10. Kế hoạch thực hiện đề tài
2.3.3. Nhận xét chun g:
Phương pháp tách biến là một trong những phương pháp quan trọng để giải các Phương trình Vật lý - Toán.
Ta sẽ phân tích kỹ bước 3, bước 4 để từ đó đưa ra những chỉ dẫn cụ thể hơn cho việc áp dụng phương pháp này. Sau khi thế u vào các đạo hàm, chia hai vế cho X(x)Y(y) ta được:
X'' X'Y' Y'' X' Y' G(x, y)
A +2B +C +D +E +F =
X XY Y X Y XY
Rõ ràng việc tách biến chỉ có thể tiến hành được nếu B 0 , G(x, y)0. Khi đó phương trình có dạng :
X'' X' Y'' Y'
A +D +F = C +E
X X Y Y
Đây là phương trình tách biến nếu: - A, D là hằng số hoặc chỉ phụ thuộc x. - C, E là hằng số hoặc chỉ phụ thuộc y.
- F là hằng số hoặc chỉ phụ thuộc một biến x hoặc y.
Ngoài ra ta còn có thể tách biến trong một số trường hợp đơn giản khác, chẳng hạn: D = E = 0, A = A x A y , C = C x C y , F = βA y C x 1 2 1 2 2 1 ( là hằng số) Khi đó phương trình trở thành: 1 2 1 2 2 1 X'' Y'' A x A y + C x C y + βA y C x =0 X Y
Chia hai vế cho A2(y)C1(x) ta được phương trình tách biến
1 2 1 2 A x X'' C y Y'' + + β=0 C x X A y Y
Như vậy có thể thấy: Quá trình tách biến khá phức tạp, trong nhiều trường hợp thậm chí không thực hiện được.
Qua những phân tích trên ta thấy
- Chỉ nên áp dụng trực tiếp phương pháp này đối với các phương trình đơn giản có những đặc điểm sau:
+Phương trình thuần nhất.
+ Hệ số hằng hoặc chỉ phụ thuộc vào một biến hoặc có dạng tích của hai hàm trong đó mỗi hàm chỉ phụ thuộc vào một biến (các Phương trình Vật lý - Toán cơ bản thuần nhất đều có những đặc điểm trên).
- Khi giải các phương trình không thuần nhất nên kết hợp phương pháp tách biến với phương pháp đặt hàm phụ hoặc phương pháp tìm nghiệm dưới dạng chuỗi để đạt hiệu quả cao hơn.
Sau đây ta sẽ vận dụng phương pháp này vào việc giải bài toán của phương trình truyền nhiệt.