Tích phân k dạng vi phân và một số ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN PHI LONG TÍCH PHÂN k – DẠNG VI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN PHI LONG TÍCH PHÂN k – DẠNG VI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : HÌNH HỌC – TÔ PÔ Mã số : 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN DUY BÌNH Nghệ An 2012 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu phép lấy tích phân dạng vi phân thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Phép lấy tích phân dạng vi phân trình bày tài liệu Hình học vi phân Đoàn Quỳnh, tích phân dạng Cartan số tài liệu khác Áp dụng tích phân dạng vi phân cho phép tính độ dài cung, tính diện tích mặt tổng quát thể tích k-chiều Ngoài ra, phép lấy tích phân dạng vi phân rút số tính chất hình đa tạp Riemman Chính sở nghiên cứu tích phân k - dạng vi phân luận văn xây dựng số ứng dụng tích phân k - dạng vi phân, cụ thể dùng tích phân dạng thể tích để tính diện tích mặt, thể tích hình số ứng dụng định lý Gauss -Bonet Luận văn có bố cục sau: Chương I Kiến thức sở §1 Giới thiệu về: Đa tạp khả vi, Ánh xạ khả vi, Đa tạp con, trường véc tơ, dạng vi phân §2 Dành cho việc nghiên cứu về: Đa tạp Rimman hai chiều, độ cong trắc địa, cung trắc địa đa tạp Rimman hai chiều Chương II Tích phân k - dạng vi phân số ứng dụng §1 Trình bày tích phân k - dạng vi phân đa tạp khả vi §2 Về dạng thể tích, tích phân dạng thể tích, diện tích mặt, thể tích hình §3 Về dịnh lý Gauss - Bonet số hệ Luận văn thực hoàn thành vào tháng 10 năm 2012 trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình Nhân dịp tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, đặc biệt thầy giáo hướng dẫn Nguyễn Duy Bình giúp đỡ tận tình trình học tập hoàn thành luận văn Cũng xin chân thành cảm ơn thầy giáo, cô giáo khoa Sau Đại học khoa Toán trường Đại học Vinh tất bạn bè đồng nghiệp, người sát cánh giúp đỡ suốt thời gian học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Cuối tác giả mong nhận góp ý chân tình quý thầy cô, bạn bè đồng nghiệp Vinh, tháng 10 năm 2012 Tác giả Chương I KIẾN THỨC CƠ SỞ §1 ĐA TẠP KHẢ VI 1.1 Định nghĩa Đa tạp khả vi Định nghĩa Không gian tô pô X gọi không gian Euclid địa phương n chiều điểm X tồn lân cận mở đồng phôi với tập mở không gian Euclid R n (tôpô Rn tôpô tự nhiên) Mỗi phép đồng phôi gọi đồ hệ tọa độ địa phương X Xét đồ ( U , ϕ ), ϕ phép đồng phôi Nếu y ∈ U số ϕ(y) = (y1 ,…, yn) ∈ Rn gọi tọa độ điểm y đồ xét Họ đồ {( Uα , ϕα )}α∈ I gọi tập đồ X miền xác định Uα ánh xạ ϕα phủ X(nghĩa là:X= U) Định nghĩa Một không gian tô pô gọi đa tạp (tô pô) n - chiều vừa không gian Euclid địa phương n - chiều, vừa T- không gian Định nghĩa Giả sử M đa tạp n - chiều {( Uα , ϕα )} tập đồ Ta gọi tập đồ ( khả vi ) lớp C (U , ϕ), (U , ϕ) ∈{(Uα , ϕα )} có ϕοϕ thuộc lớp Cr , ánh xạ ϕοϕ biểu thị công thức: Các vế công thức hàm thực n biến thực Chúng gọi hàm chuyển từ tọa độ {x} sang tọa độ {x} Tập đồ xét gọi tập đồ giải tích hàm chuyển hàm giải tích thực Định nghĩa Hai tập đồ lớp Cr đa tạp M gọi hai tập đồ Cr tương đương tập hợp chúng lại tập đồ lớp C r M Hợp tất tập đồ C r - tương đương M gọi tập đồ cực đại lớp Cr M Một đa tạp (tô pô) n - chiều M C r cấu trúc gọi đa tạp khả vi n - chiều lớp Cr, Cr đa tạp n - chiều 1.2 Ánh xạ khả vi 1.2.1 Định nghĩa M N hai đa tạp khả vi lớp Ck Ánh xạ f : M → N gọi