Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về tích phân xác định

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRẦN THỊ THU THỦY PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– TRẦN THỊ THU THỦY PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Quý Mười ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thiện Khoa Tốn, Trường đại học Sư phạm Đà Nẵng, hướng dẫn TS Phạm Quý Mười Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy bảo hướng dẫn tận tình suốt thời gian tác giả làm luận văn Trong suốt trình tác giả nghiên cứu, tác giả nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp quý báu quý thầy, giáo Khoa Tốn, Trường đại học Sư phạm Đà Nẵng Từ đáy lịng mình, tác giả xin chân thành gởi lời cảm ơn đến quý thầy cô Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban lãnh đạo Khoa Toán Trường đại học Sư phạm Đà nẵng, Ban giám hiệu Trường THPT Ngũ Hành Sơn tạo điều kiện cho tác giả thời gian học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn anh, chị em lớp cao học Phương pháp toán sơ cấp khoá 32 bạn bè đồng nghiệp xa gần bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Trường đại học sư phạm Đà Nẵng Luận văn quà tinh thần, tác giả xin kính tặng đến gia đình thân u với tất lịng biết ơn, u thương trân trọng Tác giả luận văn TRẦN THỊ THU THỦY MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH4 1.1 ĐỊNH NGHĨA VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.2 ĐIỀU KIỆN KHẢ TÍCH 1.2.1 Khái niệm tổng Darboux tính chất 1.2.2 Dấu hiệu tồn tích phân xác định 1.3 CÁC LỚP HÀM KHẢ TÍCH 1.4 CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.5 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 10 1.5.1 Liên hệ tích phân xác định nguyên hàm 11 1.5.2 Phương pháp đổi biến 11 1.5.3 Phương pháp tích phân phần 12 CHƯƠNG CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN 13 2.1 BÀI TỐN XÉT TÍNH KHẢ TÍCH CỦA HÀM SỐ 2.2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 13 15 2.2.1 Bài tốn tính tích phân định nghĩa 15 2.2.2 Dùng tích phân cơng thức Newton - Leibnitz để tính tích phân 17 2.2.3 Bài tốn tính tích phân phương pháp đổi biến 20 2.2.4 Bài tốn tính tích phân phương pháp tích phân phần 25 2.3 PHƯƠNG PHÁP TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG - THỂ TÍCH KHỐI TRỊN XOAY 29 2.3.1 Bài tốn tính diện tích hình phẳng 29 2.3.2 Tính thể tích khối trịn xoay 35 2.4 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 38 2.4.1 Đánh giá theo hàm số cận tích phân 38 2.4.2 Định lý giá trị trung bình chứng minh bất đẳng thức tích phân 44 2.5 PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BẰNG TÍCH PHÂN 2.6 PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỔNG CHỨA Cnk BẰNG TÍCH PHÂN 46 48 CHƯƠNG SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 52 3.1 SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN TÍNH TÍCH PHÂN 52 3.1.1 Sáng tạo toán phương pháp đổi biến 52 3.1.2 Sử dụng phương pháp đặc biệt hóa sáng tạo tốn tích phân 54 3.1.3 Sử dụng phương pháp tổng qt hóa sáng tạo tốn tích phân 58 3.2 SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN 62 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lí thuyết tích phân chiếm vị trí quan trọng tốn học, lí thuyết tích phân ứng dụng rộng rãi tính diện tích hình phẳng, thể tích khối trịn xoay, cịn đối tượng nghiên cứu ngành giải tích, tảng cho lí thuyết hàm, lí