Một lớp các phương pháp giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu

Một lớp các phương pháp giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

*** ***

LÊ VĂN HIỆP

MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG PHÁP

GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Lý Thuyết Tối Ưu Và Hệ Thống

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NĂM 2009

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

*** ***

LÊ VĂN HIỆP

MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG PHÁP

GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS Trần Thị Huệ Nương

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

NĂM 2009

LỜI CÁM ƠN

Lời trước tiên trong luận văn này tôi muốn gửi lời cám ơn chân thành nh ất đến

PGS.TS Trần Thị Huệ Nương - người đã tận tình giúp đỡ và chỉ dẫn tôi rất nhiều để

hoàn tất luận văn này

Tôi xin cám ơn Th.S Nguyễn Thành Ngọc Bảo đã hỗ trợ tôi hoàn thiện luận vănnày Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cám ơn chân thành nh ất của tôi đến với ba má và anhchị trong gia đình đã đôn đốc và hỗ trợ về mặt tinh thần cho tôi trong quá trình th ực hiệnluận văn này

Tôi xin cảm ơn phòng quản lý và đào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học TựNhiên đã tạo nhiều thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận vănnày

Cuối cùng tôi xin cám ơn các b ạn khoa Toán Tin và các b ạn cao học khóa 16chuyên ngành lý thuyết tối ưu trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã quan tâm, chia sẻ vàđóng góp ý kiến để tôi hoàn thành tốt luận văn này

TP.Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2009

Lê Văn Hiệp

Trang 1

MỤC LỤC

1.1 Quan hệ thứ tự trong không gian 7

1.3 Giới thiệu bài toán tối ưu nhiều mục tiêu 12

1.4.2 Nghiệm tối ưu Pareto chặt và yếu 15 1.4.3 Nghiệm tối ưu Pareto chính thường và điểm hữu hiệu chính thường 17

TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU

2.3 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đối với bài toán tối ưu 2 mục tiêu 26

2.3.2 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được dành cho bài toán 2 mục tiêu 28

2.4 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được cho bài toán tối ưu đa mục tiêu 30 2.4.1 Giới thiệu phương tổng trọng số chấp nhận được 30

2.4.3 Các thủ tục của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đa mục tiêu 34 2.5 Thuật toán di truyền tối ưu nhiều mục tiêu 40 2.5.1 Giới thiệu thuật toán di truyền (Genetic Algorithm) 40

2.6 Thuật toán di truyền giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu 46 2.6.1 Thuật toán MOGA (Multi-Objective Genetic Algorithm) 46

Trang 2

2.6.3 Tập lưu trữ nghiệm ưu việt (External) 49

2.6.3.3 Thuật toán NSGA (Nondominated Sorting Genetic Algorithm ) 53

2.6.5 Thuật toán tính khoảng cách quy tụ 58 2.7 So sánh ưu điểm và khuyết điểm của các thuật toán di truyền đa mục tiêu 59 2.8 Giải bài toán với thuật toán SPEA2 60

CHƯƠNG III ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN DI TRUYỀN

TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU GIẢI BÀI TOÁN

3.1 Mô hình quản lý danh mục đầu tư 66 3.1.1 Giới thiệu danh mục đầu tư 66

3.2 Quản lý tối ưu danh mục đầu tư với chi phí giao dịch cố định 77

3.2.3 Thuật toán di truyền dựa trên thuật toán NSGA-II 80 3.2.4 Thuật toán GA dựa trên NSGA-II và Genocop 82 3.3 Quản lý và tối ưu danh mục đầu tư với chi phí giao dịch biến đổi 86 3.3.1 Giới thiệu quản lý và tối ưu danh mục đầu tư với chi phí giao dịch biến đổi 86 3.3.2 Quản lý danh mục đầu tư nhiều mục tiêu 87 3.3.3 Áp dụng thuật toán di truyền vào bài toán quản lý danh mục đầu tư 90

Trang 3

Danh mục các ký hiệu

f = (f 1 (x),f 2 (x)) : Vector hàm mục tiêu

x = (x1,…,xn) : Vector biến quyết định

ni : Số lượng đoạn cần mịn hóa thứ i

li : Chiều dài của đoạn thứ i

: Chiều dài trung bình của tất cả các đoại tại mỗi bước

C : Hệ số nhân

P1, P2 : Điểm cuối của đoạn

: Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đền nón

∆x , ∆x : Kích thước của lưới

f(x,p) : Hàm mục tiêu của vector x và vector tham số cố định p

p : Vector các tham số cố định g(x,p) : Vector ràng buộc bất đẳng thức với tham số p h(x,p) : Vector ràng buộc đẳng thức với tham số p , : Vector trọng số

̅ : Hàm mục tiêu được chuẩn hóa

: Điểm utopia : Điểm nadir

∗ : Điểm anchor thứ i

NE : Số lượng lớn nhất mà tập E có thể chứa được các nghiệm không trội

NP : Số lượng cá thể trong quần thể/kích thước tập P

k : Tham số của mật độ tính toán: = +n

u : Số nghiệm trội hơn nghiệm u S

u : Tập nghiệm trội bởi nghiệm u

P0, Pt : Quần thể ban đầu và tại thế hệ thứ t

Qt : Quần thể con tạo thành từ các cá thể trong Pt

Trang 4

Fj : Biên chứa các nghiệm không trội Với j=1,…,R

: Lợi nhuận khi đầu tư vào loại chứng khoán thứ i, ∈

= = ( ) : Kỳ vọng của

: Phương sai của

: Hiệp phương sai giữa à

: Vector giá trị kỳ vọng của

Γ ∈ : Ma trận hiệp phương sai của

, : Tập các chứng khoán mà các nhà đầu tư định đầu tư vào với số vốn là C : Số lượng tối thiểu của loại cổ phiếu thứ j

