Một phương pháp vô hướng hóa giải bài toán tối ưu đa mục tiêu
Trang 1ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN KIM THANH
MỘT PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2011
Trang 2ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
NGUYỄN KIM THANH
MỘT PHƯƠNG PHÁP VÔ HƯỚNG HÓA GIẢI BÀI TOÁN TỐI ƯU ĐA MỤC TIÊU
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60.46.36
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học:
PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG
THÁI NGUYÊN - 2011
Trang 3Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệptrường THPT Lưu Nhân Chú - Thái Nguyên đã tạo điều kiện cho tôi hoànthành luận văn này.
Tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè và gia đình đã hết lòng động viêntôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn
Thái Nguyên, ngày 19 tháng 10 năm 2011
Học viên
Nguyễn Kim Thanh
Trang 4Lời nói đầu
Bài toán tối ưu hóa ngày nay đang được nghiên cứu và ứng dụng rộngrãi vào nhiều lĩnh vực như kĩ thuật, kinh tế và khoa học Trong thời giangần đây, bài toán tối ưu đa mục tiêu được quan tâm nhiều vì nó là môhình của nhiều bài toán thực tế Bài toán tối ưu này có hàm mục tiêu nhậngiá trị vectơ và đòi hỏi các khái niệm mới về nghiệm Việc tính toán tậpnghiệm, thậm chí là tìm ra một nghiệm của bài toán nói chung là khó Vìvậy phát triển các phương pháp số hữu hiệu giải các bài toán tối ưu đamục tiêu, hiện nay đang được quan tâm đặc biệt
Khái niệm cực tiểu đầu tiên được đưa ra bởi Edgeworth năm 1881, vàPareto năm 1896 Để xây dựng khái niệm này, Pareto đã sử dụng kháiniệm sắp thứ tự theo nón trong không gian ảnh Sau đó Kuhn và Tucker,vào năm 1951 đã nghiên cứu kĩ hơn và chặt chẽ hơn bằng toán học Kể từ
đó bài toán tối ưu đa mục tiêu trở thành một lĩnh vực được nghiên cứutích cực Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu giải quyết bài toán này vàđưa ra nhiều kết quả quan trọng, xem [1,2]
Ở thế kỉ trước, mục tiêu nghiên cứu chính dựa trên các phương pháplặp để xác định duy nhất một nghiệm đơn trong một quá trình lặp đi lặplại Bằng cách ấy, các phép tính số được tính toán liên tiếp với hàm quyếtđịnh được đưa ra bởi mục tiêu mong muốn cho đến khi nào nghiệm đượctìm thấy
Tuy nhiên, với sự phát triển của công nghệ thông tin và tốc độ của máytính hiện nay đã có thể xác định được tập hữu hiệu một cách dễ dàng hơn
Trang 5Mục đích của luận văn là trình bày một phương pháp tìm tập hữu hiệunhờ phương pháp số dựa theo tài liệu [3] Trong [3] , Gabriele Eichfelder
đã sử dụng phương pháp tiếp cận vô hướng hóa phụ thuộc tham số củaPascoletti và Serafini
Nhiệm vụ của luận văn là trình bày một cách chi tiết, có chứng minhmột số định lí, nhận xét, trình bày lại thuật toán giải bài toán tối ưu haimục tiêu
Luận văn của gồm 3 chương:
Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị của luận văn Trong phần đầucủa chương này, chúng tôi nhắc lại những khái niệm và kết quả cơ bản củatối ưu đa mục tiêu, chẳng hạn như các khái niệm cực tiểu và các tính chấtcủa nón sắp thứ tự, đặc biệt là nón đa diện
Chương 2 dành riêng tìm hiểu kĩ về phương pháp vô hướng hóa giảibài toán tối ưu
Vô hướng hóa được đưa ra dựa trên vô hướng hóa Pascoletti-Serafini Đây
là một trong hai chương chính của luận văn
Chương 3 Trong chương này chủ yếu sử dụng kết quả trước để pháttriển thuật toán điều khiển việc lựa chọn tham số trong tiếp cận vô hướnghóa Pascoletti-Serafini
Và cuối cùng là kết luận và tài liệu tham khảo
Thái Nguyên, năm 2011Học viên
Nguyễn Kim Thanh
Trang 6Mục lục
1.1 Kiến thức cơ sở 2
1.1.1 Quan hệ sắp thứ tự 2
1.1.2 Nghiệm cực tiểu 3
1.1.3 Nghiệm cực tiểu yếu 6
1.2 Nón đa diện sắp thứ tự 11
2 Phương pháp vô hướng hóa 16 2.1 Tối ưu hóa Pascoletti-Serafini 17
2.2 Tính chất của vô hướng hóa Pascoletti-Serafini 19
2.3 Thiết lập thông số hạn chế cho vô hướng hóa Pascoletti-Serafini 24 2.3.1 Trường hợp với hàm hai mục tiêu 26
2.3.2 Trường hợp tổng quát 33
3 Điều khiển tham số 41 3.1 Điều khiển tham số trong trường hợp hai mục tiêu 42
3.2 Thuật toán cho tối ưu hóa Pascoletti-Serafini 49
Trang 7λ ≥ 0, x, y ∈ C.
Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP):
min f(x)với các hạn chế
g(x) ∈ C,h(x) = 0q,
x ∈ S
Với m = 1 bài toán (MOP) trở thành bài toán tối ưu hàm một mụctiêu quen thuộc Trong luận văn này ta chủ yếu quan tâm tới hàm đa mụctiêu (m ≥ 2 )
Tập Ω := {x ∈ S | g(x) ∈ C, h(x) = 0q} được gọi là tập ràng buộc hay
Trang 8tập hạn chế của bài toán (MOP).
Ta giả sử Ω 6= ∅ và định nghĩa f(Ω) := {f(x) ∈ Rm | x ∈ Ω}
1.1 Kiến thức cơ sở
1.1.1 Quan hệ sắp thứ tự
Định nghĩa 1.1.1 Một tập con khác rỗng < ∈ Rm× Rm được gọi là quan
hệ hai ngôi < trên Rm
Ta viết x<y nếu (x, y) ∈ < Quan hệ hai ngôi thường kí hiệu theo thứ tựquen thuộc là ≤
Định nghĩa 1.1.2 Một quan hệ hai ngôi ≤ trên Rm được gọi là sắp thứ
tự bộ phận trên Rm nếu với x, y, z, w ∈ Rm tùy ý ta có:
Trang 9Nhận xét 1.1.6 :
(i) Một quan hệ sắp thứ tự ≤m trên Rm xác định một nón lồi
K :={x ∈ Rm | 0m ≤ x}
Nón K lúc này được gọi là nón sắp thứ tự
(ii) Cho K là một nón lồi bất kì trên Rm Khi đó ta xác định được mộtquan hệ sắp thứ tự trên Rm như sau:
≤K:= {(x, y) ∈ Rm × Rm | y − x ∈ K}
(iii) Một quan hệ sắp thứ tự K là phản xứng nếu và chỉ nếu K là nón nhọn.Nhắc lại rằng, nón K ⊂ Rm được gọi là nón nhọn nếu K ∩ (−K) = {0m}Giả sử K là một nón nhọn nào đó Khi đó quan hệ sắp thứ tự trên Rm
≤K:= {(x, y) ∈ Rm × Rm | y − x ∈ K}
Nếu x ≤K y với x, y ∈ Rm thì y − x ∈ K Vì K là nón nhọn x − y ∈ K chỉkhi x − y = 0m hay y ≤K x khi x = y Do đó quan hệ sắp thứ tự ≤K làphản xứng
1.1.2 Nghiệm cực tiểu
Định nghĩa 1.1.7 Cho Ω là một tập con khác rỗng của không gian tuyếntính Rm được sắp thứ tự bởi nón lồi K Một điểm ¯y ∈ Ω là một điểmK-cực tiểu của tập Ω nếu
Trang 10Định nghĩa 1.1.8 Một điểm ¯x ∈ Ω là một nghiệm cực tiểu (không làmtrội được, nghiệm hữu hiệu hay K-cực tiểu) của bài toán tối ưu đa mụctiêu (MOP) tương ứng với nón sắp thứ tự K nếu f(¯x) là một điểm K-cựctiểu của tập f(Ω).
Tập tất cả các nghiệm cực tiểu tương ứng với nón K được kí hiệu M(f(Ω), K).Tập ảnh của tập tất cả các nghiệm cực tiểu
E(f(Ω), K) := {f(x) | x ∈ M(f(Ω), K)}
được gọi là tập hữu hiệu
Một điểm ¯y ∈ E(f(Ω), K) được gọi là điểm K-cực tiểu, điểm không làmtrội được,hay điểm hữu hiệu tương ứng với nón K
Nếu có một điểm f(x) ∈ f(Ω) với f(x) − f(¯x) ∈ K \ {0m} thì ta nói rằng
f (x) được làm trội bởi f (¯x) và x được làm trội bởi ¯x một cách tương ứng.Cho K = Rm
+, điểm K-cực tiểu cũng được gọi là Edgeword-Pareto-cực tiểu(EP-cực tiểu)
Trong hình 1.2 là ví dụ về bài toán tối ưu hai mục tiêu Tập Ω và f(Ω)
là những nón nhọn sắp thứ tự Tập hữu hiệu là phần đường tô đậm
Trong không gian tuyến tính sắp thứ tự, tồn tại những điểm không thể
so sánh được với nhau như các điểm (1; 2) và (2; 1) trong R2 tương ứng với
Trang 11nón sắp thứ tự tự nhiên Đó là lí do tại sao bài toán tối ưu tổng quát dễ
có vô số nghiệm Bởi vì việc tính toán trực tiếp tất cả các nghiệm trongtrường hợp tổng quát là không thể nên ta cố gắng đưa ra xấp xỉ tiệm cậntheo điểm của tập hữu hiệu với độ xấp xỉ cao nhất
Trong trường hợp quan hệ sắp thứ tự toàn phần và nếu bài toán đa mụctiêu là giải được thì chỉ có duy nhất một nghiệm cực tiểu trong không gianảnh
Một quan hệ sắp thứ tự được gọi là sắp thứ tự toàn phần nếu với mọi
x, y ∈ Rm hoặc x ≤ y hoặc y ≤ x là đúng Nếu một quan hệ sắp thứ tựđược đặc trưng bởi một nón lồi K ⊂ Rm thì nó là sắp thứ tự toàn phầnnếu và chỉ nếu K ∪ (−K) = Rm
Ví dụ quan hệ sắp thứ tự tự điển xác định bởi nón
Trang 121.1.3 Nghiệm cực tiểu yếu
Định nghĩa 1.1.9 Cho K là một nón nhọn sắp thứ tự với int(K) 6= ∅.Một điểm ¯x ∈ Ω là một nghiệm cực tiểu yếu của (MOP) tương ứng với Knếu
(¯y − int(K)) ∩ f(Ω) = ∅Tập tất cả các nghiệm cực tiểu yếu tương ứng với nón K được kí hiệu là
Mw(f (Ω), K) Tập ảnh của tập tất cả các điểm cực tiểu yếu
Ew(f (Ω), K) := {f(x) | x ∈ Mw(f (Ω), K)}được gọi là tập các điểm hữu hiệu yếu tương ứng với nón K
Ta cũng xét tập các điểm hữu hiệu yếu đối với K = Rm
+.Các điểm K-cực tiểu là các điểm cực tiểu tương ứng với nón int(K)∪{0m}
Vì vậy xét các mệnh đề dưới đây ta xét trong trường hợp int(K) khác rỗng
Ta cũng có một kết quả tương tự cho tập các điểm cực tiểu yếu
Bổ đề 1.1.11 Cho K1 và K2 là các nón nhọn sắp thứ tự với phần trongkhác rỗng và K1 ⊂ K2 Khi đó ta có tập các nghiệm cực tiểu yếu
Mw(f (Ω), K2) ⊂ Mw(f (Ω), K1)
Chứng minh Vì K1 ⊂ K2 nên int(K1) ⊂ int(K2) và vì vậy
Mw(f (Ω), K2) = M(f(Ω), int(K2)) ∪ {0m}
Trang 13⊂ M(f(Ω), int(K1))∪ {0m}
= Mw(f (Ω), K1)
Định nghĩa 1.1.12 Cho X là một không gian tuyến tính Phần trong đại
số của một tập khác rỗng K ⊂ X, hay nhân của K được xác định bởicor(K) :=
¯
x ∈ K | với mỗi x ∈ X, ∃¯λ > 0 sao cho ¯x + λx ∈ K, ∀λ ∈ [0, ¯λ]
Bổ đề 1.1.13 Cho X là một không gian tuyến tính K là một nón lồitrong X Ta có:
(i) cor(K) là một tập lồi,
(ii) Nếu cor(K)6= ∅ thì cor(K) ∪ {0X} cũng là một nón lồi,
(iii) Trong trường hợp X = Rm thì int(K) = cor(K)
Chứng minh (i) Lấy x1, x2 ∈ cor(K) và t ∈ (0, 1)
Theo định nghĩa ta có
∀x ∈ X, ∃¯λ > 0 sao cho x1 + λx ∈ K và x2 + λx ∈ K, ∀λ ∈ [0, ¯λ]
Vì K lồi nên ta có :
tx1 + (1− t)x2 + λx = t(x1 + λx) + (1 − t)(x2 + λx)∈ K, ∀λ ∈ [0, ¯λ]
Trang 14Vậy tx1 + (1− t)x2 ∈ cor(K) hay cor(K) lồi.
(ii) Lấy ¯x bất kì thuộc cor(K) và µ > 0 Với mỗi x ∈ X có ¯λ > 0 sao cho
(iii) Trong trường hợp X = Rm thì dễ dàng ta có int(K) = cor(K)
Định nghĩa 1.1.14 Kí hiệu L(K) là không gian con nhỏ nhất của Xchứa tập K ⊂ X Khi đó phần trong đại số tương đối được định nghĩa bởiicr(K) :=
+× 0 thì int(K) = ∅ và ta không thể xác định nghiệm cực tiểuyếu Tuy nhiên
fi(¯ − fi(x)
fj(x)− fj(¯ ≤ M
Trang 15Dưới đây chúng ta trình bày một số quy tắc tính toán có lợi sau:
Bổ đề 1.1.17 Cho K là một nón khác rỗng sắp thứ tự, một số α > 0, vàcác tập f (Ω]), ˜f( ˜Ω) ⊂ Rm đã biết Khi đó:
(i) E(αf(Ω), K) = αE(f(Ω), K),
(ii) E(f(Ω) + ˜f ( ˜Ω), K) ⊂ E(f(Ω), K) + E( ˜f ( ˜Ω), K),
(iii) E(f(Ω), K) ⊃ E(f(Ω) + K, K),
(iv) Nếu K là một nón lồi nhọn thì
Trang 16E(f(Ω) + ˜f ( ˜Ω), K)⊂ E(f(Ω), K) + E( ˜f ( ˜Ω), K)
(iii) Việc chứng minh trở nên tầm thường nếu f (Ω) = ∅
Xét trường hợp f(Ω) 6= ∅ Giả sử y ∈ E(f(Ω+K), K) nhưng y 6∈ E(f(Ω), K).Nếu y 6∈ f(Ω) thì tồn tại y0 ∈ f(Ω) và d 6= 0, d ∈ K sao cho y = y0+ d Vì
0 ∈ K, f(Ω) ∈ f(Ω + K) suy ra y 6∈ (E)(f(Ω + K), K) mâu thuẫn Nếu
y ∈ f(Ω) hiển nhiên mâu thuẫn
(iv) Giả sử K là nón lồi nhọn, y ∈ E(f(Ω), K) nhưng y 6∈ E(f(Ω + K), K).Tồn tại y0 ∈ f(Ω) + K với y − y0 = d0 ∈ K \ {0} Khi đó y0 = y00 + d00 với
y00 ∈ f(Ω) , d00 ∈ K Do đó y = y00 + d0 + d00 và d0 + d00 ∈ K ,vì K là nónlồi Do K nhọn, d0+ d00 6= 0 và vì vậy y 6∈ E(f(Ω), K), dẫn tới mâu thuẫn
Bổ đề được chứng minh
Định lí dưới đây chỉ ra rằng chỉ xét cần biên ∂f(Ω) của tập f(Ω) là đủ
để xác định tất cả các nghiệm cực tiểu
Định lý 1.1.18 Cho K là một nón khác rỗng sắp thứ tự với K 6= {0m} Khi đó:
E(f(Ω), K) ⊂ ∂f(Ω)
Điều này cũng đúng cho các điểm hữu hiệu yếu
Định lý 1.1.19 Cho K là một nón nhọn với int(K) 6= ∅ Khi đó
Trang 17Định nghĩa 1.1.20 Cho K là một nón nhọn đóng sắp thứ tự thỏa mãnint(K) 6= ∅ Một điểm ¯x ∈ Ω là một nghiệm cực tiểu địa phương củabài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) tương ứng với nón sắp thứ tự K nếu
có một lân cận U của ¯x sao cho không tồn tại y ∈ f(Ω ∩ U) \ f(¯x) với
f (¯x) ∈ y + int(K)
Định nghĩa 1.1.21 Cho ∈ Rm với i > 0, i = 1, , m Một điểm ¯x ∈ Ω
là một nghiệm − EP − cực tiểu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP)nếu không tồn tại x ∈ Ω với
Định nghĩa 1.2.2 Một tập K ⊂ Rm là một nón lồi hữu hạn sinh nếu cómột bộ vector a1, a2, , as, s ∈ N, chứa trong Rm sao cho K có thể được
Trang 18Bổ đề 1.2.3 ([5]) Một nón lồi K là đa diện nếu và chỉ nếu nó là hữu hạnsinh.
Nếu nón K có thể được biểu diễn dạng
K =
x ∈ Rm | (¯ki)>x ≥ 0, i = 1, , s thì ta có thể nói rằng K được sinh hay được tạo bởi ma trận
Công việc tìm điểm K-cực tiểu của bài toán tới ưu đa mục tiêu tươngứng với nón nhọn sắp thứ tự sinh bởi ma trận ¯K ∈ Rs ×m, có thể quy vềviệc xác định điểm EP -cực tiểu của bài toán tối ưu đa mục tiêu
min ¯Kf (x)thỏa mãn điều kiện ràng buộc
x ∈ Ωvới s hàm mục tiêu (¯k1)>f (x), (¯k2)>f (x), , (¯ks)>f (x).( Xem [] trang 16)
Bổ đề 1.2.4 Xét bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) với nón đa diện sắpthứ tự K được biểu diễn bởi
K =
x ∈ Rm | ¯Kx ≥s 0s
Trang 19
với ¯(K) ∈ Rs ×m và ker( ¯K) = {0m} Khi đó
E(f(Ω), K) = y ∈ f(Ω) | ¯Ky ∈ E( ¯Kf (Ω), Rs+) và
M(f(Ω), K) = M( ¯Kf (Ω), Rs+)thỏa mãn
¯
Kf (Ω) := ¯Ky ∈ Rs | y ∈ f(Ω)
Do đó nếu nó sắp thứ tự là đa diện và được cảm sinh bởi ma trận cỡ
s× m, có thể quy bài toán tìm K-cực tiểu của một bài toán tối ưu đa mụctiêu với m hàm mục tiêu về bài toán tìm điểm EP -cực tiểu của bài toán
đa mục tiêu với s tiêu chuẩn Tuy nhiên nếu s ≥ m bài toán mới lại trởnên phức tạp hơn
Ví dụ 1.2.5 Ta xét việc xác định K-cực tiểu của bài toán tối ưu đa mụctiêu:
Trang 20và chỉ khi ¯x ∈ Ω là nghiệm của bài toán:
Trong trường hợp hai mục tiêu, mọi nón sắp thứ tự là hữu hạn sinh
Ta có:
Bổ đề 1.2.6 Cho K ⊂ R2 là một nón nhọn đóng sắp thứ tự với K 6= {02}.Khi đó K là một đa diện và hoặc có một k ∈ R2 \ {02} sao cho
Ta bắt đầu bằng việc giải bài toán:
min ϕcác điều kiện ràng buộc
cosϕsinϕ
Trang 21các điều kiện ràng buộc
cosϕsinϕ
ϕ ∈ [0, 2π]
với nghiệm cực đại ϕ2
Vì nón K là đóng và không tầm thường nên luôn tồn tại nghiệmcủa (1.3) và (1.4) Vì nón K là nhọn nên ta có ϕ2 ∈ [ϕ1, ϕ1 + π]
Nếu ϕ1 = ϕ2 thì
K =
λk | k = (cosϕ1, sinϕ1)>, λ > 0
.Nếu ϕ1 6= ϕ2 thì do tính lồi của K
Ta có ˜l1 := (cosϕ1, sinϕ1)> và ˜l2 := (cosϕ2, sinϕ2)> với ˜l1, ˜l2 độc lậptuyến tính do tính nhọn của K
Với các vector l1, l2 tương ứng trực giao với el1, el2 ta có kết quả sau :
K = {y ∈ R2 | l1>y ≥ 0, l2>y ≥ 0}
Trang 22Chương 2
Phương pháp vô hướng hóa
Để xác định nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP)
min f(x)các điều kiện ràng buộc
g(x) ∈ Ch(x) = 0q
x∈ Svới tập ràng buộc Ω = {x ∈ S | g(x) ∈ C, h(x) = 0q}
Một trong các phương pháp hay dùng để giải bài toán (MOP) là phươngpháp vô hướng hóa Điều này được thực hiện, chẳng hạn bằng phươngpháp tổng trọng số Xét bài toán vô hướng:
K∗ =
y∗ ∈ Rm | (y∗)>y ≥ 0 với mọi y ∈ K .Một phương pháp vô hướng hóa khác để tìm EP-cực tiểu là dựa trên cựctiểu của chỉ một trong m mục tiêu, khi tất cả các mục tiêu còn lại được
Trang 23đưa vào tập ràng buộc Phương pháp vô hướng hóa này gọi là phương pháp
hạn chế và được xác định bởi bài toán:
min fk(x)điều kiện ràng buộc
fi(x)≤ , i = {1, , m}
ở đây, các tham số là các cận trên i, i = {1, , m} \ {k}, với k ∈ {1, , m}.Ngoài ra còn rất nhiều các phương pháp vô hướng hóa khác có thể đượctìm thấy Tuy nhiên trong luận văn này, chúng tôi quan tâm tới phươngpháp vô hướng hóa Pascoletti-Serafini
2.1 Tối ưu hóa Pascoletti-Serafini
Pascoletti và Serafini đã đưa bài toán tối ưu đa mục tiêu trên về bài toán
vô hướng hóa chứa tham số a ∈ Rm và r ∈ Rm
Xét bài toán (SP (a, r)) :
min tcác điều kiện ràng buộc
a + tr− f(x) ∈ Kg(x) ∈ Ch(x) ∈ 0q
t∈ R, x ∈ SBài toán này có tham số phụ thuộc vào tập ràng buộc :
(a, r) :=
(t, x)∈ Rn+1 | a + tr − f(x) ∈ K, x ∈ Ω
Trang 24Ta giả sử nón K là nón khác rỗng, lồi, đóng, nhọn Phát biểu của bài toántối ưu vô hướng dưới dạng này tương ứng với định nghĩa của K-cực tiểu.Một điểm ¯x ∈ Ω sao cho ¯y = f(¯x) là K-cực tiểu nếu
(¯y − K) ∩ f(Ω) = {¯y} (nhìn hình 2.1 với m = 2 và K = R2
+)
Nếu chúng ra viết lại bài toán (SP(a,r)) như sau:
min tvới điều kiện ràng buộc
Trang 25(a + tr − K) ∩ f(Ω) giảm dần tới tập rỗng Giá trị nhỏ nhất ¯t sao cho(a + ¯tr− K) ∩ f(Ø) = ∅ là giá trị cực tiểu của (SP(a,r)).(Xem hình 2.2 với
m = 2 và K = R2+)
Bài toán vô hướng (SP(a,r)) có mọi tính chất quan trọng cần phải có củaphương pháp vô hướng hóa xác định nghiệm cực tiểu của (MOP) Nếu(¯t, ¯x) là nghiệm cực tiểu của (SP(a,r)) thì điểm ¯x tối thiểu cũng là nghiệmyếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) và bằng phương pháp thay đổitham số (a, r) ∈ Rm × Rm, tất cả các điểm K-cực tiểu của (MOP) có thểtìm thấy được nghiệm của (SP(a,r))
2.2 Tính chất của vô hướng hóa
Pascoletti-Serafini
Ta giả sử K là nón khác rỗng, nhọn, đóng, sắp thứ tự trong Rm
Định lý 2.2.1 Xét bài toán tối ưu vô hướng (SP(a,r)) với int(K) 6= ∅.(i) Nếu ¯x là K cực tiểu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP), thì(0, ¯x) là một nghiệm cực tiểu của bài toán (SP(a,r)) với tham số a := f (¯x)
Trang 26và với r bất kì thuộc vào int(K).
(ii) Nếu ¯x là một nghiệm K-cực tiểu của bài toán tối ưu đa mục tiêu(MOP), thì (0, ¯x) là một nghiệm cực tiểu của bài toán (SP(a,r)) với tham
số a := f (¯x) và với r bất kì thuộc vào K \ 0m
(iii) Nếu (¯t, ¯x) là một nghiệm cực tiểu của bài toán vô hướng (SP(a,r)), thì
¯
x là một nghiệm K-cực tiểu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP)
và a + t¯r − f(¯x) ∈ ∂K với ∂K là biên của nón K
(iv) Nếu ¯x là nghiệm K-cực tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa mụctiêu (MOP), thì (0, ¯x) là một nghiệm cực tiểu địa phương của (SP(a,r))với tham số a := f (¯x) và với r ∈ int(K) bất kì
(v) Nếu ¯x là nghiệm K-cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu đa mụctiêu (MOP), thì (0, ¯x) là một nghiệm cực tiểu địa phương của (SP(a,r))với tham số a := f (¯x) và với r ∈ K \ {0m} bất kì
(vi) Nếu (¯t, ¯x) là một nghiệm cực tiểu địa phương của (SP(a,r)), thì ¯x làmột nghiệm K-cực tiểu yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (MOP) và
a + t¯r − f(¯x) ∈ ∂K
Chứng minh (i) Đặt a = f (¯x) và chọn r ∈ int(K) bất kì Khi đó điểm(0, ¯x) là chấp nhận được cho (SP(a,r)) Đây là nghiệm cực tiểu, bởi vì giả
sử tồn tại một điểm chấp nhận được (t0, x0) sao cho t < 0 và k0 ∈ K với
a + t0r− f(x0) = k0 Vì vậy ta có f(¯x) = f(x0) + k0− t0r với k0− t0r ∈ int(K)
và vì vậy ta có f(¯x) ∈ f(x0) + int(K) mâu thuẫn với ¯x là nghiệm K-cựctiểu yếu
(ii) Đặt a = f (¯x) và chọn r ∈ K \ {0m} bất kì
Khi đó điểm 0, ¯x là chấp nhận được của (SP(a,r)) Đây cũng là một nghiệmcực tiểu vì giả sử tồn tại vô hướng t0 < 0 và một điểm x0 ∈ Ω sao cho (t0, x0)thỏa mãn (SP(a,r)) và ak0 ∈ K với a + t0r − f(x0) = k0
Điều này dẫn tới f(¯x) = f(x0) + k0 − t0r ∈ f(x0) + K Vì tính K-cực tiểucủa ¯x ta suy ra f(¯x) = f(x0) và vì vậy k0 = t0r Vì tính nhọn của nón lồi
Trang 27sắp thứ tự K,k ∈ K0 và t0r ∈ −K Từ đó t0r = k0 = 0m mâu thuẫn với
t0 < 0 và r 6= 0m
(iii) Giả sử rằng ¯x không phải là K-cực tiểu Khi đó có một điểm x0 ∈ Ω
và k0 ∈ int(K) sao cho f(¯x) = f(x0) + k0 Vì (¯t, ¯x) là một nghiệm cực tiểu
và vì vậy là điểm chấp nhận được của (SP(a,r)) Tồn tại ¯k ∈ K sao cho
(iv) Ta giả sử không là nghiệm cực tiểu địa phương của (SP(a,r)) Có mộtlân cận nào đó U = Ut × Ux ⊂ Rn+1 của (0, ¯x) Tồn tại điểm chấp nhậnđược (t0, x0) với t0 < 0 và k0 ∈ K sao cho a + t0r − f(x0) = k0 Với a = f(¯x)
ta nhận được f(¯x) = f(x0) + k0 − t0r vì k0− t0r ∈ int(K) và bởi vì lân cận
Ux là bất kì, ¯x không thể là nghiệm K-cực tiểu địa phương yếu
(v) Với đối số tương tự như chứng minh trước ta có thể chỉ ra rằng nếu tồntại một điểm chấp nhận được (t0, x0) sao cho t0 < 0 và x0 nằm trong một lâncận của ¯x ,điều này dẫn tới f(¯x) = f(x0) + k0 − t0r sao cho r ∈ K \ {0m}
Vì vậy ta có f(¯x) ∈ f(x0) + K \ {0m} mâu thuẫn với ¯x là K-cực tiểu địaphương
(vi) Đặt U = Ut × Ux ⊂ Rn+1 là một lân cận sao cho là nghiệm cực tiểuđịa phương của (SP(a,r)) Khi đó tồn tại ¯k ∈ K sao cho
Ta giả sử rằng ¯x không là điểm K-cực tiểu địa phương yếu của bài toán
Trang 28đa mục tiêu (MOP) Khi đó không tồn tại lân cận ¯Ux của ¯x sao cho
f (Ω∩ ¯Ux)∩ (f(¯x) − int(K)) = ∅
Vì vậy, cho Ux tồn tại một điểm x0 ∈ Ω ∩ Ux sao chof(x0) ∈ f(¯x) − int(K)
và vì vậy có một k0 ∈ int(K) sao cho
f (x0) = f (¯x)− k0.Cùng với (2.1) ta nhận được f(x0) = a + ¯xr− ¯k − k0 Vì ¯(k) + k0 ∈ int(K)tồn tại > 0 sao cho ¯t− ∈ Ut và ¯k + k0 − r ∈ int(K) Ta có
f (x0) = a + (¯t− )r − (¯k + k0− r)
và vì vậy (¯t− , x0) ∈ U là chấp nhận được của bài toán (SP(a,r)) sao cho
¯t− < ¯t mâu thuẫn với (¯t, ¯x) là nghiệm cực tiểu địa phương
Định lý 2.2.2 Ta xét bài toán tối ưu vô hướng (SP(a,r)) với a ∈ Rm,
r ∈ L(K) Nếu (¯t, ¯x) là nghiệm cực tiểu của bài toán (SP(a,r)) thì ¯x lànghiệm cực tiểu tương ứng với icr(K) ∪ {0m}
Định lý 2.2.3 Đặt K ⊂ Rm là một nón nhọn lồi đóng với int(K) 6= ∅ vàcho f (Ω) + K là đóng và lồi Giả sử E(f(Ω), K) 6= ∅ Khi đó
n
(a, r)∈ Rm × int(K) | X(a, r) 6= ∅o = Rm × int(K)
Nói cách khác cho một tham số (a, r) ∈ Rm × int(K) tồn tại một nghiệmcực tiểu (SP(a,r))
Hệ quả 2.2.4 Cho K ⊂ Rm là nón lồi đóng nhọn với int(K) 6= ∅ và cho
f (Ω) + K là đóng và lồi Nếu tồn tại một tham số (a, r) ∈ Rm × int(K)sao cho (SP(a,r)) không có nghiệm cực tiểu khi đó E(f(Ω), K) = ∅
Trang 29r i(fi(¯ − ai) với i = 1, , m.
Tiếp theo chúng ta giả sử rằng có một điểm chấp nhận được (t, x) của(SP(a,r)) với t < ¯t Khi đó x ∈ Ω và vì với r > 0, i = 1, , mvà (2.2) ta có
fi(x)≤ ai + tri < ai + ¯tri ≤ fi(¯x) với i = 1, , mmâu thuẫn với điều kiện ¯x là EP-cực tiểu yếu Vì vậy ¯t bị chặn dưới chohàm mục tiêu của bài toán (SP(a,r))
Hệ quả 2.2.6 Nếu giá trị hàm mục tiêu của bài toán tối ưu (SP(a,r))với a ∈ Rm, r ∈ int(Rm
+) , không bị chặn thì M(f(Ω), Rm
+) nói cách kháckhông tồn tại điểm EP-cực tiểu của bài toán tối ưu đa mục tiêu có liênquan
Một tính chất quan trọng của phương pháp vô hướng là có thể sinh ratất cả các điểm K-cực tiểu (yếu) của bài toán tối ưu đa mục tiêu Nếu (¯t, ¯x)
là một nghiệm cực tiểu của bài toán vô hướng hóa bởi Pascoletti-Serafinivới ¯x thuộc nghiệm K-cực tiểu yếu nhưng không phải là K-cực tiểu chúng
ta có tính chất sau cho các điểm làm trội điểm f(¯x)
Định lý 2.2.7 Nếu điểm (¯t, ¯x) là một nghiệm cực tiểu của (SP(a,r)) saocho ¯k := a + ¯tr − f(¯x) và nếu tồn tại một điểm y = f(x) ∈ f(Ω) làm trộiđiểm f (¯x) tương ứng với nón K, khi đó điểm (¯t, x) cũng là một nghiệm cựctiểu của (SP(a,r)) và tồn tại k ∈ ∂K, k 6= 0m, sao cho a+¯tr−f(x) = ¯k+k
Từ đó chúng ta có thể có ngay:
Hệ quả 2.2.8 Nếu điểm (¯t, ¯x) là một cực tiểu duy nhất ảnh của bài vôhướng (SP(a,r) tương ứng f , có nghĩa là không có một nghiệm cực tiểu(t, x) sao cho f (x) = f (¯x) nào, khi đó là một nghiệm K-cực tiểu của bàitoán tối ưu đa mục tiêu (MOP)