Phương pháp giải bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————- HỒ THỊ THU THỦY PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2016 Footer Page of 126 Header Page of 126 Footer Page of 126 Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ——————- HỒ THỊ THU THỦY PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng Hà Nội - 2016 Footer Page of 126 Header Page of 126 Footer Page of 126 Header Page of 126 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS TS Tạ Duy Phượng, người tận tình hướng dẫn, bảo hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể thầy giáo, cô giáo công tác trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, truyền đạt kiến thức cho suốt trình học tập trường Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới bạn đồng nghiệp gia đình tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành luận văn Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 04 tháng 12 năm 2016 Học viên Hồ Thị Thu Thủy Footer Page of 126 Header Page of 126 Mục lục Lời mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kết giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi 1.1.2 Tập lồi đa diện 10 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính 13 1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính 1.2.2 Phương pháp đơn hình giải toán QHTT 13 16 Chương Bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 23 2.1 Khái niệm định nghĩa 23 2.2 Phương pháp đơn hình giải toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 28 2.2.1 Kiểm tra tính hữu hiệu sở 2.2.2 Di chuyển đỉnh kề 28 32 Chương Phương pháp đơn hình giải toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 35 3.1 Bảng đơn hình đa mục tiêu 36 3.1.1 Tìm nghiệm hữu hiệu sở 3.1.2 Chuyển từ đỉnh hữu hiệu sang đỉnh kề hữu hiệu 3.1.3 Tạo tất đỉnh nghiệm hữu hiệu 3.1.4 Thuật toán đơn hình toán đa mục tiêu 3.2 Phương pháp trọng số giải toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 37 40 42 45 50 3.2.1 Thuật toán trọng số giải toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 50 3.2.2 Thuật toán đơn hình chứa tham số toán tối ưu hai mục tiêu tuyến tính 52 Footer Page of 126 Header Page of 126 3.2.3 Thuật toán 54 Kết luận 57 Tài liệu tham khảo 58 Footer Page of 126 Header Page of 126 LỜI MỞ ĐẦU Trong lĩnh vực sống, ta quan tâm tới toán tìm phương án tốt để đạt mục tiêu mong muốn điều kiện ràng buộc định Các phương pháp tối ưu công cụ đắc lực giúp người làm định có giải pháp tốt định lượng định tính Trong năm gần đây, phương pháp tối ưu hóa ngày áp dụng sâu rộng hiệu vào kinh tế, kỹ thuật, công nghệ thông tin ngành khoa học khác Một lớp toán tối ưu nghiên cứu trọn vẹn lý thuyết lẫn thuật toán toán quy hoạch tuyến tính (QHTT) Quy hoạch tuyến tính từ đời (vào cuối năm 30 - 40 kỷ XX) chiếm vị trí quan trọng tối ưu hoá Mô hình tuyến tính mô hình phổ biến thực tế, đồng thời phụ phuộc tuyến tính phụ thuộc đơn giản dễ nghiên cứu mặt toán học Hơn nữa, mặt lý thuyết, xấp xỉ với độ xác cao toán phi tuyến dãy toán quy hoạch tuyến tính Nói cách khác, thuật toán giải QHTT công cụ quan trọng việc nghiên cứu giải toán phức tạp Bài toán quy hoạch đa mục tiêu phát triển thành chuyên ngành toán học, năm 1980 Nhằm giải đáp câu hỏi đặt mà quy hoạch tuyến tính không giải được, chẳng hạn công ty mục tiêu nâng cao chất lượng sản phẩm công ty trọng tới mục tiêu khác đa dạng hoá sản phẩm, già thành rẻ, doanh thu lớn, Khách hàng chọn mua hàng muốn hàng rẻ, vừa có chất lượng cao, vừa có hình thức đẹp Tóm lại, mục đích toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu tối ưu đồng thời nhiều hàm mục tiêu độc lập với miền chấp nhận Trong quy hoạch đa mục tiêu, ta phải có khái niệm nghiệm tương ứng Một phương án chấp nhận, gọi nghiệm hữu hiệu không tồn phương án chấp nhận khác tốt nó, theo mục tiêu, mục tiêu khác không tồi Đầu kỷ XX, Pareto sử dụng khái niệm ông nghiên cứu phúc lợi thu nhập dân chúng Ông lập luận sau: "Nếu thu nhập nhóm dân cư tăng lên, thu nhập nhóm khác giảm xuống so sánh "phúc lợi" toàn xã hội Đó trường hợp không so sánh Nhưng thấy rằng, phúc lợi xã hội tăng lên thu nhập nhóm người lớn lên, thu nhập nhóm khác không thấp xuống" Khái niệm nghiệm hữu hiệu Pareto nêu trình bày ngôn ngữ toán học sử Footer Page of 126 Header Page of 126 dụng quy hoạch đa mục tiêu Khi k (k ≥ 2) , hàm mục tiêu hàm tuyến tính miền ràng buộc tập lồi đa diện khác rỗng Rk , ta nhận toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu Cho tới nay, có nhiều thuật toán đưa để xác định phần toàn tập nghiệm hữu hiệu toán, chẳng hạn: phương pháp vô hướng hoá, phương pháp tham số, phương pháp đơn hình đa mục tiêu dạng cải biên, phương pháp nón pháp tuyến, Tuy nhiên, khối lượng tính toán thuật toán tăng nhanh kích thước toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu (tức số ràng buộc miền chấp nhận, số chiều không gian định số hàm mục tiêu) tăng Trong năm gần nhiều nhà toán học chuyển sang nghiên cứu giải toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu Luận văn chủ yếu trình bày phương pháp đơn hình giải toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu không gian Rk , dựa giáo trình "Multiobjective Linear Programming: An Introduction" GS Đinh Thế Lục, Springer International Publishing Switzerland (2016); giảng "Multiobjective Linear Programming Theory" Matthias Ehrgott, The University of Auckland, New Zealand (2007) Nội dung luận văn trình bày phương pháp đơn hình để giải toán quy hoạch tuyến tính, phương pháp phổ biến toán học tính toán Ngoài phần Mục lục, Mở đầu Tài liệu trích dẫn nội dung luận văn gồm ba chương • Chương dành cho việc giới thiệu số khái niệm giải tích lồi, trình bày toán quy hoạch tuyến tính (QHTT) phương pháp đơn hình giải toán quy hoạch tuyến tính mục tiêu • Chương trình bày toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính • Chương trình bày phương pháp đơn hình thuật toán giải toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính; phương pháp trọng số giải toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính thuật toán đơn hình chứa tham số toán tối ưu tuyến tính hai mục tiêu Hà Nội, ngày 24 tháng 12 năm 2016 Học viên Hồ Thị Thu Thủy Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức giải tích lồi, giới thiệu toán quy hoạch tuyến tính mục tiêu Các kiến thức tham khảo từ tài liệu [1], [2] [4] 1.1 Một số kết giải tích lồi 1.1.1 Tập lồi Trong suốt luận văn này, Rn biểu thị không gian Euclide n-chiều cột n -véctơ thực Một phần tử x = (x1 , , xn )T ∈ Rn véctơ cột Rn Cho hai điểm a = (a1 , , an )T b = (b1 , , bn )T ∈ Rn Đường thẳng qua hai điểm a b tập có dạng {x ∈ Rn : x = λ a + (1 − λ )b, λ ∈ R} Tập [a, b] := {x ∈ Rn : x = λ a + (1 − λ )b, λ ∈ [0, 1]} gọi đoạn thẳng nối hai điểm a b Trong Rn siêu phẳng H = {x : a, x = α} với a ∈ Rn \ {0} α ∈ R chia Rn thành hai nửa không gian đóng H − = {x : a, x α} , H + = {x : a, x α} , nửa không gian phía siêu phẳng phần chung chúng siêu phẳng H Tương tự, siêu phẳng H chia Rn thành hai nửa không gian mở {x : a, x < α} , {x : a, x > α} Footer Page 10 of 126 Header Page 11 of 126 Định nghĩa 1.1.1 • Tập Q ⊆ Rn gọi tập afin Q chứa trọn đường thẳng qua hai điểm Q, tức ∀a, b ∈ Q, λ ∈⇒ (1 − λ ) a + λ b ∈ Q • Bao afin (affine hull) Q ⊆ Rn tập giao tất tập afin chứa Q Đó tập afin nhỏ chứa Q, ký hiệu a f f (Q) Định nghĩa 1.1.2 Giả sử Q ⊆ Rn tập hợp khác rỗng • Tập Q gọi tập lồi (convex set) chứa trọn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc Q, tức với x, y ∈ Q số thực λ ∈ [0, 1], ta có λ x + (1 − λ )y ∈ Q (Hình 1.1) Hình 1.1: Tập lồi • Giả sử x1 , , xk ∈ Rn k điểm Q Khi k k x = ∑ λi xi , với λi ≥ 0, ∀i = 1, , k, ∑ λi = 1, i=1 i=1 gọi tổ hợp lồi hệ véctơ {x1 , , xk } • Cho Q ⊂ Rn tập Bao lồi (convex hull) Q, ký hiệu conv (Q) (Hình 1.2), giao tất tập lồi chứa Q Rõ ràng bao lồi Q tập lồi nhỏ chứa Q Một tập Q lồi chứa tổ hợp lồi hữu hạn điểm Q, tức k co (Q) := { k ∑ λi xi : xi ∈ Q, λi ≥ 0, i = 1, , k , i=1 Footer Page 11 of 126 ∑ λi = k ∈ N} i=1 Header Page 12 of 126 Hình 1.2: Bao lồi Q Định nghĩa 1.1.3 Giả sử Q ⊆ Rn tập hợp khác rỗng • Tập Q gọi nón (cone) với x ∈ Q λ ≥ ta có λ x ∈ Q (Hình 1.3) • Một nón Q gọi nón lồi Q đồng thời tập lồi Hình 1.3: Nón lồi Nón không lồi • Bao nón (conic hull) tập Q, ký hiệu cone(Q) cone (Q) := {ta : a ∈ Q,t ∈ R,t 0} • Bao lồi dương tập Q, ký hiệu pos (Q) , k pos (Q) := ∑ ti : ∈ Q,ti ∈ R,ti 0, i = 1, , k, k ∈ N i=1 Định nghĩa 1.1.4 • Cho tập Q bất kỳ, điểm x gọi điểm Q, ∃ε > : B(x, ε) := {x ∈ Rn : x − x0 < ε} ⊂ Q Tập hợp điểm tập Q ký hiệu int Q Footer Page 12 of 126 Header Page 13 of 126 • Cho tập lồi khác rỗng Q ⊆ Rn , điểm x ∈ Q gọi điểm tương đối (relative interior point) Q, ri (Q) := {x ∈ Q : (x + εBn ) ∩ aff (Q) ⊆ Q, ∃ε > 0} • Phần tương đối tập Q, ký hiệu riQ, tập chứa tất điểm tương