Lớp các đẳng thức kinh điển đóng một vai trò quan trọng trong lí thuyết bất đẳng thức. Các bất đẳng thức kinh điển thông dụng này hay gặp nhất là : Bất đẳng thức Cô-si, bất đẳng thức Min-kop-xki. Để chứng minh bất đẳng thức này ta có rất nhiều phương pháp. Ở đây ta đưa ra một lượt đồ chung, nhất quán để chứng minh các bất đẳng thức này : Dựa vào tính lồi của hàm số mà thực chất dựa vào bất đẳng thức rất nổi tiếng với lớp các hàm lồi – bất đẳng thức Jen-xen.
Bài 1 : (Bất đẳng thức Cô-si).
Cho số thực không âm , … , . Chứng minh rằng :
Lời giải
Chỉ có hai khả năng sau xảy ra : 1) Tồn tại Khi đó
Trong khi đó do . Xét hàm số với .
35
Vì là hàm số đồng biến khi , nên từ (1) suy ra :
Kết hợp cả hai trường hợp suy ra bất đẳng thức Cô-si được chứng minh hoàn toàn.
Bài 2: (Bất đẳng thức Min-kop-xki ).
Cho hai dãy số không âm , … , ; , … , Chứng minh rằng bất đẳng thức Min-kop-xki 1 sau đây :
Lời giải
Giống như trong các lập luận ở bài toán trước, ta có thể cho rằng với mọi .
Xét hàm số
Vậy là hàm lồi trên toàn trục số. Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen với
36 Ta có : Để ý rằng: Lại có : Từ (2) và (3) suy ra :
37
(4) Do hàm là hàm đồng biến khi nên ta có :
Bất đẳng thức Min-kop-xki 1 được chứng minh.
Bài 3: (Bẩt đẳng thức liên hệ giữa trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình toàn phương và trung bình điều hòa ).
Cho . Ta đưa vào xét các đại lượng sau đây:
tương ứng là trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình toàn phương và trung bình điều hòa của các số .
Chứng minh bất đẳng thức sau nói về sự lien hệ giữa các đại lượng này
38
Xét hàm số với . Rõ ràng là hàm lồi khi .
Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen, ta có:
39
Theo bất đẳng thức Cô-si thì (4) Từ (1), (3), (4), đi đến: