Trong hình học tổ hợp có một số lớp các bài toán mà chúng có đặc điểm chung nổi bật là : Kết luận của các bài toán này thực chất phụ thuộc vào sự giao nhau có khác rỗng hay không của một họ tập lồi nào đó. Phương pháp có hiệu lực nhất để giải lớp các bài toán ấy là sử dụng định lí Kelli. Lược đồ chung của việc sử dụng định lí Kelli để giải các bài toán này như sau :
- Đưa bài toán đã cho về dạng khảo sát sự giao nhau của một họ tập lồi nào đó
- Sử dụng định lí Kelli để suy ra kết luận cần tìm.
Bài 1: Cho bốn nửa mặt phẳng. Chứng minh rằng tồn tại ba nửa mặt phẳng trong bốn nửa mặt phẳng ấy sao cho chỉ riêng ba nửa mặt phẳng này cũng lấp đầy mặt phẳng.
Lời giải
Gọi là bốn nửa mặt phẳng. Từ giả thiết ta có :
26
(ở đây dùng để chỉ phần bù của tập hợp ).
Theo quy tắc Demorgan, từ (2) có . (3) Vì lồi nên cũng lồi với mọi .
Giả thiết phản chứng không tồn tại ba nửa mặt phẳng nào trong số các ( , mà ba nửa mặt phẳng này lấp đầy mặt phẳng. Điều đó có nghĩa là: Với mọi phân biệt, mà thì
Nói cách khác (4) Theo quy tắc Demorgan thì từ (4) có (5)
Từ (5) và áp dụng định lí Kelli suy ra (6) Bây giờ từ (3) và (6) suy ra mâu thuẫn, tức là phản chứng sai.
Từ đó ta có đ.p.c.m.
Bài 2: Trên mặt phẳng cho hình tròn ( . Gỉa sử cứ với mỗi ba hình tròn đều có một hình tròn bán kính cắt ba hình tròn ấy. Chứng minh rằng tồi tại một hình tròn có báb kính cắt cả hình tròn. Lời giải
27 Gọi là hình tròn tâm , bán kính ( , , Và gọi là hình tròn tâm , bán kính (
Như vậy tâm của tất cả các hình tròn có bán kính mà cắt đều nằm trong
Xét tập hợp lồi
Với tùy ý mà .
Theo giả thiết tồn tại hình tròn cắt tất cả tức là . Điều đó chứng tỏ rằng : với mọi Theo định lí Kelli suy ra:
Xét hình tròn tâm và bán kính . Hình tròn này rõ rang cắt với mọi
28
Bài 3: Trên mặt phẳng có một họ hữu hạn các hình chữ nhật có các cạnh
tương ứng song song với hai trục tọa độ. Chứng minh rằng nếu hai hình bất kì trong chúng có giao khác rỗng thì cả họ có giao khác rỗng.
Lời giải
Lấy hệ tọa độ có các trục song song với các cạnh của hình chữ nhật. Chiếu các hình chữ nhật này lên và .
Ta có sự tương ứng 1 – 1 sau đây :
Như vậy ta có : họ các đoạn thẳng , và họ các đoạn thẳng , với mọi .
Do , với mọi , cho nên
29
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});