thuyết phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, xác suất thống kê, vật lí Trong chương trình tốn trường trung học phổ thơng, lí thuyết tích phân đưa vào đầu học kì II lớp 12 với thời lượng 16 tiết, bao gồm nội dung: Nguyên hàm, tích phân ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, tính thể tích khối trịn xoay Lí thuyết tích phân giảng dạy phổ biến hầu hết trường đại học, cao đẳng cho sinh viên năm nhất, năm hai với lượng kiến mở rộng Trong trình giảng dạy, tơi thấy đa số học sinh khó khăn, lúng túng việc nhận dạng giải tốn tích phân Bản thân giáo viên có hạn chế việc tự tốn liên quan tích phân Bên cạnh đó, đề thi tốt nghiệp THPT, học sinh giỏi cấp thành phố, cấp Quốc gia, Olympic xuất tốn tích phân Hơn nữa, yêu cầu đề thi câu hỏi đề thi chưa có từ tài liệu Vì thế, bên cạnh kiến thức lí thuyết tích phân kĩ giải tốn tích phân, kĩ sáng tạo tốn tích phân u cầu khơng thể thiếu giáo viên Với tầm quan trọng tích phân với mong muốn hệ thống lại kiến thức tích phân, hiểu sâu kĩ phương pháp giải, đặc biệt kĩ sáng tạo tốn tích phân – yêu cầu thiếu giáo viên, chọn đề tài :” PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH” làm đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ cho Luận văn chủ yếu chuyên sâu vào củng cố lí thuyết tích phân xác định phương pháp giải Luận văn trình bày vài phương pháp sáng tạo tốn tích phân Mục tiêu nghiên cứu Trên sở hệ thống lại kiến thức Tích phân phương pháp giải tài liệu tham khảo khác nhau, luận văn trình bày, tổng hợp, xếp lại lí thuyết tích phân phương pháp giải cho tốn tích phân Luận văn tập trung vào nghiên cứu số cách thức sáng tạo tốn tích phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Lí thuyết tích phân xác định • Các phương pháp giải tốn ứng dụng tích phân xác định • Các phương pháp sáng tạo toán tích phân • Nghiên cứu lí thuyết tích phân, phương pháp giải sáng tạo toán tích phân xác định Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận: Với đề tài: “Phương pháp giải sáng tạo tốn tích phân xác định ” sử dụng phương pháp nghiên cứu sau: • Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá tổng hợp • Nghiên cứu phương pháp giải có tốn tích phân • Nghiên cứu phương pháp sáng tạo toán Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt lí thuyết thực tiễn Tạo chuyên đề phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh trung học phổ thơng Có 61 π Từ tích phân J ta tạo tích phân J1 = (x sin x + cos x) + x cos x dx x sin x + cos x Đối với tích phân K , ta có nhận xét (x ln x)′ = ln x + e2 Do đó, K = e ln x + dx = x ln x e2 e d (x ln x) dx = ln |x ln x| |ee = ln 2e2 − x ln x e2 Từ tích phân K ta tạo tích phân K1 = e x3 ln x + ln x + dx x ln x Như vậy, ta nhận thấy tích phân trường hợp cụ thể toán tổng quát sau Bài toán tổng quát Nếu hàm số ϕ (x) khác có đạo hàm liên tục [α; β] hàm số f [ϕ (x)] khả tích đoạn β β k · ϕ(x) + f [ϕ(x)] · ϕ′ (x) dx = ϕ(x) β kdx + α α f [ϕ(x)] · ϕ′ (x) ϕ(x) α Đây toán tổng quát từ tốn ta sáng tác toán thỏa điều kiện Bài tập 3.14 Tính tích phân sau 1 ln √ x2 + + x.e √ x2 + x2 +1 e dx, x2 + x3 + x ln x + dx, + x ln x x2 + e2x + x2 (1 − ex ) − ex dx e2x − ex + e Ví dụ 3.1.7 Tính tích phân ln t.dt Đây tích phân quen thuộc học sinh học đến phương pháp tính tích phân phần Tuy nhiên tập dạng SGK cịn , để rèn luyện kĩ giải tập dạng cho học sinh, tác giả sử dụng phương pháp đổi biến, phương pháp đặc biệt 62 hóa phương pháp biến đổi tương đương để từ tích phân sáng tác tốn có dạng tổng qt như: β β ln [u (x)] u′ (x) dx, ln [u (x)] dx, α β α β f (x) loga x.dx, α f (ln x) dx x α Bài tập 3.15 Tính tích phân π ln x2 − 2x + dx, π 3 π log2 (tan x + 1) dx, cos2 x [ln (cos x) + x tan x] dx, e2 ln2 x − ln ln x + x dx, e x2 − x − ln xdx Trên tác giả đưa dạng tốn , giáo viên dựa vào phương pháp sáng tạo trình bày để sáng tác nhiều toán khác từ tốn gốc để học sinh củng cố, khắc sâu kiến thức dạng tốn tính tích phân 3.2 SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN Bất đẳng thức tích phân dạng tốn khó, thường xuất kì thi học sinh giỏi, kì thi Olympic, u cầu khơng thể thiếu đề thi tốn phải mới, địi hỏi người giáo viên phải có kĩ sáng tạo Trong phạm vi luận văn, tác giả trình bày số phương pháp sáng tạo tốn chứng minh bất đẳng thức tích phân dựa tích chất bất đẳng thức tích phân trình bày chương I Cơ sở để sáng tạo tốn chứng minh bất đẳng thức tích phân dựa vào tính chất sau đây: Tính chất 3.1 Nếu f (x) hàm liên tục [a; b], m ≤ f (x) ≤ M với 63 b x ∈ [a; b] m(b − a) ≤ a f (x)dx ≤ M (b − a) Tính chất 3.2 Cho hàm số f (x), g(x) hàm liên tục [a; b] Nếu b b f (x) ≥ g(x), ∀x ∈ [a; b] ⇒ a f (x)dx ≥ g(x)dx a Dựa vào tính chất trên, sáng tạo bất đẳng thức dạng A ≤ b a f (x)dx ≤ B theo phương pháp sau: Bước Chọn hàm số f (x) hàm số liên tục [a; b] Bước Sử dụng phương pháp đạo hàm phương pháp đánh giá để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f (x) đoạn [a; b] Bước Lấy tích phân hai vế [a; b] ta bất đẳng thức Để minh họa cho phương pháp ta xét ví dụ: √ √ Chọn hàm f (x) = 16 − x + x − liên tục đoạn [4; 16] Tiếp theo, sử dụng phương pháp đạo hàm ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ f (x) đoạn [4; 16] √ √ 16 − x − x−4 −1 + √ = Ta có f ′ (x) = √ 16 − x x − (16 − x) (x − 4) f ′ (x) = ⇔ x = 10 Bảng biến thiên x f ′ (x) f (x) 10 16 √ √ Từ bảng biến thiên suy ra: √ √ ≤ f (x) ≤ 6, ∀x ∈ [4; 16] √ 64 Cuối cùng, lấy tích phân [4; 16] ta tốn Bài tập 3.16 Chứng minh √ 16 24 ≤ √ 16 − x + √ √ x − dx ≤ 24 Với phương pháp trên, sáng tạo toán tương tự Bài tập 3.17 Chứng minh bất đẳng thức tích phân sau 1) ≤ 2018 x2017 √ √ , dx ≤ 2018 + x2 2) −2 ln < 19 3) √ < 10 √ sin x − cos x < ln x2 + x 16x + 35 √ < √ , 4) ≤ 26 4x2 + 4x + 2 x.ex +x−2 dx ≤ e4 Tiếp theo, để sáng tạo tốn chứng minh bất đẳng thức tích phân có dạng b a f (x).dx ≤ A b b a f (x).dx ≥ thể thực hai phương pháp sau: g (x).dx có a Phương pháp Từ bất đẳng thức biết có dạng f (x) ≥ g (x), ∀x ∈ [a; b] dùng phương pháp đặc biệt hóa ta chọn hàm số thích hợp thỏa điều kiện bất đẳng thức lấy tích phân [a; b] a+b Chẳng hạn, từ bất đẳng thức Cauchy cho số không âm a, b: ≥ √ ab, ta chọn a = x2 + 1, b = x +1 Ta có x2 + + 1 + 1) (x ≥ x2 + x2 + = x4 + 2x2 + = ≥2 Từ ta suy ra, f (x) = x + + x +1 x2 + Lấy tích phân vế, ta có toán : 65 Bài tập 3.17 Chứng minh bất đẳng thức x4 + 2x2 + dx ≥ x2 + a+b+c ≥ √ abc ta chọn hàm số tương ứng với a, b, c thỏa điều kiện bất đẳng thức ta tạo bất đẳng thức Tương tự, từ bất đẳng thức Cauchy cho số a, b, c không âm: Bài tập 3.18 Chứng minh bất đẳng thức sau π 1) 2) e √ √ √ 27π sin x + sin x − sin x dx ≤ √ √ −6 ln x + ln x + dx ≤ 27 (e − 1) ln x + Từ bất đẳng thức Cauchy - Schwarz cho hai cặp số (a; b) (x; y): (ax + by)2 ≤ a2 + b2 x2 + y chọn cặp số tương ứng thỏa điều kiện bất đẳng thức, lấy tích phân [α; β] tạo bất đẳng thức tích phân Một số ví dụ sau minh họa cho dạng Bài tập 3.19 Chứng minh bất đẳng thức tích phân sau π 1) √ + cos2 x + 2) 3) √ √ 2 4) 1 + x3 dx < √ x4 + + √ √ − cos2 x dx ≤ 2π √ x4 − dx ≤ 38 32 + 4x + 1dx ≥ x(x + 2) + √ 2x − dx Phương pháp Chọn hàm số h (x) = f (x) − g (x), dùng phương pháp chứng minh bất đẳng thức để chứng minh f (x) ≥ g (x) , ∀x ∈ [a; b] sau lấy tích phân trên, cuối tạo tốn 66 Các ví dụ sau đây, tác giả sử dụng phương pháp xét tính đơn điệu hàm số để tạo toán Một số ví dụ minh họa Chọn hàm số f (x) = + x ln x + √ + x2 − √ + x2 hàm liên tục R Xét biến thiên f (x) suy f (x) ≥ f (0) = 0, ∀x ∈ R √ √ Hay x ln x + + x2 ≥ + x2 − 1, ∀x ∈ R Lấy tích phân vế [0; 1] , ta suy toán sau: Bài tập 3.20 Chứng minh bất đẳng thức x ln x + √ 1 + x2 dx ≥ √ + x2 dx − Bài tập 3.21 Chứng minh bất đẳng thức log2 √ x + + log2 √ x + dx > Bài tập 3.22 Chứng minh bất đẳng thức 5x3 − + √ 2x − + x dx ≥ 67 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sau thời gian tìm hiểu, học hỏi từ tài liệu Thầy giáo T.S Phạm Quý Mười cung cấp, tơi hồn thành luận văn Luận văn PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH giải vấn đề sau: Hệ thống lại định nghĩa, định lí, tính chất tích phân xác định Trình bày lại dạng tốn tích phân Trên sở sáng tạo số tốn tính tích phân số toán chứng minh bất đẳng thức tích phân Với tìm hiểu được, tơi hi vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân q trình giảng dạy sau hi vọng luận văn nguồn tư liệu tốt cho học sinh phổ thông quan tâm đến toán tích phân xác định Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn cịn có nhiều thiếu sót Vì thế, tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp q thầy cơ, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Thủy Thanh (2006), Bài tập Toán cao cấp tập 3, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Lê Văn Trực (2007), Giáo trình Giải tích Tốn học Tập - Chương 6, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [3] Y.Y Liasko, A.C Boiatruc (1978), Giải tích tốn học tập I, Nhà xuất Đại học Trung học chuyên nghiệp [4] Th.S Lê Thị Hương, Nguyễn Kiếm, Hồ Xuân Thắng (2008), Phân loại Phương pháp giải tốn Tích phân, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [5] Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoan, Nguyễn Xuân Liêm (2008), Giải tích 12 Nâng cao, Nhà xuất Giáo dục [6] Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thỏa (2001), Tuyển tập 200 thi vô địch Tốn tập Giải tích, Nhà xuất Giáo dục [7] Vũ Tuấn tác giả khác (2008), Bài tập Giải tích 12, Nhà xuất Giáo dục [8] Jean Marie Monier (2006), Giải tích 1, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [9] Jame Stewart (2003), Calculus Early Transcendentals Sixth Edition, USA ... pháp giải tốn ứng dụng tích phân xác định • Các phương pháp sáng tạo toán tích phân • Nghiên cứu lí thuyết tích phân, phương pháp giải sáng tạo tốn tích phân xác định Phương pháp nghiên cứu Phương. .. sâu vào củng cố lí thuyết tích phân xác định phương pháp giải Luận văn trình bày vài phương pháp sáng tạo tốn tích phân Mục tiêu nghiên cứu Trên sở hệ thống lại kiến thức Tích phân phương pháp giải. .. thuyết tích phân phương pháp giải cho tốn tích phân Luận văn tập trung vào nghiên cứu số cách thức sáng tạo tốn tích phân Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Lí thuyết tích phân xác định • Các phương pháp