ánh xạ khả vi lớp Ck f liên tục với đồ địa phương (U , x) M, (V , y) N mà W = U ∩ f-1(V) ≠ ∅ ánh xạ: yofox-1: x(W) → y(V) ; x(p)  y(f(p)) ánh xạ khả vi lớp Ck (từ tập mở x(W) Rm vào tập mở y(V) R n, m n theo thứ tự số chiều M N) Các yofox-1 gọi biểu thức tọa độ địa phương f Với p ∈ W hạng f p hạng yofox-1 x(p) Ký hiệu hạng pf +) f dìm p ∈ M hạng pf = dimM +) f ngập p ∈ M hạng pf = dimN +) f trải p ∈ M hạng pf = dimM = dimN +) Nói f dìm, ngập hay trải theo thứ từ f dìm, ngập, trải p ∈ M +) f nhúng khả vi f dìm, đơn ánh, đồng phôi lên ảnh +) f gọi vi phôi lớp Ck f song ánh f-1 ánh xạ khả vi lớp Ck 1.2.2 Định lý.(xem [1]) Hai đa tạp khả vi M, N vi phôi với chúng có số chiều 1.2.3 Ánh xạ tiếp xúc a) Định nghĩa Cho ánh xạ khả vi F : M → N điểm p ∈ M, ánh xạ tiếp xúc p ánh xạ F (hay vi phân p ánh xạ F) ánh xạ F* : Tp(M) → TF(P)M xác định sau : véc tơ v ∈ Tp(M) véc tơ tiếp xúc điểm p = x(t0) với đường cong x(t) đa tạp F *p(v) ∈ TF(p) (N) véc tơ tiếp xúc F ox(t0) = F(p) với đường cong đa tạp N Như : v (f) = ∀f∈ F(p) Thì F*p(v) = v’ xác định : v’(g) = ∀g∈ F(p) b) Tính chất i) Ta có : v(goF) = (F*(v))(g) ∀g∈ F(p) ii) F*p ánh xạ tuyến tính từ R - không gian tuyến tính T p(M) vào R - không gian tuyến tính TF(p)(N) : F*p(αu + βv) = αF*p(u) + βF*p(v) ∀ α, β ∈ R, ∀ u, v ∈ Tp(M) iii) Đối với ánh xạ đồng id đa tạp M ta có : (id)*p(v) = v ∀ v ∈ Tp(M) c) Mệnh đề Đối với hợp thành ánh xạ khả vi, ta có : (GoF)*p = G*F(p)oF*(p) Chứng minh: theo tính chất i) ta có: [(GoF)*p(v)](h) = v(hoGoF) (1) theo tính chất i) ta có: [(G*F(p)oF*p)(v)](h) = [G*F(p)(F*p(v))](h) = [F*p(v)](hoG) = v(hoFoG) (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh d) Mệnh đề Nếu F: M → N vi phôi F*p song ánh (F*p)-1 = (F-1)*F(p) Chứng minh: Vì F vi phôi nên F -1 vi phôi Áp dụng tính chất iii) mệnh đề c) ta có v = (id)*p(v) = (F-1oF)*p(v) = (F-1)F(p)oF*p(v) ∀ v ∈ Tp(M) đó: (F-1)*F(p)oF*p = id | TF(p)(M) (1) id toàn ánh ⇒ F*p đơn ánh Do vai trò F F -1 nên tương tự (1) ta có F*po(F-1)*F(p) = id | TF(p)(N) (2) id toàn ánh ⇒ F*p toàn ánh Vậy F*p song ánh F*p song ánh nên tồn (F*p)-1 Do từ (1) (2) suy : (F*p)-1 = (F-1)*F(p) 1.3 Đa tạp Giả sử M, X đa tạp khả vi với dimX < dimM Khi ta có khái niệm sau: i Ánh xạ i : X → M gọi dìm (ip)* đơn ánh ∀p∈ X ii i gọi phép nhúng i phép dìm i ánh xạ đồng phôi lên ảnh ( i : X → i(X) ) iii i gọi phép nhúng chìm i phép nhúng i(X) đóng M Định nghĩa: Đa tạp X gọi đa tạp M i : X → M phép nhúng chìm 1.4.Trường véc tơ 1.4.1 Định nghĩa Trường véc tơ tập mở U ⊂ En ánh xạ: X : U → TU; p  X(p) cho với p∈ U, X(p) ∈ TpU Chú ý : Trường véc tơ X : U→ TU xác định ánh xạ : U→ ( ngược lại X xác định ) X(p) = ( p, ) Ta nói X trường khả vi lớp Ck ánh xạ khả vi lớp Ck Khi ánh xạ trường véc tơ X gọi trường véc tơ song song 1.4.2 Trường mục tiêu Trường mục tiêu (khả vi) tập mở U ⊂ En hệ n trường véc tơ {U1, U2, ,Un} U cho với p∈ U, {U1(p), U2(p), ,Un(p)} sở TpU Khi X∈ VecU ( tập trường véc tơ khả vi U) viết cách dạng X = ϕiUi với ϕi∈ F(U) Nếu Y = iUi : ( X + Y ) = (ϕi + i )Ui, ϕX = ϕϕiUi, Nếu với p ∈ U, Ui(p).Uj(p) = δij ( tức Ui(p) sở trực chuẩn TpU), trường mục tiêu {Ui} gọi trường mục tiêu trực chuẩn 1.5 Dạng vi phân đa tạp khả vi Gọi M đa tạp khả vi n - chiều, x∈ M, Tx(M) không gian tiếp xúc với M x, T(M) không gian véc tơ đối ngẫu T x(M), ^ p T(M) lũy thừa cấp p T(M) ^T(M) đại số không gian T(M) Phép ánh xạ ω : M → (^T(M)) cho: ω(x) ∈ ^ p T(M) gọi dạng vi phân bậc p(hoặc p - dạng vi phân) đa tạp M (ta viết ωx thay cho ω(x)) Giả sử (U , ϕ) đồ đa tạp M ; ký hiệu yi hàm tọa độ thứ i Rn ui = yioϕ Như ta biết (i = 1,2 n) sở Tx(M), vi phân toàn phần (du1)x, (du2)x, , (dun)x hàm u1, u2, , un tạo thành sở không gian T(M) mà đối ngẫu với sở theo lý thuyết lũy thừa không gian véc tơ, tập hợp : ( ≤ i ≤ i2 i ≤ n ) sở không gian véc tơ ^ p (T(M)) Như phần tử ^p(T(M)) có dạng: f (x)(du)x^ ^(du)x (i < i < < i ) Vì p - dạng ω M x ∈ U ta có : ω(x) = f (x)(du)x^ ^(du)x (i < i < < i ) §2 ĐA TẠP RIEMANN HAI CHIỀU 2.1 Đa tạp hai chiều 2.1.1 Mảnh hình học a) Định nghĩa Tập S En gọi mảnh hình học En ảnh dìm, đồng phôi lên ảnh r : U → En từ tập mở U R2 vào En, r gọi 17 Do : ϕ = ϕ.ρ.||ρ ΄||dt = ϕ(ρ1.λ)(t).||(ρ1λ)΄(t)||dt = = ϕ.ρ1(t1).||(ρ1.λ(t)||.λ(t)dt ϕ.ρ1(t1).||(ρ1(t)||dt1 (do λ > 0) Vậy ϕ không phụ thuộc vào cách chọn tham số hóa hướng 1.1.3 Định nghĩa (Tích phân - dạng vi phân dọc Γ).Cho θ ∈ Ω(Rn) dạng vi phân Khi tích phân θ dọc đường định hướng Γ ký hiệu θ xác định θ = ρ*(θ) 1.1.4 Định lý Tích phân θ không phụ thuộc vào tham số hóa ρ Γ Chứng minh : Cho dạng vi phân θ dọc cung định hướng Γ Rn xác định tham số hóa ρ : J → Rn; t  ρ(t)của Γ cho dạng vi phân θρ ∈ Ω(J) Khi θ = θρ Xét θρ = ρ*θ tham số hóa tương đương r = ρ.λ : I → Rn θr = λ*θ = (ρ.λ)*θ = λ*(ρ*θ) = λ*(θρ ) u  r(u) = ρ(λ(u)) Khi : Nếu θρ = ϕdt θ = ϕ(t)dt Ta có : θr = λ*(θρ) = λ*(ϕdt) = (λ*.ϕ)(λ*dt) = (ϕ.λ)d(t.λ) = = (ϕ.λ)d(λ(u)) = (ϕ.λ)(λ΄du) = (ϕ.λ)|λ΄|du = ϕdt = θρ Vậy tích phân θ không phụ thuộc vào tham số hóa ρ Γ 1.1.5 Định lý Nếu θ vi phân hàm ϕ với ϕ ∈ F(Rn) θ phụ thuộc vào điểm đầu điểm cuối ρ(a) ; ρ(b) đường Γ Chứng minh : Theo giả thiết θ = dϕ ; ϕ ∈ F(Rn) Γ cung xác định ρ : [a,b] → Rn; t ρ(t) mà ρ(a) = A; ρ(b) = B Ta có : θ = ρ*(dϕ) = d(ρ*(ϕ)) = d(ϕ.ρ) = (ϕ.ρ)΄(t)dt với ϕ.ρ : [a,b] → Rn hàm liên tục Vậy θ = ϕ.ρ(b) - ϕ.ρ(a) = ϕ[ρ(b)] - ϕ[ρ(a)] = ϕ(B) - ϕ(A) 18 Điều chứng tỏ tích phân dϕ phụ thuộc vào hai điểm đầu cuối A, B đường cong Γ mà không phụ thuộc vào tham biến 1.2 Tích phân mặt - dạng vi phân 1.2.1 Định nghĩa Cho K miền compăct với bờ đa tạp hai chiều S En hàm số ϕ : K → R hàm số liên tục Lát K họ ri : Ci → K ; (u , v)  ri (u,v) ( Ci miền compawct với bờ R2) Khi tích phân ϕ K :ϕds = ϕ(ri (u,v) dudv Trong : = Chú ý: Khi ϕ = 1, ds gọi diện tích miền K 1.2.2 Định lý Tích phân hàm số miền compắct với bờ đa tạp hai chiều S En không phụ thuộc vào việc lát K chọn Chứng minh: Giả sử K có hai cách lát Bằng cách xét ‘‘lát con’’ hai lát đó, ta đưa chứng minh cho trường hợp lát K có phần tử K = r(C) Giả sử có ánh xạ khả vi λ: → C ; (s,t)  λ(s,t) = (u,v) ta cần chứng minh: (ϕ.r) du.dv = (ϕ.r.λ) ds.dt dễ thấy rằng: (ϕ.r.λ) = ((ϕ.r.λ) oλ) nên theo công thức đổi biến số dấu tích phân hai lớp suy dẳng thức cần chứng minh 1.2.3 Định nghĩa K miền compắct có hướng với bờ đa tạp hai chiều S Rn, µ dạng vi phân bậc hai Lát K họ ri : Ci → K ; (u,v)  ri (u,v) định nghĩa tích phân µ K là:µ = ϕi(u,v)du.dv ϕi.du ^ dv = rµ Nhận xét: Nếu µ = µo dạng diện tích tắc K µo diện tích miền K 19 1.2.4 Định lý Tích phân - dạng vi phân miền compắct có hướng K với bờ đa tạp hai chiều S R n không phụ thuộc vào lát K chọn Chứng minh: Tương tự chứng minh hàm số ta giả sử K = r(C) Nếu có ánh xạ khả vi λ: → C; (s,t)  λ(s,t) = (u,v) ta cần chứng minh : ϕ(u,v)du.dv = (s,t)ds.dt Trong : r*µ = ϕ du ^ dv ; (r.λ)*µ = ds ^ dt Nhưng ta có : (r.λ)*µ = λ*(r*.µ) = (ϕ.λ) ds ^ dt Nên suy :  = (ϕ.λ) Khi theo công thức đổi biến số dấu tích phân hai lớp ta đẳng thức cần chứng minh 1.3 Tích phân k - dạng vi phân Giả sử M đa tạp compắct k chiều tồn {U α} phủ M hữu hạn, Uα có hệ tọa độ địa phương Tập ánh xạ ϕ: M → R, {ϕ} phân hoạch đơn vị tương ứng với phủ nếu: +) ≤ ϕ ≤ +) supϕ ⊂ Uα (supϕ = ⊂ Uα) +) ϕ(x) = 1, ∀x ∈ M 1.3.1 Định nghĩa: Giả sử ω k - dạng vi phân R n, (ω ∈ Ωk(Rn)), tích phân ω đa tạp compắct k chiều M xác định là: ω = h(ϕαω) với hα : Uα → hα(Uα)⊂ Rk vi phôi địa phương 1.3.2 Định lý Stokes a Định nghĩa: Đa tạp M gọi đa tạp với biên U α mở Rm+ = {x(xi) | xm ≥ 0} N = {p(p1, , pm) | pm = 0} đa tạp (m-1) chiều gọi biên M, kí hiệu N = ∂M 20 b Định lý Stokes: Cho M đa tạp Riemann với biên ∂M, ω (n-1) dạng Ωn-1(M), ta có dω = ω c) Các trường hợp riêng định lý Stokes +) Công thức Green Giả sử M ⊂ R2 compắct với biên ∂M, ω dạng Nếu ω viết dạng tắc ω = P (x, y) dx + Q (x, y) dy ( P, Q hàm ) Khi ta có : dω = dxy dω = dx^dy = dxdy Áp dụng công thức Stokes dω = ω, ta có : ω = P(x,y)dx + Q(x,y)dy Vậy : dxdy = P(x,y)dx + Q(x,y)dy +) Công thức Ostrogradski : Giả sử M compắct với biên R ∂M mặt hai chiều, ω - dạng, ω viết dạng tắc : ω = Pdy ^ dz + Qdz ^ dx + Rdx ^ dy (P, Q, R hàm x, y, z lân cận compắct M) Khi : dxdydz = Pdy ^ dz + Qdz ^ dx + Rdx ^ dy §2 DẠNG THỂ TÍCH, TÍCH PHÂN DẠNG THỂ TÍCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 2.1 Dạng thể tích, tích phân dạng thể tích 2.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa1 M đa tạp k - chiều định hướng R n dạng vi phân ωo bậc k M gọi dạng thể tích tắc M ωo(e1,e2, ,ek) = 1.{e1,e2, ,ek} sở trực chuẩn xác định hướng TpM 21 Định nghĩa2 M đa tạp k - chiều Rn ω dạng vi phân bậc k khác không điểm, ω gọi dạng thể tích k - chiều M Định nghĩa3 Tích phân dạng thể tích tắc k - chiều ω đa tạp compắct M gọi thể tích tương ứng tập M Kí hiêu : ω 2.1.2 Nhận xét Đối với đa tạp chiều hay hai chiều “thể tích” thường gọi độ dài hay diện tích dv kí hiệu ds (vi phân độ dài), dS (vi phân diện tích) 2.2 Một số ứng dụng Ứng dụng tích phân dạng vi phân cho phép tính độ dài cung, tính diện tích mặt, thể tích khối quen thuộc chương trình phổ thông tổng quát thể tích k - chiều 2.2.1 Diện tích mặt tròn xoay Xét mặt tròn xoay E3 có quay quanh trục oz cung đoạn quy: x =ϕ(u), y = 0, z = (u) ; ( a≤ u≤ b ; 0≤ v≤ 2π ) Mặt tròn xoay xác định : r(u,v) = (ϕ(u)cosv, ϕ(u)sinv, (u)) ( a≤ u≤ b ; 0≤ v≤ 2π ) : r = (ϕ΄(u)cosv, ϕ΄(u)sinv, ΄(u)) r = (-ϕ(u)sinv, ϕ(u)cosv, 0) Gr(r,r)= = ϕ(u) (u)dudv = = ⇒ S = ϕ(u) dudv = 2πϕ(u) (u)du 2.2.2 Diện tích mặt cầu Ta dùng công thức tính diện tích mặt tròn xoay để tính diện tích mặt cầu E3 Ngoài ta tính trực tiếp diện tích mặt cầu E3 cách sử dụng công thức : S = ds = dudv 22 Cụ thể với mặt cầu S : x + y + z = R không gian R Trước hết ta tính diện tích nửa mặt cầu phía sau ta nhân lên diện tích mặt cầu Ta viết phương trình nửa mặt câù phía dạng tham số hóa r : S2 → R3 ; (x,y)  ( x, y, ) sau : Hay ta nói nửa mặt cầu phía lát họ r(S2), : r = ( 1, 0, ; r = (1, 0, ) Gr(r,r) = =1+ Vậy : = = = dS = dxdy đặt ⇒ J = r : ≤ r ≤ R : ≤ ϕ ≤ 2π dS = = = 2πR = d( = -2πR = 2πR Vậy diện tích mặt cầu là: 2.