: Chi phí tương ứng có liên quan với loại chứng khoán thứ j

: Giá của loại chứng khoán thứ j tại thời điểm niêm yết trên sàn giao dịch : Giá mua thấp nhất cho loại chứng khoán j

( ), ( ) : Kỳ vọng về lợi nhuận của danh mục đầu tư

( ) : Rủi ro của danh mục đầu tư được tính bằng phương sai

Trang 3

Danh mục các ký hiệu

f = (f 1 (x),f 2 (x)) : Vector hàm mục tiêu

x = (x1,…,xn) : Vector biến quyết định

ni : Số lượng đoạn cần mịn hóa thứ i

li : Chiều dài của đoạn thứ i

: Chiều dài trung bình của tất cả các đoại tại mỗi bước

C : Hệ số nhân

P1, P2 : Điểm cuối của đoạn

: Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đền nón

∆x , ∆x : Kích thước của lưới

f(x,p) : Hàm mục tiêu của vector x và vector tham số cố định p

p : Vector các tham số cố định g(x,p) : Vector ràng buộc bất đẳng thức với tham số p h(x,p) : Vector ràng buộc đẳng thức với tham số p , : Vector trọng số

̅ : Hàm mục tiêu được chuẩn hóa

: Điểm utopia : Điểm nadir

∗ : Điểm anchor thứ i

NE : Số lượng lớn nhất mà tập E có thể chứa được các nghiệm không trội

NP : Số lượng cá thể trong quần thể/kích thước tập P

k : Tham số của mật độ tính toán: = +n

u : Số nghiệm trội hơn nghiệm u S

u : Tập nghiệm trội bởi nghiệm u

P0, Pt : Quần thể ban đầu và tại thế hệ thứ t

Qt : Quần thể con tạo thành từ các cá thể trong Pt

Trang 4

Fj : Biên chứa các nghiệm không trội Với j=1,…,R

: Lợi nhuận khi đầu tư vào loại chứng khoán thứ i, ∈

= = ( ) : Kỳ vọng của

: Phương sai của

: Hiệp phương sai giữa à

: Vector giá trị kỳ vọng của

Γ ∈ : Ma trận hiệp phương sai của

, : Tập các chứng khoán mà các nhà đầu tư định đầu tư vào với số vốn là C : Số lượng tối thiểu của loại cổ phiếu thứ j

: Chi phí tương ứng có liên quan với loại chứng khoán thứ j

: Giá của loại chứng khoán thứ j tại thời điểm niêm yết trên sàn giao dịch : Giá mua thấp nhất cho loại chứng khoán j

( ), ( ) : Kỳ vọng về lợi nhuận của danh mục đầu tư

( ) : Rủi ro của danh mục đầu tư được tính bằng phương sai

Trang 5

MỞ ĐẦU

Trong cuộc sống, một cá nhân, hay một tổ chức thường bị đặt vào tình huống phải lựa chọn phương án tối ưu để giải quyết một vấn đề nào đó Khi ấy chúng ta phải tiến hành thu thập, phân tích và chọn lựa thông tin nhằm tìm ra một giải pháp tốt nhất để hành động Các phương án đề xuất ấy có thể giải quyết một hay nhiều vấn đề cùng một lúc tùy thuộc vào tình huống và yêu cầu đặt ra của chúng ta Trong toán học có rất nhiều lý thuyết cơ sở làm nền tảng giúp tìm ra một phương án tối ưu để giải quyết vấn đề như: lý thuyết thống kê, lý thuyết quyết định, lý thuyết tối ưu, vận trù học,… Do tính ưu việt và hiệu quả, tối ưu hóa nhiều mục tiêu là một trong những lý thuyết toán học ngày càng được ứng dụng rộng rãi trên nhiều lĩnh vực như:

kỹ thuật công nghệ, hàng không, thiết kế, tài chính,…

Tối ưu hóa nhiều mục tiêu có nghĩa là tìm phương án tốt nhất theo một nghĩa nhất định nào đó để đạt được (cực đại hay cực tiểu) nhiều mục tiêu cùng một lúc và một phương án như vậy thì ta gọi là phương án lý tưởng Trong một bài toán tối ưu nhiều mục tiêu thường thì các mục tiêu xung đột với nhau nên việc cố gắng làm “tăng” giá trị cực đại hay cực tiểu một mục tiêu có thể sẽ làm “giảm” gía trị cực đại hay cực tiểu của các mục tiêu khác nên việc tồn tại phương án lý tưởng là rất hiếm Vì vậy cách tốt nhất là tìm một phương án nhằm thỏa mãn tất

cả các yêu cầu các mục tiêu trong một mức độ chấp nhận được và phương án như thế gọi là phương án thỏa hiệp của các hàm mục tiêu

Có rất nhiều định nghĩa khác nhau đề cập đến phương án/nghiệm tối ưu như: Pareto, Borwein, Benson, Geoffrion, Kuhn – Tucker,…Các định nghĩa này thường có sự tương quan với nhau và chúng được biểu hiện cụ thể thông qua các định lý, mệnh đề và tính chất

Như chúng ta đã biết một trong những cơ sở để định nghĩa về nghiệm tối ưu là quan hệ thứ tự trong không gian nhất là quan hệ hai ngôi Chương I trong luận văn này sẽ trình bày những khái niệm và các vấn đề liên quan đến quan hệ thứ tự hai ngôi trong không gian, tập hợp Đồng thời phát biểu các dạng của bài toán tối ưu nhiều mục tiêu và giới thiệu một số khái niệm về nghiệm tối ưu, nghiệm tối ưu chặt, yếu, nghiệm tối ưu chính thường theo định nghĩa Pareto, Borwein, Benson, Geoffrion, Kuhn – Tucker và một số định lý để cho thấy mối liên hệ giữa chúng

Trang 6

Chương II là chương giới thiệu các phương pháp mới để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu bên cạnh các phương pháp thông dụng như phương pháp ràng buộc, phương pháp tổng trọng số chúng tôi sẽ trình bày một lớp các phương pháp và thuật giải chính như sau:

Một là: Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được cho bài toán hai và nhiều mục tiêu

Mục đích chính của phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được là tập trung tìm kiếm nghiệm tối ưu trên những vùng chưa được tìm kiếm nằm trên biên Pareto bằng cách thay đổi một cách hợp lý các trọng số, hơn là ưu tiên vào việc lựa chọn các trọng số và chỉ định các ràng buộc bất đẳng thức bổ sung Phương pháp này sẽ tìm được nhiều nghiệm tối ưu Pareto hơn và tìm được nghiệm tối ưu trong miền không lồi, đồng thời bỏ qua các nghiệm non-Pareto

Hai là: Dùng ý tưởng từ thuật toán di truyền để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu bao

gồm cách thuật toán chính yếu: MOGA, SPEA2, NSGA-II Cách thức tìm nghiệm của các thuật toán này là từ các nghiệm được khởi tạo một cách ngẫu nhiên ban đầu qua đó thuật toán

sẽ tìm nghiệm tối ưu Pareto thông qua việc tìm biên Pareto xấp xỉ của bài toán

Ngoài ra chương II cũng minh họa thêm hình ảnh và tính toán số trong Matlab để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu bằng hai thuật toán SPEA2, NSGA-II

Chương III sẽ trình bày nội dung ứng dụng thực tế của các thuật giải di truyền nhằm giải quyết một dạng bài toán thực tiễn đó là bài toán lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu nhiều mục tiêu với hai mô hình: Mô hình lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu với chi phí cố định và mô hình lựa chọn danh mục đầu tư tối ưu với chi phí biến đổi

Trang 7

CHƯƠNG I: KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Quan hệ thứ tự trong không gian

Trong Toán học, quan hệ hai ngôi là sự kết hợp hai phần tử bất kỳ trong cùng một tập hợp hoặc với các phần tử của tập hợp khác Quan hệ hai ngôi được sử dụng trong nhiều nhánh khác nhau của toán học như trong số học ta có các quan hệ: lớn hơn hoặc bằng, bằng… Trong hình học ta có các quan hệ: đồng dạng, đối xứng, song song,… Trong lý thuyết đồ thị ta có các quan hệ: kề nhau, liên thông, Quan hệ hai ngôi cũng được sử dụng trong khoa học máy tính, nhất là trong các mô hình quan hệ cơ sở dữ liệu như: các quan hệ: một – nhiều, nhiều – nhiều Trong lý thuyết tối ưu nhiều mục tiêu quan hệ thứ tự hai ngôi có ý nghĩa rất quan trọng trong việc đưa ra các khái niệm về nghiệm tối ưu Thông qua các khái niệm này ta lựa chọn nghiệm nào là nghiệm tốt nhất cho bài toán

1.2 Các định nghĩa

Xuất phát từ khái niệm tích Đề-cát của hai tập hợp là một tập hợp các cặp có thứ tự của hai tập hợp A, B bất kỳ

= { ( , )| ∈ ; ∈ } Một cách tổng quát, một quan hệ n ngôi là một tập hợp bất kỳ của các bộ n-thứ tự từ n tập hợp

Chúng ta chỉ xét trường hợp đơn giản nhất là quan hệ hai ngôi trên một tập hợp Điều này có nghĩa là tập hợp của các cặp có thứ tự, ứng với các phần tử của mỗi cặp là thuộc cùng một tập hợp A

b R−1a  b thì được ăn bởi a

Định nghĩa 3: Cho R là một quan hệ 2 ngôi trên tập A, khi đó R gọi là:

i Phản xạ nếu (a, a) ∈ R, ∀ ∈ ( hoặc là   ( ) )

Ví dụ 3: Các quan hệ =, `có cùng tính chất toán học’, 

<=, >=,,, … là phản xạ

ii Phi phản xạ nếu ( , ) ∉ , ∀ ∈ hoặc là   (  )

Ví dụ 4: Quan hệ <, >, ‘có tính chất toán học khác nhau’,  là phi phản xạ

iii Đối xứng nếu ∀ , ∈ sao cho ( , ) ∈ ⟹ ( , ) ∈

Ví dụ 5: Quan hệ “ = ” là đối xứng

iv Phản xứng nếu ∀ , ∈ sao cho ( , ) ∈ ⟹ ( , ) ∉

Ví dụ 6: Quan hệ “ < ” là phản xứng

v Phi đối xứng nếu ∀ , ∈ sao cho ( , ) ∈ à ( , ) ∈ ⟹ =

Ví dụ 7: các quan hệ , ,  là Phi đối xứng

vi Bắc cầu nếu ∀ , , ∈ sao cho ( , ) ∈ à ( , ) ∈ ⟹ ( , ) ∈

Trang 9

Ví dụ 10: Nếu “ A quen B “ và “ B quen C “ nhưng “ A chưa chắc quen C “ thì quan hệ

“quen” là phản bắc cầu

ix Liên hợp nếu ∀ , ∈ sao cho ≠ ⟹ ( , ) ∈ hoặc ( , ) ∈

Ví dụ 11: cho A = là tập các số chẳn thì quan hệ chia hết là liên hợp

x Liên hợp mạnh nếu ∀ , ∈ ⟹ ( , ) ∈ hoặc ( , ) ∈

Ví dụ 12 : Cho A = N Thì quan hệ >, <,…là liên hợp mạnh

Định lý 4: R là đối xứng khi và chỉ khi R = R−1,

Chứng minh:

 Giả sử R là đối xứng Thì:

(x,y)  R  (y,x)  R  (x,y)  R−1

 Giả sử R = R−1 Thì:

(x,y)  R  (x,y)  R−1  (y,x)  R

Định nghĩa 5: Cho R là một quan hệ 2 ngôi trên A khi đó:

i R được gọi là quan hệ tương đương nếu R có tính chất phản xạ, đối xứng và bắc

cầu

ii R được gọi là tiền thứ tự nếu R có tính chất phản xạ và bắc cầu

Ví dụ 13: =; “các tập tương đương”; “chia hết”; mod…

Trong trường hợp quan hệ R là tiền thứ tự thì cặp (A,R) được gọi là tập tiền thứ tự

