Nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa trong tối ưu đa mục tiêu không trơn Đọc thêm Nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa trong tối ưu đa mục tiêu không tr

Nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa trong tối ưu đa mục tiêu không trơn Đọc thêm Nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa trong tối ưu đa mục tiêu không tr

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

MAI HUY TOÀN

NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

KHÔNG TRƠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

MAI HUY TOÀN

NHÂN TỬ LAGRANGE VÀ ĐIỂM YÊN NGỰA TRONG TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU

KHÔNG TRƠN

Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS ĐỖ VĂN LƯU

none

Mục lục

Chương 1 Điều kiện tồn tại nhân tử Lagrange và điểm

1.1 Các kiến thức bổ trợ 61.2 Sự tồn tại nhân tử Lagrange cho nghiệm hữu

hiệu chính thường 181.3 Các định lí điểm Yên ngựa và điểm Yên ngựa

yếu 24Chương 2 Các định lí luân phiên kiểu Motzkin và các

2.1 Các khái niệm và định nghĩa 292.2 Các định lí luân phiên kiểu Motzkin suy rộng 312.3 Các định lí nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa 44

Mở đầu

Lí thuyết các điều kiện tối ưu là một bộ phận quan trọng của lí thuyếttối ưu hoá Để dẫn các điều kiện cần tối ưu, người ta thường phát triểncác định lí luân phiên (theorems of the alternative) làm công cụ Cùng vớicác quy tắc nhân tử Lagrange, các định lí điểm yên ngựa trong tối ưu đamục tiêu với các hàm lồi và hàm lồi suy rộng được nhiều tác giả quan tâmnghiên cứu.

Z F Li và S Y Wang [5] đã nghiên cứu các điều kiện tồn tại cácnhân tử Lagrange và các điểm yên ngựa yếu cho bài toán tối ưu đa mụctiêu với ràng buộc nón trong không gian hữu hạn chiều trên cơ sở phát triểnmột định lí luân phiên kiểu Gordan Mối quan hệ giữa nhân tử Lagrange vàđiểm yên ngựa yếu, và sự tương đồng giữa nghiệm hữu hiệu chính thườngtheo nghĩa Benson và nghiệm hữu hiệu chính thường theo nghĩa Borweincũng được thiết lập.

R Zeng và R J Caron [10] đã thiết lập các định lí luân phiên kiểuMotzkin với các hàm preconvexlike trong không gian tôpô tuyến tính Haus-dorff Từ đó các tác giả chứng minh các định lí nhân tử Lagrange và cácđịnh lí điểm yên ngựa cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón.

Luận văn tập trung trình bày các kết quả về các định lí nhân tử grange và điểm yên ngựa của bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón,mối quan hệ giữa nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa yếu, trên cơ sở pháttriển của các định lí luân phiên kiểu Gordan và Motzkin.

La-Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mụccác tài liệu tham khảo.

Chương 1 trình bày các kết quả của Z F Li và S Y Wang [5] về cácđiều kiện tồn tại nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa yếu của hàm Lagrangegiá trị véctơ của bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón, cùng vớimối quan hệ giữa nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa yếu Một điều kiệnđủ cho sự tương đương giữa các nghiệm hữu hiệu chính thường Benson vàBorwein cũng được trình bày trong chương này.

Chương 2 trình bày các kết quả của R Zeng và R J Caron [10] vềcác định lí luân phiên kiểu Motzkin và các định lí nhân tử Lagrange chobài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón trong không gian tôpô tuyếntính Hausdorff Các định lí điểm yên ngựa và định lí vô hướng hoá cũngđược trình bày trong chương này.

Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS TSĐỗ Văn Lưu, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành bản luậnvăn này.

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở Viện Toán học, Viện Côngnghệ thông tin Hà Nội, Khoa Công nghệ thông tin, Khoa Toán và PhòngĐào tạo sau đại học trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đãhết lòng giảng dạy, truyền đạt cho em nhiều kiến thức khoa học trong suốtthời gian em học tập tại trường.

Xin gửi lời cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viêntrong lớp Cao học Toán K1 đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ em trongsuốt thời gian học tập và quá trình làm luận văn.

Do thời gian có hạn nên luận văn này mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu,

tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủđề đặt ra Trong quá trình viết luận văn cũng như trong xử lý văn bản chắcchắn không tránh khỏi có những sai sót nhất định Em rất mong nhận đượcsự góp ý của các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoànthiện hơn.

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2009Mai Huy Toàn

Chương 1

Điều kiện tồn tại nhân tử Lagrange và điểm yên ngựa

Chương này trình bày các kết quả về sự tồn tại nhân tử Lagrange vàđiểm yên ngựa yếu của hàm Lagrange giá trị véctơ của bài toán quy hoạchđa mục tiêu, cùng với mối quan hệ giữa nghiệm hữu hiệu yếu (nghiệm hữuhiệu) và điểm yên ngựa yếu (điểm yên ngựa) của hàm Lagrange Sự tươngđương của nghiệm hữu hiệu Benson và nghiệm hữu hiệu Borwein cũng đượctrình bày trong chương này Kết quả chương 1 là của Z F Li và S Y Wang([5], 1994).

1.1 Các kiến thức bổ trợ

Giả sử D là một nón trong Rm Kí hiệu D0 = D ∪ {0} D được gọi lànhọn nếu

D0 ∩ (−D)0 = {0}.D được gọi là sắc nếu bao đóng của D là nhọn.

Cho K là một nón lồi nhọn của Rm với int(K) 6= ∅, và cho S là tậpkhông rỗng của Rm Với y, z ∈ Rm, ta định nghĩa ba quan hệ thứ tự theoK như sau:

y 5K z ⇔ z − y ∈ K;

y ≤K z ⇔ z − y ∈ K \ {0};y <K z ⇔ z − y ∈ int(K).

Tập của tất cả các điểm K- cực tiểu và K- cực đại được định nghĩa tươngứng như sau:

M inKS = {¯y ∈ S | @y ∈ S sao cho y ≤K y},¯M axKS = {¯y ∈ S | @y ∈ S sao cho y ≤¯ K y}.

(1.1)Tương tự, tập của tất cả các điểm K- cực tiểu yếu và K- cực đại yếu đượcđịnh nghĩa tương ứng như sau:

W − M inKS = {¯y ∈ S | @y ∈ S sao cho y <K y},¯W − M axKS = {¯y ∈ S | @y ∈ S sao cho y <¯ K y}.

(1.2)Nón đối ngẫu dương S0, và nón đối ngẫu dương chặt Ss0 của S được địnhnghĩa như sau:

S0 = {y∗ ∈ Rm | yTy∗ ≥ 0, với ∀y ∈ S}, (1.3)Ss0 = {y∗ ∈ Rm | yTy∗ > 0, với ∀y ∈ S} (1.4)Giả sử S ì T là tích Đề các của S ⊂ Rm và T ⊂ Rp Ta có kết quảsau.

Bổ đề 1.1 ([5])

(i)(S ì T )0 = S0 ì T0, nếu 0 ∈ S và 0 ∈ T;

(ii)S + int(S) ⊂ int(S), nếu S là nón với int(S) 6= ∅;

(iii) Nếu S là một nón với int(S) 6= ∅ thì yTy∗ > 0 với bất kì y ∈int(S) và y∗ ∈ S0\{0};

(iv) int(S0) = (clS)s0, nếuS là một nón sắc;(v) int(S ì T ) = int(S) ì int(T ).

Bài toán quy hoạch đa mục tiêu được xét trong luận văn này như sau:

K − minf (x),(V P ) g(x) 5Q 0,x ∈ M0,

ở đây M0 là một tập con không rỗng của Rn, f : Rn → Rm, g : Rn → Rp,

K là một nón lồi đóng nhọn trong Rm với int(K) 6= ∅, và Q là một nón lồitrong Rp với int(Q) 6= ∅.

Kí hiệu

M = {x ∈ M0 | g(x) 5Q 0},f (M ) = {f (x) | x ∈ M }.

Đó là tập chấp nhận được và không gian mục tiêu, hoặc không gian đầu ra.Nhắc lại định nghĩa nghiệm của bài toán (V P ).