(2πR) = 4πR 2.2.3 Diện tích mặt trụ Xét mặt trụ K có bán kính đáy R, đường sinh l xác định bởi: K= Khi ta tính diện tích nửa mặt trụ với y > sau: Ta lát nửa mặt trụ với y > họ r : C → K; (x,t)  ( x, , z) Khi r = (1, , 0) ; r = (0,0,1) Gr(r,r) = = + ds = = dxdz = dxdz Đặt x = sint ⇒ dx = costdt ⇒ -1 ≤ sint ≤ ⇒ ≤ t ≤ Thì ds = costdtdz = Rdtdz = t = πRl Vậy diện tích mặt trụ K (πRl).2 = 2πRl 2.2.4 Diện tích mặt nón 23 Xét mặt nón có bán kính đáy R đường sinh l : Ta lát mặt nón ánh xạ : r : S2 → R3; (x,y)  (x,y,z) Trong S2 : x2 + y2 = R2 với z = Khi : r = (1,0, - ; r = (0,1, - ) Gr(r,r) = ds = = l2/R2 dxdy Đặt ≤ r ≤ R; ≤ ϕ ≤ 2π Suy : ds = rdrdϕ = 2π = πlR 2.2.5 Diện tích tam giác cầu Cho mặt cầu bán kính R E 3, ba điểm A, B, C (không thuộc đường tròn lớn) với ba cung đường tròn lờn (ngắn) nối ba điểm gới hạn miền gọi tam giác cầu Ba đường tròn lớn phan biệt mặt cầu tạo thành tam giác cầu Ta tính diện tích tam giác cầu ABC sau Chẳng hạn ta xét “ múi ” cầu đỉnh A mà có chứa tam giác ABC Tham số hóa hai múi có dạng : r(ϕ,θ) = ( Rcosϕsinθ, Rsinϕsinθ, Rcosθ ) với ≤ ϕ ≤ 2π ; ≤ θ ≤ π đó: A B’ B nên ta có: Gr( r,r) = = R4 sin2θ C r =(Rcosϕcosθ, Rsinϕcosθ, -Rsinθ) C’ r =(-Rsinϕsinθ,Rcosϕsinθ,0); Nếu góc A tam giác cầu có độ lớn α (radian) diện tích hai “ múi ” là: SA = dϕdθ = 2R2dϕsinθdθ = 4R2α A’ Tương tự đỉnh B C ta có: SB = 4R2β; SC = 4R2γ Khi α = π ta có diện tích mặt cầu là: S = 4R2π Với hai múi cầu đỉnh A, B, C chứa hai tam giác cầu ABC A’B’C’ xuyên tâm đối tam giác ABC nên ta có: S = SA + SB + SC - 2S - 2S = SA + SB + SC - 4S suy ra: 24 4R2π = 4R2α + 4R2β + 4R2γ - 4S Vậy: S = R2(α + β + γ - π) 2.2.6 Thể tích khối cầu, khối trụ Nhận xét: Trong định nghĩa thể tích dạng k-chiều đa tạp k-chiều không gian Ơclit (tức đa tạp Riemann k-chiều với mêtric cảm sinh) mêtric đa tạp g (x1,x2, ,xk) hệ toạ độ địa phương đa tạp, {∂/x1, ∂/x2, ,∂/xk} = {E1,E2, ,Ek} trường mục tiêu toạ độ tương ứng Đặt gij = g (Ei,Ej) kí hiệu g = det(gij) Khi lân cận đa tạp tương ứng với hệ toạ độ dạng thể tích ωo = dx1^dx2^ ^dxk Từ điều này, không gian Ơclit n chiều, với hệ toạ độ Ơclit (x 1,x2, ,xn) ta có gij = δaij, g = Do không gian Ơclit chiều với hệ toạ độ Ơclit (x,y,z), thể tích khối cầu hay khối trụ tích phân dạng thể tích khối đó, g = nên thể tích tích phân lớp theo biến x, y, z hàm đồng khối a) Thể tích khối cầu Trong R3 xét mặt cầu (S) có phương trình : x + y + z = R thể tích V khối cầu giới hạn (S) tính sau: Theo nhận xét ta có : V =dv = dxdydz = dxdydz = 2dxdy Đổi sang tọa độ cực ta có : x = rcosϕ, y = rsinϕ ( -π ≤ ϕ ≤ π ; ≤ r ≤ R ) dxdy = rdrdϕ : V = 2dϕ rdr = = 4π.(- ) d() = - = - (0 - R3) = b)Thể tích khối trụ Xét khối trụ giới hạn miền (S) : (với a >0 ; l >0) Tương tự với cách tính khối cầu ta tcnhs khối trụ là: V =dv = dxdydz = dxdydz = dzdxdy = 4l dx 25 Đặt x = asint ( với - ≤ t ≤ = 4a2l( t + sin2t) = ) ⇒ V = 4la2cos2tdt = 4a2l dt = 2πla2 §3 ĐỊNH LÝ GAUSS - BONNET 3.1 Định lý Gauss - Bonnet (xem [1]) U tập mở R2 chứa tam giác AoBoCo (định hướng thuận ) r : U → M vi phôi Ao lên tập mở V đa tạp Riemann hai chiều (M,); V chọn A b c Bo Co B hướng để r vi phôi bảo tồn hướng a C Ký hiệu r(Ao) = A; r(Bo) = B; r(Co) = C; thu hẹp r lên tam giác A oBoCo tam giác cong đỉnh A, B, C: (ABC) Thu hẹp r theo thứ tự lên [B o,Co], [Co,Ao], [Ao,Bo] a, b, c (cạnh tam giác cong coi cung đoạn tham số); độ lớn Radian góc A (ABC) tức góc tạo b’, c’ A TAM tương tự cho Ký hiệu K độ cong Gauss M, µ dạng diện tích tắc V(với hướng chọn) Ký hiệu: = kgds + kgds + kgds kg độ cong trắc địa cung tương ứng Định lý Với tam giác cong ABC ta có: + = 2π - ( + + ) (Gọi công thức Gauss - Bonnet cho tam giác cong (ABC)) Chứng minh: Lấy trường mục tiêu trực chuẩn thuận {U 1,U2} V gọi ω dạng liên kết M trường mục tiêu ρ: I = [so,s1] → V cung đoạn có hướng, ||ρ΄|| = 1, viết ρ΄(a) = cosϕ(s)U1(ρ(s)) + sinϕ(s)U2(ρ(s)) thì: kgds = kg(s)ds = ϕ(s1) - ϕ(so) - ω(ρ΄(s))ds = ϕ(s1) - ϕ(so) - ω 26 Trong chẳng hạn ϕ(so) độ lớn góc định hướng tạo U 1(ρ(so)) ρ΄(so) kí hiệu ta có: kgds = () - - ω tương tự cho kgds kgds từ ta có: = - + - + + () - - = - - - +2lπ - Chú ý có số hạng 2lπ (l số nguyên đó) độ lớn ϕ(s) góc định hướng xét hàm đa trị để ý rằng: = = Vậy viết + + ( + + ) = 2lπ (*) Bây ta cần chứng minh l =1 Thật vậy: kí hiệu cấu trúc Riemann cho V ; cung cấp cho V cấu trúc Riemann o để r vi phôi đẳng cự tức (V, o ) vi phôi đẳng cự với đa tạp mở U mặt phẳng Euclid R Với t ∈ [0,1], kí hiệu cấu trúc Riemann (1-t) o + t V t (dễ thấy cấu trúc Riemann) t = ta o t = ta cho Công thức (*) vừa thiết lập cho cấu trúc Riemann V; vế phải phụ thuộc liên tục vào t, vế phải nên từ l ∈ Z suy l không phụ thuộc vào t Khi t = K = 0, k g = A + B + C = 2π (tổng góc tam giác mặt phẳng Euclid) nên suy l = Vậy: + = 2π - ( + + ) 3.2 Nhận xét +) Ký hiệu = π - , = π - , = π - (, , độ lớn góc đỉnh tam giác cong (ABC)) công thức Gauss-Bonnet trở + =+ + -π +) Khi a, b, c cung đoạn trắc địa công thức trở thành: thành: 27 = + + -π 3.3 Đặc trưng Euler đa tạp Định lý Với tam giác phân nhẵn đa tạp Riemann hai chiều, com pắc, có hướng(M,), kí hiệu Đ số đỉnh có tam giác phân; C số cạnh tam giác phân; T số tam giác phân ta có: Kµ = Đ - C + T (trong K độ cong Gauss, µ dạng diện tích tắc (M,)) Vế phải công thức không phụ thuộc tam giác phân chọn Nó gọi đặc trưng (hay đặc số) Euler đa tạp M kí hiệu X(M) Chứng minh : Ta có Kµ = Kµ ; (Tj tam giác phân thứ j) (1) Mặt khác Kµ = Kθ1^θ2 = dω = ω = kgds + ∆(Tj) - π (2) Trong : ∆(Tj) độ lớn tổng góc tam giác Tj Tù (1) (2) suy : Kµ = - + (∆(Tj) - π ) Để ý cạnh α thuộc hai tam giác, định hướng hai chiều ngược nên : kgds + kgds = Vậy Kµ = (∆(Tj) - π ) mà tổng góc đỉnh 2π nên : (∆(Tj) - π ) = ∆(Tj) - π = 2π.Đ - π.T = π(2Đ -T) Ta thấy cạnh tính hai lần nên ta có : 3T = 2C ⇒ -T = 2T - 2C ⇒ 2Đ - T = 2Đ + 2T - 2C Kµ = Đ - C + T = X(M) Nhận xét Đặc số Euler không phụ thuộc vào kiểu tam giác phân 3.4 Một số ứng dụng 3.4.1 Bài toán : Như ta biết a, b, c cung đoạn trắc địa công thức Gaus-Bonnet có dạng : = + + -π Vậy tổng (độ lớn ) góc tam giác cong trắc địa lớn π K > bé π K < π K =0 kết thể qua ví dụ sau : a)Với ba điểm A, B, C thuộc mặt cầu (S) có phương trình : 28 x2 + y2 + z2 = R2 R3 tổng góc tam giác cong trắc địa (ABC) lớn π Chứng minh : Ta biết cung AB, BC, CA trắc địa cung nằm đường tròn lớn độ cong Gauss mặt cầu bán kính R K = 1/R2 Khi với tam giác cong trắc địa (ABC) theo công thức Gauss-Bonet ta có : = + + - π ⇒ (1/R2) = + + - π : (1/R2).dt(ABC) = + + - π nên : + + = dt(ABC) +π⇒ + + >π b) Tam giác cong trắc địa (ABC) H(nửa phẳng Poincaré) có tổng ba góc nhỏ π chứng minh: theo công thức Gauss - Bonnet = + + - π ( K = -1 độ cong Gauss H) nên ta có: -= + + - π ⇒ + + = π - dt(ABC) ⇒ + + < π c) Tam giác cong trắc địa (ABC) mặt trụ E3 có tổng ba góc π chứng minh: E3 mặt trụ có độ cong Gauss K = nên theo công thức Gauss-Bonnet ta có = + + - π = ⇒ + + = π 3.4.2 Bài toán Xét parabolloit cho tham số hóa : X(u,v) = (ucosv, usinv, u2) với ≤ u, ≤ v ≤ 2π Kí hiệu Mr phần parabolloit cho ≤ u ≤ r a) Tính độ cong trắc địa đường tròn biên kgds b) Tính X(Mr) c) Sử dụng định lý Gauss-Bonnet tính KdA, tìm giới hạn r  +∞ (đây độ cong toàn thể Parabolloit) Bài toán có lời giải sau : a) Đặt ρ(t) = (rcost, rsint, r2) ⇒ ρ΄(t) = (-rsint, rcost, 0) Đặt T = = (-sint, cost, 0) 29 Với X(u,v) = (ucosv, usinv, u2) nên ta có X(r,t) = (rcost, rsint, r2) X(r,t) = (cost, sint, 2r) sau ta lấy N(r,t) = Do = = (T) + ||ρ΄΄||2.kg.(N) ⇒ N = ||ρ΄΄||2.kg ⇒ ⇒ ρ΄΄.N = ||ρ΄΄||2.Kg ⇒ kg = ||ρ΄΄|| = r2 ⇒ kg = ρ΄΄ = (-rcost, -rsint, 0) = Khi kgds = rdt = b) Ta chia Mr thành tam giác phân sử dụng công thức tính đặc trưng Euler Mr ta có : X(Mr) = Đ - C + T = - + = c) Theo định lý Gauss - Bonnet ta có : KdA = Kµ = - + (∆(Tj) - π ) = -kgds + 2πX(Mr) = = - + 2π = 2π( + ) từ suy : KdA = 2π( + ) = 2π 30 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: - Trình bày cách có hệ thống k - dạng vi phân tích phân k - dạng vi phân - Kiểm tra diện tích số mặt, thể tích số khối quen thuộc chương trình phổ thông tích phân k - dạng vi phân - Đưa số hệ ứng dụng định lý Gauss-Bonnet 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh (2000),Hình học vi phân,NXBGD [2] H.Cartan (1980), Phép tính vi phân dạng vi phân, NXB Đại học TH chuyên nghiệp, Hà Nội [3] R.Naraximhan (1984), Giải tích đa tạp thực phức, NXB Đại học TH chuyên nghiệp [4] Nguyễn Hữu Quang (2004), Đa tạp khả vi, Đại học Vinh [5] Nguyễn Hữu Quang (2005), Mở đầu Hình học Riemann, Đại học Vinh [6] D.Gromoll, W.Klingenb, W.Meyer (1992), Rimanova geometrijaavtxelom, Mir.Maxcva (Bản tiếng Nga) [...]... 2π 30 K T LUẬN Luận văn này đã đạt được những k t quả sau: - Trình bày một cách có hệ thống k - dạng vi phân và tích phân k - dạng vi phân - Kiểm tra diện tích của một số mặt, thể tích của một số khối quen thuộc trong chương trình phổ thông bằng tích phân k - dạng vi phân - Đưa ra được một số hệ quả và ứng dụng của định lý Gauss-Bonnet 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đoàn Quỳnh (2000),Hình học vi phân, NXBGD... 1.U2oρ(t) khi đó (t) = [0 + ω(ρ΄(t))]U1(ρ(t)) + [0 + ω(ρ΄(t))]U2(ρ(t)) = 0 Vậy ρ là cung trắc địa Chương II TÍCH PHÂN K - DẠNG VI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG §1 TÍCH PHÂN K - DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI 1.1 Tích phân đường các dạng vi phân bậc nhất Cho Γ là đường xác định bởi: ρ: [a,b] → Rn ; t  ρ(t) với ρ là hàm khả vi 1.1.1 Định nghĩa: (Tích phân của hàm số dọc theo Γ) Cho ϕ : Rn → R khả vi, ϕ ∈ Ω(Rn)... là một đa tạp k - chiều được định hướng trong R n thì một dạng vi phân ωo bậc k trên M gọi là dạng thể tích chính tắc trên M nếu ωo(e1,e2, ,ek) = 1.