Rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán cho học sinh trung học phổ thông

Thực tế ở nước ta hiện nay, các phương pháp dạy học vẫn còn những nhược điểm khá phổ biến như: thầy thuyết trình, tri thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi, sáng tạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

=====o0o=====

TRIỆU THỊ DUYÊN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI

TRONG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Sơn La, năm 2015

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

=====o0o=====

TRIỆU THỊ DUYÊN

RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI

TRONG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: Phương Pháp dạy học môn Toán Người hướng dẫn: TS Hoàng Ngọc Anh

Sơn La, năm 2015

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành khóa luận này, chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với

GVC TS Hoàng Ngọc Anh – người thầy đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ chúng tôi

trong quá trình thực hiện khóa luận

Chúng tôi xin trân trọng cảm ơn: Các thầy, cô trong Khoa Toán – Lý – Tin,

Trung tâm thư viện trường Đại Học Tây Bắc, các thầy, cô trong Tổ Toán – Tin trường

THPT Tân Lạc đã tạo điều kiện và nhiệt tình giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập

và hoàn thành khóa luận

Xin chân thành cảm ơn các bạn lớp K52 ĐHSP Toán đã động viên, giúp đỡ

trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2015 Người thực hiện khóa luận

Triệu Thị Duyên

Trang Tiến sĩ

Vế phải

Vế trái

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu 3

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Giả thuyết khoa học 3

7 Cấu trúc khóa luận 4

Chương 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 5

1.1 Lí luận về dạy học giải bài tập toán 5

1.1.1 Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông 5

1.1.2 Vị trí và chức năng của bài tập toán 6

1.1.3 Dạy học phương pháp giải bài toán 6

1.1.4 Bồi dưỡng năng lực giải toán 9

1.2 Kĩ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh 9

1.2.1 Khái niệm kĩ năng 9

1.2.2 Kĩ năng giải toán 10

1.2.3 Đặc điểm của kĩ năng 10

1.2.4 Sự hình thành kĩ năng 11

1.2.5 Các yếu tố ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng 11

1.2.6 Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT 11

1.2.7 Một số kĩ năng cần thiết khi giải toán 12

1.3 Kiến thức cơ bản về tam thức bậc hai 14

1.3.1 Định nghĩa 14

1.3.2 Định lý Vi-et và các ứng dụng 14

1.3.3 Định lý về dấu của tam thức bậc hai 15

1.3.4 Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai 15

1.3.5 Đồ thị hàm số bậc hai   2   f x ax bxc a 0 16

1.3.6 So sánh số α với các nghiệm của tam thức bậc hai 16

1.3.7 So sánh hai số α, β với hai nghiệm x 1 , x 2 của tam thức bậc hai 17

1.4 Thực trạng dạy và học nội dung tam thức bậc hai và sử dụng tam thức bậc hai

trong giải toán ở các trường THPT 18

1.4.1 Mục đích khảo sát 18

1.4.2 Đối tượng khảo sát 18

1.4.3 Nội dung khảo sát 18

1.4.3.1 Nội dung khảo sát giáo viên 18

1.4.3.2 Nội dung khảo sát học sinh 18

1.4.4 Phương pháp khảo sát 19

1.4.5 Kết quả khảo sát 19

1.4.5.1 Nhận xét đánh giá của GV và HS về sự cần thiết trong việc rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán cho HS 19

1.4.5.2 Tình hình rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán trong dạy học môn Toán cho HS ở trường THPT hiện nay 20

1.4.5.3 Khó khăn về rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán trong dạy học ở trường THPT 23

1.5 Một số định hướng giúp học sinh vận dụng tam thức bậc hai để rèn luyện một số kĩ năng giải toán 26

1.5.1 Định hướng 1 26

1.5.2 Định hướng 2 27

1.5.3 Định hướng 3 27

Kết luận chương 1 28

Chương 2 RÈN LUYỆN KĨ NĂNG SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI TRONG GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THPT 29

2.1 Một số biện pháp để rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán cho học sinh THPT 29

2.1.1 Biện pháp 1: Trang bị cho HS đầy đủ các phương pháp giải các dạng toán quen thuộc 29

2.1.2 Biện pháp 2: Rèn luyện cách nhìn bài toán theo nhiều hướng khác nhau, từ đó tìm nhiều cách giải, phân tích và chọn cách giải hay cho một bài toán 33

2.1.3 Biện pháp 3: Rèn luyện cho học sinh khai thác ứng dụng của tam thức bậc hai vào giải một số bài toán thực tiễn 38

2.1.4 Biện pháp 4: Dự đoán và hướng khắc phục những sai lầm khi giải toán 39

2.2 Một số kĩ năng giải toán dựa vào tam thức bậc hai 45

2.2.1 Vận dụng tam thức bậc hai để chứng minh phương trình có nghiệm 45

2.2.2 Vận dụng tam thức bậc hai để giải phương trình bậc cao 46

2.2.3 Giải và biện luận phương trình bậc hai 48

2.2.4 Ứng dụng tam thức bậc hai để giải hệ phương trình 49

2.2.5 Dùng tam thức bậc hai để chứng minh bất đẳng thức 50

2.2.6 Ứng dụng tam thức bậc hai để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 50

2.2.7 Sử dụng tam thức bậc hai để giải phương trình, bất phương trình chứa căn thức 51

2.2.8 Sử dụng tam thức bậc hai để giải phương trình, bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 54

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 57

3.1 Mục đích thực nghiệm 57

3.2 Nội dung thực nghiệm 57

3.3 Tổ chức thực nghiệm 57

3.3.1 Đối tượng thực nghiệm 57

3.3.2 Thời gian thực nghiệm 58

3.4 Kết quả thực nghiệm 58

3.4.1 Phân tích định tính 58

3.4.2 Phân tích định lượng 59

Kết luận chương 3 60

KẾT LUẬN 61

TÀI LIỆU THAM KHẢO 62

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Đổi mới phương pháp dạy và học hiện nay là một vấn đề cấp bách của ngành giáo dục Những yêu cầu đổi mới đối với hệ thống giáo dục được phản ánh trong nghị quyết của Hội nghị lần thứ II của Ban chấp hành trung ương Đảng Cộng Sản Việt Nam

(khóa VIII) như sau: “Nhiệm vụ và mục tiêu cơ bản của giáo dục là nhằm xây dựng những con người và thế hệ thiết tha gắn bó với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa

xã hội có đạo đức trong sáng, có ý chí kiên cường xây dựng và bảo vệ tổ quốc, giữ gìn

và phát huy các giá trị văn hóa của dân tộc và con người Việt Nam, có ý thức cộng đồng và phát huy tính tích cực của cá nhân, làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kĩ năng thực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tính tổ chức và kỉ luật, có sức khỏe, là những người kế thừa xây dựng chủ nghĩa xã hội vừa hồng vừa chuyên như lời căn dặn của Bác Hồ”

Thực tế ở nước ta hiện nay, các phương pháp dạy học vẫn còn những nhược điểm khá phổ biến như: thầy thuyết trình, tri thức được truyền thụ dưới dạng có sẵn, ít yếu

tố tìm tòi, sáng tạo của học sinh, thầy áp đặt trò thụ động, thiếu hoạt động tích cực, tự giác của người học… Một trong số các nguyên nhân của thực trạng trên là do đa số các học sinh vẫn còn lúng túng trong giờ học do kĩ năng giải toán chưa được nhuần nhuyễn, linh hoạt nên các giờ học không gây được hứng thú cho học sinh Làm cho các tiết dạy toán không thành công, không mang lại kết quả mong muốn, thậm chí còn ảnh hưởng không tốt về mặt tâm lí cho học sinh Gây cho các em tư tưởng chán học, thiếu tự tin, thiếu sự say mê, tìm tòi, sáng tạo Gây sức ì, ỷ lại vào người khác Hay nói cách khác, nguyên nhân là trong quá trình dạy học, giáo viên chưa thật sự coi trọng việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

Trong nhà trường phổ thông, môn toán có một vai trò, vị trí và ý nghĩa hết sức quan trọng trọng việc thực hiện mục tiêu giáo dục Đây là môn học góp phần tạo điều kiện cho học sinh phát triển nhân cách, kiến tạo tri thức và rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo

Do vậy hoạt động dạy học môn toán ngoài việc phát triển tư duy thuật giải phải chủ yếu là trang bị kỹ năng giải toán và vận dụng toán học vào việc giải bài tập toán Dạy toán ở trường phổ thông là dạy hoạt động toán học Việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo Hoạt động giải

bài tập toán là điều kiện để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông Dạy giải bài tập toán cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo, phát triển tư duy, gây hứng thú trong học tập cho học sinh, yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng kiến thức vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độc lập trong suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp tự học tối ưu

Tuy nhiên, thực tiễn dạy học ở các trường trung học phổ thông việc dạy học toán còn chưa sát với thực tế, bởi kỹ năng giải toán của học sinh còn rất nhiều hạn chế cần phải khắc phục, bên cạnh đó một phần do giáo viên chưa trang bị đầy đủ các kỹ năng cần thiết cho học sinh, giáo viên phải hiểu học sinh và biết khả năng của từng lớp, từng đối tượng học sinh, sau đó dần dần trang bị cho học sinh kiến thức và kỹ năng cơ bản để học môn toán và các môn khác

Trong toán học việc giải bài toán có một vai trò rất quan trọng, thông qua việc giải bài tập toán tạo điều kiện cho học sinh hoạt động qua đó học sinh phải thực hiện một số hành độnh nhất định bao gồm: Nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc, phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp những hoạt động trí tuệ phổ biến như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa và những hoạt động ngôn ngữ khác Chính vì vậy rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh là một vấn đề vô cùng quan trọng trong dạy học ở các trường phổ thông hiện nay phải được tiến hành có

kế hoạch, thường xuyên, hệ thống bền bỉ dựa vào trình độ học sinh

Trong chương trình phổ thông hiện nay, tam thức bậc hai chiếm một vị trí quan trọng Đó là một trong những nội dung cơ bản của chương trình đại số trung học phổ thông Tam thức bậc hai còn được ứng dụng rộng trong các nội dung học khác của chương trình toán trung học phổ thông, được áp dụng phong phú và đa dạng trong nhiều dạng toán thường gặp

Khi dạy về tam thức bậc hai, ngoài việc cung cấp cho học sinh những kiến thức

cơ bản như: khái niệm tam thức bậc hai, định lí Vi-et, định lí về dấu tam thức bậc hai… giáo viên còn phải rèn luyện một số kĩ năng giải toán khi sử dụng tam thức bậc hai trong một số dạng toán thường gặp

Chính vì vậy chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán cho học sinh trung học phổ thông ” Với mong muốn đề

xuất một số phương án dạy học thích hợp để rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc

hai trong giải bài tập toán học

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc vận dụng lí luận dạy học giải bài tập toán để xây dựng và sử dụng một số biện pháp sư phạm thích hợp góp phần rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán của học sinh trung học phổ thông Qua đó nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán ở trường trung học phổ thông

3 Đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là quá trình dạy học giải các bài tập toán với phương pháp

sử dụng tam thức bậc hai ở trường trung học phổ thông

Phạm vi nghiên cứu là các biện pháp sư phạm để rèn luyện kĩ năng giải toán có

sử dụng tam thức bậc hai ở trường trung học phổ thông

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ sở lí luận về phương pháp dạy học giải bài tập toán; Kĩ năng và việc sử dụng tam thức bậc hai để giải một số dạng toán ở trường THPT;

- Nghiên cứu thực trạng việc dạy học giải bài tập toán ở trường THPT khi sử dụng tam thức bậc hai để rèn luyện kĩ năng cho học sinh;

- Xây dựng các phương án và đề xuất biện pháp sử dụng tam thức bậc hai để rèn luyện kĩ năng giải các bài tập toán học cho học sinh THPT;

- Tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm nghiệm tính khả thi và tính thực tiễn

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu có liên quan đến đề tài;

- Phương pháp điều tra, quan sát: Điều tra thực trạng dạy học giải bài tập toán khi sử dụng tam thức bậc hai bằng phiếu trắc nghiệm, dự giờ, và hỏi ý kiến thầy hướng dẫn;

- Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành thực nghiệm sư phạm ở một trường THPT nhằm kiểm tra các kết quả nghiên cứu

6 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng và sử dụng được các biện pháp sư phạm thích hợp khi sử dụng tam thức bậc hai để giải các bài tập toán học cho học sinh THPT sẽ góp phần hình thành một số kĩ năng giải toán, nâng cao năng lực toán học và hứng thú cho học sinh Giúp học sinh khắc sâu kiến thức đã học, phát huy tính chủ động, tính tích cực trong việc

tiếp thu kiến thức mới góp phần nâng cao chất lượng dạy và học ở trường THPT

7 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận chung, mục lục và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 03 chương:

Chương 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn

Chương 2: Rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán của học sinh

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Lí luận về dạy học giải bài tập toán

1.1.1 Mục đích, vai trò, ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông

Pôlya cho rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong các trường chuyên nghiệp,

ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ nào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là muốn nắm vững môn toán? Đó là biết giải toán”

Việc giải bài tập toán có tác dụng lớn trong việc gây hứng thú học tập cho HS nhằm phát triển trí tuệ và góp phần giáo dục, rèn luyện con người HS về nhiều mặt

1.1.2 Vị trí và chức năng của bài tập toán

a Vị trí

“Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với HS có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp

HS nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán.”

b Các chức năng của bài tập toán

Mỗi bài tập toán đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau

Các chức năng đều hướng tới việc thực hiện các mục đích dạy học:

- Chức năng dạy học: Bài tập toán nhằm hình thành củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

- Chức năng giáo dục: Bài tập toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, sáng tạo, có niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao động mới

- Chức năng phát triển: Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học

- Chức năng kiểm tra: Bài tập toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học toán, khả năng tiếp thu, vận dụng kiến thức và trình độ phát triển của học sinh

Hiệu quả của việc dạy toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của các tác giả viết sách giáo khoa đã có dụng ý đưa vào chương trình Người giáo viên phải có nhiệm vụ khám phá và thực hiện dụng ý của tác giả bằng năng lực sư phạm của mình

1.1.3 Dạy học phương pháp giải bài toán

Trong môn toán ở trường phổ thông có nhiều bài toán chưa có hoặc không có

thuật giải và cũng không có một thuật giải tổng quát nào để giải tất cả các bài toán Chúng ta chỉ có thể thông qua việc dạy học giải một số bài toán cụ thể mà dần dần truyền thụ cho học sinh cách thức, kinh nghiệm trong việc suy nghĩ, tìm tòi lời giải cho mỗi bài toán

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là giáo viên cung cấp cho học sinh lời giải bài toán Biết lời giải của bài toán không quan trọng bằng làm thế nào để giải được bài toán Để làm tăng hứng thú học tập của học sinh, phát triển tư duy, thầy giáo phải hình thành cho học sinh một quy trình chung, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán

Theo Pôlya, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Để giải được một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và có hứng thú với việc giải bài toán đó Vì thế người giáo viên phải chú ý gợi động cơ, kích thích trí tò

mò, hứng thú cho học sinh và giúp các em tìm hiểu bài toán một cách tổng quát Tiếp theo phải phân tích bài toán đã cho:

- Đâu là ẩn, đâu là dữ kiện

- Vẽ hình, sử dụng các kí hiệu thích hợp (nếu cần)

- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn đạt các điều kiện

đó dưới dạng công thức toán học được không ?

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

“ Phải phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản hơn Phải huy động những kiến thức đã học (định nghĩa, định lý, quy tắc ) có liên quan đến những điều kiện, những quan hệ trong đề toán rồi lựa chọn trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ liệu của bài toán rồi mò mẫm, dự đoán kết quả Xét vài khả năng có thể xảy ra, kể cả trường hợp đặc biệt Sau đó, xét một bài toán tương tự hơặc khái quát hoá bài toán đã cho”

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải

- Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một loại bài toán nào đó

- Tìm thêm các cách giải khác (nếu có thể)

- Khai thác kết quả có thể có của bài toán

Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hoá bài toán

Công việc kiểm tra lời giải của một bài toán có ý nghĩa quan trọng Trong nhiều trường hợp, sự kết thúc của bài toán này lại mở đầu cho một bài toán khác Vì vậy

“Cần phải luyện tập cho học sinh có một thói quen kiểm tra lại bài toán, xem xét có sai lầm hay thiếu sót gì không, nhất là những bài toán có đặt điều kiện hoặc bài toán đòi hỏi phải biện luận Việc kiểm tra lại lời giải yêu cầu học sinh thực hiện một cách thường xuyên”

Sau đây là ví dụ sử dụng 4 bước giải của Polya:

Ví dụ 1: Cho phương trình 2 ( x  m2)x5m 1 0 Tìm m sao cho phương

trình chỉ có một nghiệm thỏa mãn x1

Giải Bước 1: Tìm hiểu bài toán

GV: Nhận xét bài toán

HS: Phương trình cho trong bài là phương trình bậc hai Yêu cầu của bài toán so sánh nghiệm với một số cho trước

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

GV: Để so sánh được nghiệm của phương trình với số 1 ta phải làm thế nào? HS: Vì đây là phương trình bậc hai nên ta có thể sử dụng cách so sánh nghiệm với một số cho trước

GV: Trong bài toán này có bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra khi so sánh? HS: Có 3 trường hợp:

Trường hợp 1: x1 < 1 < x2

Trường hợp 2: 1 = x1 < x2

Trường hợp 3: 1 < x1 = x2

Bước 3: Trình bày lời giải

Để phương trình 2 (x  m2)x5m 1 0 chỉ có một nghiệm thỏa mãn x > 1 ta xét ba trường hợp:

Trường hợp 1: 1

x  x af (1) 0 4m  0 m 0

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

GV: Bài toán trên còn cách giải nào khác không?

HS: Có thể đưa ra các trường hợp có 1 nghiệm, 2 nghiệm, rồi tính ra nghiệm cụ thể rồi so sánh với số 1

1.1.4 Bồi dưỡng năng lực giải toán

Bài tập toán nhằm phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ Vì vậy, trong quá trình dạy học người thầy giáo phải chú trọng bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh Năng lực giải toán là khả năng thực hiện 4 bước trong phương pháp tìm lời giải bài toán của Pôlya

Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh chính là rèn luyện cho họ khả năng thực hiện bốn bước theo phương pháp tìm lời giải bài toán của Pôlya Điều này cũng phù hợp với phương pháp dạy học của nền giáo dục nước ta hiện nay

1.2 Kĩ năng giải toán và vấn đề rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh

1.2.1 Khái niệm kĩ năng

“Kĩ năng là khả năng vâ ̣n du ̣ng những tri thức thu nhâ ̣n được về mô ̣t lĩnh vực nào

đó vào thực tiễn” Trong Từ điển Hán Việt, khả năng được hiểu là “sức đã có” về mặt

nào đó để có thể làm tốt mô ̣t viê ̣c gì

Theo tâm lí ho ̣c, kĩ năng là khả năng thực hiện có kết quả một hành động nào đó theo mô ̣t mu ̣c đích trong những điều kiê ̣n nhất đi ̣nh Nếu ta ta ̣m thời tách tri thức và kĩ năng để xem xét riêng từng cái thì tri thức thuô ̣c pha ̣m vi nhâ ̣n thức, thuô ̣c về khả năng

“biết” còn kĩ năng thuô ̣c pha ̣m vi hành đô ̣ng, thuô ̣c khả năng “biết làm”

Về bản chất , kĩ năng là thuộc tính kĩ thuật của hành động , luôn có sự kiểm soát của ý thức, phản ánh mức độ của phương tiện thực hiện một hành động nào đó

Trong toán ho ̣c, kĩ năng là “khả năng giải các bài toán , thực hiê ̣n các chứng minh cũng như phân tích có phê phán các lời giải và chứng minh nhận được”

1.2.2 Kĩ năng gia ̉ i toán

Giải một bài toán là tiến hành một hệ thống hành động có mục đích , do đó chủ thể giải toán còn phải nắm vững các tri thức về hành đô ̣ng , thực hiê ̣n hành đô ̣ng theo các yêu cầu cụ thể của tri thức đó , biết hành đô ̣ng có kết quả trong những điều kiê ̣n khác nhau Trong giải toán, chúng tôi quan niệm về kĩ năng giải toán của học sinh như sau: “Đó là khả năng vâ ̣n du ̣ng có mu ̣c đích những tri thức và kinh nghiê ̣m đã có vào giải những bài toán cu ̣ thể , thực hiê ̣n có kết quả mô ̣t hê ̣ thống hành đô ̣ng giải toán để

đi đến lời giải của bài toán mô ̣t cách khoa ho ̣c”

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn Toán , để thực hiện

nhiê ̣m vu ̣ môn Toán tron g trường THPT, mô ̣t trong những yêu cầu đă ̣c biê ̣t về tri thức

và kĩ năng cần chú ý là những tri thức phương pháp , đă ̣c biê ̣t là những phương pháp có tính chất thuật toán bằng cách lập phương trình , tri thức và kĩ năng chứng m inh toán học, kĩ năng hoạt động tư duy hàm, v v… Tuy nhiên tùy theo nô ̣i dung toán ho ̣c mà có những yêu cầu rèn luyê ̣n kĩ năng khác nhau

1.2.3 Đặc điểm của kĩ năng

Khái niệm kĩ năng được định nghĩa ở trên chứa đựng các đặc điểm sau:

- Bất cứ kĩ năng nào cũng phải dựa trên cơ sở lý thuyết đó là kiến thức , bở i vì cấu trúc của kĩ năng bao gồm : hiểu mu ̣c đích - biết cách tri thức đi đến kết quả - hiểu những điều kiê ̣n để triển khai cách thức đó

- Kiến thứ c là cơ sở của kĩ năng , khi kiến thức đó phản ánh đầy đủ các thuô ̣c tính của đối tượng, đươ ̣c thử nghiê ̣m trong thực tiễn và tồn ta ̣i trong ý thức với tư cách

là công cụ của hành động Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: “cùng với vai trò cơ sở của tri thức, cần thấy tầm quan trọng của kĩ năng” Môn Toán là môn ho ̣c có đă ̣c điểm và

vị trí đặc biệt trong việc thực hiện nhiệm vụ phát triển nhân cách trong nhà trường phổ thông Vì vậy cần hư ớng vào việc vận dụng tri thức và rèn luyện kĩ năng Kĩ năng chỉ

có thể được hình thành và phát triển trong hoạt động

Qua đă ̣c điểm trên ta thấy kĩ năng giải toán phải dựa trên cơ sở tri thức toán ho ̣c (bao gồm kiến thứ c, kĩ năng, phương pháp), do đó nói đến kĩ năng giải toán không thể tách rời với phương pháp toán học nhằm hình thành và rèn luyện những kĩ năng đó Từ những vấn đề trên chúng tôi quan niê ̣m kĩ năng sử du ̣ng tam thức bâ ̣c hai bao

gồm mô ̣t hê ̣ thống thao tác trí tuê ̣ và thực hành để vâ ̣n du ̣ng tri thức (kiến thức, phương pháp) của tam thức bậc hai vào việc giải các bài toán khác nhau , nhằm đa ̣t được mô ̣t số yêu cầu của viê ̣c da ̣y ho ̣c chủ đề ứng du ̣ng của tam thức bâ ̣c hai

1.2.4 Sư ̣ hình thành kĩ năng

Thực chất của sự hình thành kĩ năng là ta ̣o dựng cho ho ̣c sinh khả năng nắm vững mô ̣t hê ̣ thống phức ta ̣p các thao tác nhằm làm biến đổi và sáng tỏ các thông tin chứa đựng trong bài toán Khi hình thành kĩ năng cho ho ̣c sinh cần : giúp học sinh biết cách tìm tòi để nhận ra các yếu tố đã cho , yếu tố phải tìm và mối quan hê ̣ giữa chúng , giúp học sinh hình thành một mô hình khái quát để giải các bài toán cùng loại Xác lập

đươ ̣c mối liên quan giữa bài toán mô hình khái quát và kiến thức tương ứng

Sự hoa ̣t đô ̣ng để hình thành kĩ năng và kĩ xảo cũng bao gồm cả sự vâ ̣n du ̣ng bước đầu kiến thức vào thực tiễn và cả công việc luyện tập để hoàn thiện hoạt động đó Sự hình thành kĩ năng sẽ diễn ra thông minh hơn , nếu ngoài hoa ̣t đô ̣ng thực hành , quá trình đó còn kèm theo cả hoạt động trí tuệ tích cực của học sinh nữa

1.2.5 Các yếu tố a ̉ nh hưởng đến sự hình thành kĩ năng

Nô ̣i dung của bài toán : Nhiê ̣m vu ̣ đă ̣t ra được trừu tượng hóa hay bi ̣ che phủ bởi những yếu tố phu ̣ làm lê ̣ch hướng tư duy có ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng Tâm thế và thói quen cũng ảnh hưởng đến sự hình thành kĩ năng Viê ̣c ta ̣o ra tâm thế thuâ ̣n lợi trong ho ̣c tâ ̣p sẽ giúp cho ho ̣c sinh dễ dàng trong viê ̣c hình thành kĩ năng

Kĩ năng khái quát nhìn đối tượng một cách toàn thể ở mức cao hay th ấp

1.2.6 Các yêu cầu rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT

Truyền thu ̣ tri thức , rèn luyện kĩ năng là nhiệm vụ quan trọng hàng đầu của môn Toán Rèn luyện kĩ năng toán học và kĩ năng vận dụng toán học v ào thực tiễn mà trước tiên là kĩ năng giải toán nhằm đa ̣t được các yêu cầu cần thiết sau :

- Giúp học sinh hình thành và nắm vững những mạch kiến thức cơ bản xuyên suốt chương trình

- Giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ Cụ thể là rèn luyện và phát triển: + Tư duy logic và ngôn ngữ chính xác, trong đó có tư duy thuâ ̣t toán;

+ Khả năng suy đoán, tư duy trừ u tươ ̣ng và trí tưởng tượng không gian;

+ Những thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, khái quát hóa…;

+ Các phẩm chất trí tuệ như tư duy độc lập, tư duy linh hoạt và sáng ta ̣o

- Coi trọng viê ̣c rèn luyê ̣n khả năng tính toán trong tất cả các giờ ho ̣c , nói chung

là sự phát triển trí tuệ cho học sinh qua môn Toán gắ n bó với viê ̣c rèn luyê ̣n các kĩ năng thực hành (tính toán, đo đa ̣c, vẽ hình…)

- Giúp học sinh rèn luyện các phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ : tính kiên trì , cẩn thâ ̣n, chính xác, thói quen tự kiểm tra, đánh giá để tránh những sai lầm có thể gặp

1.2.7 Mô ̣t số ki ̃ năng cần thiết khi giải toán

Hê ̣ thống kĩ năng giải toán của ho ̣c sinh có thể chia làm ba cấp đô ̣ : Biết làm , thành thạo và sáng tạo trong việc giải các bài toán cụ thể

a) Nhóm ki ̃ năng chung

+ Kĩ năng tìm hiểu nội dung bài toán : Phân tích bài toán , làm rõ các dữ kiện đặt

ra Nếu bài toán có tính chất là mô ̣t vấn đề thì cần tìm khâu nào còn chưa biết mô ̣t quy tắc tổng quát hoă ̣c mô ̣t phương pháp có yếu tố thuâ ̣t toán để giải bài toán , xác định đó

là trọng tâm cần tập trung suy nghĩ tìm hướng giải Đây là kĩ năng phát hiê ̣n và giải quyết vấn đề, là một trong những kĩ năng quan trọng nhất khi giải các bài toán có t ính chất là mô ̣t vấn đề Cần làm rõ các thành phần , mối liên hê ̣ (tường minh hay không tường minh) qua các yếu tố (có hoặc không có) trong bài toán;

+ Kĩ năng tìm kiếm, đề ra chiến lược giải, hướ ng giải bài toán

Huy đô ̣ng tri thức, kinh nghiê ̣m hữu ích có liên quan đến giải bài toán , bao gồm hai da ̣ng:

Dạng 1: Là những nội dung mà học sinh sản sinh ra một cách tích cực bằng các

thao tác tư duy, bằng lao đô ̣ng trí óc và thực hành

Dạng 2: Là những ý tưởng chợt lóe sáng tự phát , được hiểu theo nghĩa bừng

sáng của quá trình tư duy sáng tạo Chuyển di ̣ch về những vấn đề quen thuô ̣c đã có thuâ ̣t giải: quy na ̣p, tìm kiếm, dự báo, bổ sung vào thuâ ̣t giải đã có hoă ̣c tìm kiếm thuâ ̣t giải mới

+ Kĩ năng xây dựng và thực hiện kế hoạch cụ thể giải bài toán ;

+ Kĩ năng kiểm tra đánh giá tiến trình giải toán và kết quả bài toán ;

+ Kĩ năng thu nhận , hợp thức hóa bài toán thành kiến thứ c mới của người giải toán

Ngoài ra cần rèn luyện các nhóm kĩ năng cụ thể sau :

b) Nhóm kĩ năng thực hành

+ Kĩ năng vận dụng tri thức vào hoạt động giải toán : Được rèn luyện trong quá trình tìm tòi lời giải của bài toá n Cần chú ý kĩ năng chuyển từ tư duy thuâ ̣n sang tư

duy nghi ̣ch để nắm vững và vâ ̣n du ̣ng kiến thức ( mô ̣t thành phần của tư duy toán ho ̣c),

kĩ năng biến đổi xuôi chiều và ngược chiều song song với nhau giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược diễn ra đồng thời với việc hình thành các liên tưởng thuận ; + Kĩ năng tính toán : Đây là điều rất cần thiết trong thực tiễn , kinh doanh , kĩ thuâ ̣t Đòi hỏi tính đúng, tính nhanh, tính hợp lí Được rèn luyê ̣n qua các bài luyê ̣n tâ ̣p , thông qua tính nhẩm bàn tính , bảng số, máy tính Rèn luyện kĩ năng ước lượng khi sử dụng máy tính điện tử bỏ túi, bước đầu kiểm tra kết quả sau khi bấm máy;

+ Kĩ năng trình bày lời giải kho a học, sử du ̣ng biểu đồ , sơ đồ, đồ thi ̣, đo ̣c và vẽ đồ thi ̣ cho chính xác, rõ ràng;

+ Kĩ năng ước lượng , đo đạc có ý nghĩa giáo du ̣c và ý nghĩa thực tiễn , cần rèn luyê ̣n cho ho ̣c sinh thói quen ước lượng khi sử du ̣ng du ̣ng cụ đo trong thực tiễn;

+ Kĩ năng toán học hóa các tình huống thực tiễn : Học sinh được rèn luyện kĩ năng này thông qua các bài toán có nô ̣i dung thực tiễn hoă ̣c các bài toán có nô ̣i dung không phải dưới da ̣ng thuần túy toán h ọc mà dưới dạng một vấn đề thực tế cần giải quyết

c) Nhóm kĩ năng về tư duy

+ Kĩ năng tổ chức hoạt động nhận thức trong giải toán : Sắp xếp kiến thứ c theo trình tự giải, nhớ la ̣i và huy đô ̣ng kiến thức và kinh nghiê ̣m hữ u ích để giải toán Phân loại bài toán để lựa chọn kế hoạch và phương pháp giải Tâ ̣p hợp các dữ kiê ̣n, xác định

ẩn, biểu thi ̣ qua các mối liên hê ̣ Xác định rõ giả thiết, kết luâ ̣n, phản ánh rõ các kí hiệu trong bài toán Biết sử du ̣ng các phương pháp suy luâ ̣n và các thao tác tư duy khái quát hóa, đă ̣c biê ̣t hóa, tương tự trong tiến trình giải toán Biết giải quyết từng cái riêng , bô ̣ phâ ̣n trong bài toán từ đó đi đến giải quyết cái chun g, tổng thể của bài toán (và ngược lại);

+ Kĩ năng tổng hợp: Liên kết các dữ liê ̣u trong bài toán, khái quát các dấu hiệu để tạo ra mô ̣t cách toàn ve ̣n Tóm tắt nô ̣i dung bài toán, xác định rõ giả thiết, kết luâ ̣n, kết cấu lại đề toán, định hướng tiến trình giải toán;

+ Kĩ năng phân tích: Nhận da ̣ng chung, phân tích các quan hê ̣ và cấu trúc của bài toán Nhâ ̣n da ̣ng ý tro ̣ng tâm , dự đoán, phân tích và khắc phu ̣c các sai lầm trong quá trình giải toán Phân loa ̣i các khả năng có lời giải hoă ̣c cách đi đến lời giải Xác định trọng tâm cần giải quyết trong bài toán;

+ Kĩ năng mô hình hóa : Hành động mô hình hóa bài toán là hành động chuyển

bài toán thành mô hình và phân tích quan hệ toán học cũng như các phương pháp toán học sử dụng trên mô hình đó Đây là mô ̣t kĩ năng cần thiết để giải bài toán có ứng dụng thực tiễn và các bài toán liên môn khác Ghi và chuyển ký hiê ̣u (mâ ̣t mã) giúp cho khả năng toán ho ̣c hóa các bài toán có nô ̣i dung thực tiễn , sản xuất, kỹ thuật cần giải quyết;

+ Kĩ năng sử dụng thông tin : Nhận biết , thu thâ ̣p và ghi nhâ ̣n thông tin từ nô ̣i dung bài toán Phân loa ̣i, sắp xếp và t hể hiê ̣n qua các kênh thông tin trong hoa ̣t đô ̣ng giải toán để tạo cơ sở huy động kiến thức , vốn kinh nghiê ̣m có liên quan hữu ích đến viê ̣c giải bài toán Kĩ năng chuyển hóa tri thức , chọn phương thức tiếp cận và xử lý thông tin để giải bài toán

1.3 Kiến thức cơ bản về tam thức bậc hai

1.3.1 Định nghĩa

Tam thức bậc hai là biểu thức dạng   2    

f x ax bxc a0 1Nghiệm của tam thức bậc hai cũng là nghiệm của phương trình bậc hai

Nếu    0 ' 0 phương trình bậc hai vô nghiệm

Nếu    0 ' 0 phương trình bậc hai có nghiệm kép

x1=x2 = - b

2a = -b'

a

æè

ø

÷Nếu    0 ' 0 phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt

x1,2= -b± D

2a = -b'± D'

a

æè

1.3.3 Định lý về dấu của tam thức bậc hai

f x ax bxc a 0

Ta thể hiện định lý dưới dạng bảng xét dấu tam thức bậc hai sau:

  phương trình f(x) = 0 có hai

1.3.4 Định lý đảo về dấu của tam thức bậc hai

+ Định lý: Cho tam thức bậc hai   2  

f x ax bxc a0 và một số thực  Nếu af  0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x , x (x1 2 1 x )2 và x1   x 2+ Hệ quả 1: Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai

  2  

f x ax bxc a0 có hai nghiệm phân biệt x , x (x1 2 1 x )2 là tồn tại số  sao cho: af  0

+ Hệ quả 2: Cho tam thức   2  

f x ax bxc a 0 và hai số , sao cho

   Điều kiện cần và đủ để phương trình f (x)0có hai nghiệm, trong đó một nghiệm nằm trong khoảng ( ; )  nghiệm kia nằm ngoài đoạn  ; là f    f  0

y

a  0

1x

2x

y

a  0

b 2a

2x

y

a  0

2)

 

0S

1.4 Thực trạng dạy và học nội dung tam thức bậc hai và sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán ở các trường THPT

1.4.1 Mục đích khảo sát

Nhằm tìm hiểu thực trạng dạy và học nội dung tam thức bậc hai và sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán ở các trường THPT hiện nay, làm cơ sở góp phần tìm kiếm, đề xuất các biện pháp để giúp HS sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán một cách hiệu quả

1.4.2 Đối tượng khảo sát

- 7 cán bộ, giáo viên Toán trường THPT Tân Lạc, Huyện Tân Lạc, Tỉnh Hòa Bình

- 210 HS trường THPT Tân Lạc, Huyện Tân Lạc, Tỉnh Hòa Bình

1.4.3 Nội dung khảo sát

1.4.3.1 Nội dung khảo sát giáo viên

- Nhận xét, đánh giá của GV về sự cần thiết rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán cho học sinh THPT;

- Tình hình rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán ở trường THPT;

- Những khó khăn của GV trong rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán ở trường THPT;

- Những khó khăn mà HS thường mắc phải trong quá trình rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán;

- Đánh giá của GV về mức độ rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong

giải toán ở trường THPT

1.4.3.2 Nội dung khảo sát học sinh

- Nhận xét, đánh giá của HS về sự cần thiết rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán;

- Các biện pháp và mức độ rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán ở bản thân;

- Những khó khăn mà các em thường mắc phải trong quá trình rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán;

- Đánh giá của HS về mức độ rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán ở trường học

1.4.4 Phương pháp khảo sát

- Phương pháp điều tra khảo sát thông qua phiếu điều tra trên CBQL, giáo viên

và HS trường THPT;

- Phương pháp quan sát để thu thập thông tin;

- Phương pháp thống kê xử lí số liệu: Để xử lý số liệu em sử dụng thang định danh và thang định khoảng Có 4 khoảng tương ứng với 4 mức độ:

A - 4 điểm, B - 3 điểm, C - 2 điểm và D - 1

C Bình thường D Không cần thiết

Câu hỏi nhằm mục đích tìm hiểu những nhận xét, đánh giá của GV và HS về sự cần thiết phải rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán Kết quả thu được như sau:

Bảng 1.1: Nhận xét và đánh giá của GV và HS về sự cần thiết rèn luyện kĩ

năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán cho HS

quan trọng của việc rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán cho HS trong dạy học Toán vì tam thức bậc hai là một trong những công cụ để học tốt môn Toán Tính theo thang điểm từ 1 điến 4 ta có điểm trung bình của GV là: 4 71,4% + 3.28,4% = 3,708

Đối với HS: 52,4% HS nhận thấy rất cần thiết phải rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán và 23,3% HS cho rằng việc rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán là cần thiết, 14,3% HS cho rằng việc rèn luyện kĩ năng

sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán là bình thường, và có 10% HS cho rằng việc này là không cần thiết Em đã trao đổi trực tiếp với những học sinh này về lý do tại sao

và nhận thấy rằng các HS này chưa hiểu chính xác về rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán, vì cho rằng tam thức bậc hai chỉ là một nội dung nhỏ trong toán học và không được sử dụng nhiều nên các em thấy điều này là không cần thiết, hoặc các em đã từng sử dụng tam thức bậc hai trong việc giải toán nhưng không biết đó là phương pháp này, cũng có những HS do không thích học môn toán nên thấy

nó không cần thiết Sau khi được em giải thích rõ rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán và một vài ví dụ minh họa các HS đều cho rằng việc rèn luyện

kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán là rất cần thiết Điểm trung bình của

- Mức độ rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán cho HS của GV

- Biện pháp cụ thể nhằm rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán cho HS và mức độ tương ứng

a) Đối với giáo viên:

Câu 2: Trong giảng dạy môn Toán, Thầy (Cô) có thường xuyên rèn luyện kĩ năng

sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán cho học sinh hay không?

A Thường xuyên B Thỉnh thoảng

C Ít khi D Không bao giờ

Câu 3: Trong giảng dạy, Thầy (Cô) đã thực hiện những biện pháp nào sau đây để rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán cho học sinh? Ở mức độ nào?

Biện pháp rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức

bậc hai trong giải toán cho HS

Mức độ Thường

xuyên (A)

Thỉnh thoảng (B)

Ít khi (C)

Không bao giờ (D)

1 Trang bị đầy đủ cho HS đầy đủ phương

pháp giải các dạng toán quen thuộc

2 Rèn luyện cách nhìn bài toán theo nhiều

chiều hướng khác nhau

3 Rèn luyện cho HS khai thác ứng dụng của

tam thức bậc hai vào giải một số bài toán thực

Bảng 1.2: Đánh giá mức độ thực hiện các biện pháp nhằm rèn luyện kĩ năng sử

dụng tam thức bậc hai trong dạy toán cho HS ở trường THPT

Biện pháp rèn luyện kĩ năng sử dụng

tam thức bậc hai trong giải toán cho

HS

Mức độ

ĐTB

Thường xuyên (A)

Thỉnh thoảng (B)

Ít khi (C)

Không bao giờ (D)

1 Trang bị đầy đủ cho HS đầy đủ

phương pháp giải các dạng toán quen

thuộc

2 Rèn luyện cách nhìn bài toán theo

3,142

3 Rèn luyện cho HS khai thác ứng

dụng của tam thức bậc hai vào giải

một số bài toán thực tiễn

Biện pháp 2 (Rèn luyện cách nhìn bài toán theo nhiều hướng khác nhau) biện pháp này cũng thường được GV sử dụng Cụ thể là có 42,8% chọn A, 28,6% chọn B

và 28,6% chọn C, không có ai chọn D Mức độ thường xuyên sử dụng của biện pháp này chưa cao, một phần do thời gian tiết học là có hạn, số lượng HS trong một lớp thường đông và lực học không đồng đều, chủ yếu sử dụng ở các lớp chọn như 10A1 Biện pháp 3 (Rèn luyện cho HS khai thác ứng dụng của tam thức bậc hai vào giải một số bài toán thực tiễn) ít GV thực hiện và hiệu quả đạt được chưa cao

Biện pháp 4 (Dự đoán và hướng khắc phục sai lầm khi giải toán) thường được

GV sử dụng trong các tiết bài tập và ôn tập chương

b) Đối với học sinh:

Em cũng đưa ra hai câu hỏi tương tự cho HS và nhận được kết quả như sau:

HS nhận thấy rằng GV cũng thường xuyên rèn luyện hoạt động giải toán cho HS thông qua nhiều biện pháp Tuy nhiên qua trao đổi, HS tự nhận thấy rằng các biện pháp được thực hiện là có hiệu quả xong chưa cao và chưa đồng đều

1.4.5.3 Khó khăn về rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán trong dạy học ở trường THPT

a) Đối với giáo viên

Câu 4: Trong quá trình dạy học giải toán ở trường THPT, Thầy (Cô) thường gặp những khó khăn gì?

A Hướng dẫn HS trình bày lời giải

B Hướng dẫn HS tìm cách giải cho bài toán,

C Hướng dẫn HS cách nhìn bài toán theo nhiều hướng khác nhau sau đó tìm nhiều cách giải, phân tích và chọn cách giải hay nhất

D Khó khăn khác……… Câu 5: Thầy (Cô) hãy cho biết những khó khăn mà HS thường mắc phải trong rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán? Ở mức độ nào?

Khó khăn thường gặp của HS

Mức độ Thường

xuyên (A)

Thỉnh thoảng (B)

Ít khi (C)

Không bao giờ (D)

`1 Trình bày lời giải lủng củng, thiếu chính

4 Chưa nhận thức rõ về các yếu tố trong đề

bài và mối liên quan giữa chúng

5 Sử dụng ngôn ngữ toán học mô hình hóa các

tình huống thực tiễn

6 Khó khăn khác………

Qua khảo sát và trao đổi em nhận thấy những khó khăn mà GV thường gặp phải như: Thứ nhất, hướng dẫn HS trình bày lời giải Nguyên nhân do một bộ phận HS có khả năng tưởng tượng và tư duy toán tốt xong kĩ năng trình bày chưa tốt dẫn đến trình bày lời giải chưa khoa học và thiếu chính xác

Thứ hai, hướng dẫn HS tìm cách giải cho một bài toán Một số nguyên nhân gây nên khó khăn này là do HS quên kiến thức hoặc chưa linh hoạt trong việc áp dụng kiến thức vào giải bài tập, chưa nắm được một số phương pháp giải các dạng toán cơ bản Thứ ba là hướng dẫn HS đọc và tìm hiểu đề, diễn tả được quan hệ giữa các yếu tố trong đề bài theo ngôn ngữ toán học

Kết quả đánh giá những khó khăn mà HS thường mắc phải trong rèn luyện kĩ năng được cho bởi bảng sau:

Khó khăn thường gặp của HS

Mức độ Thường

xuyên (A)

Thỉnh thoảng (B)

Ít khi (C)

Không bao giờ (D)

4 Chưa nhận thức rõ về các yếu tố

trong đề bài và mối liên quan giữa

chúng

5 Sử dụng ngôn ngữ toán học mô

Với kết quả khảo sát như bảng trên, ta thấy rằng điểm trung bình của khó khăn 1

là 3,86, ĐTB của khó khăn 2 là 3,71, ĐTB của khó khăn 3 là 3,14, ĐTB của khó khăn

4 là 3,29 và ĐTB của khó khăn 5 là 3,86 Như vậy theo đánh giá của GV thì HS thường xuyên gặp khó khăn trong việc sử dụng ngôn ngữ toán học mô hình hóa các tình huống thực tiễn, việc trình bày lời giải và diễn đạt lủng củng, sử dụng ngôn ngữ của HS cũng thường thiếu chính xác Nhiều HS vẫn chưa định hướng được cách giải

cũng như chưa nhận thức rõ về các yếu tố trong đề bài và mối liên quan giữa chúng Qua tham khảo trực tiếp ý kiến của các Thầy Cô thì những HS ở các lớp đại trà thường xuyên mắc phải những khó khăn trên

b) Đối với học sinh

Câu 4: Em hãy cho biết những khó khăn mà bản thân thường mắc phải trong rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán? Ở mức độ nào?

Và kết quả khảo sát thông qua phiếu điều tra như sau:

Khó khăn thường gặp của bản thân

Mức độ

ĐTB

Thường xuyên (A)

Thỉnh thoảng (B)

Ít khi (C)

Không bao giờ (D)

1 Trình bày lời giải lủng củng, thiếu

2 Diễn đạt và sử dụng ngôn ngữ thiếu

4 Chưa nhận thức rõ về các yếu tố

trong đề bài và mối liên quan giữa

5 Sử dụng ngôn ngữ toán học mô hình

Trong quá trình HS tự đánh giá, tính theo thang điểm từ 1 đến 4 ta được: ĐTB của khó khăn 1 là 3,43, ĐTB của khó khăn 2 là 3,36, ĐTB của khó khăn 3 là 2,93 và ĐTB của khó khăn 4 là 2,68 và ĐTB của khó khăn 5 là 3,52

Qua đó, HS tự đánh giá những khó khăn mà mình gặp phải thì mức độ lần lượt là: Thứ nhất: Sử dụng ngôn ngữ toán học mô hình hóa các tình huống thực tiễn, thứ hai: trình bày lời giải lủng củng, thiếu chính xác, thứ ba: Diễn đạt và sử dụng ngôn ngữ thiếu chính xác, thứ tư: Chưa định hướng được cách giải và cuối cùng là chưa nhận thức rõ về các yếu tố trong đề bài và mối liên quan giữa chúng

Tóm lại, kết quả khảo sát cho thấy:

+ Về phía GV: hầu hết GV đều nhận thức được tầm quan trọng và sự cần thiết

của việc rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán Tuy nhiên lại chưa có được những biện pháp hiệu quả nhằm rèn luyện và phát triển kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán cho HS, GV cũng gặp không ít những khó khăn trong quá trình đó

+ Về phía HS: Hầu hết các em cũng đều nhận thức rõ được ưu điểm của việc rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán Tuy nghiên những biện pháp

mà GV thực hiện vẫn chưa đem lại hiệu quả cao, HS vẫn thường gặp rất nhiều khó khăn trong quá trình giải toán, mức độ sử dụng tam thức bậc hai ở nhiều khía cạnh chỉ được đánh giá ở mức trung bình và yếu

Kết quả khảo sát được phân tích ở trên chính là cơ sở thực tiễn để tìm kiếm và đề xuất các biện pháp rèn luyện kĩ năng sử dụng tam thức bậc hai trong giải toán cho HS

Định hướng này dựa trên:

- Cơ sở xác định nhiệm vụ và yêu cầu cơ bản về kiến thức và kĩ năng của chương phương trình và bất phương trình bậc hai thể hiện trong chương trình SGK;

- Nhiệm vụ giúp học sinh nắm vững các kiến thức và khái niệm toán học cơ bản của chương trình là một trong những nhiệm vụ trọng tâm hàng đầu của giáo dục toán học trong nhà trường;

- Sự liên quan giữa các nhiệm vụ dạy học toán học thực hiện ở các khía cạnh Tính toàn diện của các nhiệm vụ, sự thống nhất của các nhiệm vụ trong hoạt động Qua đó chúng ta thấy rằng việc giúp học sinh nắm vững các kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản không những là một nhiệm vụ quan trọng mà còn là cơ sở cần thiết thực hiện tốt các nhiệm vụ khác của giáo dục toán học trong nhà trường Có như vậy mọi hoạt động dạy học, ở tất cả các nội dung, trước hết và luôn chú ý hướng đi làm cho học sinh nắm vững các kiến thức và kĩ năng cơ bản

Trong khuôn khổ của khóa luận, cần làm cho học sinh nắm vững kiến thức phương trình bậc hai, tam thức bậc hai và các ứng dụng của nó Thông qua dạy học, giáo viên cần tăng thêm yêu cầu trong việc giải các bài toán ứng dụng của phương pháp tam thức bậc hai như: Giải phương trình bậc hai, bất phương trình bậc hai chứa tham số có điều kiện phụ, so sánh một số hay hai số với các nghiệm của tam thức bậc hai, giải hệ phương trình bậc hai, giải hệ bất phương trình bậc hai, giải phương trình, bất phương trình có chứa căn thức, giải phương trình, bất phương trình có chứa giá trị tuyệt đối, giải phương trình trùng phương, chứng minh bất đẳng thức bằng công cụ tam thức bậc hai, ứng dụng tam thức bậc hai tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, ứng dụng tam thức bậc hai trong hình học và trong lượng giác, ứng dụng để giải các bài toán thực tiễn, ứng dụng trong vật lý, sinh học, hóa học… Qua đó học sinh thấy được tính

ưu việt của phương pháp tam thức bậc hai so với các phương pháp khác khi giải các dạng toán liên quan

Giai đoạn 2: Sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để giải bài toán mới;

Giai đoạn 3: “Phiên dịch” ngược lại tức là đáp ứng những yêu cầu của bài toán ban đầu