Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán tìm giới hạn của hàm số

Công trình được hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: TS.. Huỳnh Thế Phùng Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngàn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG



HOÀNG THỊ DIỆU HIỀN

PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 60.46.01.13

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2016

Công trình được hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: TS PHẠM QUÝ MƯỜI

Phản biện 1: TS Nguyễn Duy Thái Sơn

Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng

Luận văn đã được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 8 năm 2016

Tìm hiểu luận văn tại:

- Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng

- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng

MÐ †U

1 Lþ do chån · t i

Giîi h¤n l  mët èi t÷ñng nghi¶n cùu trång t¥m cõa h m sè

v  l  kh¡i ni»m cì b£n cõa gi£i t½ch to¡n håc Nâ l  cì sð º x¥ydüng kh¡i ni»m h m sè li¶n töc, ¤o h m, t½ch ph¥n, Tâm l¤i,giîi h¤n h m sè l  vi¶n g¤ch º x¥y düng n¶n chuy¶n ng nh to¡nGi£i t½ch

Trong ch÷ìng tr¼nh to¡n THPT, Gi£i t½ch chi¸m thíi l÷ñngt÷ìng èi nhi·u, trong â ph¦n giîi h¤n cõa h m sè chõ y¸u n¬m

ð Håc ký 2 cõa lîp 11 v  mët v i d¤ng to¡n li¶n quan ð lîp 12.Tuy nhi¶n, h¦u h¸t håc sinh ·u lóng tóng khi gi£i c¡c d¤ng to¡nli¶n quan ¸n giîi h¤n cõa h m sè nh÷ c¡ch khû c¡c d¤ng væ ành,c¡ch x²t t½nh li¶n töc cõa h m sè ho°c khi t½nh ¤o h m cõa h m

sè b¬ng ành ngh¾a, C¡c b i to¡n v· giîi h¤n công ÷ñc xem

l  mët trong nhúng d¤ng to¡n khâ ð bªc THPT Trong ph¤m vigi£ng d¤y công nh÷ bçi d÷ïng håc sinh giäi c§p th nh phè, tæinhªn th§y h¦u h¸t håc sinh ·u th§y khâ kh«n trong vi»c nhªnd¤ng v  khû c¡c d¤ng væ ành khi gi£i c¡c b i to¡n v· giîi h¤n cõa

h m sè B£n th¥n gi¡o vi¶n công h¤n ch¸ trong vi»c tü ra mët sè

b i to¡n li¶n quan

Hi»n nay, t i li»u v· giîi h¤n cõa h m sè d nh cho håc sinh

v  gi¡o vi¶n THPT th¼ r§t nhi·u , tuy nhi¶n r§t ½t t¡c gi£, t i li»u,gi¡o tr¼nh ti¸ng vi»t nghi¶n cùu v  · cªp ¸n c¡c ph÷ìng ph¡pchuy¶n s¥u công nh÷ c¡c ph÷ìng ph¡p s¡ng t¤o c¡c b i to¡n v·giîi h¤n cõa h m sè L  mët gi¡o vi¶n ang gi£ng d¤y mæn to¡nTHPT, b£n th¥n tü nhªn th§y vai trá quan trång cõa giîi h¤n

h m sè trong gi£i t½ch, vîi mong muèn ÷ñc t¼m hiºu s¥u s­c hìn

Header Page 3 of 145.

v· c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i v  s¡ng t¤o c¡c b i to¡n v· giîi h¤n cõa

h m sè, tæi quy¸t ành chån · t i: PH×ÌNG PHP GIƒIV€ SNG T„O CC B€I TON TœM GIÎI H„N CÕAH€M SÈ cho luªn v«n th¤c s¾ cõa m¼nh

2 Möc ½ch v  nhi»m vö nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng ph¡p º gi£i c¡c b i to¡n t¼m giîi h¤ncõa h m sè °c bi»t, nghi¶n cùu c¡c ph÷ìng ph¡p s¡ng t¤o rac¡c b i to¡n v· giîi h¤n h m sè

3 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

* èi t÷ñng nghi¶n cùu: C¡c ph÷ìng ph¡p khû c¡c d¤ng

sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu sau :

+ Thu thªp, têng hñp, ph¥n t½ch, so s¡nh, ¡nh gi¡

+ Sû döng, ph¡t triºn v  ùng döng c¡c ph÷ìng ph¡p ¢ câtrong lþ thuy¸t v· giîi h¤n h m sè

+ Tham kh£o þ ki¸n çng nghi»p v  ng÷íi h÷îng d¨n

5 Þ ngh¾a khoa håc v  thüc ti¹n cõa · t i

· t i câ gi¡ trà v· m°t lþ thuy¸t v  ùng döng Câ thº sû döngluªn v«n nh÷ l  t i li»u tham kh£o d nh cho håc sinh giäi chuy¶n

to¡n v  c¡c èi t÷ñng quan t¥m ¸n c¡c ph÷ìng ph¡p t¼m v  s¡ngt¤o ra c¡c b i to¡n v· giîi h¤n cõa h m sè.

6 C§u tróc cõa luªn v«n

Ngo i ph¦n mð ¦u, k¸t luªn v  t i li»u tham kh£o, luªn v«n

÷ñc chia th nh 3 ch÷ìng, trong â:

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc cì b£n

Ch÷ìng 2 Ph÷ìng ph¡p t¼m giîi h¤n h m sè

Ch÷ìng 3 Ph÷ìng ph¡p s¡ng t¤o c¡c b i to¡n t¼m giîi h¤n h msè

Còng vîi sü h÷îng d¨n cõa Th¦y gi¡o TS Ph¤m Quþ M÷íi, tæi

¢ chån · t i "PH×ÌNG PHP GIƒI V€ SNG T„OCC B€I TON TœM GIÎI H„N CÕA H€M SÈ" choluªn v«n th¤c s¾ cõa m¼nh

Header Page 5 of 145.

CH×ÌNG 1

KI˜N THÙC CÌ BƒN

1.1 H€M SÈ H€M SÈ ÌN I›U H€M SÈ BÀCHN

1.2 CC PH’P TNH „I SÈ TR–N CC H€M1.3 GIÎI H„N H€M SÈ V€ MËT SÈ TNH CH‡T

CÌ BƒN

Cho I l  mët kho£ng cõa R, khæng réng v  công khæng thuv· mët iºm K½ hi»u I ch¿ kho£ng âng còng câ mót vîi I v  Ioch¿ kho£ng mð câ còng mót vîi I

A C¡c ành ngh¾a

ành ngh¾a 1.1 (ành ngh¾a giîi h¤n húu h¤n)

ành ngh¾a 1.2 (ành ngh¾a giîi h¤n væ còng)

ành ngh¾a 1.3 (ành ngh¾a giîi h¤n mët b¶n)

M»nh · 1.3 (Sû döng d¢y º thº hi»n giîi h¤n h m sè)

º f : X → R câ giîi h¤n l  l t¤i a ∈ I, i·u ki»n c¦n v  õ l :vîi måi d¢y (un)n∈N trong I sao cho un → a khi n → ∞, ta câ

f (un) → l khi n → ∞

M»nh · 1.4 Cho a ∈ I ∪ { − ∞; +∞}, f : I → R, l ∈

R, (c, d) ∈ R2 Gi£ sû f câ giîi h¤n l  l t¤i a

1 N¸u c < l, th¼ trong l¥n cªn cõa a : c < f(x)

2 N¸u l < d, th¼ trong l¥n cªn cõa a : f(x) < d

3 N¸u c < l < d, th¼ trong l¥n cªn cõa a : c < f(x) < d

M»nh · 1.5 (Chuyºn qua giîi h¤n trong c¡c b§t ¯ng thùc)Cho a ∈ I ∪ { − ∞; +∞}, f : I → R, l ∈ R, (c, d) ∈ R2

Gi£ sû f câ giîi h¤n l  l t¤i a

1 N¸u c ≤ f(x) trong l¥n cªn cõa a, th¼ c ≤ l

2 N¸u f(x) ≤ d trong l¥n cªn cõa a, th¼ l ≤ d

3 N¸u c ≤ f(x) ≤ d trong l¥n cªn cõa a, th¼ c ≤ l ≤ d

ành lþ 1.1 Gi£ sû lim

x→af (x) = L, lim

x→ag(x) = M (L, M ∈R) Khi â:

1 lim

x→a[f (x) ± g(x)] = L ± M;

Header Page 7 of 145.

Tr÷íng hñp ri¶ng:

*

(

limx→af (x) = +∞

limx→ag(x) = +∞

⇒ limx→a(f (x) + g(x)) = +∞

*

(

limx→af (x) = +∞

limx→ag(x) = l0 ∈ R∗+

⇒ limx→a(f (x) + g(x)) = +∞

2 N¸u lim

x→af (x) = +∞v  n¸u g bà ch°n d÷îi trong l¥n cªn cõa

abði mët h¬ng sè thüc sü d÷ìng, th¼: lim

x→a(f (x).g(x)) = +∞Tr÷íng hñp ri¶ng:

(

limx→af (x) = +∞

limx→ag(x) = +∞

⇒ limx→a(f (x).g(x)) = +∞

*

(

limx→af (x) = +∞

limx→ag(x) = l0 ∈ R∗+

⇒ limx→a(f (x).g(x)) = +∞

ành lþ 1.3 Cho (a, b) ∈ (R ∪ {−∞; +∞})2 sao cho:

a < b, f : (a; b) → R l  mët ¡nh x¤ t«ng

1 N¸u f bà ch°n tr¶n, th¼ f câ giîi h¤n húu h¤n t¤i b v :

lim

b f = supx∈(a;b)

f (x)

2 N¸u f khæng bà ch°n tr¶n, th¼ f câ giîi h¤n l  +∞ t¤i b

M»nh · 1.9 N¸u f : I → R l  mët ¡nh x¤ t«ng, th¼ f câmët giîi h¤n tr¡i v  mët giîi h¤n ph£i húu h¤n t¤i måi iºm athuëc I, v :o

limx→a −f ≤ f (a) ≤ lim

x→a +f

1.4 „I L×ÑNG VÆ CÒNG B’ (VCB) V€ „IL×ÑNG VÆ CÒNG LÎN (VCL)

1.4.1 ¤i l÷ñng VCB

ành ngh¾a 1.4 Cho I l  tªp khæng réng cõa R

H m sè α : I → R gåi l  ¤i l÷ñng VCB t¤i a ∈ I n¸u nh÷α(x) → 0

x→a, a câ thº l  +∞ ho°c −∞

H» qu£ 1.1 º tçn t¤i lim

x→af (x) = l, i·u ki»n c¦n v  õ l 

h m sè α(x) = f(x) − l l  VCB t¤i a

Header Page 9 of 145.

H» qu£ 1.4 (Quy t­c ng­t bä VCB c§p cao)

N¸u α∗l  VCB c§p th§p nh§t trong sè c¡c VCB αi, (i = 1, m)

v  β∗ l  VCB c§p th§p nh§t trong sè c¡c VCB βj, (j = 1, n) t¤i

a Khi â:

limx→a

mPi=1αinPj=1

βj

= limx→a

1 f li¶n töc t¤i iºm x0 ∈ X n¸u vîi måi sè d÷ìng ε b§t k¼,

çn t¤i mët sè δ > 0 sao cho

∀x ∈ X, |x − x0| < δ ⇒ |f (x) − f (x0| < ε

2 f li¶n töc tr¶n tªp hñp X n¸u f li¶n töc t¤i måi iºm x ∈ X

H m sè f khæng li¶n töc t¤i iºm x0 gåi l  gi¡n o¤n t¤i iºm

2.2.2 Ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch th nh nh¥n tû,th¶m, bît, nh¥n l÷ñng li¶n hñp

vîi biºu thùc li¶n hñp t÷ìng ùng cõa biºu thùc chùa c«n thùc ºtröc c¡c nh¥n tû x − x0 ra khäi c¡c c«n thùc.

limx→0

x2+ 4

4

√16x4+ 3 −√5

Header Page 13 of 145.

2.5 CC PH×ÌNG PHP KHÛ CC D„NG VÆ

ÀNH KHC

V½ dö 2.13 T½nh giîi h¤n L = lim

x→∞[√x2− x + 3 + x].V½ dö 2.14 T½nh giîi h¤n L = lim

L = lim

x→1

m

1 − xm − n

1 − xn

, (m, n ∈ N∗)

x − 1−

1

ln x

.V½ dö 2.20 T½nh giîi h¤n L = lim

x→π2



x −π2

tan x

x2

0 nh÷ng l¤i g°p ph£i d¤ng væ

ành ∞ − ∞ n¸u nh÷ sè h¤ng v­ng l  h¬ng sè Nguy¶n nh¥n l d¤ng væ ành 0

0 m  ta khû sau khi th¶m bît h¬ng sè v­ng, khængph£i l  hai ¤i l÷ñng væ còng b² còng c§p

V§n · °t ra l  sè h¤ng v­ng â t¼m nh÷ th¸ n o º thu

÷ñc d¤ng væ ành 0

0 m  væ còng b² ð tû v  væ còng b² ð m¨u l còng c§p º câ thº khû d¤ng væ ành tr¶n m  khæng ph£i g°p t¼nhhuèng khû ÷ñc d¤ng væ ành n y l¤i g°p d¤ng væ ành kh¡c.Ph÷ìng ph¡p ti¸p tuy¸n s³ gióp chóng ta gi£i quy¸t ÷ñc v§n

c¡t tuy¸n M0M cõa ç thà (C) khi M d¦n tîi M0 (M, M0 thuëc

ç thà (C)) V  v¼ vªy câ thº th§y r¬ng khi x → x0 th¼ f(x) v 

f0(x0)(x − x0) + f (x0)l  hai ¤i l÷ñng væ còng b² t÷ìng ÷ìng.Gi£ sû giîi h¤n lim

x→x 0

m

pf(x) −pg(x)n

(x − x0)k ÷ñc vi¸t l¤i l :lim

x→x 0

k(x) − h(x)

(x − x0)k (y = k(x) v  y = h(x) câ ¤o h m t¤i x0).Khi â ta thüc hi»n theo c¡c b÷îc sau:

1 Vi¸t ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n cõa h m sè y = k(x) ho°c

y = h(x)t¤i x0, gi£ sû ph÷ìng tr¼nh ti¸p tuy¸n l  y = t(x)

t(x) − pg(x)n

(x − x0)k

#

2.6.3 Ph÷ìng ph¡p sû döng cæng thùc khai triºnTaylor

A Ph¦n ch½nh cõa h m sè

B Cæng thùc Taylor

Gi£ sû h m sè f câ ¤o h m ¸n c§p n li¶n töc tr¶n o¤n

I = [α; β]v  câ ¤o h m c§p n+1 tr¶n kho£ng (α; β) N¸u a, b ∈ I

th¼ tçn t¤i mët sè thüc c giúa a v  b (c ∈ (a; b) n¸u a, b, c ∈ (b; a)n¸u a > b) sao cho

f (b) = f (a) +f

0(a)1! (b − a) +

f00(a)2! (b − a)

n+1

÷ñc gåi l  ph¦n d÷ d¤ng Lagrang

N¸u a = 0 th¼ (2.1) ÷ñc gåi l  cæng thùc Maclaurin

Tø cæng thùc Maclaurin, ta nhªn ÷ñc 5 khai triºn quan trång:

1 ex= 1 + x + x

22! + +

xnn! + o(x

n)

2 sinx = x −x3

3! + + (−1)

n−1 x2n−1(2n − 1)! + o(x

2n)

3 cosx = 1 − x2

2! + + (−1)

n x2n(2n)!+ o(x

* Þ t÷ðng

Düa v o c¡c giîi h¤n cì b£n ¢ tr¼nh b y ð ph¦n 2 cõa ch÷ìng

2, ta câ thº t¤o ra mët sè b i to¡n t¼m giîi h¤n cõa h m sè câd¤ng væ ành 0

u→u 0

sinf (u)

f (u) = 1.Nh÷ vªy, ta câ thº t¤o ra c¡c b i to¡n t½nh giîi h¤n sau:

L2 = lim

x→1

x − 1sin 2(x − 1) = limx→1

1cos(x − 1) = −

x→0

−sin2x2x2 = −1

2x→1lim

sin2x

x2 = −1

2.L4 = lim

x→π2

cos x

x −π2

= −1

L5 = lim

x→0

sin 3xsin 5x =

3

5x→0lim

sin 3x3x .

5xsin 5x =

= 2

3x→∞lime

2

x − 12x

L1 = lim

x→0

a2x 2

− 13x2 = 2

3x→0lim

a2x 2

− 12x2 = 2

2ln a

Header Page 19 of 145.

3.2.2 Sû döng c¡c VCB t÷ìng ÷ìng

* Þ t÷ðng

Sû döng c¡c VCB t÷ìng ÷ìng cõa mët sè h m, ta câ thº t¤o

ra mët sè b i to¡n t¼m giîi h¤n b¬ng c¡ch lªp t½ch ho°c th÷ìngcõa c¡c h m â

= limx→0

2sin2x2sinx4

= limx→0

2.x24x4

= limx→02x = 0

B i to¡n 3.6 Ta câ 1

x4+ x6 = lim

x→0

1

4x4

x→1

x2015− 1

x2016− 1.L3= lim

3.2.4 Sû döng cæng thùc khai triºn Taylor

B i to¡n 3.10 Tø c¡c khai triºn:

= lim

x→0

x − x2

x→0

x

2−

12

B i to¡n 3.12 Tø khai triºn tan x = x +x3

3 + o(x

3) v  c¡ckhai triºn tr¶n, ta suy ra c¡c b i to¡n t½nh giîi h¤n sau:

L1 = lim

x→0

sin x − tan x5x3 = lim

x→0

−x3

2 + o(x

3)5x3 = − 1

x→0

x +3

2x

2+ o(x3)2x + 3x2

x55! −

x77! + o(x

8),tanx = x + x

B i to¡n 3.15 T½nh giîi h¤n L = lim

x→0(1 + 2x)

12x − e

L = lim

x→0(1 + 2x)

12x − e2x = limx→0

e

12xln(1+2x)− e2x

= lim

x→0e

12xln(1+2x).

B i to¡n 3.17 T½nh giîi h¤n L = lim

x→−∞

5x2+ 2 +√9x4− 13x −√3

* Þ t÷ðng: Tø c¡c giîi h¤n cì b£n v  giîi h¤n cõa h m hñp,

ta câ thº t¤o ra mët sè b i to¡n t¼m giîi h¤n cõa h m sè câ d¤ng

Header Page 23 of 145.

væ ành 1∞.

C¡c giîi h¤n cì b£n th÷íng g°p:

limx→0(1 + x)

2x2− x + 3x

= lim

x→∞



1 + 2x − 42x2− x + 3

2x2− x + 3x

= lim

x→∞



1 + 2x − 42x2− x + 3

2x2− x + 32x − 4 .

bx+c

= eab.Ngo i ra, ta công câ thº sû döng ph÷ìng ph¡p L'Hospital º t¤o

ra mët sè b i to¡n t¼m giîi h¤n d¤ng væ ành n y Ch¯ng h¤n,b¬ng c¡ch sû döng cæng thùc [f(x)]g(x)= eg(x) ln f (x) (f (x) > 0)

v  ¡p döng quy t­c L'Hospital, ta t½nh ÷ñc c¡c giîi h¤n sau:

B i to¡n 3.21.

L1= lim

x→0(1 + x)

2tan x = ex→0lim

2tan x ln(1+x)

x



B i to¡n 3.23 T½nh giîi h¤n L = lim

B i to¡n 3.24 T½nh giîi h¤n

L = limx→π2

r

x + 58x3− 3x2+ 7



Header Page 25 of 145.

2 ÷a ra c¡c ph÷ìng ph¡p t¼m giîi h¤n cõa h m sè.

3 Tr¶n cì sð â ¢ s¡ng t¤o ÷ñc mët sè b i to¡n t¼m giîi h¤ncõa h m sè câ d¤ng væ ành th÷íng g°p

Vîi nhúng g¼ ¢ t¼m hiºu ÷ñc, tæi hy vång luªn v«n s³ l  mët

t i li»u tham kh£o húu ½ch cho b£n th¥n trong cæng t¡c gi£ng d¤ysau n y v  hy vång luªn v«n công l  nguçn t÷ li»u tèt cho håcsinh phê thæng công nh÷ nhúng ai quan t¥m ¸n lîp c¡c b i to¡nv· giîi h¤n cõa h m sè

M°c dò ¢ h¸t sùc cè g­ng, nh÷ng do thíi gian v  kh£ n«ng

câ h¤n n¶n ch­c ch­n luªn v«n cán câ nhúng thi¸u sât V¼ th¸, tæir§t mong nhªn ÷ñc nhi·u þ ki¸n âng gâp cõa quþ th¦y cæ, b¤nb±, çng nghi»p º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

...

nh náu nhữ số hÔng vưng l hơng số Nguyản nhƠn ldÔng vổ nh 0

0 m ta khỷ sau thảm bợt hơng số vưng, khổngphÊi l hai Ôi lữủng vổ b cĐp

VĐn à t l số hÔng vưng õ... data-page="26">

2 ữa cĂc phữỡng phĂp tẳm giợi hÔn cừa hm số.

3 Trản cỡ s õ Â sĂng tÔo ữủc mởt số bi toĂn tẳm giợi hÔncừa hm số cõ dÔng vổ nh thữớng gp

Vợi nhỳng gẳ  tẳm hiu... Ph÷ìng ph¡p sû dưng cỉng thực khai trinTaylor

A PhƯn chẵnh cừa hm số

B Cổng thực Taylor

GiÊ sỷ hm số f cõ Ôo hm án cĐp n liản tửc trản oÔn

I = [; ]v cõ Ôo hm cĐp