Tính lồi của hàm số được sử dụng một cách hiệu quả để chứng minh các bất đẳng thức lượng giác, đặc biệt là bất đẳng thức lượng giác trong tam giác.
Như đã biết, bài toán về hệ thức lượng trong tam giác là một trong những bài toán chính được xét đến trong giáo trình lượng giác được giảng dạy và học tập trong nhà trường phổ thông. Hệ thức lượng trong tam giác thường được biểu diễn dưới dạng một đẳng thức hoặc một bất đẳng thức nào đó mô tả mối lien hệ giữa các yếu tố trong một tam giác. Để chứng minh được các bất đẳng thức này ta có thể sử dụng các kiến thức về lượng giác và một số kiến thức khác, trong số đó không thể không biết đến tính chất lồi của hàm số. Nhờ việc sử dụng thích hợp bất đẳng thức Jen-xen cho phép chúng ta có một phương pháp giải nhất quán nhiều bất đẳng thức lượng giác trong tam giác. Trong phần này trình bày một số bất đẳng thức lượng giác trong tam giác tiêu biểu, mà phương pháp này sử dụng hàm lồi là thích hợp và hiệu quả nhất để chứng minh các bất đẳng thức này.
Bài 1. Cho số nguyên dương.
45
Lời giải
1) Xét hàm số , với . Ta có
Do vậy là hàm lõm trên . Theo bất đẳng thức Jen-xen, ta có :
46
Ta có
Bài 2: Chứng minh rằng trong tam giác , ta có :
Lời giải
47
Vậy là hàm lồi trên . Theo bất đẳng thức Jen-xen, ta có :
Đó là đ.p.c.m.
Bài 3. Chứng minh rằng trong mọi tam giác , ta có :
Lời giải
Do là các số dương nên theo bất đẳng thức Cô-si, ta có:
Xét hàm số với . Ta có:
48
Từ (1) và (2), đi đến:
Tương tự, ta có:
Do các vế của (3), (4), (5) đều dương nên sau khi nhân từng vế ba bất đẳng thức này , ta thu được :
hay