Một lớp các phương pháp giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu

Một lớp các phương pháp giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *** *** LÊ VĂN HIỆP MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Lý Thuyết Tối Ưu Và Hệ Thống THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 2009 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN *** *** LÊ VĂN HIỆP MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu và hệ thống Mã số: 60 46 20 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Thị Huệ Nương THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM 2009 LỜI CÁM ƠN Lời trước tiên trong luận văn này tôi muốn gửi lời cám ơn chân thành nh ất đến PGS.TS Trần Thị Huệ Nương - người đã tận tình giúp đỡ và chỉ dẫn tôi rất nhiều để hoàn tất luận văn này. Tôi xin cám ơn Th.S Nguyễn Thành Ngọc Bảo đã hỗ trợ tôi hoàn thiện luận văn này. Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cám ơn chân thành nh ất của tôi đến với ba má và anh chị trong gia đình đã đôn đốc và hỗ trợ về mặt tinh thần cho tôi trong quá trình th ực hiện luận văn này. Tôi xin cảm ơn phòng quản lý và đào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học Tự Nhiên đã tạo nhiều thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập và thực hiện luận văn này. Cuối cùng tôi xin cám ơn các b ạn khoa Toán Tin và các b ạn cao học khóa 16 chuyên ngành lý thuyết tối ưu trường Đại học Khoa học Tự nhiên đã quan tâm, chia sẻ và đóng góp ý kiến để tôi hoàn thành tốt luận văn này. TP.Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2009 Lê Văn Hiệp Trang 1 MỤC LỤC Danh mục các ký hiệu 3 Mở đầu 5 CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Quan hệ thứ tự trong không gian 7 1.2 Các định nghĩa 7 1.3. Giới thiệu bài toán tối ưu nhiều mục tiêu 12 1.4. Các khái niệm tối ưu 13 1.4.1 Tối ưu Pareto 13 1.4.2 Nghiệm tối ưu Pareto chặt và yếu 15 1.4.3 Nghiệm tối ưu Pareto chính thường và điểm hữu hiệu chính thường 17 CHƯƠNG II CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU 2.1 Phương pháp ràng buộc 24 2.2 Phương pháp tổng trọng số 25 2.3 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đối với bài toán tối ưu 2 mục tiêu 26 2.3.1 Khái niệm cơ sở 26 2.3.2 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được dành cho bài toán 2 mục tiêu 28 2.4 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được cho bài toán tối ưu đa mục tiêu 30 2.4.1 Giới thiệu phương tổng trọng số chấp nhận được 30 2.4.2 Các khái niệm cơ sở 32 2.4.3 Các thủ tục của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đa mục tiêu 34 2.5 Thuật toán di truyền tối ưu nhiều mục tiêu 40 2.5.1 Giới thiệu thuật toán di truyền (Genetic Algorithm) 40 2.5.2 Thuật toán di truyền 40 2.6 Thuật toán di truyền giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu 46 2.6.1 Thuật toán MOGA (Multi-Objective Genetic Algorithm) 46 2.6.2 Nghiệm ưu việt ( Elite) 48 Trang 2 2.6.3 Tập lưu trữ nghiệm ưu việt (External) 49 2.6.3.1 Thuật toán SPEA 49 2.6.3.2 Thuật toán SPEA2 50 2.6.3.3 Thuật toán NSGA ( Nondominated Sorting Genetic Algorithm ) 53 2.6.3.4 Thuật toán NSGA- II 55 2.6.4 Khoảng cách quy tụ 56 2.6.5 Thuật toán tính khoảng cách quy tụ 58 2.7 So sánh ưu điểm và khuyết điểm của các thuật toán di truyền đa mục tiêu 59 2.8. Giải bài toán với thuật toán SPEA2 60 2.9 Tính toán số 63 CHƯƠNG III ỨNG DỤNG THUẬT TOÁN DI TRUYỀN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU GIẢI BÀI TOÁN QUẢN LÝ DANH MỤC ĐẦU TƯ 3.1 Mô hình quản lý danh mục đầu tư 66 3.1.1 Giới thiệu danh mục đầu tư 66 3.1.2 Mô hình toán học 67 3.2 Quản lý tối ưu danh mục đầu tư với chi phí giao dịch cố định 77 3.2.1 Giới thiệu mô hình 77 3.2.2 Mô hình toán học 78 3.2.3 Thuật toán di truyền dựa trên thuật toán NSGA-II 80 3.2.4 Thuật toán GA dựa trên NSGA-II và Genocop 82 3.3 Quản lý và tối ưu danh mục đầu tư với chi phí giao dịch biến đổi 86 3.3.1 Giới thiệu quản lý và tối ưu danh mục đầu tư với chi phí giao dịch biến đổi 86 3.3.2 Quản lý danh mục đầu tư nhiều mục tiêu 87 3.3.3 Áp dụng thuật toán di truyền vào bài toán quản lý danh mục đầu tư 90 3.3.4 Chiến lược tiến hóa 92 Kết luận 96 Tài liệu tham khảo 98 Trang 3 Danh mục các ký hiệu f = (f 1 (x),f 2 (x)) : Vector hàm mục tiêu. x = (x 1 ,…,x n ) : Vector biến quyết định n i : Số lượng đoạn cần mịn hóa thứ i l i : Chiều dài của đoạn thứ i.   : Chiều dài trung bình của tất cả các đoại tại mỗi bước C : Hệ số nhân. P 1 , P 2 : Điểm cuối của đoạn.   : Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đền nón    ∆x  , ∆x  : Kích thước của lưới f(x,p) : Hàm mục tiêu của vector x và vector tham số cố định p p : Vector các tham số cố định g(x,p) : Vector ràng buộc bất đẳng thức với tham số p h(x,p) : Vector ràng buộc đẳng thức với tham số p ,  : Vector trọng số  ̅  : Hàm mục tiêu được chuẩn hóa   : Điểm utopia   : Điểm nadir  ∗ : Điểm anchor thứ i N E : Số lượng lớn nhất mà tập E có thể chứa được các nghiệm không trội. N P : Số lượng cá thể trong quần thể/kích thước tập P. k : Tham số của mật độ tính toán:  =    +   n u : Số nghiệm trội hơn nghiệm u S u : Tập nghiệm trội bởi nghiệm u P 0 , P t : Quần thể ban đầu và tại thế hệ thứ t Q t : Quần thể con tạo thành từ các cá thể trong P t Trang 4 F j : Biên chứa các nghiệm không trội. Với j=1,…,R   : Lợi nhuận khi đầu tư vào loại chứng khoán thứ i,  ∈ .   =   = (  ) : Kỳ vọng của   .   : Phương sai của     : Hiệp phương sai giữa   à   .    : Vector giá trị kỳ vọng của   Γ ∈   : Ma trận hiệp phương sai của   . ,  : Tập các chứng khoán mà các nhà đầu tư định đầu tư vào với số vốn là C.   : Số lượng tối thiểu của loại cổ phiếu thứ j.   : Chi phí tương ứng có liên quan với loại chứng khoán thứ j   : Giá của loại chứng khoán thứ j tại thời điểm niêm yết trên sàn giao dịch.   : Giá mua thấp nhất cho loại chứng khoán j. (  ), () : Kỳ vọng về lợi nhuận của danh mục đầu tư. () : Rủi ro của danh mục đầu tư được tính bằng phương sai . Trang 3 Danh mục các ký hiệu f = (f 1 (x),f 2 (x)) : Vector hàm mục tiêu. x = (x 1 ,…,x n ) : Vector biến quyết định n i : Số lượng đoạn cần mịn hóa thứ i l i : Chiều dài của đoạn thứ i.   : Chiều dài trung bình của tất cả các đoại tại mỗi bước C : Hệ số nhân. P 1 , P 2 : Điểm cuối của đoạn.   : Khoảng cách vuông góc từ các điểm trên biên đền nón    ∆x  , ∆x  : Kích thước của lưới f(x,p) : Hàm mục tiêu của vector x và vector tham số cố định p p : Vector các tham số cố định g(x,p) : Vector ràng buộc bất đẳng thức với tham số p h(x,p) : Vector ràng buộc đẳng thức với tham số p ,  : Vector trọng số  ̅  : Hàm mục tiêu được chuẩn hóa   : Điểm utopia   : Điểm nadir  ∗ : Điểm anchor thứ i N E : Số lượng lớn nhất mà tập E có thể chứa được các nghiệm không trội. N P : Số lượng cá thể trong quần thể/kích thước tập P. k : Tham số của mật độ tính toán:  =    +   n u : Số nghiệm trội hơn nghiệm u S u : Tập nghiệm trội bởi nghiệm u P 0 , P t : Quần thể ban đầu và tại thế hệ thứ t Q t : Quần thể con tạo thành từ các cá thể trong P t Trang 4 F j : Biên chứa các nghiệm không trội. Với j=1,…,R   : Lợi nhuận khi đầu tư vào loại chứng khoán thứ i,  ∈ .   =   = (  ) : Kỳ vọng của   .   : Phương sai của     : Hiệp phương sai giữa   à   .    : Vector giá trị kỳ vọng của   Γ ∈   : Ma trận hiệp phương sai của   . ,  : Tập các chứng khoán mà các nhà đầu tư định đầu tư vào với số vốn là C.   : Số lượng tối thiểu của loại cổ phiếu thứ j.   : Chi phí tương ứng có liên quan với loại chứng khoán thứ j   : Giá của loại chứng khoán thứ j tại thời điểm niêm yết trên sàn giao dịch.   : Giá mua thấp nhất cho loại chứng khoán j. (  ), () : Kỳ vọng về lợi nhuận của danh mục đầu tư. () : Rủi ro của danh mục đầu tư được tính bằng phương sai . Trang 5 MỞ ĐẦU Trong cuộc sống, một cá nhân, hay một tổ chức thường bị đặt vào tình huống phải lựa chọn phương án tối ưu để giải quyết một vấn đề nào đó. Khi ấy chúng ta phải tiến hành thu thập, phân tích và chọn lựa thông tin nhằm tìm ra một giải pháp tốt nhất để hành động. Các phương án đề xuất ấy có thể giải quyết một hay nhiều vấn đề cùng một lúc tùy thuộc vào tình huống và yêu cầu đặt ra của chúng ta. Trong toán học có rất nhiều lý thuyết cơ sở làm nền tảng giúp tìm ra một phương án tối ưu để giải quyết vấn đề như: lý thuyết thống kê, lý thuyết quyết định, lý thuyết tối ưu, vận trù học,… Do tính ưu việt và hiệu quả, tối ưu hóa nhiều mục tiêu là một trong những lý thuyết toán học ngày càng được ứng dụng rộng rãi trên nhiều lĩnh vực như: kỹ thuật công nghệ, hàng không, thiết kế, tài chính,… Tối ưu hóa nhiều mục tiêu có nghĩa là tìm phương án tốt nhất theo một nghĩa nhất định nào đó để đạt được (cực đại hay cực tiểu) nhiều mục tiêu cùng một lúc và một phương án như vậy thì ta gọi là phương án lý tưởng. Trong một bài toán tối ưu nhiều mục tiêu thường thì các mục tiêu xung đột với nhau nên việc cố gắng làm “tăng” giá trị cực đại hay cực tiểu một mục tiêu có thể sẽ làm “giảm” gía trị cực đại hay cực tiểu của các mục tiêu khác nên việc tồn tại phương án lý tưởng là rất hiếm. Vì vậy cách tốt nhất là tìm một phương án nhằm thỏa mãn tất cả các yêu cầu các mục tiêu trong một mức độ chấp nhận được và phương án như thế gọi là phương án thỏa hiệp của các hàm mục tiêu. Có rất nhiều định nghĩa khác nhau đề cập đến phương án/nghiệm tối ưu như: Pareto, Borwein, Benson, Geoffrion, Kuhn – Tucker,…Các định nghĩa này thường có sự tương quan với nhau và chúng được biểu hiện cụ thể thông qua các định lý, mệnh đề và tính chất. Như chúng ta đã biết một trong những cơ sở để định nghĩa về nghiệm tối ưu là quan hệ thứ tự trong không gian nhất là quan hệ hai ngôi. Chương I trong luận văn này sẽ trình bày những khái niệm và các vấn đề liên quan đến quan hệ thứ tự hai ngôi trong không gian, tập hợp. Đồng thời phát biểu các dạng của bài toán tối ưu nhiều mục tiêu và giới thiệu một số khái niệm về nghiệm tối ưu, nghiệm tối ưu chặt, yếu, nghiệm tối ưu chính thường theo định nghĩa Pareto, Borwein, Benson, Geoffrion, Kuhn – Tucker và một số định lý để cho thấy mối liên hệ giữa chúng. [...]... thiệu các phương pháp mới để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu bên cạnh các phương pháp thông dụng như phương pháp ràng buộc, phương pháp tổng trọng số chúng tôi sẽ trình bày một lớp các phương pháp và thuật giải chính như sau: Một là: Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được cho bài toán hai và nhiều mục tiêu Mục đích chính của phương pháp Tổng trọng số chấp nhận được là tập trung tìm kiếm nghiệm tối. .. cho bài toán tối ưu hóa nhiều mục tiêu Xuất phát từ phương pháp “tổng trọng số chấp nhận được” dành cho bài toán hai mục tiêu - xác định một cách hình thức không gian nghiệm tối ưu Pareto, tìm nghiệm trên tập không lồi và bỏ qua các nghiệm tối ưu non-Pareto Tuy nhiên phương pháp này chỉ có thể giải bài toán tối ưu với 2 hàm mục tiêu Tổng trọng số chấp nhận được là phương pháp mở rộng của phương pháp. .. giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu bao gồm cách thuật toán chính yếu: MOGA, SPEA2, NSGA-II Cách thức tìm nghiệm của các thuật toán này là từ các nghiệm được khởi tạo một cách ngẫu nhiên ban đầu qua đó thuật toán sẽ tìm nghiệm tối ưu Pareto thông qua việc tìm biên Pareto xấp xỉ của bài toán Ngoài ra chương II cũng minh họa thêm hình ảnh và tính toán số trong Matlab để giải bài toán tối ưu nhiều mục tiêu. .. 1.97 -0.88 3.5 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đối với bài toán tối ưu 2 mục tiêu 2.3.1 Khái niệm cơ sở Trong phần trình bày này chúng ta giới thiệu một phương pháp xác định hiệu quả biên Pareto đối với bài toán tối ưu hai mục tiêu và đây cũng chính là cơ sở giúp ta nghiên cứu phương pháp tổng trọng số chấp nhận được đối với bài toán tối ưu đa mục tiêu Phần trình bài trước phương pháp tổng trọng... CHƯƠNG II: CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU 2.1 Phương pháp ràng buộc (the constraint method) a) Mô hình bài toán Cho một bài toán đa mục tiêu với p mục tiêu: ( ), ( ), … , Sao cho: = ( ,…, Trong đó: ( ) (2.1) ∈ )∈ : là không gian quyết định Ta chuyển bài toán trên thành bài toán ràng buộc là: ( ,…, Sao cho ( ,…, ) )∈ ( ,…, (2.2) )≥ = 1, … , ℎ − 1, ℎ, ℎ + 1, … , Trong đó mục tiêu thứ... 1.3 Giới thiệu bài toán tối ưu nhiều mục tiêu: Có rất nhiều lớp khác nhau để biểu diễn cho bài toán tối ưu nhiều mục tiêu Trong phạm vi luận văn này ta sẽ biểu diễn bài toán tối ưu nhiều mục tiêu dưới dạng sau: { Sao cho: ( ), … , ( )} (P ) ∈ Trong đó:  x là biến quyết định ={ ∈ R | ( ) ≤ 0; ℎ ( ) = 0 với = 1, … , < } là không gian quyết định  fi : Rn  R với i = 1,…, k là các hàm mục tiêu Đặt: Y =... hóa các đoạn trên biên Pareto Trang 27 Trong phần này ta phát biểu bài toán tối ưu 2 mục tiêu dưới dạng như sau: ( ) + (1 − ) ( ) Min ℎ ( ) ( ) ∈ Trong đó: ={ ∈ ( ) à | ( ) ≤; ℎ( ) = 0 à ∈ [0,1] } ( ) à ( ) : là các hàm chuẩn hóa tương ứng của ( ) 2.3.2 Phương pháp tổng trọng số chấp nhận được dành cho bài toán 2 mục tiêu: Sau đây là các bước chi tiết để giải bài toán tối ưu 2 mục tiêu bằng phương pháp. .. để lấy max Công thức này là bài toán đơn mục tiêu Do đó có thể giải được bằng phương pháp đơn hình cho bài toán quy hoạch tuyến tính b) Thuật toán: Bước 1: xây dựng một bảng thỏa hiệp a Giải lần lượt p bài toán đơn mục tiêu ứng và các ràng buộc tương ứng Gọi nghiệm ứng với mục tiêu thứ k là: =( ,… ) với k = 1, … , p Sau đó tính giá trị của p hàm mục tiêu này đạt được tại các ( ), ( ), … , ( tương ứng,... tìm kiếm từng nghiệm một - tối ưu Pareto bằng cách thay đổi trọng số tương ứng của các hàm mục tiêu mà các trọng số này được lựa chọn từ người giải Phương pháp này thường sinh ra trên biên Pareto rất ít các nghiệm tối ưu và đặt biệt là sẽ không tìm ra nghiệm tối ưu Pareto trên miền không lồi Mục đích chính của phương pháp tổng trọng số chấp nhận được là tập trung tìm kiếm nghiệm tối ưu trên những vùng... Ta chuyển bài toán trên thành bài toán một bài toán tổng sau: = Sao cho Trong đó: ( )+ ( )+ ⋯+ ∈ ≥ 0 với = 1, … , và Trang 25 ( ) =1 Ứng với mỗi bộ trọng số ta sẽ tìm được một nghiệm tối ưu Pareto Ví dụ 14: Giải bài toán tối ưu hai hàm mục tiêu sau: min { ( , ( , )=3 ( , )= , , Với: ), ( , −2 − )} +4 − + + 0.5 Sau khi thực hiện các bước tính toán ta xác định được giá trị của mỗi hàm mục tiêu như sau: . *** *** LÊ VĂN HIỆP MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành Lý Thuyết Tối Ưu Và Hệ Thống THÀNH. VĂN HIỆP MỘT LỚP CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU NHIỀU MỤC TIÊU Chuyên ngành: Lý thuyết tối ưu và hệ thống Mã số: 60 46 20 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC