Phương tích và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN TẤN NINH PHƯƠNG TÍCH VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN TẤN NINH PHƯƠNG TÍCH VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Trần Đạo Dõng Các kết luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng 11 năm 2015 Tác giả Nguyễn Tấn Ninh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí lựa chọn đề tài Mục tiêu nội dung nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN 1.2 TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN 1.3 TÂM ĐẲNG PHƯƠNG CỦA BA ĐƯỜNG TRÒN 12 1.4 THỂ HIỆN TRONG HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES 15 1.4.1 Phương tích hệ tọa độ Descartes 15 1.4.2 Trục đẳng phương hệ tọa độ Descartes 15 1.4.3 Tâm đẳng phương hệ tọa độ Descartes 16 CHƯƠNG ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TÍCH,TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG VÀ TÂM ĐẲNG PHƯƠNG VÀO GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG 17 2.1 ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG TÍCH 17 2.1.1 Các toán chứng minh đẳng thức hình học 17 2.1.2 Các toán quan hệ thẳng hàng 21 2.1.3 Các toán điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường tròn 23 2.1.4 Các tốn quan hệ vng góc 30 2.2 ỨNG DỤNG CỦA TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG 34 2.2.1 Các toán quan hệ thẳng hàng, đồng quy 34 2.2.2 Các toán điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường tròn 41 2.2.3 Các tốn quan hệ vng góc 48 2.3 ỨNG DỤNG CỦA TÂM ĐẲNG PHƯƠNG 54 2.3.1 Các toán quan hệ thẳng hàng, đồng quy 54 2.3.2 Các toán điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường tròn 62 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN Kí hiệu Tên gọi − → AB Vectơ AB ⊥ Vng góc Song song ∈ Thuộc ∩ Giao Chứng minh xong ℘M/(O) Phương tích điểm M đường trịn (O) (O, R) Đường trịn tâm O bán kính R (O) Đường tròn tâm O (ABC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ∆ABC Tam giác ABC (AB) Đường trịn đường kính AB MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong đề thi học sinh giỏi Tốn phổ thơng trung học cấp tỉnh, thành phố, cấp quốc gia kỳ thi olympic toán quốc tế khu vực, bên cạnh bất đẳng thức, hệ phương trình, hay tốn số học, tổ hợp, ta khơng thể qn dạng tốn quen thuộc, vô thú vị xuất thường trực cả, tốn hình học phẳng Nhìn xun suốt qua tốn ấy, ta phát xuất đường tròn, tam giác, tứ giác; với kết hợp đặc biệt, chúng tạo nhiều vấn đề thật đẹp thật hấp dẫn Phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương công cụ hữu hiệu để giải toán hình học phẳng Kiến thức chúng đơn giản dễ hiểu, lại có nhiều ứng dụng để giải toán chứng minh đẳng thức hình học, tìm tập hợp điểm thuộc đường trịn, điểm cố định, tốn quan hệ thẳng hàng, đồng quy, vng góc, Sử dụng tính chất phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương để giải tốn hình học phẳng thường cho lời giải hay dễ hiểu Được định hướng PGS.TS.Trần Đạo Dõng, chọn đề tài “Phương tích ứng dụng giải tốn hình học phẳng” làm đề tài luận văn thạc sĩ với mong muốn tìm hiểu phương tích, kiến thức liên quan vận dụng để giải số tốn hình học phẳng chương trình Tốn trung học phổ thơng, đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi Toán Mục tiêu nội dung nghiên cứu Mục tiêu đề tài nhằm nghiên cứu, hệ thống khái niệm tính chất phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương, từ ứng dụng để giải số dạng tốn hình học phẳng chương trình Tốn phổ thơng trung học Với mục tiêu nêu trên, luận văn chia thành chương: Chương tơi trình bày khái niệm, tính chất phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương Chương tơi trình bày ứng dụng phương tích, trục đẳng phương, tâm đẳng phương vào giải số toán hình học phẳng chương trình phổ thơng trung học Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài kiến thức phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương, ứng dụng chúng giải số dạng toán hình học phẳng Phạm vi nghiên cứu đề tài toán chứng minh quan hệ thẳng hàng, đồng quy, xác định điểm cố định, chứng minh tập hợp điểm thuộc đường trịn tính đại lượng hình học, hình học phẳng thuộc chương trình phổ thông trung học Phương pháp nghiên cứu Thu thập báo cáo khoa học, chuyên đề tài liệu tác giả nghiên cứu kiến thức liên quan đến phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương Thu thập toán đề thi học sinh giỏi liên quan đến phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương, giải tốn chưa có lời giải tham khảo giải phương pháp khác Trao đổi, tham khảo ý kiến người hướng dẫn, bạn đồng nghiệp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Nâng cao hiệu dạy học số chủ đề nâng cao hình học phẳng thuộc chương trình Tốn trung học phổ thơng Phát huy tính tự học sáng tạo học sinh Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận Chương trình bày khái niệm, tính chất phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương Chương trình bày ứng dụng phương tích, trục đẳng phương, tâm đẳng phương vào giải số tốn hình học phẳng chương trình phổ thơng trung học CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong chương chúng tơi trình bày số định nghĩa, định lý hệ phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương chương trình Tốn trung học phổ thông để làm sở cho chương sau Các kiến thức trình bày chương tham khảo từ tài liệu [3], [4], [6] 1.1 PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN Định lý 1.1.1 ([3] , Định lý) Cho đường tròn (O; R) điểm M cố định Một đường thẳng thay đổi qua M cắt đường tròn hai điểm A B −→ −→ −→ −→ tích vơ hướng MA.MB số không đổi MA.MB = MO2 − R2 Hình 1.1 Chứng minh (Xem hình 1.1) Kẻ OI ⊥ AB ⇒ I trung điểm AB → − → − Suy IB = −IA −→ −→ − − − − − − → → → → − − → → → → Ta có MA.MB = (MI + IA)(MI + IB) = (MI + IA)(MI − IA) −−→2 −→2 = MI − IA = (MO2 − OI ) − (OA2 − OI ) = MO2 − OA2 = MO2 − R2 −→ −→ Định nghĩa 1.1.1 Giá trị MA.MB không đổi định lý gọi phương tích điểm M đường trịn (O) kí hiệu ℘M/(O) −→ −→ Như ℘M/(O) = MA.MB = MO2 − R2 = d − R2 54 DHC = DHI + IHC = DAC + DBC = DOC Suy tứ giác DOHC nội tiếp Tương tự ta có tứ giác AOHB nội tiếp −→ −→ −→ −→ Ta có NA.NB = NC.ND nên M thuộc trục đẳng phương đường tròn ngoại tiếp tứ giác AOHB DOHC Suy O, H, N thẳng hàng Ta có IHO = IHD + OHD = DAC + OCD = DOC + OCD = 900 Suy IM⊥ON Chứng minh tương tự ta có IN⊥OM Vậy I trực tâm tam giác MON 2.3 ỨNG DỤNG CỦA TÂM ĐẲNG PHƯƠNG Trong phần chúng tơi trình bày ứng dụng tâm đẳng phương vào giải toán quan hệ thẳng hàng, đồng quy, điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường tròn Bây ta vào toán cụ thể 2.3.1 Các toán quan hệ thẳng hàng, đồng quy Phương pháp giải: Để chứng minh ba điểm thẳng hàng ta sử dụng tính chất tâm đẳng phương chứng minh ba điểm nằm trục đẳng phương Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta chứng minh minh ba đường thẳng ba trục đẳng phương đường trịn, theo định lý tâm đẳng phương ba đường trịn chúng đồng quy điểm Bài toán 2.3.1 Cho đường trịn tâm O đường kính AB Một điểm H thuộc đoạn AB Đường thẳng qua H cắt đường trịn C Đường trịn đường kính CH cắt AC, BC (O) D, E F a) Chứng minh AB, DE CF đồng quy b) Đường trịn tâm C bán kính CH cắt (O) P Q Chứng minh P, D, E, Q thẳng hàng 55 Phân tích định hướng: Với câu a) để chứng minh đường thẳng AB, DE, CF đồng quy ta chứng minh AB, DE, CF trục đẳng phương đường tròn (CH), (O), (ABCD) Với câu b) để chứng minh P, D, E, Q thẳng hàng ta chứng minh đường thẳng DE PQ trùng Bài giải: Hình 2.52 − → −→ − → −→ −→ a) Ta có CA.CD = CH = CB.CE , suy ADEB nội tiếp Xét đường tròn (ADEB), (O) đường trịn đường kính CH Lại có DE trục đẳng phương đường tròn (CH) (ABCD) AB trục đẳng phương đường tròn (O) (ABCD) CE trục đẳng phương đường tròn (CH) (O) Theo định lý tâm đẳng phương ba đường trịn ta có AB, DE, CF đồng quy b) Gọi M giao điểm AB CF Ta có PQ trục đẳng phương ( C) (O) nên OC⊥PQ Ta dễ thấy OD⊥DE 56 Hơn M tâm đẳng phương ba đường tròn (O), ( C) đường tròn đường kính CH Suy PQ qua M Vậy DE, PQ qua M vng góc với OC nên trùng Hay P, D, E, Q thẳng hàng Bài toán 2.3.2 Cho tam giác ABC Dựng hình vng ACZT, ABVU, BCYX Gọi A1 giao BT CU, A2 giao BZ CV, B1 giao AX CV, B2 giao AY CU, C1 giao AY CZ, C2 giao AX BT Chứng minh A1 A2 , B1 B2 , C1C2 đồng quy Phân tích định hướng: Trong để chứng minh đường thẳng A1 A2 , B1 B2 , C1C2 đồng quy ta chứng minh A1 A2 , B1 B2 , C1C2 trục đẳng phương đường tròn (AA2 ), (BB2 ), (CC2 ) Bài giải: Hình 2.53 Xét đường trịn đường kính AA2 , BB2 , CC2 Do A1 ∈ (BB2 ), A1 ∈ (CC2 ) nên ℘A1 /(BB2 ) = 0,℘A1 /(CC2 ) = 57 ⇒℘A1 /(BB2 ) =℘A1 /(CC2 ) (36) Tứ giác BB1CX nội tiếp ⇒ B1 + X = 1800 Tứ giác BC1CY nội tiếp ⇒ C1 + Y = 1800 Và X = Y nên ta có B1 = C1 Suy tứ giác BB1C1C nội tiếp −−→ −−→ −−→ −−→ ⇒ A2 B.A2C1 = A2C.A2 B1 ⇒℘A2 /(BB2 ) =℘A2 /(CC2 ) (37) Từ (36) (37) suy A1 A2 trục đẳng phương (BB2 ) (CC2 ) Tương tự B1 B2 trục đẳng phương (AA2 ) (CC2 ) C1C2 trục đẳng phương (AA2 ) (BB2 ) Vây A1 A2 , B1 B2 , C1C2 đồng quy tâm đẳng phương đường trịn xét Bài tốn 2.3.3 Cho hai đường tròn tâm O O’ tiếp xúc với P Dây cung AB đường tròn (O) cắt tiếp tuyến chung E Một đường tròn qua A, B cắt đường tròn (O’) C D Chứng minh C, D, E thẳng hàng Phân tích định hướng: Chứng minh AB, PE, CD ba trục đẳng phương đường tròn (O), (O’) (O1 ) nên chúng đồng quy tâm đẳng phương E Từ suy C, D, E thẳng hàng Bài giải: Hình 2.54 58 Từ giả thiết ta có EB.EA = EP2 Suy E tâm đẳng phương ba đường tròn (O), (O’) (O1 ) với (O1 ) đường tròn qua A B cắt đường trịn (O’) C D Vì AB, PE, CD ba trục đẳng phương nên đường thẳng AB, PE, CD đồng quy tâm đẳng phương E Do C, D, E thẳng hàng Bài tốn 2.3.4 Cho nửa đường trịn đường kính AB, M điểm nằm nửa đường trịn Hạ MH⊥AB Đường trịn đường kính MH cắt nửa đường trịn N, cắt MA, MB E, F Chứng minh AB, MN, EF đồng quy Phân tích định hướng: Trong để chứng minh đường thẳng EF, AB, MN đồng quy ta chứng minh EF, AB, MN trục đẳng phương đường trịn (C1 ), (C2 ), (C3 ) Bài giải: Hình 2.55 Ta có AMB = HEM = HFM = 900 ⇒ MEHF hình chữ nhật Suy EFM = HMF Mặt khác, HMF = EAB (góc có cạnh tương ứng vng góc) Vậy EFM = EAB Suy AEFB nội tiếp Gọi (C1 ), (C2 ), (C3 ) đường trịn đường kính AB, đường trịn đường kính MH, đường trịn ngoại tiếp tứ giác AEFB 59 Ta thấy (EF) trục đẳng phương (C2 ), (C3 ); (AB) trục đẳng phương (C3 ), (C1 ); (MN) trục đẳng phương (C1 ), (C2 ); Do EF, AB, MN đồng quy tâm đẳng phương (C1 ), (C2 ), (C3 ) Bài tốn 2.3.5 Cho tam giác ABC, bên ngồi tam giác này, vẽ tam giác cân BCD, CAE, ABF có cạnh đáy tương ứng BC, CA, AB chứng minh ba đường thẳng vng góc kẻ từ A, B, C tương ứng xuống EF, FD, DE đồng quy Phân tích định hướng: Trong để chứng minh ba đường thẳng vng góc kẻ từ A, B, C tương ứng xuống EF, FD, DE đồng quy ta chứng minh đường thẳng trục đẳng phương ba đường tròn (C1 ), (C2 ), (C3 ) Bài giải: Hình 2.56 Gọi (C1 ) đường trịn tâm D bán kính BD, (C2 ) đường trịn tâm E bán kính CE (C3 ) đường trịn tâm F bán kính AF Đường thẳng qua A vng góc với EF trục đẳng phương (C2 ) (C3 ); 60 đường thẳng qua B vng góc với FD trục đẳng phương (C3 ) (C1 ); đường thẳng qua C vng góc với DE trục đẳng phương (C1 ) (C2 ) Ba đường thẳng đồng quy tâm đẳng phương ba đường tròn Suy điều phải chứng minh Bài toán 2.3.6 Cho tam giác ABC đường thẳng d Gọi A’, B’, C’ hình chiếu A, B, C d Gọi d1 , d2 , d3 theo thứ tự đường thẳng qua A’, B’, C’ vng góc với BC, CA, AB Chứng minh đường thẳng d1 , d2 , d3 đồng quy Phân tích định hướng: Trong để chứng minh đường thẳng d1 , d2 , d3 đồng quy ta chứng minh đường thẳng trục đẳng phương đường tròn (C1 ), (C2 ), (C3 ) Bài giải: Hình 2.57 Gọi O1 , O2 , O3 theo thứ tự trung điểm BC, CA, AB Gọi I trung điểm B’C’ ⇒ O1 I đường trung bình hình thang BB’C’C ⇒ O1 I⊥B C Ta có ∆O1 IB = ∆O1 IC (c-g-c) ⇒ O1 B = O1C 61 Tương tự ta có O2 A = O2C , O3 B = O3 A Gọi C1 , C2 , C3 theo thứ tự đường trịn tâm O1 bán kính O1C , tâm O2 bán kính O2 A , tâm O3 bán kính O3 B Lại có O2 O3 đường trung bình tam giác ABC ⇒ O2 O3 //BC Mà d1 ⊥BC nên d1 ⊥O2 O3 (38) Mặt khác (C2 ), (C3 ) cắt A nên trục đẳng phương hai đường tròn (C2 ), (C3 ) qua điểm A (39) Từ (38) (39) suy d1 trục đẳng phương (C2 ), (C3 ) Tương tự ta có d2 trục đẳng phương (C1 ), (C3 ), d3 trục đẳng phương (C1 ), (C2 ) Áp dụng định lý tâm đẳng phương ba đường tròn ta có d1 , d2 , d3 đồng quy điểm Bài tốn 2.3.7 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, kẻ đường cao AH Gọi E F điểm đối xứng chân đường cao H qua AB AC EF cắt AB AC P Q Chứng minh AH, BQ, CP đồng quy Phân tích định hướng: Trong để chứng minh đường thẳng CP, AH, BQ đồng quy ta chứng minh chúng trục đẳng phương đường trịn đường kính AC, AB, BC Bài giải: Ta có E đối xứng với H qua AB ⇒ AB đường trung trực EH ⇒ AHP = AEP (40) Lại có AE = AH = AF ⇒ Tam giác AEF cân A ⇒ AEP = AFP (41) Từ (40) (41) suy ra: AHP = AFP Suy tứ giác APHF nội tiếp đường trịn đường kính AC Tương tự tứ giác BPQC nội tiếp đường trịn đường kính BC Tứ giác BHQA nội tiếp đường trịn đường kính AB Từ suy CP, AH, BQ đồng quy tâm đẳng phương ba đường trịn đường kính AC, BC AB 62 Hình 2.58 2.3.2 Các tốn điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường trịn Bài tốn 2.3.8 Cho tam giác ABC có D trung điểm cạnh BC Gọi d đường thẳng qua D vng góc với đường thẳng AD Trên đường thẳng d lấy điểm M Gọi E, F trung điểm đoạn thẳng MB, MC Đường thẳng qua E vng góc với d cắt đường thẳng AB P, đường thẳng qua F vuông góc với d cắt đường thẳng AC Q Chứng minh đường thẳng qua M, vng góc với đường thẳng PQ qua điểm cố định M di động đường thẳng d Phân tích định hướng: Đối với ta chứng minh đường thẳng d’ qua M vuông với PQ trục đẳng phương (C1 ), (C2 ) đường thẳng HH’, KK’, d’ đồng quy tâm đẳng phương I cố định đường tròn (C), (C1 ), (C2 ) Bài giải: Gọi H, K hình chiếu B,C lên đường thẳng d Do D trung điểm BC nên DH=DK, suy AD trung trực HK Suy AH=AK Gọi (C) đường tròn tâm A qua H K Gọi H’, K’ điểm đối xứng với H, K qua đường thẳng AB, 63 Hình 2.59 AC Suy H’, K’ thuộc (C) Giả sử đường thẳng HH’, KK’ cắt I Do B,C cố định suy H, K cố định nên H’, K’ cố định ⇒ I điểm cố định.(42) Ta có PE // BH (cùng vng góc với d) mà PE qua trung điểm MB nên qua trung điểm MH Suy PE trung trực MH ⇒ PH = PM Gọi (C1 ) đường tròn tâm P qua H M, tính đối xứng nên H’ thuộc (C1 ) Hồn tồn tương tự, ta có QF trung trực MK, gọi (C2 ) đường tròn tâm Q qua K M K’ thuộc (C2 ) Ta lại có (C), (C1 ) cắt H, H’ nên HH’ trục đẳng phương (C), (C1 ) (C), (C2 ) cắt K, K’ nên KK’ trục đẳng phương (C), (C2 ) Mặt khác M thuộc (C1 ), (C2 ) P, Q tâm (C1 ), (C2 ) nên đường thẳng d’ qua M, vng góc với PQ trục đẳng phương 64 (C1 ), (C2 ) Từ suy HH’, KK’, d’ đồng quy tâm đẳng phương I ba đường tròn (C), (C1 ), (C2 ) (43) Từ (42) (43) suy d’ qua I điểm cố định Vậy đường thẳng qua M, vng góc với đường thẳng PQ qua điểm I cố định M di động đường thẳng d Bài toán 2.3.9 Cho tam giác ABC, điểm A’, B’ nằm hai cạnh BC CA Chứng minh trục đẳng phương hai đường trịn đường kính AA’ BB’ qua trực tâm H tam giác ABC Phân tích định hướng: AE ∩ BF = H nên ta cần chứng minh AE đẳng phương (M; MA) (O1 ); BF trục đẳng phương (M, MA) (O2 ).Khi theo định lý tâm đẳng phương ta có trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) qua H Bài giải: Gọi E, F chân đường cao hạ từ A, B tam giác ABC Hình 2.60 Ký hiệu (O1 ), (C2 ) đường tròn đường kính AA’ BB’ Gọi M trung điểm AB Ta có (M, MA) ∩ (O1 ) = {A, E} ⇒ AE đẳng phương (M;MA) (O1 ) 65 (M, MA) ∩ (O2 ) = {B, F} ⇒ BF trục đẳng phương (M, MA) (O2 ) Do AE, BF giao trực tâm H áp dụng định lý tâm đẳng phương ta suy trục đẳng phương (O1 ) (O2 ) qua H Bài toán 2.3.10 Cho (O) dây AB Các đường tròn (O1 ), (O2 ) nằm phía (AB), tiếp xúc với (AB) tiếp xúc với (O); (O1 ) ∩ (O2 ) = {H, K} Chứng minh HK qua điểm cố định Phân tích định hướng: Sử dụng bổ đề chứng minh CF, DE qua điểm I mà HK, CF, DE trục đẳng phương đường tròn (O1 ), (O2 ), đường tròn ngoại tiếp tam giác CDEF nên theo định lý tâm đẳng phương ta có HK qua điểm I cố định Bài giải: Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Bổ đề 2.3.1: "Giả sử (J) tiếp xúc với (O) E, tiếp xúc dây AB F Khi đường thẳng EF qua điểm M cung AB."(Hình 2.61a) Thật vậy: Giả sử EF cắt (O) M EFI = FEJ = EMO ⇒ JF//OM, mà JF⊥AB ⇒ OM⊥AB Vậy M điểm cung AB Trở lại tốn.(Hình 2.61b) Gọi C, D tiếp điểm (O1 ), (O2 ) với (O), F, E tiếp điểm (O1 ), (O2 ) với AB Theo bổ đề CF, DE qua điểm I cung AB 1 Mặt khác DCF = sd DI= sd(DB + BI) = sd(DB + AI) = AEI 2 Suy tứ giác CDEF nội tiếp Áp dụng định lý tâm đẳng phương cho đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDEF, (O1 ), (O2 ) ta có HK, CF, DE đồng quy Vậy HK qua điểm I cố định 66 (a) (b) Hình 2.61 Nhận xét chung: Tâm đẳng phương có nhiều ứng dụng việc giải tốn hình học phẳng đặc biệt ứng dụng vào giải toán quan hệ đồng quy 67 KẾT LUẬN Với mục tiêu đề tài, luận văn “Phương tích ứng dụng giải tốn hình học phẳng” thực nội dung sau: Hệ thống kiến thức liên quan đến phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương chương trình Tốn bậc trung học phổ thông Hệ thống phân loại chủ đề tốn hình học giải phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương cụ thể sau: - Bài tốn chứng minh đẳng thức hình học - Bài toán quan hệ thẳng hàng, đồng quy - Bài toán điểm cố định, tập hợp điểm thuộc đường trịn - Bài tốn quan hệ vng góc Đối với chủ đề, có tốn minh họa toán tham khảo kèm theo Đối với dạng tốn, có phân tích định hướng giải sau phần có nhận xét phân tích, đánh giá phương pháp giải Hy vọng nội dung luận văn tiếp tục mở rộng hoàn thiện thời gian đến, thân có điều kiện tiếp tục khảo sát phát triển nội dung luận văn để giải nhiều chủ đề tốn hình học thuộc chương trình Tốn bậc trung học phổ thơng Trong q trình làm luận văn hạn chế thời gian lực nên luận văn cịn nhiều thiếu sót, mong nhận ý kiến nhận xét từ quý thầy bạn để luận văn hồn thiện Xin chân thành cảm ơn ! 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Bá Hà, Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Văn Nho, Lê Hồnh Phị (2006), "Bồi dưỡng tốn hình học 10", NXB Đại học quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Xuân Bình (2013), “Bài tập nâng cao số chuyên đề hình học 10”, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Lộc, Hàn Minh Toàn, Nguyễn Văn Hoàng, Bùi Hữu Đức (2007), “Các chuyên đề tốn trung học phổ thơng hình học 10”, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh [4] Lê Hồnh Phị (2013), "500 tốn chọn lọc đại số hình học 10", NXB Đại học quốc gia Hà Nội [5] Đoàn Quỳnh, Văn Như Cương, Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Hà, Đỗ Thanh Sơn, Lê Bá Khánh Trình (2009), “Tài liệu giáo khoa chun Tốn hình học 10”, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Quỳnh, Đào Văn Lương (2013), chuyên đề “ Phương tích ứng dụng”, Trại hè hùng vương lần thứ IX [7] Đỗ Thanh Sơn, Trần Hữu Nam (2006), “Phương pháp giải tốn hình học 10 theo chủ đề”, NXB Giáo dục [8] Đỗ Thanh Sơn (2011), "Phương pháp giải tốn Hình học phẳng 10", NXB Đại học quốc gia Hà Nội ... chất phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương Chương trình bày ứng dụng phương tích, trục đẳng phương, tâm đẳng phương vào giải số toán hình học phẳng chương trình phổ thơng trung học 4... chọn đề tài ? ?Phương tích ứng dụng giải tốn hình học phẳng? ?? làm đề tài luận văn thạc sĩ với mong muốn tìm hiểu phương tích, kiến thức liên quan vận dụng để giải số toán hình học phẳng chương trình... TRỤC ĐẲNG PHƯƠNG VÀ TÂM ĐẲNG PHƯƠNG VÀO GIẢI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG Phương tích, trục đẳng phương tâm đẳng phương có nhiều ứng dụng việc giải tốn chứng minh đẳng thức hình học, quan hệ thẳng hàng, đồng