Tích phân k dạng vi phân và một số ứng dụng

Chính vì thế trên cơ sở nghiên cứu về tích phân k - dạng vi phânluận văn đã xây dựng một số ứng dụng của tích phân k - dạng vi phân, cụ thể là dùng tích phân dạng thể tích để tính diện t

NGUYỄN PHI LONG

TÍCH PHÂN k – DẠNG VI PHÂN VÀ MỘT SỐ

ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An – 2012

NGUYỄN PHI LONG

TÍCH PHÂN k – DẠNG VI PHÂN VÀ MỘT SỐ

ỨNG DỤNG

Chuyên ngành : HÌNH HỌC – TÔ PÔ

Mã số : 60.46.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN DUY BÌNH

Nghệ An 2012

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CƠ SỞ 18

§1 ĐA TẠP KHẢ VI 8

1.1 Định nghĩa 4

1.2 Ánh xạ khả vi 6

1.3 Đa tạp con 6

1.4 Trường véc tơ 7

1.5 Dạng vi phân trên đa tạp khả vi 8

§2 ĐA TẠP RIEMANN HAI CHIỀU 18

2.1 Đa tạp hai chiều 11

2.2 Đa tạp Rieman hai chiều 14

2.3 Cung trong Rn 15

2.4 Độ cong trắc địa 17

2.5 Cung trắc địa trên đa tạp Riemann hai chiều 17

2.6 Phương trình cung trắc địa 18

CHƯƠNG II TÍCH PHÂN k- DẠNG VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 39

§1 Tích phân k-dạng vi phân trên đa tạp khả vi 25

1.1 Tích phân đường các dạng vi phân bậc nhất 21

1.2 Tích phân mặt của 2 - dạng vi phân 23

1.3 Tích phân k – dạng vi phân 25

§2 DẠNG THỂ TÍCH, TÍCH PHÂN DẠNG THỂ TÍCH VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG 32

2.1 Dạng thể tích, tích phân dạng thể tích 26

2.2 Một số ứng dụng 32

§3 ĐỊNH LÝ GAUSS-BONET 39

3.1 Định lý Gaus-Bonet 35

3.2 Nhận xét 35

3.3 Đặc trưng Euler của đa tạp 36

3.4 Một số ứng dụng 39

MỞ ĐẦU

Việc nghiên cứu phép lấy tích phân các dạng vi phân đã thu hút sựquan tâm của nhiều nhà toán học Phép lấy tích phân các dạng vi phân đượctrình bày trong các tài liệu như Hình học vi phân của Đoàn Quỳnh, tích phâncác dạng của Cartan và một số tài liệu khác

Áp dụng tích phân các dạng vi phân cho phép tính độ dài cung, tínhdiện tích của mặt và tổng quát là thể tích k-chiều Ngoài ra, phép lấy tích phâncác dạng vi phân còn rút ra được một số tính chất của các hình trên đa tạpRiemman Chính vì thế trên cơ sở nghiên cứu về tích phân k - dạng vi phânluận văn đã xây dựng một số ứng dụng của tích phân k - dạng vi phân, cụ thể

là dùng tích phân dạng thể tích để tính diện tích các mặt, thể tích các hình vàmột số ứng dụng của định lý Gauss -Bonet

Luận văn này có bố cục như sau:

Chương I Kiến thức cơ sở

§1 Giới thiệu về: Đa tạp khả vi, Ánh xạ khả vi, Đa tạp con, trường

véc tơ, dạng vi phân

§2 Dành cho việc nghiên cứu về: Đa tạp Rimman hai chiều, độ cong

trắc địa, cung trắc địa trên đa tạp Rimman hai chiều

Chương II Tích phân k - dạng vi phân và một số ứng dụng

§1 Trình bày về tích phân k - dạng vi phân trên đa tạp khả vi.

§2 Về dạng thể tích, tích phân dạng thể tích, diện tích các mặt, thể

tích các hình

§3 Về dịnh lý Gauss - Bonet và một số hệ quả của nó.

Luận văn được thực hiện và hoàn thành vào tháng 10 năm 2012 tạitrường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Nguyễn Duy Bình.Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình đối với các thầy

cô giáo đã trực tiếp giảng dạy, đặc biệt là thầy giáo hướng dẫn Nguyễn DuyBình đã giúp đỡ tận tình tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn Cũng nhân dịp tôi xin chân thành cảm ơn các thầy giáo, cô giáo ở khoaSau Đại học và khoa Toán của trường Đại học Vinh và tất cả các bạn bè đồngnghiệp, những người đã sát cánh và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập,nghiên cứu và hoàn thành luận văn này.

Cuối cùng tác giả mong nhận được những góp ý chân tình của quý thầy

cô, bạn bè và đồng nghiệp

Vinh, tháng 10 năm 2012

Tác giả

Chương I KIẾN THỨC CƠ SỞ

§1 ĐA TẠP KHẢ VI

1.1 Định nghĩa về Đa tạp khả vi

Định nghĩa 1 Không gian tô pô X được gọi là không gian Euclid địa phương

n chiều nếu đối với mỗi điểm của X đều tồn tại một lân cận mở đồng phôi vớimột tập mở trong không gian Euclid Rn (tôpô trong Rn là tôpô tự nhiên) Mỗiphép đồng phôi như thế được gọi là một bản đồ hoặc một hệ tọa độ địaphương của X Xét bản đồ ( U ,  ),  là phép đồng phôi Nếu y  U thì bộ số

(y) = (y1 ,…, yn) Rn được gọi là các tọa độ của điểm y đối với bản đồ đangxét Họ bản đồ {( U ,  )} I được gọi là một tập bản đồ của X nếu cácmiền xác định U của các ánh xạ  phủ X(nghĩa là:X= U)

Định nghĩa 2 Một không gian tô pô được gọi là một đa tạp (tô pô) n - chiều

nếu nó vừa là không gian Euclid địa phương n - chiều, vừa là T- không gian

Định nghĩa 3 Giả sử M là đa tạp n - chiều và {( U ,  )} là tập bản đồ của

nó Ta gọi đây là tập bản đồ ( khả vi ) lớp C nếu đối với bất kỳ (U , ),

(U , ) {(U ,  )} đều có ο thuộc lớp Cr , ánh xạ ο có thể biểu thị cáccông thức:

Các vế của công thức này là các hàm thực n biến thực Chúng được gọi

là các hàm chuyển từ các tọa độ {x} sang các tọa độ {x}

Tập bản đồ đang xét được gọi là tập bản đồ giải tích nếu các hàm chuyển làcác hàm giải tích thực

Định nghĩa 4 Hai tập bản đồ lớp Cr trên cùng một đa tạp M được gọi là haitập bản đồ Cr tương đương nếu tập hợp của chúng lại là một tập bản đồ lớp Cr

trên M Hợp của tất cả các tập bản đồ Cr - tương đương trên M được gọi là tậpbản đồ cực đại lớp Cr trên M

Một đa tạp (tô pô) n - chiều M cùng một Cr cấu trúc trên nó được gọi làmột đa tạp khả vi n - chiều lớp Cr, hoặc một Cr đa tạp n - chiều

1.2 Ánh xạ khả vi

1.2.1 Định nghĩa M và N là hai đa tạp khả vi lớp Ck Ánh xạ f : M  N gọi

là ánh xạ khả vi lớp Ck nếu f liên tục và với mọi bản đồ địa phương (U , x)của M, (V , y) của N mà W = U  f-1(V) ≠  thì ánh xạ:

yofox-1: x(W)  y(V) ; x(p)  y(f(p)) là ánh xạ khả vi lớp Ck (từ tập mở x(W)trong Rm vào tập mở y(V) trong Rn, m và n theo thứ tự là số chiều của M vàN) Các yofox-1gọi là các biểu thức tọa độ địa phương của f

Với p  W thì hạng của f tại p là hạng của yofox-1 tại x(p) Ký hiệu là hạng pf +) f dìm tại p  M nếu hạng pf = dimM

+) f ngập tại p  M nếu hạng pf = dimN

+) f trải tại p  M nếu hạng pf = dimM = dimN

+) Nói f là dìm, ngập hay trải nếu theo thứ từ f là dìm, ngập, trải tại mọi

a) Định nghĩa Cho ánh xạ khả vi F : M  N và một điểm p  M, ánh xạ tiếp

xúc tại p của ánh xạ F (hay là vi phân tại p của ánh xạ F) là ánh xạ

F* : Tp(M)  TF(P)M xác định như sau : đối với mỗi véc tơ v  Tp(M) là véc tơtiếp xúc tại điểm p = x(t0) với đường cong x(t) trong đa tạp thì F*p(v)  TF(p)

(N) là véc tơ tiếp xúc tại Fox(t0) = F(p) với đường cong trong đa tạp N Nhưvậy nếu :

v(f) = f F(p)

Thì F*p(v) = v’ xác định bởi : v’(g) = g F(p).

b) Tính chất

Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.

d) Mệnh đề Nếu F: M  N là vi phôi thì F*p là song ánh

vì id là toàn ánh  F*p là toàn ánh Vậy F*p là song ánh

do F*p là song ánh nên tồn tại (F*p)-1 Do đó từ (1) và (2) suy ra :

(F*p)-1 = (F-1)*F(p)

1.3 Đa tạp con Giả sử M, X là các đa tạp khả vi với dimX < dimM Khi đó

ta có các khái niệm sau:

i Ánh xạ i : X  M được gọi là một dìm nếu và chỉ nếu (ip)* là đơn ánh

p X

ii i được gọi là phép nhúng nếu và chỉ nếu i là phép dìm và i là ánh xạ đồngphôi lên ảnh ( i : X  i(X) ).

iii i được gọi là phép nhúng chìm nếu và chỉ nếu i là phép nhúng và i(X)đóng trong M

Định nghĩa: Đa tạp X được gọi là đa tạp con của M nếu và chỉ nếu i : X  M

là phép nhúng chìm

1.4.Trường véc tơ

1.4.1 Định nghĩa Trường véc tơ trên tập mở U  En là ánh xạ:

X : U  TU; p  X(p) sao cho với mọi p U, X(p)  TpU

Chú ý : Trường véc tơ X : U TU xác định ánh xạ : U ( và ngược lại Xxác định ) bởi X(p) = ( p, )

Ta nói X là trường khả vi lớp Ck nếu ánh xạ là khả vi lớp Ck

Khi là ánh xạ hằng thì trường véc tơ X gọi là trường véc tơ song song

Nếu với mọi p  U, Ui(p).Uj(p) = ij ( tức là Ui(p) là một cơ sở trực chuẩn của

TpU), thì trường mục tiêu {Ui} gọi là trường mục tiêu trực chuẩn

1.5 Dạng vi phân trên đa tạp khả vi

Gọi M là đa tạp khả vi n - chiều, x M, Tx(M) là không gian tiếp xúc với

M tại x, T(M) là không gian véc tơ đối ngẫu của Tx(M), ^pT(M) là lũy thừangoài cấp p của T(M) và ^T(M) là đại số ngoài trên không gian T(M)

Phép ánh xạ  : M  (^T(M)) sao cho: (x)  ^pT(M) được gọi mộtdạng vi phân bậc p(hoặc một p - dạng vi phân) trên đa tạp M (ta cũng viết x

( 1  i  i2 i  n ) là một cơ sở của không gian véc tơ ^p(T(M)) Nhưvậy mỗi phần tử ^p(T(M)) có dạng:

b) Nhận xét S là mảnh hình học với tham số hóa r : U  En thì với mọi tập

mở  U, r() là một mảnh hình học với tham số hóa r/

2.1.2 Đa tạp hai chiều trong E n

Định nghĩa S là tập con của En, (S ≠ ) gọi là đa tạp hai chiều (một

mặt) trong En nếu mỗi p  S có lân cận mở ( của p trong S ) là một mảnh hìnhhọc Mỗi tham số của mảnh hình học này gọi là một tham số hóa địa phươngcủa S

Nếu tham số hóa địa phương r: U  S là ánh xạ từ tập mở U trong nửaphẳng thì ta có khái niệm đa tạp hai chiều với bờ Bờ S là tập các điểm p  S

mà có tham số hóa địa phương r để p = r(u,0)

2.1.3 Đa tạp hai chiều định hướng được (trong E n )

Một hướng trên đa tạp hai chiều S trong En là việc đặt tương ứng vớimỗi điểm p  S một hướng của không gian véc tơ tiếp xúc hai chiều TpS saocho với mọi po  S, có tham số hóa địa phương r: U  S của S, r(U)  po vàvới mọi (u,v)  U, Tr(u,v) biến hướng chính tắc của R2 thành thành hướng của

Tr(u,v)S tức là với mọi pr(U), hướng của TpS xác định bởi cơ sở (Ru(p),Rv(p))( tham số này gọi là tương thích với hướng đó) S gọi là định hướng được khi

S có hướng và S gọi là đa tạp (đã) định hướng (hay có hướng) nếu đã chọnmột hướng trên S

Chú ý: Đa tạp hai chiều S trong E3 định hướng được khi và chỉ khi có trườngvéc tơ pháp tuyến đơn vị ( khả vi ) trên S vì coi E3 đã có hướng thì với p  Shướng của TpS và hướng của pháp tuyến của S tại p xác định như nhau

2.1.4 Dạng diện tích chính tắc

a) Dạng vi phân trên đa tạp hai chiều S trong E n

+) Dạng vi phân bậc 0 trên S là hàm số trên S

+) Dạng vi phân bậc 1 trên S là việc đặt tương ứng với mỗi p  S một songtuyến tính p: TpS  R

+) Dạng vi phân bậc 2 trên S là việc đặt tương ứng với p  S, một song tuyếntính phản đối xứng p : TpS x TpS  R (tức một dạng song tuyến tính phảnđối xứng trên TpS)

Để thấy o khả vi ta viết biểu thức tọa độ của nó trong tham số hóa

r : U  S của S tương thích với hướng đã chọn của S

o |r(u) = d(uo r-1)^d(vo r-1)

Trong đó Gr(Ru,Rv) là định thức Gram

Rõ ràng dạng diện tích chính tắc o trên S là một dạng vi phân bậc 2khác 0 tại mọi điểm của S

2.1.5 Miền compắc với bờ

a) Định nghĩa Cho S là đa tạp hai chiều trong En Miền compắc với bờtrên S là tập con K  S thỏa mãn các điều kiện :

+) K compắc

+) Biên ∂K ( tức là tập các điểm của S mà mọi lân cận của nó trong Svừa chứa điểm thuộc K vừa chứa điểm không thuộc K) là đa tạp một chiềukhả vi từng khúc

+) ∂K chia lân cận mọi điểm chính quy của nó thành hai phía tức là khi

p là một điểm chính quy của ∂K, có đồng phôi từ một hình tròn mở tâm Otrong R2 lên một lân cận V của p trong S, biến O thành p, biến một đườngkính thành ∂K  V, biến một nửa hình tròn mở xác định bởi đường kính đóthành (K\∂K)  V, biến nửa hình tròn kia thành (S\K)  V

b) Nhận xét

+) K có hướng nếu đã chọn một hướng trên một lân cận của K trong

S ; khi đó ∂K có hướng gọi là hướng cảm sinh xác định như sau : Tại mỗi

điểm chính quy p của ∂K, xét véc tơ  TpS,  ≠ 0, tiếp xúc với ∂K tại p mà

với véc tơ   TpS,  ≠ 0,  hướng vào bên trong = K\∂K thì cơ sở

{, } xác định hướng đã cho của TpS

+) Như ta đã biết nếu K là một miền compắc (hay miền compắc cóhướng) với bờ trên đa tạp hai chiều S trong En thì có họ hữu hạn miền compắcvới bờ Ci trong R2, có họ ánh xạ khả vi ri : Ci  S, ri(Ci) = K, ri thu hẹp lên

= Ci\∂Ci là một vi phôi ( theo thứ tự bảo tồn hướng ) lên một tập mở của S và

ri()rj()≠ nếu inếu nếu ii≠ j Khi đó ta nói K được lát bởi họ

ri : Ci  S Nếu các Ci là tam giác ( hay tam giác cong ) trong R2 khi đó tanói K được lát bởi họ tam giác cong ri : Ci  S ( hay ri : Ci  K )

Hơn nữa nếu mỗi tam giác cong Ci nằm trong một tập mở Ui  R2, mỗi

ri: Ci  S thác triển được thành một tham số hóa địa phương Ui  S, các tamgiác cong ri(Ci) trên S hoặc không giao nhau hoặc có một đỉnh chung hoặcmột cạnh chung mà thôi Khi đó ta nói K được tam giác phân bởi họ (tam giáccong ) ri: CiS nếu K có hướng thì các tam giác cong này được định hướng

Và chúng ta cũng có : S là đa tạp hai chiều ( có hướng ) với bờ trong En mà Scompắc thì nó có tính chất tam giác phân

2.2 Đa tạp Riemann hai chiều

2.2.1 Định nghĩa M là một đa tạp hai chiều Một(cấu trúc) Mêtric Riemann

trên M là việc đặt ứng với mỗi p  M, một tích vô hướng < , >p trên TpM, saocho tích vô hướng đó phụ thuộc vào p một cách khả vi, tức là với hai trườngvéc tơ (tiếp xúc) khả vi X, Y trên M thì hàm số p  < X(p) , Y(p)> là hàm sốkhả vi Đa tạp M cùng tích vô hướng < , > đó gọi là một đa tạp Riemann haichiều, ký hiệu (M, < , >)

Khi xét < , > là tích vô hướng trên TpM cảm sinh từ tích vô hướng trong En, tađược đa tạp Riemann hai chiều với Mêtric chính tắc mà ta kí hiệu là (M,Can)

2.2.2 Dạng liên kết (xem [1])

a) Định lý (M, < , >) là một đa tạp Riemann hai chiều thì với mọi trường

mục tiêu trực chuẩn {U1,U2} trên tập mở V của M, gọi {1, 2} là trường đốimục tiêu của nó ( tức là dạng vi phân bậc một trên V mà i (Uj) =  (i,j = 1,2),

ta có một và chỉ một dạng vi phân bậc một  trên V thỏa mãn :

d1 = -  ^ 2 ; d2 = -  ^ 1 ( trong đó  = -  )

b) Định nghĩa Dạng  nói trên được gọi là dạng liên kết của (M , <,>) trong

trường mục tiêu đã cho

2.2.3 Độ cong Gauss của đa tạp Riemann hai chiều

a) Định lý và định nghĩa (M , <,>) là một đa tạp Riemann hai chiều thì có

một và chỉ một hàm nhẵn K trên M sao cho với trường đối mục tiêu {1,2}của trường mục tiêu trực chuẩn {U1,U2} tùy ý trên tập mở V của M ta có : d

= K.1

^ 2

(trong đó  là dạng liên kết của (M,<,>) trong trường mục tiêu đó)

Chứng minh : Vì {1,2} là trường đối mục tiêu trên V nên dạng vi phân bậchai d viết được duy nhất dưới dạng : d = K.1

^ 2 Khi đổi trường mục tiêu{U1,U2} đã cho thành trường mục tiêu trực chuẩn mới,2} trên V ta có d =

1 ^ 2 Theo công thức ở chú ý 2.2.2 thì = ( - d)

Mặt khác định hướng V bởi trường mục tiêu {U1,U2} thì dạng diện tích chínhtắc trên V là 1

^ 2 và cũng là 1 ^ 2 Vì d(d) = 0 suy ra = K Vậy hàm số Kxác định trên mỗi tập mở, trên đó có trường mục tiêu trực chuẩn Từ đó suy rađịnh lý

b) Định nghĩa Hàm K nói trên được gọi là độ cong Gauss của đa tạp

Riemann hai chiều

c) Ví dụ Xét nửa phẳng Poincaré

Như ta đã biết với mọi trường mục tiêu trực chuẩn {U1 = yE1,U2 = yE2} củanửa phẳng Poincaré thì trường đối mục tiêu của nó là : {1 = ,2 = } ta có :d1 = (0dx + dy) ^ dx = dx ^ dy = 1

^ 2

Vậy: Độ cong Gauss tại mọi điểm trên H đều bằng -1

2.2.4 Đạo hàm của một trường véc tơ dọc một cung tham số

a) Trường véc tơ dọc theo một cung tham số

Xét cung tham số trên đa tạp Riemann hai chiều M : I  M, t  (t), I làmột khoảng mở trong R Trường X dọc  là việc đặt tương ứng mỗi t  I véc

tơ X(t)  T(t)M Nói X khả vi tại to  I nếu có khoảng mở J chứa to, J  I đểvới mọi hàm số khả vi trên tập mở chứa (J), hàm số t  X(t)[] khả vi tại to;nói X khả vi nếu nó khả vi tại mỗi to  I Nếu {U1,U2} là một trường mục tiêukhả vi trên tập mở chứa (I) của M và viết X(t) = 1(t)U1((t)) + 2(t)U2((t))thì X khả vi khi và chỉ khi các hàm 1,2 là các hàm khả vi

b) Định nghĩa Cho cung tham số : I  M, t  (t), trên đa tạp Riemann hai

chiều (M,<,>) thì với mỗi trường véc tơ X dọc , quy tắc sau xác định mộttrường véc tơ dọc , kí hiệu là , gọi là đạo hàm của X dọc : với mỗi to  I,lấy một trường mục tiêu trực chuẩn {U1,U2} trong một lân cận của ((to), viếtX(t) = 1(t)U1((t)) + 2(t)U2((t)) trong lân cận đó của to và đặt

u  r(u) ; ( I,J là những khoảng mở trong R;  và r khả vi ) gọi là tương đươngnếu có vi phôi : J  I, t  u = (t) sao cho ro = p Dễ thấy đó là một quan hệtương Mỗi lớp tương đương của quan hệ đó gọi là một cung trong En, mỗicung tham số của lớp tương đương đó còn gọi là một tham số hóa của cung,

vi phôi  gọi là phép đổi tham số của cung

2.3.2 Cung chính quy

Cho cung Γ xác định bởi : J  En, t  (t) điểm to của Γ mà ΄(to) ≠ 0 gọi là

điểm chính quy của Γ còn nếu ΄(to) = 0 thì nó được gọi là điểm kỳ dị của Γ.

Cung mà mọi điểm là chính quy gọi một cung chính quy

2.3.3 Cung định hướng

Hai cung tham số : J  En, t  (t) và r : I En , u  r(u) ; (I,J là nhữngkhoảng mở trong R;  và r khả vi ) gọi là tương đương nếu có vi phôi bảo tồnhướng  (cụ thể ’(t) > 0 với mọi t) : J  I, t  u = (t) sao cho ro = p Đây

là một quan hệ tương đương; mỗi lớp tương đương của quan hệ tương đương

đó gọi là một cung định hướng trong En

Cho cung định hướng Γ xác định bởi : J  En thì cung định hướng Γ

-xác định bởi r = -1: I  En; : J  I là một vi phôi đảo hướng ( tức ’(t) < 0với mọi t  J) gọi là có được từ Γ do đảo hướng

2.4 Độ cong trắc địa

2.4.1 Định nghĩa Với mỗi cung chính quy, dịnh hướng trên đa tạp Riemann

hai chiều có hướng ( M, <,> ), có hàm số dọc cung đó, ký hiệu Kg, xác địnhnhư sau: Lấy một tham số hóa tự nhiên : J  M, s  (s) của cung đó (tức là ||

΄|| = 1), đặt T = ’ và với mỗi s lấy N(s)  TM sao cho {T(s), N(s)} là một cơ

sở trực chuẩn thuận của TM, vì <T,T> = 1 nên < ,T > = 0 do đó có thể viết: =

kgN

Hàm số kg được xác định như trên gọi là độ cong trắc địa của cung 