Tích phân và ứng dụng trong giải toán trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẶNG THỊ THÚY VÂN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẶNG THỊ THÚY VÂN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HỒNG TRÍ Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tô hướng dẫn trực tiếp TS.Lê Hồng Trí Các số liệu, kết trình bày luận văn trung thực, khách quan chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả luận văn Đặng Thị Thúy Vân MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.Tính cấp thiết đề tài Mục tiêu nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiêm cứu Phương pháp nghiên cứu Bố cục luận văn CHƯƠNG 1: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1.1.NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 1.2.BÀI TỐN TÌM DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG 1.3 CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 1.4 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH 20 1.5 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 22 1.5.1 Sử dụng nguyên hàm 22 1.5.2 Phương pháp phân tích 22 1.5.3 Phương pháp đổi biến số 23 1.5.4 Phương pháp tích phân phần 27 1.6 CƠNG THỨC TÍCH PHÂN TRUY HỒI, ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN 28 1.6.1 Cơng thức tích phân truy hồi 28 1.6.2 Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân 29 1.6.3 Giải phương trình, bất phương trình tích phân 31 1.7 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 35 1.7.1 Tích phân suy rộng loại 35 1.7.2 Tích phân suy rộng loại 37 CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN CỦA CÁC DẠNG HÀM SỐ ĐẶC BIỆT 39 2.1 HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 39 2.2 HÀM HỮU TỈ 41 2.3 HÀM LƯỢNG GIÁC 50 2.4 HÀM VÔ TỈ 52 2.5 HÀM SIÊU VIỆT 55 2.6 CÁC HÀM CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT KHÁC 56 CHƯƠNG 3: CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN 61 3.1 TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG 61 3.2 TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG PHẲNG 67 3.3 TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ 70 3.3.1 Tính thể tích vật thể biết diện tích thiết diện ngang 70 3.3.2 Thể tích vật thể trịn xoay 72 3.3.3 Diện tích mặt tròn xoay 74 3.4 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 78 3.5 TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ 80 3.6 GIẢI PHUƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 81 3.7 TÍNH GIỚI HẠN DÃY 84 3.8 GIẢI TOÁN TỔ HỢP 86 KẾT LUẬN 89 TÀI LIỆU THAM KHẢO 90 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU f : Hàm số f(x) R : Tập hợp số thực ® : Dẫn đến Û : Tương đương Þ : Suy " : Với $ : Tồn MỞ ĐẦU 1.Tính cấp thiết đề tài Tích phân khái niệm tốn học, với phép tốn ngược vi phân, đóng vai trị chủ chốt lĩnh vực giải tích Có thể hiểu đơn giản, tích phân diện tích Giả sử, cần tính diện tích hình phẳng bao đoạn thẳng, ta việc chia hình thành hình nhỏ đơn giản biết cách tính diện tích như: tam giác, hình vng, hình thang, hình chữ nhật… Nếu hình phức tạp hơn, bao đoạn thẳng lẫn đường cong, ta chia thành hình nhỏ, có thêm hình thang cong Tích phân giúp ta tính diện tích hình thang cong đó, nhiều ứng dụng khác Phép tính tích phân nhà bác học sử dụng từ trước kỉ XVIII Đến kỉ XIX, Cauchy (1789-1857) Riemann (1826-1866) xây dựng lý thuyết xác tích phân Lí thuyết sau Lebesgue (1875-1941) Denjoy (1884-1974) hồn thiện Để định nghĩa tích phân, nhà toán học kỉ XVII XVIII khơng dùng đến khái niệm giới hạn Thay vào đó, họ nói “ tổng số vơ lớn số hạn vơ nhỏ” Chẳng hạn, diện tích hình cong tổng số vơ lớn diện tích hình chữ nhật vơ nhỏ Tích phân Leibnitz định nghĩa Tích phân xuất độc lập với đạo hàm nguyên hàm, thiết lập liên hệ tích phân nguyên hàm phát minh vĩ đại Newton Leibnitz Khái niệm đại tích phân, xem giới hạn tổng tích phân Cauchy Riemann Người lập bảng tra cứu tích phân có sẵn Gauss (1777-1855) Ơng nhiều nhà tốn học khác ứng dụng tích phân vào toán toán học vật lý Cauchy mở rộng tích phân sang số phức Hermite (1822-1901) tìm thấy thuật tốn tính tích phân cho hàm phân thức, mở rộng cho hàm phân thức chứa logarit vào năm 1940 Ostrowski Từ thập niên 1990 trở lại đây, thuật tốn tính tích phân tính máy tính điện tử Một số phần mềm máy tính thương mại có khả tính tích phân Mathematica, Maple Chuyên đề khơng thể thiếu chương trình tốn THPT, đại học Vì xuất phát từ nhu cầu này.Tơi chọn đề tài với tên:”Tích phân ứng dụng giải tốn Trung học phổ thơng” để tiến hành nghiên cứu, nhằm làm tài liệu tham khảo huy vọng tìm ví dụ đặc sắc nhằm làm phong phú thêm kết lĩnh vực Mục tiêu nghiên cứu Nhằm nghiên cứu, tìm hiểu định nghĩa, tính chất, phân loại dạng tích phân, tích phân suy rộng số ứng dụng giải toán THPT Đối tượng phạm vi nghiêm cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu tích phân, phương pháp tính tích phân hàm đặc biệt ứng dụng giải toán THPT 3.2 Phạm vi nghiêm cứu Thực nghiên cứu từ tài liệu, giáo trình Thầy Lê Hồng Trí, chun đề tích phân, tích phân suy rộng, ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Thu thập, phân tích tài liệu thơng tin liên quan đến tích phân ứng dụng Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn để thực đề tài Bố cục luận văn Luận văn gồm chương với cấu trúc sau: · Mở đầu · Chương : Nguyên hàm tích phân · Chương 2: Tích phân dạng hàm số đặc biệt · Chương 3: Các ứng dụng tích phân · Kết luận CHƯƠNG NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 1.1 NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH Định nghĩa 1.1.1 Cho hàm số f ( x ) xác định ( a, b ) Hàm số F ( x ) gọi nguyên hàm f ( x ) F ( x ) xác định khả vi khoảng ( a, b ) F ¢( x) = f ( x) với "x Ỵ ( a, b ) Định nghĩa 1.1.2 Nếu hàm số f ( x ) xác định đoạn [ a, b] , F ( x ) gọi nguyên hàm f ( x ) F xác định [ a, b] , khả vi ( a, b ) F ¢( x) = f ( x ) với "x ẻ ( a, b ) , v F+Â(a ) = f (a ) F-¢ (b) = f (b) Định lý 1.1.1 Nếu hàm số f ( x ) có ngun hàm F ( x ) tập hợp d = {F + C; C Ỵ R} họ tất nguyên hàm f ( x ) phân bất định f ( x ) Kí hiệu: ị f ( x)dx Trong đó: hay cịn gọi tích f ( x)dx biểu thức dấu tích phân Chứng minh Nếu G Ỵ d tồn C Ỵ R để G = F + C (G ( x))¢ = ( F ( x) +C )¢ = (F(x))¢ = f ( x) Do phần tử d nguyên hàm f Ngược lại, giả sử G nguyên hàm f ( G ( x) - F (x) )¢ = G¢( x ) - F ¢( x) = f ( x ) - f ( x ) = , G - F số, ta kí hiệu C Vậy G = F + C Tức G Ỵ d 1.2 BÀI TỐN TÌM DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG Cho hàm số y = f ( x ) liên tục không âm đoạn [ a, b] Xét hình thang cong AabB, giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành, hai đường thẳng x = a, x = b Vấn đề cần đặt tính diện tích hình thang cong AabB (Hình 1.1) Hình 1.1 Chia đoạn [ a, b] đáy hình thang, thành số hữu hạn đoạn nhỏ điểm: a = x0 x1 x2 á xn = b (1.1) Ta gọi phép chia phép phân hoạch, kí hiệu p Trên ( ) đoạn nhỏ D k = [ xk -1 , xk ] k = 1, n , ta lấy điểm x k Khi hàm số y = f ( x ) khơng đổi đoạn D k suốt đoạn giá trị hàm số f (x k ) lúc diện tích hình thang cong bằng: f (x k ) ( xk - xk -1 ) Trong trường hợp tổng quát, đoạn D k nhỏ, f (x k ) ( xk - xk -1 ) giá trị gần diện tích hình thang cong tức là: Sk » f (x k ) ( xk - xk -1 ) Khi đó, kí hiệu S diện tích hình thang cong AabB thì: n n k =1 k =1 S = å Sk » å f (x k ) ( xk - xk -1 ) (1.2) Rõ ràng ta chọn phép phân hoạch p cho d (p ) = max ( xk - xk -1 ) nhỏ hình thang gần trùng với hình chữ nhật có đáy 76 Từ đó: n n i =1 i =1 Pn = å p ( f ( xi -1 ) + f ( xi ) ) Dli = p å ( f ( xi -1 ) + f ( xi ) ) + ( f ¢ (xi ) ) Dxi n Pn = 2p å f (xi ) + ( f ¢ (xi ) ) Dxi Hay i =1 n +p å éë f ( xi-1 ) + f ( xi ) - f (xi ) ùû + ( f ¢ (xi ) ) Dxi i =1 Ta có số hạng thứ hai biểu thức có giới hạn l = max Dxi ® 1£i £ n Vì f ( x ) liên tục [ a, b] với e ñ nhỏ tùy ý, tồn phép phân hoạch với Dxi đủ nhỏ cho: n å éë f ( x ) + f ( x ) - f (x )ùû áe i -1 i =1 i i Do đó: n n å éë f ( xi-1 ) + f ( xi ) - f (xi )ùû + ( f ¢ (xi ) ) Dxi £ e å + ( f ¢ (xi ) ) Dxi i =1 i =1 n £ e å Dlk £e L i =1 Trong L độ dài cung AB , e nhỏ tùy ý L khơng đổi nên ta có điều phải chứng minh Số hạng thứ tổng tích phân lập thành từ 2p f ( x ) + ( f ¢ ( x ) ) Vậy : b P = 2p ò f ( x ) + ( f ¢ ( x ) ) dx (3.18) a Cơng thức (3.18) cơng thức tính diện tích bề mặt vật thể tròn xoay Nếu mặt tròn xoay nhận quay quanh trục OX đường cong AB cho dạng tham số: 77 ìï x = j ( t ) í ïỵ y = y ( t ) Trong đó: a £ t £ b ,y ( t ) ³ 0, a £ j ( t ) £ b Khi: a £ t £ b ,j (a ) = a,j ( b ) = b Công thức (3.18) viết lại: b P = 2p ịy ( t ) (j ¢ ( t ) ) + (y ¢ ( t ) ) dt 2 (3.19) a Nếu đường cong AB cho tọa độ cực r = r (j ) ,j Î [a , b ] Khi tham số hóa phương trình đường cong cách: ìï x = r (j ) cos j í ïỵ y = r (j ) sin j với j Ỵ [a , b ] b ( r ¢ ( j ) ) + ( r ( j ) ) dj P = 2p ò r (j ) sin j Khi đó: 2 (3.20) a Ví dụ 3.3.3 Tính diện tích mặt trịn xoay y = px ( £ x £ a ) quay quanh trục OX Ta có: y = px ( £ x £ a ) Û y = ± px , đường cong gồm hai nhánh đối xứng qua trục OX , xét đường cong y = px ị y = a Nờn: P = 2p ò a p 2x p px + dx = p p ò x + pd (2 x + p) 2x 2p é 2a + p ) p ( a + p ) - p ù ( û ë Ví dụ 3.3.4 Tính diện tích mặt trịn xoay quay đường cong Cycloide = quay quanh trục OY (Hình 3.7) ì x = a(t - sin t );0 £ t £ 2p í ỵ y = a(1 - cos t ); y ³ 78 Ta có: 2p 2p (j ¢ ( t ) ) + (y ¢ ( t ) ) dt = 2p ò a ( t - sin t ) a (1 - cos t ) + a sin tdt P = 2p ò j ( t ) 2 2p 2p 2p t t t = 4p a ò ( t - sin t ) sin dt = 4p a ò t sin dt - 4p a ò sin t sin dt 2 0 2p 3t t = 16p a + 4p a ò (cos - cos )dt = 16p a 2 2 Ví dụ 3.3.5 Cho đường Cardioide r = a(1 + cos j ) Tìm diện tích mặt trịn xoay quay quanh trục cực (Hình 3.10) Theo cơng thức (3.20) ta có: b ( r ¢ ( j ) ) + ( r ( j ) ) dj P = 2p ò r (j ) sin j 2 a p = 2p ò a(1 + cos j ).sin j a é(1 + cos j ) + sin j ù dj = ë û 3.4 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ 3.4.1 Chứng minh với xđ thì: ( x - y ) éë - ( x + y ) ùû 2ln Ta có: ( x - y ) éë - ( x + y ) ùû 2ln 1+ x 1+ y 1+ x 1+ y Û ( x - y ) - ( x - y ) éëln (1 + x ) - ln (1 + y ) ùû ñ1 - t 1+ t Ta thấy "t đ x Với 0á y £ t £ x ta có: x dt ịy + t đ ịy (1 - t )dt 32p a 79 x æ t2 ln 1+ t y ủ ỗ t - ÷ è 2øy x x2 - y2 1+ x Û ln ñ ( x - y) 1+ y 1+ x 1+ y 1+ x ( x - y ) éë - ( x + y ) ùû 2ln 1+ y Û ( x - y ) éë2 - ( x + y ) ùû á2ln Vậy: x3 x5 Ví dụ 3.4.2 Chứng minh bất đẳng thức: sinx x - + , "xñ 120 Ta có: sinx x; "xđ Nên: x x 0 ò sin xdxá ò xdx x2 Û - cos xá 2 x Û - ácos x "xđ ta có: x ỉ x2 ị0 çè1 - ÷ø dxá ị0 cos xdx x3 Û x - ásinx x x ỉ x3 ị0 çè x - ÷ø dxá ị0 sin xdx x "xđ ta có: x2 x4 - á1 - cos x 24 x2 x4 Û cos xá1 - + 24 Û 80 "xđ ta có: ỉ x2 x4 ũ0 cos xdxỏ ũ0 ỗố1 - + 24 ÷ødx x3 x5 Û sinx x - + 120 x x x3 x5 sinx x - + , "xđ 120 Vậy: 3.5 TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ Ví dụ 3.5.1 Tìm giá trị lớn hàm số: f ( x ) = x + x + x - 11x, x Ỵ [ 0,1] Xét hàm g ( t ) = t + t + t hàm liên tục đồng biến [ 0,1] "t Ỵ [ 0,1] , ta có: x ị(t + t + t )dt £ xò ( t + t + t ) dt Hay là: x6 x4 x2 ỉ1 1ư + + Ê xỗ + + ữ è6 2ø Suy ra: x6 + 3x4 + x2 - 11x £ Vậy giá trị lớn hàm số f ( x ) = x + x + x - 11x, x Ỵ [ 0,1] 0, x = x = Ví dụ 3.5.2 Tìm giá trị lớn biểu thức: f ( x, y ) = y ( x + 1) x + - x ( y + 1) y + + xy Xét hàm số: Ta có: g (t ) = g¢(t ) = ( ) x - y - y + x,0 £ x £ y t +1 - t t +1 t ( Nên hàm g ( t ) đồng biến đoạn [ 0, y ] t +1 - t ) ³ 0, "t đ 81 x Suy ra: y dt dt £ xò t +1 - t t +1 - t x y 2 é2 ù é2 ù Û y ê ( t + 1) t + + t t ú £ x ê ( t + 1) t + + t t ú 3 ë3 û0 ë3 û0 2 é2 ù é2 ù Û y ê ( x + 1) x + + x x ú £ x ê ( y + 1) y + + y y ú 3 ë3 û ë3 û Û y ( x + 1) x + + xy x - y £ x ( y + 1) y + + xy y - x Û y ( x + 1) x + + xy x - y - x ( y + 1) y + - xy y + x £ Û y ( x + 1) x + - x ( y + 1) y + + xy ( ) x - y - y+ x£0 Vậy, giá trị lớn f ( x, y ) x = 0; x = y Ví dụ 3.5.3 Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = ( + 2ln ) x - x+1 - ln 2.x ; x Ỵ [ 0;2] g ( t ) = -2 t - t Xét hàm số: g ( t ) hàm số liên tục nghịch biến đoạn [ 0,2] Nên "t Ỵ [ 0;2] ta có: x -2ị ( + t ) dt ³ - x ò ( 2t + t ) dt t 0 x Û 2ò ( + t ) dt £ x ò ( 2t + t ) dt t 0 x ỉ 2t t ỉ 2t t 2ỗ + ữ Ê xỗ + ữ ln 2 ln 2 ø0 è ø0 è x+1 4x x + x2 £ + 2x ln ln ln ln x +1 Û + x ln - £ x + x ln - x Û Û ( + 2ln ) x - x +1 - ln x ³ -2 82 Vậy, giá trị nhỏ f ( x ) -2 x = 0; x = 3.6 GIẢI PHUƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ Các định lý tồn nghiệm phương trình tích phân Định lý 3.6.1 Cho hai số thực a, b trái dấu f ( x ) hàm liên tục, không âm (có thể khơng số hữu hạn điểm) đoạn [ a, b] Khi x đó, [ a, b] , phương trình F ( x) = ị f (t )dt = có nghiệm x = 0 Chứng minh x Ta thấy F ( x) = ò f (t )dt nguyên hàm f(x) đoạn [ a, b] 0 Nếu x = F (0) = ò f (t )dt = Vậy x = nghiệm phương trình F ( x) = Nu x 0, x ẻ [ a, b ] , từ giả thuyết f ( x) ³ , ta suy F ( x) đồng biến đoạn [ a, b] F ( x ) ¹ F ( ) = , tức phương trình F ( x) = khơng thể có nghiệm x ¹ [ a, b] Vậy phương trình F ( x) = có nghiệm x = Định lý 3.6.2 Giả sử hàm số y = f ( x) xác định liên tục đoạn [ a, b] giả sử F ( x) nguyên hàm Khi đó, tồn số thực x1 , x2 Î [ a, b] với x1 x2 , cho F ( x1 ) = F ( x2 ) , phương trình f ( x ) = có nghiệm [ x1 , x2 ] Chứng minh Giả sử phương trình f ( x ) = khơng có nghiệm đoạn [ x1 , x2 ] Vì f ( x ) liên tục nên suy f ( x)đ 0, "x Ỵ [ x1 , x2 ] f ( x)á0, "x Ỵ [ x1 , x2 ] 83 Nếu f ( x)ñ 0, "x Ỵ [ x1 , x2 ] hàm số F ( x) đồng biến đoạn [ x1 , x2 ] , F ( x1 ) F ( x2 ) , trái với giả thuyết Nếu f ( x)á0, "x Ỵ [ x1 , x2 ] hàm số F ( x) nghịch biến đoạn [ x1 , x2 ] , F ( x1 )ñ F ( x2 ) , trái với giả thuyết Vậy phương trình f ( x ) = có nghiệm [ x1 , x2 ] ( Ví dụ 3.6.1 Giải phương trình x x + = ln x + x + Ta có: ) ( ) ) ( x x + = ln x + x + Û x x + - ln x + x + = ( F ( x ) = x x + - ln x + x + Xét: ) x ¢ 2t 2 é ù Ta có: F ( ) = F ( x ) = ò t t + - ln t + t + dt = ò dt ëê ûú t2 +1 0 ( x Ta thấy, hàm số f (t ) = 2t t +1 ) liên tục không âm với t, theo định lý 3.6.1, phương trình F ( x ) = có nghiệm x = Ví dụ 3.6.2 Chứng minh phương trình ( x - 1) ln x + x ln x = x có hai nghiệm phân biệt Điều kiện: xđ Ta có: ( x - 1) ln x + x ln x = x Û ( x - 1) ln x + x ln x - x = Chia hai vế cho x ta được: Ta thấy : ( x - 1) ln x + ln x - = x f ( x) = ( x - 1) ln x + ln x - x Liên tục "xñ có nguyên hàm F ( x ) = ( x - 1) ( ln x - ) 84 ỉ1ư Ta có: F (1) = 0, F (e ) = 0, F ỗ ữ = èe ø Theo định lý 3.6.2, phương trình cho có hai nghiệm nằm khoảng ỉ1 ỗ ;1ữ , (1,e ) ốe ứ Vy phương trình cho có hai nghiệm phân biệt Ví dụ 3.6.3 Cho tam thức bậc hai f ( x) = ax + bx + c ( a ¹ ) thỏa mãn điều kiện a b c + + = 0, mñ Chứng minh phương trình f ( x ) = có m + m +1 m nghiệm ( 0,1) Xét hàm số g ( x) = x m -1 (ax + bx + c) = ax m +1 + bx m + cx m -1 Hàm số g ( x) hàm liên tục R có nguyên hàm G ( x) = Ta thấy: G (0) = 0; G (1) = a b m +1 c m x m+ + x + x m+2 m +1 m a b c + + =0 m + m +1 m Nên theo định lý 3.6.2, phương trình g ( x) = có nghiệm khoảng ( 0,1) Suy f( x) = có nghiệm ( 0,1) 3.7 TÍNH GIỚI HẠN DÃY Dùng định nghĩa tích phân để tính giới hạn dãy Ví d 3.7.1 Cho Sn = Tớnh lim Sn nđƠ Ta có: 1 + + + n +1 n + n+n 85 Sn = n n 1 1 1 + + + =å =å n +1 n + n + n i =1 n + i i=1 + i n n Xét hàm số f ( x) = đoạn [ 0,1] x +1 Ta chia [ 0,1] thành n đoạn điểm chia: i x0 = 0, x1 = , , xi = , , xn = n n i Dxi = xi - xi -1 = , xi = xi = n n Với n lim Sn = lim å f (xi )Dxi Nờn nđƠ n đƠ i =1 n i =1 lim Sn = lim å f (xi )Dxi = ũ Ta cú: nđƠ n đƠ 1 dx = ln x + = ln x +1 é n n n ù + + + Ví d 3.7.2 Tớnh lim 2 2ỳ nđƠ ( n + n ) úû êë ( n + 1) ( n + ) Ta có: é ù ê ú n 1ê 1 1 ú=å Sn = + + + 2 2 n êæ ỉ iư n ỉ n ỳ i =1 ổ ỗ1 + ữ ỗ1 + ữ ỗ1 + ữ ỳ ỗ1 + ữ ố nứ û è nø ëè n ø è n ø Xét hàm số f ( x) = (1 + x ) đoạn [ 0,1] Ta phân hoạch đoạn [ 0,1] thành n đoạn , điểm chia: i i x0 = 0, x1 = , , xi = , , xn = Với Dxi = xi - xi -1 = , xi = xi = n n n n Nên : 86 1 1 lim Sn = ò = dx = nđƠ 1+ x (1 + x ) Ví dụ 3.7.3 Tính : é ù n2 22 lim ê + + + ú nđƠ + n3 43 + n ( 2n ) + n3 ỳỷ ờở Ta cú: ổiử ỗ ÷ n n i ènø Sn = å = å 3 n i =1 ( 2i ) + n i =1 ổ i ỗ ữ +1 ốnứ Nờn: ổiử ỗ ữ n n lim Sn = lim ố 3ứ nđƠ n đƠ n i =1 ổ i ỗ ữ +1 ốnứ 2 x2 Xét hàm số f ( x ) = đoạn [ 0;1] 8x + Ta phân hoạch đoạn [ 0;1] thành n đoạn , điểm chia: i i xo = 0, x1 = , , xi = , xn = Với Dxi = xi - xi -1 = , xi = xi = n n n n 1 x dx ln Khi đó: Sn = lim f (xi ) Dxi = ò = ln x3 + = n đƠ x + 24 12 3.8 GIẢI TỐN TỔ HỢP Ví dụ 3.8.1 Tính tích phân sau: ò x (1 - x ) dx 19 Rút gọn tổng: Đặt Đổi cận: 1 1 S = C190 - C191 + C192 - + C1918 - C1919 20 21 t = - x Þ dt = -dx; x = - t é x = ét = ê x = Þ êt = ë ë 87 é t 20 t 21 ù t t dt = = ( ) ê ú ò0 ë 20 21 û 420 Tích phân viết lại: 19 20 Theo nhị thức Newton ta có: x(1- x) = x( C190 - C191 x + C192 x2 - + C1918 x18 - C1919 x19 ) 19 = C190 x - C191 x2 + C192 x3 - + C1918 x19 - C1919 x20 Lấy tích phân hai vế ta được: ò x(1- x) 19 dx = ò ( C190 x - C191 x2 + C192 x3 - + C1918 x19 - C1919 x20 )dx = éëC190 x - C191 x2 + C192 x3 - + C1918 x19 - C1919 x20 ùû 1 1 1 = C190 - C191 + C192 - + C1918 - C1919 20 21 ( - 1) C n 1 Ví dụ 3.8.2 Tính: S = C n1 - C n2 + + n n +1 n +1 (1 £ n Î Z ) f (x) = (1- x) =1-Cn1x +Cn2x2 + +( -1) Cnn xn n Xét hàm : n Lấy tích phân hai vế ta được: ị (1 - x ) n ( ) dx = ò - Cn1 x + Cn2 x + + ( -1) Cnn x n dx n n +1 é (1 - x )n+1 ù ỉ n x x n x Û ê+ + ( -1) Cn ú = ỗ x - Cn + Cn ữ n + ûú n +1ø è ëê Û 1 1 n = - Cn1 + Cn2 + + ( -1) Cnn n +1 n +1 Û Cn1 1 n n - Cn2 + + ( -1) Cnn = n +1 n +1 Ví dụ 3.8.3 Chứng minh rằng: 88 22 23 2n+1 n 3n+1 -1 2C + Cn + Cn + + Cn = ( "n ẻ Ơ) n +1 n +1 n f ( x) = (1+ x) = Cn0 + Cn1x + Cn2x2 + + Cnn xn n Xét hàm: Lấy tích phân hai vế ta được: 2 ò (1 + x ) dx = ò ( C n n + Cn1 x + Cn2 x + + Cnn x n )dx 2 n +1 é (1 + x ) n+1 ù é ù x x n x C x C C C Ûê = + + + + ú n n n n ê ú n n + + û0 êë úû ë 3n+1 22 23 2n+1 n Û = 2Cn + Cn + Cn + + Cn n +1 n +1 n +1 22 23 2n+1 n 3n+1 -1 2C + Cn + Cn + + Cn = ( "nẻƠ) n +1 n +1 n Vậy: Ví dụ 3.8.4 Chứng minh rằng: -1) 2n+1 n 1+ ( -1) ( 22 23 2Cn - Cn + Cn + + Cn = n +1 n +1 n n f (x) = (1- x) =1-Cn1x +Cn2 x2 + +( -1) Cnn xn n Xét hàm: n Lấy tích phân hai vế ta được: ò (1- x) n ( ) dx = ò 1- Cn1 x + Cn2 x2 + + ( -1) Cnn xn dx n n+1 é (1 - x )n+1 ù ỉ n n x x x ỳ = ỗ x - Cn + Cn + + ( -1) Cn ÷ n +1 ø êë - ( n +1) úû è ( -1) Û n+1 n+1 +1 n 2 n = 2Cn - Cn + Cn + + ( -1) Cn n +1 n +1 89 KẾT LUẬN Luận văn “Tích phân ứng dụng giải tốn THPT” thực số vấn đề sau đây: -Trình bày kiến thức tích phân : định nghĩa, tính chất định lý tích phân - Một số phương pháp tính tích phân - Tích phân hàm đặc biệt - Xác định diện tích hình phẳng hệ tọa độ Đề- hệ tọa độ cực - Thể tích vật thể - Độ dài đường cong phẳng - Chứng minh bất đẳng thức - Tìm cực trị hàm số - Giải phương trình đại số - Tính giới hạn dãy - Giải tốn tổ hợp Trong qua trình thực đề tài cố gắng hạn chế chuyên môn bước khởi đầu để tác giả làm quen với công việc nghiêm cứu khoa học mặt hạn chế thời gian nên luận thể tránh khỏi thiếu sót Vì thế, mong nhận ý kiến đóng góp q thầy cơ, bạn bè đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện 90 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Đậu Thế Cấp (2007), Giải tích tốn học, NXB Giáo dục [2] Lê Hồng Đức (2011), Phương pháp giải tốn tích phân, NXB Đại học sư phạm [3] Phan Quốc Khánh (1997), Phép tính vi tích phân, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Đình Trí (2009), Tốn học cao cấp, NXB Giáo dục [5] Vũ Tuấn, Phan Đức Thành, Ngô Xn Sơn (1997), Giải tích tốn học (tập 1), NXB Giáo dục [6] Võ Thanh Văn, Lê Hiển Chương, Nguyễn Ngọc Giang (2009), Chuyên đề ứng dụng nguyên hàm tích phân giải tốn THPT, NXB Đại học sư phạm Tiếng Anh [6] Crowell, B (2003), Calculus, Light and Matter, Fullerton [7] Garrett, P (2006), Notes on first year calculus, University of Minnesota [8] Silvanus P Thompson (1914), Calculus Made Easy, New York ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẶNG THỊ THÚY VÂN TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG Chun ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người... hạn tổng tích phân Cauchy Riemann Người lập bảng tra cứu tích phân có sẵn Gauss (1777-1855) Ông nhiều nhà toán học khác ứng dụng tích phân vào tốn tốn học vật lý Cauchy mở rộng tích phân sang... chất, phân loại dạng tích phân, tích phân suy rộng số ứng dụng giải toán THPT Đối tượng phạm vi nghiêm cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Nghiên cứu tích phân, phương pháp tính tích phân hàm đặc biệt ứng