Công thức truy hồi tuyến tính và ứng dụng

1 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các kết nghiên cứu luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép chưa công bố cơng trình Tác giả luận văn Nguyễn Thị Thanh Xuân MỤC LỤC Mở đầu Chương 1: Nhập môn tổ hợp 1.1 Sơ lược lịch sử 1.2 Bài toán tổ hợp .7 1.3 Cấu hình tổ hợp 10 1.3.1 Định nghĩa cấu hình tổ hợp 10 1.3.2 Nguyên lý cộng nguyên lý nhân 10 1.3.3 Các cấu hình tổ hợp 13 Chương 2: Lý thuyết phương pháp giải công thức truy hồi .18 2.1 Khái niệm công thức truy hồi .18 2.2 Giải công thức truy hồi phương pháp lặp 18 2.3 Giải cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số 21 Chương 3: Ứng dụng công thức truy hồi tuyến tính vào giải tốn sơ cấp 27 3.1 Ứng dụng đại số 27 3.2 Ứng dụng số học .48 Kết luận…………………………………………………………………… 56 Tài liệu tham khảo………………………………………………………… 57 MỞ ĐẦU I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, xếp phần tử nhiều tập hợp, thỏa mãn số điều kiện Tổ hợp ngành khoa học xuất sớm vào đầu kỷ 17, áp dụng nhiều lĩnh vực khác lý thuyết số, hình học, đại số, xác suất thống kê, quy hoạch thực nghiệm, khoa học máy tính, hóa học Một phần tốn đếm Tổ hợp cơng thức truy hồi Cơng thức truy hồi giúp ta giải Bài toán đếm số tập tập có n phần tử, tốn tháp Hà Nội, toán đếm n đường thẳng chia mặt phẳng làm phần Hiện chưa có tài liệu trình bày cách hệ thống kiến thức công thức truy hồi ứng dụng giải tốn sơ cấp Chính lẻ tơi chọn đề tài “Cơng thức truy hồi tuyến tính ứng dụng” để nghiên cứu với mong muốn học tập tích lũy kiến thức cho thân ứng dụng giải toán sơ cấp, làm tài liệu hữu ích việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi sau II ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU II Đối tượng: Công thức truy hồi, giải công thức truy hồi phương pháp lặp, giải cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số tập ứng dụng III.2 Phạm vi: Vận dụng công thức truy hồi để giải số toán tồn toán sơ cấp III MỤC TIÊU VÀ NHIỆM VỤ III Mục tiêu: Nghiên cứu công thức truy hồi để ứng dụng giải số toán, đặc biệt toán thi học sinh giỏi phổ thông III.2 Nhiệm vụ: - Hệ thống số kiến thức công thức truy hồi - Nắm vững vận dụng cơng thức truy hồi để giải tốn đại số, giải tích IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tham khảo, phân tích, tổng hợp, hệ thống: Tham khảo nguồn tài liệu khác có liên quan đến cơng thức truy hồi ứng dụng giải toán sơ cấp, phân tích tư liệu thu thập sau tổng hợp, hệ thống lại viết đề tài V KẾT QUẢ DỰ KIẾN Trình bày cách hệ thống kiến thức công thức truy hồi ứng dụng cơng thức truy hồi để giải tốn toán sơ cấp VI Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI VI.1 Ý nghĩa khoa học: Hệ thống kiến thức công thức truy hồi ứng dụng giải toán sơ cấp VI.2 Ý nghĩa thực tiễn: Đề tài hoàn thành trở thành tài liệu tham khảo bổ ích cho giáo viên , học sinh trường THPT, sinh viên trường đại học cao đẳng , bạn yêu toán, đặc biệt đối tượng dạy bồi dưỡng tham gia kỳ thi HSG quốc gia quốc tế VII CẤU TRÚC LUẬN VĂN Ngoài phần Mở đầu Kết luận, luận văn chia làm hai chương: - Chương 1: Giới thiệu tổ hợp - Chương 2: Lý thuyết phương pháp giải công thức truy hồi - Chương 3: Ứng dụng cơng thức truy hồi tuyến tính vào giải toán sơ cấp CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU VỀ TỔ HỢP 1.1 Sơ lược lịch sử Có thể nói tư tổ hợp đời từ sớm Vào thời nhà Chu Trung quốc, người ta biết đến hình vng thần bí Thời cổ Hi-lạp, kỷ thứ trước Công nguyên, nhà triết học Kxenokrat biết cách tính số từ khác lập từ bảng chữ cho trước Nhà toán học Pitagor học trị tìm nhiều số có tính chất đặc biệt Chẳng hạn 36 khơng tổng số chẵn số lẻ đầu tiên, mà tổng lập phương số tự nhiên 36 = 1+2+3+4+5+6+7+8 = 13+23 +33 Từ định lý Pitagor người ta tìm số mà bình phương tổng bình phương hai số khác Các toán địi hỏi phải có nghệ thuật tổ hợp định Tuy nhiên nói rằng, lý thuyết tổ hợp hình thành ngành tốn học vào kỷ 17 loạt cơng trình nghiên cứu nhà toán học xuất sắc Pascal, Fermat, Euler, Leibnitz… Các tốn tổ hợp có đặc trưng bùng nổ tổ hợp với số cấu hình tổ hợp khổng lồ Việc giải chúng đòi hỏi khối lượng tính tốn khổng lồ (có trường hợp hàng chục năm) Vì thời gian dài, mà ngành tốn học Phép tính vi phân, phép tính tích phân, phương trình vi phân,… phát triển vũ bão, dường nằm ngồi phát triển ứng dụng tốn học Tình thay đổi từ xuất máy tính phát triển toán học hữu hạn Nhiều vấn đề tổ hợp giải máy tính Từ chỗ nghiên cứu trò chơi, tổ hợp trở thành ngành tốn học phát triển mạnh mẽ, có nhiều ứng dụng lĩnh vực toán học, tin học… Chúng ta tìm hiểu số tốn tổ hợp tiếng lịch sử * Bài toán tháp Hà Nội Bài toán Edouard Lucas đưa cuối kỷ 19 (Ông người đưa dãy Fibonacci) Bài tốn phát biểu sau: Có cọc , cọc thứ có n đĩa kích thước khác xếp chồng nhau, đĩa nhỏ nằm đĩa lớn Hãy chuyển đĩa từ cọc thứ sang cọc thứ ba, sử dụng cọc trung gian thứ hai, cho đảm bảo đĩa nhỏ đĩa lớn Hãy đếm số lần di chuyển đĩa Tìm phương án di chuyển đĩa tối ưu Số lần di chuyển 2n-1 Khi n = 64, ta có số lần di chuyển đĩa là: 18 446 744 073 709 551 615 * Bài toán xếp n cặp vợ chồng Bài toán Lucas đưa năm 1891 Bài toán phát biểu sau: Có n cặp vợ chồng cần xếp vào bàn trịn cho khơng có cặp ngồi gần Có cách xếp vậy? Bài toán dẫn đến việc nghiên cứu khái niệm quan trọng số phân bố đến năm 1934 có lời giải Số cách xếp 2.n!.Un Trong Un số phân bố Bảng sau cho thấy bùng nổ tổ hợp ghê gớm số phân bố n= Un= 13 80 579 10 11 738 43 387 439792 4890741 * Bài toán đường quân ngựa bàn cờ : Cho bàn cờ vua với kích thước x 8=64 Tìm đường quân ngựa qua tất ô, ô lần, quay ô xuất phát Người ta chứng minh tổng quát Trên bàn cờ vng có số cạnh chẵn lớn tồn đường Đường Euler (1759) có tính chất : hiệu đối xứng qua tâm bàn cờ 32 37 62 43 56 35 60 41 50 44 55 36 61 42 49 34 59 63 38 53 46 57 40 51 48 54 45 64 39 52 47 58 33 26 15 20 16 19 27 17 10 29 18 28 32 13 22 25 14 21 31 23 12 24 11 30 Đường Beverle (1848) có tính chất : tổng ô cột hàng 260 30 47 52 48 51 31 46 49 50 28 43 54 29 44 53 55 42 25 32 45 56 41 26 33 62 15 20 27 24 39 58 16 19 34 61 40 57 10 23 63 14 17 36 21 12 59 38 18 35 64 13 60 37 22 11 * Hình vng la tinh Hình vng la tinh cấp n hình vng gồm số 1,2,….,n-1,n thỏa mãn tổng hàng tổng cột n(n + 1) + +…+ n = Hình vng la tinh chuẩn cấp n hình vng la tinh cấp n có dịng đầu cột đầu 1,2,….,n Bảng sau hình vng la tinh chuẩn cấp 7 7 7 7 Công thức tính số hình vng la tinh đến cịn bỏ ngỏ Tuy nhiên ta có lập chương trình liệt kê tất hình vng la tinh chuẩn Dưới số giá trị n= ln = 1 56 408 16 942080 (ln số hình vng la tinh chuẩn cấp n) * Hình lục giác thần bí : Năm 1910 Clifford Adams đưa tốn hình lục giác thần bí sau : Trên 19 lục giác điền số từ đến 19 cho tổng theo sáu hướng lục giác (=38) Sau 47 năm trời kiên nhẫn cuối ông ta tìm lời giải Nhưng sơ ý đánh thảo ông tốn thêm năm để khôi phục lời giải Năm 1962 Adams công bố lời giải Đây lời giải 15 14 13 10 11 12 18 17 16 19 1.2.Bài toán tổ hợp Qua toán ta thấy toán tổ hợp đa dạng, liên quan đến nhiều lĩnh vực khoa học đời sống khác Có thể nói cách tổng quát lý thuyết tổ hợp nghiên cứu việc phân bố, xếp phần tử nhiều tập hợp, thỏa mãn số điều kiện Mỗi cách phân bố, xếp gọi cấu hình tổ hợp • Cấu hình tổ hợp : Cho tập hợp A1, , An Giả sử S sơ đồ xếp phần tử A1, , An, mô tả quy tắc xếp R1,….Rm điều kiện ràng buộc lên xếp theo sơ đồ S Khi xếp phần tử A1, , An thỏa mãn điều kiện R1,….Rm gọi cấu hình tổ hợp tập A1, , An Ví dụ : Xét bố trí quân cờ bàn cờ vua Mỗi cờ coi cấu hình tổ hợp Ở ta định nghĩa : A tập hợp quân cờ trắng 10 B tập hợp quân cờ đen S sơ đồ xếp quân cờ bàn cờ R hệ thống điều kiện xác định luật cờ vua Ví dụ : Bài toán tháp Hà nội A tập hợp n đĩa S sơ đồ xếp đĩa cọc R1 điều kiện lần chuyển đĩa từ cọc sang cọc khác R2 điều kiện đĩa nằm lớn đĩa nằm Cấu hình tổ hợp cách xếp đĩa cọc thỏa điều kiên R1 R2 Ví dụ: Bài toán đường quân ngựa bàn cờ A tập hợp bàn cờ, biểu diễn sau A= { [i,j]| i, j =1, ,8} S sơ đồ xếp tất A thành vịng khép kín R điều kiện từ vịng đến ô kề theo quy tắc qn ngựa •Các dạng tốn tổ hợp: Với cấu hình tổ hợp ta thường gặp dạng toán sau: toán tồn tại, toán đếm, toán liệt kê toán tối ưu * Bài toán tồn Mục tiêu toán tồn chứng minh tồn không tồn cấu hình tổ hợp Có tốn loại khó việc cố gắng giải chúng thúc đẩy phát triển nhiều hướng nghiên cứu tốn học Ví dụ: Cho n ngun dương A tập hợp n x n điểm A= { [i,j]| i, j =1, ,n} 34 2n + = n( kn + l ) − 3( n − ) [ k( n − ) + l ] + ( n − )  k ( n − ) + l  , cho n = ; n = ta 5k − l = ⇔ k = −1;l = −6 3k − l = có hệ :  Đặt = un + n( n + ) ⇒ v0 = 1;v1 = 11 − 3vn−1 + 2vn−2 = α + β = ⇒ = α n + β 1n với α , β :  ⇔ α = 10; β = −9 2α + β = 11 ⇒ = 10.2n − ⇒ un = 5.2n +1 − n − 6n − ,∀n = ,1, u = −1;u1 = Bài Tìm cơng thức tổng qt dãy số ( un ) :  n un − 4un −1 + 3un − = 5.2 ,∀n ≥ Giải : Ta phân tích 2n = a.2n − 4a.2n−1 + 3a.2n− Cho n = ta có : = 4a − 8a + 3a ⇔ a = −4 Đặt = un + 5.4.2n ⇒ v0 = 19;v1 = 43 − 4vn −1 + 3vn − = Vì phương trình x − x + = có hai nghiệm phân biệt x = ; x = nên = α 3n + β 1n α + β = 19 ⇔ α = 12; β = ⇒ = 12.3n + α β 43 + =  Vớ i α , β :  Vậy : un = 4.3n +1 − 5.2n + + ,∀n = 1, 2, u0 = −1;u1 = Bài Xác định công thức tổng quát dãy ( un ) :  n un − 5un −1 + 6un − = 5.2 ,∀n ≥ Giải : Phương trình x − x + = có hai nghiệm x1 = 2; x2 = ,do : un = p.2 n + q.3n + 5kn.2n α  k = 2α + a = − = −2  Vớ i  p + q = − ⇔ k = −2; p = −26;q = 25 2 p + 3q + 10k =   35 Vậy : un = −26.2n + 25.3n − 10n.2n = 25.3n − 2n+1 ( 5n + 13) ,∀n = 1, u = 1;u1 = Bài Tìm cơng thức tổng quát dãy ( un ) :  n un − 4un −1 + 4un − = 3.2 Giải: Phương trình x − x + = có nghiệm kép x = nên un =  p + qn + n2  2n   p =1 ⇔ p = 1;q = −1 p+q = Dựa vào u0 ;u1 ta có hệ :  Vậy un = ( 3n − 2n + ) 2n −1 ,∀n = 1, u1 = 0;u2 = 1;u3 = un = 7un −1 − 11un − + 5un −3 ,∀n ≥ Bài Tìm cơng thức tổng qt dãy ( un ) :  Giải: Xét phương trình đặc trưng: x3 − x + 11x − = Phương trình có ba nghiệm thực: x1 = x2 = 1, x3 = Vậ y a n = α + β n + γ n Cho n = 1,n = 2,n = giải hệ phương trình tạo thành, ta được: α= Vậ y a n = −1 , β = ,γ = 16 16 −1 + ( n − 1) + 5n −1 16 16 + cos 2α ) xn + cos 2α ( Bài Cho dãy ( xn ) : x1 = 1; xn+1 = ( − cos 2α ) xn + − cos 2α n Đặt yn = ∑ i =1 ,∀n ≥ Tìm α để dãy số ( yn ) có giới hạn hữu hạn xi + tìm giới hạn (HSG Quốc Gia Bảng A - 2004) Giải : Ta có : 36 x n +1 + ⇒ = sin α + 3 ( x n + 1) 1   = +  − n −1  sin α xn + 3n   ⇒ yn = n ∑ 2x i =1 i Vì lim n +1 = ∑3 i =1 i n  1  + sin α ∑  − i −1  =  − n 3    i =1 3    + n − 1 − n 2      sin α  = nên dãy ( yn ) có giới hạn hữu hạn ⇔ sin α = ⇔ α = kπ 3n Khi : lim yn = Bài Cho dãy ( un ) 2  u1 = : Tính tổng 2001 số hạng un −1 un = , ∀n ≥ 2 ( 2n − 1) un −1 +  dãy ( un ) (HSG Quốc Gia – 2001) Giải : Ta có : 1 = + 4n − (*) un un −1 Ta phân tích : 4n − = k  n2 − ( n − 1)  + l  n − ( n − 1) Cho n = 0, n = 1, ta có hệ :  − k + l = −2 ⇔ k = 2;l =  k + l = Suy (*) ⇔ 1 −1 − 2n = − ( n − 1) = = − = un un −1 u1 ⇒ 4n − ( 2n − 1)( 2n + 1) = = un 2 ⇒ un = ( 2n − 1)( 2n + 1) = 1 − 2n − n + 2001 2001  4002  ⇒ ∑ ui = ∑  − =  = 1− 2i +  4003 4003 i =1 i =1  2i − 37  x = x + + x2 n −1 n −1  x1 =  n Bài 10 Cho hai dãy số ( xn ) ; ( yn ) xác định :   yn −1  y1 =  yn = + + yn −1  ∀n ≥ Chứng minh : < xn yn < 3,∀n ≥ (Belarus 1999) Giải : Ta có : x1 = = cot π ⇒ x2 = cot π + + cot π Bằng quy nạp, ta chứng minh : xn = cot Theo kết 8, ta có : yn = tan Đặt α n = π 2n cos = π sin +1 π = cot π 2.6 π n −1 π n −1 ⇒ xn = cot α n ; yn = tan 2α n ⇒ xn yn = tan 2α n cot α n Đặt t = tan α n ⇒ tan 2α n cot α n = 2t = 1− t t 1− t2 Vì n ≥ ⇒ < αn < ⇒2< π ⇒ < t < tan π = ⇒ ≤ 1− t2 < 3 < ⇒ < xn yn ≤ 3,∀n ≥ 1− t2 Suy đpcm Bài 11 Cho dãy số ( xn )  x1 <  : − xn + − xn2 x = ,∀n ≥  n +1  1) Cần cho thêm điều kiện x1 để dãy số tồn số dương ? 2) Dãy số có tuần hồn khơng ? Tại ? (HSG Quốc Gia 1990) Giải : 38 Vì x1 < nên tồn α ∈  −π π  ;  ,sin α = x1 Khi :  2 x2 = −1 π  sin α + cosα = sin  − α  2 3  x3 = −1  π  π  sin  − α  + cos  − α  3  3  Nế u −π π ≤ α < ⇒ x3 = sin α Nế u −π −π 2π   n − nên ta có n − = ⇔ n = ⇒ m = 36 46 Vậy có 36 huy chương phát phát ngày Bài Có xâu nhị phân độ dài n khơng có hai bit đứng cạnh ? Giải : Gọi cn số xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn điều kiện đầu Ta có : c1 = 2;c2 = Xét xâu nhị phân độ dài n thỏa mãn diều kiện đầu có dạng an an −1an− a2 a1 Có hai trường hợp : an = Khi an −1 = an − a2 a1 chọn xâu độ dài n – thỏa điều kiện Có cn −2 xâu vậy, suy trường hợp có cn −2 xâu an = Khi an −1 a2 a1 chọn xâu dài n – thỏa điều kiện Có cn −1 xâu vậy, suy trường hợp có cn −1 xâu Vậy tổng cộng xây dựng cn−1 + cn −2 xâu, hay cn = cn−1 + cn− −  1−  Suy : cn =     n −1 −  1+  +     n −1 47 KẾT LUẬN Sau thực luận văn này, thu số kết sau : Trình bày có hệ thống khái niệm tổ hợp Trình bày lý thuyết phương pháp giải cơng thức truy hồi Đưa ví dụ nhằm làm rõ ứng dụng công thức truy hồi toán sơ cấp Tạo tiền đề để luận văn phát triển xa 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO Các trang web: http://www.e-ptit.edu.vn http://vn.360plus.yahoo.com/chau-736331/article? mid=17 http://www.bitex.edu.vn/web/toanhoc.aspx? load= detail http://totoanhd.hnsv.com/viewtopic.php?f=23 & t=27 Các trang web truy cập vào ngày 02/12/2011 Các sách tham khảo: [1] Trần Quốc Chiến, Giáo trình lý thuyết tổ hợp, Đà Nẵng, 2010 [2] Trần Nam Dũng, Tài liệu bồi dưỡng đội tuyển Viêt Nam tham dự IMO 2010, 2010 [3] Phan Huy Khải, Các tốn hình học tổ hợp, NXB Giáo dục, 2007 [4] Phan Huy Khải, Số học dãy số, NXB Giáo dục, 2009 [5] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Thịnh, Phan Văn Hạp, Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục, 2001 [6] Hội toán học Việt Nam, Tuyển tập 30 năm tạp chí tốn học tuổi trẻ, NXB Giáo dục, 2000 [7].Tập san Toán học tuổi trẻ năm [8].Tuyển tập đề thi Olimpic IMO năm ... VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU II Đối tượng: Công thức truy hồi, giải công thức truy hồi phương pháp lặp, giải công thức truy hồi tuyến tính hệ số tập ứng dụng III.2 Phạm vi: Vận dụng công thức truy hồi. .. giải công thức truy hồi .18 2.1 Khái niệm công thức truy hồi .18 2.2 Giải công thức truy hồi phương pháp lặp 18 2.3 Giải công thức truy hồi tuyến tính hệ số 21 Chương 3: Ứng dụng. .. thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc k, (So) gọi công thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc k 20 2.3.2 Nghiệm riêng cơng thức truy hồi tuyến tính hệ số bậc Công thức truy hồi tuyến tính khơng hệ số