Bất đẳng thức mang nội dung hình học là một phần quan trọng trong lí thuyết bất đẳng thức. Để chứng minh các bất đẳng thức này, ta cần nắm vững và sử dụng thành thạo các kiến thức cơ bản của hình học. Tuy nhiên để có thể chứng minh một bất đẳng thức hình học, người ta còn phải kết hợp nhiều them
49
nhiều kiến thức khác, chẳng hạn như sử dụng các bất đẳng thức kinh điển, sử dụng đạo hàm,…
Các bài toán sau đây là những bất đẳng thức hình học mà để giải nó ta có thể sử dụng các kiến thức cơ bản của giải tích lồi mà cụ thể ta sẽ vận dụng bất đẳng thức Jen-xen. Qua các bài toán được trình bày dưới đây, ta sẽ thấy rõ sự hiệu quả khi sử dụng tính lồi để giải các bài toán ấy.
Cũng giống như các phần trên, lược đồ chung để giải lớp các bất đẳng thức hình học trong mục này là:
- Đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng bất đẳng thức hàm số.
- Sử dụng các điều kiện quen thuộc để phát hiện ra tính lồi, lõm của hàm số có mặt trong bất đẳng thức vừa được thiết lập.
- Vận dụng bất đẳng thức Jen-xen cho hàm lồi để chứng minh tính đúng đắn của bất đẳng thức cần chứng minh.
Bài 1. Cho đa giác lồi cạnh . là một điểm bất kì trong đa giác sao cho :
50 Đặt . Theo bất đẳng thức Jen-xen, ta có:
51
Vì (2) đúng với mọi , nên từ (2) ta có :
Từ (1) và (3) ta có:
Bài 2. Cho đường tròn bán kính 1. Gọi là diện tích đa giác đều cạnh nội tiếp trong đường tròn này . Chứng minh rằng:
1) 2
2) 2 .
Lời giải
52
Gọi là tâm đa giác đều cạnh và là một cạnh của nó.
53
Do đó (2) đúng suy ra (1) đúng. Vậy 1) đã được chứng minh.
2) Từ phần 1) suy ra (3)
Vậy là hàm lõm khi . Khi đó, ta có với mọi và
54
hay
Thực hiện liên tiếp các bất đẳng thức (*) ta có:
Trong (*) lấy , ta có : Từ đó đi đến : Từ (3) và (5) suy ra: hay (6) Từ (1) và (6) ta có 2 .