Dáng điệu nghiệm của các phương trình vi phân và phương trình sai phân trong không gian Banach trên một khoảng vô hạn và một số mô hình ứng dụng

Hoe Goo Yoon, Jip Koo Nam Asymptotic equivalence benveen to linear diffưential systems, Ann.. Scientis publishine house Anm a-Ata 1974.[r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRUỒNG ĐẠI HỘC KHOA HỌC TựNHIÊN * * * * * * *

Tén đề tài:

DÁNG Đ IỆ U C Ủ A N G H IỆ M C Ủ A CÁC PH Ư Ơ N G T R ÌN H V I P H Â N VÀ PH Ư Ơ N G

TR ÌN H SA I P H Á N T R O N G K H Ô N G G IA N B A N A C H T R Ê N M Ộ T K H O Ả N G V Ô

H Ạ N VÀ M Ộ T SỐ M Ơ H ÌN H Ú N G D Ụ N G

M Ã SỐ : Q T 3

Chủ trì đề t i : T s ĐẶNG ĐÌNH CHÂU

OAI H Ọ C Q U Ố C ^ '■ t r u n g t â m t h ò n g t i n ỉ m

REPORT ON PRỌJECT QT-03-03

I T itle o f P jo je c t :B eh a v io r o f s o lu t io n s o f s y s t e m s o f d if fe r e n tia l

Equations and difference equations in the Banach space on the inffinite interval and som e application models.

II Pjoject ‘s code: QT 03-03

III Head o f Research Group: Dr Dang Dinh Chau

IV Participants: Dr Hoang Quoc Toan, Dr Nguyen Thi H ong M inh, MSc

N guyen Minh Man, MSc Du Duc Thang, MSc Pham Thi To N g a B S c M a i

N g o e D ie u

V T a rg et and c o n te n ts:

In recen t y e a r s , th a n k s to th e d e v e lo p m e n t o f in ío r m a tio n t e c h n o l o g y , th e s tu d y o f op era to r an d th e a p p lica tio n in p r a c tic e is im p r o v e d an d g e t s m u c h a c h ie v e m e n t A m o n g th o s e stu d ie s , th e th e o r y o f o p era to r e q u a t io n s h a s b e e n re se a r c h e d b v m a n v s c ie n tis ts B e s id e s th e q u a lita tiv e s tu d v , s o m e q u a n tita tiv e s tu d y as th e s u p p le m e n ta r y a ls o p la y an im p o r ta n t ro le in m e e t in g th e d e m a n d o f s o lv in g the p r a c tic a ỉ m a th e m a tic is s u e s s u c h as:

-S tu d y in g N e u r o n netvvork and e le c tr o n ic s netvvork. - A p p ly to stu d y a n d s o lv e E c o n o m ic p r o p le m s -A p p ly m a th e m a tic s in E n v ir o n m e n t p r o b le m s

T h e r e fo r e , in th is re p o r t, s o m e m a in c o n t e n t s is b e in g r e fe r r e d th r o u g h fo llo w in g :

-O n the a sy m p to tic e q u iv a le n c e o f d iffe re n t e q u a tio n s vvith tim e d e la y in R n s p a c e and in B a n a c h s p a c e

-S o m e p ro p erties o f d is c u r s iv e n e s s d y n a m ic s s y s t e m - S o m e a p p lic a tio n s

V I S o m e m a in r e s u lts :

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC T ự NHIÊN

* * * * * * *

Tên đề tài:

DÁNG ĐIỆU CÙA NGHIỆM CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI PHẢN VÀ PHƯƠNG

TRÌNH SAI PHẢN TRONG KHƠNG GIAN BANACH TRÊN MỘT KHOẢNG VƠ

HẠN VÀ MỘT SỐ MƠ HÌNH ỨNG DỤNG.

M Ã SỐ: Q T 3

CHỦ TRÌ ĐỂ TÀI :T.S ĐẶNG ĐÌNH CHÁU

Tên cán phối hợp :

T s H oàng Quốc Toàn Thạc s ỹ Nguyễn Minh Mẫn

BÁO CÁO TÓM TẮT

a T ê n đ ề tà i : D điệu nghiệm phương trình vi phán phương trình sai phán khơng gian Banach khoảng vó han mội s ố mơ hình ứng dụng

Mã số: QT 03.03

b.Chủ trì đề tài : T.s Đặng Đình Cháu c.Các cán phối hợp:

T.s Hoàng Quốc Toàn

Thạc s ỹ Nguyễn M inh M ẫn T s Nguyễn T hị H ồng Minh Thạc s ỹ D Đức Thắng

c ửnhán Mai Ngọc Diệu

Thạc s ỹ Phạm Thị T ố Nga.

d Mục tiêu nội dung nghiên cứu:

Trong năm gần đáy, nhờ phát triển n h ảy vọt c ỏ n g n gh ệ th ôn g tin ,n hiều lĩnh v ụ c lý th u yết toán h ọ c đặc b iệt c ó nghàn h lý th u v ết phương trình vi phán, phương trình sai phán n hiều nhà toán h ọ c quan tám n gh iên cứu áp dụng kết nhận vào thực t ế ch ẳn g hạn như: N g h iê n cứu M ạn g N euron thần kinh trí tụé nhân tạo, ứng dụng toán h ọ c vào v iệ c n gh iên cứu g iải toán kinh tế, ứng dụng toán h ọ c vào tốn m i sinh.

Trong báo cá o n ày ch ú ng trình bàv m ột sơ' kết m ới nhận v iệ c nghiên cứu cá c toán sau đãv:

-Sự tương đươne tiệm cân phương trình vi phân với biến sỏ' ch âm k h ỏn g gian hữu hạn ch iều k h ôn g gian B anach

-M ột s ố tính chất H ệ đ ộn g lực tổ n g quát n h óm đặc biệt

-ứ n g dụng phương pháp sai phán đ ối với tốn : X lý tín hiệu số , n gh iên cứu hoạt đ ộ n g m n s N euron thần kinh, n gh iên cứu m hình Trí tué nhàn tạo ứng dụng phương trình sai phán trone v iệc n gh iên cứu m ột s ố toán kinh tế toán sinh h oc m ôi trường.

e C c k é t q u ả đ t đ ợ c :

- V iết hai báo khoa h ọc.

- H oàn thành m ột luận vãn thạc sỹ (đã bảo v ệ), hoàn thành tiếp luận vãn thạc SỸ luân vãn tốt n sh iệ p m ột luận vãn tiến sỹ (sắp bảo v ệ )

f.T ìn h h ìn h k in h p h í c ủ a đ ề tài: Đ ã toán sử dụng th eo dự định

X ác n h ả n củ a B a n C h ủ n h iệ m K h o a C h ủ trì đ ề tà i

BÁO CÁO TÓM TÁT

a T ê n đ ề t i : D điệu nghiệm phương trình vi phân phương trình sai phản khơng gian Banach trén mộl khoảng vó hạn mộĩ s ố mơ hình ứng dụng M ã số: Q T 3

b.Chủ trì đề t i : T.s Đặng Đình Châu c.Các cán phối hợp:

T.s Hoàng Quốc Toàn Thạc sỹ Nguyễn M inh Mẫn T.S Nguyễn T hị H ồng Minh Thạc sỹ D Đức Thắng Cử nhăn M N gọc Diệu Thạc sỹ Phạm Thị Tó'Nga.

d Mục tiêu nội dung nghiên cứu:

T rong nãm gần đ ây, n hờ phát triển n h ảy v ọ t c ỏ n g n g h ệ th ốn g tin ,n hiều lĩnh vực lý th u yết toán h ọ c dặc b iệt đ ó có nghàn h lý th u y ết phương trình vi phân, phương trình sai phán n hiều nhà tốn h ọc quan tâm n g h iên cứu áp dụng kết nhận vào thực t ế ch ẳn g hạn như: N g h iên cứu M ạn g N euron thần kinh trí tụê nhân tạo, ứng dụng tốn h ọ c vào v iệ c n gh iên cứu g iải toán kinh tế, ứng dụng toán h ọ c vào tốn m i sinh.

Trong báo cá o n ày ch ú ng tơi trình bàv m ột s ố k ết m ới nhận v iệ c nghiên cứu cá c toán sau đãv:

-Sự tương đương tiệm cận phương trình v i phán với biến s ố ch ậm k h ôn g gian hữu hạn ch iều k h ôn g gian B anach

-M ột s ố tính chất Hộ đ ộ n g lực tổn g quát n hóm đặc biệt

-Úng dụng phương pháp sai phân toán : X lý tín hiệu số, n gh iên cứu hoạt đ ộn g m n e N eu ro n thần kinh, n gh iên cứu m ô hĩnh Trí tuệ nhân tạo, ứng dụng phương trình sai phán tr o n s v iệc n g h iên cứu m ột s ố toán kinh tế toán sinh h ọc m ôi trường.

e C c k ết q u ả đ t đ ợ c :

- V iết hai b áo k hoa h ọc.

- H oàn thành m ột luận vãn thạc sỹ (đã bảo v ệ), sấp hoàn thành tiếp luận vãn thạc sv luận vãn tốt n gh iệp , m ột luận văn tiến sỹ (sắp bảo v ệ )

f.T ìn h h ìn h k in h p h í c ủ a đ ề tài: Đ ã toán sử dụng theo dự định

REPORT ON PRỌJECT QT-03-03

I T itle o f P jo je c t :B eh a v io r o f s o lu t io n s o f s y s t e m s o f d if fe r e n tia l E q u a tio n s a n d d if fe r e n c e e q u a tio n s in th e B a n a c h s p a c e o n th e in f f in it e in terv al and s o m e a p p lic a tio n m o d e ls

II Pjoject ‘s code: QT 03-03

III Head o f Research Group: Dr Dang Dinh Chau

I V P articip an ts: D r H o a n g Q u o c T o a n , D r N g u y e n T h i H o n g M in h , M S c N g u y e n M in h M a n , M S c D u D u c T h a n g , M S c P h a m T h i T o N g a B S c M a i N g o e D ie u

V T a rg et and c o n te n ts:

In recen t y e a r s , tharxks to th e d e v e lo p m e n t o f in fo r m a tio n t e c h n o l o g y , th e s tu d y o f op erator a n d th e a p p lica tio n in p r a c tic e is im p r o v e d a n d g e t s m u c h a c h ie v e m e n t A m o n g th o s e stu d ie s , th e th e o r y o f o p era to r e q u a t io n s h a s b e e n r e s e a r c h e d b y m a n y s c ie n tis ts B e s id e s th e q u a lita tiv e s tu d y , s o m e q u a n tita tiv e s tu d y as th e su p p le m e n ta r y a ls o p la y an im p o r ta n t ro le in m e e t i n s th e d e m a n d o f s o lv in g th e p r a c tic a l m a th e m a tic is s u e s s u c h as:

-S tu d y in g N e u r o n n e tw o r k and e le c tr o n ic s n e tw o r k - A p p ly to stu d y an d s o lv e E c o n o m ic p r o p le m s -A p p ly m a th e m a tic s in E n v ir o n m e n t p r o b le m s

T h e r e ío r e , in th is rep o rt, s o m e m a in c o n t e n t s is b e in g r e íe r r e d th r o u g h f o llo w in g :

-O n th e a s y m p to tic e q u iv a le n c e o f d if fe r e n t e q u a tio n s w ith tim e d e l a y in R n s p a c e and in B a n a c h s p a c e

- S o m e p ro p erties o f d is c u r s iv e n e s s d y n a m ic s s y s t e m - S o m e a p p lic a tio n s

V I S o m e m a in r e s u lts :

MỤC LỤC

Lời mở đầu

C hương Các kiến thức chuẩn bị

1 P h ổ c ủ a to n tử tu y ế n tín h v lý th u y ế t nử a n h ó m 7

C hương Sự tương đương tiệm cận hệ phương trinh vi phán với

đ ố i s ố c h ậ m

2 Sự g iớ i n ộ i n g h iệ m c ủ a p h n g trìn h v i p h â n t u y ế n tín h v i b iế n s ố c h ậ m 13 2 Đ ịn h l ý L e v in s o n v ề s tư n g đ n g tiệ m cậ n c ủ a c c p h n g trình

v i p h án v i b iế n s ố c h ậ m 6 2 S tư n g đ n g tiệ m c ậ n tr o n g k h ỏ n g g ia n B a n a c h 2

C hư oìig Hệ độn g lực sáp đặc biệt

3 M ộ t s ố k h i n iệ m tr o n g n h ó m đ ợ c sấ p đ ặc b i ê t 5 3 Đ in h n g h ĩa hộ đ ộ n g lự c đ ợ c sấ p đ ặ c b iệ t v m ó t vài k h i n iệ m

mỏ' đ ầ u 8 ? ? L p c h u v é n đ õ n s tu ần h o n lớ p c h u y ể n đ ộ n g p o a tx o n g tr o n2

h é đ ó n s lư c đ c sắ p đ ã c b i ê t 3 Đ iể m du đ ô n s v k h ô n g du đ ổ n g t m 7 3 T ậ p c ự c đ i ể m 5 3 Ó n đ ịn h th e o L y a p u n o v 61 C h o n g P h n ứ n g d u n g

• D a n g D in h C hau and K ie u T h u L in h , O n th e a s y m p to tic equivalence o f solu tio n s o f the linear e v o lu tio n e q u a t io n s, In tern a tio n a l jo u m a l o f e v o lu tio n e q u a tio n s.

• Nguyen Van Minh and N guyen Minh Man, O n th e a s y m p to tic

b e h a vio r o f solutions o f ne li tra i de lay d iffe r e n c e eq u a tio n s ,

VNƯ J o u m a l o f S c ie n c e M a th e m a tic s - P h y s ic s T X I X , N „3 - 2 0

b T in in g a c tiv itie s : W e in str u c te d s u c c e s s f u lly 1 m a s te r o f m a t h e m a tic l d o c to r an d m a ste r s o f m a th e m a tic are g o in g in s tr u c te d

V II F in a n c e

MỤC LỤC

Lời m đáu

C hương Các kiến thức chuẩn bị

1 P h ổ c ủ a to n tử tu v ế n tín h v lý th u y ế t n a n h ó m 7

C hương Sự tương đương tiệm cận phương trình vi phán với

đ ố i s ố c h ậ m

2 Sự g iớ i n ộ i n g h iệ m c ủ a p h n g trìn h v i p h n tu y ế n tín h với b iế n s ố c h ậ m 13 2 Đ ịn h l v L e v in s o n v ề s tư n g đ n g tiệ m cậ n c ủ a c c p h n g trình

v i p h â n v i b iế n s ố c h ậ m 16 2.3 Sự tươ ng đ n g tiệ m c ậ n tro n g k h ố n g g ian B a n a c h 22

C hưong Hệ độn g lưc sáp đặc biệt

3 M ộ t s ố k h i n iệ m tr o n g n h ó m đ ợ c sãp đ ã c b iệ t 5 3 Đ ịn h n g h ĩa h ệ đ ộ n g lự c đ ợ c sắ p đ ă c b iệ t m ô t vài k h i n iệ m

mỏ' đ ầ u 8 3 L p c h u v ê n đ ô n s tu ầ n h o n lớ p c h u y ể n đ ó n £ p o a tx o n g tr o n2

h é đ ộ n s lưc đ c sắ p đ ă c b i ẻ t ' ' 3 Đ iể m du đ ô n s k h ỏ n g du đ ô n g t m 7 3 T p c ự c đ i ể m 5 3 ó n đ ịn h th e o L y a p u n o v 61 C h u o ĩ i s P h n ứ n g d u n g

M Ở Đ Ầ U

N h c ó c c thành tựu m i tro n g k h o a h ọ c k ĩ thuật ch ú n g ta c n g n g y c n g c ó th ể k h m p h đ ợ c n h iều v sâu h ơn v o n h ữ n g b í m ật củ a th ế g iớ i tự n h iên T ro n g thời g ia n g ầ n đ áy n h iề u nhà k h o a h ọ c nhận đ ợ c n h iều thành tựu m i lý th u y ết toán h ọ c h iệ n đại , tron g c ô n g n g h ệ th ô n g tin áp d ụ n e m ộ t c c h c ó h iệ u quả v o v iệ c n g h iê n cứu n h iều vấn đ ề củ a th ự c tiễn N h đ ó th ú c đ ẩy m ộ t cá ch m ạn h m ẽ s ự phát triển củ a n h iều n g h n h c ó n g n g h ệ m i n hư c ó n g n g h ệ tin h ọ c c ô n g n g h ệ sin h h ọ c .

M ụ c đ íc h c h ín h củ a đ ề tài n ày c ố g ắ n g tiếp cận nhanh với xu h n g phát triển đ y củ a k h o a h ọ c tự n h iên Trên c s đ ó c h ú n g tói tiến h n h g iả i q u y ế t m ộ t sổ' toán m a n g tính chất định tính tron g lĩn h vự c p h n g trình vi phân th ờn g h ệ đ ộ n g lực rời rạc Cụ th ể n h ữ n g toán đư ợc n g h iê n cứu tron g đ ề tài là

*Sựtươrig đưcmg tiệm cận p h n g trình vi p h n với biến s ố chậm *M ột s ố tính chấĩ c hệ động lực tvén nh ó m sắp

N h ữ n g k ê ì n g h iê n cứu củ a cá c tốn n ày c ó k h ả n ã n g áp d ụ n g v o m ộ t s ố rình vực k h o a h ọ c k ĩ thuật đ an g đư ợc n h iều n h k h o a h ọ c quan tâm v í dụ n h M n g n eu ron th ần k in h m ỏ h ìn h m n g trí tu ệ nhán tạo N ộ i d u n g ch ín h củ a b o c o g m c ó phần :

1.T ron g ch n g ch n g trình b y c c kết n g h iên u v ề tính tư ơng đư ơng tiệm cận củ a p hư ng trình vi phân tu y ến tính với b iến s ố ch ậm k h ô n g cia n R n tr o n g k h ó n í: B an ach Đ â y n h ữ n g k ết m ới c ó ý n g h ĩa k h o a h ọ c trong rình v ự c lí th u v ế i định tính củ a p h n g trình vi phân.

2 Ch ươn 2 dành c h o v iệ c n g h iế n cứu h ệ đ ộ n s lực rời rạc( h ệ đ ộ n g lực đ ợc đặc b iệ t) N hò' phát triển m ạn h m ẽ củ a c ó n g n g h ệ th ô n g tin k ĩ thuật đ iệ n tử trong n h ữ n c n ãm £ần đảv m ột số ng h àn h khoa học n h giải tích số xử lý tín hiệu số và m ột số n s h n h khoa học liên quan nhãn sư quan tám đặc biệt nhà khoa học N h ữ n g ván để m c h ú n c quan tám nghiên cứu ch n c n h các tập bất biến cùa hệ động lưc phân lớp ch uyển độn g tuần hoàn, sư ổn định hệ đ ộ n s lưc rời rạc vấn đế m a n c tính thời cao có nhiéu khả n ã n c áp d u n e vào thực tiễn Thông qua việc sáu ù m hiểu n ghiên cún vấn đề c h ú n s tỏi dần dán đến m ục đích cuối ứng d u n e kết n c h iê n cứu tro n e lí thuvết p h n s trình vi phân hệ động lực tổn g quái vào lĩnh vực k h ác cua k h o a học kĩ thuật đời sống h n c n sàv

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 P H Ổ C Ủ A T O Á N T Ử T U Y Ế N T ÍN H V À LÝ T H U Y Ế T NỬ A N H Ĩ M

1.1.1 K hơng gian Banach Tốn tử tuyến tính khơng gian Banach

C ho k h ổ n g gian tu yến tính X , chuẩn X ký h iệu m ột hàm s ố từ X —> R

sao ch o ch ú ng thòa m ãn tiên đề sau: (i) ||x|| > 0, | | x [ = k hi v k hi X = (ii) ||A x|| =1 A I 11 ' VA € c , Va: € X (iii) ||x + 2/|| ^ Ị x | : + ||y ||, V x , Ị / € X

K g gian tu yến tính X trang bị m ột chuẩn g ọ i khống gian tuvến tính đinh chuẩn.

Đ ịn h n g h ĩa K h n s gian tuyến tính đinh chuẩn X g ọ i k hôn g gian Banach X đầy đủ tức m ọ i dãv C auchy X h ội tụ đến m ột phần tử thuộc X

Đ ịn h n g h ĩa C ho X k h ôn g gian Banach phức, ánh xạ Ả từ D ( A ) c X vào X gọi tốn tử ruvén tính D ( A ) k hón g gian tuyến tính A ánh xạ tuyến tính M iền D ( A ) g ọ i m iền xác định tốn tử tuvến tính A.

Đ ịn h n g h ĩa Toán từ tu vến tính A khơng gian B anach phức X g ọ i toán tử tuyến tính giới n ội n ó thỏa m ãn thỏa m ãn hai điều k iện sau:

(!) D { A ) - X

Định nghĩa Toán tử tuyến tính A từ D(Á) c X vào X gọi tốn tử tuyến tính đóng n ếu đ thị n ó đ ó n g , tức tập hợp { ( z , A x ) c X X X , Vx € D ( A ) } tập hợp đóng k h ơn g gian tích X X X

Đ ịn h n g h ĩa Tốn tử tu yến tính liên tục từ k h ôn g gian B anach X vào k hôn g gian Banach Y g ọ i tốn tử com pact với m ọi hình cầu S i X A ( S \ ) com pact tương đ ố i Y

Đ ịn h n g h ĩa C ho X k h ôn g gian Banach phức Ả : X —» X toán tử tuyến tính giới n ộ i , đ ó tập p( A) : = {A € C: ch o tồn ( XI - A ) ~ l € £ ( X ) } g ọ i tập giải hay tập đ iểm quy tốn tử A R ( A ,j ) : = (A — A) ~ g ọ i giải toán từ A.

Còn ơ ( A ) : = c \ p{Á)ă\iọc g ọ i phổ toán tử A

G iả sử A toán tử tuyến tính giớ i n ội k h n g gian B anach X , ơ ( A ) có các tính chất c sau :

(i) ơ{ A) Ỷ 0

(ii) ơ ( A ) m ột tập đ óng

( iii) ơ(A) g iớ i n ộ i

(iv) R ( \ , A ) lu ỏn giải tích táp p{A).

Trong luận vãn ch ú ng thường sử dụng m ột số' kết sau:

Đ ịn h lý 1.1 Già sử X là mội không gian Banach A € I / ( X ) là toán từ compact nếu X Ỷ thuộc p h ổ ( A ) X giá trị riéng A.

Chứng minh. X e m [ ] trans 129 □

Đ ịn h lý 1.2 Già sử X là không gian Banach, A G L ( X ) tốn tủ compací ơ( A) khơng có điém tụ khác không tập p h ổ ( Á ) có nhiếu đếm phấn tủ.

Chửng minh. X e m [2] trang 131 □

Đ ịn h lý 1.3 S ế u X là mộí khơng gian Banach, A G L ( X ) là toán tử compaci X một sơ'khác khơng thì Y (.4 —*A /) là mộ! khóng gian hữu hạn chiểu của X Trong N ( A — X I) ki hiệu tập hạt nhân (A — XI).

Đ ịn h lý ( Định lí bao hàm phổ)

Cho A tốn tử sinh nửa nhóm lién tục mạnh ( T ( t ) ) ị> trên khơng gian Banach X

thì: e ^ {A) c ơ{ T ( t ) ) với t > 0.

Chứng minh. X e m [6] trang 84 □

Đ ịn h lý 1.5 (Định lí ánh xạ p h ổ cho p h ổ điểm)

Cho A toán tử sinh nửa nhóm liên tục mạnh ( T( t ) ) ị>0 thì:eta^ A) = ơp( T( t ) ) ỏ đáy ơp(A) p h ổ điểm của A.

Chứng minh. X e m [6] trang 85 □

Đ ịn h lý 1.6 ( Định lí ánh xạ p h ổ cho nửa nhóm liên tục đểu ) Mọi nửa nhóm liên tục {etA)t> A tốn tủ sinh có:

ơ ( e tA) = : = { e tX : A G ơ ( A) } Với t > 0.

Chứng minh. X em [14] ữ a n g 19 □

1.1.3 Phép chiếu Riezs phán rã phổ toán tử

C ho X k h ón g gian B anach, i : X - t X liên tục Giả sử tập phổ ơ{ A) = ơ\ ỊJ Ơ2

là hợp rời rạc tập com pact, là m ột chu tu yến Jordan b ao lất điểm trong tập ƠI

Xét toán tử:

p ' = ^ í i x i - A ) ~ ' ăX

Nhận tháy toán tử Pi m ột toán tử chiếu giới nội: Pj2 = P j Tồn k g gian X được phán tích thành tổn g trực tiếp hai khóng gian con: X = X i © x X j = P ] X và X o = ( / — P i ) X K h ỏ n s gian X ] nằm hoàn toàn m iền x ác định D ( A ) của toán từ A Phần phổ toán tử A \ (phần thu hep toán tử A k h ốn g gian X j ) trùns với táp ơ\. Phần thu h ep A 2 toán từ A táp hợp ( / — P ỵ ) D( A ) — Dị A? ) là một tốn tử tuyến tính đ ón g x ác định x m phổ n ó trùng với táp Bởi vậy v iệc n s h iẽ n cứu toán từ A đưa v iệc n gh iên cứu toán tử g iớ i n ội Aj khôn g gian X i tốn tử A2 k h ơn g gian x T h eo định n gh ĩa ta có:

P l A = í A { \ Ị - A ^ d X = A P ị

1.1.2 Nửa nhóm giới nội nửa nhóm liên tục mạnh

Định nghĩa 7 C ho X m ộ t k hôn g gian B anach với chuẩn tương ứng M ột h ọ tốn tử (tuyến tính h oặ c phi tu y ến ) {T( t ) ) t> 0 phụ th u ộc tham sô' k h ôn g gian X g ọ i m ột nửa n h ó m tốn tử X (hay có cấu trúc nửa n h óm ) thỏa m ãn phương trình hàm:

Định nghĩa 8 N ế u T( t ) cá c tốn tử tuyến tính bị chận từ X vào X nửa nhóm tốn tử tu y ến tính ( T{ t ) ) t> 0 không gian X g ọ i m ột nửa nhóm tốn tử tuyến tính bị chặn.

Đ ịn h n g h ĩa N ửa nhóm tốn tử ( T( t ) ) i>0 g ọ i liên tục m anh với m ọ i X € X , lim T ( t ) x = X , khi tốn tử A gọi toán tử sinh (T(t ))t > thoả mãn:

Đ ịn h n g h ĩa 10 M ột nửa nhóm liên tuc m ạnh ( T( t ) ) t >0 g ọ i com pact với t > to

nếu với m ọ i t > t T{t ) toán tử com pact, đặc biệt t 0 = ( T( t ) ) t> 0 gọi là nhóm com pact.

Đ ịn h n g h ĩa 11 M ột nửa Khóm tốn tử tuyến tính bị chăn (T(t))t>ũ đươc g ọ i là liên tục lim ||T ( f ) — / | ị = 0.

N ếu { T( t ) ) ị> 0 m ột nừa nhóm liên tục củ a tốn tử tu vến tính bị chăn thì: (a) Tồn lại m ột s ố UI > ch o | | r ( í ) | | <c eut

(b) Tổn m ột tốn từ tuyến tính bị chận A ch o T ( t ) = eM (c) Toán tử A ờ phần b) toán tử sinh T{t )

(d) t - T ự ) khả vi thoả mãn phưcmg trình:

( 1.1)

T ( x) — X

D { Á ) — { x £ X : giớ i hạn l i m - - tồn tai hữu han}

A x = lim -— - , x € D{ A )

t ị0 t v ’

no

đT{t )

Đ ịn h lý ( Định lí bao hàm phổ)

Cho A toán tủ sinh nửa nhóm liên tục mạnh ( T ( t ) ) ị> trên khơng gian Banach X

thì: e c ơ ( T ( t ) ) với t > 0.

Chứng minh. X e m [6] trang 84 □

Đ ịn h ]ý (Định lí ánh xạ p h ổ cho p h ổ điểm)

Cho A ỉà toán tủ sinh nửa nhóm liên tục mạnh { T( t ) ) ị> thỉ:eu’ĩ’(A) = p ( T ( t)) ỏ đáy ơp(A) p h ổ điểm A.

Chứng minh. X e m [6] trang 85 □

Đ ịn h lv 1.6 ( Định lí ánh xạ p h ổ cho nửa nhóm liên tục đểu ) Mọi nửa nhóm liên tục {etA)t> và A tốn tử sinh có:

ơ(etA) = e * ™ : = {etX : A e a{A)}.

Với t > 0.

Chứng minh. X e m [14] an g 19 □

1.1.3 Phép chiêu Riezs phán rã phổ toán tử

Cho X k h ôn g gian B anach A : X —* X liên tục G iả sử tập phổ ơ{ A) = ƠI u 2 là hợp rời rạc tập com pact, 7! m ột chu tu y ến Jordan bao lất điểm trong tập

Xét tốn tử:

Pi = ^ ~ í (AI - A ) - l dX

2 ĩ ĩ ĩ

Nhận thấy toán tử P] m ột toán tử chiếu giới nội: P Ị = Pj. Tồn k h ơn g gian X phán tích thành tổn g trực tiếp hai khống gian con: X = X ; x đáy X ] = P ] X và x = ( I — P ] ) X K h ốn g gian X ] nằm hoàn toàn m iền x ác định D ( A ) toán từ A Phần phổ toán tử A \ (phần thu hep cùa toán tử A k hốn g gian X i ) trùns với tập ơ\. Phần thu hẹp 42 cùa toán từ A trẽn táp hợp ( I - P i ) D ( A ) = D { A 2) một tốn tử tuyến tính đ ón g xác định x m phổ trùng với tập ơ 2. Bởi v iệc n s h iẻ n cứu toán từ A đưa v iệc n ghiên cứu toán tử giớ i n ội A \ không gian X ] loán tử 42 k h ôn g gian x T heo định n g h ĩa ta có:

P \ A = r ị - / A ( X I - A ) ~ l d \ = A P Ì

CHƯƠNG

S ự TƯƠNG ĐƯƠNG TIỆM CẬN CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH VI

PH Â N VỚI ĐỐI SỐ CHẬM

Trong phần đầu chư ơng xin n hắc lại m ột s ố kết biết đ ối v ó i phương trình vi phân với b iến s ố chậm k h ôn g gian B anach.

Trong k h ô n g gian B anach X xét phương trình v i phân:

= A ( t ) x ( t ) + f ( t , x ( t + 0) ) , - h < 8 ẻ (2 )

at

ở đáy x ( t ) hàm phải tìm với t > 0; X € X ; + 6)) hàm vectơ, nhận giá trị trong k h ôn g gian X G iả sử / ( í , x ( t 4- 9)) liên tục th eo t, xá c định hàm liên tục x( t ) , với t > thực điều kiện:

| | / ( í , ) H m (2 )

\ \ f ( t y { t + ) ) - f ự ì z { t + e ) ) \ \ ^ L sup \\y{t + 6) - z ( t + 0)11 (2.3)

-h<è<

K í hiệu N ( t , r ) tốn tử giả i phương trình vi phán:

^ = A( t ) x ( t ) (2 )

Giả sử Y (f r) thực h iện điều kiện:

||A r( í , r ) | | c e x p { A ( f - r ) } , (c > l ; í > r ) (2 ) Trong đ ó A m ột s ố hữu hạn.

Đ ể n g h iệm cùa phương trình (1 ) cần xác định điều kiện ban đầu:

x ( t ) = ộ(t); —/ỉ Ẩ: í (2 )

ỏ đáy ộ( t ) hàm giớ i n ộ i, liên tục liên tục khúc ch o trước.

Đ ịn h lý Già sử điêu kiện (2 ), (2 ), (2 ), (2 ) được thực hiện, phương trình vi phân (2 ) có nghiệm với t > 0, nghiệm liên rục với t > 0.

2.1 Sự giới nội nghiệm phương trình vi phản tuyến tính với biến sỏ

chậm

Trong k h ôn g gian B anach X xét phương trình vi phân tu vến tính

dx( t ) <?

= A x ( t ) + /i T T k ) (2 )

dt

k= 1

Trong đ ó x , y € X ;- h ^ T é: 0, (k = ,2 , > 0; A e L ( X )

Bk( t ) : [ ; + o o ) —> L ( X ) , (k = l,2 , ,q ); liên tục, thoả m ẵn điều kiện

[ IIB( t ) \ \ dx < +OC (2 )

fc=i

K í hiệu X { t ) toán từ C au ch y (2 ) với /i = Giả sử ộ( t ) hàm liên tục ị—h] 0] X ét toán:

d x ( t)

= A x ( t ) + B k { t ) x ( t + T k ) , {t > 0) (2.9) k=l

x(t) = <Ị>(t),{t e Ị - / i; 0]) V ới ụ Ỷ 0.

Sử dụng cách chứng m inh định lí 2.21 ta có kết sau:

Đ ịn h lý V 'ới mỗĩ hàm lién tục d>{t) cho trước, phương trình (2 ) lổn nhất nghiệm xác định ĩrén Ị—/ i ; + o o ]

Chứng minh. V ì A € L ( X ) nên X ( t ) thoả mãn đánh giá Ịl^íT(t) II (M,u> > 0) Phương trình (2 ) v iết dạng phương trình tích phân.

q

x{t ) — X ( t ) o ( ) + ụ. / X ( t - s) B k( s ) x ( s + Tk )ds (t > 0) (2 )

Jũ /0=1

x ( t ) = ệ ( t ) , t € [—h: 0] X ét dãy f s m cá c hàm liên tục xác đinh:

x 0{t) =

í<Ị>(t),(-h £ t < 0)

i „ + i ( t ) = < rt 9 _ n = , ,

1 X ( t ) ệ (0) + / i / X ( t - s ) £ B k { s ) x n {s + Tfc)cỉs, (í > 0)

l fc=i

(2 11) Đ ật | | | x ( í ) | | | = su p ||x(O H

- h z ị z t

Ta có:

|||í n+1(t) - I„(í)||| é M í; lll*(t - s ) H l è ||S (s)|||IM s) - *n-l(5)|||d5

Jũ Jt=l

£ M M r é * * - ) V |Ị B ( s ) |||||x n ( s ) - s „ - i ( s ) | | |ds

Jo k=i

Xuất phát từ đánh giá đầu tiên:

| | M t ) - x o ( í ) l l l * | / i | [ l M e ^ T \ \ B ( S) \ \ \ \ X ( s ) \ \ \ \ m \ \ d s

Jo fc=i

é |/ i |M 2ewt||ự)(0)|| í j \ \ B ( s ) \ \ d s k= 1

X ét k h oản g [0:T] với T > hữu han tuỳ ý, để ý B k(t) hàm lién tục với (k= q) nén trone đoạn [0;T] ta có Y l ỉl-Sfc(0ll ~

Khi la có:

I I M O - s o M I I £ \ụ.\M2M ^ H

đánh g iá Uén tiếp ta có:

, , , ^ I M , , (ImIM M ì t r ^ M e *

| Ị | l n^ l ( í ) - x n {t) III ér - — -(n + 1)!

( \ n \ M M i T ) n+1 M e^ 7 (n + 1)! Ta đặt: G n {t) — - x n (t) với n = K hi đó:

| G , ( |í K ^

(n + 1)!

Mà ch u ỗ i _

hội tụ ta su y ch u ỗi Y i Gn( t ) h ội tụ tu yệt đ ối đoạn [0; T] Từ đ áy ta 71= 1

oo

suy dãy tổ n g riêng ch u ỗi Xũ(t) + G „ (t) h ội tụ tức x n (t) h ội tụ đến

k= 0

hàm liên tục x ( t ) khoản g [0; TỊ, x ( t ) n gh iệm phương ìn h vi phân (2 ), n g h iệm n ày thoả m ãn điều k iện x( t ) = ộ( t ) với t e [—/i;0 ] D o T là sỏ' dương tuỳ ý nên ta su y n gh iệm (2 ) tồn với m ọ i t € [0; o o ).

Đ ịnh b' chứng m inh □

G ọi N ( t , r ) tốn tử giải phương trình (2 ) với /i Ỷ (x em [3 5] trang ) Khi ta có k ết sau:

Đ ịn h lý (xem [35] ĩrang 365)

Già sử điều kiện (2 ) ĩhoả m ã n, khi nếu | | X ( í ) || < M N ( t , T ) toán tử giới nội Chứng minh. X ét phương trình:

N ( t , r ) = X ( t ) + n X ( t - t ) ^ B k ( s ) N ( s - Tk , r ) d s , t > T (2 )

Jt k= 1

Đật Ịiì-V(í, t) ||| = su p |ỊAt( £ ,t)|| ta có:

|ị|AT( t r)||Ị ^ | ! | X ( Í ) | | | + |/i| r | | | X ( Í - s ) \ \ \ ị , | | fc( s ) | | | | | N ( s , T ) | | | d 5

J t k=

r t

i M + \ụt\M / £ | | B t ( s ) |||||A T( s , T ) |||d S l' T k=ĩ

áp d u n s bổ đề G rom vall-B ellm an ta có:

ImỊ A Í f j ì ; | : £ * ( s ) | ị t ỉ s

Ị !!-V (/,r )||| □ M e *=! < K < +OC

V ậv bổ đề chứng m inh □

2.2 Định lí Levinson tương đương tiệm cận phương trình

vi phán với biến số chậm

Trong Ỉ T xét hai h ệ phương trình vi phân tuyến tính:

(2 )

= Ay ( t ) + ị i B k{t)y{t + Tf c) (2 )

V ới x , y e FT\ —h £ T k í 0; t > 0; / i ^ 0, A £ M n ( R); B k : R + - » M n ( R) với k = l,2 ,q

Trong đ ó M n ( R) tập hợp cá c ma trận vuông cấp n liên tục R Trong phần n àv ta giả thiết

Đ ịn h n g h ĩa Các hệ phương trình (2 ) (2 ) g ọ i tương đương tiệm cân m ỗi n g h iệm x( t ) (2 ) có m ột n ghiệm y( t ) (2 ) cho: lim ||rr(í) — y ( í ) || = 0

t —» + o c và ngược lại.

B C { X : y ) l tập hợp tất toán tử liên tục, giới n ộ i từ X v o Y

X ( t ) toán tử Cauchy c ủ a (2 ) AT( í r ) l tốn tử giải c ủ a í2 ) Ta có kết sau:

B ổ đ ề Gi ả s X { t ) € B C { [0: +OC) ) ] Mn ( R) ) X ( t ) ln có th ể viết dang X ( t ) = U( t ) 4- V( t ) đó | | Ư ( í ) | | M e ~ ^ với t > ; | | V ( í ) | Ị ế 7 7 với V í R, ở đáy M m u ' ỉ s ố dương.

(2 )

Chứng minh. V ì th eo giả th iết X ( t ) e -BC([0; +0 0); M n ( R) ) nên ta có ||X ( í ) || < + 0, áp dụng h ệ 2.11 trang 13 [15 ] ta su y tất cá c giá trị riêng A thoả m ãn R e \ j ( A ) ế và g iá trị riên g Aj có phần thực k hôn g giá trị rién e đơn ( tức ố Jordan tương ứng v ó i A c ó cỡ 1), H ơn X { t ) nửa nhóm liên tục đều, áp dụng định lí ánh xạ phổ ta suv ra:

cr{eA) c { A € c :| A I 1}- Giả sử ơ ( e A) = ƠI (J o n g đó

ƠI c {A € c :| A |< 1} Ơ2 c {A € c :| A 1= 1} G ọi r chu tu yến đơn bao quanh ơ\ r p | ơ 2 = X ét phép ch iếu :

p = ầ I ỵ - ^ - ' ê >

U(t) = PX{ t ) ] V( t ) = ự - P) X( t ) Ta su y ơ ( { \ ) ) = ơ\ la suy r a ( U( l ) ) < 1.

T heo định nghĩa

r ơ( U( l ) ) = lim do với n € N đủ lớn n{ / \ \ u ( n 0)ỊỊ èr q < 1 N hư ||ỉ/( n o ) |i I g"5 = e _tJT10 {—U! — In q)

Với # > ta có :

L ■ ( f ) = U ( k n o + s ) , /í A : , s < 77-0 suy ra

| j t T(f)|: - | Ị t ' ( n 0)||fe||^(s)|| < e~kn° Meas i .el'a~“)s

- ^ e V ^ '710

T heo cá ch xây dựng phép chiếu p giả thiết tính giới n ội A '(í) ta có: /? eA j[(7 - P ).4 ] = Aj giá trị riéng đơn Mặt khác ta luỏn có V ( t ) = ( / - P ) e M =

e ụ i - P) A_ tỳ (3(3 ta su v ||V ( í ) || - ĨĨI với Ví € /? bổ đề chứng m inh □

Chứng minh. T h eo định lí 2 , với m ỗ i hàm liên tục ệ( t ) x ác định [-h;0] phương trình (2 ) c ó n g h iệm biểu d iễn dạng

y( t ) = X { t ) ộ { ) + n X ( t - s ) Y B k ( s ) y( s + r k) d s, (t > 0) (2 )

Jũ k=i

y ( t) = ậ ( t) v ới — h C t í 0

Theo bổ đề 2.23 tốn tử giải N ( t , r ) (2.14) thoả mãn đánh giá: ||JV(ỉ,t)|| D K < +OC

V ới t 0 > giả sử y ( t 0) = Vo n g h iệm (2 ) c ó dạng:

y( t ) = X ( t - t 0)y0 + ụ. / X ( t - s ) ' Y ^ B k {s)y{s + Tk )ds

•'‘o fc=i

M ặt khác theo bổ đề 2 ta có: X ( t ) = U( t ) + V ( t ) theo cách xá c định V( t ) ta chỉ V ( í — s) = X ( t — t 0) V(t — s)

Thật vậy:

V{ t - s ) = P X ( t - s ) = P X { t - to)X(to - s )

= X ( t — t o ) P X ( t o — s) = X ( t — t o) V{t o ~ s)

D o với t > t 0 có:

f í

y( t ) = X { t - t 0) y0 + /i / U( t — s) Ỵ ' B k( s ) y( s + Tk)ds

^ k= 1

+ w V ( t - s ) Ỵ ^ B k ( s ) y ( s + r k ) d s

^ío Jt=i

= X ( t - t o)yữ + ỊJL Ị X ( t - t 0) V ( t - s ) ỵ / B k ( s ) y{s + r k )ds

J ịữ fe=i

r t

+ /i / u ( t — s) ỵ B k{s ) y( s + Tk )ds J t ũ k = \

- ụ ị V { t - s ) ^ B k {s) y( s + Tk )ds

Jt k=i

Q io n to ch o t > m a x (\rk \) = tj.

1 c k ũq

Đãt

/ +00 9

V ( t - s ) B k { s ) y { s + Tk ) ds

J fc=l

/ *f oc 9

V ( t0 - s)Ỵ " ' B k(s)N(s + Tk , t o ) y o d s

J fc=i

Khi ch ú ng ta có:

ĩ1 9

Ị/(f) = X ( Ỉ - í 0) x + M / U( t — s) y , B k( s ) y{s + Tk^ds

^ k=i

- ịx Ị V ( t - s ) £ B k(s)y(s + Tk)ds

Jt k=i

Và lúc nghiệm z ( í ) phương trình (2.13) với điều kiện x ( í 0) = £o có dạng x { t ) =

X ( t - t o)x0.

X ét hiệu:

/■< 9

y ( t ) - x { t ) = ị ỉ / C7(í - s ) ^ f c ( s ) y ( s + Tk ) ds

J to k= 1

- í V ( t - s ) ^ B k ( s ) y( s + Tk ) d s

^ k=\

Ta có đánh giá sau:

I M í l - 1(011 Í M / ' ' l | Ư ( í - s ) | | T ' | | B » ( s ) | | | | y ( s + Tl )||<is

Jt ° k= 1

+ l/j| [ l | y ( t - s ) | | $ l | B fc( ) ||||y ( s + Tfc) ||d s

■/ í fc=i

‘' ‘ó fc=i

+ \n\mK\\yo\\ f ||B fc(s)||ds

V i t > í0 ta c ó :

c

ll» ( t ) - x ( t ) l l t \ụ.\MK\\ya\\ [ V | | S t ( s ) | | d s

i = i

+ ImIM/CIIsdII / ' x ; l|B * (s)ll^

2 k=l

+ \fi\m K \\y 0\\ í ||5 * ( s ) ||đ s

^ k=i

\ n ị M K ị ị y „ ị \ Ị e - " i ^ | | B t ( s ) | M s

Jt° k= 1

+ W M A-Ịiv„|| / ' Ê i i a m i*

2 fc=l

+ l/xịm^llyoll [ J ||B fc (s)||d s

^ fc=i

^ D i + D + D3

Hơn với m ọi e > tồn s ố T đủ lớn ch o với m ọi t > T ta có:

r ị 9

ử , = M M K ị ị y,II / e - “ ỉ V Ị Ị B i(s )||c is < I

•'‘ó fc=: Ổ

Í q

D = \ụ \M K \\y0\\ / | | S fc( s ) ||d í t /c=l

£ 3 = \ n \ m K \ \ y 0\\ Ị 5 I | | B fc(5)||d

Jt k=

t e < 3 € s < 3

V ậy với V/ > T ta có ||?/(£) - x ( í ) || < e hay lim ||y (t) — x ( í ) || — N gư ợ c lại nếu í-*OC

chúng ta đật: z — ụ V( t o — s) ]T B k { s ) N( s 4- Tk , t 0) d s T hì : /c= 1

/■ -foc <7

z 4 Ìl / | ! F ( í ũ - S ) | | ^ | | fc( s ) | | | | A ' ( s + T , , í o ) | | d5

•/<0 t=1

/ + OC

II ^ ||Bfc(s)||ds

J Jt=i

Chon #2 > #1 ch o / * £ ||£ * ( s ) ||d s < 1 —

2 k= ' l/iịm A

ngược với to đủ lớn V ậ y với m ỗ i n ghiệm x( t ) (2 ) thoả m ãn x ( t 0) - Xũ Và chọn được hàm ộ( t ) liê n rục vớ i — h t < to cho ộ { t ữ) = [I + Z } ~ Xo n gh iệm y(t )

của (2 ) với đ iều k iện đầu y( t ) = ậ(t) với - h £ t ' Ạ t 0 thoả m ãn y ( t 0) = [7 + z)~l x0 và cách đánh giá tương tự ta có: lim ||ị/( í) — x ị t)II = H ay (2 )

t—► oc _

và (2 ) tương đương tiệm cận □

Từ chứng m inh định lí ta su y ra:

H ệ q u ả 2 Nế u R e X j ( A ) 0, các giá trị riéng Xj có phần thực không đơn và điểu kiện (2 ) được thực hai hệ phương trình vi phán (2 ) và (2 ) là tương

đương Tiệm cận.

V í d ụ 1. Nghiên cứu tương đương tiệm cận hai phương trình vi phân cấp 2

X " ( t ) + a 2x ( t ) = 0 (2.17)

y"{t ) + a7y(t ) + — r ) — 0 (2 )

V ới —h □ r _ 0

để n ghiên cứu tương đương tiệm cận hai phương trình n àv ta đưa nghiên cứu hai hệ phương trình sau:

* ỉ ) = *2Ơ )

x'2{t) = - a 2Xi ( t )

y[{t) = V2ÌỈ)

y'2(t) = - a 2yi ( t ) - ỵ ị ^ y i ( t - r ) v i - h é* T

(2 )

(2.20)

D ễ dàng thấy m a trận hẻ số A B(t) tương ứng phương trinh (2 ) và

DC

(2 ) thoả m ãn cá c điều k iện R e X ( A) — f I\ B(t )\ \ dt = f < +OC- N ên áp dụng hệ

2.3 Sự tương đương tiệm cận không gian Banach

Trong k h ô n g gian B anach X ta xét hai phương trình v i phán tuvến tính

dx( t )

* = A x{t ) (2.21)

dy( t ) _

= Ay ( t ) + + Tfc) (2.22)

V ới X , y e X ; - h ỉ^ T k < 0; t > 0; ụ Ỷ 0, A e L ( x ỵ B k : R + -> L ( X ) vó i k = l,2 , ,q

Đ ịn h n g h ĩa C ác hệ phương trình (2 ) (2 2 ) g ọ i tương đương tiệm cận m ồi n gh iệm x{t ) (2 ) có m ột nghiệm y( t ) (2 2 ) cho: lim ||x ( í ) —ỉ/( í) || = 0 và ngược lại.

K í hiệu;

X { t ) m a trận C auchy củ a (2 ) 7V(í, r ) tốn tử giải c ủ a (2 )

Bằng cá c phương pháp chứng m inh tương tự phần trước ta nhân kết sau:

B ổ đ ể Giả sử tốn ĩủ X ( t ) có th ể viết dạng X ( t ) = Ư{t) + V( t ) , thời lổn lại so dương M, m, Lù cho:

Trong phần n ày ta cũ n g lu ôn giả thiết r+oc

(2 )

t—►+ oo

(a) Ị i n o i l M e wívớĩV í £ R

(b) |ỈV (f)|Ị m rới\'t € R Khi tổn lại s ố t ’ cho:

Đ ặ t F = I + n V( t - s ) i B k(s)N(s + rkA 0)ds

k= 1

Từ kết luận bổ đề (2 ) ta có h ệ sau:

H ệ q u ả F : X —» X là toán tủ khả ngược với t đù lớn.

N h b ổ đ ề (2 ) hệ (2 ) sử dụng phương pháp chứng m inh hoàn toàn tương tự ữ o n g chứng m inh định lí (2 ) nhận kết sau:

Đ ịn h lý Nếu X ( t ) thoả mãn điều kiện b ổ dề 2.27 điều kiện (2 ) được

thỏa m ãn ỉh ì c c p h ơn g trình (2.21) (2.22) là tương đương tiệm cận.

Sau đáy chúng tỏ i xin trình bày m ột số áp dụng kết m ột số trường hợp cụ thể:

H ệ q u ả Giả sử điều kiện (2 ) được thỏa mãn ( X ( t ) ) t> là nửa

nhóm lốn lủ compact, giới nội hai phương trình (2 ) và (2 2 ) là tương đương tiệm cận.

Chứng minh. D o (Ar( f ) ) j> 0 nửa nhóm tốn tử com pact giới n ội nên Lập phổ ơ ( X ( t ) )

là táp đếm được, thời ta có ơ ( X ( l ) ) c {À e c : ỊAỊ ^ }.

K í hiệu ơ { X ( \ ) ) — ƠI ỊJ ơ2 ƠI c {A € c : |AỊ < 1}, Ơ2 c {A € c : |A| = 1}, r chu tuyến đơn bao ƠỊ thoả m ãn điều kiện r Pl = T heo tính chất nửa nhóm c o m p a c t ta có t ập Ơ2 có h ữu h a n p h ầ n tử

Giả sừ p phép chiếu xác định sau:

p - h j ỵ - ^ ễz

U(t) = PX( t ) - V( t ) = ự - P ) X ( t )

Khi la có ơ( U{ 1)) = ƠI ta suy r c ( U( ĩ ) ) < T heo tính chất nửa nhóm

Ư(t ) ta chứng m inh ||£ /(f)|| v ới t > 0 , M , u > M ặt khác t heo tính chất c ủ a X ị t ) d o c c h x â y d ựn g p p c hi ế u p ta l u ơn có: | | ^ ( í ) | | £ m < +OC với V/ 31.

Như vậ y X ( t ) thoả mãn điều kiện bổ đề 2 nén áp dụng định lí 2 ta suy

Hệ 2.17 Giả sử A toán tủ compact, tự lién hợp không gian Hilbert H, khi

đ ó hệ ph n g trình (2 ) c ó tất cả c c nghiệm g iới n ộ i hai hệ (2 ) (2 2 )

tương đương tiệm cận.

Chứng minh. V ì A tốn tử com pact, tự liên hợp n ên la có:

ơ{ A) = {Ak : A* € R, k e N ch o lim x k = }

Chọn { e ^ } ^ sở trực chuẩn gồm v ectơ riên g Ả sở m a trận A c ó dạng A = d ia g { A a, A2, A „ , }

Hơn (2 ) c ó tất cá c n gh iệm giớ i n ội n ên R eAfc < với k = l,2 , D o X ( t ) = di ag{ e Xlt, eXĩt, e Aní, } n g h iệm x( t ) (2 ) có dạng

x( t ) = X ( t ) Ẹ V Ở U = £ ^ e , V i m ỗi n € N ta k í h iệu Pnx =

Xịti-1=1 1=1

Giả sử € > bé ruỳ ý ch o trước £ € H ta có lim (I + Pn ) ị — 0 nén tồn s ố n € N

với Ví € R * ( A '( í ,ío ) tốn tử giải (2 2 )), Ao = m a x { X i , A2, A no}

y ( t ) = N ( t , t ) v n g h iệm (2.22) thoả mãn điều k iện y ( t ) = 77,77 e H. H ơn A0 < nén ta c ó thể tồn m ột s ố T > to ch o với m ọ i t > T ta có

V í dụ 2. k h ốn g gian /2 xét tương đương tiêm cận hai phương trình vi phán Iy( t ) - x ( í ) | | =\ \ X { t - t 0)£ - N ( t , t 0)£ịị

^ | | X ( í - t 0)PnoC - N{t,to)Pn0£\\

+ IIX ( t - t o ) ( / - Pnoỵ - N ( t , t o ) ( I - Pno)^ll

Tức lim \\x(í) —2/(í)II = 0.

H ay (2 ) (2 2 ) tương đương tiệm cán. □

dạng:

(2 )

M a trận A có dạng: A = d i a g ( A 1, A2, An, ) V ới A n m a trận cấp c ó dạng:

/ A n =

V

' 0 0 0 ^ n 0 r 0

\

K hi tốn tử C au ch y X ( t ) (2 ) có dạng X ( t ) = d i a g ( X\ , x 2, ■■■)

VỚI

0 * n =

0 \ 0 cos ị —s i n ị

V 0 s i n - n c o s -

-Nhận thấy X ( t ) = di ag( Ui ( t ) , Uĩ ( t ) , ,Un( t ) , ) + d iag(V ì ( t ) , V 2(t), ,V n ( t ) , ) đây:

/ e - ‘ 0 o\

V

0 0

0 0 oy

0 0 0 \

- s i n ị

s i n - n c o s - In / Vn = 0 cos r

v °

Dễ dàng nhán thấy IIL'(í) II -ế e _ í với Ví € R ~ j|V (í)|j c m < +OC với Ví R V ậ y phương trình (2 ) thoả m ãn điều kiên định lí 2 N ếu B ( t ) thoả mãn điều kiện

C H Ư Ơ N G

H Ệ Đ Ộ N G LỰC Đ Ư Ợ C SẮ P Đ Ặ C B IỆ T

3.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG NHÓM Được SẤP ĐẶC BIỆT

3.1.1 Đ ịn h ngh ĩa nhóm sáp đặc biệt:

N h ó m G đ ợ c g ọ i n h ó m đ ợ c sắ p đ ặ c b iế t n ế u m ộ t q u a n h ệ th ứ tự đ ợ c c h o đ ố i v i c c p h ầ n tử c ủ a n ó Đ ổ n g th i v i bất k ì g ], g € G n ế u g ] < g ta s u y ra:

g i - g < g 2-g

g g , < g g v i m ọ i g € G

3.1.2 Định nghĩa ước chuẩn:

Giả sử A nhóm G A gọi ước chuẩn G Ký hiệu

A G n ế u n h v i m ọ i g € G ta c ó g A = A g

3.1.3 Định nghĩa chuẩn tập:

G iả sử M tậ p c o n c ủ a G th ì tập h ợ p tất c ả c c p h ầ n tử c ủ a G g ia o h o n với M lậ p th n h m ộ t n h ó m c o n c ủ a G G ọ i đ ó ch u ẩ n c ủ a M tr o n g G

K ý h iệ u N ( M ) = { g € G: g M = M g }

Ta kí hiệu:

G + = { g e G: g > e }

C' +

u 0 = { g € G +\ e } = G +\ e } ( g i - g : ) = { g e G : g) < g < g 2}.

3.1.4 Đ ịnh nghĩa trù m ật tương đối họ tập hợp trù m ật tương đỏi đều:

G iả sử tập K c G T ậ p h ợ p K đ ợ c g ọ i trù m ậ t tư n g đ ố i n ế u tổ n g e Go s a o c h o K n (g g g o ) * (Ị) v i tất g e G.

H ọ tậ p h ợ p c o n { K } tr o n g n h ó m G g ọ i h ọ trù m ậ t tư n g đ ố i đ é u n ế u tồ n tại p h ầ n tử go € G o s a o c h o K n (g g g o ) (Ị) đ ố i v i bất k ỳ g e G v tập K e { K }

3.1.5 Đ ịn h nghĩa táp ũ> tập hợp a - tập hợp:

T ậ p h ợ p M c G g ọ i co- tập h ợ p (cx- tập h ợ p ), n ếu đ ố i v i b ất k v g e G đ ều tồn tại p h ần t r a e M s a o c h o g < m ( g > m ).

T đ ịn h n g h ĩa ta th ấ y rằ n g m ộ t tập K c G trù m ậ t tư n g đ ố i th ì n ó co-

tập hợp. Bổ để 3.1:

N ế u M c G co- tá p h ợ p (trù m át tư n g đ ố i) v g ] , g e G th ì g 2.M g co- tập

hợp (trù mật tương đối ).

Giả sử gj, g2 € G, h phần tử bất kỳ.

G i ả s M l CD t ậ p h ợ p t a c h ứ n g m i n h g ] M g2 l CD t ậ p h ợ p ?

h e G n ế u g-> h g í ' < m K h i đ ó ta c ó h < g ] m g V ậ v v i h b ất k ì ta đ ã c h ỉ p h ầ n t m ’ = g i m g € g ] M g đ ể m ’ > h , d o đ ó g ) M g co- tậ p h ợp.

G i ả s M l t ậ p tr ù m ậ t t n g đ ố i , t a c h ứ n g m i n h g ] M g2 l t ậ p tr ù m ậ t t n g đ ố i ?

T h ậ t v ậy d o M tậ p trù m ậ t tư n g đối n é n tổ n E để c h o với gi’1 h g2' tồ n p h ầ n tử m e M s a o c h o g 11 h g 7 < m < g r' h g 2' ê .

Khi ta có: h < g) m g2 < h g -> E g

V ậ y v ó i g ] M g ta đ ã tìm đ ợ c p h ầ n tử = g i ”' I g ỉ ' > e (d o I > e ) đ ể v i h bất k ỳ

thì tồn m ’= g].m g2 e gi-M g2 cho h < m ’ < h.Ẽ nên g].M g2 trù mật tương đối.

* N h ậ n xét: ta th ấ y c ũ n g c h ứ n g m in h tư n g tự n h b ổ đ ề n y c ò n đ ú n g c h o

trường hợp tập M a - tập hợp (hoặc họ tập {M } trù mật tương đối đều). Cụ thể ưong trường hợp họ tập {M } nhóm G trù mật tương

đ ố i đ ề u th ì v i b ấ t k ỳ g ] , g € G , h ọ c c tập c o n { g ] M g 2} c ũ n g trù m ậ t tư n g đ ố i

đều.

3.1.6 Đ ịnh ngh ĩa nhóm có hướng:

N h ó m G đ ợ c g ọ i n h ó m c ó h n g n ếu n ó th o ả m â n tiê n đ ề sau đ ây: v i bất k ỳ g i ,g2 e G tồ n p h ầ n tử g G sa o c h o g > g i v g > g 2.

T ậ p h ợ p K c G gọi co- h n g ( a - h n g ) n ế u p h ầ n từ k j k c ủ a K b a o g iờ c ũ n g tổ n k e K s a o ch o : k > k) ( k < k j) v k > k ; ( k < k 2).

3.1.7 Đ ịnh nghĩa co- n h óm a - nhóm :

N h ó m đ ợ c sắ p G g ọ i (D- n h ó m ( a - n h ó m ) n ế u tồ n tạ i m ộ t s ố đ ế m đ ợ c c c tập h ợ p { K n} tr o n g n h ó m G s a o c h o tập c o n K c ủ a G (ứ tâp h ợ p ( a - tập h ợ p ) k h i v c h ỉ k h i K n K n ị v i m ọ i n.

T a k ý h ié u K _1 = { g _1: g e K } th ì k h i đ ó ta th ấ v n ế u K co - tập h ợ p ( a - tập h p ) kh i K ' a - tập h ợ p (co- tập hợp) T h ậ t vậy: g iả sử g p h ầ n tử bất k ỳ tron g G k h i đ ó g ' e G d o K co tập h ọ p ( a - tập h ợ p ), n ê n tồ n p h án tử k € K s a o c h o k > 2 ' 1 ( k < g ’1) D o đó: k '1 < s (k '1 > g ) V ậ y ta đ ã c h ỉ p h ầ n từ k '1 K '1 th o ả m ã n đ ịn h n g h ĩa a - tập h ợ p (co- tập hợp).

thoả mãn định nghĩa a - nhóm Thật vậv, giả sử M CD- tập hợp M '1 a - tập hợp, ta có M '*n K Ỷ Khi M n K"' ị với m ọi n Ngược lại, tập M mà M n K ; ị với m ọi n M '1 r> K„ Ỷ , vói n, M '1 Cù- tập hợp nếu M a - tập hợp.

Ta xét tương tự cho trường hợp nguợc lại.

Từ định nghĩa từ điều ta thấy tập M nhóm G đồng thịi a

co- tập hợp có giao khác trống với m ỗi tập sau: K).

Bổ đề 3.2:

N h ó m G l Cừ n h ó m k h i v c h ỉ k h i n ó l đ ợ c s ắ p đ ặ c b i ệ t v c h ứ a m ộ t t ậ p hợp co- tập hợp gổm số đếm phần tử.

C h ứ ng m in h :

Giả sử G co- nhóm G nhóm sấp Ta chọn K„

p hần tử g n K h i đ ó { g n} tậ p g m đ ế m đ ợ c c c p h ầ n tử v { ê n } K n Ạ v i m ọ i

n, nén {gn} tập co - lập hợp.

N g u ợ c lạ i n ế u G đ ợ c sắ p v { g n} tập co - tập h ợ p v g m m ộ t s ố đ ế m

được phần tử ta đặt Kn = {g e G, g > gn} Khi tập K bất kv co - tập

h ợ p th ì v i m ọ i n đ ề u tổ n tạ i p h ầ n tử g e K sa o c h o g > g n c h ứ n g tỏ K n K n * V ậ y {Kn} h ọ tậ p h ợ p m ta c ầ n ra.

3.1.8 Đ ịnh n gh ĩa nhóm Ci> sáp:

N h ó m đ ợ c sắ p G Cừ- đ ợ c sắ p n ếu tồ n tạ i d ã y c c p h ầ n tử: g ] < g ;< < g n < , (g, e G , V i = ) s a o c h o đ ố i v i bất k v p h ầ n tử g € G , tồ n s ố tự n h iê n n sao c h o g n > g.

D ãy p h ầ n tử trê n gọi co- ch u ỗ i.

Bổ đề 3.3:

N h ó m G co- n ó n h ó m có h n g ch ứ a tập co- tập h ợ p g m m ộ t số đ ế m p h ần tử.

C h ứ ng m in h :

G iả sử: m , m m n, ( ) tập Cừ- tập h ợ p g m m ộ t s ố đ ế m đ ợ c c c p hần tử c ò n n h ó m G n h ó m c ó h n g T a k v h iệ u g | = m , k ý h iệ u g ; p h ầ n tử đ ầu tiên

lớn (1) mà g; lớn g, Điều tìm G có hướng Giả sừ g;=

m i2 T a k ý h iệu g- p h ầ n tử đ ầu tiên lớn p h ầ n tử m, i = , 2, i2, tiếp tục n h v ậ y d ã y { g n} đ ợ c lâ p n h v ậ y Cừ- c h u ỗ i tr o n g G V ì rõ rà n g g ) < g 2< < g n

Đ ồns thời với phần tử g G đéu có phần tử m, > g ta lấy gj > m,

Ngược lại G nhóm co- co- chuỗi co- tập họp đếm Còn G đồng thời với g J , g € G ta có gi > g gj > g Giả sử gj, gi

vậy g = gj e G cho g < g g < g, theo định nghĩa G nhóm có hướng.□ Hệ 3.4:

N hóm G co- nhóm có hướng co- nhóm Điều suy từ Bổ đề 3.2 : G co- nhóm chứa tập co- tập hợp gồm số đếm phần tử Bổ đề 3.3.

3.2 ĐỊNH NGHĨA HỆ ĐỘNG L ự c ĐƯỢC SẮP ĐẶC BIỆT VÀ MỘT VÀI KHÁI NIỆM MỞ ĐẨU

3.2.1 Đ ịnh nghĩa hệ động lực đặc biệt

Ta gọi [R, G, f] hệ động lực đặc biệt đó:

R: k h ô n g g ia n m ê tr ic

G: nhóm đặc biệt.

f : m ộ t h m n h x từ k h ố n g g ia n tíc h R X G v o R , c ó c c tín h ch ất: I ) f ( p e ) = p tr o n g đ ó e p h ầ n tử đ n v ị củ a G p ]à p hần tử bất k ỳ c ủ a R n ) f ( f ( p , g , ) , g 2) = f ( p ,g j - g 2) v i m ọ i g j, g € G v p R

m ) Với m ọi p G R phần tử g € G số e > 0, tổn số ô > cho với q e

S (p ô ) th ự c h iệ n bất đ ẳ n g th ứ c p ( f ( p ,g ) ,f ( q ,g ) ) < £ (1 )

Đ ỏ i k h i đ iề u k iệ n IU ) ta th a y b ằ n g đ iề u k iệ n m n h h n đ iề u k iệ n liê n tụ c tíc h

phân.

V i m ọ i go e G s ố > , v p R tồ n s ố > s a o c h o v i m ọ i q e s (p, 5 ) bất đ ẳ n s th ứ c ( ) th ự c h iệ n v i m ọ i g e (e go) ( n é n th ê m b ổ đ ề )

G iả s A c R K c G T a k í h iệ u :

f ( A K ) = Ị f ( p g ) : p e A g € K } I A = f ( A G ) I ; = f( A G + )

H m f ( p g ) v i đ iể m p c ố đ ịn h g ọ i c h u y ể n đ ộ n g T ậ p f ( p G ) g ọ i q u ỹ đ a o c ủ a đ iể m p.

3 2 Đ ị n h n g h ĩ a t p b ấ t b iế n :

T ậ p A c R g ọ i tập b ất b iế n n ế u f ( A ,g ) = A , VỚI m ọ i p h ầ n tử g € G Đ ịn h lí :

C h ứ n g m in h :

A tập bất biến ta chứng minh A = ỵ f(p,G).

peA

Do f(p,G) c A f(p,G) c A ngược lại p e A => p € u f(p.G), A £

p e A

u f(p,G) Vậy A tập bất biến lập nên từ quv đạo hồn toàn.

B â y g iờ ta c h ứ n g m in h h ợ p bất k ỳ c ủ a c c q u ỹ đ o h o n to n lậ p n ê n tập bất

biến Thật trước tiên ta thấy f(f(p,G ),g) = f(p,G) với bất kv g e G p € R

n ếu f ( p ,G ) tậ p b ấ t b iế n , (s a u đ â y ta s ẽ c h ứ n g m in h ) n é n ta c ó đ iề u k h ẳ n g đ ịn h v ậ y đ ịn h l ý đ ợ c c h ứ n g m in h D

Định lý 3.6:

H ợ p b ất k ỳ c ủ a c c tậ p b ất b iế n m ộ t tập b ấ t b iế n G ia o b ấ t k ỳ c ủ a c c tập bất b iế n m ộ t tập b ất b iế n P h ầ n b ù c ủ a tập bất b iế n c ũ n g tậ p b ất b iế n

C h ứ n g m in h :

* )G iả sử A j, i € I c c tập bất b iế n T a c h ứ n g m in h u A , tập b ất b iế n i € I

Trước hết la lấy phần tử g € G p € u Aj, tón i0 e I để p e A ; ’

i € I 10

do f(p,g) € A - • f(P’ể ) u A - ■ vậ y ta c° u -ễ) £ u Aj, với

1 i e l i e l i e l

m ọ i g G G B y g i ta lấ y g bất k ỳ c ủ a G g' £ G K h i đ ó th e o f( u A , g ' 1) i e I

c u A j tá c d ụ n g g v o c ả h a i b ên ta có: i € I

u A , c f ( u A j, g) i e l i £ I

V ậ y ta c ó u A , = f( u A p g ) v i m ọ i g e G. i £ I i e I

* ) N ế u A , i € I b ất b iế n ta c h ứ n g m in h n Aj bất b iế n i e I

L ấ y g e G v p e n A; ta c ó p € A „ v i m ọ i i € I K h i đ ó f ( p ,g ) e A , v i m ọ i i e I. i I

N h v ậ v f ( p g ) € n A , d o đ ó ta c ó f ( n A , g ) e n A , C ũ n g tư n g tự n h

i e I i € I i e I

ta c h ứ n s m in h đ ợ c rằ n g n A ị C f ( n A, ,g ), v i g bất k ì € G. i e I i e I

V ậ y đ ịn h lý đ ợ c c h ứ n s m in h x o n g n Định lý 3.7:

B a o đ ó n s c ủ a tập b ất b iế n c ũ n g tập bất b iế n

G iả s A tâ p b ấ t b iế n , ta c h ứ n g m in h b a o đ ó n g c ủ a n ó A c ũ n g tập bất b iế n L ấ y p € A , lú c đ ó f ( p ,g ) € A v i m ọ i g e G G iả s p € A \ A g b ất k ỳ tr o n g G , k h i đ ó tồ n { p n} m lim p „ = p , tr o n g đ ó p n e A n é n f ( p n ,g ) e A c h o

Tì—H C A

qua giới hạn ta có: f(p,g) € Ã

V ậ y ta c ó : f ( A ,g ) c A , VỚI b ất k ỳ g e G.

Á p d ụ n g p h é p b iế n đ ổ i n g ợ c ta c ó A c f( A ,g ']), VỚI g b ất k ỳ th u ộ c G c h o n é n ta c ó f ( Ẩ ,g ) = A D

3.2.3 Tập hợp o giới hạn hệ động lực: Định nghĩa điểm co- giới hạn.

Đ i ể m q e R g ọ i co- g iớ i h n c ủ a c h u y ể n đ ộ n g f ( p ,g ) n ế u v i m ọ i lân cậ n U q,

với g € G, tồn phần tử ê € G cho § > g f(p ,g ) U q Tập hợp tất

c c đ iể m Cử- g iớ i h n c ủ a c h u y ể n đ ộ n g f ( p ,g ) ta k ý h iệ u Q p

T n g tự ta c ó đ ịn h n g h ĩa đ iể m a - g iớ i h n c ủ a c h u v ể n đ ộ n g f ( p ,g ) q e R g ọ i là a - g iớ i h n c ủ a c h u y ể n đ ộ n g f ( p ,g ) , n ế u v i m ọ i lâ n c ậ n U q, v i m ọ i g e G tồn tại p hần tử -8 € G s a o c h o I < g v f(p g ) e U q T ậ p h ợ p tất c ả c c đ iể m a - g iớ i hạn củ a c h u y ể n đ ộ n g f ( p ,g ) ta k ý h iệ u A p

Đ ịnh lý 3.8:

T ậ p Qp (A p) n h ữ n g tập đ ó n g v bất b iế n

C hứng m in h :

* T ậ p Qp tậ p đ ó n g

L ấ y d ã y { q n} G Q p q n —> q ta c h ứ n g m in h q s Q p T h ật v ậ y lấ y £ bất k ỳ go bất k ỳ ta c h ứ n g m in h tồ n tạ i g > go s a o c h o p (f(p I ).q ) < V ì l i m q n = q n én

với e/2 tồn N cho với n > N, ta có:

p ( q n.q ) < s /

p(f(p § ) q) < e/2.

Vì q n G Qp n ên với e/2 tồ n > go cho: p( f( p g ) q j < e/2

Vì vậy: p ( f ( p I ) q) < p(qn q) + píq^ ,f(p, B )) < E.

V ậ v q € Qp n é n Qp tập đ ó n g * T ậ p Qp tập b ất b iế n

Giả sừ q € Q p gn e G > Từ điều kiện III) đông lưc ta tìm ơ

G iả s A tậ p b ấ t b iế n , ta c h ứ n g m in h b a o đ ó n g c ủ a n ó A c ũ n g tập bất b iế n L ấ v p € A , lú c đ ó f ( p ,g ) e A v ó i m ọ i g € G G iả sử p € A \ A v g b ất k ỳ

trong G, tồn {pn} mà lim p„ = p , pn e A nén f(pn ,g) e A cho

w—► OG

qua giới hạn ta có: f(p,g) € Ã

V ậ y ta c ó : f ( A ,g ) c A , v i b ất k ỳ g e G.

Á p d ụ n g p h é p b iế n đ ổ i n g ợ c ta c ó A Q Ĩ ( A ,g ']), v i g b ấ t k ỳ th u ộ c G , c h o n ên ta c ó f ( Ả ,g ) = A D

3.2.3 Tập hợp (D- giới hạn hệ động lực:

Đ ị n h n g h ĩ a đ i ể m co- g i i h n

Đ i ể m q e R g ọ i co- g iớ i h n c ủ a c h u y ê n đ ộ n g f ( p ,g ) n ế u v i m ọ i lân cậ n U q,

với g G, tồn phần tử G cho g > g f(p ỉ ) e U q Tập hợp tất

c c đ iể m Cù- g iớ i h n c ủ a c h u y ể n đ ộ n g f ( p ,g ) ta k ý h iệ u Q p

T n g tự ta c ó đ ịn h n g h ĩa đ iể m a - g iớ i h ạn c ủ a c h u y ể n đ ộ n g , f ( p ,g ) q e R g ọ i là a - g iớ i h n c ủ a c h u y ể n đ ộ n g f ( p ,g ) , n ếu v i m ọ i lâ n c ậ n Ư q, v i m ọ i g € G , tổ n tại p hần tử ê e G s a o c h o I < g v f(p , g ) U q T ậ p h ợ p tất c ả c c đ iể m a - g iớ i han củ a c h u v ể n đ ộ n g f ( p ,g ) ta k ý h iệ u A p

Định lý 3.8:

T ậ p Qp (A p) n h ữ n g tập đ ó n g v bất b iế n

C ng m in h :

* T ậ p Qp tậ p đ ó n g

L ấ y d ã y { q n} e Q p , q n - > q ta c h ứ n g m in h q e Q p T h ật v ậ y lấ y £ bất k ỳ go bất k ỳ ta c h ứ n g m in h tồ n tạ i g > go s a o c h o p (f(p s ).q ) < £ V ì l i m q n = q, n én

với 8/2 tổn N cho với n > N, ta có:

p (q n.q ) < e/2

p(f(p I ) q) < e/2.

Vì q n e Qp n ên VỚI e/2 tồ n g > go cho: p( f( p ĩ ) qJ1) < e/2.

Vì vậy: p(f(p § ) q) < p(qn q) + p(qn ,f(p § ) ) < £

V ậ v q e Q p n é n Qp tậ p đ ó n g * T â p Qf tậ p bất b iế n

> g € G bất kỳ, tồn I cho g.go'1 < E f ( p , l ) e S(p.ỗ).

K h i đ ó f ( p , I g o ) e S (f(p ,g o ),s ) Đ n g th i v ì g > g g o ’1 n ê n I .go > g d o đ ó đ iể m f(p ,g o ) e Qp V ậ y Q p tậ p b ất b iế n , đ ịn h lý đ ợ c c h ứ n g m in h ũ

Định lý 3.9:

N ế u q e f ( p ,G ) th ì Qp = Q q.

C h ứ ng m in h :

G iả s q = f(p ,g o ) € f ( p ,G ) , q € Q q T a c h ứ n g m in h q ’ e Qp.

T h ật v ậ y v ì q ’ € Q q n ê n v i m ọ i £ > v I e G n ê n tồ n g € G s a o c h o g > go'1, ẽ và f ( q ,g ) e S ( q ’ ,s ) K h i đ ó f ( p ,g 0.g ) € S ( q \ e ) v i g 0.g > g c h ứ n g tỏ q , e Q p V ì v ậ y ta c ó Q q c Q p N h n g v ì q € f ( p ,G ) n ê n f( p ,G ) = f ( q G ) rức p € f ( q G ) V ậ y n ê n ta lạ i c ó QpCỊ Q q V ậ y đ ịn h l ý đ ợ c c h ứ n g m in h x o n g n

Định lý 3.10:

N ế u q e th ì Q q c Qp.

C ng m in h :

G iả s r e Q q , ta c h ứ n g m in h r e Q p

V i r, s v g G G n ê n tồ n tạ i I e G s a o c h o I > g v p, = f(p , I ) e S ( r ,e )

G iả sử £j > ta tìm đ ợ c ô > s a o ch o: S (Pi.S)) c S (r,£ ) T h e o tín h ch ất m c ủ a H ệ động lực q ta tìm ô > cho với m ọ i s e S ( q ỏ):

p ( f ( q , g ), f ( s , I ) ) < £ ,.

Vì q € X " nên ê i e G+ cho p(f(p,g]),q) < s.

K h i đ ó th e o c c h c h ọ n c ủ a ta thì: p ( f(p , g j - g ) , P i » < Si-

V ì v ậ y f(p , g j ễ ) £ S ( r s ) , m tr o n g đ ó d o g > g , g , > E d o đ ó ta có: g ] I > g T ứ c Pj € Qp Đ ịn h lý đ ợ c c h ứ n g m in h x o n g n

3.2.4 Chuyển động ổn định theo Lagrang.

T a đ ã b iế t k ý h iệ u = f ( p , G ) , ' Y í - f ( p , G * )

Định nghĩa 3.1:

C h u y ể n đ ộ n g f ( p ,g ) ổ n đ ịn h d n g (ổ n đ ịn h ) t h e o n g h ĩa L a g r a n g n ếu

Z ( V ) tâp compact.

Định 1Ý 3.11:

N ếu G nhóm có hướng, chuvển động f(p,g) ổn định theo Lagrang theo hưởng dương Qp *

C h ứ n g m in h :

Giả sử ngược lại Qp= , tức với p’ € R , tổn U (p ’) tồn gp sao

c h o v i m ọ i g > gp- th ì f ( p \ g ) ể U ( p ’) V ậ y b â y g i ta x é t tất c ả n h ữ n g đ iể m n m

trong D o compact, nên từ phủ mở ta trích một

phủ hữu hạn Giả sử là: U (p 1),Ư (p 2) , ,Ư ( p N).

Do G có hướng nên e, g p , g ; , g ^ ta chọn phần tử

g € G s o c h o g > e v g > g p , v i i = K h i đ ó th e o g iả th iế t p h ả n c h ứ n g th ì v i m ọ i g > g th ì f(p , g ) Ể , d o đ ó f(p , g ) Ể f( p ,G ) v i n h ữ n g g e G \ đ iề u n y v ô lý , v ậ y g iả th iế t p h ả n c h ứ n g sa i, tứ c Qp * U

Định lý 3.12:

N ế u G ]à m ộ t n h ó m c ó h n g , v c h u y ể n đ ộ n g f ( p ,g ) ổ n đ ịn h t h e o L a g r a n g th e o h n g d n g th ì v i m ọ i s > v i m ọ i g e G lu ô n lu ô n tồ n g > g s a o c h o p (f(p , g ) , Q p ) < e

C h ứ n g m in h :

G iả s n g ợ c lạ i tồ n tạ i £j > v g € G s a o c h o v i m ọ i g > go th ì ta có: p ( f ( p ,g ) , Qp ) >

D o G c ó h n g v f(p g ) ổ n đ ịn h L a g r a n g n ê n Qp *

G iả sử tồ n tạ i q th u ộ c Qp k h i đ ó v i E)/2 v g tổ n tạ i g > go s a o c h o p ( f ( p ,g ) , Qp) < £ ], Vậy m â u th u ẫ n v i g iả th iế t p h ả n c h ứ n g Đ ịn h lý đ ợ c c h ứ n g m in h n

* N h ậ n xét: c ũ n g tư n g tự n h h a i Đ ịn h lý v ta c ó th ể p h át b iể u đ ịn h lý c h o Ap n h sau :

N ế u G n h ó m c ó h n g , c h u y ể n đ ộ n g f ( p ,g ) ổ n đ ịn h L a g r a n g th e o h n g âm k h i đ ó tậ p Ap 0 v v i m ọ i £ > v i m ọ i gn G G lu ô n tồ n tạ i I e G g < g(, s a o c h o p ( f ( p i ),A p ) < E.

3.2.5 Đ iểm đứng yén Đ ịnh nghĩa 3.2:

p-Định lý 3.13:

T ậ p h ợ p tất c ả c c đ iể m đ ứ n g y ê n tậ p đ ó n g

C h ứ n g m in h :

G iả s { p n } d ã y c c đ iể m đ ứ n g v ê n v lim p n = p ta c h ứ n g m in h p đ iể m

n— ^

đ ứ n g y ê n L ấ y g b ấ t k ì tr o n g G ta c ó : f( p n,g ) = p„, k h i đ ó c h o q u a g iớ i h n ta c ó lịm f(Pn’ên) = Pn h a y f ( p ,g ) = p V ậ y đ ịn h l ý đ ợ c c h ứ n g m in h D

Định lý 3.14:

K h ố n g m ộ t q u ỹ đ o n o k h c đ iể m đ ứ n g y ê n lạ i c ó th ể rơi v o đ iể m đ ứ n g v é n tại m ộ t p h ầ n tử g e G

C h ứ n g m in h :

G iả s p đ ứ n g y ê n , q k h ô n g p h ải q u ỹ đ o đ ứ n g y ê n , q * p v tồ n tạ i g i e G

để f(q,g]) =p Ta chứng minh điều vô lý Thật f(q,g)) = p nên f(q ,g i.g r ])

= f ( p ,g ] ‘1), d o đ ó q = f ( p ,g _1) = p V ậ y m â u th u ẫ n d o đ ó đ ịn h lý đ ợ c c h ứ n g m in h D

Định lý 3.15:

N ế u đ ố i v i bất k ì s ố > n h ỏ tu ỳ ý , tồ n q € S (p ô ) s a o c h o f ( q G ) c S (p ,ỗ ), th ì p đ iể m đ ứ n g y ê n

C h ứ ng m in h :

G iả s n g ợ c lạ i p k h ô n g đ ứ n g y ê n , k h i đ ó tồ n go e G s a o c h o p * f(p ,g o ) G iả sử p ( p ,f ( p ,g 0)) = a > K h i đ ó v i Ơ/2 đ iể m p v go ta tìm đ ợ c s ố ô > s a o c h o v i m ọ i q € S ( q ,ỗ ) thì:

p ( f ( p , g o ) , f ( q , g o ) ) < /

Đ n g th i v ì f ( q G ) c S (p ô ) n ê n p (p ,f(q ,g o )) < Ô/2. V ậ y p (p f( p ,g o )) < p (p ,f( q ,g o )) + p (f(q ,g o ).f(p ,g o ))

tứ c a < a / + a / = a V ô lý V ậ y g iả th iế t p h ả n c h ứ n s s a i n

T r ê n đ â y m ộ t v i k h i n iệ m m đ ầu cầ n d ù n g c h o sa u n v v m ộ t s ổ k ết q u ả b an đ ầ u B â y g i ta x é t m ộ t s ố lớ p c h u y ể n đ ộ n g tr o n g h ệ đ ộ n g lự c đ ợ c sắp.

3.3 LỚP CHUYỂN ĐỘNG TUẤN HOÀN VÀ LỚP CHƯYEN đ ộ n g Ổn

ĐỊNH POATXONG TRONG HỆ ĐỘNG L ự c ĐƯƠC SẮP ĐẶC BIỆT.

P h ầ n tử go € G g ọ i c h u k ì c ủ a đ iể m p € R n ế u f(p ,g o ) = p.

T a k í h iệ u Gp tá t c ả c c c h u k ì c ủ a đ iể m p K h i đ ó ta c ó Gp m ộ t n h ó m c o n Đ ể c h ứ n g m in h Gp n h ó m c o n t h e o đ iề u k iệ n c ầ n v đủ ta lấ y g , , g e Gp , ta c h ứ n g

minh g j.g € Gp, g i’1 € Gp Thật gj.g2 Gp f(f(p,go),g2) = f(p,ga) = P-

f(P g j- & ) = p d o đ ó g i - g2 e G P- T f (P ’g2> = p ta c ó p = f ( p ,g 2']), d o đ ó g 2-‘ e Gp V ậ y đ iề u k h ẳ n g đ ịn h đ ú n g

Bổ đề 3.16:

N ế u p € R v g € G th ì G f ( p ,g ) = g _l.G p £.

Chứ ng m in h :

* ) c h ứ n g m in h g ' ! Gp g c G f( p ,g ).

G iả s p € R v go e Gp, ta c h ứ n g m in h g ^ g o -g € G f ( p ,g ) T h ật v ậ y: f ( f ( p ,g ) ,g - ' g g ) = f ( p , g g ' ’.go- g ) = f(p ,g o -g ) = f( f ( p ,g o ) ,g ) = f( p ,g ). V ậ y g ' ’.go g đ iể m c h u k ì c ủ a f ( p ,g )

* ) c h ứ n g m in h G f ( p ,g ) c g''.G p .g.

L ấ y g , e G f ( p ,g ) ta c h ứ n g m in h g] € g ''.G D g T h ậ t v ậ y ta c ó f ( f ( p , g ) , g 1) = f ( p ,g ) t ứ c l f ( p , g g ]) = f ( p ,g ) '

V ậ y f ( p , g g , g ' 1) = p, tứ c g g i g ' € G p , d o đ ó gj € g '.G p g D Bổ để 3.17:

Đ ể c ó G f ( p g ) = G p , đ iề u k iệ n c ầ n v đủ g € N (G p ).

Chứĩĩg m inh:

p € R ta c ó g e N (G p ) k h i v c h ỉ k h i g.G p = Gp g k h i v c h ỉ k h i g ‘.Gp g = Gp k h i v ch i k h i G f ( p g ) = Gp (t h e o B ổ đ ề G f ( p ,g ) = g ''.G p.g ).D

Hệ 3.18:

G f ( p ,g ) = Gp v i m ọ i g € G , k h i v c h ỉ k h i N (G p )= G (tứ c Gp c c h u ẩ n củ a G ).

Chứng m in h :

V ì Gp c c h u ẩ n c ủ a G th ì g.G p = G p.g, v i tất c ả g e G , v c ũ n g tứ c G ư ớc ch u ẩ n c ủ a Gp H a y n ó i c c h h k h c G r ớc c h u ẩ n c ủ a G tư n g đ n g v i N (G p ) = G B â y g i ta c h ứ n g m in h h ệ q u ả R õ ràn g th e o B ổ đ ề G f ( p ,g ) = Gp k h i ch ỉ g € N ( G P) G f ( p ,g ) = Gp k h i v ch ỉ k h i g € G n

Định nghĩa 3.4:

T a k í h iệ u A ) , A 2, A tậ p h ợ p tất c ả c c đ iể m k ì d ị y ế u , c h u trìn h y ế u , tu ầ n h o n y ế u

Định nghla 3.5:

Đ iể m p e R v c h u y ể n đ ộ n g f ( p ,g ) g ọ i k ì dị (c h u ìn h , tu ầ n h o n ), n ếu n h n ó k ì d ị y ế u ( c h u trìn h y ế u , tu ầ n h o n y ế u ) , v G f ( p ,g ) = Gp v i m ọ i g € Gp. T a k í h iệ u B ], B2,B3 c c tập k ì d ị, c h u trìn h v tu ầ n h o n

Định lý 3.19:

Các tập Aj, B, tập bất biến.

Chứ ng m in h :

*) Bj tập bất biến.

L ấ y g bất k ì € G v b € B„ ta c h ứ n g m in h f ( p ,g ) e B„ b e B, th ì G b k h ô n g trù n g với đ n v ị ( Cừ- tậ p h ợ p , trù m ậ t tư n g đ ố i) , k h i đ ó d o G b = G f ( p ,g ) th ì

G f ( p ,g ) c ũ n g c ó c c tín h c h ấ t V ậ y ta c h ứ n g m in h đ ợ c f ( B ,,g ) c B, v i g bất k ì Ư on g G

D ù n g p h é p b iế n đ ổ i n g ợ c ta đ ợ c B, c f(B , ,g _1) N h n g d o g b ất k ì n ê n ta c ó B, c f(B , ,g ) v i tát c ả g e G v ậ y ta c ó f( B „ g ) = B, vớ i m ọ i g € G tứ c B, bất b iế n

* )A , b ất b iế n

Đ ố i v i trư n g h ợ p A ] th ì ta đ ã th ấ y rõ ràn g.

B â v g i đ ố i v i A : A ?, t h ì l ấ y a € A , ( i = , ) ta p h ả i c h ứ n g m i n h G f ( p , g ) l Cừ- t ậ p hợp (trù mật rương đối) Thật vậy, lấy g G ta biết theo Bổ đề 3.1 từ

G a co- tậ p h ợ p (trù m ậ t tư n g đ ố i) , ta s u y g ' !.G a.g Cừ- tập h ợ p (trù m ậ t tư n g đ ố i) M t h e o B ổ đ ể G f ( p ,g ) = g ‘'.G ag d o đ ó G f ( p ,g ) c ũ n g co- tập h ợ p (trù m ậ t rư ng đ ố i).

V ậ y vớ i a A , ta c ó f ( a g ) e A , v i bất k ì g € G tứ c f ( A ,.g ) c A , v i bất k ì g £ G C ũ n g tư n g tu n h ta c ó f(A , ,g ) = A , VỚI bất k ì g e G d o đ ó Aj bất b iế n D

Bổ đề 3.20:

ĐỐI VỚI c c tập A , B, i = l , ,3 , ta có:

1) A ] Z! A : z> Aj B p B o B 3, B, c A , i= ,2 ,3

2 ) B ; = B] n A ; B ? = Bj n A ? D o đ ó ta s u y ra: A j, B, g ia o n h au

C h ứ ng m in h :

* ) B ; = B , n A :

1) S u y từ đ ịn h n s h l a v rtr n h ậ n x é t m ộ t tập h ợ p trù m ậ t tư n g đ ố i th ì n ó co- táp

hợp m ột tập co- tập hợp thi khơng trùng VỚI đơn vị.

Lấy a e B2 theo 1) ta có a e B] a e E&2, đó: B2 c B] n A 2.

N g ợ c lạ i c ũ n g th e o ), lấ y a e B] n A th ì ta c ó a e B j, d o đ ó G f ( a ,g ) = G a VỚI m ọ i g € G đ n g thcd a € A n ê n ta c ó G a co- tập h ợ p v ậ v n ê n a € B -

V â ỵ B) n A c B2, d o đ ó B2 = B j n A 2. * ) B = B ! n A 3.

R õ rà n g B c B ) n A ? T a s ẽ c h ứ n g m in h b a o h m th ứ c n g ợ c lại.

Lấy a € B] n A 3, a e Bj nên G f(a,g) = Ga với tất g e G, thời a e A nên Ga

là trù m ậ t tư n g đ ố i, v ậ y a € B , d o đ ó ta c ó Bj n A c B ? D o đ ó ta c ó B = B] n A.v

Từ 1) 2) ta suy tất A„ B„ i= 1,2,3, giao nhau.D

*Nhận xét: từ bổ đề ta thấy tất A, i= 1,2,3, B, , i = l ,2 ,3, bao

h m tr o n g A j , đ n g th i ta th ấ y c h ú n g k h ố n g trù n g v i n h a u V í d ụ , tập A , = B , k h i v c h ỉ k h i G f ( p ,g ) = Gp, v i m ọ i g € G k h i v c h ỉ k h i N (G p ) tứ c k h i v c h ỉ k h i Gp là c c h u ẩ n c ủ a G , sa u n y ta s ẽ th ấ y đ iề u n y x ả y tr o n g n h ó m g ia o h o n v sau đ â y ta s ẽ lấ y đ ợ c n h ữ n g v í dụ đ iề u n v k h ô n g x ả y tr o n g n h ó m đ ợ c sắ p th ứ tự đ ặ c b iệ t m k h ô n g g ia o h o n

T B ổ đ ề ta th ấ y rằ n g ta c ó th ể x â y d ự n g c c lớ p c h u y ể n đ ộ n g sa u đ ây: Sj T ập tất c ả c c c h u y ể n đ ộ n g tu ần h o n

s T ập tất c ả c c c h u y ể n đ ộ n g tu ần h o n y ế u m k h ố n g k ì dị. s T ập tất c ả c c c h u y ể n đ ộ n g c ó ch u trình v ế u m k h ổ n g c ó tu ầ n h o n

s Tập tất chuyển động có chu trình yếu mà khống chu trình khơng tuần

h o n y ế u

S T ập tất c c c h u v ể n đ ộ n g k ì dị k h ổ n g ch u trình.

s T ậ p tất c h u y ể n đ ộ n g kì dị y ế u k h n g kì dị k h ổ n g c h u trình. H o ặ c ta c ó th ể v iết:

S ]= Bị S4 = A->\ A ?\ Bt. S; = a 3\ b , s5 = b1\ b2

Ị = B 2\ B ? S6 = A j \ B j \ A 2.

B ây g iờ ta lấ y c c v í dụ c h ứ n g tỏ rằ n g h lớ p n v tồ n tạ i tứ c s , * , i = 1 ,2

V í d ụ : T r o n g v í dụ n y ta c h ứ n g tỏ tập s * T a lấ y h ệ đ ộ n g lự c [ R , H f)]

R ,: đ n g th ẳ n s th ự c.

H : tập h ợ p tất c ả c c h m s ố liê n tụ c tã n g v i p h é p to n :

fj: hàm số xác định nhu sau: fj(x ) = h(x).

R õ ràng ta thử lại [Rj, H, f]] hệ động lực đặc biệt.

B â y g i ta n h ậ n th ấ y rằn g: đ ố i v i b ất k ì X € R c h u y ể n đ ộ n s f ] ( x ,h ) k ì dị y ế u N h ó m tất c ả c c c h u k ì c ủ a đ iể m X H x = { h, h € H : h ( x ) = X }.

R õ rà n g H x k h c { e } v ì ta c ó h ’( x ) = ịd x = X, m ị d x * e ( x ) H ( x ) k h ô n g Cừ- tập

0

h ợ p v ì đ ố i v i h m s ố h ( x ) = x + d , d > , t h ì s ẽ k h n g c ó m ộ t h m sơ' n o hfl € H m

h o > h V ậ y f j ( x ,h ) k h ô n g c h u trìn h y ế u

B â y g i g iả s r ằ n g hj € H x ch u k ì c ủ a đ iể m f j ( x h ) v i b ất k ì h e H , tứ c n ếu h € H th ì f j ( x ,h h ]) = f ] ( x ,h ) n ế u h ] ( h ( x ) ) = h (x ) N h n g đ iề u n y c ó v i tất c ả h € H k h i v c h ỉ k h i h ] ( x ) = e ( x ) Đ i ề u n y v ô lý v ì H x k h c { e }, v ậ y f j ( x ,h ) k h ố n g k ì d ị D o đ ó c h u y ể n đ ộ n g f ] ( x ,h ) k ì dị y ế u n h n g k h ố n g k ì d ị v k h ổ n g ch u trình

yếu Vậy s *

V í dụ 3.2: chứng tỏ s *

L ấ y hộ đ ộ n g lự c [R ị, H , í 2)

R j : đ n g th ẳ n g th ự c.

W : n h ó m tậ p h ợ p tát c ả c c h m s ố liê n tụ c đ n g th ẳ n g , v i p h é p c ộ n g h m

sổ' bình thường Và quan hệ thứ tự xác định với W | , W i € w , W]> w2 Wj(x)

> w 2( x ) v i m ọ i X.

f2: hàm xác định sau với X € R], w € w , f2(x,w) = X + w(0).

T a th lạ i th ì th ấ y c c tiê n đ ề v ề n h ó m đ ợ c sấp đ ố i v i w v c c tiê n đ ề v ề n h ó m đ ợ c sắ p đ ặ c b iệ t đ ợ c th o ả m ã n

B â y g iờ ta x é t đ ố i v ó i X € R j b ất k ì, tập h ợ p tất c ả c c ch u k ì c ủ a c h u y ể n đ ộ n g f ( x w ) tập h ợ p tất c ả c c h m q u a g ố c to đ ộ T a g ọ i n ó W x, th ì W x * { e } v ì c c h m c x n € W x m c x n * e v i c 1 Đ n g th i v ì w n h ó m g ia o h o n n é n W x =

w f( x ,\v ) Vậy kì dị.

N h n g f ] ( x w ) k h ô n g c h u trìn h V ì v ậ v ta th ấ y v ì W x k h ô n g co- tập h ợp T h ật v ậ y v i w ( x ) = d > th ì k h ô n g tồ n ch u k ì W c ủ a đ iể m X đ ể W > w ( x ) = d

Vậy chuyển động f 2(x.h) chu kì mà khơng chu trình sp * V í dụ 3.3: chứng tỏ s *

L ấ y h ệ đ ộ n g lự c [Rọ H f;J.

R 2: k h ố n g g ia n h a i c h iề u c l i t tức m ặ t p h ẳ n g lấ y h ệ to đ ộ đ ề c c v u ô n g g ó c v i n h au

Ư : n h ó m tất sô' phứ c với p h é p c ộng th ô n g thường

f3((a,b),u) = (a + a - p, b + a - (3).

T h l i t h ì c c t i ê n đ ề v ề h ệ đ ộ n g l ự c đ ợ c s ắ p đ ặ c b i i ệ t

N h ó m c c c h u k ì c ủ a m ộ t đ i ể m bất k ì l đ n g c h é o c ủ a g ó c t h ứ n h ấ t v g ó c t h ứ b a c ủ a m ặ t p h ả n g Ư , t a g ọ i l U (ab) v ì v i u0 € U (ab) t h ì 0Lq = ị30 D o đ ó f3( ( a ,b ) ,U o ) =

( a ,b ) *

R õ r n g U (ab) l tậD co- t ậ p h ợ p V ì v i u = a + i|3 t a c h ỉ c ầ n l ấ y 110 = 00 + i p o, t r o n g đ ó , (Xo > m a x ( a , P ) N h n g u (ab) k h ô n g l tr ù m ậ t t n g đ ố i v ì v i b ấ t k ì u = a + i p t a l ấ y Ufì = - a + i p , t h ì g i ữ a ( u 0, u0 u ) t ứ c l g i ữ a ( - a + i p ) v Í P k h ố n g t h ể t ì m đ ợ c u e U (a b ), v ì ( - a , ) n ( p , ( ) =

V ậ y S3 *

V í d ụ : C h ứ n g t ỏ t ậ p s 2* T a x é t h ệ đ ộ n g l ự c [ R2A ^ f 4].

R2 l m ậ t p h ẳ n g c ó h ộ t o đ ộ đ ề c c v u ô n g g ó c

V : l n h ó m c c m a t r ậ n c ấ p h a i v i p h é p t o n n h â n m a t r ậ n b ì n h t h n g Q u a n h ệ t h ứ t ự b ộ p h ậ n l ấ y t h e o g i t r ị c ủ a đ ị n h t h ứ c v1?v2 € V , Vj > v2 n ế u d e t v , > d e t v Đ â y l n h ó m đ ợ c s ắ p đ ặ c b i ệ t

f : l h m sỏ' x c đ ị n h n h s a u , v i ( a , b ) € R 2, V =

ta đ ậ t f4( ( a b ) , v ) = ( a b )

a2] q22

= ( a a n + b a -,], a a ]2+ b a 22).

Ka 2\ *?22

Thừ l i c ả t i ê n đ ề c ủ a h ộ đ ộ n g l ự c đ ề u t h o ả m ã n T a s ẽ c h ứ n g m i n h f4( ( a b ) , v ) c h u y ể n đ ộ n g k ì d ị v ế u V ì v i ( a b ) e R ọ , a 0 0 t h ì c h u k ì c ủ a ( a b ) c ó d n g

a - b c

ả b - a

ở đ y c d t a x c đ ị n h đ ể s a o c h o đ ị n h t h ứ c c ủ a m a tr ậ n t r ê n là

d n s K í h i ệ u tấ t c ả c c c h u k ì c ủ a ( a b ) l V ( a b ) , t a n h ậ n t h ấ y V (a b )* Ị e ) V ì t a c ó

t h ể l ấ v c = a /2b d = b / a t h ì t a c ó đ i ể m c h u k ì v0 =

( \ b N

2 3 a * a

[ ĩ b

2

3 V

l o l j

X ã det v0 * 0.

- — d

f , (“ , b ị a

b —

r a - b c

b - a

= ( a + b c , 2b - a d )

= ( a ,2b ) c

\ b ) )

t h ì b c = 0, a d = 0, t ứ c l c = 0, d =0, v à

\

c

\ b )

v ô l ý

B â y g i t a s ẽ c h ứ n g m i n h V (ab) l tr ù m ậ t t n g đ ố i G i ả s m a tr ậ n c c ó d e t

c > c ò n D là m a t r ậ n bất kì t r o n g n h ó m V , g i ả s Y là m ộ t số t h ự c s a o c h o d e t V < y < d e t D C K h i đ ó t a s ẽ t ì m đ ợ c V € V (ab) m d e t V = y, m u ố n v ậ y t a c h ỉ c ầ n g i ả i

< d c D o đ ó v (ab) l tr ù m ậ t t n g đ ố i d o đ ó c h u y ể n đ ộ n g f4( ( a b ) , v ) l t u ầ n h o n y ế u C u ố i c ù n g t a đ ợ c f4( ( a , b ) , v ) l t u ầ n h o n m , k h ô n g l k ì d ị V ậ y s2 *

V í d ụ : C h ứ n g t ỏ S4 *

L ấ y h ệ đ ộ n g lự c [ R ; x R 2, Ư X V , f 5].

R 2x R ; : k h ô n g g ian m e tric

ư X V : l t í c h c ủ a h a i n h ó m , u t r o n g v í d ụ , V t r o n g v í d ụ , v i q u a n h ệ t h ứ

tự p h ậ n lấ y th e o q u a n h ê th ứ tự tro n g V í d u g | g G Ư x V g j= Uj X Vj g = U; X V, th ì gi > g i n ế u U] > u

f 5: hàm số xác định sau, cập p = (Pi ,p2) € R g = (u,V) e

u X V ta đật f5(p,g) = (qi,q2), ở (q].q2) e R 2và q,= f3(pj,u), q2= f4(p2.v).

Ta th với p € R ; x Rn th ì n h ó m chu kì củ a Gp = U /, xR ;X R Pj

C h u v ể n đ ộ n g f5( p , g ) l c h u t r ìn h y ế u v ì u P] l Cù- t ậ p h ợ p , m q u a n h ê t h ứ t ự b ộ p h ậ n t r o n s G l ấ y t h e o n g h ĩ a t r o n g Ư n ê n Gp c ũ n g l Cừ - t ậ p h ợ p t r o n g G

N h n g f5( p g ) k h ố n s l k ì d ị ( t u y n ó l k ì d ị y ế u ) v ì c h u y ể n đ ộ n g f4( p2.v ) k h ỏ n s l k ì d ị C u ố i c ù n g c h u y ể n đ ộ n g f5( p , g ) k h ô n g t u ầ n h o n y ê u v ì u p k h ố n g trù mát tương đối Ư Vậy f 5(p,g) chu trình yếu mà khổng kì dị khơng tuần hồn yếu nên S4*

p h n g t r ìn h a - b c b - a d - c d = Y , đ ể t ì m c v d K h i đ ó t n t i V e V u b ) m d < V

V í dụ 3.6: chứng tỏ Sj * 0 .

T a x é t h ệ đ ộ n g l ự c b ì n h t h n g [ R , I , f ]

R õ r n g t ậ p h ợ p c c c h u k ì I p = { k r , k = , , Ip l b ấ t b i ế n v tr ù m ậ t t n g đ ố i t r ê n t r ụ c s ố V ậ y S ] *

S u v í d ụ t r ê n đ ã c h ứ n g t ỏ r ằ n g Sj * , i = , , , , 6 N g o i r a t a c ị n c ó t h ể t h l i m ộ t v i t r n g h ợ p s a u :

S j n S2 = B3 n ( B ịX B 3) = B3 n B2 n #3 =

52 n s4 = A3\ B ! n ( A 2\ A3\ B 2) = ( A3\ B , ) n [ ( A2\ B 2) \ A :J

= ( D o A3\ B j c A 3)

53 n s = (BA &>) n ( B ,\ B2) = ( B? c B2).

T n g t ự t a t h l i đ ợ c Sj r> Sj * , V i , j = 1, , V ì v ậ y t a c ó đ ị n h 1Ý s a u đ y :

Định lý 3.21:

S ự p h n h o c h l ậ p c c c h u y ể n đ ộ n g k ì d ị, m c ả m s i n h b i c c t ậ p A 2, A ? , B ] B B ? , đ ợ c b a o g m b i c c l p S i, i = , , , , 6 N g o i r a ta c ó :

A J = U ' í I , B i = U V , ' ( )

/ = /=1

Chứng minh:

ở t r ê n t a đ ã t h ự c h i ệ n s ự p h â n h o c h t ậ p A ] m c ả m s i n h b i c c t ậ p A 2, A ị , B ] , B 2, B ? , v c c t ậ p p h ấ n c h i a đ ó l s , ta đ ã b i ế t S4 0 v c h ú n g r i n h a u B â y g i ta

chứ ng m in h đ ả n g th ứ c (1)

A3 = [ J s , = S j So.

Ta xét Sj u s>2= B?u (A ?\ B j) = (A ?\B j ) u (A ?n B]) = A ?.

* ) C h ứ n g m i n h A : = ỊJ s, s, = Sj u S ; u s3 u S

Xét s, u S- u s u S = A ? u S 3u S4.

T r c h ế t t a n h ậ n t h â y r ằ n g B c A t h ì B u ( A \ B ) = A

V ì B ? = A ? n B ; n ê n B ;\ B ? u ( A ;\ B A A 3) = ( B Ạ B ?) u ( A 2\ A ?\ ( B ;\ B ?) ) Đ n g t h i ta c ó B Ạ B :, c A A A ? n é n t a c ó :

( B A B ?) u ( A Ạ A ?\ ( B 2\ B 3) ) = A 2\ A ?. Do S ] S ; U s , u S4 = A ? u (A2\ A ? ) = A ■

Ta xét A2u S 5u S6 = A 2u (B ]\ B2) u (A ]\ B j\ B2). Do B ]\ B2 c A ] \ A-, nên

( B j \ ) i ( A , \ B , \ B i ) = ( B , \ B i ) u ( A ] \ A 2\ ( B , \ B2) = A , \ A 2.

Đo Sj u S2 iu S3 u s = Á2 u ( A]\ Á2) =Aj. A~J

* ) C h ứ n g m i n h : B j = Ị j s 2,_, 1=]

B3 = S j, theo định nghĩa.

B2 = Sj u S3, xét S] u s3 = B3 u (Ba \ B3 ) = B2 (do B? c B2 ) B , = s j u S3 u s , v ì S ) u S3 u s5 = B2 u s5 = B2 u ( B ^ \ B 2) = B ] V ậ y đ ị n h l ý đ ã đ ợ c c h ứ n g m i n h x o n g D

*Nhận xét: t r o n g n h ó m A b e n t h ì t a n h ậ n t h ấ y A , = B j, s 2i = , S 2i ] * ,

i = 1,2,3.

T h ậ t v ậ y d o t í n h g i a o h o n n ê n tìr g _1.G p g = G p, t a c ó G p= G f ( p , g ) v i m ọ i g € G ( H ộ q u ằ ) d o đ ó A ị = B r

N g o i r a s 2i = d o A j = B r

Cịn S2Ì.] ^ ta thấy ví dụ 3.2,3.3 3.6 ta dễ dàng các ví dụ khác.

C h ẳ n g h n đ ể c h ứ n g m i n h S * , t a l ấ y H ệ đ ộ n g l ự c [ R j p , f ] R j : đ n g t h ẳ n g t h ự c

p : nhóm đa thức với phép cộng bình thường quan hệ thứ tự phận p,(x) > p2(x), m ọi hệ số đa thức p, lớn hệ sỏ' đa thức p2

f(p,g): hàm số xác định f(x,p (x)) = x+ p(x).

Thử lại ta thấy đáy hệ động lực đặc biệt với X e R Px = {tập hơp tất cả đa thức c ó phần sơ' = 0}.

P x k h ô n g co- tậ p h ợ p v d o p n h ó m giao h o n n ê n f(x p (x )) c h u y ể n đ ộ n g kì dị

m k h ô n g c h u t r ì n h S j *

Q u a đ â y t a t h ấ y r ằ n g h ệ đ ộ n g l ự c đ ợ c s ắ p đ ặ c b i ệ t v i n h ó m l g i a o h o n t h ì c ó t h ể đ ợ c p h â n c h i a n h s a u :

S ]: tập chuyển động tuần hoàn.

s ; : t ậ p c c c h u y ể n đ ộ n g c ó c h u t r ìn h m k h n g t u ầ n h o n

S - : tập c h u y ể n đ ộ n g k ì dị k h n g có chu trìn h v ta có

B , = s , u S ; U s

B; = s, u s?. BĨ = s|.

bình thường tất chúng trùng với A ) để phân chia lập A ] ta có nhận xét nó phân chia thành hai tập:

S j ’ : l ậ p t ấ t c ả c c c h u y ể n đ ộ n g d ì m g ( h a v đ ứ n g y ê n ) Sị’ : t ậ p t ấ t c ả c c c h u y ể n đ ộ n g t u ầ n h o n m k h ô n g d n g

Trên ta xét lớp chuyển động tuần hoàn sau đâv ta xét lớp chuyển động ổn định theo Poatxong.

3.3.2 Lớp chuyển động ổn địnb Poatxong Đ ị n h n g h ĩ a t ậ p £ - d ị c h c h u v ể n c ủ a đ i ể m p:

Nếu p (p,f(p,g)) < £, tập hợp tất £ -dịch chuvển điểm p ta kí hiệu là E(p,s).

Phần tử g 6 G gọi s- dịch chuvển quỹ đạo f(p,G) ]à £- dịch

chuyển điểm quỹ đạo.

Định nghĩa 3.6:

Điểm p chuyển động f(p,g) gọi ổn định theo Poatxong (hầu truy hoán),

nếu b ất k ì £ > tậ p E (p ,s ) co- tậ p h ợ p a - tậ p h ợ p (trù m ậ t tư ơng đối)

Định nghĩa 3.7:

Điểm p chuyển động f(p,g) gọi truy hoán với £ >0 tập hợp Eq= E(q,s ) với m ọi q € f(p,g) họ tập hợp trù mật tương đối đều.

K í hiệu C ](C ^C ị) tập tất điểm ổn đinh Poatxong (hầu truy hoán, truy hoán)

Định nghĩa 3.7:

Điểm p chuyển động f(p,g) gọi chuỵển động ổn định Poatxong (hầu tuần

hoàn ) với £ > 0, tập hợp £- dịch chuyển quỹ đạo f(p,g) co- tập hợp

a- tập họp (trù mật tuơng đối đều).

K í hiệu D, D : tập tất điểm ổn định theo Poatxong (háu tuần hoàn).

Định lý 3.22:

T ậ p h ợ p c c c , D J l b ấ t b i ế n , 1 = , , , j = ,

Chứng m in h :

Tập c , D j D2 bất biến rõ ràng định nghĩa ta định nghĩa đối với quỹ đạo f(p.G).

B â y g iò ' t a x é t t p C | c L ấ y đ i ể m p € Cj i = p h ầ n t ê v s ố £ > ta c h ứ n g minh q = f(p ê ) thuộc c , , tức E(q.s) co- tập hợp (a - tập hợp trù mật tương đối ).

Thật p 8 £ > 0 theo tính chất II I ) Hệ động lực tổn ô > sao cho từ p(p.r) < 0 ta suy p(q.f(r, ê ) < z

p ( q , f ( r , k ) ) < ô đ ố i v i b ấ t k ì k e E ( p , ) , v ì v ậ y t a c ó :

p(q,f(r,k ê ) < £ hay

p ( q , f ( r , k ê ) ) < £ , t ứ c l g' 1 k g e E ( q , e ) đ ố i v i m ọ i k € E ( p ,Ơ ) h a y n ó i c c h khác g ' 1 -E(p, ô) g' 1 co- tập hợp (a- tập hợp, trù mật tương đối), E(q,e) co- tập hợp (a - tập hợp trù mật tương đối) Đ ịnh lý chứng m inh.n

Bổ đề 3.23:

Đ ố i v i c c t ậ p c , D j t a c ó c c b a o h m t h ứ c s a u :

Cj z> Q z> C3

D j c C , D c Q n D ]

V ì v ậ y t ấ t c ả c c t ậ p h ợ p c ,, l g i a o n h a u v c h ú n g c h ứ a t r o n g C j. Chứng minh:

Do định nghĩa p e f(p,G ) nên c3 c Q Do tập trù mật tương đối định nghĩa nén Q c C ^ d o đinh nghĩa p € f(p,G) nên D] c C ], tập trù mật tương đối Cừ- tập hợp a tập hợp cho nén D2 c D) Do £ dịch chuyển f(p,G) trù mật tương đối ta suy họ {Hq} ( q € f(p,G)) trù mật tương đối cáchh lấy g£ tập £ dịch chuyển f(p,G ) gE chung cho họ {Eq}, ta suy D j c Cị Vậy D2 c C ? n D j

Rõ ràng từ bao hàm thức *) ta thấv Cị giao chúng nằm

t r o n g c ,

Bây ta tiến hành phân chia tập C], cảm sinh bỏd tập Q c ? D,, D Tức là phân chia cchứa số nhỏ lớp mà cho tập Co C3, D j, D2 hợp lớp này.

Cụ thể dưa vào bao hàm thức *) ta định nghĩa lớp sau: P): tập tất chuyển động hầu tuần hoàn.

p2: tập tất chuyển động hầu truy hoán ổn định theo Poatxong, khốns hầu tuần hoàn.

p?: táp tất chuyển động truy hốn mà khơng ổn định theo Poatxong.

P4: tập tất chuyển động hầu truy hoán ổn định theo Poatxong khơns truy hốn.

p5: tập tất chuvển động hầu truv hốn mà khơng truy hốn khơng theo Poatxong.

p6 : tập tất chuyển động ổn định theo Poatxong mà khơng hầu truy

hốn.

C ũ n g t n g t ự n h t r c t a c ó t h ể t h ấ v r ằ n g c c t ậ p p , l r i n h a u v Pj * v i i =

P ] l r i n h a u c ó t h ể t h ấ y t c c đ ẳ n g t h ứ c s a u :

P ] = P2 P4= C 2P i D 1\ C 3

P2=C3r^D]\D2 P5= C2\ C3\ D i

P ^ Q X D , P6= D ]\ Q

P7= C 1\ C 2\ D ]

C ò n c c v í d ụ c h ứ n g t ỏ p , l t n t i đ ã đ ợ c * * * l ấ v c c t p c h í * * * *

ở đ â y n ê u r a c c v í d ụ q u d i l t ô i k h ô n g t i ệ n n ê u r a V ì v ậ y t a c ó đ ị n h l ý s a u :

Định lý 3.24:

S ự p h â n c h i a t ậ p ổ n đ ị n h t h e o P o a t x o n g , c ả m s i n h b i c c t ậ p Q , c3,D ) , D2 s ẽ b a o g m c c l p p , ( i = , , ) , đ n g t h i t a c ó :

8-2;+)

Cj= Ú p ,j = 1,2,3.

/ *

D , = p Chứng minh:

D ) - P ] u p2 u P4 u p , D2 - P ) Zhứng minh:

k) c h ứ n g m i n h c?= [ J Pt = P j u P2 u p3

Í=1

X é t P ] u p2 u p3 = D 2 u ( C3 n D j \ D 2) u ( C 3\ D ] )

= c ? n Dj u (C ,\D j) (do D2 c Cị n D2) = Q

* ) c h ứ n g m i n h c2= p, = P ] u P2 u p ? u P4 u p

X é t P , u P ; u p ? u Í p I u P5 = C ? u ( Q n D , \ Q ) u ( Q \ C A D , )

= (Cn D]\ c3)uC3u (CA C?\ D])

= ( Q n D ] \ Q ) u Q u ( C \ Q \ D , \ C :J

= Q

-* ) c h ứ n g m i n h C ) = Ị j p , = P j u p2 u p ? u P4 u p5 u P6 u p X é t p , u P , u u P - = c u P U p7

= Q j u ( D , \ Q ) u ( C , \ C A D , ) = ( D , \ C o ) u Q u ( C , \ ( D , \ C o ) \ C ) v ì p , \ c c c , n é n

= (D ,\C2) u ( C 1\ ( D i\C 2)) = C1.

Dj = Pj u p2 u p4 u p6

= D2u ( C 3n D , \ D 2) u ( Q n D , \ C 3) u ( D ] \ Q ) nên P) u P2u P 4u P c D ,.

Bây ta chứng minh bao hàm thức ngược lại

D2 u ( C3 n D , \ D 2) u ( Q n D , \ C3) ũ ’ ( D , \ Q )

= ( C3 n D j ) ú ( Q n D , \ C3) u ( D j \ Q ) ( d o D2 c c ? n D , ) N h n g t a t h ấ y D ] \ C3 c ( Q n D j \ C3) u ( D j \ Q ) c h o n e n

(C3n Dj) u (Q n D,\ c3)u (Dj\Q) 2D,\ c3 ú (C3\D,) = D,.

Vậy D, c P] u p2 u p4 u p6 Vậy ta chứng minh xong.D

Bây ta xét vài tính chất chuyển động ổn đinh Poatxong chuyển

động hầu truy hoán, truy hoán, ổn định Poatxong chuyển động hầu tuần

hồn.

3.3.3 Tính chất lớp chuyển động Cj, C2, C3, Dj, D2. Định lý 3.25:

Với thực điều kiện tích phân bao đóng qũy đạo hầu truy hoán tất chuyển động hầu truv hốn.

Chứìĩg m in h :

Giả sử điều kiện liên tục tích phân thực hiện, p e & Ip c Q Giả sử p Cọ, với số £ > điểm q Ip, q e Ip ta tìm điểm

p = f(p,g]) cho p( p , q) < e/2 (1).

Theo Đ ịnh lý 3.8 , điểm p € Q tìm phần tử ge/? € Gn+ cho với

g o e G t ổ n t i h g o € ( g o g o g c / ĩ ) t h o ả m ã n b ấ t đ ẳ n g t h ứ c :

p( 'p f( p , h.go)) < e/3 (2)

Lấy phần tử I tuv V € G ta chứng minh có điểm g e ( I g ,gE) để p(q.f(q, Ẽ )) < £ Và định lý chứng minh Thật vậy, f(q E ), phần tử gE/3 số

s/3 ta tìm từ điều kiện liên tục tích phán, số > cho từ p(r.f(q ì )) < ta

p ( f ( r ,g ) , f ( q ể .g)) < 8/3, VỚI m ọ i g € (e g E/3)

V ì I p = Ip q € I p f(q ễ ) € I p f(q ì ) e l p , V ì ta tìm go sao

cho p (f(q.ễ ).f( p 20 )) < ỗ Bảy ta coi gn go tìm ta thấy: go < h go <go-ge/3 ■

p(f(q, I g h g o ) , f( p ,h.go)) < e/3 (3)

V ì v ậ y t ( ) , ( ) , ( ) t a c ó

p(q,f( g g h g o ) ) < p(q p )+ p ( p ,f( jỡ h.go)) + p(f( 'p ,h.go),f(q, I g h g o ) )

< e/3 + e/3 + e/3 = £.

V ậ y v i g b ấ t k ì t a đ ã c h ỉ r a g = g g; 1 h g o m I < g < g , g e/3, t h o ả m ã n p ( q , f ( q , g ) ) < E V ì v ậ y q e Q d o đ ó t a c ó I p c Q D

Bổ đề 3.26:

N ế u đ i ề u k i ệ n l i ê n t ụ c t í c h p h â n t h ự c h i ệ n t h ì v i m ọ i £ > q e R go 6 G v à g , € G 0+ t n t i s > s a o c h o p ( f ( q , g ) , f ( r , g ) ) < E v i m ọ i r e S ( q ô ) v g e ( g o ,g o g ) -Chứng minh:

T đ i ề u k i ệ n l i ê n t ụ c t í c h p h â n đ ì v i f ( q , g ) , £ > g , € G n+ t a t ì m đ ợ c £] > 0 sao cho p(f(q,go ),f(s.g )) < s với tất s e S(f(q,go), £,) I € (e,g,). Bây £], q go ta tìm từ điều kiện III) Hệ động lực số ô > sao cho VỚI tất r e S(q ) g € (e,g) thực hoện

p(f(q,go ể).f(r,go § ) ) < £

Khi tất r € S(q ơ) tất g € (g0, g0 gj) thực p(f(q,g),f(r.g)) < £ Bổ đề chứng minh.D

Định lý 3.27:

K h i thực điều kiện liên tục tích phán bao đóng quỹ đạo chuyển động truy toán tất chuyển động truy toán.

C h ứ ng m in h :

G i ả s p e c ? t a c h ứ n g m i n h Xp c c_v

Giả sửp e c3 £ > \ r\ p e c ? nên tổn tai điểm g 6 G0+ cho đối VỚI bất kì

điểm q0E f(p.G ) go € G ta tìm đươc phần tử g = g(gfl £ )e G thoả mãn

go< g < go- gc p (f(q 0,g) q0) < E.

Lấy điểm q e Ip la chứng minh q 6 Cv

Thật với q go € G bất kì, từ điều kiên liên tục tích phán đối VỚI điểm q, số s/3 và phần từ ể = 2 (áp dụng Bổ để 3.5) ta tìm ỗ > cho:

p ( f ( q g ) f ( r g ) ) < s / ( )

với tất r e S(q.ô )và g 6 (go go- ê ) ta coi < s/3. V ì q G nén tồn q0 € S(q ỗ ) n f(q,G) từ (4) ta suy

K hi đó

p (q ,f(q ,g ))< p (q ,q 0) + p (q 0,f(q ,g )) + p (f(q 0,g ),f(q ,g )) < e /3 + e /3 + s /3

Vậy q € c3 hay I q c C3 Đ ịnh lý chứng minh xong.D

Định ìý 3.28:

Trong bao đóng quỹ đạo ổn định theo Poatxong (hầu tuần hoàn) tất cả chuyển động ổn định đềuPoatxong (hầu tuần hoàn).

Chứng minh:

Giả sử p e D) (p € D 2) ta chứng minh Ip c D ,( Ip c D 2) Giả sù p 6 D, (p

6 D 2) cịn £ > K h i theo định nghĩa tổn tập hợp K c G co- tập hợp a- tập hợp (trù mật tưcmg đối), cho tất k e K q e f(p.G) ta có:

p (q ,f(q ,k ))< e/2

V ậ y q € S p \ f ( q , G ) t h ì t n t i d ã y { q „ } s a o c h o l i m n = q t r o n g đ ó

r n—>00

píq^ĩC q^k)) < s/2, cho qua giới hạn ta

p(q,f(q,k)) < e/2, với tất k € K.

Vậy q G D) (q € D ) Đ ịnh lý chứng m inh.n

Định lý 3.29:

Nếu chuyển động f(p,g) ổn định theo Poatxong Ap = Qp=

Chứng minh:

p ổn định theo Poatxong nén p co- giới hạn p e Qp đồng thòi p a -giới hạn nên p e Ap Do Qp Ap tập bất biến nén f(p.G) c Qp (f(p.G) c Ap) Nhưng Qp Ap tập đóng nén

A p , G ) c Q p ư (p,G ) c Ap) _

N h n g t a đ ã c ó Q p c f ( p G ) (A p c f { p G) ).

V ậ y n ê n Q p = f ( p , G ) (A p = f ( p , G) ) v Q p = A p = f ( p , G ) Định lý chứng m m h.n

3.4 ĐIỂM DU ĐỘNG VÀ KHÔNG DU ĐÔNG TÁM.

3.4.1 Định nghĩa điểm du động không du động: Đ ịnh nghĩa 3.8:

Định Dghĩa 3.9:

Điểm p € R gọi không du đông R lán cận ưp

t n t i t ậ p CD- t ậ p h ợ p K c G s a o c h o :

’ f(Up,K) n U p *

Ta kí hiệu W: tập tất điểm du động

M: tập tất điểm khổng du động.

Bổ đề 3.30:

w tập mở bất biến M = R\ w tập đóne bất biến.

Chứng minh:

Rõ ràng Up ta lấy lân cận mở, vậv với p 6 W ta lấv

được lân cận p nằm w , tất điểm Ưp có tính chất như p Vậy w tập mở.

Ta chứng minh w bất biến.

Giả sử w không bất biến tức tồn p € w tổn số go € G cho f(p,go) Ễ W.Vì p € w nén theo định nghĩa ta thấy: tổn sô £] > phần tử g € G sao cho:

f(S(p.£]),g) n S(p, £,) = với g > g

Hay với q € S(p.£j), f(q,g) Ể S(p,G) với g > g

P o = f ( p , g o ) Ể w t ứ c l v i m ọ i e > , v i m ọ i g , t n t i s ố ' > g s a o c h o t ổ n t a i q €

S(Po e) mà f(q g ) € S(po.e) (*)

Với p go'1 £] ta tìm từ điều kiện I I I ) của H ệ động lực s ố ô > 0 cho với

mọi r € S(p.ỗ) ta có :

p (f(p,go ‘1).f(r,g o '1) ) < E]

Ta lấy e; < g = g go, định nghĩa (*) ta được:

g > g go để f ( q I ) € S(p.E) c S(p,ơ ). Vì ta có

p ( f ( q g .go'1).f(po,go'1) ) < E i

hay p(f(q.g go'').po) < £]•

Như tồn g go'1 > g để f(q I go-1) € S(p.£,) vô lý Vậy bổ đề chứns m in h I

*Nhận xét: điểm q € R điểm khỏng du động, tức lán cận Up điểm p tồn tai tập co- tập hợp K cho với tất k e K thì

v ì v ậ y t a c ó f ( U pX i ) n p = 0 v i tấ t c ả c c k ° e K ' 1.

Mà K 1 a - tập hợp (nếu K Cù- tập hợp) Bởi vậv điểm khơng du động có tính chất chiều Tương tự ta thấy điểm du động có tính chất chiều.

Bổ để 3.31:

Tất điểm co- giới hạn q € Q p chuvển động f(p,g) không du đ ộ n g o n g f ( p , G )

Chứng minh:

Giả sử q e Hp lân cận Up cho trước V ì q e Ưp nên với U q tồn go € G để f(p 5go) = Po € u q V ì p0 e f(p,G ) nên £2 K = Qp, ta có q € Q p , khi theo định nghĩa điểm co- giới hạn f(p0,g), với g e G tón phần tử k > g cho f(p0,g) e U p hay nói cách khác tồn tập Cừ- tập hợp K c G cho f(po,k) < Up với lất k € K Vậy chứng tỏ q điểm du động f(p.G) u f(q,G) Bổ đề c h ứ n g m i n h x o n g í l

Hệ 3.32: c, c M. Chứĩig minh:

Thật vậy, giả sử p € Cj p e Qp (theo Đ ịnh lý 8.3) mà theo Bổ đề ta thấy Qp c M Vậy Cj c M M đóng nên c, c M.D

Định lý 3.33:

Nếu G hướng cịn khơng gian R compact tập M điểm không du động khác trống.

C ng m in h :

Theo Đ ịnh lý 3.9 Qp * V ì theo Bổ đề 3.31 tập M *

Ta thấv Đ ịnh lý 3.33, giả thiết G có hướng quan trọng, khỏng có giả thiết định lý khơng cịn đúng.D

V í d u : G i ả s t a l ấ y h ệ đ ộ n g l ự c [ R s f]

R xuyến chiều, khổng gian metric compact

s nhóm số phức với phép tốn cộng quan hệ thứ tự xác định:

s, s2 € s s,> s; a, > a p,= P; ( Sj= a ;+ ip j, s2= a ;+ ip 2) Thử lại thấy đãv nhóm đặc biệt.

C h ứ n s m i n h s k h ố n g c ó h n g : f hàm xác định sau:

T a d ễ d n g t h l i c c t i ê n đ ề v ề h ệ đ ộ n g l ự c đ ợ c s ắ p đ ợ c t h o ả m ã n b â y g i ta c h ứ n g m i n h r ằ n g đ ố i v i h ệ đ ộ n g l ự c n v M =

T h ậ t v ậ v l ấ y ( c p ,0 ) € R , t a c ó 0 < ọ < n 0 < 0 < 2 U

G i ả s Ĩ I - = ot > ( Ị k h i đ ó t a t h ấ v r ằ n g :

V i l â n c ậ n S ( ( c p ,0 ) , a /2) t h ì v i s0 = + i a / , l a s ẽ c ó :

p (f(((p \0 ’ ),s),(<p\0’ )) > 3a/2, VỚI s > s0, (cp’ ,0’ ) € S((cp,0).a/2). Tức s = a + ip , ưong a > 0, Ị3 = 3a/2,

Do p(f(((p\0’),s),(cp\0’)) > -(PoÝ + (0'' + a / - ' ) 2 > V (3 a /2)2 = a/2.

T r o n g đ ó ọ ’ € (cp.cp + a / ) , ’ e (6’ ,6’+ a / ) , d o đ ó t a t h ấ y r ằ n g cp’+ a / € ( 1 )

Nếu = 2U ta lấy < a < n , đúng.

Vậy chứng tỏ S((<p.0), a/2 ) n f(S(cp,0),a/2),g) = với tất s > s0, nén M = Trong R khóng gian compact Nhưng ta thấy nhóm s đâv khơng có hướng, với 2 sơ' có toạ độ p2> P2 khác khơng thể tìm sơ' lớn hai sô' này.

Định lý 3.34:

Nếu nhóm G có hướng, khống gian R compact cịn M tập khịng du động, m ọi lân cận Ư M tồn I cho g> ễ ta có:

f( ( R \U M),g) c U M (5)

Chứng minh:

Giả sử p € R \ U m p điểm khơng du động, tón phán tử gp € G với g > gp V ì R \ ƯM tập đóng khơng gian compact nén compact Vìi tập hợp tất lán cân Up ( p € R\ƯM ) ta lấv hữu han các tập:

Uj = u Pi u = r: m = u Pm phủ kín tập R \ ƯM

V ì G có hướng nên tồn go € G0+ cho go > gp VỚI i= ,2 , ,m K hi đó: f(Ư,.g) n ư, = 0 với tất g > g0 i= 1 m.

Giả sứ q điểm R \ U M, q nằm lán cận phủ mở Giả sừ q € U) rõ ràng g > go f(q,g) Ể U| Giả sử f(q g ) € u 2khi với g >

go f(q g go) € U ; f(q g .go) e u , tức g > go go = g02 fíq.g) khống nãm trong U) : Tương rư cho u ? u cuối ta có g > go"1 f(q.g)

V ậ y t n t i g = go™ đ ể f ( q , g ) Ể R \ Ư M v i m ọ i g > , t ứ c l f ( q , g ) € U M V ậ y t a c ó b a o h m t h ứ c ( ) V ậ y đ ị n h l v đ ợ c c h ứ n g m i n h □

3.4.2 Tâm

Định nghĩa 3.10:

Tập khác trống, cực đại, bất biến z c R bao gồm tất điểm khốns du động z gọi tâm hệ động lực.

*Nhận xét: p điểm không du động f(p,G) tất điểm thuộc quỹ đạo f(p,G) không du động f(p,G) V ì f(p,G ) điểm không du động f(p,G) Do ta thấy tất điểm p không du động f(p,G)

thì nằm trang tàm z , ngược lại z khống cực đại.

Ngồi ta thấy p mà ổn định theo Poatxong p khơng du động trong f(p,G), lân cận Up la lấy S(p,g) ta lấy q € S(p, £ ) p, k h i đ ó t n l i t ậ p Cù- t ậ p h ợ p K = E ( p , s ) s a o c h o f ( p , K ) c S ( p , £ ) D o đ ó t ậ p C ] c z , n h n g t h e o đ ị n h n g h ĩ a z l t ậ p đ ó n g n ê n c , c z

Bổ để 3.35 :

Nếu khơng gian R compact cịn nhóm G có hướng z *

C h ứ ng m in h :

G có hướng R khống gian compact nén tập hợp điểm khống du động ữong R * Ta gọi tập M ,, M , đóng, bất biến khác trống Do R khỏng gian compact nén tập M ,là compact ta xem khơng gian compact.

Xét Hộ động lực [M j G f] Đối với hệ động lực tương tự tập

hợp tất điểm khổng du động M j ta kí hiệu Mo, M2 khác trống Rõ

ràng M2 c M j.

Tiếp tục trình ta tập hợp đóng bất biến khác trống: M1 d M ; d M 3d d M „

Nếu tồn số k cho M k = Mk+1 M k = Mkl0+2 = ta chứng m i n h r ằ n g M k = z

Rõ ràns M k đóns bất biến khác trống Đồng thời M k tập hợp tất điểm du động trons M k V ì M k = M k+, Bây ta chứng minh M k cực đai Thát giả sừ tồn tập M 'k đóng bất biến khác trống, M ’k 2 M k, thời M ’k tập hợp tất điểm du động M ’k M ’k tập hợp điểm du động M \n ê n M \ l tập hợp điểm du động R V ì M \ c M j.

Do M \ c M , nén xét động lưc [M j G f] M \ l tập điểm du động trons M , d o đó M \ c M ; Và tiếp tục M \ c M k.

N h n g g i ả s s ố k k h ô n g t n t i t h ì t a đ ặ t M a, = J~Ị M k

K=\

Ta thấy M u tập đóng bất biến đồng thcd nguyên lý Canto tập đóng

lồng nén M o 0 V theo lý luận nên có tập cực đại tất điểm

khổng du động R M ’k c M k với m ọi k, M ’k c Ma

Q trình kéo dài tất số thuộc lớp thứ Phương pháp quỵ nạp siêu hạn là:

*)Nếu a + 1 sô' thuộc loại thứ 1 M a xác định Ma+1 c M a tập tất

c c điểm không du động trong M a

*)Nếu p số thuộc loại thứ M a xác định với a < p Mp =

Ũ M‘

Như nhận dãy siêu hạn tập đóng bất biến : M) z> M2z> z> H o z> .=> Ma .

Theo địnhlý Canto số thuộc lớp thứ tồn sô' a

cho: M a = M a +1=

L ý luận tương tự M a tập đóng bất biến khác trống cực đại bao gồm tất điểm khơng du động M a Do M a = z ta có z * Bổ đề chứng minh xong.D

Ta đưa khái niệm Cừ- nhóm, co- 3.1 Bây ta chứng minh đinh lý sau nhóm co- nhóm.

Định lý 3.36:

Nếu G co- nhóm cịn khống gian R đầy đủ, tâm khác trống nó

chính bao đóng điểm ổn đinh theo Poatxong.

C h ứ ng m in h :

V I G co-nhóm nén tồn số đếm tập {M n} nhóm G sao cho tập M co- tập họp nhóm G M n {M n} = tất n.

Theo giả thiết z * nén cập số tự nhiên m, n ta kí hiệu E(n.m) tập hợp tất cả điểm p e z cho:

p (f(p 2).p) > 1/m với tất g e M n.

00

Thật ta chứng m inh 7 \ C] c { jE ( n ,m ) , p € Z \ C), vậv p e z p Ể c , nên p n,m=

không ổn định theo Poatxong, tức tồn S) cho E(p, £,) khống (0- tập hợp và a- tập hợp phải tồn số nfì cho E(p,Sj) n M n = có nghĩa là:

p(f(p,g),p) > £] với tất g e M n.

Vậy ta lấy số mo cho Ej > 1/m ta có p € E(no,mo), p e £ ( « o,w o)

m ,n=\

Bây ta chứng m inh bao hàm thức ngược lại.

oc

Giả sử p € [jE (n ,m ) tức tồn no, mo cho p € E(n0.m0) Do p € z , đồng

n m* 1

thời với tất g € Mno ta có:

p(f(p,g),p) > 1/mo, lấy 8] = 1/ m0 ta có E(p,£]) khơng co- tập hợp do p € Cj, p € zx C) Đẳng thức chứng minh.

Ta chứng m inh tập E (n?m) đóng đối vói n m cố định.

Thật giả sử q € £(« m) q Ễ E(n,m) tức tồn g € M n, cho: p (q ,f(q g ))< 1/m

K í hiệu p(q.f(q,g)) = d Chọn £ = (1/m - d)/4 £, g q ta tìm từ điều kiện m ) Hệ động lực số ô > (ta lấy ô < £ ) cho với tất r € S(q,ơ )thì:

p(f(r.g ).f(q,g)) < £.

Do q 6E(n.m) nên S(q,ỗ) ta tìm p € E(n.m) theo cách chọn s ta

p(f(q.g).f(p,g)) < e.

Khi đó:

p(p.f(q.g)) < p(p.q) + p(q.f(q,g)) + p(f(q,g).f(p,g)).

< £ + d + < 1/ m.

Và p 6 E(n.m ) mâu thuẫn, vậv q e E(n.m) nên E(n,m) đóng z \ Cj có

dạng F «

Ta chứng m inh E(n.m ) tập không đâu trù mật z tức E(n,m) khống đâu trù mật hình cầu mở z.

Giả sử ngược lại hình cầu mở S(q.a) cho S(q.a) c E(n.m) tức S(q,a) c

E(n.m) Ta giả sử a < l/2 m (vì khống ta giảm bán kính a) Theo định nghĩa z tâp điểm không du động z , nên tồn tập co- trù mật K cho S(q.a) n f(S(q.a).k) * với tất k € K.

p(p, f(p,g)) < 2a < 1/m.

Vậy mâu thuẫn định nghĩa E(n,m) Do E(n,m) tập không đâu trù mật z , nên z \ Cj tập thuộc phạm trù thứ Do Cj tập Gõ thuộc phạm trù thứ hai Nhưng ta biết không gian đầy đủ z , tập hợp loại Gỗ - tập hợp tập thuộc phạm trù thư hai kh i trù mật z (định lý 2.9 * * * * )

Do Cj = z Đ ịnh lý chứng minh xong.D

Ta thấy điều kiện z * Đ ịnh lý 3.33 quan trọng Thật vậy, ví dụ sau chứng tỏ khơng có điều kiện định ]ý khơng cịn đúng.

V í dụ 3.8: Ta xét hệ động lực [R, L , f].

R xoắn chiều không gian compact.

G = L nhóm tất số có dạng a + ib, a số thực, b sơ' hữu tỉ, với

phép cộng bình thường, quan hệ thứ tự lj, 12 € L, 1] = a, + i p ,,

12 = a2 + i p2> 1] > h a ,> a2 P) = p2, nhóm đặc biiệt khơng có hướng Chứng minh G ©- nhóm,

f xác định sau:

(<p,0) € R, a + ib e L, cp + a = cp0+ 2k n , + b = 0()+ n , ((po,0o)e

[0, 2 1]

Ta đặt f((cp,0),a + iP)) = (cp0,e0).

Ta thử lại hệ động lực đặc biệt.

Cũng tương tự V í dụ 1, ta chi tập M = z = ta thấy ràng tất giả thiết định lý thoả mãn: L nhóm co- nhóm, cụ thể lấy K r = {a + ư, a sơ thực }, r số hữu tỉ Tập hợp tất số hữu tỉ đếm được nên { K r ) đếm K tập Cừ- tập hợp K n K r * với r.

Hệ 3.37:

Nếu G nhóm co- sắp, theo Hệ 3.4 G có hướng,

z 0 , đồng thời R không gian compact nên R không gian đầy đủ Vậy giả

3.5 TẬP cực TIỂU

Định nghĩa 3.11:

Tập khác trống đóng bất biến I c R gọi cực tiểu khơng chhứa tập con thực có tính chất tập nàv.

Bổ đề 3.38:

Tập khơng trống đóng bất biến I cực tiểu điểm p € I đều có tính chất Ip = X.

Chứng minh:

Giả sử I cực tiểu p e I V ì I bất biến ta có f(p,G) c X từ tính chất đóng của I ta có Ip c X Nhưng I tập đóng cực tiểu nên ta lại c ó l c Ip.

Giả sử tập I có tính chất: với p € R Ip = I , I khơng cực tiểu , tức I có chhứa tập thực đóng bất biến A c l Giả sử p e A, Ip = I mà Ip c A , nén I c A Mâu thuẫn Vậy bổ đề chứng minh xong.n

Định lý 3.39:

Bất k ì tập đóng bất biến compact F chhứa tập cực tiểu.

Chứng minh :

Giả sử F đóng bất biến compact khơng trống Nếu F khống cực tiểu F r> F, F) tập đóng bất biến khác trống V ì F, compact Nếu F, không chhứa lập thực sụ Fị tập cực tiểu, ngược lại tương tự giả sử q trình khơng dừng lại bước hữu hạn tức kéo dài:

F D F | D F 2D = ) F nD

Ta đặt Pu = | J F} Giao vơ hạn tập đóng bất biến tập đóng bất biến V ì Fu

/=1

là đóng bất biến Đồng thời theo nguyên lý Canto Pco * Nếu Foj khổng

cực tiểu ta chọn tập đóng bất biến khác trống Fu+) c F u V

Nếu Fa xác lâp với tất a < p Fp = J~[ Fa , ta nhận dãy siiêu o<p

hạn: F Z)F| d .d Fi1d .d F(0 Z) z> Fp z>

Theo định lý Depa ta tìm số hữu hạn ]ófp thứ hai p cho Fp = Fp+1, tức là Fp khơng có tập thực Vậy Fp tập cực tiểu.

Định ]ỹ chứng minh xong.ũ

Hệ 3.40:

Nếu chuyển động f(p,g) ổn định dương theo Lagrăng tập Qp chứa tập cực tiểu.

Chứng minh:

V ì ta biết Qp c I*p compact mà Q p đóng nên Q p compact áp dụng Đ inh lý 3.39 ta có điều cần chứng m inh.ũ

Định lý 3.42:

K h i thực điều kiện liên tục tích phân bao đóng quỹ đạo hầu truy hoán tập cực tiểu.

Chứng minh:

Giả sử chuyển động f(p,g) hầu truy hoán: Xp khơng cực tiểu K h i đó tồn tập đóng bất biến khác trống A c Ip Rõ ràng p Ể A (vì p e A

I p c A )

K í hiệu p(p,A) = d, chọn sơ' dương £ < d/2 Khi tổn gE cho bất kì go € G, tổn g e G go < I < g0.g, p(f(p ,g ),p) < (1)

Giả sử q € A , từ điều kiện liên tục tích phân, ta tìm số 8 > cho

p(f(r,g),f(q,g)) < £ (2), vói tất r 6 S(q,5 ) g e (e,gE) Vì q € Ip nén tìm go cho p(f(p,g0),q) < ô.

Khi theo (2)

p ( f ( p , g g ) f ( q , g ) ) < E v ó i g € ( e ,g E) ( )

V ì A bất biến f(q,g) e A nên từ (3) ta có: p(f(p,g0.g).A) < e với g € (e,gE).

Đ ặ t g , = g o g t h ì t a c ó :

p(f(p ,g j),A ) < 8 với tất g, e (go,go-gtn) Trường hợp đặc biệt ta lấy g) = ễ thì:

p ( f ( p I ) A ) < £ V ì ta được:

28 < d < p(Ạ.p) < p (A ,f(p ,g )) + p(f(p,ễ ),p) < E. Điều mâu thuẫn, định lý chứng m inh.u

Ta lấy ví du chứng tỏ điều kiện liên tuc tích phán Đ ịnh lý 2.5 khơng thể thiếu được.

Ví dụ 3.9:

Trons ví dụ 3.4 ta xét động lực [R 2, v f 4] (R 2]à mặt phảng V - nhóm các ma trân cấp Đ ối với điểm (a,b) R; ta biết (a.b) * (0.0)

f4(a.b) chuyển động tuần hồn, có nhóm chu kì V (a.b) trù mật tương đối

Bây ta lấy (a,b) * (0,0) € R giải hệ phương trình: Ị ứ.a,, + b a 2ì = a '

[ a x i u + b a 2ĩ = b'

r f

(a , b), ữ ì ì a \2 \ \

ta tìm a]1,a12,a2],a22 cho (a’ ,b’ ) = /

Cl~f\ ũ.-1-1

V V 21 22 y y

do la có f(( a ,b ) ,V ) = R Nhưng f((a ,b ),V ) có tập cực tiểu điểm (0.0), nó điểm dương nên có tính chất tập cực tiểu.

Trong ví dụ ta nhận thấy giả thiết Đ ịnh lý 3.43 thoả mãn nhưng giả thiết liên tục tích phân không thực được, ta chứng minh tồn Ej cho vói m ọi V € V , với ô > 0, tồn (ao,bo) € S((a,b),S), tổ n Vq e (e ,v ) cho: p (f((a ,b ),v 0),f((a0,bn),v0) > Sj

Cụ thể ta lấy £) = 18 Giả sử với V có det V = 4, và > ta lấy: ao = a + Ô/2, b0 = b + 5/2 K h i đó:

p((a,b), (ao,bo)) = Ậ a ữ - a f + (ố0 - bÝ = v<52 /4 + s /4 = Ô /V Ĩ < 5.

Tức (ao,bo) € S((a.b).ỗ) Ta lấy v0 = 10

s

10 + Ỗ.4Ă72

1 0- 8 4 Ã Ĩ2

s 10

V <5 8

Rõ ràng det v0 = (10/5)2 - (10 + 0V4 )(10 - VÃ )/ô2 = ô2.4 /ô2 = 4/2 < Nhưng

p(f(a,b),v0),f((ao,bo),v0)=

— -^/(ứ.ữ|| + b.o21 + ũ 0.ũ]ì +ỉ>Q.ứT|) + (ớ.ỡ|2 + b.o22 ~ ~ ^0^22)

= ự j ( ứ - ứ0) a n + ( - ồ0)fl21]: + [ ( ữ - ứ0)fl12 + ( ố - ồ0) a ỉ2]ỉ

— — ỮQ)‘(ứ|J + ữ|.Ị) + (b - b 0) (ữ2i + ^22) — ^0 ~ ^0X^I ]^12 ^22^12)

l ổ 2 / 2 r ^ 7 2 \ "

~ V + ứ l - ^ + + ^ ( ứ l , ứ 21 + ứ 12ứ 22)

= **" "l"*-ứ n ứ2i “ ^12^22)

8 °

■ — — > 2 0 > £,

Vậy chứng tỏ hệ động tính chất liên tục tích phân khơng thực hiện.D

Định nghĩa 3.12:

Giả sử [R, G, f] hộ động lực đặc biệt B c R K c G Ta nói tập hợp B chứa điểm tuỳ ý muộn (sớm) ánh xạ (p: K —» R, với kfl e K tồn tại k € K cho k > ko (k < ko) cp(k) e B.

Định nghĩa 3.13:

Điểm q e R gọi Cừ- giới hạn (a - giới hạn) ánh xạ cp :K -» R, lân cận U q chhứa điểm tuỳ ý muốn (sớm) ánh xạ này.

T ậ p h ợ p t ấ t c ả c c đ i ể m co- g i ó i h n ( a - g i i h n ) c ủ a n h x (p k í h i ệ u l Q,p ( A ẹ ).

Bổ đề 3.43:

q e R CD- giới hạn (a - giới hạn) chuyển động f(p,g)

Cừ- giới hạn ánh xạ f p: G -> R mà fp(g) = f(p,g) với g € R. Chứng minh:

Nếu q G R co- giới hạn chuyển động f(p,g) với lân cận Up

với phần tử g € G tồn g > g để f ( p , I ) = f p ( I ) € Up Vậy Up chứa điểm tuỳ ý muộn ánh xạ fp(g).

Giả sử ngược lại, m ọi lân cận Up chứa điểm tuỳ ý muộn ánh xạ f p: G —» R, tức với g tồn g > g để f ( p , I ) e Up Bổ đề chứng minh.D

Bổ đề 3.44:

Nếu tập K c G co- hướng (định nghĩa §1), A c R tập compact Nếu bất kì lân cận tập A chứa điểm tuỳ ý muộn ánh xa cp: K -> R A n

Giả sử lán cận Ư tập A chhứa điểm tuỳ ý muộn của

minh tồn tập mở ư, chứa điểm tuỳ ý muộn ánh xạ ọ. Thật giả sử ngược lại tồn k, e K (i = 1.2 r) cho cp(k) Ễ Ư „ với k > k Vì tập K co- hướng nén tồn k e K cho k > k, với tất ị Nhung đó

0 * * 0

Chứng minh:

cp(k) 0 ỊJ , với tất k > k Điều trái với giả thiết [ J u , lân cận tập

/=}

compact A Ị J , chứa điểm tuỳ ý muộn ánh xạ cp.

/=]

Bởi ta xét trường hợp phủ m hữu hạn có lân

cận m ch ứ a đ iể m tu ỳ ý m u ộ n c ủ a án h x cp

Bây ta chọn dãy số dương { sn} —> n ta chọn phủ mở hữu hạn {S(aJn), O Ỉ (i = l,2 , ,r) tập compact A, a, e A.

Khi vói m ỗi n tồn lân cận S(a \ [ \ e n) (1< ln < r j chhứa điểm tuỳ ý muộn của ánh xạ (p V ì lập A compact nên khơng tổng qt ta coi dãy {a (,n) Ị hội tụ Giả sử lim ứn-*az !'01 = a a € A K hi ta thấy lân cận Ua a đều a chứa điểm tuỳ ý muộn ánh xạ cp , a e Q<p, A n Q<p * D

Định lý 3.45:

Nếu nhóm G có hướng, tập cực tiểu compact tất chuyển động truy hoán.

Chứng minh:

Giả sử I c R tập cực tiểu compact, q G I Giả sử ngược lại chuyển động f(q,g) khổng truy hốn K h i tồn s0 > cho go e Gn+ đều tồn cặp điểm q ’ g, q” g quỹ đạo f(p,G)sao cho p (f(q ’g,g ), q” f ) > sn (4) đối với 8 € (e,g)

Bởi v ậy ta x c đ ịn h án h x cp: G + —> I X I , cho cp(g) = ( q ’g, q ”g)

ở áp dụng Bổ đề 3.45 ta thấy: G+ có hướng (do G có hướng) nên I X I chứa

điểm tu ỳ ý m u ộ n c ủ a n h x (p M I co m p act n ê n I X I cũ n g com pact V ì

tổn m ộ t điểm ( q \ q ” ) điểm co- giới hạn ánh xạ cp m ( q \ q ” ) e ỵ X

I

Ta chứng minh rằng: s (q” ,£0 /2) n f( q \G +) = (5).

Giả sử ngược lai tồn g e G+ cho

p ( f ( q \ g ).q ") < £ n/2 (6)

Ta chọn ô > cho:

p ( f ( p g ) f ( q \ ễ )) < £0/4 với tất q ’ <E S(p.ơ)

Vì điểm (q ’ q” )]à co- giới han ánh xạ cp nén ta tìm phẩn tử g € G()+ cho

p(f(q’g, ẽ ) , f ( q \ g ) < S o / (8) Vậy từ (8), (6), (7) ta nhận được:

p (f(q ’g,g ),q” ) < p (f(q ’g,g ), f ( q \ g ) + p ( f( q \ g ),q” ) + p(q’\q ” g)

< 8q/ + S o /4 + Eq/ = E

Điều ngược với bất đảng thức (4) Có nghĩa đẳng thức: S(q” , So/2)^ f(q ',G +) = 0 , tức q” Ể Q q- Nhưng I compact, G có hướng, theo Đ ịnh lý 3.9 n q * V Q q tập thực E ưong Q q đóng bất biến nên neược vói giả thiết cực tiểu X Đ ịnh lý chứng minh.D

V í dụ 3.10:

Ta lấy hộ động lực [R G, f].

R xoắn chiều, khổng gian compact.

G nhóm tất số phức với phép cộng số phức bình thường. Ta lấy quan hệ thứ tự phận sau:

g „g2 € G, g]= ctj + i p „ g2= a2 + i(32 gj > g2 (Xj > a2 Pj = p2

f hàm xác định sau: (<p,0) € R, a + i(3 € G cp + a = cp0 + k n , + =

0O + in , (cp0 50o) e [0 211], ta đặt:

f ( ( c p G ) , a + i ( ) = ( < p , e )

Trong ví dụ (cp.0) € R, ta có đẳng thức: f((<p,0),G) = R. Rõ ràng f(((p,0).G) c R.

Ngược lại ta lấy (<p\0’ ) € R, ta có cp’ = cp’/2 + cp’/2,0’ = V2 + 072.

Khi đó: ’

c p + G v ( c p \ e ! ) = f ( ( ọ ) , c p ’ / + )

V ậ y (c p \0 ’ ) G f((cp.0).G).

Vậy ta có R c f((cp.0).G) nên đảng thức chứng minh.

Như vậv với (cp.0) € R 1(^0) = R, theo Bổ đề 3.38 R tập cực tiểu.

Nhưng đáy ta thấy chuvển động f((cp,0), a+ i P) không truy hoán Thật vậy, lấy s0 = n /8, ta chọn với go e G0\ tức go > £ nên gn = CC0+ iO Ta lấy (cpMl/2) e R ( ọ " n /6) € R với g € (e,go),tức

là g = a + iO 0< a < CV ta có:

p ( f ( c p \ n /2 ) , g ) ( c p " n /6 ) ) = J o p Õ - ợ > o ) + ( ^ - - ỵ ) 2 n / - n / = n / = £

Vậy chứng tỏ f(((p.0).a + iP) khơng truy hốn.

Bây g iờ ta xét sang khái niệm m ới: ổn định theo Liapunop tính chất liên quan tới nó.

3.6 ỔN ĐỊNH THEO LIAPUNOP

3.6.1 M ột số định nghĩa: Định nghĩa 3.14:

Đ iểm p e B c R chuyển động f(p,g) gọi ổn định theo Liapunop theo hướng đương tập B, với £ > 0, tổn số ô(s) > cho

điểm q € B thoả mãn điều kiện p(p,q) < 6 thực bất đẳng thức:

p(f(p,g),f(q,g)) < E (1), với tất g 6 G.

Định nghĩa 3.15:

Ta nói tập E c R có s4- tính chất £ > 0, tồn ô > cho với m ọi q, p € I thoả mãn p(q,p) < (1) thực với tất g € G+.

3.6.2 M ột sơ tính chất Bổ đề 46:

Nếu f(p.G+) có s +- tính chất Ip+ có s +- tính chất.

Chứng minh:

Giả sử f(p,G +) có s+ tính chất cịn s > tồn = Ơ(e/3)sao cho p \ p ” € f(p,G +) p(p’ ,p” ) < ỗ thì:

p (f(p \g ),f(p ” ,g)) < s/3 VỚI g € G+.

Giả sử qj,q2 e I +p, thoả mãn p(qj,q2) < còn go e G+, ta chứng minh rằng:

p(f(q1,go),f(q2,go))< £ (2)

Đối với e/3, go qj, i= 1,2 , theo điều kiện n i) hệ động lực ta tìm ơ, > và ỗ2 > 0, cho từ p(q,,r;) < Sj, i = 1,2, ta suy ra:

p(f(q„go), f(rj,go) < s/3, i= 1,2. Ta k í hiệu T| = m in (ỗ], Ơ2, e/3).

V ì q ]? q2 € Ip + nên tìm điểm Pj € f(p.G+), p 2e f(p,G +) cho p(q,,p,) < T) i = 1,2, theo cách chọn ơj, ta có:

p(f(q„go), f(p„go) < e/3, i = l,2 (3)

Đ n g t h ò i P ( P ) , P 2) < P ( P i q2> + p ( q i < b ) + P ( q i ’P2) < v v ì v ậ y t h e o c c h h c h ọ n t a có:

p(f(P ],go),f(P 2.go)<e/3 (4 )

Cuối từ (3),(4) ta suy :

< £

Tức ( l) chứng m inh định lý chứng minh.D

Bổ đề 3.47:

Nếu f(p,G +) có ST- tính chất Qp 0 Qp tập cực tiểu.

Chứng minh:

Giả sử ngược lại Qp khổng phải tập cực tiểu, theo Bổ đề 3.38 ta tìm

được điểm q e Qp cho I q ^ Q p

G i ả s r € Q p n h n g r Ể I q, v ì I q đ ó n g n é n p ( r , I q) = d >

Chú ý đến p(p,G+) có tính chất s +- tính chất, ta tìm số ô(d/3) theo định n g h ĩa

của s*- tính chất Bây ta xét lân cận S(q,ơ/2) S(r, d/3) V ì q, r € Qp , ta tìm được g], g2 € G+ cho :

f(p ,g i) € S(q,ô/2) (5)

f(p,g2) e S(r,d/2) (6).

Đồng thòi cách chọn g! trước ta chọn g2 > g) Đ ối với q/3, q g i'1.g2 € G+ từ điều kiện m Hộ động lực ta tìm 5] < Ơ/2 cho từ

p(q,g2) < i , t a có:

p (f(q ],g r1.g2), f(q, g]-1.g2)) < d/3.

Nhưng q € Qp nên ta tìm g e G+ cho: f(p,g) 6 S(q,ỗ!) (7)

Khi theo cách chọn ơ) ta có:

p C í^ g g ^ g ^ íC q g r J.g2)) < d/3. D o đ ó d o f(p ,g1'1.g2) e l q nên:

f(p.g.g?1-g2) e S ( ỉq.d/2) (8) Mặt khác ơ, < Ơ/2 nên từ (5) (7) ta có:

p(f(p,g) f(p ,,g 1) ) < ô

và theo cách chọn ta có (do f(p.G) có s+ - tính c h ấ t) p (f(p ,g g r1.g2),f(p, g i.g ,‘].g2)) < d/3

hay p(f(p,g.g.‘'.g2),f(p- g2)) < d/3 ’

tức f(p ,g.g j_1 -g2) € S(r,2d/3)

và theo cách lấy d:

f(p ,g g f’ g2) e S(Zq.d/3)

Ngược lai với (8) Vậy bổ đề chứng m in h I

Đ ịnh lý 3.48:

C H Ư Ơ N G 4

MẠNG NEƯRON THẦN KINH (Phần ứng dụng)

M Ỏ Đ Ẩ U

Trong năm gần đây, người la thường nhắc đến T rí tuệ nhàn tao

một phương thức mơ trí thông minh người từ việc lưu trữ đến xử lý

thông tin V i mục đích đó, mởn khoa học đời, Lý thuyết Mạng

neuron Tiếp thu thành tựu thần kinh sinh học, mạng neuron đươc xây

dự n g th n h m ộ t cấu trú c m ô p h ỏ n g trự c tiếp tổ chức th ần k in h tro n g não

Từ nghiên cứu sơ khai M cCulloch Pitts năm 40 kỷ, đến L ý thuyết Mạng neuron thực V nhanh chóng trở thành hướng nghiên cứu đầy triển vọng nhằm xảy dựng máv thống minh tiến gần tới T rí tuệ người Sức mạnh mang neuron thể hiên qua đặc trưng: liên kết phần tử, chất tính tốn song sone (các dịng liệu độc lập với nhau) tính mềm dẻo (khả chấp nhân lỗ i) làm cho mang

có tốc độ tính xử lý thống Ún cao dẻ thích nghi VỚI mơi trường.

M ục đích báo cáo nhằm giải thích nguồn gốc chế hoat đống của mạng neuron nhản tao từ giới thiêu mơ hình tốn học cóng cu để nghiên cứu phương diện lý thuyết mang.

N Ộ I DUNG

1 Sơ LƯỢC YỂ CẤU TAO BỘ NÃO 1.1 Cấu trúc bó não.

Hệ thống thần kinh người xem mót hệ thơng ba tầng Trung

tám thống ]à bó não tuỷ sống đươc tao nên mót mang lưới thần

kinh: lién tục thu nhân thơng tin thưc hiên đinh phù hơp Đầu

vào thốnc bô tiếp nhán (2ồm neuron cảm giác) làm nhiêm vu

chuyển đổi kích thích tù CO' thể nsười hay từ mỏi trường bén nsoài thành

các xuns điện: xuns điên vận chuvén thỏns tin tới mane lưới thần kinh

Tầnc thứ ba bao gồm bó tác đóng (gồm neuron vân động) có nhiém vụ

chuvển đổi xun2 đién sinh mane lưới thần kinh thành đáp ứng có

1 C ấ u t o m ộ t n e u r o ĩ i v c h u t r ì n h n v u r a ỉ i

&

V

'l Ciíu lạo IIlội ncuion.

- riíítn n u n g l ã m gọi lậ 1ỈI.UI 1C hào, gổiì ì nhí m ( i m e l c u s ì v;\ m i s ó c tỊUiin k h c C l u ì I I £ hi nhữn g VCII l ó c ẩ n l l i i t l <Jẽ tc h o thực hi ện chúc; nfwi[; x ứ lí 11IÕI1ỊI I m T ù 111*111 lẽ b o c ó

IÁt nlìicu nliiinh, c ó the coi iló lít c c díiu VÌIO (hm lii cua tín hiệu ncuioiì

- Nơi licp nhím tín hiệu luũic llióng tin, ỊỊỌÌ Iti khóp ilỉíín vinh (synapsc), nnm nưi kẽt ihtìc cua mồi nhánh Vì nhi ệm vụ Ỉ)ỈU1 ctiíi ciíc nciiion lii \ lý i hónp lin lìr mói lnrịng lìr ncuron klc nơn sỏ luợng lii lín lìicu vìm miỉ n e u m n (lược nhím líỉ ycu l ó ( Ị i i ; m ! 1ỌI1 CỊ UVCÌ ( l i n h c h i r c \\ĩ\\)ịi C I K I n r o n ( l ó

- D n ii n n ị i {ỊÌCrn l l ú i i lé h im v k h p llỉiiii L in h 1 :0 1 1.1 A , \ o n N n c ó I i l n é m \'iI ( l n

l iuycn lín hi ệu CiÌL n c m o n l ph án licp xúc ịỉiũii ỈIXOIÌ k h p 111*111 kinh c ó c q u a n kícli t h í c h d ợ c g o i lúi t i c p b ợ p

- Cìiữỉi ci i c k h p 11 l ấ n k i n h c ùi i n c u i o n c ó m õ i k h e h h ẹ p g n i lii k h e l i c p hợp

( s y n a p l Ĩ L gi»p), tlộ r ộ n g k h o n g n a n o m e i V ị ỈIÍ hai b c n KlìC gọi c c VỊ trí l i c n n é p

h ợ p h â u t i ế p h ọ p C c pliÂn từ c l ì u v c n b i ệ i , g ọ i lìcii l ỉ i i y c n l ui , (UrơL i h o t rn l c c

lúi l i ế p h p vưựl q u a k h e l i c p h ợ p c)c s a n g c C|iian nl i án líu h i ệ u Li m n c i i i o n ( l í c h Sư

l n i y c n l í n h i ệ u g i ữ a c c n c u r o n (.lược t i i ưc h i ệ n q u a c c p h a n t d u i v é n h i ệ t (ló

'J Chu h ì n h n c u r o n sư phím c p nfio

Nem OM U ìỏ n g líil ilộ n [' (lơc IẠp C húng (liroc In ehức iliìuil) cáo c hu I iì n li ( c m IIIỈ) M ố i

clui nìnli c ó ỉhc lliực liiOn 11IỎI CỎIÌỊỊ viỌc nhị l ic nu hiCl (Yic chu IIÌIÌỈI liii (hrơc noi VĨI

Trong não ngưịi, tín hiệu neuron truyền hai dạng vật chất: điên từ hố chàt Dạng diện tử cùa tín hiệu chù yếu diẽn ò rreuron, dang hóa chất hoạt động khớp thán kinh Hai dạng sò cùa hoạt động xử lí thỏne tin Irong não.

Ta biêl cấu tạo lê bào gổm có màng, nhủn tế bào chÁt Màng tế bào giống một vách ngãn ion { K* , /Va+ , CZ” C a 24*) tập trung bén bẽn ngồi tế bào Ln có hiệu điện thể độ chênh lệch ion hai phía cũa màng Người ta thấy trạng thái cân xảy hiệu diện khoảng -70mV Khi có xung tín hièu tù bẻn tác dộng vào neuron, dộ tạp trung ion hai bên màng thay đổi, khiên cho hiệu điện nói thay dổi theo, sinh mòt diên trường tác động lẽn màng Nêu hiệu điện vượt qúa ngưỡng dó, màng "mớ cong*' cho phép số ion qua Khả nãng chọn lọc m àn g tuỳ theo độ phone phú cùa kênh ion bị ihav dổi theo thòi gian dộ dài axon.

X u n g tín h iệu t r u y ề n d ọ c t he o nxon dến k h p thán ki nh Tại đây, tín hiệu dươc truvén tới n ơr on đ í c h q u a khe liêp h ợ p b n g m ộ t c c h ế hoá h ọ c đ ậc bịệi gọi truyền tiếp hạp Khi m ỏ t d ò n e x un g tín h iệ u dén vị trí tiẻn liếp h ợ p tác d ô n g vào túi liẻn tiếp hợp m ệ t d a n e vật chát đặc biệt goi hạt tr u yé n tin dược giải p h ón g Hạt t r u y ề n tin k h ế c h tán qua khe tiếp hợp, dẻn VỊ trí hàu tiếp hợp, làm thay cỉổi dỏ chon lọc cùa mhne túi hậu tiếp hợ p đỏi với m ộ t s ỏ ion n hấ t d i nh, khiến c h o c c ion n y di c h u y ể n VQO h oặ c gày c â n irờ h oặ c k ích thích N ê u vièc gây p h ân cực d ơn g (t ươ ng ứ n e â m ) k hớ p than kinh kí ch thí ch í han chế ) , bời n h h ờn g k hớ p thán kinh c ó xu h n e kích t hích (càn irn) n a r o n hủu tiép hơp Sự k h c biệt hai tr ang thái dó c hí nh lỉi sư k há c biệt cùa đ ộ c h ọ n lọc m n e túi hụu tiếp liơp ( K í c h thích: m n e c h o cá c ion N n ý K * (li q u a lùm c h o hiệu d i ên thê m n g neur on dích lăng lên từ - m V tới OV; Cân trờ: m n g c h o cá c ion Cl~ di q u a lòm c h o hiệu di ên t h ế m n g n c u r o n đ í ch gi ám x u ố n g - m V )

C hú V r ằ n g c c k hớ p thán k i nh han c h ế dôi cà n t r khả n ă n g gừi hạt truyén tin qua k h e l i ế p h ợ p S c n t r n y r;’u h ữ u íc h k h i c ó (ỊUií n h i ề u d n g ( lẫ n l i c ù n g m ộ t k l ì ó p ihán kinh, lúc (Jó hệ ihõnii c ó l uvén c h ọ n c h n hớt ilìịng lin vào Nuoũi mỏi n c u r o n có m ộ t n g ỡ n e lới han m người ta gọi " n g n g hoạt d ộ n g " n e u r o n Sư tác đ ô n s c ù a mội k h p t hẩn ki nh dơ n lè (lỏi k h ỏ n e ihc cJù lớn d c l àm c h o n r o n h âu tiếp hợ p dat lới n s ỡ n s hoạt ciỘME T uy n h i ê n irong thực te mỏi n r o n hâu licp hợ p l h n g ĩìhũn dươc r;U nhicu XU11S Iin hiệu từ liìmg ngàn nơron tién liếp họp khác thõng qua khớp ihiin kinh D o dó sư hoai d ị n g cùa phụ t h u ộ c vào t ổ h g cá c kốt q u phAn cưc tìr n h ữ n g kh p thổn k in h nàv N h ữ n e tác d n g d ó s i m d án iIi lu liiời gian, n h n g nêu tín hiệu dcn c ù n £ mõt k h p t hần kinh m c ó c ù n g chu kì, ihì kết q u cá c tác d ộ n g c ò n g h n g với n u, l àm c h o c n g (lô c ùa xung l ãng vọt Khi t ổ n g c ù a ,sự p h àn cưc t hân ic b vưat q u n g ỡ n g lới h n c khoá ng l O m V) n r o n h oạt <Jỏng

2 MẠNG N E U R O N N H Â N TẠO.

2.1 Đ ịnh nghĩa, m ục đích.

Thực tê cho thấy não ngirời luồn llụrc liién tĩnh to.ín rnơl c;ícli r.ìl clâc biội hiệu Có Ihế coi não mội máy lính hay /lệ t h a n g x lý t h ô n g ti n s o n g s o n g ,

phi luyến cực k ỳ p h ứ c lạp. Chì với Imi Ihiình plirìn cliínli In IC bào khớp Ihrin kinh, có khả ihực mội số lính lốu r'’ư nliftn dạng mẫu diòti khién vAn dộng nhanh gấp nhiều lổn máy tính nhanh nhài n;iy Chínli dicu niiy dã gợi clio nhà lliiơì k ế m y m ó c ý tường m phịng hoạt (lộng vfri tín lìiộu nrang lự (;in;ilog) cùa não thành ”bộ máy thông minh”.

Mạng ncuron nhỉin tạo (Arlificial Ncural Ncnvork) mổ hình mơ phịng cấu mìc cùa bộ não người Hai lliànli plirin cííu tạo nén mạng neuron ncuron (mỏ phóng các lế bào lliàn kinli) synapse (mỏ phòng khớp 1 hấn kinh) Trong kiến lĩ úc cùa m õ hình n h vẠy, c c n c u r o n lí\ cá c núl m n g , dược l i ên kct với n h a u t h õ n g qun synapsc, cu n g mạng.

- Ncuron mội dơn vị tính lốn có nliiéu diiu vào mội dciii ra, c3Áu vàn dcn từ mội synnpse Đ ộ c irưng c ù a n e u r o n lù mơl hàin kích lioat phi l u yế n c l u i y t n đổi m ồi lồ hợp luyếrTtínli cùn lát cà lín hiệu diu vào lliànlì lín hiệu díiu Hàm kích lioui tíiìm bào tínli cliất phi luyốn c h o línli 1 ốn cùa m n g neur on

- Synapsc inộl ihànli plTÁn liên kốt giũa c;íc IKUIIOM noi (líui lii cùii ncuion n;iy vói chiu vào cùa n c u r o n k há c D ặ c i nr n g c ù a syn.ipsc lii mội t ro n g sỏ m mỏi líu liiộu (li i]Uii cJéu nhAn với trọng s ỏ Các trọng sỏ sytiiipsc iham sị tư bàn cũa m n g n e u r o n , I1Ĩ c ó llic lliay dổi iluợc Iihằm lliícli nghi với m ỏi t rư ng x u n g <]ii;ml)

Đ ị i i l ) n g l í ì n M õ l m c i n i ; n n i r n i ì l m ộ t h c l l i n n i ; I x m t; ố m i i h i n i p h ấ n l u ư li ( l n

yiiìii ván liànli XIHIÌỊ Sony, cóc chức Iiăni; niii (lưiíí \<ir (linli hời ( <UI II ÍI( mtim; ctrờiiịỊ

( l ổ k é ) n ố i v i ệ c l l i t r c h i ệ n x ứ l i l i c c I I C I I I O I I l i n l i m ú n , K i c n i r í i c m n i ; I I C I I I O I I ( l a Iri'11

kiến Iríic cùa h( ĩliânỉỊ thần kinh sinh học vận hành SOI1ỊỊ soniị dc (ìạl cíirơc lốc lĩộ linh

Ititìn c a o

2.2 Kiến trúc mạ n g neuron.

Có hai d a n g ki ến t rúc m n g : m a n g liến (íccdíoiAViud) m n g hói q u y (ícctlliiick) Hỉnh (lưới c h o la ví dụ vé m a n g liến g ố m lớp: m ội lớp n r o n (gọi lớp Ilióng tin

vào)- mội lớp n i o n ( l p n e u r o n Àn - ]ICO Iigliĩa k h ố n g trực ti ếp l i ế p Xú c VỚI m ỏ i Inicrtig);

và lớp nci iron (lớp t h õ n g tin ra) T h õ n g Ún clươc t i u y é n lìr lớp niiy lới lớp tlicc cliiẻu mũi lốn, n h n g không, c ó cliicn ngược lai

M a n g n n r o n n h vẠy (lược gưi m a n g licn (la mức C h ứ c n ă n g c ù a Ciít ncĩron íin can thiõp lliõng tin driu vào clíiu la cùa mang m ội cách hữu Ỉ1IƠU M ang có tlic gồm mội hay nhiều lớp neuron an, có llìC kliịng c ó IỚỊ) dỏ dược gọi m n g liến dơ n mức

Miing n c u r o n hói q u y (.lược p h â n bicl với m;mg n c u i o n k h ô n g hổi q u y (,'liỗ có íl nhai v ò n g lẠp p h n hồi Chình (lưới) Sự có mà! cùn c c v ò n g l ập p hà n hồi c ó ành

M Ạ N G TI ẾN

2 Ì Các véu tỏ tác độn ự mang neuron va biẽiL dién toán hoe cùa chúnẹ.

D o i h i g m n c ó h a n n ê n ta c h i x e m xc t p h n g t r ì n h m a n c n e u r o n p h ố b i ế n n h ả i , d ó ' p h n g t r i n h m a n g n e u r o n c ò n g t í n h

Xị (/.) := d ô lệch c u a llic n c u r o n ll)ứ 7 so vái (licm c n b ằ n g lại thời clicm /

Bicn nỉiy I11Ô Uỉ mức hoiìi d ộ n g cíia nơron ilìứ L. N ó clirợc gọi lí'i llìế VÍUI d ó n g (Shori-Term Memory).

lệ giai phóng iruntt bình hạ! triiycn lin Ircn mộl dơn vị tÀn sổ ín hiệu axon. 1 liẽUT) Sỏ (.lược gụi lã hệ so luơng lác liéị) hạp (Long-Tcrm Memory) 11Ỉ1 y sỏ synapsc.

Chú ý r ằ n g la d a n g xcl m n g Iicuion n h â n lạo, (lo d ó (licm cAn h ẩ n g ( - m V ) \'ì\ n g i ĩ n g hoai d ộ n g ỉ j c ủ a n c u r o n s i nh h ọ c sc liĩơng ứng với c c clicm g òc 0 c ù a n c u r o n n h â n lạo,

Già sử có mội thay (lỏi vc thố cùa mội ncrron ùr tliôm cAn bàng T r o n g trường hợp lổng lịuát, t h a y dổi d ợ c gciy hởi cá c q uá Irìnli bén I m n g bên nuoìũ Vì vữy c h ú n g t;» có dạng cùa phương Irình S T M c ộ n g lĩnh:

dx, ( (Lxx \ í d x i \

+ - 7 (2.3.1)

d í V x d i J tr / í r n n i / V \ dl ,/ nyniii

Q u trình ngồi b a o g m lác d ộ n g tiến từ cá c n c u r o n khác (lác d ọ n g nội hộ Iroiìg m n g ) v i lác (lộng (lên lữ mơi i rường G i ả sìr cá c t c d ộ n g n y (léu c ộ n g tính Khi dỏ:

(h V v (Li )7 V (Li 1 V (h

I t t t n y \ / |JIC (lonp 111)1 \ / t;ic tlnnp Itim inmitị;

(2 )

Hơn giỉì sư r ằ n g C]uá Irình l)èn ỉ rong n e u r o n ổn tlịnh (tức llic Iiciiron g i m dấn lói clicm cíiiì b ầ n g k h ổ n g c ó c c q trình ngồi ), lỉi có:

\ / l ì I

= - / T /1, > (2 3 )

Thơng lliường, người lii ỊỊÌỈ1 llìicì Ihành phrin /1, (.7:,) sổ, kí hiệu rv,. Nh tlơII dã nói, mỏi n c u r o n I'j (lược clcic IIIỈIIỊÌ l)(íi mói IỊ;1111 kích lioạl s y na p s c J»ắn vói Irọng s ỏ uf,J% d o d ỏ tác d ộ n g dược gùi ilén lừ i/j sê c ó (lạng U,',J j). Tuv lìliicn i ro n g ilụrc lc, l n luồn có Ihòi gian trẻ r XJ1 d n g ỉ r u y c n cá c n c u r o n , dó:

( ~ i f ) = ( ;í;j (*■ - T' j ) ) (2-3-4)

\ / liu tlíiliị; Iif»l l*A J _ I

Ngoà i ra, [Ác d ộ n g lìr mỏi n n g c hí nh lín hiệu ban (láu d o c o n người dưa 1 ĩ ực liôp vài) n c u r o n 1\ % llnrờng kí lìiộu \ì\ /,

VẠy la c ó h ệ p h n g li ì ỉ i l ì vi p l ì ủ n b i c u t l i c n m ộ t m n g n c i i r o n c ổ n g l í n h :

Người \i\ llìường sìr d u n g s ị h àm kích lio.M sau t ro n g cnc m ; mg n c i i ĩ o n :

f(V) f ( V )

à

1

► V

* H m bước n h ả y

* H m t u y ê n tính l ừng k h ú c * H m s i g m o i d

H m bước n y có dạng:

/ (v) =

dược mi n h h oạ hình t rẽn (irái) C c m hình có h m n hư dược xếp VÌ1 0 m ị hì nh Mc Cu ll o c h- Pi t l s

r*Một h m t uyến tính l n e k h ú c c h o b ằ n g c ò n g thức:

nếu V < 0

0V

1

nếu < V <

p v ì 7,

có dổ thị n h u hình trdn (phải) Nó m ị tà dặc t rung tát-bật phi t uvến cùa cá c neur on C hú V rang m ộ t h m tuvến tính k hú c g i ảm tới h m bước n h ày 0 tiến vô H m d ưoc sư d u n g r ỏn g rãi cá c m ò hình m n g neur on

H m s i s m o i d đươc dinh n s h ĩ a h m giới nội Iran t âng chật t hoả m ã n tính lõm tính t iệm c â n Một ví dụ c ù a h m s i g m o i d h m l o g i s ũ c dươc c h o bời:

,v = € R

như t ro n e hình Các ví du khác liàrn t angent n g c v h m t an g cn l livperboli c

Khi 0 —> o o t hàm sigmoid trò thành hàm bước nhảy Ngirợc lại hùm hước nháy với già ihiếl có giá trị lioậc 1, hàm sigmoiil có già tliiối ]iCn lục trôn (0, 1) rinh irơn cùa hàm sigmoid quan trọng Nó cho plìép người SỪ dụng Ún hiệu lương lự làm cíổu vào Mộl dặc Irưng quan trọng khác hàm sigmoid bị chận giới hạn cường tlộ mội lác động lín hiệu thíin kinh lới ncuron nhạn Do (lỏ, hàm sigmoid irở nên ngày phổ biến irong mổ hình mạng nơron gấn díiy.

Ngồi cịn cỏ hiim tín hiệu khác 'IVu cà clcu cho thây lính chíú phi tuyến cùii mạng ncưroiì.

Rõ ràng c h o Irước c c Irọng s ố syn a p sc hàm kích h o i, dỏ VỚI lập cá c díiu vào / j t la hoỉin lồn lính cUrạc cá c tín hiệu đíiu Tuy nliiÊn thực lõ, với tẠp dâu vào cho Irước, dc thu dược lín hiệu dâu inon^ muốn, ta cíin phai lính lốn dể xác dịnh dật (liều kiện cho trọng số syn.ipsc hàm kích hoạt Do (lớ, ta cần ứng dụng lý ihuycì PTVP (Jc nghicn cứu ván clc này.

3 G l l T H I Ệ U M Ộ T s ó l o a i m ô h ì n h m n g N E U R O N v s L U Ơ C v ề v i ệ c

ÚNG D U N G P T V P D Ể N G H I Ê N c ú u M A N G N E U R O N ( T Í N H Ổn D Ị N I I D I E M

\ ảN b ằ n g, Ản h 11UỎNG C Ủ A T R Ễ , )

3.1 M ộ t s ổ mị ỈIÌÌIÌI tỉiạ n ỵ ììc u ro ìi.

Mố hình m n g n c i n o n c ộ n g lính Ircn dược G o p n l s a m y vìt i l c dưii mím 1994 ' I r ước

iló, người lỉi clĩĩ n g h i ê n cứu mộ i s ố m ỏ hình dưn giàn hơn, Iroiìg (ló clìưii lính (lên thịi giíui

t r ẻ Tị j % n h :

- Nã m 1978, G r o s s b c r g x e m xcl p h ơn g lĩình:

l i ong (ló c , lỉ, > \l\ Ciíc d i ệ n (luny (liơn l iừ cìm Ihỉmh pỉi;'in (liên lừ \y.\y lu-uron llìứ 7, ma irẠn IV = (uJ j j ) gin llìiốl k h ổ n g s uy bicn

- Ná m 1989 M a r c u s VVeslcrveli (Jà giới ilnôu (king p l i ưưng irìnlì drin tiơn c ó n ẻ d a n T > :

Rõ ràng c c hệ pl ưng trình Iicn (icu n l m n g tiưịỉì g h ọ p (Jãc biệt hc ( 3.5)

1 < ? < ■ / /

- N m 1984, H o p f i d ( l (Um r;» m ỏ hình: II

] < V < 71 (3 2)

3.2- ễtụr-dung lý thuyết PTVP nghiên cứu mạng neuron Xét Rệ phương trình vi phủn:

d x n

-£ ■ = - a i X i { t ) + Ỵ ^ u i j f j ( x j { t - T i j )) + l ị , < X <1 < i < n (2.3.5)

Về bân chất, dAy dạng phương trình vi p h â n có trẻ không gian Banach

Do thời g i a n có hạn n ê n ta d i ể m q u a vài ván dề c a bím Nl ì ữn s vân dề ĩiàv n hữ ng n g h i ê n cứu sí\u r ộ n g h a n dã dược trình bày chi tiết c u ố n ỉt ìí rn du c í i nn o f

N e r a l D y n a m i c s a n d S i g n a l Tran.sỉĩiissioĩĩ D e l a y c ù a J i a n h o ng Wu

* Sư tổn lai d u v n hái n g h i ệ m vù phu t h uộ c liên lục c ùa n g h i ệ m vào diêu kiên dấu: Nhắ c lại lý ihuvéì c o c ùa p h ơn g Irình vi phân c ó trẻ xem c h ứ n g mi nh cu thể c ùa cá c dịnh lv sau c u ò n n ír od u ct i ot i to F u n c t i o n a l Di ff eren t ial E q u a t i o n s cúa J H a l e V Lunel ( c h a p l e r 2: Basic T he or y, p.38)

Xéi t oá n C a u c h v

F A t.r.,) = - o , ( X i ) t [ ) + ' ^ u ỉ lj f j { { x j )l ( - T lỊ)) + ỉ , < I < n (3 2)

ĐỐI với t o n C a u c h y (3 2.1) ta có cá c đinh lý sau:

Đ i n h lv ( x e m [2], T h e o r c m 2.1, p.43) Nếu F lò hám liên lục n én n c n.x c thi tổn a > diì nhỏ cho (3.2.1) có nghiệm ircn ị - r , ư|

: I —r 0 —> R n ty>i n^ltiệm ciìa (3.2.1) ircn ị - ', Iiếti r n hân Inc r{t) khò vi

c = c (Ị-r, ()Ị; R " ) = {ộ, (p : [—r, OỊ - 4 R " li ên tục}

với c h u ẩ n

11011= s u p \<ị> (.v)|

•i€|-r.0| trong dó

T — r n a x T

\ < i J < n 1

( 1)

Định lý 3.2.2 (xem Ị2], Theorem 2.3, p.44) Nến F ìirn IIIC iliồ niiln ilirn kicn Lipi lmz theo ■biến thứ hai

||F (/,</') - J'Ụ,-ĩl>)\\ < L\\</>- VII ; V (/,</,),(/,V) e n

0

llii nghiệm cùa (3.2.1) n én | — T, n-Ị là nhá).

Định lý 3.2.3 (xcm [2], T h c o r e m 2, p 43) Già SỪ hài 10(111 Coitcliv (3.2.1) có Iiyliiậii tliiy nhá) 7.(0, i 70, ^ ), troHỊỊ dó F ° e C [ n , R " ) và (U, Sỡ°) E Í2 Già sử cỏ dãy. ( í ' 1, Fk, ipk ) —>

( , ự>°) Ắ-/I/ đ ỏ x ( t k , F \ <pL) - à:(0 , F ° ,

* Tính ổn dịnh tồn cục.

Xét plmơi ig irìnli (2.3 *)) với già tliiếl cá c h m tín liiệu ỈJ l i—) lỉ llioà m ã n c c diéu kiện Jj{tì) = liỄn lục Lipschitz lồn cục

\ f j ( * ) - ỉ ị (?/)! < L ị | x - y\ ; Va:, 7/ € / ỉ , ] < < 71 v ới h ằ n g s ố L j > c h o Irước (nếu Ị j irơn la c ó thổ ch ọn L j = f j {0 )).

Định lý 3.2.4 (xem [)], 'Hicorcm 5.2.1, p.96) G ic ì M í

L

-o = nuIX — ) |u , ;| < (3 ) )<!<»» n , '

1

Klìi dó với mồi clổn vào (ho trước J = (/], ,/„)1 £ IV1, mạn ị! ncnm/i có ntộl

(hciỉì ( ủ n b ằ n ỵ X* = ( x ] , -Vr/r/ c h o m ọ i n g h i ệ m r ủ a ( ) lliOỉì niiĩìi

li m Xi ( / ) = :/:* , 1 < < 7í

I —*oo

Chửng Iiiinh. Dấu licn, la chứnjjL minh su lổn 1.11 (luy nhíu di(: I cán /■’ hãng c;kl) SỪ d u n g n g u v ẽ n lý d i t m bấi d ỏ n g c ù a nh xạ co

TliAl vây, n x ' cliém cíin b ằ n g cùa p hư n g trình (2 5) n ó l àm c h o v ế phài bung u, lức là:

11

n = 'y ^ ụjtj J ị (:í j) 'I u

I

OẠI y é = { ( ì ị X] , l l i a y VỈUĨ p l ỉ n g I r ì n h I i c n , lii c ó :

II / \

vi = ( — ) + 7’

F,{y) = j z ^ f j ( - Ì + ; '

X é l p n với chuẩn ||x|| = lx >l t= 1

S Ẻ Ẻ K I

1 = j = l

/ i ( n H

S Ẽ Ẻ K I

1 = j « |

:J - Vj\

II ’ L i T T — >ĩ n

K j | ! - * < - ỉ / l < a | | T - ? y | |

Rõ rà ng F n h xa co i rong R n nên F có d i ể m bái d ộ n g du v nhái y ' , suy sư lổn d u ^ n h ấ t c ú a 'X*

Để c h ứ n g m i n h r n s l i i n , _ c o r, (í) = < i < n. ta dãt

1/, (/.) = X, ự.) - x ' , < < n

T h a y vào p h n g trinh (2 3.5), ta du ơc plurcmg trình mới: n

Vi (0 = - o ìy t (0 + [ỉj (Vj (t - rXJ) + - fj [x])] (3.2.4)

Kết hợ p vói (Jiểu kiện L i p sc h i t z (3.2.3), la có đ n h giá d a o h m bòn phài

\ y x (01 < \lJi (01 x ^ ^ ỈJ) ^ ~

7=1

* Chú V r ằ n £ i r ong lý thu vết p h é p la V tích phân, h m z : Ịa, /;Ị —y R có D * { z ( t ) ) < h{t.). I rone d ó lì. : [ajỉ\ —1R h m khả tích L e b e s g u e thi

z ( I ) < z ( a) -f- J /i (.s) ri.s, V/ ^ [a.b\ n

Tiẽp t heo, xct h m Lvapunov

V { ) = V { y ) ( L ) = 1= l

í

Khi dó:

-<*.■ \'!I‘ (01 + k i j | L j \yj (/ - T,j)I =

TI

o * ( v ( ( ) ) < £ i=- I

TI »1

+ £ X > o I J' j \ \ ỉ j j ( - \vj - T,-j)iỊ

1 = J = r \

»» *l 71

= - J (xi |?/Í M I L '|?/'

1=1 1= jrr J Ạ

“ è h<=| L +L' t j=i

TI _ TI

= - L° ' ' - r r E ^

,=) L ' j =i

l/A (01

I// (0 1

< - 11111» n , o | | y ( / ) | | ) <7 < t l

Vì ' wẠy la c ỏ :

/

K ( ? / ) ( / ) - ! 111)11 n , n í II;// (.s)II r/.s \ ' (//) (0)

Từ (ló s uy \\y\\ bị c h ậ n Ircn ( , o o ) \\y\\ £ L ^ O o o ) Kcì hợ p với tliổu k iện L i p sc h i i z (3.2.3), lừ p h n g trình (3 4) tít thAy ly/, (01 c 01 1 giới nội Iicn ( , o o ) , k é o (lìcu Ị/, iịn lục tỉcu 1 rịn ( , o o ) Kối h ợ p với ||;//|| 6 L ^ u o o ) suy ni II//II —> 0 klì! I -> oo l )o (ló:

lim ( / ) = ;/• I < / < 7/

□

* Ả n h h n g c ùa liẻ

Xct nghiệm llnrờng cùa phương trình (2.3.5) n on g lrường hợp ỉ j — f , Tịj = T , n , = 1 với 7,;/

^ , ( + X > , / ( M ' - t)) ! < ' < > ' ( 5) /= J

với / k l ù vi l i ôn l ục / ( ( ) ) =

OẠI / í = r ( ) v l l7 = P l ì ư n g Irì nl ì s a u g oi IÌI p h r i n l u y ế n t í n h lìiìá c ù a p l ì n g

Định nghĩa 3.2.1 Ta nói s ự m ấ t ôn đị nh g y t r ễ c ó ĩ l i ể x ả y ro ỏ (3 2.6)

nghi ệm t ám ĩ hường hệ Ổn định tiệm cận với T = và ĩổn m ộ t giá trị T ^ s a o

cho nghi ệm d ó k hơng cịn Ổn (lịnh liệm cận.

Ta nêu số kết quà biết T ì i eo r y o f F u n c t i o n a l D i ff e r e n t i a l E q u a í i o n s

c ù a J H a l e [1 77 ]

P h n g t rình đ ặ c trưne:

dct [XI + I - C- Xrt3W} = (3.2.7)

Nghiệm phương trình gọi giá trị đậc trưng. Bổ đé 3.2.1 C ứ c khẳng (lịnh ÒƠLI đủng:

(i) Nghiệm rủa (3.2.6) ơn dinh tiệm cận chì tốt nqlĩiệm rùa (3.2.7)

déu c ó p h ấ n thực ảm.

(ii) Nế u n g h i ệm cùa ( 6) ơn định tiệm cận ilỉì n ghi ệm của (3 5) ổn (iịnlt tiệm rận.

(iii) N c u lỏn lụi tĩìội nghi ệm cùa (3 7) c ó phún thực dương (hì ng hi ệm him ihỉiúiỉỊỊ cùa

( ) ( ) (Icỉi m ấ t ô n (lịnh.

Viếi lai (3 7) danE

«lnl [ ( A 4- 1) ĩr:Xr - Ỉ Ì W) =

ta d ẻ d n e .suv ra: A m ỏ t Ìá trị d ậ c t r n s k h i c h ì k h i t ổ n m ò t g i tri n è n g d c ù a ma Irân \ v sno cho:

(ự ỉ = (1 + A ) c At (3'.2.8)

M ò l c c h t o ng quiU ta xét plurơnc trình siêu việt sau

(z + a ) e : + 7 = (3 9) irong d ó rr 7 c c h ằ n g số Tr ườ ng hợ p cà ry 7 d c u cá c s ổ t hưc mi én on d i nh mãt p h a n g t h a m số (0 7) <Jươc rnó tà đ y dủ t r o n g bổ dê sau ( x e m Hale [1977] )

Bổ đc 3.2.2 T ấ t r ả cúc n ẹh iệ m cùa (3 9) với hang sn thực rỵ và 7 có plĩỡn ỉhưc â m khi chi khi

rt > - 1,

< a 4- '■V > 0, ( )

f) sin Ị) — a cos Ị) > 7,

t r o n g d ó : n ế u a = t h i p = f ; "à'ỉt a # t hì p l n g h i ệ m c ù a p = - a U n / t r n n g m i ẻ n

(0, 7r)

Trong (3.2.8), lliiiy 2 = A r ; o = t ;7 = - T ( ỉ f i , vì T > ncn dẻ iliAy kiện

(3.2.10) trờ lliành

' d(i < ]

cos 1 - < r <1/1

với (ỉ = - a l m i / i mi én ( Ị i 71-)* là lương (hrơng với: (l/i € | — 1, 1)

h oặ c <LU< — , T <

mcr.os -7 ã!:< _ _ ô11ôIIKTUS -7n

I Mi #ãã"ằ #'ãằ/ã <tiôớ I ằã' I-èểMK

Kí hiệu r7 (H7) lẠp lĩú cii giií trị riciìg cùa IV Tí» cỏ c;íc kổì t|ua:

Định \ỹ 3.2.5 (xem 11], Tlicorcni 3.4, p.101) Già SỪ ơ ( \ V ) c /? 1Y7 T > Ấ7//' (lú

nghiệm him llurờỉiỊỊ cùa (3.2.6) ổn (linh tiệm (ậỉì chì với (I E ơ(VV')ệ tnộì

ì r o n g hai k h ằ H Ị Ị c ỉ ị n h SCIỈỈ Ac ỉ y r a :

(i) 0C *€ - , )

(ti) /ir/ < —1 vò T < —J = = p = ^ iroiiỊỊ (lỏ hùm íirccos l ấ y ỊỊÌCĨ trị iroiiỊỊ (loạn ,7r].

HỌ (Ịiiá 2.1 ( x e m | 1), O o r o l l a r y .V3.5, p 101) Già xử ( \ V ) c /? Khi (ló:

(i) Nghiệm l ấ m iIìỉíờỉiỉ; c ủ a ( ) ỏ n (lịỉìh l i ậ ĩ ỉ c ậ n với T = Ả/// V(j chị (l < ị với m ỗ i (I €

lệìỉì IĨÌ ihưừii V' (■//</ ( 6

“ Ti<fí) V(U " " " lỊ r- ( v v y

(7/) Niịluệỉìì liuii iIi i í i icùa (3.2.6) õìì (linh IICIỈÌ cận VỚI HÌOI > khi vò (lu khi (I e

Hệ Cị i i ả 3 2.2 ( x e m [1] Corolkiry 3.6, p 101) Cĩicỉ sử o{YV) c /? Khỉ cló (án V() (lù (lê

s ự m ã ) ổ n (lịnh ịỊÒy r a b i II c c ó i h c Acìy r u (.ỉ.2 ) là:

KẾT LUẬN

Nhờ có thành tựu m ới khoa học k ĩ thuật nsàv càns có thể khám phá nhiều sâu vào bí mật giới tự nhiên Trong thời gian gần đáy nhiều nhà khoa học sử dụng có hiệu thành tựu m ới Gnh vực tốn học cơng nghệ thơng tin vào việc giải toán

th ự c t ế v í d ụ n h cá c b ài to n k in h tế , b ài to n v ề p h t tiề n củ a qu ần th ể sinh

v ậ t, toán vấn đề ổ nhiễm mơi trường

Mục đích đề tài cô' gắng tiếp cận nhanh với xu hướnc phát triển khoa học tự nhiên Trên sở chúng tơi tiến hành giải một số toán mang tính chất định tính lĩnh vực phương trình vi phán thường hệ động lực rời rạc Những toán nghiên cứu để tài :

*Sự tương đương tiệm cận phương trình vi phân với biến sơ chậm *M ộ t số tính chất hệ động lực nhóm

Đây vấn đề mang tính thời cao, nhiều người quan tám có ý nghĩa thực tiễn Trong q trình thực hồn thành đề tài

nhận được một số kết quả mới có ý nghĩa về mặt khoa học góp phần thúc đẩy q

trình đào tạo cán khoa học k ĩ thuật nhà trường đại học.

C ấc k ế t q u ả n h ậ n đ ợ c đ ã v i ế t g i đ ã n g t r o n g c c t p c h í k h o a h ọ c c h u y ê n n g \ n h v s d ụ n g v o v i ệ c g i ả n g d y c h u y ê n đ ề c h o s i n h v i ê n v h ọ c V]én c a o h ọ c

ngHành toán Tuy nhiên hạn chế vể mặt thời gian kinh phí phần ứng dụng vào

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] B.Aulbach, N V M in h ,1996, Non linear semigroups and the existence and

s t a b i l i t y o f s o lu tio D o f s e m i l i n e a r n o n a u t o n o u s e v o l u t i o n e q u a t io n s

[2] Cooke K.L,1967, Asym píotic thecay fo r ứie delay- differential equations J.Math.Analysis and A ppl 19,1,160-173.

[ ] D a n g D m h C h a u O n t h e a s y m p o t i c e q u i v e l e n c e o f l i n e a r d i f f i r e n t i a l e q u a t i o n s i n H i l b e r t s p a c e s , V i e t n a m n a t i o n a l u n i v e r s t y , H a n o i , J o u m a l o f S c i e n c e M a t h e m a t i c s - P h y s i c s N2- 0 , p p -

[ ] G E l e u t h e r i a d i s , M B o u d o u r i d e s , O n t h e p r o b l e m o f a s y m p í o t i c e q u i v a l e n c e o f ordinary diffưentia] equation, Ital, J Pure Appl Math 4(1998), p 61-72.

[4]Kato J,1996, Tbe asymptotic equivalence o f íunctional differenttial equations, J differenttial Equaí.1,3, 306-332.

[5] Kato J,1996, Asymptotic behavious in íunctional differenttial equations

Tohoku Math J l8, 2,174-215.

[6] G o h b e r g , L i n e a r o p e r a t o r s in H i l b e r t s p a c e

[ ] A J u L e v i n , D o k I A c a d N a u k S S S R N ( ) 7 - 7 ( R u s s i a n )

[8] Nguyen The Hoan, 1975, Asym ptotic equivalence o f systems o f differentia]

equations, IZV.Acad Nauk ASSR N02, 35-40 (Russian).

19] Nguyen The Hoan, 1970, Asymptotic equivalence o f differenrtial equations D ifferential Uravnenye, N04, 385-360 (Russian).

[10]N.Levinson, (1946), The asymptotic behavior o f systems o f linear diữerenlal equations Amer.J.Math, 63, p.1-6.

[11] Nguyen Van M inh, Introduction to the Asymptotic Behavior o f Differential

Equations in Banach Spaces (2002)

[12] Jozef M ildo, Asym ptotic relationship between solution o f two linear d iffĩre n tia l systems, Bratislava Matbematica Bohemica 123(1998) No2 163-175. [13] M.Svec, Itegral and asymptotic equivelence of two systems o f diffrential equations, Equadiff Proceedings o f the fifth Czechoslovak conírece on diffĩre n tia l equations and Their Application held in Bratislava 1981, Teubner, Leipzig, 1982, p 329-338.

[ 14] M.Svec Asvmptotic relationship between solutions o f two systems o f diffư en tial equations Czechoslovak Math J.24(1974), 44-58.

[15] Choi kyu Sung Hoe Goo Yoon, Jip Koo Nam Asymptotic equivalence benveen to linear diffưential systems, Ann D iffer Equation, 13(1997), 44-52. [16] K.G Valeep O.A Raoutukov, Iníinite svstem o f diffirentia l equations Scientis publishine house Anm a-Ata 1974.

[17] S.W.Seah Asymptotic equivalence o f multivalued diffirentia l systems, Boll, Unione Math Ital 17-B(1980) 1124-1145.

[18 ]A M X ta kh i Tạp chí phưcmg trình vi phấn (D Y ) tập N °4 ,1968 Tính phản hồi điểm miền hệ động lực đăc biệt (bằng tiếng Nca)

[19] A.M Xtakhi.Serie N °5 ,1965 Sự chuyển động tuần hoàn hệ động

) \ - M Ê & m

NATlONAỈ.llNIVKRSnỵilANOl

ISSN 0866 - B61 2

KHO,

I O U R N A L

TO Á

VNU JOURNAL F SCIENCE, Mathematks - Physics T.XIX, N03 - 2003

O N T H E A S Y M P T O T I C B E H A V IO R O F S O L U T IO N S O F N E U T R A L D E L A Y Đ I F F E R E N C E E Q Ư A T IO N S

N g u y en Van M inh, N gu yên M in h M au Department of Mathematics Colìege o ĩ Science, VNU

A b s tr a c t For a natural number T we denote the Banach space c -'= \<t> '■ { —7\ —T -f

1 , • • • , } — ► X } w i t h n o r m 1 1 : = s u p _ r < n < | ị ố ( n ) | | I f X : z — ‘ X x n € c s t a n d s f o r t h e f u n c t i o n x n ( ỡ ) — x ( n - f 6 ) V n € , — r < € < W e c o n s i d e r c o n d i t i o n s f o r t h e

existence of bounded and almost Deriođic solutions of neut: ’ delav diíĩerence equations

o f t h e f o r m

A{ Dx n) = L z n 4- /(n), n € z,

w h e r e / € Z o o ( X ) , D I / € L ( C X ) a n d A ( D x n ) : D2 n + — C o n d i t i o n s f o r t h e e x i s t e n c e o f b o u n d e d a n d a l m o s t p e r i o d i c s o l u t i o n s o f d i í ĩ e r e n c e e q u a t i o n s h a v e o b t a i n e d M - h i c h e x t e n d a n d c o m p l e m e n t s e v e r a l r e c e n t r e s u l t s

1 I n t r o d u c tio n an d p re lim in a rie s

1 N o t a t i o n c

In this paper Z ,R , and c denote the sets of integer, real and complex numberp

resper.t.ively r st.ands for The u n it circle in c Given complex Banach spaces X Y L (X Y)

stands for the space of all bounded linear operators from X to ¥ For a linear operator A

on X we denote by ơ {A ),p {A ) its spectrum and resolvent set The space of a]] bounded

sequences { x ( n ) } n€í c X ÌS denoĩ.ed by l0c(X) For a natural number T we denote The

B a n a c h s p a c e c : = { ồ : { - r , - r - , ■ • • , } — > X } w i t h n o r m l l ^ l l : = s u p _ r < T , < | | c í > ( t j ' | Ị

I í X : z —^ X , Xtj € c s ta n d s fo r th e íu n c tio n x n ( ) = x ( n + ) , V r i € z — r < <

1 P r o b l e m S e t t i n g

W ith the above notations we consider conditions for the existence of bounded and aìmost periodic solutions of neutral delav diíĩerence equations of the form

A { D x n) = Lxn -f / (n), n € z, ;i)

\vhere / € /oc(X) D L £ L (C X ) and A (D x n) : D xn + 1 — D x n

Qn the a s y m p t o t i c behavior o f so lu tio ns of

diẩerence equa.tions and those of diíĩerential equations As shown in recent w orkí (see e.e 5.11 '23] a n d th e reíeren ces th erein ) th e sp ec tra l th eo ry o f seau en cei Ì5 ? DOweríu' too! :or ỊTudying the asym ptotic behaVior solutions of dìíĩerence equẳons On the other hand in

our rece n t p a p e r 19], th e m e th o d of c o m m u ta tiv e o o e to rs seem s to be a n a tu r a l w av TO

a p p r o a c h v a r i o u s p r o b l e m s o n t h e a s ỵ m p t o t i c b e h a v i o r s o l u t i o n s o f d i í ĩ e r e n t i a l e q u a t i o n í

A lthough we are tr y in g th is m e th o d for n e u tra l íu n c tio n a l d iíĩe re n tia l e q u a tio n s th e re are still se v e l a b s tr a c t o b s ta c le s to b e overcom e H ow ever for n e u tra l d elay d iíĩerence equations th e re t u r n ỏ u t t-0 be n o su ch o b st.ađ es

As a continuation of somp results in [11 23 271 in this paper we combme the

method which makes use of the spectral theory of sequences used in 23 w ith the One 0f

commutative o p eraro rs used in [19] to stu d v conditions for The existence of bounded and

almost periodic sìoutions of Eq (1) The main results of this paper are The^rems 2

2.8 and 2.10 w hich e x te n d a n d c o m p le m e n t several ones in [8 18, 11 17 21 23, ’ to neutral d elay d iíìe re n c e e q u a tio n s E q (1)

1.3 P r e li m in a r i e s

sp e ctra l theory o j sequences

In this paper we use the follơwing definition of spectrum of a sequence ' z { n ) } r

which corresponds to the notion of spectrum of the sequence lx ( n ) := S (n ) x }r zz c l x X'i of [5i where S(r>) denote? the translation x(-) € loc(X) •—^ x i n — •) G Lc(X ).

D e í ì n i t i o n T h e s p e c t r u m ơ( g) o f a given b o u n d e d s e q u e n c e g € is d e ũ n e d :0 be the set o ỉ all c o m p le x n u m b e r s Ao in the uniĩ circle r a t which th e ỉu n c ĩio n ỏ • A 1

dìned bv

2^ À ~ n ~ S[ n ) g V ỊA- > à\ Ằ) : = <

n=0

— V A 71 l S( — rì'Q. V A < 1. n=l

has DO h o ìo m o r v h ic c o n tin u â tiũ D a r aŨV n e ig h b o r h o o d o f

Ao-We list be!ow some properties of th-e spectrum of {g

n}-P ro p o s itio n l-2 Le: Q := {p n } be a rwo-sided bũunded Ịuence in Thez :he ỉollcv. ing a^sertions kold:

i ữ{g) is closed.

ii. I f g n is a s e q u e n c e in l x (X ) .c o n verg in g to g such th a t { g n ) c A ỈŨT alỉ n € where A is a closed subset o ỉ the unit circle then ơ{g) c A.

iii I f g € ì x {X) a n d A is a b o u n d e d iinear o p e r a io r OD th e B a n a c h space X ĩher.

ơ(A g) c c{g), K-here Ag € l x (%) is given by (A g ỵ := A g n ìn € z.

i v L e í c h e ' D â c e X l ỉ o t co n tâ in ã n y su b sp ã c e which is is o m o r p h ic to Co ' r h e B ãnach SDãce o f n u m erica l se q u en ces which converge to 0) and X € lx ,: X) be â sequence such t h a t i x ) is c o u n ta b le T h e n X is a ím o s t periodic.

28 Ngr en Van M in h , N gu y en M in h M a n

Corollary 1-3 Let X be s Banach space and let A c r be cỉosed Tben th e subspace

A(X) := {x € loo(X) : ơ(x) c A} N

is a closed subspace oĩloo(X).

In what follows we use the notation M x span{S(n)x,n € Z}.

Lem ma 1.4 Assume that X € loo{X) Then we have the followmg assertion:

ơ W = ơ { S \m, ) (2)

vrhere s — 5(1).

P r o o / F o r t h e p r o o f s e e [2 ].

W e d e n o t e b y A P Z ( X ) t h e s p a c e o f a l l a l m o s t p e r i o d i c t w o - ã d e d s e q u e n c e s in a c o m p l e x B a n a c h s p a c e X in t h e s e n s e o f B o h r N o t e t h a t b }’ t h e A p p r o : m a t i o n T h e o r e m

for Almost Periodic Sequences, A P Z \X ) is the closure of the linear space spaxmed over aU

trigonometric pohnom ial sequences i.e., sequences { i ( n ) } of the form

N

Vn € z,

k=l

wnere ak € X, ọ* € r.

Commutative Operators and Their Spectra

In what foUows we list some spectral properties of commutative bounded linear operators.

Lem m a 1.5 Let X be a complex Banach sp&ce and let u and V be bounded linear

operators actừig on X such that u v = v u (commutativeness) Then, the foỉ]oving assertions hold:

ơ( UV) c ơ{U) + ơ{V) ( )

ơ{JJV) c ơ(Ù)ơ(V). (4)

ProoỊ For the proof see [28, Theorem 11.23].

Next, we wiU show how to apply this result to study thề existence of bounded

solutions of difference equations Let A be a bouíided línear operator on X and A c r be

a c.losed subset of the unit circle Then we can define the operator of m uitiplication by A

on A(X) bv tbe íormulas

( A\ x) ( n) = Ax„ = A x ( n ~ 1), V x € A ( X ) , V n € z

On the a s y m p t o t i c behavior o f solutions of OQ

Le m m a 1.6 Let A c r be closed Then i) Sa commutes with Aa,, ■

ii)

ơ{A a ) = ơ(A ) (5)

Similar assertions hold for the restrictions of the above operators to Aa p (X) :=

A(X)n A P Z ( X )

On the other hand, we have

Lem m a 1.7 For ãny closed A c r we have

ơ ( S A) = A (6)

ProoỊ Tot the proof see [23].

2 M ain resn lts

From the deẵnitions of the operators D and L in Eq (1) it is easily seen th a t thev can be represented in the forms:

0

Đ ệ = Akộ(k), vự> € c

k=—r

0

Ló = ^2 Bkó{k), vự> € c,

k = - r

( ")

(8)

where A k ,B k & L (X ), VẢ: = — r, • • ■ Hence, the operator A ( D x n) in E q íl) can be re-written in the form:

A ( D x n ) = D xn + 1 - D x n

0 ũ

= Y A kx n + l { k ) - ^ A k X n { k )

k = —r k = —r

0

= ^ AkX(n + + k) - ^ A kx(n + k)

k = - r k = - r

0

= A 0x ( n -r l ) + {Ảk- 1 - A k)x{n - k) - A _ r x(n - r )

/c= —r-f

Combined w ith (8) the Eq (1) can be re-written as follows:

0

Aũ x(ti + 1) = c kx (n + k) + /( n ) , k=—r

(9)

where

30 N guyên Van M inh, N g u y en M inh M an

Definition2.1 Eq (1) is said to be atomic a t zero iỉ Ao is invertibìe.

Note that tỉũs notion of atomicness is an analog of what has been known in the theory ơf íunctional diữerential equatìons (see e.g [13]).

We now transỉonn Eq.(9) into a first order equation by setting y°(n) = x(n - t )

y l (n) = x ( n - r + l)

yr (n) = x{n). Finally, we re-write Eq (1) in the form

Ay{n + 1) = By{n) + F{n), (10)

Trhere

y(n) := (y°(n), y ' (n), • • • ,y r {n))T € Y : = X r+1,V n € Z

F( n ) = ( , , J ( v ) ) T ,' Vn € z ,

and

/1 0 • 0 ^ ( 0 1 .

• 0 \

A := 0 1 ũ , B-.= 0 0 0

Ú 0 Ảo ) V C—r C-r+1

1

c j

From now on we denote

0

E : = { € C : /a(zr+17 - (11)

j = - r

We are now in a position to íormulate a main result of this papex.

Theorem 2.2 Let Ao commute with Ck, k = —r, • • • and let ảữ(Aq) n E0 = Tien, / o r e v e r y / € A ( X ) J5q (1) has a unìque bounded solution X f such th a t ơ ( x f ) c ( A ) M o r e o v e r i f / i s alm ost periodic then so is X t.

Proof By the above notations observe that ơ(Ao) = ơ(A ), Eo = (B ) and ( f ) = ơ{F)

C o n s i d e r t h e s p a c e A ( Y ) T h e n , b y t h e a s s u m p t i o n a n d a n d w e h a v e

0 = { ( A A ) A D ( B A )} d { a ( A As A ) n

T h u s í

ơ(A \Sa) n ơ(Ba) = 0. This yields

0 ệ ơ( AaSa) t (12)

i.e the operator (AaSa - exists on A(Y) Hence yf = {Ả ASA - SA)_1 exists on

A Y); thaĩ is y j is a unique solution oí Eq (10) in A(Y) This yields tha* x(n) := y°(rì)

2.3 In general, w ith o u t assumption Oũ the commuiativeness o ỉ A and B we dũ not kncn- iỉ the assertions o f the above theorem is true We have the fủỉỉowing which exiends 123 Theorem 3.1].

C o ro lla ry 2.4 Let Ao commute w ith c k, k = - r , • • • , 0 and let f e ỉoc (X ) Then Eq (1) has 3 unique solution X f € Zoo(X) provided that (f)ơ (A o ) n Lũ = Morover, i f f is ahnost periodic, then so is X f.

Proo/ We can set A := ơ ( f ) and apply Theorem 2.2.

C o ro lla ry 2.5 Let the operator -D ÍD Eq (1) be aiomic at zero i.e., Ao is mvertible,

and let A be a cỉosed subset o ĩ the unit cữcle such thar ( f ) n E i = 0 Then, there exisis a uuique solution X f € A (X ) o f Eq (1).

Proof Re-write the equation in the form (9) Then, since Aũ 1S invertible, we have

0

x ( n + 1) = y " A ^ C k x ị n - k) 4- A ~ l f ( n ) ,

k = - r

Observe th a t ơ(Aq 1/ ( - ) ) c c r(f) Thus Aq 1 /( • ) £ A (X) Bv Corollary 2.4 we have the assertion o f the corollary.

To consider the converse of Theorem 2.2 we need several results.

D e fin itio n 2.6 Let A and B j , j = 1,2, ■■■n be bounded linear operators acting OD a

complex Banach space X Then, we defìne

On the a s y m p to tic beh a vio r o f so lu tio n s £>/ 31

n

ơ a(B ) : = { X e C :/3(An+14 - € L (X )}. (13)

P ro p o s itio n 2.7 L e t A and B j , j = 1,2, • ,77 be bounded lineas operators acting ùn

a complex Banach SDàce X Then the following assertions hold true: i) The Ạ B ) Is a closed subset OĨC;

ii) The ỉuDctioD Pa{ B) := C \c t^ (B ) 3 A ^ B ) ~ l £ X (X ) is anaỉỵĩic. Proof ( i ) I t s u f f i c e s to s h o w t h a t C\crA (B ) = : p>i(B) is o p e n I n f a c t , t a k e A0 € P a ( - S ) : =

{A € c : 3'(An+1.4 - € L (x )}- Then - E ;= ^ r exists- - ^ d

t hu s , bv the Open M apping Theorem, the operator (An • — Y^ - 1 B ) : X — X 1S

bounded.

Consider (An+1-4 - x ^ n= i where ^ is ?ufficiently close to A0 We have

1

( A » + M - £ a ^ ) = ( X ^ A - X ^ A ) - ^ - X ’0)B r ' - V > ỉ B ;

J=1 L J=1 J J=1

Since A B j are bounded, if A - A0 is suíEciently sm alỊ then so is (An" M - Ả ^ Ì A) -

y n= - x ị) B Finally, since - E j = i K B )~ l is bounded, if ỊA - Aol 1S Sũ small

thât n n

32 N guyên Van M in h, N gu yen M in h M an

then (AT4+1j4 — ỵ^j=i is invertible, i.e., A € Pa

(-B)-(ii) Set Q c L(X) consists of all invertible elements of L(X ). Then c is open in -L(X) with the usual operator topology Moreover, if Uo € Q u ~ l exists if u is suínđently close to Uo and can be represented in the form

ỉ / - ’ = Ỷ _ ( i - V ĩ ' ) k u ĩ \ k=

Suppose that ZQ € Pa{B ) Then for ỊA — ÀoI suf5đent.]y small, by setting

U(A) = (Xn+lA - Uo = U(Ao) = (Aq+1j4

-i = J =

Z7

we have

X

U - l = J ( l - U õ l U)kUõl

k= 0

r “1 *

oc n n n

= w + -4 - E b) '

fc=0 j = l j = l J =

“1 ^

oo n n 71

k= j = l j = l J =

r -Tì /c

( A Ỉ + - A ” + M - ( A j - A í ) B j

-= Ễ ( A o - A ) * ( ^ ( A ) ) * t / ,

fc=o

j = l

Ti

j = l

w h e r e <^(À) i s a n a i y t i c í u n c t i o n , a n d t h u s it is b o u n d e d a r o u n d Ào N o w w e c a n e a s i l v s e e t h a t

T - k - l

U - \A) - U ~ HAo) = f > 0 - X)k {í p{\ ))hU{ k=l

= (X0 - X ) f ^ ( \ ũ - X ỹ ị Ịp ( X ) ỹ + í L J = 0

Since V?(A) is b o u n d e d in {|A - A0 | < e} w i t h s m a l l 6, t h e s e r i e s

r - j -

is absolutely and u n ifo rm ly convergent in {|A - A0| < e\ for suíEciently small Ễ Finally if x ' is any bounded functional on X

On the a s y m p to tic b e h a v io r o f so lu tio n s of 33

A o ) ) oc

= - J > „ - A y I - t ỉ ; { y l y - - u ^ -

j=0

( A - Ao)

By the absolute and un iíorm convergence of (14) we have

•%

( í _ A = - £ Um (A° - \ y x ' ( ( < p ( \ ) y +1u 0- j - 2)

j = ~ * A °

lim - x ' ( U - \ \ 0))

A—+ Ao

= x *(^ (A0)C/0- 2)

This shows th a t for each bounded functional I * the complex function x ' { U 1(A)) is h o lo

morphic on p a { B ) B v the well known facts on vector-valued analvtic íunctions this

implies in particular the a n a ly tic ity o f Ỉ7_1(A) as a vector-valued function of X on Pa ( B )

To proceeứ we denote

1

- : = { A e c :/3 ( ( A r + 4o - ( 5)

k = — r

Theorem 2.8 Let A c r be closed and let Ao and C j , j - - r , ■ • ■,0 be bounded ỉinear operators OD X deãned as in (9) Assume furth er thãt ỈOT every ỉ € A (X ) Eq (1) has a

Uũique b o u n d e d s o l u t i o n X f € A (X ) T h e n , n A = ProoỊ.