Định nghĩa 1.1

x ∈ M được gọi là nghiệm hữu hiệu yếu của bài toán (VP) nếu f (¯x) ∈W − M inKf (M ); x ∈ M¯ được gọi là nghiệm hữu hiệu của bài toán (VP)nếu f (¯x) ∈ M inKf (M ).

x ∈ M được gọi là nghiệm hữu hiệu chính thường của bài toán (VP) theonghĩa Benson, nếu

clP (f (M ) + K − f (¯x)) ∩ (−K) = {0}, (1.7)

trong đó T (S, y) là nón tiếp tuyến của S tại y ∈ clS và P (S) là nón chiếu

M của S, tức là

T (S, y) = {d ∈ Rm | ∃yk ∈ S và tk > 0, k = 1, 2, , sao cho

limyk = y vàlimtk(yk− y) = d},

(1.8)P (S) = {αd | α > 0, d ∈ S} (1.9)

Định nghĩa 1.3

f được gọi là K − convexlike trên M0 nếu với mọi x1, x2 ∈ M0 vàvới mọi α ∈ (0, 1), ∃x3 ∈ M0 sao cho

αf (x1) + (1 − α)f (x2) − f (x3) ∈ K; (1.10)f được gọi là K − subconvexlike trênM0 nếu ta tìm được η ∈ int(K)saocho, với mọi x1, x2 ∈ M0, mọi α ∈ (0, 1), và mọi ε > 0, ∃x3 ∈ M0 thoả mãn

εη + αf (x1) + (1 − α)f (x2) − f (x3) ∈ K (1.11)

Nhận xét 1.2

Giả sử rằngM0 là một tập con lồi trênRn f được gọi làK-lồi trên M0

nếu với mọi x1, x2 ∈ M0 và mọi α ∈ (0, 1),

(i) Tồn tạix ∈ M0 sao cho −f (x) ∈ int(K);

(ii) Tồn tại η ∈ K0 \ {0} sao cho ηTf (x) > 0 với mọi x ∈ M0.Bổ đề sau đây là một đặc trưng mới của tính K-subconvexlike.Bổ đề 1.3

Các phát biểu sau đây là tương đương:(i) f là K-subconvexlike trên M';

(ii)f (M0) + int(K) là lồi;

(iii) Với mọi η ∈ int(K), x1, x2 ∈ M0, và α ∈ (0, 1), tồn tại x3 ∈ M0

Theo định nghĩa của C, tồn tại x1, x2 ∈ M0 và k1, k2 ∈ int(K)thoả mãn

Do tínhK-subconvexlike củaf trênM0và định nghĩa 1.3, tồn tạiη ∈ int(K)

sao cho với mọi γ ∈ (0, 1), x, y ∈ M0, và ε > 0, ta có thể tìm được

(f, g) được gọi là K ì Q-convexlike (tương ứng,K ì Q-subconvexlike) trên

M0 nếu H là K ì Q-convexlike (tương ứng, K ì Q-subconvexlike) trên M0.Bổ đề 1.4 ([5])

(i) Nếu(f, g) làK ì Q-subconvexlike trên M' và Ks0 6= ∅, thì với mỗi

η ∈ Ks0, (ηTf, g) là R1+ ì Q-subconvexlike trên M', trong đó R1+ = {α ∈R1 | α ≥ 0} và (ηTf )(x) = ηTf (x) với mỗi x ∈ Rn;

(ii) Nếu(f, g) là K ì Q-convexlike trên M', thì f là K-convexlike trênM' và do đó là K-subconvexlike trên M'.

Bổ đề 1.5

Nếu f là K-subconvexlike trên M và x ∈ M¯ , thì

T (f (M ) + K, f (¯x)) = clP (f (M ) + K − f (¯x))= T (f (M ) + int(K), f (¯x))= clP (f (M ) + int(K) − f (x)),

và T (f (M ) + K, f (¯x)) là một nón lồi đóng.Chứng minh

Giả sử rằng f là K-subconvexlike trên M và x ∈ M¯ Trước tiên, tachứng minh rằng

βt = αt.

Râ rµng lµ dt ∈ K, yt ∈ f (M ) + K, vµ βt ≥ 0 víi mçi t Cho t → ∞, ta cã

lim yt = f (¯x),lim βt(yt − f (¯x)) = y.

