (a0 ) với a ta có a0 ∈ S2 (a), với a Theo iii) ta có a0 ∈ S1 (a0 ) Vì R KKM nên R(a, a0 , y) xảy với a0 ∈ S1 (a0 ), y ∈ T (a0 , a0 ) Điều chứng tỏ a0 ∈ P (a0 ), mâu thuẫn với P (a0 ) = ∅ Vậy ta có P (a) = ∅ với a ∈ A Tiếp theo ta chứng minh P ánh xạ KKM Xét a1 , a2 , , ak ∈ a a ∈ A tổ hợp lồi chúng Nếu tồn i ∈ {1, 2, , k}, a ∈ S2−1 (ai ) ta có a ∈ P (ai ) Nếu với i ∈ {1, 2, , k}, a ∈ S2−1 (ai ) ta tồn i ∈ {1, 2, , k} cho a ∈ {´ a ∈ A ∈ S1 (´ a), R(´ a, , y xảy ∀y ∈ T (´ a, )} a ∈ P (ai ) Thật vậy, a ∈ A \ S21 (ai ) với i = 1,¯k nên ta có a ∈ S2−1 (ai ) với i = 1,¯k tức ∈ S2 (a) Do a ∈ S2 (a) Theo iii) a ∈ S1 (a) Vì R KKM, nên tồn i ∈ {1, 2, , k} cho R(a, , y) xảy với y ∈ T (a, ) Điều chứng tỏ a ∈ P (ai ) Khi đó, P ánh xạ KKM Theo i),ii) ánh xạ P ánh xạ KKM, áp dụng Định lý KKM-Fan 1.6.2, ta có P (a) = ∅, tức tồn a ¯∈ P (a) Theo Định lý 2.1, a∈A a∈A toán (VR) có lời giải 18 Nhận xét 2.2 Định lý với điều kiện yếu đặt lên quan hệ R R(a, , y) xảy với y ∈ T (a, ) tổ hợp lồi a điểm cố định S1 Các điều kiện ii) iv) không thỏa mãn khẳng định định lý không Sau số ví dụ rõ điều đó: Ví dụ 2.10 Xét toán cân mô tả ví dụ 2.4 X = [0, 1] ⊂ R, A = B = Y = X quan hệ R định nghĩa ánh xạ φ : X × X → R với: φ(x, y) = x2 − x − y + Đặt S1 (a) = S2 (a) = [0, 1], T (a, b) = {b}, với a ∈ A, b ∈ B Ta kiểm tra điều kiện Định lý 2.3: i) Vì X = [0, 1] tập khác rỗng, lồi, compact nên điều kiện i) thỏa mãn ii) Ánh xạ P : [0, 1] ⇒ [0, 1] có giá trị đóng Thật vậy: ta có P1 (b) = A \ S2−1 (b) = [0, 1] \ [0, 1] = ∅ P2 (b) = {a ∈ A : a ∈ S1 (a), R(a, b, y)} xảy ∀y ∈ T (a, b) Suy P (b) = P1 (b) ∪ P2 (b) = [0, 1] đóng iii) Với a ∈ [0, 1], bao lồi S1 (a) ⊂ S2 (a) = [0, 1] −1 = < Suy ra, quan 2 hệ R(a, b, y) không với a = Vậy quan hệ R KKM không đảm bảo toán (VR) nghiệm, tồn y¯ = cho: φ(a, y) = a2 − a + ≤ với a ∈ [0, 1] Suy iv) Xét a = ta có φ(1, y) = 12 − − + φ(a, y) = a2 − a + 19 − ≤ 0, với a ∈ [0, 1] hay với a ∈ X, tồn y¯ = để φ(a, y) ≤ không Vì điều kiện iv) chất Ví dụ 2.11 Cho X = [0, 1] ⊆ R, quan hệ R định nghĩa ánh xạ    − y, 0≤x≤ , φ(x, y) = 1  − + y, < x ≤ Đặt S1 (a) = S2 (a) = [0, 1], T (a, b) = {b} Ta kiểm tra điều kiện định lý 2.2: i) Vì X = [0, 1] tập khác rỗng, lồi, compact nên điều kiện i) thỏa mãn ii) Ánh xạ P : [0, 1] ⇒ [0, 1] có giá trị đóng Thật vậy: ta có P1 (b) = A \ S2−1 (b) = [0, 1] \ [0, 1] = ∅ 1 P2 = ( , 1], lấy y ∈ , nên