Chứng minh bất đẳng thức nói chung, bất đẳng thức đại số nói riêng là một phần quan trọng trong giáo trình dạy và học môn toán ở nhà trường phổ thông. Người ta có rất nhiều phương pháp hiệu quả khác nhau để chứng minh bất đẳng thức. Với mỗi bất đẳng thức cho trước, dựa vào cấu trúc của bất đẳng thức ta có thể lựa chọn một phương pháp chứng minh thích hợp. Giống như việc làm đối với một số bất đẳng thức kinh điển trong phần 1, trong phần 2 này trình bày cách sử dụng bất đẳng thức Jen-xen để chứng minh hàng loạt các bất đẳng thức đại số. Dĩ nhiên đó là những bất đẳng thức mà phương pháp ta áp dụng là hiệu quả nhất. Lược đồ chung để giải các bài toán này cũng giống như lược đồ chung khi sử dụng tính lồi để chứng minh một số bất đẳng thức kinh điển đã trình bày trong phần 1.
Bài 1: Giả sử , … , là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng:
40
Vậy là hàm lồi
Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen, ta có :
với , .
Đặc biệt, lấy (do ), ta có :
hay
Bài 2: Cho là ba số dương. Chứng minh rằng:
Lời giải
Do là hàm đồng biến với , nên bất đảng thức cần chứng minh
41
Xét hàm số với Ta có :
Vậy là hàm lồi. Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen ta có :
Do nên hiển nhiên ta có:
Từ (2) và (3) suy ra (1) đúng Đó là đ.p.c.m.
42
Lời giải
Vậy là hàm lồi khi . Theo bất đẳng thức Jen-xen với mọi , với mọi , ta có :
Áp dụng (1) với , ta có :
…………
43
Bài 4 : Cho . Chứng minh bất đẳng thức sau:
Lời giải
Xét hàm số với Ta có:
Vậy là hàm lồi khi
44
Do hàm là hàm đồng biến khi , nên từ (1) suy ra :