Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy số thực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠIăH CăĐÀăN NG NGUYỄNăHẠăVYă PH NGăPHÁPăGIẢIă VÀ SÁNGăTẠOăCÁCăBÀIăTOÁNă VỀăDÃYăS ăTHỰC LU NăV NăTHẠCăSĨăKHOAăH C ĐƠăN ngă- N mă2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠIăH CăĐÀăN NG NGUYỄNăHẠăVYă PH NGăPHÁPăGIẢIă VÀ SÁNGăTẠOăCÁCăBÀIăTOÁNă VỀăDÃYăS ăTHỰC ChuyênăngƠnh:ăăPh ngăphápăToán s ăcấp Mƣăs :ăă60.46.01.13 LU NăV NăTHẠCăSĨăKHOAăH C Ng iăh ngăd năkhoaăh c:ăăTS.ăPHẠMăQUÝăM ĐƠăN ngă- N mă2016 Iă LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn NGUYỄN HẠ VY MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ DÃY SỐ THỰC 1.1 DÃY SỐ, DÃY ĐƠN ĐIỆU, DÃY BỊ CHẶN 1.2 GIỚI HẠN DÃY SỐ 1.3 CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN 1.4 SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.4.1 Sai phân 1.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính 1.4.3 Phương trình sai phân tuyến tính bậc 1.4.4 Phương trình sai phân tuyến tính bậc hai 1 2 2 4 8 10 11 11 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 2.1 TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 2.1.1 Dự đốn cơng thức số hạng tổng qt chứng minh phương pháp quy nạp 2.1.2 Sử dụng phương trình sai phân để tìm số hạng tổng quát 2.1.3 Sử dụng dãy số phụ để tìm số hạng tổng quát 2.2 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ 2.2.1 Sử dụng phương pháp quy nạp để xét tính đơn điệu, tính bị chặn dãy số 2.2.2 Dựa vào số hạng tổng quát để xét tính đơn điệu, tính bị chặn dãy số 14 14 14 20 26 31 32 34 2.2.3 Sử dụng phương pháp hàm số để xét tính đơn điệu, tính bị chặn dãy số 2.3 CHỨNG MINH SỰ HỘI TỤ VÀ TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 2.3.1 Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số 2.3.2 Dựa vào số hạng tổng quát để tính giới hạn dãy số 2.3.3 Sử dụng định lý Weierstrass để chứng minh dãy số có giới hạn CHƯƠNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN VỀ DÃY SỐ 3.1 PHƯƠNG PHÁP ĐẶC BIỆT HĨA 3.1.1 Đặc biệt hóa phương trình sai phân cấp 3.1.2 Đặc biệt hóa phương trình sai phân cấp hai 3.2 PHƯƠNG PHÁP TỔNG QUÁT HÓA 3.3 PHƯƠNG PHÁP ĐẶT DÃY SỐ PHỤ 3.3.1 Từ cấp số nhân 3.3.2 Từ toán có cơng thức truy hồi cấp có dạng lượng giác 3.3.3 Một số ví dụ khác 3.4 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ ax + b 3.4.1 Từ hàm số f (x) = cx + d √ 3.4.2 Từ hàm số f (x) = ax + b 3.4.3 Từ hàm số f (x) = ax2 + bx + c 3.4.4 Từ hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + d 37 39 39 42 45 53 53 53 56 59 65 65 68 74 76 76 80 83 85 KẾT LUẬN 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO 91 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình tốn trường trung học phổ thơng, dãy số đưa vào cuối học kì lớp 11 với thời lượng 12 tiết bao gồm kiến thức: phương pháp chứng minh quy nạp, khái niệm dãy số, tính đơn điệu, tính bị chặn dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân, giới hạn dãy số Vì thời lượng ỏi nên dạng tập dãy số dừng mức độ áp dụng tính chất để tính giới hạn dãy số Các tập tính đơn điệu, tính bị chặn đưa vài ví dụ để minh họa, chưa sâu vào phương pháp Ở bậc cao đẳng, đại học, dãy số đưa vào học phần giải tích Ở đây, dãy số nghiên cứu sâu hơn, lý thuyết hệ thống tập phong phú đa dạng Mặc dù vậy, lúc phải học nhiều môn khác nên thời gian để sinh viên nghiên cứu tìm hiểu sâu lý thuyết dãy số thực rèn luyên kỹ giải nắm bắt dạng tập khác hạn chế Dãy số phần giải tích tốn học, vấn đề dãy số bao gồm: khảo sát hội tụ tìm giới hạn dãy, tính đơn điệu tính bị chặn dãy Từ đó, dạng tập tập trung vào vấn đề này: tìm số hạng tổng quát dãy số, khảo sát tính đơn điệu, tính bị chặn, chứng minh hội tụ tìm giới hạn dãy số Vì nghiên cứu chuyên sâu dãy số bao gồm lý thuyết bản, dạng tập phương pháp giải toán dãy số nhu cầu cấp thiết giáo viên phổ thông Đây lí mà tơi chọn đề tài nghiên cứu dãy số Hơn nữa, đề thi (đặc biệt đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, quốc gia, quốc tế) yêu cầu đề thi câu hỏi đề thi phải mới, không lấy nguồn tài liệu Điều địi hỏi người đề phải có kỹ sáng tạo toán Các đề thi học sinh giỏi thường có câu hỏi, tốn dãy số Vì thế, bên cạnh kiến thức dãy số kỹ giải toán dãy số, kỹ sáng tạo toán dãy số yêu cầu thiếu giáo viên Đây lí để tơi chọn đề tài nghiên cứu cho Với mong muốn nâng cao kiến thức, kỹ giải sáng tạo toán dãy số thân, định chọn đề tài : “Phương pháp giải sáng tạo toán dãy số thực” cho luận văn thạc sĩ Luận văn nhắm vào việc hệ thống lại kiến thức dãy số, phân loại dạng phương pháp giải toán dãy số Luận văn trình bày số cách để sáng tạo tốn dãy số Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Trên sở hệ thống lại kiến thức dãy số phương pháp giải tài liệu tham khảo khác nhau, luận văn trình bày, tổng hợp, xếp lại lý thuyết dãy số phương pháp giải toán dãy số Luận văn tập trung vào nghiên cứu số cách thức sáng tạo toán dãy số Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Lý thuyết dãy số thực - Các phương pháp giải toán dãy số thực - Các phương pháp sáng tạo toán dãy số thực - Nghiên cứu lý thuyết dãy số thực, phương pháp giải sáng tạo toán dãy số thực Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận: Với đề tài: “Phương pháp giải sáng tạo tốn dãy số thực” tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu sau : + Thu thập, phân tích, so sánh, đánh giá tổng hợp + Áp dụng phương pháp giải có toán dãy + Sáng tạo toán dựa toán gốc Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt lý thuyết thực tiễn Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán, giáo viên phổ thơng giảng dạy tốn đối tượng quan tâm đến toán dãy số Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành chương, đó: Chương TỔNG QUAN VỀ DÃY SỐ THỰC Trình bày sơ lược kiến thức bổ trợ dãy số, tính đơn diệu dãy số, tính bị chặn dãy số, hội tụ dãy số, định lý liên quan đến hội tụ dãy, khái niệm sai phân, phương trình sai phân Chương CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Trình bày phương pháp giải tốn tìm số hạng tổng qt dãy, tốn tính đơn điệu, tính bị chặn dãy số, toán chứng minh hội tụ tìm giới hạn dãy số Chương SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN VỀ DÃY SỐ Trình bày số phương pháp sáng tạo toán như: phương pháp đặc biệt hóa từ tốn tổng quát, phương pháp tổng quát hóa từ tốn cụ thể, từ đặc biệt hóa tốn tổng quát để tạo toán khác nhau, từ toán đơn giản sử dụng phương pháp đặt dãy số phụ để sáng tạo tốn phức tạp hơn, phương pháp khảo sát tính đơn điệu hàm số để xây dựng dãy số Cùng với hướng dẫn Thầy giáo TS Phạm Quý Mười, chọn đề tài "PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ THỰC" cho luận văn thạc sĩ CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ DÃY SỐ THỰC Trong chương này, trình bày khái niệm dãy số, dãy đơn điệu, dãy bị chặn, giới hạn dãy, tính chất liên quan đến giới hạn dãy số, số dãy đặc biệt sơ lược phương trình sai phân Các khái niệm, định lý phần tìm thấy tài liệu tham khảo ([1], [2], [5]) 1.1 DÃY SỐ, DÃY ĐƠN ĐIỆU, DÃY BỊ CHẶN Định nghĩa 1.1 (Dãy số thực) Dãy số ánh xạ từ N vào R : u:N→R n → u(n) = un Kí hiệu: un n∈N hay un n hay un n Với n ∈ N, un gọi số hạng thứ n dãy Định nghĩa 1.2 (Dãy con) 1) Ta gọi ánh xạ tăng σ : N → N hàm trích 2) Với dãy un n∈N cho trước, dãy uσ(n) n∈N , với σ(n) hàm trích gọi dãy un n∈N Định nghĩa 1.3 (Dãy số bị chặn) 1) Dãy un n∈N gọi bị chặn tồn số thực A cho ∀n ∈ N, un A Khi đó, A gọi chặn dãy un n∈N 2) Dãy un n∈N gọi bị chặn tồn số thực A cho ∀n ∈ N, un A Khi đó, A gọi chặn dãy un n∈N 3) Dãy un n∈N gọi bị chặn vừa bị chặn vừa bị chăn dưới, nghĩa tồn số thực A cho ∀n ∈ N, | un | A Định nghĩa 1.4 (Dãy số đơn điệu) Cho un n∈N dãy số thực 1) Dãy un n∈N gọi dãy tăng un un+1 , ∀n ∈ N 2) Dãy un n∈N gọi dãy giảm un un+1 , ∀n ∈ N 3) Dãy un n∈N gọi dãy tăng ngặt un < un+1 , ∀n ∈ N 4) Dãy un n∈N gọi dãy giảm ngặt un > un+1 , ∀n ∈ N Định lý 1.1 Cho f : I → I ánh xạ, xét dãy số un+1 = f (un ) , n ∈ N 1) Trường hợp f tăng I - Nếu u0 u1 un n∈N dãy tăng, u0 u1 un n∈N dãy giảm 2) Trường hợp f giảm I - Nếu u0 u2 u2n n∈N dãy tăng, u0 u2 u2n n∈N dãy giảm - Nếu u1 u3 u2n+1 n∈N dãy tăng, u1 u3 u2n+1 n∈N dãy giảm Chứng minh 1) Trường hợp f tăng I - Nếu u0 u1 ⇒ f (u0 ) f (u1 ) hay u1 u2 Suy f (u1 ) f (u2 ) hay u2 u3 , quy nạp ta có: un Vậy un n∈N dãy tăng - Nếu u0 u1 ⇒ f (u0 ) f (u1 ) hay u1 u2 Suy f (u1 ) f (u2 ) hay u2 u3 , quy nạp ta có: un Vậy un n∈N dãy giảm 2) Trường hợp f giảm I Vì f giảm I nên ánh xạ f ◦ f tăng I - Nếu u0 u2 ⇒ f (f (u0 )) f (f (u2 )) hay u2 Suy f (f (u2 )) f (f (u4 )) hay u4 u6 Quy nạp ta có: u2n u2n+2 , ∀n ∈ N∗ Vậy u2n n∈N - Nếu u0 u2 ⇒ f (f (u0 )) f (f (u2 )) hay u2 Suy f (f (u2 )) f (f (u4 )) hay u4 u6 Quy nạp ta có: u2n u2n+2 , ∀n ∈ N∗ Vậy u2n n∈N - Tương tự ta có: Dãy u2n+1 n∈N dãy tăng u1 u3 Dãy u2n+1 n∈N dãy giảm u1 u3 un+1 , ∀n ∈ N∗ un+1 , ∀n ∈ N∗ u4 dãy tăng u4 dãy giảm 1.2 GIỚI HẠN DÃY SỐ Định nghĩa 1.5 (Giới hạn hữu hạn) Dãy un n∈N gọi hội tụ tồn số thực l cho ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N, ∀n ∈ N, n n0 ⇒| un − l | Khi đó, dãy un n∈N gọi hội tụ đến l −−−→ l Kí hiệu: lim un = l un − n→+∞ n→+∞ ε ... thuyết dãy số phương pháp giải toán dãy số Luận văn tập trung vào nghiên cứu số cách thức sáng tạo toán dãy số Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Lý thuyết dãy số thực - Các phương pháp giải toán dãy số. .. giải toán dãy số thực - Các phương pháp sáng tạo toán dãy số thực - Nghiên cứu lý thuyết dãy số thực, phương pháp giải sáng tạo toán dãy số thực Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý... pháp giải tốn tìm số hạng tổng qt dãy, tốn tính đơn điệu, tính bị chặn dãy số, tốn chứng minh hội tụ tìm giới hạn dãy số Chương SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Trình bày số phương pháp sáng tạo toán