ta có φ(a, y) = − + y ≥ với 4 a ∈ , Tức là: P2 (a) = {a ∈ A : a ∈1 (a), R(a, b, y)} xảy ∀y ∈ T (a, b) = ,1 iii) Với a ∈ [0, 1], bao lồi S1 (a) ⊂ S2 (a) = [0, 1] iv) Lấy a = α1 a1 + α2 a2 với α1 , α2 ≥ 0; α1 + α2 = a ∈ 0, chọn = a1 ≤ a φ(a, ) = − ≤ hay R(a, b, y) xảy với y ∈ T (a, ) Vậy R KKM toán (VR) nghiệm Muốn điều kiện ii) iv) định lý thỏa mãn ta dựa theo tính liên tục ánh xạ đa trị Định nghĩa 2.4 Giả sử b điểm cố định A Quan hệ R(., b, ) gọi đóng biến thứ thứ ba dãy {aα , yα } hội 20 tụ tới (a, y) R(aα, b, yα ) với α R(a, b, y) Nhận xét 2.3 Đặt E = {a ∈ A : a ∈ S1 (a)}, PR (b) = {x ∈ A : R(x, b, y)} xảy với y ∈ T (x, b) Khi đó, P (b) = {A \ S2−1 (b)} ∪ {E ∩ PR (b)} a ∈ P2 (b) tức a ∈ A \ S2−1 (b) {a ∈ A : a ∈ S1 (a), R(a, b, y) xảy ∀y ∈ T (a, b)} Vì P (b) ⊇ {A \ S2−1 (b)} ∪ {E ∩ PR (b)} Ngược lại, giả sử a ∈ {A \ S2−1 (b)} ∪ {E ∩ PR (b)} Khi đó, a ∈ {E ∩ PR (b)} nên a ∈ E a ∈ PR (b) suy a ∈ P2 (b) Vì P (b) ⊇ {A \ S2−1 (b)} ∪ {E ∩ PR (b)} P (b) đóng {A \ S2−1 (b)} {E ∩ PR (b)} đóng Vì hợp hai tập đóng tập đóng E đóng S1 ánh xạ đóng Thật vậy: Giả sử, lấy lưới {an } ∈ E cho an hội tụ tới a ¯ ta chứng minh a ¯ ∈ E Xét lưới {zn } ∈ S1 (an ) cho zn hội tụ tới a ¯, suy {(an , zn )} ∈ graphS1 graphS1 đóng nên (an , zn ) hội tụ tới (¯ a, z¯) ∈ graphS1 Vì vậy, z¯ ∈ S1 (¯ a) Lấy lưới {zn } ≡ {an } nên z¯ = a ¯ ∈ S1 (¯ a), tức a ¯ ∈ E Vậy E đóng Ngược lại không đúng, ta xét ánh xạ S1 : R → R cho   −1 , a > 0, S1 (a) = , a = 0,   , a < Tập E = {aR : a ∈ S1 (a)} = {0} tập đóng graphS1 = {(x, 1), x < 0} ∪ {(0, 0)} ∪ {(x − 1), x > 0} 1 , −1 ∈ graphS1 Khi đó, , −1 → (0, −1) ∈ graphS1 Vì n n graphS1 không đóng Lấy Bổ đề 2.1 Giả sử b ∈ A và: i) A E tập đóng, ii) S2−1 (b) tập mở A, iii) T (., b) ánh xạ nửa liên tục theo biến thứ nhất, iv) Quan hệ R(., b, ) đóng với biến thứ biến thứ ba Khi P (b) tập đóng 21 Chứng minh Từ i) ii) ta có A \ S2−1 (b) tập đóng Ta cần PR (b) tập đóng Thật vậy, giả sử (aα ) ∈ A lưới hội tụ tới a R(aα , b.yα ) xảy với α Theo iv) R(a, b, y) xảy với α Do PR (b) tập đóng Vậy P (b) đóng Hệ 2.2 Bài toán (VR) có nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: i) A tập lồi, đóng, compact, khác rỗng ii) E tập đóng iii) S2−1 (b) tập mở A với b ∈ A, convS2 (b) ⊆ S1 (b) iv) Với b ∈ b, T (., b) nửa liên tục với biến thứ v) Quan hệ R KKM với b ∈ A, R(., b, ) đóng với biến thứ thứ ba Chứng minh Các điều kiện i) đến iv) chứng tỏ P ánh xạ đóng, điều kiện Định lý 2.2 thỏa mãn Vậy toán (VR) có lời giải Tính chất KKM môt quan hệ tìm đại phận báo bất đẳng thức biến phân phát biểu dạng khác qua ví dụ cụ thể sau: a Ánh xạ tựa lồi theo đường chéo Giả sử F : A × A ⇒ Y G : A ⇒ Y ánh xạ đa trị Ta nói F G-tựa lồi theo đường chéo với tập hữu hạn D A với tổ hợp lồi a phần tử D ta có F (a, D) = G(a) Định nghĩa T : A × A ⇒ Y, T (a, b) = {b} quan hệ R sau: R(a, b, y) xảy F (a, b) = G(a) Khi đó, F G-tựa lồi theo đường chéo R KKM Thật vậy, R KKM tức với {a1 , a2 , , ak } ⊆ A với tổ hợp lồi a a1 , a2 , , ak tồn i = 1, , k cho R(a, , y) xảy với y ∈ T (a, ) Điều tương đương với F (a, ) = G(a) với hay F (a, D) = G(a) với D = {a1 , a2 , , ak } Vậy F G-tựa lồi theo đường chéo b Ánh xạ tựa đơn điệu Giả sử ánh xạ φ : A × A × Y ⇒ R hàm thực, T : A × A ⇒ Y ánh xạ đa trị ta nói T φ-tựa đơn điệu với tập hữu hạn {a1 , a2 , , ak } A với tổ hợp lồi a a1 , a2 , , ak tồn i = 1, , k cho φ(a, , y) − φ(a, a, y) ≥ 0, ∀y ∈ T (a, ) Quan hệ R định nghĩa sau: R(a, b, y) xảy φ(a, b, y) − φ(a, a, y) ≥ 22 c Bao hàm thức tựa lồi Giả sử F, G : A × A × Y ⇒ R ánh xạ đa trị Z = ∅, T : A × A ⇒ Y ánh xạ đa trị Ta nói F G-bao hàm thức tựa lồi a a1 , a2 , , ak tồn i = 1, , k cho F (a, , y) ⊆ G(a, , y), ∀y ∈ T (a, ) Quan hệ R định nghĩa sau: R(a, b, y) xảy F (a, b, y) ⊆ G(a, a, y) Khi đó, R KKM tương đương với F G-bao hàm thức tựa lồi tương ứng với T 2.3 Định lý điểm bất động tồn tạị nghiệm toán quan hệ biến phân Trong mục ta xây dựng số điều kiện để toán quan hệ biến phân (VR) có lời giải dựa Hệ 2.2.2 định lý điểm bất động Giả sử X không gian véctơ tôpô Hausdorff A = B ⊆ X Xét ánh xạ đa trị Q : A → A xác định Q(a) = {x ∈ A : R(a, x, y) không với y ∈ T (a, x) Ta có: A \ P −1 (a) = S2 (a), a ∈ S1 (a), S2 (a) ∩ Q(a), a ∈ S1 (a) Thật giả sử x ∈ A \ P −1 (a) Suy ra, x ∈ A x ∈ P −1 (a), tức x ∈ A, ∈ P (x) nên a ∈ P1 (x) a ∈ P2 (x) lấy x ∈ S2 (a), a ∈ S1 (a) x ∈ {x ∈ A : R(a, x, y)} không với y ∈ T (a, x) Do đó: x ∈ S2 (a) ∩ Q(a) Mặt khác, a ∈ S1 (a) với a ∈ P1 (x) ta có x ∈ S2 (a) Vì vậy: x∈ S2 (a), a ∈ S1 (a), S2 (a) ∩ Q(a), a ∈ S1 (a) Tiếp theo ta trình bày mối quan hệ R, PR Q Bổ đề 2.2 Các khẳng định sau đúng: i) Với a ∈ A, quan hệ R(a, b, y) với y ∈ T (a, a) a điểm bất động Q Đặc biệt, R KKM Q điểm bất động ii) Nếu Q(a) lồi với a ∈ A ánh xạ Q điểm bất động R KKM 23 iii) Với a ∈ A, ta có A \ Q−1 (a) = PR (a) Do đó, Q có giá trị nghịch ảnh mở ánh xạ PR có giá trị đóng Chứng minh i) Giả sử với a ∈ A, quan hệ R(a, a, y) xảy với y ∈ T (a, a) mà a điểm bất động Q Khi đó, a ∈ Q(a) nên theo cách xác định ánh xạ Q R(a, a, y) không thỏa mãn với y ∈ T (a, a) Điều mâu thuẫn với giả thiết Vậy a điểm bát động Q Ngược lại, giả sử a điểm bất động Q mà với a ∈ A, quan hệ R(a, a, y) không xảy với y ∈ T (a, a) Vì thế, theo cách xác định Q ta có a ∈ Q(a) Điều mâu thuẫn với giả thiết với a ∈ A, quan hệ R(a, a, y) xảy với y ∈ T (a, a) Hơn nữa, R KKM Q(a) = ∅ với a ∈ A, tức Q điểm bất động ii) Giả sử R không KKM tồn a1 , a2 , , ak ∈ A tổ hợp lồi a a1 , a2 , , ak cho với i ∈ {1, , k}, R(a, , yi ) không xảy với yi ∈ T (a, ) Ta suy ∈ Q(ai ) với i ∈ {1, , k} Mặt khác, a tổ hợp lồi a1 , , ak , Q(a) lồi với a ∈ A nên a ∈ Q(a) Vậy a điểm bất động Q, mâu thuẫn với giả thiết Q điểm bất động Vậy R KKM iii) Ta có: Q−1 (a) = {b ∈ A : a ∈ Q(b)}, PR (a) = {x ∈ A : R(x, a, y) xảy với y ∈ T (x, a) Q(b) = {x ∈ A : R(b, x, y) không xảy với y ∈ T (b, x) Giả sử a1 ∈ A \ Q−1 (a), tức a1 ∈ Q−1 (a) Ta suy a ∈ Q(a1 ) Điều chứng tỏ với y ∈ T (a1 , a), R(a1 , a, y) xảy a1 ∈ PR (a) hay A \ Q−1 (a) = PR (a) Tiếp theo, ta trình bày điều kiện tồn nghiệm dựa định lý điểm bất động Fan-Browder Định lý 2.3 Bài toán (VR) có nghiệm điều kiện sau thỏa mãn: i) A tập lồi, đóng, compact, khác rỗng ii) E tập đóng iii) Ánh xạ S2 có giá trị lồi, ánh xạ ngược mở S2 (a) ⊆ S1 (a), ∀a ∈ A iv) Ánh xạ Q có giá trị lồi điểm bất động 24 Chứng minh Xét ánh đa trị A \ P −1 A Nếu với a ∈ A mà A \ P −1 = ∅ theo hệ 2.2.2, a ∈ Sol(V R) (A \ P −1 )−1 (a) Ta giả sử A \ P −1 = ∅, ∀a ∈ A, ta có A = a∈A Hơn nữa, ta có: [A \ P −1 ](a) = {x ∈ A \ E : a ∈ S2 (x)} ∪ {x ∈ A \ E : a ∈ S2 (x) ∩ Q(x)} a∈A {(A \ E) ∪ Q−1 (a) ∩ {S2−1 (a)} = a∈A Theo ii), iii), iv) ta có {(A \ E) ∪ Q−1 (a) ∩ {S2−1 (a)} tập mở A Do A = int(A \ P −1 )−1 (a) Theo định lý Fan-Browder tồn a∈A điểm bất động a ¯ ∈ A A \ P −1 Trong trường hợp đặc biệt ta có a ¯ ∈ S2 (¯ a) ⊆ E Do a ¯ ∈ Q(¯ a), mâu thuẫn với điều kiện iv) Điều giả sử không Vậy ∃a ∈ A cho A \ P −1 (a) = ∅ hay toán (VR) có nghiệm Xét trường hợp X không gian véctơ tôpô lồi địa phương, A ⊆ X Ta có hệ sau: Hệ 2.3 Giả sử X không gian véctơ tôpô lồi địa phương, A ⊆ X Khi toán (VR) có nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: i) A tập lồi, đóng, compact, khác rỗng ii) Tập tất điểm bất động S1 tập đóng iii) Ánh xạ S2 nửa liên tục dưới, có giá trị lồi, S2 (a) ⊆ S1 (a), ∀a ∈ A iv) Ánh xạ Q mở, lồi điểm bất động Chứng minh Xét ánh xạ đa trị A \ P −1 A Nếu ∃a ∈ A cho A \ P −1 = ∅ a lời giải toán (VR) Nếu A \ P −1 = ∅, ∀a ∈ A theo ii), iii), iv) ánh xạ nửa liên tục dưới, có giá trị lồi Vì A tập lồi, compact nên áp dụng Định lý điểm bất động Tikhonov ánh xạ A \ P −1 có a điểm bất động Áp dụng bổ đề 2.2 hệ 2.1 ta có điều phải chứng minh 25 2.4 Một số vấn đề liên quan Trong chương trình bày số vấn đề liên quan đến toán quan hệ biến phân trình bày mục trước, cụ thể mối liên hệ toán quan hệ biến phân với toán khác toán tối ưu loại hai, toán bao hàm thức tựa biến phân toán cân tổng quát đưa điều kiện để toán có nghiệm dựa định lý tồn nghiệm toán quan hệ biến phân 2.4.1 Bài toán tựa tối ưu loại hai Phát biểu toán Giả sử X, Y, Z không gian véctơ tôpô, A ⊂ X, B ⊂ Y, C nón Z Xét S1 , S2 : A ⇒ A, T : A × A ⇒ B ánh xạ đa trị Cho ánh xạ đơn trị F : B × A × A → Z Bài toán đặt là: Tìm a ¯ ∈ S1 (¯ a) cho: F (y, b, a ¯) ∈ F (y, a ¯, a ¯) + C với b ∈ S2 (¯ a), y ∈ T (b, a ¯) Tức F (y, b, a ¯) ≥C F (y, a ¯, a ¯), ∀b ∈ S2 (¯ a), y ∈ T (b, a ¯) Ví dụ 2.13 Một công ty xuất nhập X chịu điều hành ban giám đốc hội đồng quản trị Công ty X có tập kế hoạch sản xuất A Gọi B tập kế hoạch xuất nhập sản phẩm công ty Ứng với kế hoạch công ty tổng giám đốc đưa tập kế hoạch sản xuất tương ứng (được xác định ánh xạ đa trị S1 : A ⇒ A), Hội đồng quản trị đưa tập kế hoạch sản xuất mình, công ty X có kế hoạch xuất nhập cho ánh xạ đa trị T : A × A ⇒ B Vấn đề đặt là: Tìm kế hoạch sản xuất số kế hoạch tổng giám đốc a ¯ ∈ S1 (¯ a) để tổn thất công ty X nhỏ nhất, với kế hoạch sản xuất Hội đồng quản trị kế hoạch xuất nhập công ty Tức tổn thất công ty hàm F : B × A × A ⇒ R F (y, b, a ¯) ≥C F (y, a ¯, a ¯), ∀b ∈ S2 (¯ a), y ∈ T (b, a ¯) Dựa vào định lý tồn nghiệm toán quan hệ biến phân (VR), ta suy định lý tồn nghiệm toán tựa tối ưu loại hai sau Lưu ý ta xét trường hợp A = B Định lý tồn nghiệm toán tựa tối ưu loại hai 26 Định lý 2.4 Xét toán tối ưu loại hai Bài toán có nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: i) A tập lồi, compact, khác rỗng ii) S2−1 (a) tập mở A S2 (a) = ∅, ∀a ∈ A iii) Tập {a ∈ A : a ∈ S1 (a)} điểm bất động tập S1 tập đóng co(S2 (a)) ⊂ S1 (a) iv) T (., b) nửa liên tục đôi với biến thứ F (−C)-liên tục theo biến thứ thứ ba v) T F -tựa đơn điệu A nón C Chứng minh Quan hệ R xác định sau: R(a, b, y) xảy F (y, b, a) ∈ F (y, a, a) + C Nhận thấy toán tựa lồi tối ưu loại hai trường hợp riêng toán (VR) ta viết lại toán (VR) là: Tìm a ¯ ∈ A cho a ¯ ∈ S1 (¯ a) F (y, b, a) ∈ F (y, a ¯, a ¯), ∀b ∈ S(2)(¯ a), y ∈ T (b, a ¯) Theo giả thiết, F C-liên tục theo biến thứ biến thứ ba nên ∀(aα , yα ) → (a, y) F (yα , b, aα ) ∈ F (yα , aα , aα) + C F (y, b, a) ∈ F (y, a, a) + C Khi R(., b, ) đóng biến thứ thứ ba Ta có T F -tựa đơn điệu A nón C, tức với tập hữu hạn {a1 , a2 , , ak } ∈ A với tổ hợp lồi a {a1 , a2 , , ak } ta tìm số i ∈ {1, , k} cho F (y, , a) ∈ F (y, a, a) + C Vậy R KKM Áp dụng Định lý 2.2 Bổ đề 2.1 ta suy toán tựa tối ưu loại hai có nghiệm Định lý kết toán [8] Nếu S2 = S định lý viết lại sau: Xét toán tối ưu loại hai toán có nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: i) A tập lồi, compact, khác rỗng ii) S2−1 (a) tập mở S S(a) = ∅, ∀a ∈ A iii) Tập {a ∈ A : a ∈ S(a)} tất điểm bất động tập S tập đóng iv) T (., b) nửa liên tục đôi với biến thứ F (−C)-liên tục theo biến thứ thứ ba v) F T -tựa đơn điệu A nón C Khi ∃¯ a ∈ S(¯ a) cho F (y, b, a ¯) ≥ F (y, a ¯, a ¯) 27 2.4.2 Bài toán bao hàm thức tựa biến phân Phát biểu toán tựa biến phân tổng quát Giả sử X, Y, Z, W không gian véctơ tôpô, A ⊆ X, B ⊆ X, E ⊆ W tập khác rỗng Cho S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ E, G, H : B × A × E ⇒ Y ánh xạ đa trị Giả sử C : B × A ⇒ Y ánh xạ nón (tức ∀(y, x) ∈ B × A, C(y, x) nón tròn Y Bài toán đặt là: Tìm a ¯ ∈ A cho a ¯ ∈ S1 (¯ a) G(y, a ¯, b) ⊆ H(y, a ¯, a ¯) + C(y, a ¯), ∀b ∈ S2 (¯ a) y ∈ T (¯ a, b) Định lý tồn nghiệm toán bao hàm thức biến phân Định nghĩa 2.1 Cho F : B × A × A ⇒ Y, T : A × A ⇒ B ánh xạ đa trị Giả sử C : B × A ⇒ Y ánh xạ nón Khi đó: i) F gọi (T, C)-tựa lồi theo đường chéo với biến thứ ba với tập hữu hạn {a1 , a2 , , ak } ⊆ D, a ∈ co{a1 , a2 , , ak }, ∃i ∈ {1, 2, , k} cho: F (y, a, ) ⊆ F (y, a, a) + C(y, a), ∀y ∈ T (a, ) ii) F gọi (T, C)-tựa lồi theo đường chéo với biến thứ ba với tập hữu hạn {a1 , a2 , , ak } ⊆ D, a ∈ co{a1 , a2 , , ak } tồn i ∈ {1, , k} cho: F (y, a, ) ⊆ F (y, a, a) − C(y, a), ∀y ∈ T (a, ) Tiếp theo ta xét điều kiện để toán bao hàm thức tựa biến phân có nghiệm có định lý sau Lưu ý ta xét trường hợp A = B = E Định lý 2.5 Giả sử G(y, a, a) ⊆ H(y, a, a) − C(y, a), ∀(y, a) ∈ B × A Khi đó, toán bao hàm thức tựa biến phân có nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: i) A tập lồi, compact, khác rỗng ii) S1 (.) tập đóng, co(S2 (a)) ⊆ S1 (a) S2−1 (b) mở A với a, b ∈ A iii) Với b ∈ S2 (a), tập {a ∈ A : G(y, a, a) ⊆ H(y, a, a)+C(y, a), ∀y ∈ T (b, a)} tập đóng iv) G (T, C)-tựa lồi theo biến thứ ba 28 Chứng minh Quan hệ R xác định sau: R(a, b, y) xảy G(y, a, a) ⊆ H(y, a, a) + C(y, a) Bài toán (VR) viết lại sau: Tìm a ¯ ∈ A cho G(y, a ¯, a) ⊆ H(y, a ¯, a ¯) + C(y, a ¯), ∀b ∈ S2 (¯ a) y ∈ T (b, a ¯) Khi đó, toán bao hàm thức biến phân trường hợp riêng toán (VR) Theo cách chứng minh bổ đề 2.1 điều kiện i), ii), iii) định lý chứng tỏ P (b) tập đóng Theo định nghĩa G (T, C)-tựa lồi với biến thứ ba tương đương với R KKM Vậy điều kiện định lý 2.2 thỏa mãn, toán bao hàm thức tựa biến phân có nghiệm Định lý kết toán [5] Nếu cố định y ∈ A, ánh xạ G(., , y) : B × A × A ⇒ Y −C liên tục trên, ánh xạ F (y, a, a) −C liên tục có giá trị compact điều kiện iii) định lý thỏa mãn Hệ 2.4 Giả sử ta có G(y, a, a) ⊆ H(y, a, a) + C(y, a), ∀(y, a) ∈ B × A Khi đó, toán bao hàm thức tựa biến phân có nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: i) A tập lồi, compact, khác rỗng ii) S1 (.) tập đóng, co(S2 (a)) ⊆ S1 (a) S2−1 (b) mở A với a, b ∈ A iii) Với y ∈ A, ánh xạ G(., , y) : B × A × A ⇒ Y −C liên tục trên, ánh xạ F (y, a, a) C-liên tục có giá trị compact iv) G (T, C)-tựa lồi theo biến thứ ba 2.4.3 Bài toán tựa cân tổng quát Phát biểu toán tựa cân tổng quát Giả sử X, Y, Z, W không gian véctơ tôpô, A ⊆ X, B ⊆ X, E ⊆ W tập khác rỗng Cho S1 : A ⇒ A, S2 : A ⇒ E,, T : A × A ⇒ Zvà F : B × A × A ⇒ Y ánh xạ đa trị Bài toán đặt là: Tìm a ¯ ∈ A cho a ¯ ∈ S1 (¯ a) ∈ F (y, a ¯, b), ∀b ∈ S2 (¯ a) y ∈ T (¯ a, b) Định lý tồn nghiệm Định nghĩa 2.2 Cho F : B × A × A ⇒ Y, T : A × A ⇒ B ánh xạ đa trị Ta nói F T -KKM với tập hữu 29 hạn {a1 , a2 , , ak }, ∃ai ∈ {a1 , a2 , , ak } cho ∈ F (y, a, ), ∀y ∈ T (a, Xét trường hợp A = B, định lý sau cho ta điều kiện để toán cân có nghiệm Định lý 2.6 Bài toán tựa cân tổng quát có nghiệm thỏa mãn điều kiện sau: i) A tập lồi, compact, khác rỗng ii) S1 (.) tập đóng, co(S2 (a)) ⊆ S1 (a) S2−1 (b) mở A với a, b ∈ A iii) Với b ∈ S2 (a), tập {a ∈ A : ∈ F (y, a, b)∀y ∈ T (b, a)} tập đóng iv) F : B × A × A ⇒ Y