Để tiện ta thay đổi quan hệ R là ≼ Do đó ta quy ước viết:

≼ thay cho (a, b) ∈ ≼

⋠ thay cho (a, b) ∉ ≼

với bất kỳ một quan hệ ≼ là tiền thứ tự nào thì cũng có quan 2 quan hệ khác mà ta định nghĩa chúng như sau:

≺ ⟺ ≺ à ≰ (1.9)

~ ⟺ ≼ à ≼ (1.10)

Mệnh đề 6: Cho ≼ là một tiền thứ tự trên tập A Khi đó:

 Quan hệ ≺ định nghĩa trong (1.9) là phi phản xạ và bắc cầu

 Quan hệ ~ định nghĩa trong (1.10) là quan hệ tương đương

Trang 10

Mệnh đề 7:

 Một quan hệ hai ngôi phản xứng là phi phản xạ

 Một quan hệ hai ngôi bắc cầu và phi phản xạ là phản xứng

Định nghĩa 8: Một quan hệ hai ngôi ≼ trên A là:

 Tiền thứ tự tổng quát nếu ≼ là phản xạ, bắc cầu và liên hợp

 Thứ tự tổng quát nếu ≼ là tiền thứ tự tổng quát phi đối xứng Như quan hệ ≤ đối với số nguyên là thứ tự tổng quát

 Thứ tự yếu chặt nếu ≼ là phản xứng và phủ định bắc cầu

Mệnh đề 9:

Nếu ≼ là tiền thứ tự tổng quát trên A, khi đó quan hệ ≺là thứ tự yếu chặt Nếu ≺ là

thứ tự yếu chặt trên A, khi đó ≼ định nghĩa bởi:

Nếu < hoặc x = y

Nếu max ,…, { } ≤ max ,…, { }

Thứ tự từng phần yếu Thứ tự từng phần Thứ tự từng phần chặt Thứ tự tự điển

Max_thứ tự

Trang 11

Định nghĩa 12: Một tập con ⊆ được gọi là nón nếu:

∈ với mọi ∈ và ∈ , > 0

Ví dụ 14: K = = { ∈ | ≥ 0, = 1,2} là nón

Định nghĩa 13: Nón k trong Rn gọi là:

 Không tầm thường nếu ≠ ∅ và ≠

 Lồi nếu + (1 − ) ∈ với mọi , ∈ và 0 < < 1

ii ≼ lồi nếu ≼ là Bắc cầu

iii ≼ nhọn nếu ≼ là Phi đối xứng

Chứng minh:

(i): Giả sử quan hệ: ≼ là Phản xạ

Khi đó: ≼ với ∈ ⟹ − = 0 ∈ ≼ (ii): Giả sử quan hệ ≼ là Bắc cầu và Cho , ∈ ≼

Nên: − 0 ∈ ≼ và 0 − ∈ − ≼ Điều này có nghĩa là: 0 ≼ và − ≼ 0 Mà ≼ là Bắc cầu ⟹ − ≼

Trang 12

Định nghĩa 16: Cho K là nón Ta định nghĩa thứ tự theo nón ≼ là:

≼ ⟺ − ∈ (1.12)

Mệnh đề 17: Cho K là nón và thứ tự theo nón ≼ trong (1.12) là phép nhân vô hướng và cộng

trong Rn Hơn nữa:

1 ≼ là phản xạ nếu 0 ∈

2 ≼ là bắc cầu nếu K lồi

3 ≼ là phi đối xứng nếu K nhọn

1.3 Giới thiệu bài toán tối ưu nhiều mục tiêu:

Có rất nhiều lớp khác nhau để biểu diễn cho bài toán tối ưu nhiều mục tiêu Trong phạm

vi luận văn này ta sẽ biểu diễn bài toán tối ưu nhiều mục tiêu dưới dạng sau:

{ ( ), … , ( ) } (P ) Sao cho: ∈

Trang 13

HÌNH 2 Định nghĩa 18: Một nghiệm ∗ ∈ của bài toán (P1) được gọi là nghiệm lý tưởng nếu:

( ∗) ≤ ( ) ∀ ∈ , = {1, … } Nói một cách khác một nghiệm lý tưởng là một nghiệm mà nó phải thỏa mãn tất cả các hàm

mục tiêu cần tối ưu ứng với miền chấp nhận được là X Thực tế thì những nghiệm như vậy rất

ít khi tồn tại Nên ta đưa ra một số khái niệm khác về tối ưu có vẻ “mềm dẻo” hơn đó là nghiệm tối ưu Pareto

Định nghĩa 19: Một nghiệm = ( , , … , ) được gọi là trội hơn nghiệm =

1.4 Các khái niệm tối ưu

1.4.1 Tối ưu Pareto:

Định nghĩa 23: Các định nghĩa tương đương khác x * là nghiệm tối ưu Pareto nếu:

1 Không tồn tại một nghiệm ∈ sao cho: f(x) trội hơn f(x*

1.4.2 Nghiệm tối ưu Pareto chặt và yếu

Hình 3a Minh hoạ cho định

−

( ) − ( ∗)

( ∗)

Tập nghiệm tối ưu Pareto yếu và tập các điểm hữu hiệu yếu lần lượt ký hiệu là:

i ( ( )) = { ∈ | ( ) ≤ ( )} được gọi là tập mức của tại

ii ( ( )) = { ∈ | ( ) = ( )} được gọi là mặt mức của tại

iii ( ( )) = ( ( ))\ ( ( )) = { ∈ | ( ) < ( )} được gọi là tập mức

chặt của tại

Nhận xét: Từ định nghĩa ta nhận thấy: ( ( )) ⊂ ( ( ))

Định lý 27: Cho ∗ ∈ và định nghĩa = ( ∗) khi đó:

i ∗ là nghiệm tối ưu Pareto chặt nếu và chỉ nếu:

( ) = { ∗}

ii ∗ là nghiệm tối ưu Pareto nếu và chỉ nếu:

( ) = ( )

Trang 16

iii ∗ là nghiệm tối ưu Pareto yếu nếu và chỉ nếu:

( ) = ∅

Chứng minh:

(1): “ ∗ là nghiệm tối ưu Pareto chặt ”

không tồn tại một nghiệm ∈ và ≠ ∗ sao cho: ( ) ≤ ( ∗) không tồn tại một nghiệm ∈ và ≠ ∗ sao cho:

( ) < ( ∗) với = 1, không tồn tại một nghiệm ∈ và ≠ ∗ sao cho:

∈ ( )

⟺ ( ) = { ∗}

(2): ” ∗ là nghiệm tối ưu Pareto: “

không tồn tại một nghiệm ∈ sao cho:

( ) < ( ∗) với = 1, và ( ) < ( ∗) với j = {1, … , k} không tồn tại một nghiệm ∈ sao cho:

∈ ( ) và ∈ với = {1, … , }

(3):” ∗ là nghiệm tối ưu Pareto yếu”

không tồn tại một nghiệm ∈ sao cho: ( ) < ( ∗) với = 1, k không tồn tại một nghiệm ∈ sao cho:

Trang 17

∈ ( )

⟺ ( ) = ∅

1.4.3 Nghiệm tối ưu Pareto chính thường và điểm hữu hiệu chính thường

Theo định nghĩa tối ưu Pareto ta nhận thấy rằng nếu ∗ là một nghiệm tối ưu Pareto thì

nó không cho phép cải thiện giá trị của một hàm mục tiêu trong khi vẫn duy trì giá trị của các hàm mục tiêu khác Do đó để cải thiện một hay nhiều giá trị của hàm mục tiêu này ta buộc phải làm “giảm” giá trị của các hàm mục tiêu khác đã được chấp nhận mà ta gọi đây là sự thỏa hiệp

Sự thỏa hiệp giữa các tiêu chuẩn này được đo bằng cách tính toán việc giảm giá trị của hàm mục tiêu trên đơn vị tăng về mặt giá trị của hàm mục tiêu

Định nghĩa 28: (Geoffrion 1986)

∗ ∈ được gọi là tối ưu Pareto chính thường theo Geoffrion nếu ∗ là nghiệm tối ưu

Pareto và nếu có một số M > 0 sao cho: mỗi à ∀ ∈ thỏa mãn ( ) < ( ∗) và tồn tại một chỉ số j sao cho ( ∗) < ( ) Hơn nữa:

( ∗) − ( )( ) − ( ∗)≤Khi đó giá trị hàm mục tiêu đạt được tương ứng tại ∗ là: ∗ = ( ∗) gọi là điểm hữu hiệu chính thường

Nhận xét: Một nghiệm tối ưu Pareto chính thường có biên thỏa hiệp giữa tất cả các hàm mục tiêu

Ta xét bài toán lồi sau đây:

min

∈ ( ) ( ) Thì ( ) gọi là bài toán trọng tổng số

Trong đó: với = 1, … , là các trọng số không âm đối với các hàm mục tiêu và

= 1

( ) < ( ∗)

Để thấy rằng ∗ là nghiệm tối ưu Pareto chính thường, ta chọn một số M thích hợp sao cho

có một sự thỏa hiệp lớn hơn M dẫn đến sự mâu thuẫn vối tính tối ưu của ∗ đối với bài toán tổng trọng số Cho

Trang 19

( ∗) > ( ) Điều này mâu thuẫn với tính tối ưu của ∗ đối với bài toán (∗) Do đó giả sử của chúng ta là

sai và ∗ là nghiệm tối ưu Pareto chính thường

Định lý 30: Cho ⊂ là một tập lồi và giả sử rằng ℎ : ⟶ là hàm lồi, = 1, k Khi

đó bất đẳng thức ℎ < 0 với = 1, k không có nghiệm ∈ , tồn tại

> 0 sao cho ∑ = 1 và ∀ ∈ thỏa mãn:

ℎ ( ) ≥ 0

Định lý 31 (Geoffrion 1968):

Cho ⊂ là một tập lồi và giả sử rằng : ⟶ là ánh xạ lồi Khi đó ∗ ∈ là nghiệm tối ưu Pareto chính thường nếu và chỉ nếu ∗ là nghiệm tối ưu đối với bài toán (∗) với > 0 với = 1, k

Chứng minh:

Do định lý 30 chúng ta chỉ cần chứng minh điều kiện cần của định lý này là đủ

Cho ∗ là nghiệm tối ưu Pareto chính thường Nghĩa là có một số M > 0 sao cho:

∀ = 1, k thì hai bất đẳng thức sau không có nghiệm:

( ) ≤ ( ∗)( ∗) − ( )

( ) − ( ∗)≤ ⟺ ( ) + ( ) < ( ∗) + ( ∗) ∀ ≠ Tính chất của hàm lồi mà chúng ta phát biểu trong định lý 31 trên nghĩa là đối với hai bất đẳng thức thứ i như vậy, tồn tại ≥ 0, = 1, k với

∑ = 1 sao cho ∀ ∈ ta được:

( ) + ( ) + ( ) ≥ ( ∗) + ( ∗) + ( ∗)

∀ ∈ .Chúng ta chuẩn hóa giá trị 1 + ∑ , để ta lấy tổng đến 1 và có >

0 với = 1, k với ∗ là nghiệm tối ưu của bài toán (∗)

Định nghĩa 32: Cho ⊂ và ∈ , khi đó:

1 Nón tiếp xúc của Y tại y là:

Trang 21

Định lý 35 (Benson 1979):