đối Q 1.1.2 Tập lồi đa diện Định nghĩa 1.1.5 • Một tập gọi tập lồi đa diện (convex polyhedron set), giao số hữu hạn nửa không gian đóng • Một tập lồi đa diện bị chặn gọi đa diện lồi hay gọi tắt đa diện (polytope) • Theo định nghĩa nửa không gian đóng, tập lồi đa diện tập nghiệm hệ hữu hạn bất phương trình , x bi , i = 1, , k, (1.1.1) a1 , , ak véctơ cột n-chiều b1 , , bk số thực Khi bi = 0, i = 1, , k, tập nghiệm (1.1.1) nón gọi nón lồi đa diện (convex polyhedral cone) Định nghĩa 1.1.6 • Giả sử P tập lồi đa diện giả sử H = {x ∈ Rn : v, x = α} , siêu phẳng với v khác không Ta nói H siêu phẳng tựa (supporting hyperplane) P điểm x ∈ P giao H với P chứa x P chứa hoàn toàn nửa không gian đóng xác định H (Hình 1.4) • Tập khác rỗng H ∩ P gọi diện (hay mặt) P Một tập khác rỗng F P mặt có véctơ khác không v ∈ Rn mà v, y ≤ v, x với x ∈ F, y ∈ P Footer Page 13 of 126 10 Header Page 14 of 126 Hình 1.4: Siêu phẳng tựa Theo quy ước P mặt gọi mặt thường Định nghĩa 1.1.7 • Một điểm x ∈ Q gọi điểm cực biên (hay đỉnh) Q, không tồn a, b ∈ Q, a = b, λ ∈ (0, 1) cho x = λ a + (1 − λ ) b • Mặt có chiều gọi cạnh biên Hai đỉnh kề chúng điểm cuối cạnh biên • Một cạnh vô hạn gọi tia cực biên (hay diện nửa đường thẳng) Phương tia cực biên gọi phương cực biên (extreme directions) Nhận xét 1.1.1 Đỉnh tập lồi đa diện P diện có thứ nguyên Số điểm cực biên tập lồi hữu hạn vô hạn Khi tập lồi có hữu hạn điểm cực biên chúng thường gọi đỉnh Nếu P đa diện lồi tập phương cực biên rỗng Định nghĩa 1.1.8 • Cho Q tập lồi khác rỗng Rn Một véctơ v = gọi tiệm cận (asymptotic) hướng lùi xa (recession direction) Q, tia xuất phát từ điểm Q theo phương v nằm trọn Q, tức v phương lùi xa x + tv ∈ Q với x ∈ Q,t • Tập tất phương tiệm cận (asymptotic direction) Q với điểm gốc gọi nón tiệm cận (asymptotic cone) Q, ký hiệu Q∞ (Hình 1.6) Footer Page 14 of 126 11 Header Page 15 of 126 Hình 1.5: Nón tiệm cận Nón tiệm cận nón lồi Hiển nhiện Q tập bị chặn, nón tiệm cận Q gồm điểm gốc Định nghĩa 1.1.9 • Cho tập lồi đa diện P xác định hệ bất phương trình (1.1.1) điểm x P Ta nói véctơ v véctơ pháp tuyến (normal vector) p x v, y − x với y ∈ P • Tập tất vectơ pháp tuyến P x tạo thành nón lồi, gọi nón pháp tuyến (normal cone) P x ký hiệu NP (x) Khi x điểm P, nón pháp tuyến điểm không Hình 1.6: Nón pháp tuyến Footer Page 15 of 126 12 Header Page 16 of 126 1.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính 1.2.1 Bài toán quy hoạch tuyến tính Bài toán quy hoạch tuyến tính (QHTT) (Linear Programming) phát biểu dạng: Tìm cực đại c, x với điều kiện Ax = b, (1.2.2) x 0, A = (ai j )m×n gọi ma trận hệ số ràng buộc, b ∈ Rm hay b = (b1 , , bm )T gọi véc tơ vế phải điểm x ∈ Rn hay x = (x1 , , xn )T gọi biến cần tối ưu Hàm tuyến tính x → c, x hàm mục tiêu hay hàm giá (cost function) • Bài toán (LP) cho ràng buộc (1.2.2) gọi chuẩn tắc (standard form) Nó gọi tắc (canonical form) ràng buộc (1.2.2) thay bất đẳng thức Ax ≤ b • Vì phương trình tuyến tính chuyển thành bất phương trình tuyến tính ngược lại, nên toán quy hoạch tuyến tính đưa dạng (LP) • Điểm x ∈ Rn thỏa mãn ràng buộc toán gọi điểm chấp nhận phương án Tập hợp tất phương án, ký hiệu X, gọi tập ràng buộc hay tập chấp nhận toán (LP), tức là, X tập nghiệm hệ (1.2.2) • Nghiệm x¯ ∈ X gọi tối ưu (optimal) toán (LP) c, x¯ với x ∈ X c, x • Một ma trận B cấp k × k gồm cột A gọi sở (basis) khả nghịch Giả sử B sở Bằng cách sử dụng hoán vị ta giả sử B gồm k cột A cột lại k × (n − k)-ma trận N, gọi phần phi sở (non-basis part) A Footer Page 16 of 126 13 Header Page 17 of 126 • Giả sử x véctơ với thành phần xB xN , xB véctơ k-chiều xN véctơ (n − k)-chiều thoả mãn BxB = b, xN = • Nếu xB véctơ dương, x nghiệm (1.2.2) gọi nghiệm sở chấp nhận (feasible basic solution) (gắn với sở B) Nếu xB thành phần không, gọi không suy biến (non-degenerate); ngược lại gọi suy biến (degenerate) • Cho B sở chấp nhận được, ta gọi sở tối ưu (optimal basic) nghiệm sở tương ứng nghiệm tối ưu toán (LP) Ta phân rã véctơ giá c thành véctơ sở cB véctơ phi sở cN Véctơ T c¯N = cN − B−1 N cB , gọi véctơ giá rút gọn (reduced cost vector) Định lý 1.2.1 (Định lí 3.1.1 [4] trang 48-49) Cho X khác rỗng Bốn điều kiện sau tương đương (i) (LP) có nghiệm tối ưu (ii) (LP) có nghiệm tối ưu đạt đỉnh (iii) Hàm giá không dương phương tiệm cận X (iv) Hàm giá bị chặn trên X Chứng minh (i) ⇒ (iv) Hiển nhiên (iv) ⇒ (iii) Giả sử α cận hàm giá X giả sử u phương tiệm cận không X tồn Vì X = 0, nên chọn điểm x Do u phương tiệm cận nên với số dương t, điểm x + tu thuộc X Do c, x + tu = c, x + t c, u α Bất đẳng thức với dương t, suy c, u (iii) ⇒ (ii) Giả sử v1 , , v p tập đỉnh giả sử u1 , , uq tập hợp tia cực biên đa diện X Chú ý răng, tập hợp tia cực biên rỗng Chọn đỉnh vi0 cho c, vi0 = max c, v1 , , c, v p Footer Page 17 of 126 14 Header Page 18 of 126 Giả sử x điểm X Theo Định lý 2.4.9 [4], có số không âm ti s j p p q i=1 i=1 j=1 với ∑ ti = 1, cho x = ∑ ti vi + ∑ s j u j Do q p c, x = ∑ ti c, v + ∑ s j c, u j ≤ c, vi0 , i i=1 j=1 đỉnh vi0 nghiệm tối ưu Ta có điều phải chứng minh ✷ Định lý 1.2.2 (Định lý 3.1.4 [4] trang 52-53) Giả sử B sở chấp nhận x¯ nghiệm sở chấp nhận tương ứng với B Khi ta có khẳng định sau (i) Nếu véctơ giá rút gọn c¯N âm, B tối ưu (ii) Khi B không suy biến, tối ưu véctơ giá rút gọn c¯N âm Chứng minh Bằng cách đổi biến thích hợp, ta có ma trận A phân rã thành B N , tập số sở {1, , m} tập số phi sở {m + 1, , n} (i) Giả sử x nghiệm chấp nhận toán Khi x nghiệm hệ Ax = b, sở xB x tương ứng với cột sở B tọa độ phi sở qua xB = B−1 b − B−1 NxN = x¯B − B−1 NxN (1.2.3) Giá trị hàm giá x c, x = cB , xB + cN , xN = cB , B−1 b − B−1 NxN + cN , xN = cB , x¯B + c¯N , xN = c, x¯ + c¯N , xN Vì xN dương giả thiết c¯N âm, nên c, x c, x¯ Vì x nghiệm chấp nhận tùy ý toán, ta suy x¯ nghiệm tối ưu B sở tối ưu (ii) Giả sử ngược lại, véctơ giá không âm, tức tồn c¯ j > 0, với số phi sở j Ta tìm nghiệm xˆ dạng đặc biệt: xˆ = xˆB xˆN với xˆN = x¯N + te j = te j , e j tọa độ phi sở véctơ đơn vị thứ j Rn t số dương chọn cho xˆ tối ưu Footer Page 18 of 126 15 Header Page 19 of 126 Vì xˆN dương, theo (1.2.3), xˆ tối ưu, tức xˆB = x¯B − tB−1 Ne j ≥ Cơ sở B không suy biến, véctơ x¯B dương, xˆB dương, t > đủ nhỏ Cố định giá trị t tính hàm giá điểm cách sử dụng (1.2.3): c, xˆ = cB , xˆB + cN , xˆN = cB , xB − t cB , B−1 Ne j + t cN , e j = cB , x¯B + t c¯ j > cB , x¯B , mâu thuẫn với tính tối ưu x ¯ 1.2.2 ✷ Phương pháp đơn hình giải toán QHTT Ý tưởng thuật toán đơn hình mô tả sau: Giả thiết B0 sở chấp nhận Bước Xuất phát từ đỉnh chấp nhận x0 miền ràng buộc, ta có tọa độ xB0 = (B0 )−1 b xN0 = Bước Đặt k := k + Giả sử Bk sở chấp nhận tương ứng với đỉnh sở xk với hai tọa độ xBk xNk Tính b¯ = B−1 k b, c¯N = cN − B−1 k N T cB Bước Nếu c¯N 0, dừng lại Đỉnh xk tối ưu Ngược lại đến Bước Bước Giả sử s số mà c¯s > Chọn cột as ma trận A tính a¯s = B−1 k as Nếu véctơ âm, dừng lại Bài toán có giá trị +∞ Ngược lại tìm số l cho xˆs := b¯ i b¯ l = : a¯is > a¯ls a¯is Bước Lập sở chấp nhận Bk+1 từ Bk cách gạch cột al thay vào cột as Đỉnh tương ứng với xk+1 nhận từ xk cách đặt biến xs = xˆs > biến xl = Bước Tính ma trận nghịch đảo B−1 k+1 sở Bk+1 quay Bước Footer Page 19 of 126 16 Header Page 20 of 126 Phần tử a¯ls nhận từ ma trận A gọi phần tử xoay (pivot), cột a¯s = (a¯1s , , a¯ms )T hàng a¯l = (a¯l1 , , a¯ln ) gọi hàng xoay (pivotal column) cột xoay (pivotal row) thuật toán Do số đỉnh miền ràng buộc hữu hạn, nên toán có nghiệm, sau hữu hạn bước ta tìm đỉnh tối ưu Tìm sở chấp nhận Ta xét ràng buộc toán (LP) Ax = b x Bằng cách nhân hai vế đẳng thức với (−1) vế bên phải véctơ b có tọa độ không âm Hơn nữa, ta thấy tập ràng buộc khác rỗng, ta bỏ số phương trình cho ràng buộc lại phương trình thừa ta có tập nghiệm Từ đó, ta giả sử có hai điều kiện đặt làm hạn chế sau: (1) véctơ b dương, (2) đẳng thức thừa Vì việc chọn sở chấp nhận để bắt đầu thuật toán đơn hình không rõ ràng, ta đưa vào véctơ biến giả y = (y1 , , ym )T xét toán tuyến tính Tìm cực đại y1 + + ym với điều kiện Ax + y = b x (1.2.4) 0, y Mệnh đề 1.2.1 (Mệnh đề 3.3.2 [4] trang 69) Bài toán (LP) có nghiệm chấp nhận toán (1.2.4) có giá trị cực tiểu với y = Chứng minh Giả sử x nghiệm chấp nhận (LP) Khi (x, y) với y = nghiệm chấp nhận (1.2.4), giá trị cực tiểu không Ngược lại, giá trị tối ưu (1.2.4) không, nghiệm tối ưu (x, y) ta có y = suy x nghiệm chấp nhận (LP) ✷ Tìm ma trận ngược Ta thấy ma trận sở Bk Bk+1 khác cột, nghĩa chúng kề Điều giúp ta tính ma trận nghịch đảo Bk+1 từ ma trận nghịch đảo Footer Page 20 of 126 17 Header Page 21 of 126 Bk Kí hiệu D m × m-ma trận, gọi ma trận đổi sở (matrix for change of basic), ma trận đơn vị trừ cột thứ l véctơ − a¯1s a¯ms , , , , − a¯ls a¯ls a¯ls T Cụ thể  −a¯1s /a¯ls  D =  1/a¯ls −a¯ms /a¯ls    −1 Mệnh đề 1.2.2 Với ma trận D trên, ta có B−1 k+1 = DBk Đặc biệt, sở thứ ma trận đơn vị, B−1 k = Dk D1 D ma trận biến đổi Chứng minh Giả sử β1 , , βm cột ma trận Bk Khi cột Bk+1 nhau, với cột thứ l thay cột as ma trận A Bằng cách nhân Bk+1 với D ta ma trận có cột với Bk ngoại trừ cột thứ l (Bk (−a¯s ) + as ) + βl a¯ls Theo định nghĩa, a¯s = B−1 k as , ta suy Bk (−a¯s ) + as = cột thứ l tích Bk+1 D βl Vì vậy, Bk+1 D = Bk suy điều phải chứng minh ✷ Bảng đơn hình Để giải toán (LP): Tìm cực đại c, x với điều kiện Ax = b x 0, ta giả sử b véctơ dương ma trận A viết dạng (B N) , B sở chấp nhận Để rút gọn, véctơ giá c đặt hàng đầu bảng Bảng đơn hình ban đầu có dạng, kí hiệu T cT = cTB cTN A= B N b Bằng cách nhân vào bên phải bảng T ma trận mở rộng S Footer Page 21 of 126 18 Header Page 22 of 126 −cTB B−1 B−1 ta có bảng T ∗ sau c¯TN = cTN − cTB B−1 N −cTB B−1 b I N¯ = B−1 N B−1 b Bảng T ∗ chứa toàn thông tin cần thiết cho thuật toán đơn hình • Nghiệm sở tương ứng tính là: x = xB xN với xB = B−1 b, xN = • Giá trị hàm mục tiêu nghiệm sở c, x = (cB )T B−1 b, trái dấu với giá trị cho cột cuối góc bên phải • Véctơ giá rút gọn c¯N tính nằm phía bảng Nếu toàn tọa độ véctơ âm, đỉnh sở tối ưu • Nếu vài tọa độ véctơ giá rút gọn dương, chọn số s với c¯s lớn Biến xs sở Một biến xl với số l thoả mãn b¯ l b¯ i = : a¯is > a¯ls a¯is sở Bảng đơn hình T ∗ thu cách nhân vào bên phải ma trận T với ma trận S 1 −c¯s /a¯ls 0 ··· −a¯1s /a¯ls ··· ··· 1/a¯ls ··· 0 ··· −a¯ms /a¯ls ··· Ta tìm ma trận biến đổi D với phần bảng Phần tử xoay thuật toán đơn hình phần tử a¯ls Footer Page 22 of 126 19 Header Page 23 of 126 Sử dụng bảng đơn hình ta có véctơ giá rút gọn c¯1 c¯2 Cơ sở tối ưu λ = B = {3, 4} , nghiệm sở tối ưu chấp nhận x = (0, 0, 3, 6) Bắt đầu với giai đoạn Lặp 1: c¯1 −3 −1 0 c¯2 0 x3 1 x4 −1 Khi λ = 1, c¯ (λ ) = (3, 1, 0, 0) , B1 = {3, 4} , x1 = (0, 0, 3, 6) I = {1, 2} , λ = max 3+1 , 1+2 = 32 s = 2, r = Lặp 2: c¯1 −3 −1 0 c¯2 0 x3 1 x4 −1 λ = 2/3, c¯ (λ ) = (−5/3, 0, 0, 0) , B2 = {2, 4} , x2 = (0, 3, 0, 9) I = {1} , λ = max 3+1 = 41 s = 1, r = Lặp c¯1 0 12 c¯2 0 −7/3 −1/3 −9 x2 1 x1 1/3 1/3 λ = 1/4, c¯ (λ ) = (0, 0, −5/4, 0) , B3 = {1, 2} , x3 = (3, 3, 0, 0) I = / Vậy giá trị trọng số λ = 1, λ = 2/3, λ = 1/4, λ = 0; Nghiệm sở chấp nhận Footer Page 23 of 126 55 ... bày phương pháp đơn hình thuật toán giải toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính; phương pháp trọng số giải toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính thuật toán đơn hình chứa tham số toán tối ưu tuyến tính. .. Thuật toán đơn hình toán đa mục tiêu 3.2 Phương pháp trọng số giải toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 37 40 42 45 50 3.2.1 Thuật toán trọng số giải toán tối ưu đa mục tiêu tuyến. .. số khái niệm giải tích lồi, trình bày toán quy hoạch tuyến tính (QHTT) phương pháp đơn hình giải toán quy hoạch tuyến tính mục tiêu • Chương trình bày toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính • Chương