{e1,e2, ,ek} là cơ sở trực chuẩn xác định hướng của TpM 21 Định nghĩa2 M là một đa tạp k - chiều trong Rn và ω là một dạng vi phân bậc k khác không tại mọi điểm, khi đó ω được gọi là dạng thể tích k - chiều trên M Định nghĩa3 Tích phân của dạng thể tích. .. chính tắc k - chiều ω trên đa tạp compắct M được gọi là thể tích tương ứng của tập M đó K hiêu : ω 2.1.2 Nhận xét Đối với đa tạp một chiều hay hai chiều thì “thể tích thường được gọi là độ dài hay diện tích còn dv được k hiệu là ds (vi phân độ dài), dS (vi phân diện tích) 2.2 Một số ứng dụng Ứng dụng tích phân các dạng vi phân cho phép tính độ dài cung, tính diện tích của các mặt, thể tích các khối... Tρ(t)M Nói X khả vi tại to ∈ I nếu có khoảng mở J chứa to, J ⊂ I để với mọi hàm số khả vi trên tập mở chứa ρ(J), hàm số t  X(t)[ϕ] khả vi tại to; nói X khả vi nếu nó khả vi tại mỗi to ∈ I Nếu {U1,U2} là một trường mục tiêu khả vi trên tập mở chứa ρ(I) của M và vi t X(t) = ϕ1(t)U1(ρ(t)) + ϕ2(t)U2(ρ(t)) thì X khả vi khi và chỉ khi các hàm ϕ1,ϕ2 là các hàm khả vi b) Định nghĩa Cho cung tham số ρ: I → M,... Công thức Ostrogradski : Giả sử M compắct với biên trong R 3 khi đó ∂M là mặt hai chiều, ω là 2 - dạng, ω được vi t dưới dạng chính tắc : ω = Pdy ^ dz + Qdz ^ dx + Rdx ^ dy (P, Q, R là các hàm của x, y, z trên lân cận của compắct M) Khi đó : dxdydz = Pdy ^ dz + Qdz ^ dx + Rdx ^ dy §2 DẠNG THỂ TÍCH, TÍCH PHÂN DẠNG THỂ TÍCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 2.1 Dạng thể tích, tích phân dạng thể tích 2.1.1 Các định... Điều này chứng tỏ tích phân dϕ chỉ phụ thuộc vào hai điểm đầu và cuối A, B của đường cong Γ mà không phụ thuộc vào tham biến 1.2 Tích phân mặt của 2 - dạng vi phân 1.2.1 Định nghĩa Cho K là miền compăct với bờ trên đa tạp hai chiều S trong En và hàm số ϕ : K → R là hàm số liên tục Lát K bởi họ ri : Ci → K ; (u , v)  ri (u,v) ( Ci là miền compawct với bờ R2) Khi đó tích phân của ϕ trên K là :ϕds =... Dạng vi phân bậc 1 trên S là vi c đặt tương ứng với mỗi p ∈ S một song tuyến tính θp: TpS → R +) Dạng vi phân bậc 2 trên S là vi c đặt tương ứng với p ∈ S, một song tuyến tính phản đối xứng µp : TpS x TpS → R (tức một dạng song tuyến tính phản đối xứng trên TpS) b) Dạng diện tích chính tắc Nếu S là định hướng thì có dạng vi phân (khả vi) bậc 2 µo trên S gọi là dạng diện tích chính tắc trên S xác định... biến số dưới dấu tích phân hai lớp suy ra dẳng thức cần chứng minh 1.2.3 Định nghĩa K là một miền compắct có hướng với bờ trên đa tạp hai chiều S trong Rn, µ là một dạng vi phân bậc hai Lát K bởi họ ri : Ci → K ; (u,v)  ri (u,v) khi đó định nghĩa tích phân µ trên K là:µ = ϕi(u,v)du.dv trong đó ϕi.du ^ dv = rµ Nhận xét: Nếu µ = µo là dạng diện tích chính tắc trên K thì µo là diện tích của miền K 19... Chú ý: Khi ϕ = 1, ds gọi là diện tích của miền K 1.2.2 Định lý Tích phân của hàm số trên miền compắct với bờ trên đa tạp hai chiều S trong En không phụ thuộc vào vi c lát của K đã chọn Chứng minh: Giả sử K có hai cách lát Bằng cách xét ‘‘lát con’’ của hai lát đó, ta đưa về chứng minh cho trường hợp lát K chỉ có một phần tử K = r(C) Giả sử có ánh xạ khả vi λ: → C ; (s,t)  λ(s,t) = (u,v) ta cần chứng minh: ... chiều Chương II Tích phân k - dạng vi phân số ứng dụng §1 Trình bày tích phân k - dạng vi phân đa tạp khả vi §2 Về dạng thể tích, tích phân dạng thể tích, diện tích mặt, thể tích hình §3 Về dịnh... sở nghiên cứu tích phân k - dạng vi phân luận văn xây dựng số ứng dụng tích phân k - dạng vi phân, cụ thể dùng tích phân dạng thể tích để tính diện tích mặt, thể tích hình số ứng dụng định lý... ω(ρ΄(t))]U2(ρ(t)) = Vậy ρ cung trắc địa Chương II TÍCH PHÂN K - DẠNG VI PHÂN VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG §1 TÍCH PHÂN K - DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI 1.1 Tích phân đường dạng vi phân bậc Cho Γ đường xác định bởi: