Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy truy hồi

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LÊ THỊ THU HIỀN PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY TRUY HỒI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LÊ THỊ THU HIỀN PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN VỀ DÃY TRUY HỒI Chun ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phạm Quý Mười ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 LỜI CAM ĐOAN Các kết trình bày luận văn cơng trình nghiên cứu riêng tơi hồn thành hướng dẫn TS Phạm Quý Mười Các kết luận văn chưa công bố cơng trình người khác Tơi xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Tác giả luận văn Lê Thị Thu Hiền LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thiện Khoa Tốn, Trường đại học Sư phạm Đà Nẵng, hướng dẫn TS Phạm Quý Mười Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến Thầy bảo hướng dẫn tận tình suốt thời gian tác giả làm luận văn Trong suốt q trình tác giả nghiên cứu, tác giả ln nhận quan tâm giúp đỡ ý kiến đóng góp q báu q thầy, giáo Khoa Toán, Trường đại học Sư phạm Đà Nẵng Từ đáy lịng mình, tác giả xin chân thành gởi lời cảm ơn đến quý thầy cô Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban lãnh đạo Khoa Toán Trường đại học Sư phạm Đà nẵng tạo điều kiện cho tác giả thời gian học tập nghiên cứu Xin chân thành cảm ơn anh, chị em lớp cao học Toán giải tích khố 31 bạn bè đồng nghiệp xa gần bên cạnh động viên, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Trường đại học sư phạm Đà Nẵng Luận văn quà tinh thần, tác giả xin kính tặng đến gia đình thân u với tất lòng biết ơn, yêu thương trân trọng Tác giả luận văn Lê Thị Thu Hiền MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ DÃY SỐ VÀ DÃY TRUY HỒI 1.1 DÃY SỐ 1.2 GIỚI HẠN DÃY SỐ 1.3 DÃY TRUY HỒI 1.4 DÃY TRUY HỒI CHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP VÀ CẤP 1.4.1 Dãy truy hồi cho phương trình sai phân tuyến tính cấp 1.4.2 Dãy truy hồi cho phương trình sai phân tuyến tính cấp hai 10 CHƯƠNG MỘT SỐ DẠNG TOÁN CƠ BẢN VỀ DÃY TRUY HỒI .13 2.1 TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY TRUY HỒI 13 2.1.1 Dự đốn cơng thức cho số hạng tổng qt chứng minh phương pháp quy nạp 14 2.1.2 Sử dụng phương trình sai phân để tìm số hạng tổng quát dãy 18 2.2 XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ BỊ CHẶN CỦA DÃY TRUY HỒI 2.3 TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY TRUY HỒI 22 26 2.3.1 Tính giới hạn dãy dựa vào cơng thức số hạng tổng quát 26 2.3.2 Tính giới hạn dãy định nghĩa dãy số 28 2.3.3 Tính giới hạn dãy dựa vào định lý Weierstrass 30 2.4 TÌM GIỚI HẠN CỦA MỘT BIỂU THỨC CHỨA CÁC SỐ HẠNG CỦA DÃY TRUY HỒI 33 CHƯƠNG SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ DÃY TRUY HỒI 39 3.1 SÁNG TẠO RA CÁC BÀI TỐN TÌM SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY TRUY HỒI 39 3.2 SÁNG TẠO RA CÁC BÀI TỐN TÍNH GIỚI HẠN CỦA DÃY TRUY HỒI 3.3 SÁNG TẠO RA CÁC BÀI TOÁN MỚI TỪ BÀI TOÁN GỐC 43 46 KẾT LUẬN 53 TÀI LIỆU THAM KHẢO 54 47 Ta có: un+1 = n+1 un+1 un · un ⇔ = · 3n n+1 n 1 n un , Đặt = , ta có v1 = vn+1 = với n ≥ Suy = n 3 với n ≥ 1 n un Do un = n = Vậy lim n→+∞ n 2n Ví dụ 3.3.7 Cho dãy (un ) biết u1 = vàun+1 = · un với n ≥ n+1 Tìm số hạng tổng quát dãy tính lim (nun )? n→+∞ Giải Ta có: 2n · un ⇔ (n + 1)un+1 = 2n · un , ∀n ≥ n+1 Đặt = n · un , ta có v1 = vn+1 = 2vn với n ≥ un+1 = Suy = 2n−1 với n ≥ 2n−1 Do un = Vậy lim (n · un ) = +∞ n→+∞ n Bài toán 3.3.8 Xét dãy cho u1 = a un+1 ± un = f (n) · (un ± un−1 ) với n ∈ N∗ Trong a số, a = 0, f (n) biểu thức n cho trước Ví dụ 3.3.9 Cho dãy (un ) biết u0 = 1, u1 = 2, nun+1 − (n + 1)un + un−1 = 0, ∀n ≥ Tính [un ] Giải Ta có: nun+1 − (n + 1)un + un−1 = suy un+1 − un = với n ≥ 1 (un − un−1 ) n Xét dãy số (vn ) với v0 = 1, v1 = vn+1 = un+1 − un với n ≥ 1 Hệ thức viết lại vn+1 = · với n ≥ n 48 Khi đó: = v2 = vn−1 , n−1 · v1 1 · v1 = , với n ≥ n! n! Suy un+1 − un = với n ≥ n! Khi đó: un − un−1 = (n − 1)! u2 − u1 = 1! 1 Suy un+1 − u1 = + + + n! (n − 1)! 1! 1 1 , ∀n ≥ ⇒ un = + + + + + 1! 2! 3! (n − 1)! Suy vn+1 = Ta dễ chứng minh ≤ un < Vậy [un ] = Ví dụ 3.3.10 Cho dãy (u) biết u0 = 1, u1 = 2, un+1 − (n + 1)un + nun−1 = 0, ∀n ≥ Tìm chữ số cuối số hạng u2015 Giải Ta có: un+1 − (n + 1)un + nun−1 = Suy un+1 − un = n(un − un−1 ) với n ≥ Xét dãy số (vn ) với v0 = 0, v1 = vn+1 = un+1 − un với n ≥ Hệ thức viết lại vn+1 = n · với n ≥ Khi = (n − 1) · vn−1 , ∀n ≥ 1, v2 = · v1 Suy vn+1 = n!v1 = n!, un+1 − un = n! với n ≥ 49 Khi un − un−1 = (n − 1)! u2 − u1 = 1! Suy un+1 − u1 = n! + (n − 1)! + + 2! + 1! Do un = + 1! + 2! + + (n − 1)! Vì 5! = 120 có chữ số tận nên chữ số tận số hạng u2015 chữ số tận số + 1! + 2! + 3! + 4! = 35 Vậy chữ số cuối số hạng u2015 Ví dụ 3.3.11 Cho dãy (un ) biết u0 = 1, u1 = 1, (n + 1)un+1 − (2n + 1)un + nun−1 = 0, ∀n ≥ Chứng minh un > + ln n, với n ≥ Giải Ta có: (n + 1)un+1 − (2n + 1)un + nun−1 = n Suy un+1 − un = (un − un−1 ) với n ≥ n+1 Xét dãy số (vn ) với v0 = 0, v1 = vn+1 = un+1 − un với n ≥ n · với n ≥ Hệ thức viết lại vn+1 = n+1 n−1 Khi đó: = · vn−1 , ∀n ≥ 1, n 1 v2 = · v1 = 2 Suy 1 vn+1 = v1 = ⇒ un+1 − un = , ∀n ≥ n+1 n+1 n+1 Khi đó: un − un−1 = , n u2 − u1 = 1 1 Suy un − u0 = + + + + + n n−1 1 1 1 + + + + + 1, ∀n ≥ ⇒ un = + n n−1 50 Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh 1 ln n < + + + , ∀n ≥ 1 n Vậy un > + ln n, với n ≥ un+1 un Bài toán 3.3.12 Xét dãy cho u1 = a = f (n) với un un−1 n ∈ N∗ , a số, a = 0, f (n) biểu thức n cho trước Ví dụ 3.3.13 Cho dãy (un ) biết  u0 = 1, u1 = 2, u2 n un+1 = · n , ∀n ≥ n + un−1 un Tìm số hạng tổng quát dãy số Tính lim n Giải n u2n Ta có: un+1 = · n + un−1 n un un+1 = với n ≥ · Suy un n + un−1 Xét dãy số (vn ) với v0 = 0, v1 = vn+1 = un+1 với n ≥ un n · với n ≥ Suy n+1 = · v1 = n+1 n+1 Hệ thức viết lại vn+1 = vn+1 un+1 = un n+1 2n 2n+1 · un = · = Suy un+1 = n+1 n + n! (n + 1) · n! 2n ⇒ un = , ∀n ≥ n · (n − 1)! un Vậy lim n = Ví dụ 3.3.14 Cho dãy (un ) biết u0 = 1, u1 = 2, (2n + 1)un−1 · un+1 − (2n − 1) · u2n = 0, ∀n ≥ Khi đó: Tìm số hạng tổng quát dãy số? 51 Giải Ta có: (2n + 1)un−1 · un+1 − (2n − 1) · u2n = un+1 2n − un Suy = với n ≥ · un 2n + un−1 un+1 Xét dãy số (vn ) với v0 = 0, v1 = vn+1 = với n ≥ un 2n − Hệ thức viết lại vn+1 = · 2n + 1 Suy vn+1 = · v1 = 2n + 2n + 1 Khi đó: un+1 = · un 2n + 1 · u1 Suy un+1 = 1.3.5 (2n + 1) , ∀n ≥ ⇒ un = 1.3.5 (2n − 1) 2n+1 · n! Vậy un = = với n ≥ 1.3.5 (2n − 1) (2n)! Bài toán 3.3.15 Xét dãy (un ) cho u1 = a un+1 + g(n + 1) = f (n)(un + g(n)), ∀n ∈ N∗ Trong a số, a = 0, f (n), g(n), g(n + 1) biểu thức n cho trước Ví dụ 3.3.16 Cho dãy số thực (un ) xác định u1 = −2, nun , ∀n ∈ N∗ un+1 = − n un Tìm số hạng tổng quát dãy số Giải Ta có: 1 nun ⇒ = · −n − n un un+1 n un 1 + (n + 1) = · ⇒ un+1 n Đặt g(n) = + n un un+1 = +n un 52 · g(n) n 1 ⇒ g(n + 1) = g(1) = n! 2n! 1 ⇒ + (n + 1) = 2n! un+1 1 (n + 1)2 · n! − ⇒ = −n−1=− un+1 2n! 2n! 2n! ⇒ un+1 = − (n + 1)2n! − 2(n − 1)! , n ≥ ⇒ un = − 2n(n − 1)! − 2(n − 1)! Kết hợp với u1 = −2, ta có un = − với n ≥ 2n(n − 1)! − 2(n − 1)! với n ≥ Vậy un = − 2n(n − 1)! − Suy g(n + 1) = 53 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Sau thời gian tìm hiểu, học hỏi từ tài liệu Thầy giáo TS Phạm Quý Mười cung cấp, hồn thành đề tài Luận văn Phương pháp giải sáng tạo toán dãy truy hồi giải vấn đề sau: Hệ thống phương pháp tìm số hạng tổng quát, xét tính đơn điệu bị chặn, tìm giới hạn dãy truy hồi hay biểu thức chứa số hạng dãy truy hồi Chọn lọc tốn thi để làm ví dụ minh họa cụ thể cho vấn đề đề cập luận văn Trình bày phương pháp sáng tạo tốn mới: tìm số hạng tổng qt, tính giới hạn dãy truy hồi, sáng tạo toán cách biến đổi toán gốc Tuy nhiên, hạn chế định trình độ khoa học, thời gian thực kinh nghiệm nghiên cứu nên luận văn hạn chế định Vì thế, chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp q thầy cơ, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện tốt 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Jean - Marie Monier (2000), Giáo trình giải tích 1, NXB Giáo Dục [2] Nguyễn Tài Chung (2013), Chuyên khảo dãy số, NXB Đại học Quốc Gia Hà Nội [3] Nguyễn Quý Dy - Nguyễn Văn Nho (2004), Tuyển tập 200 thi vô địch tốn tập giải tích, NXB Giáo Dục [4] Nguyễn Huy Đoan (2011), Bài tập đại số giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo Dục [5] Nguyễn Văn Mậu - Phan Hồng (2015), Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi khu vực duyên hải Nam Trung Bộ Tây Ngun [6] W.J.Kaczor – M.T Nowak, Nhóm Đồn Chi Dịch (2002), Bài tập giải tích - Số thực, dãy số chuỗi số, NXB Đại học Sư Phạm [7] Lê Quang Ánh - Lê Quý Mậu (1993), Phương pháp giải tốn Đại số Giải tích 11, NXB thành phố Hồ Chí Minh [8] Nguyễn Văn Mậu (2003), Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo Dục [9] Một số tài liệu từ Internet ... truy hồi - Các phương pháp giải toán dãy truy hồi - Sáng tạo toán dãy truy hồi - Nghiên cứu lý thuyết dãy số, phương pháp giải sáng tạo toán dãy truy hồi Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên... pháp để sáng tạo toán dãy truy hồi: Sáng tạo tốn tìm số hạng tổng qt dãy truy hồi Sáng tạo tốn tính giới hạn dãy truy hồi Sáng tạo toán từ toán gốc phương pháp đổi biến Các phương pháp trình bày... sáng tạo toán dãy truy hồi Cùng với hướng dẫn Thầy giáo TS Phạm Quý Mười, chọn đề tài “PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY TRUY HỒI” cho luận văn thạc sĩ 4 CHƯƠNG TỔNG QUAN VỀ DÃY