T-KKM Chứng minh Xét quan hệ R xác định sau: R(a, b, y) xảy ∈ F (y, a, b) Ta viết lại toán (VR) sau: Tìm a ¯ ∈ A cho a ¯ ∈ S1 (¯ a) ∈ F (y, a ¯, b), ∀b ∈ S2 (¯ a) y ∈ T (b, a ¯) Khi toán tựa cân tổng quát trường hợp riêng toán quan hệ biến phân (VR) Theo cách chứng minh Bổ đề 2.1 điều kiện i), ii), iii) định lý chứng tỏ P (b) tập đóng Định lý 2.2 thỏa mãn toán tựa cân tổng quát có nghiệm Nếu điểm cố định b ∈ A, tập {a ∈ A : ∈ F (y, a, b)} với y ∈ T (a, b) tập mở A 30 Kết luận Luận văn trình bày chi tiết kết báo "An abstrct problem in variational analysis" cảu tác giả D.T.Lục [7] Cụ thể là: Trình bày chi tiết toán quan hệ biến phân liên hệ với toán khác Lý thuyết Tối ưu Phát biểu chứng minh định lý tồn nghiệm toán quan hệ biến phân Áp dụng định lý tồn nghiệm toán quan hệ biến phân vào toán lý thuyết tối ưu 31 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] N B Minh, N X Tấn, "Một số vấn đề lý thuyết tối ưu véctơ đa trị" Nhà xuất Giáo dục (2006) [B] Tài liệu tiếng Anh [2] F E Browder, "The fixed point theory of multi valued mappings in topological vecto space", Math Ann 177 (1968)238 − 301 [3] K Fan, "A generalization of Tychonoffs fixed point theorem", Math Ann 142(1961)305 − 310 [4] A Guerggio and N X Tan, "On general vector quasioptimization problems", Mathematical Methods of Operator Research 35(2002)347 − 358 [5] N X Hai, P.Q Khanh, "The solution existense of general variational inclusion problem", J Math Anal Appl 328(2007).1268 − 1277 [6] S Kakutani, "A generalization of Brouwers fixed point theorem", Duke Math J 8(1944)457 − 459 [7] D T Luc, "An abstract problem in variational analysis", J Optimiza-tion Theory Appl 138(2008)65 − 76 [8] D T Luc, N X Tân, "Existence conditions in variational inclusions with constraints", Optimization 53(2004) no − 6, 505 − 515 32 ... Sự tồn nghiệm toán quan hệ biến phân Định lý điểm bất động tồn tạị nghiệm toán quan hệ biến phân 2.4 Một số vấn đề liên quan 2.4.1 Bài toán tựa tối ưu... 10 Chương Bài toán quan hệ biến phân số vấn đề liên quan Trong chương trình bày toán quan hệ biến phân, kí hiệu (VR) (variational telation) GS Đinh Thế Lục nghiên cứu tài liệu [7] Bài toán cho... lại toán quan hệ biến phân, chứng minh cách chi tiết định lý tồn tại, đồng thời đưa số ví dụ toán liên quan Có thể nói toán quan hệ biến phân toán tổng quát lý thuyết tối ưu bởi, với toán toán