Giả sử η0 ∈ int(K) cố định Như vậy, εη0 ∈ int(K), với mọi ε > 0 Bởi vì

f là K-subconvexlike trên M, theo bổ đề 1.3, với mọi ε > 0, λ ∈ (0, 1), và

x1, x2 ∈ M, tồn tại x3 := x(ε, λ, x1, x2) ∈ M sao cho

yt = f (xt) + dt,βt = αt.

Rõ ràng là

yt ∈ f (M ) + int(K),và βt ≥ 0, với mỗi t.

Cho t → +∞, ta nhận được

lim yt = f (¯x),lim βt(yt − f (¯x)) = y.

Bài toán(Pη) có thể được xem như bài toán vô hướng hoá của bài toán

(V P ) Trong phần tiếp theo ta sẽ cho hai mối quan hệ giữa bài toán (V P )

W − M inK{L(x, ¯Λ) | x ∈ M0} ∩ W − M axK{L(¯x, Λ) | Λ ∈ Γ})(1.36')

Chøng minh

Gi¶ sö r»ngx¯lµ mét nghiÖm h÷u hiÖu yÕu cña bµi to¸n (V P ) Nh­ vËykh«ng tån t¹i x ∈ M sao cho f (x) <K f (¯x) §Æt

F (x) = f (x) − f (¯x), x ∈ M0.

Ks0 ∩ (clP (f (M ) + K − f (¯x)))0 6= ∅ (1.41)

V× vËy, ta t×m ®­îc η ∈ K¯ s0 tho¶ m·n

η ∈ (clP (f (M ) + K − f (¯x)))0 (1.42)

Điều này suy trực tiếp từ bổ đề 1.5 và định nghĩa 1.2 2

Với kết quả này, ta có thể đồng nhất hai loại nghiệm hữu hiệu chínhthường nếu f làK-subconvexlike trên M Do đó, ta không cần phân biệt cácnghiệm hữu hiệu chính thường Benson và Borwein trong phần tiếp sau.

Kí hiệu W E và P E, tương ứng là tập các nghiệm hữu hiệu yếu và cácnghiệm hữu hiệu chính thường của bài toán (V P ), và kí hiệuEη là tập tất cảcác nghiệm tối ưu của bài toán (Pη).

§Þnh lÝ 1.1 ([5])

NÕu f lµ K-subconvexlike trªn M, th×(i)W E = S

Eη,(ii)P E = S

Eη.§Þnh lÝ 1.2

Gi¶ sö r»ng bµi to¸n (V P ) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn chÝnh quy Slater, f

lµ K-subconvexlike trªn M, vµ (f, g) lµ K × Q-subconvexlike trªn M' NÕu

x ∈ P E, th× tån t¹i m × p - ma trËn Λ¯ tho¶ m·n ΛQ ⊂ K¯ sao cho

f (¯x) ∈ M inK{f (x) + ¯Λg(x) | x ∈ M0},¯

( ¯α, ¯v) ∈ (R1+× Q)0 = (R1+)0 × Q0 = R1+× Q0

tho¶ m·n ( ¯α, ¯v) 6= 0 vµ

α¯ηT(f (x) − f (¯x)) + ¯vTg(x) ≥ 0, víi mäi x ∈ M0 (1.48)

Bất đẳng thức trên có thể viết lại như sau

α¯ηf (x) + ¯vTg(x) ≥ ¯α¯ηTf (¯x), với mọi x ∈ M0 (1.49)

Ta chỉ ra rằng α 6= 0¯ Giả sử rằng điều này không đúng, tức là α = 0 Do

( ¯α, ¯v) 6= 0, ta có v 6= 0¯ Do điều kiện chính quy Slater, tồn tại x0 ∈ M0 saocho g(x0) <Q 0 Vì thế,v¯Tg(x0) < 0 Nhưng từ (1.49), v¯Tg(x0) ≥ 0 Điều đócho ta một mâu thuẫn Vì thế α 6= 0¯ Chia (1.49) cho α¯ và kí hiệu λ = ¯¯ v/ ¯α,ta có λ ∈ Q¯ 0 và

Điều đó mâu thuẫn với (1.50) Do đó,

ΛQ ⊂ K sao cho biểu diễn (1.45) đúng.

Với nghiệm hữu hiệu yếu ta có định lí sau.Định lí 1.3

Giả sử rằng điều kiện chính quy Slater thoả mãn và (f, g) là K ì Qsubconvexlike trên M' Nếux ∈ W E¯ , thì tồn tạim ì p - ma trậnΛ¯ thoả mãn

ΛQ ⊂ K sao cho

f (¯x) ∈ W − M inK{f (x) + ¯Λg(x) | x ∈ M0},¯

không có nghiệm Bởi vì (f, g) là K ì Q-subconvexlike trên M0, H là

K ì Q-subconvexlike trên M0 Theo bổ đề 1.2, tồn tại (¯η, ¯λ) ∈ (K ì Q)0 =

K0 ì Q0, (¯η, ¯λ) 6= 0, sao cho

ηTf (x) + ¯λTg(x) ≥ ¯ηTf (¯x), với mọi x ∈ M0 (1.58)

Vì g(¯x) 5Q 0 và λ ∈ Q¯ 0, ¯λTg(¯x) ≤ 0 Nhưng (1.58) dẫn đến λ¯Tg(¯x) ≥ 0.Vì thế,

Bổ đề 1.6 ([8])

(¯x, ¯Λ) ∈ M0 ì Γ là một điểm yên ngựa của L(x, Λ) nếu và chỉ nếu(i)L(¯x, ¯Λ) ∈ M inK{L(x, ¯Λ) | x ∈ M0},

(ii)g(¯x) 5Q 0,(iii) Λg(¯¯ x) = 0.

Với điểm yên ngựa yếu, ta có kết quả sau đây.Định lí 1.4

(¯x, ¯Λ) ∈ M0ì Γlà một điểm yên ngựa yếu của L(x, Λ) nếu và chỉ nếu(i)L(¯x, ¯Λ) ∈ W − M inK{L(x, ¯Λ) | x ∈ M0},

(ii)g(¯x) 5Q 0,(iii) Λg(¯¯ x) 6<K 0.Chứng minh

Trước tiên, ta giả sử rằng L(¯x, ¯Λ) là một điểm yên ngựa yếu của hàmLagrange L Ta chỉ ra rằng các điều kiện (i) - (iii) thoả mãn.

Theo định nghĩa 1.4, điều kiện (i) đúng, và

Hiển nhiên,D1 là tập lồi khác rỗng trongRm Theo hệ quả 1 của định lí 2.3.8[1] tồn tại véc tơ η ∈ R¯ m, ¯η khác không sao cho

Vì vậy, các điều kiện (i) - (ii) thoả mãn.

Bây giờ ta chỉ ra rằng (¯x, ¯Λ) là một điểm yên ngựa yếu của hàm grange L nếu các điều kiện (i) - (iii) thoả mãn Giả sử rằng các điều kiện (i)- (iii) thoả mãn Bởi vì g(¯x) 5Q 0, ta suy ra

La-Λg(¯x) 5K 0, với mọi Λ ∈ Γ (1.72)

Theo điều kiện (iii), Λg(¯¯ x) 6<K 0 Do đó,

f (¯x) + Λg(¯x) 6>K f (¯x) + ¯Λg(¯x), với mọi Λ ∈ Γ, (1.73)

Theo định lí trên và bổ đề 1.4(ii), ta có hệ quả sau đây.Hệ quả 1.2

Giả sử rằng(f, g) là K ì Q-convexlike trên M' và điều kiện chính quySlater thoả mãn Nếux¯là nghiệm hữu hiệu chính thường của bài toán(V P ),thì tồn tại Λ ∈ Γ¯ sao cho (¯x, ¯Λ) là điểm yên ngựa của hàm Lagrange L.

2.1 Các khái niệm và định nghĩa

Cho X là một không gian tôpô tuyến tính thực, cho X∗ là không giantôpô đối ngẫu của X Tập con X+ của X được gọi là nón lồi nếu

αx1 + βx2 ∈ X+, ∀x1, x2 ∈ X+, ∀α, β ≥ 0.

Một nón dương là một nón lồi với đỉnh tại gốc.

Không gian tôpô tuyến tính thực X với một nón lồi được gọi là mộtkhông gian tôpô tuyến tính được sắp Thứ tự bộ phận trên X được định nghĩanhư sau

x1 ≤X+ x2 nếu và chỉ nếu x2 − x1 ∈ X+,x1 <X˚

+ x2 nếu và chỉ nếu x2 − x1 ∈ ˚X+,

trong đó X˚

+ là phần trong tôpô của X+.

Giả sử X là một tập khác rỗng, D là một tập con khác rỗng của X, và

Y là một không gian tôpô tuyến tính được sắp với nón dương Y+ Nhắc lại,hàm f : X −→ Y được gọi làY+ - lồi trênD nếu ∀x1, x2 ∈ D, ∀α ∈ (0, 1),

-u + αf (x1) + (1 − α)f (x2) − f (x3) ∈ Y+.

Nếu E = Y, f được gọi là Y+-subconvexlike trên D.

2.2 Các định lí luân phiên kiểu Motzkin suy rộng

Giả sử X, Y, Z, W là các không gian tôpô tuyến tính Hausdorff với cácnón dương tương ứngX+, Y+, Z+, W+có phần trong không rỗngX˚+, ˚Y+, ˚Z+, ˚W+.Định lí 2.1

Cho f = (F, G) : X −→ Y ì Z là (Y+, Z+)-preconvexlike trên

D ⊂ X Xét các hệ:

(S1) ∃x0 ∈ D sao cho F (x0) <Y˚

+ O, G(x0) ≤Z+ O.(S2) ∃(ξ, η) ∈ Y+∗ ì Z+∗, (ξ, η) 6= O sao cho

y0 = αy1 + (1 − α)y2, z0 = αz1 + (1 − α)z2.

Do tÝnh låi cña Y+ vµ Z+, ta cã y0 ∈ Y+, z0 ∈ Z+ Tõ gi¶ thiÕt cña tÝnhpreconvexlike, ∃x3 ∈ D vµ τ > 0 sao cho

V× vËy,

αc1 + (1 − α)c2 = [αt1 + (1 − α)t2](ˆy, ˆz) + (y0, z0)∈ t(F (x3), G(x3)) + (Y+ × Z+)⊂ [

(tf (D) + (Y+× Z+)) = ˜C,

(a) f = (F, G, H) lµ (Y+× Z+× {O}, Y × Z × {O})-preconvexliketrªn D.

(b) Điều kiện Slater:

hF (x), ξi + hG(x), ηi + hH(x), ςi ≥ 0, ∀x ∈ D.

Chứng minh

Nếu x và (ξ, η, ς) tương ứng là nghiệm của các hệ (S1) và (S2), thìtheo bổ đề 2.1 ta có,

0 ≤ hF (x), ξi + hG(x), ηi + hH(x), ςi ≤ h(F (x), ξ)i < 0.

Điều này là vô lí Do đó, (S1) và (S2) loại trừ lẫn nhau Giả sử rằng (S1)

O là điểm gốc của W Trước hết, ta chỉ ra rằng C lồi Đặt

z = αt1G(x1) + (1 − α)t2G(x2) + z0,ă

αt1 + (1 − α)t2G(x

1) + (1 − α)t2

αt1 + (1 − α)t2G(x

2) − τ G(x3) : = z0 ∈ Z+,αt1

= [αt1 + (1 − α)t2]τ F (x3) + [αt1 + (1 − α)t2]y0 + y0

∈ tF (x3) + Y++ ˚Y+ ⊂ tF (x3) + ˚Y+.

Tương tự,

αt1G(x1) + (1 − α)t2G(x2) + αz1 + (1 − α)z2∈ tG(x3) + Z+ + Z+ ⊂ tG(x3) + Z+.

Vì vậy,

αc1 + (1 − α)c2 = [αt1 + (1 − α)t2](

y , z , w) + (y0, z0, O)∈ t(F (x3), G(x3), H(x3)) + (Y+ì Z+ì {O})⊂ [

αt1 + (1 − α)t2

G(x1) + (1 − α)t2αt1 + (1 − α)t2

Như vậy, ta đã chứng minh được C lồi.

Tiếp theo, ta chỉ ra rằng C 6= ∅˚ Từ điều kiện Slater (SC2), ∃˜x ∈ D