Phương pháp giải một lớp bài toán quy hoạch nguyên phi tuyến

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN DUY LONG PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN PHI TUYẾN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN DUY LONG PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU Thái Nguyên - Năm 2012 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mục lục i LỜI NÓI ĐẦU Nội dung MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Tập lồi, hàm lồi số tính chất 1.1.1 Tập hợp lồi 1.1.2 Hàm lồi 1.2 Thuật toán đa thức 1.3 Bài toán quy hoạch nguyên phi tuyến 10 PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP GIẢI BÀI TOÁN (P) 13 2.1 Tính chất nghiệm toán(P) 13 2.2 Cơ sở phương pháp giải 2.3 Thuật toán đa thức giải toán 21 2.3.1 2.3.2 Thuật toán A 16 21 Đánh giá độ phức tạp thuật toán 22 MỘT SỐ HƯỚNG MỞ RỘNG BÀI TOÁN (P) 28 3.1 Giảm kích thước toán (P) 28 3.2 Thay đổi ràng buộc 33 3.2.1 Thêm, bớt sinh viên 33 3.2.2 Thêm, bớt chuyên đề Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 34 http://www.lrc-tnu.edu.vn i 3.2.3 3.3 Thêm điều kiện phụ vào toán (P) 35 Thay đổi hàm mục tiêu toán (P) 37 3.3.1 Bài toán với hàm mục tiêu mở rộng 37 3.3.2 Bài toán với hàm mục tiêu lõm 40 3.3.3 Bài toán vận tải với điều kiện phụ 42 KẾT LUẬN 44 Tài liệu tham khảo 45 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Tối ưu tổ hợp (Combinatorial Optimization) hay gọi tối ưu rời rạc phận quan trọng tối ưu hoá Nó bao gồm nhiều toán tối ưu với biến số nhận giá trị rời rạc (không liên tục) nhiều phương pháp giải khác cho lớp toán tổng quát riêng lẻ Các toán tối ưu tổ hợp phong phú, đa dạng có nhiều ứng đụng rộng rãi thực tiễn Một số mô hình tối ưu tổ hợp thuộc loại toán "dễ giải" (có thuật toán đa thức để giải), phần lớn toán "khó giải" (chưa có thuật toán đa thức để giải) Nhiều vấn đề lý thuyết thực tiễn diễn đạt dạng toán tối ưu rời rạc Những toán thường có cấu trúc riêng Nếu biết khai thác cấu trúc riêng tìm cách giải hiệu qủa Luận văn đề cập tới lớp toán tối ưu rời rạc, cụ thể toán qui hoạch nguyên phi tuyến (biến số nhận giá trị nguyên, hàm mục tiêu phi tuyến), giải thuật toán đa thức nhờ khai thác đặc điểm cấu trúc toán Bài toán xét luận văn có cấu trúc đặc biệt có nội dung thực tiễn thiết thực Có thể xem mô hình toán học cho số toán thường gặp thực tế (mô hình xếp lịch học tập trường học) hoàn toàn áp dụng thực tiễn Việc phân tích lớp toán giúp ích cho việc sâu tìm hiểu sau toán tối ưu rời rạc nói chung ứng dụng chúng nói riêng Nội dung luận văn chia thành ba chương Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương với tiêu đề "Một số kiến thức chuẩn bị" trình bày kiến thức cần thiết tập lồi hàm lồi làm sở lý thuyết cho việc phân tích cấu trúc xây dựng thuật toán chương sau Tiếp theo, chương trình bày vắn tắt khái niệm thuật toán thời gian đa thức Cuối chương giới thiệu khái quát mô hình ý nghĩa thực tế lớp toán qui hoạch nguyên phi tuyến xét luận văn Chương với tiêu đề "Phương pháp trực tiếp giải toán (P)" phân tích cấu trúc đặc biệt nêu tính chất nghiệm đáng ý toán qui hoạch nguyên phi tuyến xét luận văn, tính chất giúp ích cho việc xây dựng thuật toán giải Mục chương trình bày thuật toán thời gian đa thức giải toán, cách sử dụng kỹ thuật điều chỉnh dần phương án kỹ thuật gán số cho hàng cột, tương tự phương pháp giải toán vận tải thông thường qui hoạch tuyến tính Thuật toán minh hoạ qua ví dụ số đơn giản trực quan Chương với tiêu đề "Một số hướng mở rộng toán" xét vấn đề xử lý sơ (tiền xử lý) kiện ban đầu toán nhằm giảm bớt kích thước toán cần giải (nếu có thể) Sau đó, xét mở rộng toán theo hai hướng: thay đổi điều kiện ràng buộc (thêm hay bớt sinh viên, thêm hay bớt chuyên đề, thêm điều kiện phụ ) thay đổi hàm mục tiêu (bài toán với hàm mục tiêu đơn điệu tăng toán với hàm mục tiêu lõm) Do thời gian kiến thức hạn chế nên chắn luận văn có thiếu sót định, kính mong quý thầy cô bạn đóng góp để tác giả tiếp tục hoàn thiện luận văn Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn GS.TS Trần Vũ Thiệu tận tình hướng dẫn, giúp đỡ suốt trình làm luận văn Tác giả xin trân trọng cảm ơn tập thể thầy cô giáo trường Đại học Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học – Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, tổ Toán – Tin trường THPT số huyện Bát Xát – Lào Cai tập thể bạn bè, đồng nghiệp gia đình quan tâm giúp đỡ, động viên tác giả hoàn thành tốt luận văn Thái Nguyên, tháng năm 2012 Người thực Nguyễn Duy Long Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số khái niệm kiến thức giải tích lồi, cần thiết cho việc phân tích lý thuyết xây dựng thuật toán chương sau Tiếp trình bày khái niệm thuật toán đa thức cuối giới thiệu toán qui hoạch nguyên phi tuyến xét luận văn Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [2], [3] [6] 1.1 1.1.1 Tập lồi, hàm lồi số tính chất Tập hợp lồi Khái niệm tập hợp lồi khái niệm giải tích lồi quy hoạch lồi Nhiều tính chất quan trọng thú vị toán quy hoạch có miền ràng buộc tập hợp lồi Định nghĩa 1.1 Một tập X không gian Euclide Rn gọi tập lồi ∀x1 , x2 ∈ X ∀λ ∈ [0; 1] ta có λx1 + (1 − λ2 )x ∈ X Như X tập lồi chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm Ví dụ 1.1: • Các tập afin nói chung tập lồi • Các nửa không gian đóng: {x :< a, x > α}, {x :< a, x > Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn α} • Các nửa không gian mở: {x :< a, x >< α}, {x :< a, x >> α} • Siêu phẳng H = {x :< a, x >= b} Rn Bao lồi tập A tập lồi nhỏ chứa A, ký hiệu coA Đây giao tất tập lồi chứa A Nếu X tập lồi chứa bao lồi tập Cho A, B hai tập Rn , tổ hợp lồi A B tập hợp tất điểm thuộc Rn có dạng: x = λa+(1−λ)b, a ∈ A, b ∈ B, λ Định lý 1.1 Tập lồi đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với số phép lấy tổ hợp tuyến tính, tức A B hai tập lồi Rn tập hợp sau lồi: A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B} λA + βB := {x = λa + βb : a ∈ A, b ∈ B, λ, β 1} Hệ Miền chứa nghiệm hệ bất phương trình tuyến tính dạng:    a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn b2   am1 x1 + am2 x2 + + amn xn bm tập lồi Người ta gọi tập lồi đa diện gọi khúc lồi Một khúc lồi giới nội gọi đa diện lồi Định lý 1.2 Một tập lồi đa diện X (có thể không giới nội) có đỉnh biểu diễn tập hợp tât điểm có dạng: λi di + x= i∈I µj g j , i∈I λi = 1, λi , µj với i, j i∈I di với i ∈ I đỉnh X, với j ∈ J phương cạnh vô hạn X Chú ý X giới nội cạnh vô hạn, biểu diễn lại tổng thứ Trong trường hợp này, điểm X biểu diễn qua tổ hợp lồi đỉnh X Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Hàm lồi Định nghĩa 1.2 Hàm số f (x) xác định tập lồi X ⊂ Rn gọi hàm lồi X, với x, y ∈ X, f (λx + (1 − λ)y) λ ta có: λf (x) + (1 − λ)f (y) Hàm f (x) gọi hàm lồi chặt X với ∀x1 , x2 ∈ X, x1 = x2 , < λ < ta có f (1 − λ) x1 + λx2 < (1 − λ) f x1 + λf x2 Hiển nhiên hàm lồi chặt hàm lồi, điều ngược lại chưa Hàm f (x) gọi hàm tựa lồi tập lồi X f (λx + (1 − λ) y) max {f (x) , f (y)} ∀x, y ∈ X, λ Hàm f (x) gọi lõm (tựa lõm) tập lồi X hàm −f (x) lồi (tựa lồi) X Như thường lệ, hàm λf, f + g, max (f, g) định nghĩa sau: (λf ) (x) := λf (x) , (f + g) (x) := f (x) + g (x) , max (f, g) (x) := max (f (x) , g (x)) Các hàm lồi đóng phép tổ hợp tuyến tính không âm phép lấy max Cụ thể ta có định lý sau: Định lý 1.3 Cho f hàm lồi tập lồi X g hàm lồi tập lồi Y Lúc hàm sau lồi X ∩ Y : λf + βg ∀λ, β 0, max (f, g) Định nghĩa 1.3 Cho X ⊂ Rn khác rỗng hàm f : X → R (không thiết lồi) Một điểm x∗ ∈ X gọi cực tiểu địa phương f X, tồn lân cận mở U x∗ cho f (x∗ ) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên f (x) với http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN DUY LONG PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT LỚP BÀI TOÁN QUY HOẠCH NGUYÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số : 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI... Thuật toán đa thức 1.3 Bài toán quy hoạch nguyên phi tuyến 10 PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP GIẢI BÀI TOÁN (P) 13 2.1 Tính chất nghiệm toán( P) 13 2.2 Cơ sở phương. .. niệm thuật toán thời gian đa thức Cuối chương giới thiệu khái quát mô hình ý nghĩa thực tế lớp toán qui hoạch nguyên phi tuyến xét luận văn Chương với tiêu đề "Phương pháp trực tiếp giải toán (P)"