Một phương pháp vô hướng hóa giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KIM THANH MỘT PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KIM THANH MỘT PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn viết hướng dẫn tận tình PGS.TS Tạ Duy Phượng Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy gia đình Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Phòng đào tạo nghiên cứu khoa học quan tâm giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho học tập tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu bạn đồng nghiệp trường THPT Lưu Nhân Chú - Thái Nguyên tạo điều kiện cho hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè gia đình hết lòng động viên suốt trình học tập làm luận văn Thái Nguyên, ngày 19 tháng 10 năm 2011 Học viên Nguyễn Kim Thanh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên i http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Bài toán tối ưu hóa ngày nghiên cứu ứng dụng rộng rãi vào nhiều lĩnh vực kĩ thuật, kinh tế khoa học Trong thời gian gần đây, toán tối ưu đa mục tiêu quan tâm nhiều mô hình nhiều toán thực tế Bài toán tối ưu có hàm mục tiêu nhận giá trị vectơ đòi hỏi khái niệm nghiệm Việc tính toán tập nghiệm, chí tìm nghiệm toán nói chung khó Vì phát triển phương pháp số hữu hiệu giải toán tối ưu đa mục tiêu, quan tâm đặc biệt Khái niệm cực tiểu đưa Edgeworth năm 1881, Pareto năm 1896 Để xây dựng khái niệm này, Pareto sử dụng khái niệm thứ tự theo nón không gian ảnh Sau Kuhn Tucker, vào năm 1951 nghiên cứu kĩ chặt chẽ toán học Kể từ toán tối ưu đa mục tiêu trở thành lĩnh vực nghiên cứu tích cực Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu giải toán đưa nhiều kết quan trọng, xem [1,2] Ở kỉ trước, mục tiêu nghiên cứu dựa phương pháp lặp để xác định nghiệm đơn trình lặp lặp lại Bằng cách ấy, phép tính số tính toán liên tiếp với hàm định đưa mục tiêu mong muốn nghiệm tìm thấy Tuy nhiên, với phát triển công nghệ thông tin tốc độ máy tính xác định tập hữu hiệu cách dễ dàng Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ii http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục đích luận văn trình bày phương pháp tìm tập hữu hiệu nhờ phương pháp số dựa theo tài liệu [3] Trong [3] , Gabriele Eichfelder sử dụng phương pháp tiếp cận vô hướng hóa phụ thuộc tham số Pascoletti Serafini Nhiệm vụ luận văn trình bày cách chi tiết, có chứng minh số định lí, nhận xét, trình bày lại thuật toán giải toán tối ưu hai mục tiêu Luận văn gồm chương: Chương kiến thức chuẩn bị luận văn Trong phần đầu chương này, nhắc lại khái niệm kết tối ưu đa mục tiêu, chẳng hạn khái niệm cực tiểu tính chất nón thứ tự, đặc biệt nón đa diện Chương dành riêng tìm hiểu kĩ phương pháp vô hướng hóa giải toán tối ưu Vô hướng hóa đưa dựa vô hướng hóa Pascoletti-Serafini Đây hai chương luận văn Chương Trong chương chủ yếu sử dụng kết trước để phát triển thuật toán điều khiển việc lựa chọn tham số tiếp cận vô hướng hóa Pascoletti-Serafini Và cuối kết luận tài liệu tham khảo Thái Nguyên, năm 2011 Học viên Nguyễn Kim Thanh Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyêniii http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Kiến thức sở 1.1.1 Quan hệ thứ tự 1.1.2 Nghiệm cực tiểu 1.1.3 Nghiệm cực tiểu yếu 1.2 Nón đa diện thứ tự 11 Phương pháp vô hướng hóa 16 2.1 Tối ưu hóa Pascoletti-Serafini 17 2.2 Tính chất vô hướng hóa Pascoletti-Serafini 19 2.3 Thiết lập thông số hạn chế cho vô hướng hóa Pascoletti-Serafini 24 2.3.1 Trường hợp với hàm hai mục tiêu 26 2.3.2 Trường hợp tổng quát 33 Điều khiển tham số 41 3.1 Điều khiển tham số trường hợp hai mục tiêu 42 3.2 Thuật toán cho tối ưu hóa Pascoletti-Serafini 49 Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên iv 53 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Kiến thức chuẩn bị Giả sử f : Rn → Rm , g : Rn → Rp , h : Rn → Rq (p, q ∈ N) hàm liên tục Ta đặt f (x) = (f1(x), , fm(x)) với fi : Rm → R , i = 1, , m Cho S ⊂ Rn tập lồi đóng C ⊂ Rp nón lồi đóng Nhắc lại tập C ⊂ Rp nón lồi đóng λ(x + y) ∈ C với λ ≥ 0, x, y ∈ C Xét toán tối ưu đa mục tiêu (MOP): f (x) với hạn chế g(x) ∈ C, h(x) = 0q , x ∈ S Với m = toán (MOP) trở thành toán tối ưu hàm mục tiêu quen thuộc Trong luận văn ta chủ yếu quan tâm tới hàm đa mục tiêu (m ≥ ) Tập Ω := {x ∈ S | g(x) ∈ C, h(x) = 0q } gọi tập ràng buộc hay Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tập hạn chế toán (MOP) Ta giả sử Ω = ∅ định nghĩa f (Ω) := {f (x) ∈ Rm | x ∈ Ω} 1.1 1.1.1 Kiến thức sở Quan hệ thứ tự Định nghĩa 1.1.1 Một tập khác rỗng hệ hai Rm Ta viết x y (x, y) ∈ ∈ Rm × Rm gọi quan Quan hệ hai thường kí hiệu theo thứ tự quen thuộc ≤ Định nghĩa 1.1.2 Một quan hệ hai ≤ Rm gọi thứ tự phận Rm với x, y, z, w ∈ Rm tùy ý ta có: (i) x ≤ x (tính phản xạ), (ii) x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z (tính bắc cầu), (iii) x ≤ y, w ≤ z ⇒ x + w ≤ y + z (tính tương thích với phép cộng), (iv) x ≤ y, α ∈ R+ ⇒ αx ≤ αy (tính tương thích với phép nhân vô hướng) Định nghĩa 1.1.3 Một quan hệ thứ tự phận ≤ Rm gọi phản xứng với x, y ∈ Rm x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y Định nghĩa 1.1.4 Một không gian tuyến tính Rm trang bị quan hệ thứ tự gọi không gian tuyến tính thứ tự Ví dụ 1.1.5 Quan hệ thứ tự Rm định nghĩa bởi: ≤m := {(x, y) ∈ Rm × Rm | xi ≤ yi ; ∀i = 1, , m} quan hệ thứ tự phận Quan hệ gọi quan hệ thứ tự tự nhiên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.1.6 : (i) Một quan hệ thứ tự ≤m Rm xác định nón lồi K := {x ∈ Rm | 0m ≤ x} Nón K lúc gọi nón thứ tự (ii) Cho K nón lồi Rm Khi ta xác định quan hệ thứ tự Rm sau: ≤K := {(x, y) ∈ Rm × Rm | y − x ∈ K} (iii) Một quan hệ thứ tự K phản xứng K nón nhọn Nhắc lại rằng, nón K ⊂ Rm gọi nón nhọn K ∩ (−K) = {0m} Giả sử K nón nhọn Khi quan hệ thứ tự Rm ≤K := {(x, y) ∈ Rm × Rm | y − x ∈ K} Nếu x ≤K y với x, y ∈ Rm y − x ∈ K Vì K nón nhọn x − y ∈ K x − y = 0m hay y ≤K x x = y Do quan hệ thứ tự ≤K phản xứng 1.1.2 Nghiệm cực tiểu Định nghĩa 1.1.7 Cho Ω tập khác rỗng không gian tuyến tính Rm thứ tự nón lồi K Một điểm y¯ ∈ Ω điểm K-cực tiểu tập Ω (¯ y − K) ∩ Ω ⊂ y¯ + K (1.1) Nếu nón K nhọn (1.1) tương đương với (¯ y − K) ∩ Ω = {¯ y} Nếu cho y, y ∈ Ω ta có y − y ∈ K \ {0m }, ta nói y trội y Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.1.8 Một điểm x¯ ∈ Ω nghiệm cực tiểu (không làm trội được, nghiệm hữu hiệu hay K-cực tiểu) toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) tương ứng với nón thứ tự K f (¯ x) điểm K-cực tiểu tập f (Ω) Tập tất nghiệm cực tiểu tương ứng với nón K kí hiệu M(f (Ω), K) Tập ảnh tập tất nghiệm cực tiểu E(f (Ω), K) := {f (x) | x ∈ M(f (Ω), K)} gọi tập hữu hiệu Một điểm y¯ ∈ E(f (Ω), K) gọi điểm K-cực tiểu, điểm không làm trội được,hay điểm hữu hiệu tương ứng với nón K Nếu có điểm f (x) ∈ f (Ω) với f (x) − f (¯ x) ∈ K \ {0m } ta nói f (x) làm trội f (¯ x) x làm trội x¯ cách tương ứng Cho K = Rm + , điểm K-cực tiểu gọi Edgeword-Pareto-cực tiểu (EP-cực tiểu) Trong hình 1.2 ví dụ toán tối ưu hai mục tiêu Tập Ω f (Ω) nón nhọn thứ tự Tập hữu hiệu phần đường tô đậm Trong không gian tuyến tính thứ tự, tồn điểm so sánh với điểm (1; 2) (2; 1) R2 tương ứng với Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... KHOA HỌC NGUYỄN KIM THANH MỘT PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS... tiểu tính chất nón thứ tự, đặc biệt nón đa diện Chương dành riêng tìm hiểu kĩ phương pháp vô hướng hóa giải toán tối ưu Vô hướng hóa đưa dựa vô hướng hóa Pascoletti-Serafini Đây hai chương luận... đây, toán tối ưu đa mục tiêu quan tâm nhiều mô hình nhiều toán thực tế Bài toán tối ưu có hàm mục tiêu nhận giá trị vectơ đòi hỏi khái niệm nghiệm Việc tính toán tập nghiệm, chí tìm nghiệm toán