Một phương pháp vô hướng hóa giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

Một phương pháp vô hướng hóa giải bài toán tối ưu đa mục tiêu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KIM THANH MỘT PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KIM THANH MỘT PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TẠ DUY PHƯỢNG THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn này được viết dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS. Tạ Duy Phượng. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy và gia đình. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học, Phòng đào tạo và nghiên cứu khoa học đã quan tâm giúp đỡ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi được học tập tốt. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp trường TH PT Lưu Nhân Chú - Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè và gia đình đã hết lòng động viên tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Thái Nguyên, ngày 19 t háng 10 năm 2011 Học viên Nguyễn Kim Thanh i Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Bài toán tối ưu hóa ngày nay đang được nghiên cứu và ứng dụng r ộng rãi vào nhiều lĩnh vực như kĩ thuật, kinh tế và khoa học. Trong thời gian gần đây, bài toán tối ưu đa mục tiêu được quan tâm nhiều vì nó là mô hình của nhiều bài toán thực tế. Bài toán tối ưu này có hàm mục tiêu nhận giá trị vectơ và đòi hỏi cá c khái niệm mới về nghiệm. Việc tính toán tập nghiệm, thậm chí l à tìm ra một nghiệm của bài toán nói chung là khó. Vì vậy phát triển các phương pháp số hữu hiệu giải các bài toán tối ưu đa mục tiêu, hiện nay đang được quan tâm đặc biệt. Khái niệm cực tiểu đầu tiên được đưa r a bởi Edgeworth nă m 1881, và Pareto năm 1 896. Để xây dựng khái niệm này, Pareto đã sử dụng khái niệm sắp thứ tự theo nón trong không gian ảnh. Sau đó Kuhn và Tucker, vào năm 1951 đã nghiên cứu kĩ hơn và chặt chẽ hơn bằng toán học. Kể từ đó bài toán tối ưu đa mục tiêu t rở thành một lĩnh vực được nghiên cứu tích cực. Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu giải quyết bài toán này và đưa ra nhiều kết quả quan trọng, xem [1,2] Ở thế kỉ trước, mục tiêu nghiên cứu chính dựa trên các phương pháp lặp để xác đị nh duy nhất mộ t nghiệm đơn trong m ột quá trình lặp đi lặp lại. Bằng cách ấy, các phép tính số được tính toán liên tiếp với hàm quyết định được đưa ra bởi mục tiêu mong muốn cho đến khi nào nghiệm được tìm thấy. Tuy nhiên, với sự phát triển của công nghệ thông tin và tốc độ của máy tính hiện nay đã có thể xác định được tập hữu hiệu một cách dễ dàng hơn. ii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục đích của luận văn là trình bày một phương pháp tì m tập hữu hiệu nhờ phương phá p số dựa theo tài liệu [3]. Trong [3] , Gabriele Eichfelder đã sử dụng phương pháp ti ếp cận vô hướng hóa phụ thuộc tham số của Pasco letti và Serafini . Nhiệm vụ của luận văn là trình bày một cách chi tiết, có chứng mi nh một số định lí, nhận xét, trình bày lại thuậ t toán giải bài toán tối ưu hai mục tiêu. Luận văn của gồm 3 chương: Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị của luận văn. Trong phần đầu của chương này, chúng tôi nhắc lại những khái niệm và kết quả cơ bản của tối ưu đa mục tiêu, chẳng hạn như các khái niệm cực tiểu và các tính chất của nón sắ p thứ tự, đặc biệt là nón đa diện. Chương 2 dành riêng tìm hiểu kĩ về phương pháp vô hướng hóa giải bài toán tối ưu. Vô hướng hóa được đưa ra dựa trên vô hướng hóa Pascoletti-Serafini. Đây là một trong hai chương chính của luận văn. Chương 3 Trong chương này chủ yếu sử dụng kết quả trước để phát triển thuật toá n điều khi ển việc lựa chọn tham số trong tiếp cận vô hướng hóa Pascoletti-Serafini. Và cuối cùng là kết luận và tài liệu tham k hảo. Thái Nguyên, năm 2011 Học viên Nguyễn Kim Thanh iii Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục 1 Kiến thức chuẩn bị 1 1.1 Kiến thức cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.1 Quan hệ sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.2 Nghiệm cực tiểu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Nghiệm cực tiểu yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Nón đa diện sắp thứ tự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Phương pháp vô hướng h óa 16 2.1 Tối ưu hóa Pascoletti-Sera fini . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Tính chất của vô hướng hóa Pa scoletti-Serafini . . . . . . . 19 2.3 Thiết lập thông số hạn chế cho vô hướng hóa Pascoletti-Serafini 24 2.3.1 Trường hợp với hàm hai mục tiêu . . . . . . . . . . 26 2.3.2 Trường hợp tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3 Điều khiển tham số 41 3.1 Điều khiển tham số trong trường hợp hai mục tiêu . . . . . 42 3.2 Thuật toán cho tối ưu hóa Pascoletti-Serafini . . . . . . . . 49 Tài liệu th am khảo 53 iv Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Giả sử f : R n → R m , g : R n → R p , h : R n → R q (p, q ∈ N) là các hà m liên tục. Ta đặt f(x) = (f 1 (x), ., f m (x)) với f i : R m → R , i = 1, , m. Cho S ⊂ R n là một tập lồi đó ng và C ⊂ R p là một nón lồi đóng. Nhắc lại rằng một tập C ⊂ R p là một nón lồi đóng nếu λ(x + y) ∈ C với mọi λ ≥ 0, x, y ∈ C. Xét bài t oán tối ưu đa mục tiêu ( MOP ): min f(x) với các hạn chế g(x) ∈ C, h(x) = 0 q , x ∈ S. Với m = 1 bài toán (MOP) trở thành bài toán tối ưu hàm một mục tiêu quen thuộc. Trong luận văn này ta chủ yếu quan tâm tới hàm đa mục tiêu (m ≥ 2 ). Tập Ω := {x ∈ S | g(x) ∈ C, h(x) = 0 q } được gọi là tập ràng buộc hay 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tập hạn chế của bài toán (MOP). Ta giả sử Ω = ∅ và định nghĩa f(Ω) := {f (x) ∈ R m | x ∈ Ω}. 1.1 Kiến thức cơ sở 1.1.1 Quan hệ sắp thứ tự Định nghĩa 1.1.1. Một tập con khá c rỗng  ∈ R m ×R m được gọi là qua n hệ hai ngôi  trên R m . Ta viết xy nếu (x, y ) ∈ . Quan hệ hai ngôi thường kí hiệu theo thứ tự quen thuộc là ≤ . Định nghĩa 1.1.2. Một quan hệ hai ngôi ≤ trên R m được gọi là sắp thứ tự bộ phận trên R m nếu với x, y, z, w ∈ R m tùy ý ta có: (i) x ≤ x (tính phản xạ), (ii) x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z (tính bắc cầu), (iii) x ≤ y, w ≤ z ⇒ x + w ≤ y + z (tính tương thích với phép cộng), (iv) x ≤ y, α ∈ R + ⇒ αx ≤ αy (tính tương thích vớ i phép nhâ n vô hướng). Định ngh ĩa 1.1.3. Một quan hệ sắp thứ tự bộ phận ≤ trên R m được gọi là phản xứng nếu với x, y ∈ R m bất kì x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y. Định nghĩa 1.1.4. Một không gian tuyến tính R m được trang bị một quan hệ sắp thứ tự được gọi là không gian tuyến tính sắp thứ tự. Ví dụ 1.1.5. Quan hệ sắp thứ tự trên R m được định nghĩa bởi: ≤ m := {(x, y) ∈ R m × R m | x i ≤ y i ; ∀i = 1, , m} là q uan hệ sắp thứ tự bộ phận. Quan hệ này gọi là quan hệ sắp thứ t ự tự nhiên. 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Nhận xét 1.1.6. : (i) Một quan hệ sắp thứ tự ≤ m trên R m xác định một nón lồi K := {x ∈ R m | 0 m ≤ x} Nón K lúc này được gọi là nón sắp thứ tự. (ii) Cho K là một nón l ồi bất kì trên R m . Khi đó ta xác định được một quan hệ sắp thứ tự trên R m như sau: ≤ K := {(x, y) ∈ R m × R m | y − x ∈ K} (iii) Một quan hệ sắp thứ tự K là phản xứng nếu và chỉ nếu K là nón nhọn. Nhắc lại rằng, nón K ⊂ R m được gọi là nón nhọ n nếu K ∩(−K) = {0 m } Giả sử K l à một nón nhọn nào đó . Khi đó quan hệ sắp thứ tự trên R m ≤ K := {(x, y) ∈ R m × R m | y − x ∈ K} Nếu x ≤ K y với x, y ∈ R m thì y −x ∈ K. Vì K là nón nhọn x −y ∈ K chỉ khi x − y = 0 m hay y ≤ K x khi x = y. Do đó quan hệ sắp thứ tự ≤ K là phản xứng. 1.1.2 Nghiệm cực tiểu Định nghĩa 1.1.7. Cho Ω là một tập con khác rỗng của không gian tuyến tính R m được sắp thứ tự bởi nón lồi K. Một điểm ¯y ∈ Ω là một điểm K-cự c tiểu của tập Ω nếu (¯y −K) ∩ Ω ⊂ ¯y + K (1.1) Nếu nón K là nhọn thì (1.1) tương đương với (¯y −K) ∩ Ω = {¯y} Nếu cho y, y ∈ Ω ta có y − y ∈ K \ {0 m }, thì t a nói rằng y trội hơn y. 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.1.8. Một đi ểm ¯x ∈ Ω là một nghiệ m cực tiểu (không làm trội đư ợc, nghiệm hữu hiệu hay K-cực tiểu) của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) tương ứng với nón sắp thứ tự K nếu f(¯x) là một điểm K-cực tiểu của tập f(Ω). Tập tất cả các nghiệm cực tiểu tương ứng với nón K được kí hiệu M(f(Ω), K). Tập ảnh của tập tất cả các nghiệm cực tiểu E(f(Ω), K) := {f(x) | x ∈ M(f(Ω), K)} được gọi là tập hữu hiệu. Một điểm ¯y ∈ E(f(Ω), K) được gọi là điểm K-cực t i ểu, điểm không làm trội được,hay điểm hữu hiệu tương ứng với nón K. Nếu có m ột điểm f(x) ∈ f(Ω) với f(x) −f(¯x) ∈ K \{0 m } thì ta nói rằng f(x) được làm trội bởi f(¯x) và x được làm trội bởi ¯x một cách tương ứng. Cho K = R m + , điểm K-cực tiểu cũng được gọi là Ed g eword-Pareto-cực tiểu (EP-cực tiểu). Trong hình 1.2 là v í dụ về bài toán tối ưu hai mục tiêu. Tập Ω và f(Ω) là những nón nhọn sắp thứ tự. Tập hữu hiệu là phần đường tô đậm. Trong không gia n tuyến tính sắp thứ tự, tồn tại những điểm không thể so sá nh được với nhau như các điểm (1; 2) và (2; 1) trong R 2 tương ứng với 4 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... đa diện và được cảm sinh bởi ma trận cỡ s × m, có thể quy bài toán tìm K-cực tiểu của một bài toán tối ưu đa mục tiêu với m hàm mục tiêu về bài toán tìm điểm EP -cực tiểu của bài toán đa mục tiêu với s tiêu chuẩn Tuy nhiên nếu s ≥ m bài toán mới lại trở nên phức tạp hơn Ví dụ 1.2.5 Ta xét việc xác định K-cực tiểu của bài toán tối ưu đa mục tiêu: với nón sắp thứ tự ở đây   f (x)  1    min f2... http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 Phương pháp vô hướng hóa Để xác định nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) min f (x) các điều kiện ràng buộc g(x) ∈ C h(x) = 0q x∈S với tập ràng buộc Ω = {x ∈ S | g(x) ∈ C, h(x) = 0q } Một trong các phương pháp hay dùng để giải bài toán (MOP) là phương pháp vô hướng hóa Điều này được thực hiện, chẳng hạn bằng phương pháp tổng trọng số Xét bài toán vô hướng: m min wifi (x)... cho ¯ hàm mục tiêu của bài toán (SP(a,r)) Hệ quả 2.2.6 Nếu giá trị hàm mục tiêu của bài toán tối ưu (SP(a,r)) với a ∈ Rm , r ∈ int(Rm ) , không bị chặn thì M(f (Ω), Rm) nói cách khác + + không tồn tại điểm EP-cực tiểu của bài toán tối ưu đa mục tiêu có liên quan Một tính chất quan trọng của phương pháp vô hướng là có thể sinh ra ¯¯ tất cả các điểm K-cực tiểu (yếu) của bài toán tối ưu đa mục tiêu Nếu... {k}, với k ∈ {1, , m} Ngoài ra còn rất nhiều các phương pháp vô hướng hóa khác có thể được tìm thấy Tuy nhiên trong luận văn này, chúng tôi quan tâm tới phương pháp vô hướng hóa Pascoletti-Serafini 2.1 Tối ưu hóa Pascoletti-Serafini Pascoletti và Serafini đã đưa bài toán tối ưu đa mục tiêu trên về bài toán vô hướng hóa chứa tham số a ∈ Rm và r ∈ Rm Xét bài toán (SP (a, r)) : min t các điều kiện ràng buộc... với r bất kì thuộc vào int(K) (ii) Nếu x là một nghiệm K-cực tiểu của bài toán tối ưu đa mục tiêu ¯ (MOP), thì (0, x) là một nghiệm cực tiểu của bài toán (SP(a,r)) với tham ¯ số a := f (¯) và với r bất kì thuộc vào K \ 0m x ¯¯ (iii) Nếu (t, x) là một nghiệm cực tiểu của bài toán vô hướng (SP(a,r)), thì x là một nghiệm K-cực tiểu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) ¯ và a + t¯ − f (¯) ∈ ∂K với ∂K... tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa mục ¯ tiêu (MOP), thì (0, x) là một nghiệm cực tiểu địa phương của (SP(a,r)) ¯ với tham số a := f (¯) và với r ∈ int(K) bất kì x (v) Nếu x là nghiệm K-cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu đa mục ¯ tiêu (MOP), thì (0, x) là một nghiệm cực tiểu địa phương của (SP(a,r)) ¯ với tham số a := f (¯) và với r ∈ K \ {0m } bất kì x ¯¯ (vi) Nếu (t, x) là một nghiệm cực... y ∗ ∈ Rm | (y ∗ ) y ≥ 0 với mọi y ∈ K Một phương pháp vô hướng hóa khác để tìm EP-cực tiểu là dựa trên cực tiểu của chỉ một trong m mục tiêu, khi tất cả các mục tiêu còn lại được Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 16 http://www.lrc-tnu.edu.vn đưa vào tập ràng buộc Phương pháp vô hướng hóa này gọi là phương pháp hạn chế và được xác định bởi bài toán: min fk (x) điều kiện ràng buộc fi... nghiệm của (SP(a,r)) 2.2 Tính chất của vô hướng hóa PascolettiSerafini Ta giả sử K là nón khác rỗng, nhọn, đóng, sắp thứ tự trong Rm Định lý 2.2.1 Xét bài toán tối ưu vô hướng (SP(a,r)) với int(K) = ∅ (i) Nếu x là K cực tiểu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP), thì ¯ (0, x) là một nghiệm cực tiểu của bài toán (SP(a,r)) với tham số a := f (¯) ¯ x 19 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái... trị cực tiểu của (SP(a,r)).(Xem hình 2.2 với m = 2 và K = R2 ) + Bài toán vô hướng (SP(a,r)) có mọi tính chất quan trọng cần phải có của phương pháp vô hướng hóa xác định nghiệm cực tiểu của (MOP) Nếu ¯¯ (t, x) là nghiệm cực tiểu của (SP(a,r)) thì điểm x tối thiểu cũng là nghiệm ¯ yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) và bằng phương pháp thay đổi tham số (a, r) ∈ Rm × Rm , tất cả các điểm K-cực tiểu... là đa diện sinh bởi ma trận đơn vị m chiều Em Công việc tìm điểm K-cực tiểu của bài toán tới ưu đa mục tiêu tương ¯ ứng với nón nhọn sắp thứ tự sinh bởi ma trận K ∈ Rs×m , có thể quy về việc xác định điểm EP -cực tiểu của bài toán tối ưu đa mục tiêu ¯ min Kf (x) thỏa mãn điều kiện ràng buộc x∈Ω ¯ ¯ ¯ với s hàm mục tiêu (k 1) f (x), (k 2) f (x), , (k s) f (x).( Xem [] trang 16) Bổ đề 1.2.4 Xét bài toán . là đa diện và được cảm sinh bởi ma trận cỡ s ×m, có t hể quy bài toán tìm K-cực tiểu của một bài toán tối ưu đa mục tiêu với m hàm mục tiêu về bài toán tìm điểm EP -cực tiểu của bài toá n đa mục. KHOA HỌC NGUYỄN KIM THANH MỘT PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KIM THANH MỘT PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái