Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán về dãy số

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LỆ THUỶ PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THỊ LỆ THỦY PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ Ngành: Mã số: Người hướng dẫn: Phương pháp toán sơ cấp 8.46.01.13 TS NGUYỄN THÀNH CHUNG MỤC LỤC MỞ ĐẦU iv Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Dãy số 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Một số dãy số đặc biệt Giới hạn dãy số 1.2.1 Khái niệm giới hạn dãy số 1.2.2 Tính chất dãy số hội tụ Một số định lý hội tụ dãy số 1.3.1 Định lý Weierstrass 1.3.2 Định lý Cauchy hàm số co 1.3.3 Định lý Stolz 1.3.4 Định lý Toeplitz 11 Một số phương pháp giải sáng tạo toán dãy số 2.1 2.2 13 Bài tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số 13 2.1.1 Dãy số cho phương pháp liệt kê 13 2.1.2 Dãy số cho công thức truy hồi tuyến tính 15 2.1.3 Dãy số cho công thức truy hồi phi tuyến 20 Bài tốn tính chất dãy số 25 2.2.1 Tính chất số học 25 ii 2.3 2.4 2.2.2 Tính chất tuần hồn, điều hịa 28 2.2.3 Tính chất đơn điệu 31 2.2.4 Tính chất bị chặn ước lượng dãy số 33 Bài toán giới hạn dãy số 37 2.3.1 Phương pháp dùng công thức tổng quát dãy số 37 2.3.2 Phương pháp dùng nguyên lý kẹp 40 2.3.3 Phương pháp dùng Định lý Weierstrass 43 2.3.4 Phương pháp dùng định lý Cauchy hàm số co 45 2.3.5 Phương pháp dùng định lý Stolz, Toeplitz 48 2.3.6 Phương pháp dùng dãy 49 Một số phương pháp sáng tạo toán dãy số 54 2.4.1 Phương pháp tương tự hóa 54 2.4.2 Phương pháp đặc biệt hóa, tổng quát hóa 56 2.4.3 Phương pháp suy diễn ngược lại từ kết biết 2.4.4 Phương pháp chuyển đổi mục đích toán 60 58 KẾT LUẬN 64 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 65 iii MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dãy khái niệm tốn học, vừa có ý nghĩa khoa học vừa có ý nghĩa thực tiễn Một dãy danh sách liệt kê đối tượng hay kiện (gọi chung phần tử) xếp có thứ tự Khi trừu xuất khỏi thực tiễn, ta xem phần tử số (thực phức), ta nói ta có dãy số Xuất phát từ ý nghĩa hình thành dãy số, việc nghiên cứu dãy số vấn đề liên quan đến đóng vai trị quan trọng toán học Giải vấn đề dãy số tiền đề để nghiên cứu toán liên quan đến dãy nói chung, từ cung cấp cơng cụ để giải toán nhiều ngành toán học khác đại số, lý thuyết số, lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, Khái niệm dãy số trang bị từ lớp 11 chương trình tốn, bậc trung học phổ thơng Tuy nhiên, khái niệm dãy số giới hạn dãy số chương trình phổ thơng chủ yếu mang tính chất mơ tả, thường cơng nhận kết để học sinh vận dụng giải tập, vấn đề chi tiết trình bày chương trình giải tích tốn học giảng dạy bậc đại học Các vấn đề liên quan đến dãy số lại vấn đề khởi đầu, với kĩ thuật tinh tế, đòi hỏi người học phải dành nhiều thời gian nghiên cứu hiểu vận dụng Do đó, tốn dãy số với cấp độ khác nói chung thường gây nhiều khó khăn cho học sinh giáo viên trình tìm lời giải Cũng thế, chủ đề dãy số khai thác qua kỳ thi, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi cấp, nước quốc tế Từ phân tích, đánh giá với thực tiễn giảng dạy gợi iv ý thầy giáo TS Nguyễn Thành Chung, để làm sáng tỏ vấn đề liên quan đến dãy số chương trình phổ thơng, cung cấp số cơng cụ nhằm mục đích định hướng người học tìm lời giải, đồng thời sáng tạo tốn dãy số, tơi mạnh dạn chọn đề tài: “Phương pháp giải sáng tạo toán dãy số” để làm luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại khái niệm tính chất dãy số, giới hạn dãy số, dãy số hội tụ, dãy số phân kỳ - Nghiên cứu số phương pháp giải toán dãy số kèm theo phân tích bình luận - Từ tốn dãy số có, phương pháp khác nhau, sáng tạo toán tìm lời giải cho tốn Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu khái niệm tính chất dãy số, giới hạn dãy số, dãy số hội tụ, dãy số phân kỳ - Các phương pháp giải sáng tạo toán dãy số chương trình phổ thơng Phạm vi nghiên cứu Đề tài tập trung nghiên cứu tốn dãy số chương trình phổ thơng Tuy nhiên, để làm sáng tỏ thêm vấn đề liên quan, cho tham khảo tài liệu liên quan dãy số trình bày giáo trình giải tích tốn học, giảng dạy chương trình đại học Những kiến thức chọn lọc để giáo viên học sinh phổ thơng hiểu vận dụng Phương pháp nghiên cứu: - Phương pháp nghiên cứu sử dụng dựa việc phân tích tổng hợp tài liệu có dãy số chương trình phổ thơng chương trình đại học hành - Ngồi ra, để sáng tạo toán dựa tốn cho chúng tơi cần sử dụng kiến thức liên quan để so sánh, đánh giá, tổng quát v Bài toán Cho dãy số (un ) xác định   u1 = 1,  un+1 = + 1, un n ≥ Chứng minh dãy số (un ) hội tụ tìm giới hạn + nghịch biến x (0, +∞) Hơn nữa, thấy < un < với n ≥ u1 = < = u3 nên dãy {u2n+1 } dãy tăng nghiêm ngặt, dãy {u2n } giảm nghiêm ngặt Nếu Lời giải Rõ ràng, un+1 = f (un ), n ≥ hàm số f (x) = limn→∞ u2n = a limn→∞ u2n+1 = b a = b = 2, suy dãy (un ) hội tụ limn→∞ un = 2.4.4 Phương pháp chuyển đổi mục đích tốn Chuyển đổi mục đích tốn phương pháp phổ biến để sáng tạo tốn dựa tốn gốc Theo đó, toán tạo dựa toán gốc cách thay đổi u cầu tốn, giữ nguyên bổ sung số giả thiết phù hợp Để áp dụng phương pháp cần đánh giá toán gốc cách đầy đủ, đồng thời phải nắm dạng tốn chuyển đổi Cuối cùng, toán tạo phải đảm bảo khơng tầm thường Ví dụ 2.4.10 Trong Ví dụ 2.1.7, biết dãy số (un ) có cơng thức n−1 3 − với , n ≥ Như vậy, ta có un ≤ n+1 2 n+1 un ≤ =3 − n ≥ 1, suy Điều dẫn đến n n(n + 1) n n+1 tổng quát un = n k=1 u2 un uk = u1 + + + k n ≤3 1− 1 1 + − + + − 2 n n+1 có tốn sau: 60 = 3n n+1 Bài toán Cho dãy số (un ) xác định    u1 =  un+1 = un − Chứng minh u1 + n2 n+4 , + 3n + n ≥ u2 un 3n + + ≤ với n ≥ n n+1 Ví dụ 2.4.11 √ Trong Ví √ dụn2.1.15, biết công thức tổng quát (2 + 3)2 + √ n , n ≥ Ta có dãy số un = (2 + 3) −1 √ 2n 3) + (2 + √ n −3 (3un ) − = (2 + 3)2 − √ n+1 (2 + 3)2 √ n √ n+1 = 12 , (2 + 3)2 − 2(2 + 3)2 + suy √ 2n √ n −2 = (2 + 3) + (3un ) − (2 + 3)2 √ n √ n (2 + 3)2 + (2 − 3)2 − = √ n−1 √ n−1 (2 + 3)2 − (2 − 3)2 = √ n Áp dụng cơng thức khai triển nhị thức Newton ta biểu diễn (2± 3)2 = √ xn ± yn 3, xn , yn ∈ Z, suy (2 + Do tức √ 3)2 n−1 − (2 − √ 3)2 n−1 √ = 2yn−1 √ 3 = (2y 3) = (3yn−1 )2 , n−1 3un − số phương Từ đó, có tốn sau: −1 3u2n 61 Bài toán Cho dãy số (un ) xác định     u1 = 1   un+1 = un + 3u Chứng minh với n ≥ ta có n ≥ , n số phương 3u2n − Ví dụ 2.4.12 Trong Ví dụ 2.2.13, ta biết (un ) dãy số tăng nghiêm ngặt, un > với n ≥ Nếu (un ) bị chặn theo Định lý Weierstrass, (un ) hội tụ l = limn→∞ un l = 1, mâu thuẫn Vậy limn→∞ un = +∞ Với n ≥ ta có 1 u2n + 2un + = , − = + un − un+1 − (un + 1)(u2n + 1) un + u2n + suy n i=1 Vì lim n→∞ + ui + ui + 1 un+1 − n 1 − ui − ui+1 − = i=1 n un+1 − + ui + ui + = nên ta suy lim n→∞ =1− i=1 = Từ ta có tốn sau Bài tốn Xét dãy số (un ) cho   u1 = 2,  un+1 = (u4 + 3), n Tính giới hạn n lim n→∞ i=1 n ≥ + ui + ui + Bài tập đề nghị Bài 2.4.1 Dùng phương pháp tương tự hóa để sáng tạo tốn từ Ví dụ 2.2.5 Ví dụ 2.3.20 Hãy giải tốn 62 Bài 2.4.2 Dùng phương pháp đặc biệt hóa để sáng tạo tốn từ phương pháp tìm cơng thức tổng qt dãy số cho cách liệt kê phần tử, dãy số cho cơng thức truy hồi tuyến tính cấp cấp Hãy giải tốn Bài 2.4.3 Dùng phương pháp tổng quát hóa để sáng tạo tốn từ Ví dụ 2.1.14 Hãy giải tốn Bài 2.4.4 Dùng phương pháp suy diễn ngược lại để sáng tạo tốn từ Ví dụ 2.1.12 Ví dụ 2.3.9 Hãy giải tốn Bài 2.4.5 Dùng phương pháp chuyển đổi mục đích tốn để sáng tạo tốn từ Ví dụ 2.1.8 Hãy giải tốn 63 KẾT LUẬN Luận văn “Phương pháp giải sáng tạo toán dãy số” đạt kết sau: Trình bày kiến thức dãy số, tính chất số kết hội tụ dãy số Phân loại trình bày phương pháp giải tốn dãy số tốn xác định cơng thức tổng qt, tốn tính chất dãy số, giới hạn dãy số Trình bày số phương pháp sáng tạo toán dãy số phương pháp tương tự hóa, đặc biệt hóa, tổng quát hóa, suy diễn ngược lại từ kết biết chuyển đổi mục đích tốn Những nội dung trình bày luận văn rộng, bao gồm dạng toán dãy số phương pháp sáng tạo tốn dãy số Vì vậy, để đảm bảo luận văn không dài, số lượng ví dụ minh họa tập đề nghị chọn lọc không nhiều, chưa phong phú Đây hướng để tìm tịi phát triển luận văn Ngồi ra, luận văn phát triển nghiên cứu sâu tốn tính tốn, ước lượng với dãy số, tốn xác định cơng thức tổng quát dãy số từ công thức truy hồi tuyến tính cấp cao số cơng thức truy hồi phi tuyến đặc biệt khác 64 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội [2] Võ Giang Giai, Võ Đình Duy (2005), Cơ sở lý thuyết số toán dãy số, NXB ĐH Quốc gia TP Hồ Chí Minh [3] Nguyễn Thành Giáp (2011), Một số toán dãy số, Luận văn thạc sĩ, ĐH KHTN - ĐH Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Thừa Hợp (2008), Giải tích, tập 1, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội [5] Phan Huy Khải (2004), Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán trung học phổ thông, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu (2008), Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng, NXB Giáo dục [7] Nguyễn Văn Mậu (2004), Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo dục [8] Phạm Văn Nhâm (2011), Một số lớp toán dãy số, Luận văn thạc sĩ, ĐH KHTN - ĐH Quốc gia Hà Nội [9] G Polya (2010), Toán học suy luận có lí, NXB Giáo dục, (Biên dịch: Hà Sĩ Hồ, Hồng Chúng, Lê Đình Phi, Nguyễn Hữu Chương, Hồ Thuần) 65 [10] J Stewart (2016), Giải tích, Tập 1, Cengage Learning NXB Hồng Đức, (Biên dịch: Đại học Duy Tân) [11] Nguyễn Duy Tiến (2000), Bài giảng giải tích, tập 1, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội [12] Ban tổ chức kỳ thi (2014), Tuyển tập 20 năm đề thi Olympic 30 tháng toán 11, NXB ĐH Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh: [13] W J Kaczor, M T Nowak (2000), Problems in Mathematical Analysis I: Real Numbers, Sequences and Series, American Mathematical Society, USA 66 ... 11 Một số phương pháp giải sáng tạo toán dãy số 2.1 2.2 13 Bài toán xác định công thức tổng quát dãy số 13 2.1.1 Dãy số cho phương pháp liệt kê 13 2.1.2 Dãy số cho cơng... k=1 Chương PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN VỀ DÃY SỐ Trong chương này, chúng tơi trình bày phương pháp giải số dạng tốn dãy số, bao gồm tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số, tốn tính... ? ?Phương pháp giải sáng tạo toán dãy số? ?? để làm luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu - Hệ thống lại khái niệm tính chất dãy số, giới hạn dãy số, dãy số hội tụ, dãy số phân kỳ - Nghiên cứu số phương pháp