Nghiệm ∈ được gọi là nghiệm tối ưu Pareto chính thường theo định nghĩa của Geoffrion nếu và chỉ nếu là nghiệm tối ưu Pareto chính thường theo định nghĩa của Benson

Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng: < −1, ≤ 0, = 2, … ,

Do đó có một chuỗi ( ) ⊂ \{0}, ( ) ⊂ , ( ) ⊂ sao cho:

( ( ) + − ( )) → Chọn một chuỗi con nếu cần thiết ta giả sử rằng: = { ∈ {1, … , }| ( ) > ( ) }

là giống nhau với mọi k và khác rỗng

Cho M > 0 Từ sự hội tụ, ta đạt được sự tồn tại của k0 sao cho với mỗi ≥ ta có:

( ) − ( ) < − (1) ( ) − ( ) ≤ với = 2, … , (2)

1212

= (4)

Vì M được chọn tùy ý nên không là nghiệm tối ưu Pareto theo định nghĩa Geoffrion

Chiều nghịch “ ”

= { ∈ {1, … , }| ( ) > ( ) } là hằng với mỗi k và khác rỗng

Chúng ta xây dựng một chuỗi thích hợp ( ) và ( ) sao cho giới hạn của:

( ( ) + − ( )) → ∈ + − ( ) (− ) Đặt: = ( ) − ( ) ⟹ > 0, ∀

∈ với:

= 0, = 1, ∈ ( ) − ( ), ượ ạ

Nên không là nghiệm tối ưu Pareto chính thường theo định nghĩa Benson

Định nghĩa 36 (Kuhn và Tucker 1951)

Nghiệm ∈ được gọi là nghiệm tối ưu Pareto chính thường nếu là nghiệm tối ưu Pareto và không tồn tại một ℎ ∈ thỏa mãn:

 〈∇ ( ), ℎ〉 ≤ 0, ∀ = 1, … , (1)

 〈∇ ( ), ℎ〉 < 0, ∀ = 1, … , (2)

Trang 23

 〈∇ ( ), ℎ〉 ≤ 0, ∀ ∈ ( ) = { = 1, … , | ( ) = 0 } (3)

Trong đó: ( ) được gọi là tập chỉ số tích cực

Định lý 37: Nếu là nghiệm tối ưu Pareto chính thường theo định nghĩa của (Kuhn-Tucker)

và tồn tại ∈ , ̂ ∈ sao cho:

 ≫ 0, ̂ ≥ 0

Chứng minh:

Vì là nghiệm tối ưu Pareto chính thường theo định nghĩa của Kuhn-Tucker nên không tồn tại

ℎ ∈ thỏa mãn: (1), (2) và (3) trong định nghĩa của Kuhn-Tucker Xét ma trận :

Trang 24

CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU

NHIỀU MỤC TIÊU

2.1 Phương pháp ràng buộc (the constraint method)

a) Mô hình bài toán

Cho một bài toán đa mục tiêu với p mục tiêu:

( ), ( ), … , ( ) (2.1) Sao cho: ∈

Trong đó: = ( , … , ) ∈ : là không gian quyết định

Ta chuyển bài toán trên thành bài toán ràng buộc là:

( , … , ) Sao cho ( , … , ) ∈ (2.2)

( , … , ) ≥

= 1, … , ℎ − 1, ℎ, ℎ + 1, … , Trong đó mục tiêu thứ h được chọn tùy ý để lấy max Công thức này là bài toán đơn mục tiêu Do đó có thể giải được bằng phương pháp đơn hình cho bài toán quy hoạch tuyến tính

b) Thuật toán:

Bước 1: xây dựng một bảng thỏa hiệp

a Giải lần lượt p bài toán đơn mục tiêu ứng và các ràng buộc tương ứng Gọi nghiệm ứng với mục tiêu thứ k là: = ( , … ) với k = 1, … , p Sau đó tính giá trị của p hàm mục tiêu này đạt được tại các tương ứng, ta gọi là: ( ), ( ), … , ( )

b Sắp xếp p giá trị ứng với p mục tiêu vừa tính được ở trên vào trong bảng Ở đây, hàng ứng với các , … và cột là nhãn của mục tiêu

Bước 2: Quy ước một bài toán quy hoạch đa mục tiêu được cho ở (2.1) tương ứng với bài

toán ràng buộc của nó như ở (2.2)

Bước 3: Chọn giá trị của với ≠ ℎ trong đoạn [ , ] bằng cách chia [ , ] ra

phần bằng nhau

có thể nhận một trong r giá trị sau:

= + ( − ) với = 0,1, … , − 1

Bước 4: Ứng với mỗi giá trị của ta giải bài toán (2.2) và mỗi bài toán cho một nghiệm

chấp nhận được Trong những nghiệm này ta chọn nghiệm tốt nhất

2.2 Phương pháp tổng trọng số

Bài toán tối ưu nhiều mục tiêu dạng tổng quát được phát biểu:

{ ( ), ( ), … , ( )}

Sao cho: ∈ Trong đó: = ( , … , ) ∈ : là không gian nghiệm

Ta chuyển bài toán trên thành bài toán một bài toán tổng sau:

= ( ) + ( ) + ⋯ + ( )

Sao cho ∈Trong đó: ≥ 0 với = 1, … , và

Trang 26

= 1

Ứng với mỗi bộ trọng số ta sẽ tìm được một nghiệm tối ưu Pareto

Ví dụ 14: Giải bài toán tối ưu hai hàm mục tiêu sau:

min

, , { ( , ), ( , )}

Với: ( , ) = 3 − 2 + 4 +

( , ) = − − + 0.5Sau khi thực hiện các bước tính toán ta xác định được giá trị của mỗi hàm mục tiêu như sau:

= ( , ) (0,1) (0.2, 0.8) (0.4, 0.6) (0.6, 0.4) (0.8, 0.2) (1,0) ( , ) ≈ 6 -2.2 -4.45 2.53 -0.76 -6 ( , ) ≈ - 0,5 0.11 0.3 1.97 -0.88 3.5

2.3 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đối với bài toán tối ưu 2 mục tiêu 2.3.1 Khái niệm cơ sở

Trong phần trình bày này chúng ta giới thiệu một phương pháp xác định hiệu quả biên Pareto đối với bài toán tối ưu hai mục tiêu và đây cũng chính là cơ sở giúp ta nghiên cứu phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu Phần trình bài trước phương pháp tổng trọng số tìm kiếm từng nghiệm một - tối ưu Pareto bằng cách thay đổi trọng số tương ứng của các hàm mục tiêu mà các trọng số này được lựa chọn từ người giải Phương pháp này thường sinh ra trên biên Pareto rất ít các nghiệm tối ưu và đặt biệt là sẽ không tìm ra nghiệm tối ưu Pareto trên miền không lồi

Mục đích chính của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được là tập trung tìm kiếm nghiệm tối ưu trên những vùng chưa được tìm kiếm nằm trên biên Pareto bằng cách thay đổi một cách hợp lý các trọng số, hơn là ưu tiên vào việc lựa chọn các trọng số và chỉ định các ràng buộc bất đẳng thức bổ sung Phương pháp này sẽ tìm được nhiều nghiệm tối ưu Pareto hơn và tìm được nghiệm tối ưu trong miền không lồi, đồng thời bỏ qua các nghiệm non-Pareto

Một số kí hiệu:

f = (f 1 (x),f 2 (x)) : là vector hàm mục tiêu

ni : số lượng đoạn cần mịn hóa thứ i

li : Chiều dài của đoạn thứ i

: Chiều dài trung bình của tất cả các đoại tại mỗi bước

C : Hệ số nhân

P1, P2 : Điểm cuối của đoạn

: Khoảng cách từ các điểm trên biên Pareto đã được tuyến tính thành

từng đoạn đến nón : Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đền nón

∆x , ∆x : Kích thước của lưới

HÌNH 4: Tuyến tính hóa các đoạn trên biên Pareto

ℎ ∈ Trong đó:

= { ∈ | ( ) ≤; ℎ( ) = 0 à ∈ [0,1] }

( ) à ( ) : là các hàm chuẩn hóa tương ứng của ( ) à ( )

2.3.2 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được dành cho bài toán 2 mục tiêu:

Sau đây là các bước chi tiết để giải bài toán tối ưu 2 mục tiêu bằng phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được:

Bước 1: Chuẩn hóa các hàm mục tiêu trong không gian hàm mục tiêu Khi x∗ là vector nghiệm

tối ưu cho từng bài toán một mục tiêu (x) với i = 1,2 thì hàm mục tiêu chuẩn hóa

được xác định như sau:

= −

− (1) Trong đó :

: là điểm Utopia và được định nghĩa là:

Bước 2: Giải bài toán đa mục tiêu bằng phương pháp tổng trọng số với số nhỏ của phép chia

- Ta sẽ lấy = 5~10 Từ đó tính giá trị của trong số w theo công thức:

∆ = 1 (5)

Bước 3: Tính toán độ dài của các đoạn giữa tất cả các nghiệm lân cận nhau trên biên Pareto

Xóa các nghiệm trùng nhau Khi sử dụng phương pháp tổng trọng số để tìm nghiệm tối ưu sẽ xảy ra trường hợp các nghiệm tối ưu trùng nhau khi đó khoảng cách Euclid

Trang 29

giữa chúng là 0, trong các nghiệm này chỉ có duy nhất một nghiệm tối ưu nằm trên biên Pareto sẽ được chọn

Bước 4: Xác định số lượng đoạn cần tinh lọc (liên quan với chiều dài trung bình của tất cả các

đoạn), nếu đoạn nào dài hơn thì cần phải được tinh lọc hơn Việc tinh lọc trên biên Pareto được xác định dựa trên độ dài tương đối của các đoạn:

= cho mỗi đoạn thứ i (6) Trong đó :là số lượng cần lọc đối với đoạn thứ i

:là chiều dài của đoạn thứ i :là chiều dài trung bình của tất cả các đoạn

C :là hệ số nhân, ta thường lấy giá trị của C = [1,2]

Bước 5: Nếu ≤ 1 thì không cần phải lọc đoạn này

Nếu > 1 thì thực hiện bước 6

Bước 6: Tính khoảng cách của à dựa trên như sau:

HÌNH 5

Bước 7: Giải bài toán tối ưu con:

( ) + (1 − ) ( ) Sao cho: ( )≤ −

( ) ≤ −ℎ( ) = 0 và g(x) ≤ 0, w ∈ [0,1]

Trong đó: à là vị trí x và y tương ứng của các điểm cuối

Sau đó ứng với mỗi đã xác định trong bước 4 Ta tính toán cho mỗi miền chấp nhận được

- Nếu có một đoạn mà chiều dài lớn hơn tất cả các chiều dài thì lặp lại bước 4

2.4 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được cho bài toán tối ưu đa mục tiêu

2.4.1 Giới thiệu phương pháp tổng trọng số chấp nhận được:

Phần này giới thiệu phương pháp “Tổng trọng số chấp nhận được” cho bài toán tối ưu hóa nhiều mục tiêu Xuất phát từ phương pháp “tổng trọng số chấp nhận được” dành cho bài toán hai mục tiêu - xác định một cách hình thức không gian nghiệm tối ưu Pareto, tìm nghiệm trên tập không lồi và bỏ qua các nghiệm tối ưu non-Pareto Tuy nhiên phương pháp này chỉ có thể giải bài toán tối ưu với 2 hàm mục tiêu Tổng trọng số chấp nhận được là phương pháp mở rộng của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được hai mục tiêu để giải bài toán tối ưu với nhiều hàm mục tiêu Trong phần trước thì phương pháp Tổng trọng số đã được trình bài để xấp

Phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được sẽ sinh ra các đoạn nằm trên biên Pareto có sự phân bố tốt trên tập nghiệm Pareto, đồng thời phương pháp này cũng cho phép chúng ta tìm nghiệm đối với tập không lồi

∗ : Điểm anchor thứ i

:Vector vị trí của nghiệm chấp nhận được thứ j trên từng đoạn tuyến tính

nằm trên biên Pareto cần được mịn hóa

Bài toán tối ưu nhiều mục tiêu được phát biểu như sau:

min ( , ) Sao cho: ( , ) ≤ 0

ℎ( , ) = 0

, ≤ ≤ , ớ = 1, … ,

Trang 32

Trong đó:

x i,LB và x i,UB : là các biên dưới và biên trên của các biến thứ i tương ứng

2.4.2 Các khái niệm cơ sở

Đặt trưng cơ bản của phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được là làm mịn một cách chấp nhận được biên Perato

Trong giai đoạn thứ nhất, phương pháp này xác định hình dạng gồ ghề lúc đầu của biên Perato Bằng tính toán kích thước của từng đoạn nằm dọc theo biên Perato (là một đoạn thẳng trong trường hợp 3 chiều), sau đó ta tiến hành mịn hóa biên Pareto trong không gian mục tiêu đã được xác định

Giai đoạn tiếp theo, các đoạn này được xem là miền chấp nhận đối với bài toán con - Optimizaton bằng cách thêm vào các ràng buộc (trong phương pháp tổng trọng số chấp nhận được hai mục tiêu, miền chấp nhận được khi tìm kiếm thêm thì được xác định bằng cách thêm

Sub-2 ràng buộc bất đẳng thức) Sau đó chúng ta giải bài toán con - Sub-Optimization trong các miền chấp nhận này để đạt được nhiều phương án tối ưu Pareto hơn Khi tập các phương án tối

ưu Pareto mới được xác định, thông qua việc tính toán để xác định kích thước của từng đoạn trên biên Pareto được xem như là quá trình làm mịn biên Pareto

Bước này được lặp lại cho đến khi tìm được nghiệm Pareto tối ưu nhất

Hình 6 sau so sánh phương pháp Tổng trọng số cổ điển với phương pháp tổng trọng số chấp nhận được hai mục tiêu cho cùng một bài toán mà có miền phẳng và không lồi

Hình 6: Biên Pareto tìm được bằng phương pháp tổng trọng số

Trang 33

Hình 7: Biên Pareto tìm được bằng phương pháp tổng trọng số chấp nhận được hai mục tiêu

Ta thấy rằng ràng buộc bất đẳng thức như là biên cho việc xây dựng miền chấp nhận được không phù hợp đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu Miền chấp nhận được đối với việc mịn hóa trong trường hợp 2 chiều có thể được định nghĩa một cách dễ dàng bằng cách đặt 2 ràng buộc bất đẳng thức song song đến mỗi trục mà khoảng cách đã được chỉ định từ điểm cuối vì biên Pareto là đường cong 2 chiều và luôn có 2 điểm cuối đối với mỗi đoạn thuộc biên Pareto Tuy nhiên trong trường hợp lớn hơn 2 chiều thì biên Pareto sẽ là một siêu phẳng (nếu có nhiều hơn 3 hàm mục tiêu), và điều này trở nên rất khó để thiết lập các ràng buộc cho bài toán con - Sub-Optimization trên từng đoạn thuộc biên Pareto vốn đã được lựa chọn và mịn hóa sao cho chấp nhận được Vì các đoạn trên biên Pareto có thể có những hình dạng tùy ý và số cạnh của mỗi đoạn biên Pareto rất đa dạng Hơn nữa, khi số đỉnh lớn hơn số chiều của không gian hàm mục tiêu, thì tất cả các đỉnh hoặc cạnh liên kết các đỉnh này có thể không nằm trong cùng một mặt phẳng hay siêu phẳng, do đó rất khó để thiết lập các ràng buộc cho bài toán con - Sub-

Optimization và để mịn hóa thích hợp trong các giai đoạn tiếp theo

Trang 34

2.4.3 Các thủ tục của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đa mục tiêu:

Trong phần này chúng ta trình bày chi tiết các thủ tục cho việc thực hiện phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đa mục tiêu

Bước 1: Chuẩn hóa các hàm mục tiêu

Khi ∗ là vector nghiệm tối ưu đối với hàm mục tiêu fi thứ i

Điểm Utopia được định nghĩa như sau:

Chú ý rằng m-1 nhân tố trọng số thì cần để tìm không gian mục tiêu m chiều

Bước hình thức kích thước của nhân tố trọng số thứ i là wi được xác định bởi số lượng phân chia ban đầu cùng với số chiều của hàm mục tiêu thứ i:

n ; , i = 1, … , m − 1 (10)

Trong phần trình bày này, ta sử dụng cùng một giá trị của trọng số wi Có một lược đồ

để xác định giá trị của trọng số wi một cách có hệ thống, điều này sẽ giúp ích rất nhiều trong việc tạo ra nghiệm có sự phân bố tốt hơn Tuy nhiên trong phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được thì đẳng thức (10) có thể được dùng đến duy chỉ một lần và sau

đó quá trình mịn hóa sẽ được áp dụng đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu xấp xỉ

Bước 3:

Loại bỏ các nghiệm trùng nhau Vì khi sử dụng phương pháp Tổng trọng số có thể sinh

ra ra các nghiệm trùng nhau này Khoảng cách Euclid giữa các nghiệm này là 0 và trọng

số các nghiệm trùng nhau này chỉ chọn 1 nghiệm nằm trên biên Pareto Trong khi thực

hiện tính toán nếu khoảng cách giữa các nghiệm trong không gian mục tiêu nhỏ hơn  - 

khoảng cách đã xác định trước đó, thì khi đó ta nhận tất cả các nghiệm này và sẽ xóa bỏ nghiệm trước đó

Bước 4: