2.1 Hội tụ điểm của chuỗi Fourier
2.1.2 Phương pháp trung bình cộng trong chuỗi Fourier
Trong phần này sẽ tìm phương pháp để có thể thiết lập lại hàm số ban đầu khi biết chuỗi Fourier của nó. Trước tiên, ta sẽ đi vào khái niệm nhân tốt, từ đó dựa vào tổng riêng của chuỗi để xây dựng tổng Cesàro (hoặc tổng Abel) hội tụ đến hàm số cần xác định.
Định nghĩa 2.1.2. Một họ các hàm{Kn(x)}∞n=1xác định bởiKn : [−π, π] → R được gọi là các nhân tốt (good kernels) nếu nó thỏa mãn các tính chất sau
(a) Với mọi n≥ 1,
1 2π
Z π
−π
Kn(x)dx = 1.
(b) Tồn tại một hằng số M > 0 sao cho với mọi n≥ 1 ta có Z π
−π
|Kn(x)|dx≤ M.
(c) Với mỗi δ > 0, Z
δ≤|x|≤π
|Kn(x)|dx→0, khi n→ ∞.
Chúng ta sẽ chỉ xem xét tới trường hợp Kn(x)≥ 0, khi đó điều kiện (b) được suy ra từ (a) trong định nghĩa.
Định lý 2.1.2 ([5]). Cho {Kn(x)}∞n=1 là họ các nhân tốt và f là hàm khả tích trên [−π, π]. Khi đó, nếu f liên tục tại x thì
n→∞lim (f ∗Kn)(x) = f(x).
Nếu hàm f liên tục tại mọi điểm trên [−π, π] thì giới hạn trên là hội tụ đều tới f(x).
Chứng minh. Do f liên tục tại x nên với > 0 cho trước, tồn tại δ > 0 sao cho |y| < δ thì |f(x−y)−f(x)| < .
Áp dụng tính chất (a) của nhân tốt ta được (f ∗Kn)(x)−f(x) = 1
2π Z π
−π
Kn(y)f(x−y)dy−f(x)
= 1 2π
Z π
−π
Kn(y)[f(x−y)−f(x)]dy.
Do đó
|(f ∗Kn)(x)−f(x)| =
1 2π
Z π
−π
Kn(y)[f(x−y)−f(x)]dy
≤ 1 2π
Z
|y|<δ
|Kn(y)||f(x−y)−f(x)|dy+
+ 1 2π
Z
δ≤|y|≤π
|Kn(y)||f(x−y)−f(x)|dy
≤ 2π
Z π
−π
|Kn(y)|dy+ 2B 2π
Z
δ≤|y|≤π
|Kn(y)|dy trong đó, B là hệ số bị chặn của f.
Do tính chất (b) của nhân tốt nên tồn tại M >0 sao cho
|(f ∗Kn)(x)−f(x)| ≤ M
2π + 2B 2π
Z
δ≤|y|≤π
|Kn(y)|dy.
Theo tính chất (c) của nhân tốt thì với n đủ lớn Z
δ≤|y|≤π
|Kn(y)|dy < . Do đó, với hằng số C nào đó và n đủ lớn ta có
|(f ∗Kn)(x)−f(x)| ≤ C.
Nếu f liên tục mọi nơi thì liên tục đều nên ta có thể chọn δ không phụ thuộc x. Khi đó, (f ∗Kn) hội tụ đều đến f.
Định nghĩa 2.1.3. Đa thức lượng giác DN =
N
X
n=−N
einx, x ∈ [−π, π],
được gọi là nhân Dirichlet.
Câu hỏi đặt ra cho chúng ta là liệu DN có là nhân tốt hay không. Vì nếu DN là nhân tốt thì theo Định lý 2.1.2, f liên tục tại x thì chuỗi Fourier của f(x) hội tụ tới f(x). Nhưng điều này là không thể xảy ra.
Thật vậy, DN là hàm chẵn nên thoản mãn tính chất thứ nhất của nhân tốt
1 2π
Z π
−π
DN(x)dx = 1.
Hơn nữa, nếu ta đặt w =eix thì DN =
−1
X
n=−N
wn+
N
X
n=0
wn. Và
−1
X
n=−N
wn = w−N −1 1−w ;
N
X
n=0
wn = 1−wN+1 1−w . Do đó
DN = w−N −wN+1
1−w = w−N−1/2−wN+1/2
w−1/2−w1/2 = sin(N + 1/2)x sinx/2 . Nên ta có xác định nhân Drichet bởi
DN = sin(N + 1/2)x sinx/2 .
Nhưng DN không phải là nhân tốt do không thỏa mãn tính chất thứ hai của định nghĩa nhân tốt .
Z π
−π
|DN(x)|dx≥ clogN trong đó c >0.
Trong phần trước, ta đã có thể phân tích tổng riêng theo tích chập của hàm f với nhân Dirichlet
SN(f)(x) = (f ∗DN)(x).
Như vậy, DN không là nhân tốt nên nếu f liên tục thì chưa chắc ta đã có kết luận của Định lý 2.1.2. Để có thể có kết quả tốt như Định lý 2.1.2 ta sẽ xây dựng nhân Fejer và tổng Cesàro (trung bình Cesàro) từ nhân Dirichlet và tổng riêng.
Định nghĩa 2.1.4. Cho các nhân Dirichlet D0(x), D1(x), . . . , DN−1(x). Ký hiệu FN(x) là nhân Fejer thứ N của chuỗi Fourier, được xác định bởi
FN(x) = D0(x) +. . .+DN−1(x)
N . (2.1)
Và σN(f)(x) là tổng Cesàro thứ N của chuỗi Fourier
σN(f)(x) = S0(f)(x) +S1(f)(x) +. . .+SN−1(f)(x)
N . (2.2)
Chú ý rằng, từ SN(f) =f ∗DN
σN(f)(x) = S0(f)(x) +S1(f)(x) +. . .+SN−1(f)(x) N
= 1 N
N−1
X
n=0
(f ∗Dn)
= 1
2πN
N−1
X
n=0
Z π
−π
f(x−y)Dn(y)dy
= 1 2π
Z π
−π
f(x−y) 1 N
N−1
X
n=0
Dn(y)dy
= 1 2π
Z π
−π
f(x−y)FN(y)dy
= (f ∗FN)(x).
Tương tự như nhân Dirichlet, ta còn có cách xác định nhân Fejer khác được nêu trong bổ đề dưới đây.
Bổ đề 2.1.1 ([4]). Ta có
FN(x) = 1 N
sin2(N x/2) sin2(x/2) , và nhân Fejer là nhân tốt.
Chứng minh. Do nhân Dirichlet còn được xác định bởi DN = sin(N + 1/2)x
sinx/2 . Nên
FN(x) = 1 N
N−1
X
n=0
Dn(x)
= 1 N
1 sin(x/2)
N−1
X
n=0
sin[(2n+ 1)x/2]
= 1 N
1 sin2(x/2)
N−1
X
n=0
sin[(2n+ 1)x/2]×sin(x/2)
= 1 N
1 2 sin2(x/2)
N−1
X
n=0
[cos(nx)−cos(n+ 1)x]
= 1 N
1
2 sin2(x/2)[1−cos(N x)]
= 1 N
1
2 sin2(x/2)[2 sin2(N x/2)]
= 1 N
sin2(N x/2) sin2(x/2) .
Để chứng minh nhân Fejer là nhân tốt ta chú ý rằng nhân Fejer là xác định dương và
1 2π
Z π
−π
FN(x)dx= 1 2πN
Z π
−π N−1
X
n=0
Dn(x)dx.
Do
1 2π
Z π
−π
Dn(x)dx = 1, với mọi n= 0,1, . . . , nên ta có
1 2π
Z π
−π
FN(x)dx = 1.
Hơn nữa, với δ > 0, δ ≤ |x| ≤ π thì sin2(x/2) ≥ cδ > 0 nên
|FN(x)| =
1 N
sin2(N x/2) sin2(x/2)
≤ 1 N cδ. Do đó
Z
δ≤|x|≤π
|FN(x)|dx →0 khi N → ∞.
Hay nhân Fejer là nhân tốt.
Định lý 2.1.3 (Định lý Fejer, [5]). (i) Nếu f là hàm khả tích trên [−π, π]
và f(−π) =f(π) thì tại mỗi điểm liên tục x của f ta có σN(f)(x)→f khi N → ∞.
(ii) Hơn nữa, nếu f liên tục trên [−π, π] thì σN(f)(x) hội tụ đều tới f khi N → ∞.
Chứng minh. Ta có
σN(f)(x) = (f ∗FN)(x).
Và theo trên ta đã chứng minh được FN(x) là nhân tốt. Do đó, theo Định lý 2.1.2 ta được
σN(f)(x) = (f ∗FN)(x)→f(x) khi N → ∞.
Để chứng minh sự hội tụ đều đến f nếu f liên tục của σN(f)(x), ta xét
|f(x)−σN(f)(x)| =|f(x)−(f ∗FN)(x)|.
Do FN(x) là nhân tốt nên 1 2π
Z π
−π
FN(x)dx = 1.
Do đó, theo định nghĩa tích chập ta được
|f(x)−σN(f)(x)| =
f(x) 1 2π
Z π
−π
FN(y)dy− 1 2π
Z π
−π
FN(y)f(x−y)dy
= 1 2π
Z π
−π
FN(y)[f(x)−f(x−y)]dy
≤ 1 2π
Z π
−π
FN(y)|f(x)−f(x−y)|dy.
Do f liên tục trên [−π, π] nên liên tục đều trên đó nên với >0 cho trước, tồn tại δ > 0
|f(x)−f(y)| ≤
2, với |x−y| ≤ δ.
Đặt M = sup−π≤x≤π|f(x)|.
Ta có
|f(x)−σN(f)(x)| ≤ 1 2π
Z
|y|≤δ
FN(y)|f(x)−f(x−y)|dy+
+ 1 2π
Z
δ≤|y|≤π
FN(y)|f(x)−f(x−y)|dy.
≤ 1 2π
2
Z
|y|≤δ
FN(y)dy+ 1 2π
Z
δ≤|y|≤π
FN(y)2Mdy
≤ 2 + M
π Z
δ≤|y|≤π
FN(y)dy.
Theo tính chất thứ ba của nhân tốt thì tích phân sau cùng trong biểu thức trên hội tụ về 0khi N → ∞. Do vậy, tồn tại N0 ∈N sao cho với mọi N > N0 thì
Z
δ≤|y|≤π
FN(y)dy ≤ π 2M. Nên ta thu được
|f(x)−σN(f)(x)| ≤ 2 + M
π π 2M =. Hay σN(f)(x) hội tụ đều đến f(x).
Như đã đề cập trước đó, chuỗi Fourier của một hàm số liên tục không nhất thiết phải hội tụ tại mỗi điểm cho nên việc xây dựng lại hàm số từ chuỗi Fourier là khá khó khăn. Nhưng kết quả trên đã cho ta thấy được phương pháp xây dựng hàm số không trực tiếp bằng tổng riêng của chuỗi mà từ trung bình cộng của chúng. Phương pháp này ưu việt ở chỗ nó không chỉ đem lại tính hội tụ, mà còn hội tụ đều, tới chính hàm f.
Phương pháp này được gọi là phương pháp lấy trung bình cộng hay lấy
tổng Cesàro.
Ta có các hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.1. Nếu f khả tích trên [−π, π] và fˆ(n) = 0 với mọi n thì f = 0 tại tất cả các điểm liên tục của nó.
Chứng minh. Từ giả thiết suy ra các tổng riêng SN(f)(x) = 0. Do đó tổng Cesàro σN(f)(x) = 0. Áp dụng Định lý Fejer thì ta được f = 0.
Ta có hệ quả sau suy trực tiếp từ Định lý 2.1.3.
Hệ quả 2.1.2. Nếu f liên tục trên [−π, π] và f(−π) = f(π) thì với mỗi >0 tồn tại một đa thức lượng giác P sao cho
|f(x)−P(x)| < , ∀x ∈ [−π, π].
Vậy, đối với một hàm số liên tục trên đoạn bất kỳ thì ta có tìm được đa thức hội tụ tới f hay không? Định lý xấp xỉ Weierstrass sau sẽ cho ta thấy hoàn toàn có thể tìm được nhờ vào phương pháp lấy tổng Cesàro. Hệ quả 2.1.2 chính là một trường hợp của định lý này.
Định lý 2.1.4 (Định lý xấp xỉ Weierstrass). Nếu f liên tục trên [a, b] thì với mỗi >0 tồn tại một đa thức P sao cho
|f(x)−P(x)| < , ∀x ∈[a, b].
Chứng minh. Đổi biến
t =πx−a
b−a, với t∈ [0, π].
Khi đó ta được
g(t) = f(a+ b−a
π t), t ∈[0, π].
Thác triển g(t) về bên trái theo công thức
g(−t) = g(t) t∈ [0, π].
Khi đó ta thu được hàm g(t)liên tục trên[−π, π] và thỏa mãn g(−π) = g(π).
Do đó theo hệ quả 2.1.2 thì với mỗi > 0 ta có thể tìm được đa thức lượng giác Q sao cho
|g(t)−Q(t)| <
2.
Mặt khác, một đa thức lượng giác có thể khai triển được thành chuỗi lũy thừa nên với số tự nhiên n nào đó thì với mọi n≥n, khai triển Taylor bậc n Pn(t) của Q(t) thỏa mãn
|Q(t)−Pn(t)|<
2, t ∈[−π, π].
Đặt P(t) = Pn(t) thì
|g(t)−P(t)| ≤ |g(t)−Q(t)|+|Q(t)−P(t)| <
2 + 2 = . Hay
f(x)−P(πx−a b−a)
< , x∈ [a, b], ở đó, P là một đa thức.
Ngoài phương pháp trên ta còn có thể thiết lập hàm số thông qua phương pháp lấy tổng Abel.
Định nghĩa 2.1.5. Cho f ∼ P∞
−∞cneinx. Ký hiệu Ar(f)(x) xác định bởi Ar(f)(x) =
∞
X
−∞
r|n|cneinx, 0≤ r <1, (2.3)
được gọi là trung bình Abel của f.
Chú ý rằng f khả tích nên |cn| bị chặn, do đó Ar(f) là hội tụ đều với mỗi r, 0≤ r <1. Tương tự như phương pháp lấy tổng Cesàro, ta có thể biểu diễn trung bình Abel dưới dạng tích chập
Ar(f)(x) = (f ∗Pr)(x), 0 ≤r < 1, (2.4)
trong đó Pr được gọi là nhân Poisson và xác định bởi Pr(x) =
∞
X
−∞
r|n|einx, 0≤ r <1. (2.5) Thật vậy,
Ar(f)(x) =
∞
X
−∞
r|n|cneinx
=
∞
X
−∞
r|n|
1 2π
Z π
−π
f(y)e−inydy
einx
= 1 2π
Z π
−π
f(y)
∞
X
−∞
r|n|e−in(x−y)
! dy.
Đổi biến t= x−y thì ta được Ar(f)(x) = 1
2π Z π
−π
f(x−t)
∞
X
−∞
r|n|eint
! dt
= (f ∗Pr)(x).
Ngoài ra, nhân Poisson cũng có tính chất tương tự như nhân Fejer.
Bổ đề 2.1.2. Nếu 0≤ r <1 thì
Pr(x) = 1−r2
1−2rcosx+r2. (2.6) Và nhân Poisson là một họ nhân tốt.
Chứng minh. Ta có Pr(x) =
∞
X
−∞
r|n|einx
=
−1
X
−∞
r|n|einx +
∞
X
0
rneinx
=
∞
X
1
¯ wn+
∞
X
0
wn, w =reix
= 1
1−w¯ −1 + 1
1−w (Chuỗi Taylor)
= 1− |w|2
|1−w|2
Vậy
Pr(x) = 1−r2
1−2rcosx+r2. Mà
1−2rcosx+r2 = (1−r)2+ 2r(1−cosx).
Do đó nếu 1/2≤ r < 1 và δ ≤ |x| ≤π thì
1−2rcosx+r2 ≥cδ >0.
Suy ra, Pr(x)≤ (1−r2)/cδ khi δ≤ |x| ≤π. Do đó Z
δ≤|x|≤π
|Pr(x)|dx →0 khi r →1.
Hơn nữa, Pr(x)≥0 và từ (2.5) ta được 1
2π Z π
−π
Pr(x)dx = 1.
Vậy, nhân Poisson là một họ nhân tốt.
Kết hợp bổ đề này với Định lý 2.1.2 ta thu được kết quả sau.
Định lý 2.1.5. (i) Nếu f là hàm khả tích trên [−π, π] thì tại mỗi điểm liên tục x của f ta có
Ar(f)(x)→r→1 f(x).
(ii) Hơn nữa, nữa nếu f liên tục trên [−π, π] thì Ar(f)(x) hội tụ đều đến f khi r →1.
Trong trình bày của chúng ta chưa nhắc tới về sự hội tụ điểm của chuỗi Fourier, mà chỉ nói đến sự hội tụ của chuỗi Fourier theo kiểu Cesàro hoặc theo kiểu Abel. Để đưa ra một tiêu chí cho sự hội tụ điểm của chuỗi Fourier, ta sẽ nghiên cứu về sự hội tụ theo nghĩa bình phương khả tích trước. Kiểu hội tụ này sẽ được nêu ra trong phần sau, trước đó ta sẽ trình bày về một loại hội tụ khác của chuỗi Fourier - hội tụ theo nghĩa bình phương khả tích.