Ứng dụng tam thức bậc 2 trong giải toán và sáng tạo các bài toán sơ cấp

Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong chương trình toán sơ cấp,tam thức bậc hai xương sống, phần quan trọng chương trình Khi giải toán lựa chọn phương pháp giải bước cần phải làm Lời giải toán hay lựa chọn phương pháp giải thích hợp Tam thức bậc hai phương pháp giải hay, ứng dụng nhiều giải toán sơ cấp Với lý với lòng say mê tìm tòi nghiên cứu giúp đỡ tận tình ThS Phạm Lương Bằng chọn đề tài:“Ứng dụng tam thức bậc hai giải toán sáng tạo toán sơ cấp”, để làm đề tài khóa luận tốt nghiệp Với mong muốn góp phần giúp học sinh có nhìn toàn diện phương pháp giải cho toán Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học thấy vị trí tầm quan trọng tam thức bậc hai chương trình toán sơ cấp Nhiệm vụ nghiên cứu Ứng dụng tam thức bậc hai giải toán sơ cấp sáng tạo toán sơ cấp Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu * Đối tượng nghiên cứu - Phương trình bậc 2, phương trình bậc cao, phương trình mũ, phương trình logarit, phương trình lượng giác - Bất phương trình bậc 2, bất phương trình mũ… - Hệ phương trình, hệ bất phương trình… * Phạm vi nghiên cứu Các toán chương trình toán sơ cấp Phƣơng pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, so sánh phân tích tổng hợp NguyÔn Thanh Hßa K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp CHƢƠNG I: BẤT PHƢƠNG TRÌNH BẬC 1.1 Kiến thức 1.1.1 Phương trình bậc thực ax2 + bx + c = (a ≠ 0) b2 b ) 4ac ( ' b '2 4ac ; b ' -∆0 (1) Có nghiệm x1,2 -∆=0 (1) Có nghiệm kép b 2a x b 2a 1.1.2 Dấu tam thức bậc 1.1.2.1 Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) ∆ = b2 - 4ac - Nếu ∆ < a.f(x) > x R b - Nếu ∆ = a.f(x) > x R/ 2a - Nếu ∆ > f(x) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) a.f(x) > x (-∞, x1) (x2, +∞) a.f(x) > x (x1, x2) 1.1.2.2 Ý nghĩa hình học y x a f ( x) với x R NguyÔn Thanh Hßa a f ( x) với x R K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp y y b 2a x b 2a x a a f ( x) với x R\ b 2a f ( x) với b 2a x R\ y y x1 x2 x x1 x2 x a f ( x) f ( x) x1 x x1 a f ( x) x x2 f ( x) x x2 x1 x x2 x x1 x x2 1.1.2.3 Thí dụ minh họa Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức sau: a) f(x) = 2x2 - x + b) f(x) = -x2 + 5x - Giải a) f(x) = 2x2 - x + NguyÔn Thanh Hßa K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp f(x) tam thức bậc x có a = > ∆ = -7 < Vậy f(x) > x R b) f(x) = -x2 + 5x – f(x) tam thức bậc x có a = -1 < ∆=1 Có nghiệm x1 = 2; x2 = Vậy f(x) > x (2,3) f(x) < x (-∞, 2) (3, +∞) Ví dụ 2: Tìm m để hàm số sau xác định với số thực y (m 1) x 2(m 1) x 2m Giải Hàm số xác định với x R f(x) > x R - Nếu m = f(x) = 4x + ≥ - Nếu m = không thỏa mãn - Nếu m ≠ f(x) tam thức bậc x f(x) > x R x ≥ -1 a ' m (m 1)2 m m2 (2m 2)(m 1) 2m m m m Vậy m m 3, 1.1.2.4 Chú ý Xét dấu f(x) trục số NguyÔn Thanh Hßa K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp f(x) > x R a 0 f(x) < x R a 0 f(x) ≥ x R a 0 f(x) ≤ x R a 0 1.1.2.5 Bài tập 1) Xét dấu biểu thức sau: a) f(x) = 4x2 - 12x + b) f(x) = x2 + 2(a+5)x + 3a 2) Tìm m để với số thực x a) 3x2 + 2(m-1)x + m + > 3x mx b) x2 x 1.2 Bất phƣơng trình bậc 1.2.1 Định nghĩa Bất phương trình bậc bất phương trình có dạng ax2 + bx + c > ax2 + bx + c < ax2 + bx + c ≥ ax2 + bx + c ≤ Trong a, b, c số cho trước, a ≠ 0, x ẩn số 1.2.2 Cách giải - Xét dấu f(x) = ax2 + bx + c - Lựa chọn x để f(x) > f(x) < f(x) ≥ f(x) ≤ 1.2.3 Thí dụ minh họa Giải biện luận bất phương trình sau: a) x ( x 1) 15 (1) x2 x NguyÔn Thanh Hßa K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi b) (m 1) x Kho¸ LuËn tèt nghiÖp x m (2) Giải x2 a) ( x 1) 2( x Đặt t 15 (1) x x 15 x x x 1) x2 x (x (1) trở thành 2t Vì t nên ) 15 t 4 t 2t t 15 t 4 x2 x2 x x x Vậy tập nghiệm (1) T=[-2,1] b) (m 1) x 4x m (2) - Nếu m (2) trở thành x - Nếu m thì: ' (m 1)(m 2) ' m2 x m m a m ' Với m Tập nghiệm (2) T=R Với m a m ' NguyÔn Thanh Hßa K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp (2) vô nghiệm a m ' Với m Vế trái (2) có hai nghiệm x1 x2 x1 m2 m m m2 m m x2 Vậy tập hợp nghiệm (2) T= (-∞, x1) Với m (x2, +∞) a m ' Tập nghiệm (2) T= (x1, x2) (với x1> x2) tập nghiệm (2) T Vậy Với m ( , ) Với m tập nghiệm (2) T=IR Với m tập nghiệm (2) T Với m tập nghiệm (2) T= (x1, x2) Với m tập nghiệm (2) T= (-∞, x1) Trong x1 m2 m , x2 m (x2, +∞) m2 m m 1.2.4 Bài tập Bài 1: Cho bất phương trình x2 x 5m (1) Tìm m để a) (2) vô nghiệm b) (2) có nghiệm Bài 2: Giải biện luận bất phương trình sau: a) x 2(m b) (m 2) x m)x m m 2(m 1) x 5(m 3) c) mx (m 5) x 3m NguyÔn Thanh Hßa K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp d) x2 5x 5m e) (m2 1) x 6mx 1.3 Ứng dụng định lý thuận dấu tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức 1.3.1 Phương pháp Để chứng minh A>B ta chứng minh A – B >0 (3) với A – B tam thức bậc hai biến số a 0 Vậy (3) Tương tự bất đẳng thức : + A < B +A≥B +A≤B 1.3.2 Thí dụ minh họa Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: 3x y2 xy x y (1) với x,y IR Giải Coi vế trái (1) tam thức bậc x Ta có VT(1) 3x y2 xy x y a ' 4( y 2) VT(1) ≥ 3(5 y x,y y 9) IR 11( y 1) với y Đpcm ' Dấu “=” xảy 2( y 2) x y x Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức sau: b2 x (b2 c2 a2 ) x c2 (b) với x,y IR Trong a, b, c cạnh tam giác ABC NguyÔn Thanh Hßa K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp Giải Gọi VT(b) tam thức bậc hai x Hệ số x2 b2 > ' (b c2 a )2 4b 2c Mà (b c2 a )2 2bc cos A nên 4b 2c cos A 4b 2c 4b 2c (cos A 1) Đpcm ≤ cos2A d NguyÔn Thanh Hßa K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp b) Chứng minh a, b, c, d theo thứ tự tạo thành cấp số cộng, số m chọn cho thỏa mãn ad bc 2m Thì bất đẳng thức sau với x ( x a)( x b)( x c)( x d ) m d) Chứng minh với x, y , z e) Chứng minh với x x2 y2 x 2z xy yz z cos A (cos B cos C ) x A, B, C ba góc tam giác f) Chứng minh a b c2 d2 e2 a (a b c d e) với a, b, c, d , e R 1.4 Ứng dụng định lý thuận dấu tam thức bậc hai để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ 1.4.1.Phương pháp miền giá trị Cho hàm số y = f(x) xác định D Nếu y giá trị hàm số phương trình f(x) = y có nghiệm x D Vậy y miền giá trị hàm số 1.4.2 Thí dụ minh họa Ví dụ 1: Tìm miền giá trị hàm số x 3x x y Giải Hàm số xác định D R \ Giả sử y giá trị hàm số phương trình: x 3x x Trên D (1) x2 y (1) có nghiệm x D (3 NguyÔn Thanh Hßa y) x y (2) 10 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp Bài toán 5: Cho hệ bất phương trình 2x2 (II) x x2 m(m 1) x m3 (1) (2) Hãy tìm giá trị tham số m để hệ có nghiệm Giải với x (1) m Ta tìm m cho (2) có nghiệm bất phương trình có chung nghiệm Xét (2) Gọi f ( x) f ( x) f ( x) +) TH1: Khi x2 m(m 1) x m3 m2 (m 1) 4m3 m2 (m 1) với m m m 0 f ( x) a) Khi m (II) 2x2 x2 x 0 x x x Vậy m thỏa mãn toán b) Khi m (II) 2x2 x ( x 1) x x Vậy m không thỏa mãn toán +) TH2: f ( x) NguyÔn Thanh Hßa m m 61 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi f ( x) Vì m nên x1 m Kho¸ LuËn tèt nghiÖp x1 m2 x2 m x2 b1) Khi m (1) x (2) m x m2 -1 m2 m m Hệ có nghiệm m m2 b2) Khi m (1) x (2) m2 x m -1 m2 NguyÔn Thanh Hßa m 62 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp m m Hệ có nghiệm m 2 m 2 b3) Khi m x (1) m2 (2) x m2 -1 m2 m m Hệ có nghiệm m m2 Vậy hệ cho có nghiệm m hệ có nghiệm x hệ có nghiệm x m Bài toán 6: Tìm k để hệ sau có nghiệm x2 5x x2 kx k (1) (2) Giải 1) x với k Ta tìm k cho (2) có nghiệm bất phương trình có chung nghiệm Xét (2) NguyÔn Thanh Hßa 63 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Gọi x2 f ( x) Kho¸ LuËn tèt nghiÖp kx k +) Tìm k để (2) có nghiệm f ( x) f ( x) với Để (2) có nghiệm (2) vô nghiệm x k2 f ( x) 4k k k 0 Tìm k (k ≤ k ≥ 4) để hệ có nghiệm k k TH1: - Khi k ta có hệ x2 5x x2 Vì ,2 Vậy k không thỏa mãn - Khi k hệ vô nghiệm ( x 2)2 (2) x 2 x 0 ,2 x Hệ có nghiệm x Do k * Khi thỏa mãn toán k k f ( x) f(x) có nghiệm phân biệt x1 x1 (2) x1 k x k2 4k ; x2 x2 k k2 4k x2 Miền nghiệm bất phương trình cho hình vẽ NguyÔn Thanh Hßa 64 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp x1 x2 Để hệ có nghiệm Ta có x1 x1 x2 k2 k k2 x2 2 4k 4k k k k2 4k (k k k2 4k k 4k 16 4) k k 4k k k k 4k (1 k ) k 2k k Vậy hệ cho có nghiệm k hệ có nghiệm x k hệ có nghiệm x 2 Bài toán 7: Cho hệ bất phương trình 3x x (a a 2).x (1) (2) Tìm a để hệ có nghiệm NguyÔn Thanh Hßa 65 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp Giải (1) x Gọi A a2 Xét (2) - Khi A a a (2) vô nghiệm a (2) sai hệ vô nghiệm a không thỏa mãn toán a Vậy - Khi A x (2) a2 a a a Miền nghiệm hai bất phương trình cho hình vẽ +∞ Hệ có nghiệm a a 2 ,2 a , a a a a a 2a a a a 11 11 11 2a a - Khi A 1 11 2 a NguyÔn Thanh Hßa 66 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi x (2) a Kho¸ LuËn tèt nghiÖp a 2 Miền nghiệm hai bất phương trình cho hình vẽ -∞ Hệ có nghiệm ,2 , a a 2 a 1 a2 a 2 a a2 a a a Vậy hệ có nghiệm a Hệ vô nghiệm 11 11 21 a a 21 11 11 Bài toán 8: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x4 (m 2) x3 x2 (m 2) x (1) Giải Nhận thấy x không nghiệm (1) Với x ta chia hai vế (1) cho x (1) x2 ( x2 (m 2) x ) x2 NguyÔn Thanh Hßa m x (m 2)( x x2 ) x 67 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Đặt t x x t (1) Trở thành f (t ) t Kho¸ LuËn tèt nghiÖp x x (Bất đẳng thức Cosi) (m 2)t Xét toán ngược: tìm m để (1) vô nghiệm tức f (t ) nghiệm t Vì f (t ) có nghiệm t1 , t2 nên t1 t2 f (t ) Để x f (t ) T= t2 , D D t hay t1 t2 , t1 T , a = 1>0 ) (vì m 2 m m af (2) af ( 2) b 2 2a m 2m 2m m 2 , Vậy m , Bài toán 9: Cho bất phương trình: Tìm m để (1) nghiệm x (3 x)(5 x) x 2 x m (1) 3,5 Giải Đặt t x x x x Khi t t x 3,5 nên x2 2x 15 NguyÔn Thanh Hßa 68 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp x2 x 15 t (1) Trở thành: t 15 t f (t ) t t 15 m m f (t ) t t 15 m tam thức bậc t có a=1>0 Vì f (t ) có nghiệm t1 , t2 nên (1) Nghiệm x f (t ) nghiệm 3,5 af (0) af (4) Vậy m 15 m m t t1 , t2 0,4 m 5, Bài toán 10: Cho f ( x) mx 2(m 1) x 5m Tìm m để: a) f ( x) với x x b) f ( x) có nghiệm x c) f ( x) x 1,0 1,0 Giải f ( x) mx 2(m 1) x 5m (1) a) f ( x) với x thỏa mãn x x - Nếu m (1) thành x x Vậy m thỏa mãn - Nếu m NguyÔn Thanh Hßa 69 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp a 0 f ( x) với x x x thỏa mãn a 0 x1 x2 m m 3m m m f ( 1) m f (0) m 1 m m m , m thỏa mãn đầu Vậy m 0; m b) f ( x) có nghiệm x 1,0 Xét toán ngược: Tìm m để f ( x) nghiệm x Hay tìm m để f ( x) với - Nếu m 1,0 f ( x) trở thành : 2x f (0) 5m m f ( x) Ta thấy x 1,0 2x 7 x 7 , 1,0 Vậy m không thỏa mãn - Nếu m f ( x) với x 1,0 NguyÔn Thanh Hßa 70 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi a 0 m 0 x1 x2 x2 Vậy f ( x) với 1,0 m x Vậy f ( x) có nghiệm x c) f ( x) với - Nếu m Ta thấy x 1,0 m 1,0 f ( x) x x f ( x) m m 3m m m f ( 1) m 1 m m 3m m m f (0) m m a 0 x1 Kho¸ LuËn tèt nghiÖp 1,0 , Vậy m không thỏa mãn - Nếu m f ( x) x 1,0 a 0 x1 Vậy m x2 m m f ( 1) m f (0) f ( x) x NguyÔn Thanh Hßa m 1,0 71 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi Kho¸ LuËn tèt nghiÖp Bài toán 11: Cho bất phương trình (m 1)92 x x (2m 1)62 x Tìm m để (1) nghiệm x m42 x x (1) x Giải Chia vế (1) cho 42 x Đặt t x ta được: 2(2 x x ) (m 1) 2 (2m 1) 2 x2 x , x Vì (1) trở thành: 2t 3t k Đặt f (t ) (m 1)t (1) nghiệm m (1) t (2) (2m 1)t m x x2 x (2) nghiệm -Nếu m=1 (2) trở thành : 3t t t 1 Vây m=1 thỏa mãn -Nếu m>1 lim f (t ) t Vậy m>1 không thỏa mãn -Nếu m[...]... +∞ x2 x1 x4 x2 x4 +∞ +∞ Phương án được chọn: giải bài toán (2a) 2. 3 Thí dụ minh họa Ví dụ : Tìm các giá trị của m để hệ sau (I) x2 (2m 1) x 2m 0 x2 (2m 1) x m2 (1) có nghiệm duy nhất 2m 0 (2) Giải f ( x) x2 (2m 1) x 2m g ( x) x2 (2m 1) x m2 Gọi f ( x) (2m 1) 2 8m (2m 1) 2 g ( x) (m 1) 2 Khi đó (m2 m m f(x) có 2 nghiệm : x 2m hoặc x 1 m hoặc x m 2 2m x 1 (khi 2m 1) 1 x 2m (khi 1 2m ) Hoặc (1) (2) 0... Khi m 3 4 (2) 4 2 25 1 0 (loại) 9 3 Vậy m 3 không thỏa mãn - Khi m 3 m 3 (1) có nghiệm 0 5m 2 2 m 3 0 m 3 (*) 5 m 1 Theo định lý Viet: (2) (**) 4[( x 12 x 22 ) 2 x1 x2 ] 25 x1 x2 1 0 4( x 12 x 22 ) 33x1 x2 1 0 Thay (**) vào (2) Vậy với m 36(m2 1 hoặc m m m m 2) 0 1 thỏa mãn (*) 2 2 thảo mãn bài toán Ví dụ 2: Cho x1 , x2 là nghiệm của phương trình bậc 2 thỏa mãn hệ x1 x2 m( x1 2 x1 x2 x2 ) x1 x2 0 3m 4 (1)... x' 2 x 1 (1’) x1 x2 x’1 x 2 x1 x '2 x2 x '1 2 m 2 (1’) 3 4m 3 2 x ' không xảy ra với 2 x x' 2 1 3 m 2 4 2 m 3 4 m 3 2 m 3 m 2 4 4m 3 1 m 2 NguyÔn Thanh Hßa 2 4m 3 2 m 4m 3 2 (2 m)(4m 3) 1 3 4 m 2 24 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi 2 2 (2 m)(4m 3) 3 4 2 3m (vô lý) 3 4 Vậy Kho¸ LuËn tèt nghiÖp m 2 m 2 thì hệ có nghiệm Do đó Hệ vô nghiệm khi m 3 4 Hệ có nghiệm khi 3 hoặc m 2 4 m 2 2.4 Bài tập 2. 4.1... (2 3m2 ) x 6m 2 x4 là các nghiệm của x2 (2m 5) x m 2 5m 6 Miền nghiệm của hai bất phương trình được cho bởi hình vẽ x1 x2 x3 -∞ +∞ x4 Tìm m để hệ đã cho vô nghiệm Giá trị của m để hệ có nghiệm f ( x) (2 3m2 ) 2 g ( x) (2m 5) 2 f ( x) 0 Gọi x1 2 , x2 x 24 m2 4(m2 3m2 0 với 5m 6) 1 0 với 2 (3m2 2 3m2 thì x1 NguyÔn Thanh Hßa (2 3m2 ) 2 x2 với m m 3m2 2 2) m 21 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi 2 (1)... với 2m) 1 0 với g(x) có 2 nghiệm: x (1) 2m m x m 2 Xét các trường hợp sau: a) Khi 2m 1 m 1 2 (1) trở thành x 1 (2) 1 2 x 5 2 NguyÔn Thanh Hßa 19 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi 2 Mà 1 Kho¸ LuËn tèt nghiÖp 1 5 , 2 2 Vậy hệ có nghiệm duy nhất x 1 1 thỏa mãn bài toán 2 Vậy m b) Khi m 1 2 (1) 2m x 1 (2) m x m 2 1 2 m 1 m Hệ có nghiệm duy nhất 1 2 2m m 2 m c) Khi m (1) (2) 1 2 1 x 2m m x m 2 1 2 2m... của phương trình f ( x) 2 x 2 (m 1) x 2m 7 0 (1) Giải f ( x) là tam thức bậc 2 của x af (2) 2. ( 1) 0 Vậy f ( x) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ; x1 2 x2 Ví dụ 2: Cho f ( x) x2 6mx 9m 2 2m 2 Tìm m để: a) f ( x) có 2 nghiệm và số 4 nằm trong khoảng hai nghiệm đó b) f ( x) có 2 nghiệm đều lớn hơn 3 Giải f ( x) là tam thức bậc 2 của x có a 1 0 a) f ( x) có 2 nghiệm và số 4 nằm trong khoảng hai nghiệm... x) (m 2) x 2 4 x1 x2 6 2( 4 3m) x 10m 11 ' 0 a f ( 4) a f (6) b 4 2a b 6 2a NguyÔn Thanh Hßa 0 0 0 0 m2 7m 6 0 (m 2) (50m 75) 0 (m 2) (10m 35) 0 7m 12 0 m 2 3m 18 2 m 2 31 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi 2 1 m 7 2 Kho¸ LuËn tèt nghiÖp 3 2 m 6 3 7 ; 2 2 Vậy với 1 m Ví dụ 2: Cho x2 m 6 thỏa mãn đầu bài 2mx m2 3m 2 0 Tìm m để phương trình chỉ có 1 nghiệm thuộc (0,1) Giải f ( x) x2 2mx m 2 3m 2 (1)... TAM THỨC BẬC 2 3.1 Định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 3.1.1 Định lý Cho tam thức f ( x) ax 2 bx c (a 0) Ta có thể so sánh số thực tùy ý với 2 nghiệm của tam thức bậc 2 - Nếu af ( ) 0 x1 x2 (không cần xét , - Nếu af ( ) 0 là nghiệm của tham thức - Nếu af ( ) 0 0 b 0 2a x1 af ( ) 0 0 b 0 2a x1 b 2a ) x2 x2 3.1 .2 Thí dụ Ví dụ 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm 1) m( x 1)( x 2) 2. .. thuộc (0,1) x1 0 x2 1 0 x1 1 x2 Vậy m 1, m2 3m 2 0 a f (0) 0 a f (1) 0 m 13 2 2, 5 5m 3 0 m2 5m 3 0 a f (1) 0 a f (0) 0 5 2 m2 3m 2 0 1 m 2 m 5 13 2 5 13 2 13 2 3.3.3 Bài tập 1) Cho x1 x1 0 là nghiệm của phương trình ax 2 bx c 0 x2 0 là x2 Chứng minh rằng nghiệm của phương trình -ax 2 bx c 0 với a 2 x bx c 0 có đúng 1 nghiệm trong ( x1 , x2 ) 2 3) Cho 2 phương trình: x2 3 x 2m 0 x2 6 x 5m 0 Tìm m để... nghiệm của f(x) x '2 là các nghiệm của g(x) x '1 (1) x1 x x2 (2) x '1 x x '2 Trong đó x1 3 x '1 2 2 m 4m 3 x2 3 x '2 2 2 m 4m 3 Xét các trường hợp NguyÔn Thanh Hßa 23 K33C – S- ph¹m To¸n Tr-êng §HSP Hµ Néi 2 x + Khi m 2 hệ đã cho 2 3 4 5 hệ đã cho x 2 x 5 3 2 3 5 2 x 5 2 3 x 2 3 hệ đã cho có nghiệm 4 Vậy khi m 2 và m + Khi 3 x 3 4 + Khi m Kho¸ LuËn tèt nghiÖp m 2 ( x1 x2 , x ' 1 x' ) 2 Miền nghiệm của bất ... 5m 2 m m (*) m Theo định lý Viet: (2) (**) 4[( x 12 x 22 ) x1 x2 ] 25 x1 x2 4( x 12 x 22 ) 33x1 x2 Thay (**) vào (2) Vậy với m 36(m2 m m m m 2) thỏa mãn (*) 2 thảo mãn toán Ví dụ 2: Cho x1 , x2 nghiệm... (I) x2 (2m 1) x 2m x2 (2m 1) x m2 (1) có nghiệm 2m (2) Giải f ( x) x2 (2m 1) x 2m g ( x) x2 (2m 1) x m2 Gọi f ( x) (2m 1) 8m (2m 1) g ( x) (m 1) Khi (m2 m m f(x) có nghiệm : x 2m x m x m 2m x... cho x ax x2 Đặt (5) bx x2 cx x2 dx x2 e x2 (ax e ) (bx x2 d ) c x a(x t2 ) b( x x2 ) c (5) x x t x x t x ay y (y y (y 2t ) 4t ) by c 2at x x t2 x2 y2 2t t2 x2 y2 2t (6) Giải (6) có yo Giải x t