Take A € A c r Consider the s e q u e n c e f n = Anx X Ỷ , € X Then / =

1jn}n£Z € A ( X Ì a n d cr ( f ) c A) W e a r e g o i n g t o s h o w t h a t t h e r e e x i s t s a u n i a u e s o l u t i o n

to Eq (1) of the form

( X f ) n = A n y , ( ;

for c e r t a i n y € X I n f a c t , s u p p o s e t h a t Xf is a s o l u t i o n t o E q ( ) T h e n

A 0x (n + 1) = c kx { n + k)-T Ị j n ) , Vn 6 z. k— — r

Denoting bv Ao, Ck the operators of m ultiplication by Ao, C'K on A (X ) respectively

we ve

( , o S - c *s (k ))x ỉ = /■

k= — r Thus

X f = { AqS - CkS( k) ) ~l f (17)

k = — r

34 N gu yen Van M inh, N guyen 'víinh M an G : A(X) —» A(X), f <— » Xf commutes with the translation operator s In fact suppose that / = ịJ(n)}n€Z € A(X) By cheddng dừectlv we can see that S x j is a solution to Eq (1) with the ĩorcing term / By the assumption on the uniqueness and by the deồnition of G we have G ( S f ) = S x ị = S( Gf ) i.e., G and s comiDutes Now letting / = Ani we have

(GS(Ầmx))(n) = (S(G /))(n) (GẰm^ x ) ( n ) = (Sxf )(n)

( Ằ G Ằ m x ) ( n ) = S ( x y ) ( n )

Ằ ( G / ) ( n ) = ( i f ) ( n + 1) = ( x / ) ( n + 1).

H e n c e , X j = { X f ( n ) } n€z is o f t h e f o r m X f ( n + 1) = Àx ị{tì) Vrj € z C o n s e q u e n t l y Xf ( n) = XnXf ( 0) S e t

, y : = i / (0) (18)

Then 2/ € X, and thus, x /( n ) = An.y Vn € z This implies (16).

Next we consider the operator T : X X t— > y € X, where y is dìned by (18).

T : XI-* f = { Xnx } n€z — > Xf — + X f {0) = y. (19)

This shows th a t the map taking X int.0y is a bounded linear operator Moreover it is

e a s i l y c h e c k e d t h a t T : X < - ì y i s t h e c o n t i n u o u s i n v e r s e o f ( A r + v o — ì - T ~ k C k ) , s o

\ ệ E ] Tìús shows that n A = 0.

Theorem 2.9 Le ĩ X be a bounded solution oỉ Eq (1) Then,

ơ ( ỉ ) = E r , i U f f ( / ) , ( )

wiere Ep 1 := r n ĩ i

Proof First by deSiúíion we have

S x ( z ) = x ( c ) = z i ( z ) - X , y x € / oc( X) , < 12j #

B v i n d u c t i o n , *

S( n) i ( z - ) = S ( n ) x ( z ) = - {zn ~ : - z " - - • • • + l ) x , Vn = 1, 2, • ■ ■

For n e g a ú v e i n t e g e r s fc, b v The a b o v e c o m p u t a t i o n we c a n shov/ t h a t

Re-write (1) in the íorm

On the a sym p to tic behavior o f solutions of 35

( 2 )

Taking the Carleman transíorm of both sides of the-above equality, íor \z\ > 1 by (21) we

have ^

,4 o ' S x ( ) = Aq z.x{z) — Aqx

oc

= ^ z - n~l S(n)(AoSx)

n=0

oc

= Ct S(k))x + f )

Ti= h = — r

oc oo

= z~n~1 S (n)(( CkS(k))x) + £ z - n~í S (n )f

71=0 k = — r n =

0 oc

= ( £ ^ ( f c ) ) ^ z - n- 15(n)x + /(z )

k = — r n =

0

= ( Ck S { k ) ) x ( z ) + f ( z )

fc= —r

Hence.

Ị^4o~ - i( c ) = X 0x - /*(z).

Similarly for \z\ < 1 we get (23) Now, bv (21) we have

Ị a > ; - £ CkS(k)^j x(z) = ^ )2 - Y , Ck=k^j ±{z) — ộ(z),

vhere ộ(z) is analytic in {0 < |z|} Hence we have

36 N gu yên Van M inh N gu y en M inh M an

I f ZQ € (r\Er i ) n ( C \ a ( • / ) ) , fo r z n e a r ZQ w e h a v e

i ( z ) = Ị a > z " +1 - £ c » z " + t ì z ”<Ịi(z) + z ỹ ( z )

By Proposĩtion 2.7 ịA o z n'hl — Y fk = -r C-kZnJrk^j is analytic in a neighborhood of ZQ. On

■the other hand, near Z ũ € (c \ ( f ) ) f ( z ) has an analytic extension to a neighborhood

o f Z Q T h i s s h o w s t h a t x { z ) h a s a n n a l y t i c e x t e n s i o n t o a n e i g h b o r h o o d o f Z ũ - H e n c e ,

2c Ệ o-{x) Finally, this yields that C\x) c E i u cr(f).

We are going to prove a Massera tvpe theorếm for the neutral delay diíĩerence ecuation (1).

Theorem 2.10 Let Ep 1w / ) n ơ(J) — 0 and let X be a bounded solution oỉ Eq (1)

Then, there exists a bouuded solution' w to Eq (1) such that u{w) c cr[f ).

Prooj. B y d e ô n i t i o n , E r i \ ( / ) n ( / ) = S e t A : = E r.1 u ữ { f ) A] : = Z r , i \ c r ( f ) a n d Ả2 : = ơ ( f ) T h e n , a s in t h e p r o o f o f [23 T h e o r e m j n a i m i n m j v h a m we c a n shcrR' i n a t t b e r e is a s p l i t t i n g A ( X ) = A j ( X ) e A ( X) , a n d t h e p r o j e c t i o n p : A ( X ) — A (X) c ọ m m u t e s w i t h t r a n s l a t i o n o p e r a t o r a n d m u l t i p l i c a t i o n o p e r a t o r s H e n c e b v (22) we have

P A o S x = A P X = p ^ C k S { k ) j X — P f = ^ ] T C * S ( Ả - ) j P t - P f

Obviously w := P x is a bounded solution of Eq (1) satisíying ơ(ĩ v) c ơ( f )

C o ro lla ry 2.11 Let a.11 assumptions oỉ the above theorem be saầsẼed Moreover as-

suine that f is ahnost periodic ( f ) is countable, and X does n o i coDtain any subspace isomorphùc to Co- Then, i ỉ there is a bounded solutioũ to Eq (1), then there is an almost

periodic solution to th is equaúũD as welỉ.

Proof. As s h o w n in t h e a b o v e t h e o r e m if t h e r e is b o u n d e d s o l u t i o n X TO E q (1) t h e r e is a b o u n d e d s o l u t i u u XV s u c h t h a t ơ( w) c ữ ( f ) U n d e r t h e a d d i t i o n a l c o n d i t i o n s o f t h e corollarv w is a l m o s t p e r i o d i c a c c o r d i n g t o [23 T h e o r e m 5.3]

3 D i s c u s s i o n s *

I n p a r t i c u l a r if d i m X < CX3 t h e n X d o e s n o t c o n t a i n a n v s u b s p a c e s i s o m o r p h i c t o Co- Ir t h i s fi ni te d i m e n s i o n a l ca5e t h e n o n i n v e r t i b i l i t y of t h e m a t r i x ( y ~ Ả ũ ~ Y l l = - T ^ r ~ kCr.) Í5 e q u i v a l e n t t.0 d e t ( A r + 4o - '{T~ kCk) = I f we a s s u m e a í u r t h e r c o n d i t i o n on t h e

On the asymptotic behavior of solutions of Reíerences

1 Aizicovici s Pavel N Anti-periodic solutions co a class of nor.iir.ea: diTĨe:-'"

e q u a t i o n s in H i l b e r t s p a c e J Funct Anal. 9 ( 9 ) no -

2 w A r e n d c c J K B a t t y , A l m o s t p e r i o d i c S o lu t i o n s o í r.rst a n d s e c o n o d e r C a u c h y p r o b l e m s J Diff Eq. ( 9 ) , N'.2, 363-383

3 B A u l b a c h N g u y e n V a n M i n h , T h e conoeDC o f s p e c t r a l d i c h o t o r r v for difterer ce e q u a t i o n s II .Journal o f Difference Equations and Applications 1996 > N’ '251- 262

4 B B a s i t H a r m o n i c a n a l y s i s a n d a s v m p t o c i c b e h a v i o r o f s o l u ĩ i o n s t o che a b s t r a c : C a u c h y p r o b le r rụ Sem igroup Forum ( 9 ) , 58-74

•5 B B a s i t A J P r v d e E r g o d i c i c y a n d d i ff e r en c es o f f unctior or s emi °T0u ? s J Austral Math Soc (Ser-J.es A ) ( 9 ) , 253-265

6 T B u r t o n Stability and P en o d ic Solutions of Ordinary and Funczioncl Differential Equations, A c a d e m i c P r e s s O r l a n d o , F l o r i d a 1985

7 C J K B a t t y , w H u t t e r F R b i g e r , Almo.st periodicity o f mild soluiions o f inho- mogeneous periodic Cauchy pToblems. T ũ b i n g e r B e r i c h t e 1998

8 S N C h o w .J.K Ha le S t r o n g l y l i m i t - c o m p a c t m a o s Funkc Ekvcc. 1974 31-38

9 D D a n e r s P K M e d i n a Abstract Evolution Equations Per^.ũdic Pmòiem.3 ar.d Applications, P i t m a n R e s e a r c h N o t e s in M a c h Ser v o l u m e 279 L o n g m a n N e -*' Y o r k 1992

10 A M F i n k A l m o s t P e r i o d i c D i í ĩ e r e n t i a l E q u a t i o n s Lecture N oies in \fath., 7 S p r i n g e r , B e r l i n - N e w Y o r k 1974

11 T Furumochi, T Naito Nguven Van Minh Bour.dedness and Alrr.os: Periodicicv

of Solutions of Partial Functional Differential Equaúons Joum cl of Differeni:ai

Equationỏ 180(2002), 125-152.

12 J.R.Graef E Thandapani Oscillatorv and” Asyrnptocic Behavior o i Solutions of

T h i r d O r d e r D e l a v D i í ĩ e r e n c e E a u a c i o n s , Fv.nkcia.la.] Ekvaciũ] ^ 91 N l 35-S— 369

13 J K H a ie T heory o f F unctional D ifferential Equãtions, S p r i n ^ e i - V s r l a g , N e w Yo rk - B e r l i n 1977

14 D H e n r v G e o m e t r i c T h e o r y o f S e m i l i n e a r P a r a b o l i c E a u a t i o n s r ẹciure N otes in Math., S p r i n g e r - V e r l a g , B e r l i n - N e w Yo r k, 1981

15 Y Katznelson, An Introduction to Harmomc Ảnalysis Dover Publicacions, New

Y o r k , 1968

16 B.M Levitan v v Zhikov, Almost Periodic ĩunctions and Differential Equations

Moscow Univ Publ -House 1973 Engiish transiation by Carr.òridge University Press 1982.

17 Y Li z Lún and z Li, A Massera nype criterion for linear mncĩional điíĩerential

equations with advanced and delay, J Math AppL, 200 (1996) 715-725.

38 N g u y e n Van M in h , N g u y e n M in h M an

19 s Murakami, T Naito, N v Minh, Evolution semigroups and sums of commuting

operators: a new approach to the admissibility theory of function spaces, J Diff

Eq 164(2000), 240-285.

20 T Naito, Nguyên Van Minh, Evolution semigroups and spectral criteria for almost

periodic solutions of periodic evolution equations, J Diff Eq 152(1999), 35S-376.

21 T N a i t o , N g u y e n V a n M i n h , R M i y a z a k i , J s S h i n , A d e c o m p o s i t i o n t h e o r e m for b o u n d e d s o l u t i o n s a n d t h e e x i s t e n c e o f p e r i o d i c s o l u t i o n s t o p e r i o d i c d i S e r e n t i a l e q u a t i o n s , J Diff Eq., ( 0 ) 263-282

22 T Naito Nguyen Van Minh J s Shin New spectral criteria for Plmost periodic

solutions of evolution equaúons, Studia Math.ema.tica 145(2001), 9‘ i l l

23 T N a i t o , N v M i a h , R M i y a z a k i , Y H a m a y a B o u n d e d n e s s a n d A l m o s t P e r i o d i c i t v in D y n a m i c a l S y s t e m s , J o u m a l o f Difference Equations and Applications í 20011 507- 527

24 M N a k a o E x i s t e n c e o f a n a n t i ^ ọ e r i o d i c s o l u t i o n for t h e q u a s i l i n e a r w a v e e q u a t i o n w i t h viscosi tv J Math Anal Appl. ( 9 ) no 754-7Ô4

25 A P a z y , S e m r g r o u p s o f L i n e a r O p e r a t o r s a n d A p p l i c a t i o n s ro P a r t i a l Di f f e r en : i al E q u a t i o n s Applied Math Sci 44: S p r i g e r - V e r l a g B er l i r - Ne ^ ' Y o r k 1983

26 J P r ũ s s , Evolutionary Integral Equations and Applications. i r k h ẳ u s e r B as e ỉ 1993 27 P h i T v A n h O n ; -ì s p e c t r a l c o n d i t i o n s for t h e e x i s t e r ee 0? a l m o s t p e r i o d i c Solu­

t i o n s t o i m p l i c i t d i í ĩ e r e n c e e q u a t i o n s , M aster Thesis, H a n o i U n i v e r s i t y o f Science

2001

?5 w R u d i n Functional Analysis, S e c o n d e d i t i o n , M c G r a w - H i l l Inc N e w Y o r k 1991 ' J s S h m T N a i t o , S e m i - F r e d h o l m o p e r a t o r s a n d De r i odic s o l u t i o n s for l i n e a r func-

t i o n a l d i í ĩ e r e n t i a ! e q u a t i o n s J Diff Eq. Í 9 ) , 407-441

30 Q p Vu, S t a b i l i t y a n d a l m o s t p e r i o d i c i t v o f t r a j e c t o r i e s o f p e r i o d i c p ro c e s s es J Diff Eq. 1 ( 9 ) , 402-415

31 P.J.Y Wong, R p A garw aỊ Nonoscillatory Solutions of F’-Lnctìonal Diíterence

Equa-tions Involving Quasi-Diẩerences Funkcialaj Ekvacioj 42(1999), 389-412.

32 s Zhang, Stabilitv of neutrad delay diíĩerence svstems Computers & Mathematics

I N T E R N A T I O N A L J O U R N A L O F E V O L Ư T IO N EQ Ư A TI Ỏ N S Volume 1, N u m b e r x x x x 20 05

w ww n o va pu bl is h ers co m /jo ur na ls /ev ol ut io n eq u at io n s.h tm l pp x x - x x

O N T H E A S Y M P T O T IC EQ Ư IVALEN CE OF SO L U T IO N S OF T H E L IN E A R E V O LƯ TIO N E Q U A T IO N S

D A N G D IN H C H A U A N D K IE Ư T H Ư LIN H

Ab s t r a c t In th is a rtic le w e s tu d y c o n d itio n s o n t h e a s y m p t o tic e q u iv a le n c e o f lin e a r e v o lu tio n e q u a tio n s in B a n a c h sp ac e s B esid es, vve d is c u s s t h e a sy m p - to t i c re la tio n s h ip betvveen Co s e m ig o u p s a n d s tro n g ly c o n tin u o s e v o lu tio n a rv p ro c e ss

1 I n t r o d u c t i o n We co n sid er th e following lin ear ev o lu tio n e q u a tio n s

d x ( t ) .

- ^ = A x ( t ) , t > 0, (1.1)

a n d

= C ( t ) y ( t ) t > , (1.2)

at

w h ere x ( t ) , y ( t ) € X , X is a com plex B an ach space, A , C ( t ) are lin ear o p e to rs a c tin g o n X for each t > n d e r su ita b le c o n d itio n s, E q ( l l ) a n d E q (1 ) are well p o sed (see [1], [4], [7])

W e recall t h a t E q ( l l ) a n d E q (1 ) a re said to be a sy m p to tic a lly eq u iv alen t if th e re e x is ts a b ije c tio n b e tw e e n th e set of so lu tio n s of E q ( l l ) an d th e one of E q.(1.2) su ch th a t

lim ||x (í) - y ( t )II = (1.3)

t—fOo

A n in te re s tin g p ro p le m in stu d y in g th e q u a lita tiv e th e o ry of so lu tio n s to differential e q u a tio n s is to find concỉitions such th a t E q ( l l ) a n d E q (1 ) are a sy m p to tic a lly e q u iv a le n t T h e íìrst re s u lts o f th is p ro b lem w ere given by N L evinson in 1946 (see [5] ) T h e n , th e se re s u lts have been developed in m a n y w ays by m a n y a u th o rs (see [2], [3], [6], [8], [10]) In th is p a p e r we s tu d y th e a sy m p to tic equivalence of lin e a r e v o lu tio n e q u a tio n s in B a n ach spaces T h e o b ta in e d re s u lts a re ex te n sio n of L ev in so n s re s u lts to th e case of g en eral B an ach spaces

In case X = H is a H ilb e rt sp ace an d A e L ( H ) has a tria n g le form (see [2], p.9), th e su íĩìcien t c o n d itio n s for E q ( l l ) a n d E q (1 ) to be a sy m p to tic a lly eq u iv alen t ca n be re p la c e d by w eaker co n d itio n s M oreover, th e m e th o d s used in p ro o f of th e re s u lts o b ta in n e d in th is p a r t ( p a r t 3) can be a p p lie d to th e s tu d y of th e a sy m p to tic b e h a v io r o f so lu tio n s to d iíĩe re n tia l e q u a tio n s in in fin ite d im en sio n al sp aces ,th a n k s to th is m e th o d , in m a n y ca se, we can rep lace th e s tu d y o f th e a sy m p to tic b eh av io r o f s o lu tio n s o f in fin ite sy ste m s o f differential e q u a tio n s by t h a t o f finite sy ste m s of d iffe re n tia l e q u a tio n s

T h e a u t h o r s a re g r a te íu l t o th e re íe re e ÍOI c a re íu lly re a d in g th e p a p e r a n d s u g g e s tio n s to im p ro v e t h e p r e s e n ta tio n

2 D A N G D I N H C H A U A N D K I E Ư T H Ư L I N H

2 T h e a s y m p t o t ic e q u iv a le n c e o f s tr o n g ly c o n tin o u s e v o lu tio n a r y p r o c e sse s.

T h ro u g h o u t th is p a p e r, we consider th e E q ( l l ) a n d E q (1 ), w here C ( t ) =

A + B ( t ) , A L ( X ) , B ( ) : (0, + o o ) —> L ( X ) satisfy

\ \ B(t)\\cIt < 00 (2.1)

A ssu m e t h a t ('T ( t ) ) t € R is a Co g ro u p g e n e te d by A C o rre s p o n d in g ly to E q (1 ) we u su a lly c o n sid er th e follow ing in te rg l e q u a tio n

y(t) = T ( t - s)y(s) + T ( t - s ) B { s ) y { s ) ds , t > s (2.2)

W e c a n easily show t h a t th e so lu tio n of E q (2 ) can be w ritte n in th e form

y ( t ) = Y ( t , s)yo (s < t < oc), x ( s ) = x 0,

w h ere ( Y ( t , s) )t >s is a fam ily of o p e to rs satisfy in g e q u a tio n

Y ( t , s) = T ( t - s ) + J T ( t - t) B (t) Y (t, s ) d r , t > s (2.3) { ( t , s))t>s is called stro n g ly c o n tin u o u s e v o lu tio n a ry process, w hich has th e

fol-low ing four p ro p e rtie s: ư(t , t ) = / , for all t >

2 ( t , s)ư(s,t) = U ( t , r ) , for all t > s > T > 0

3 T h e m a p (í, 5) ư ( t , s ) x is tin u o s for every fĩx X G X

4 \ \ u (í, 5) II < N e ^ ~ a\ for som e p ossitive c o n s ta n ts N, UJ in d e p e n d e n t of t >

5 > 0

( T ( t ) ) t>0a n d ( ( t , s ) )t> s dre said to be a s y m p to tic a lỉy e q u iv a le n t l Ị Ị o r a ll Xo X

there exists yo X , s uch that

lim \\T(t - s ) x - ( t , s ) y 0\\ = (2.4)

t—>00

Ị o r each f í x s R an d conversely.

benddef i ni t i on To prove the ỷírts theorem, we Tieed the f ol lowi ng l e mm a s I f ( T ( t ) ) t> 0 is a bounded u ni Ị or ml y Co semi group generat ed by A , then

1 Th e Ca u c h y probl em related to Eq (2.2) has a unique sol uti on 2 There exists a c o ns t ant K > 0 s uch that

||Y ( f , s ) || < I < y t > s (2.5) L e m m a ProoỊ F o r th e p ro o f th e re a d e r c a n see [1] [4] □

bLet (T ( t ) ) t € R be a Co group generated by A I Ị there exist a projection p : X —> X a n d possiti ve cons t ant s s uch that:

\\PT(t)\\ < M e - ^ y t > (2.6)

II( / — P ) T ( t ) \ \ < ụ., Ví € R (2.7)

t h e n , the operat or F : X —> X defined by

F x = ỈS bounded (ind wc have

: A —> A aeỵinea oy

00

; = / ( / - P ) T ( s - t ) B ( t ) ( t , s ) x d r , X e X

$

ave

ON T H E A S Y M P T O T I C E Q Ư IV A L EN C E O F SOL UT IO N S O F T H E L IN EA R E Y O L U T IO N EQU ATI ON S L e m m a 2 ProoỊ P u t

U{t) = P T ( t ) , V ( t ) = ( I - P ) T { t ) ,

we g e t

T ( t ) = U{t ) + V ( t )

B y (2.1), for an y a < we can find a n u m b e r A > su ch th a t

í \\B{T)\\dT < —p y s > A >

Js ụ-K

L e m m a 2.2 im plies t h a t

\\F\\ /

oo

| | y ( s - r ) | Ị | | B ( r ) | | | | y ( r , s ) | | d r

< ị i K I \\B(t)\\cLt < a < ,Vs > A > 0.

T h e L em m a 2.3 is proved □

F ro m L e m m a 2.3 we can a rriv e a t

òAs s ume that T(t ) t £R IS a Co group sastisfỉng conditions (2.6) and (2.7) of the L e m m a Then, ( T ( t ) ) t> 0 and ( Y ( t , s ) ) t > s o,re as ympt ot ical l y equivalent.

T h e o r e m ProoỊ L et Q x = ( / + F ) x , x X .By L em m a 2.3 we g e t ||F || < T h e re ío re , th e o p e to r Q : X —> X is invertible Sine ( t ) — P T ( t ) % V ( t ) =

( / — P ) T ( í ) we have

T ( t - s ) V ( s - t) = T ( t - s ) ( I - P ) T ( s - t)

= T ( t - t) - P T ( t - t) = T ( t - t) - ( t - t) = V ( t - T).

A ssu m e t h a t y { t ) is a so lu tio n of E q (2 ), for each sufficiently larg e s > y ( s ) € X we s e t x ( s ) = Q y (s ), th e n we have

oc

x{s) = Qy( s) = y(s) + Ị V{ s - t) B (t) Y (t s)ij(s)dr.

s

\ > 5, we h a ve

H ence, for all t > 5, we have x { t ) = T ( t - s ) x ( s )

oo

= T ự - s ) y { s ) + T ( t - s) Ị V { s - t ) B ( t ) Y ( t , s ) y ( s ) d r

$

oo

= T ( t - s ) y { s ) + Ị V ( t - T ) B ( T ) Y ( T s ) y ( s ) dT

s

C o n s e q u e n tly

oo í

||y(í) — a:(É)|| = II — y V{t - t ) B ( t ) Y ( t , s)y(s)dT + J T(t - t ) B ( t ) Y ( t s ) y ị s ) d r ị

4 D A N G D I N H C H A Ư A N D K I E Ư T H Ư L I N H T h e re íị re ,

í oo

\\y(t) - x(t)\ị < M K \ \ y ( s ) \ \ Ị e - ^ - ^ \ \ B { T ) \ \ d r + ^ K \ \ y ( s ) \ \ J \\B(r)\\dT

s t

t oo

< M x Ị e - “' (í- T)||B ( r ) ||d r + M y ||B ( r ) ||d í Ví > s,

s t

w h ere M ị = M K \ \ y ( s ) \ \ , M2 = ụ,K\\y(s)\\ O n th e o th e r h a n d , for ev ery p ositive

n u m b e r £ > 0, th e r e e x ists a su íĩìcien tly larg e n u m b e r t w ith t > 2s su ch t h a t th e follow ing in e q u a litie s a re valid

ử 00

I e - “ ^ ị \ B ( T ) \ \ d T < e ~ * I \ \ B ( T ) \ \ d T <

s t

t

Ị \\ B(r)\ \dr

I 1

00

Ị \ \ B ( r ) \ \ d T t

ị t

||y(t)-a :(t)ll I e - ^ - ^ \ \ B ( r ) \ \ d T + I ||B (r)||d r) +

s L

2

00

+ M J \\B (T )\\d T < - + - + - = £

t

T h is m e a n s t h a t

lim IIy ( t ) - x ( í) || = 0.

t—>00

By th e u n iq u e n e ss o f so lu tio n s of E q (1.1) a n d E q (1 ), th e m a p Q is a b ijectio n b e tw e e n tw o se t o f s o lu tio n s of E q ( l l ) an d E q (1 ) T h e th e o re m is p roved □ In th e B a n a c h sp a c e /oc of b o u n d e d sequences we c o n sid er lin e a r d iíĩe re n tia l equa- tio n s

Í T < -.

3 M 2 H ence,

d t

dy(t)

= A x ( t ) , (2.8)

dt

ON T H E A S Y M P T O T I C EQƯ IV A L EN C E O F SO L U T IO N S O F T H E L IN EA R EV O L Ư T IO N EQƯA TIO NS

An =

í

-1 1

-1

ô Ị

TI n

\ 0 - / B(t) is a linear o p era to r on X and satisíies:

\ \ B (t)\\<ì t < 0 (2.10) Assum e th a t (T ( t ) ) t e R is a Co group generated by A and (Y ( t , s ) t > s is the strongly continuous evolutionary process generated by A + B(t). We show easily th a t, for

n € N,

T(t) = diag(Ti,T2, , r n , ), where

(cosị s i n ị e *\

- s i n ị cosị Ị

0 e " T herefore, we can w rite T(t) as follows:

T(t) = ư(t) + V{t) = diag(Ui(t),Ư2(t), ,ưn(t), ) + dmg(Vi(t),V2(t), ,vn(t), )

where

/ 0 e_í \

c/n = 0 ,

\0 c“7 / cos^ smệ 0\

= - s i n ị cosệ

V 0 0/

T his shows th a t ||C/(í)|| ^ e _ í) Vf > and IIV(í)II < < +OC, Ví € M Hence

(T(t))t>0 satisồ n g th e conditions of the Theorem 2.4 T his follows th a t (T,( í))t>0

an d ( y ( í , s ) ) í>5 are a s y m p to tic a lly equivalent

We S ta te b e lo w s o m e versions o f Theorem 2.4 in p a r t i c u l a r c a s e s

Let (T(t))t> be a immediately compact, uniỊormly bounded Co semigroup Then, (T(t))t> ãnd (Y(t,s)t>s are asymptotically equivalent.

ProoỊ. Since (T(t))t> is a im m ediately com pact uniform ly bounded Co sem igroup we deduce th a t sp e ctral set ơ{T( 1)) is countable and ơ(T( 1)) c {A € c : |A| < 1} T hereíore, we have ơ(T( 1)) = ơ\ Uơ2 where ơ\ c {A c : IA| < 1}.Ơ2 c {A c : |À| = 1} Let p is a projection defined as follows

where is a contour enclosing ơ\ and disjoint from Ơ2- It is easy to see th a t the conditions (2.6), (2.7) in Lem m a 2.3 are satisíied T hereíore, the Corollary is

D AN G DINH CHAU AND KIEƯ THƯ LINH

By C orollary 2.5, in particu lar, we o btain Levinson’s theorem (see [5]) If X = Rn and ( T ( t ) ) t >0 is a bounded Co semigroup on R n , then (T (t )) t > and (Y (t ,s )t > s CLre asymptotically equivalent.

3 T h e a sy m p to tic eq u ivalen ce o f lin ear d iffere n tia l eq u atio n s in H ilb ert s p a c e We now consider th e asym ptotic equivalence of solutions of diíĩerential equations in case X = H, where H is a H ilbert space We will establish another sufficient conditions for th e asym ptotic equivalence of a class of triangle differential equations (see [2], p.9), for which the assum ptions (2.6), (2.7) can be replaced by weaker conditions

oo L et { e ị} be a norm alized orthogonal basis of H ilbert space H and X = ^2 xĩel

1 =

elem ent of H. T hen, we defỉne projections Pn : H H, n > 1, as follows: n

pnx = Ỵ ' x lel.

1 =

be a family of projections on H. We denote Hn = lmPn. Suppose th a t J =

{ n i , n 2, , r i j , } is a strictly increasing sequence of n atu l num bers (rij —¥ oc as j -> +oo)

We now consider th e following linear differential equations

^ p - = Ax(t), (3.1)

dt

^ = [A + B(t)\y(t), (3.2)

w here A C(H) , B(t) G t [0, oo) and oo

Ị \\B(T)\\dT < 0 (3.3)

0

In th e following theorem we assume th a t, the right hands of Eq.(3.1) and Eq.(3.2)

h a v e a t r ia n g l e fo rm ; t h a t is,

(A — PmA)Pmx = 0, (3-4)

(B(t ) - PmB(t))Pmx = 0, (3.5)

Vra G J, Vx H.

Recall, th a t (T(t))teR is a Co group generated by A(in Eq (3.1)), (Y(t,s))t>s is stro n g ly continuous evolutionary process generated by A + B(t)(in E q (3.2)) we have following

.5 0is a uniỊormỉy boundedCo semigroup, then (T(t))t> 0a.nd ị Y( t s)t>s

are asymptotically equivalent.

T h e o r e m ProoỊ. For each m e J we denote by ( X m{t))t> a Co sem igroup gen erated by APm , and by (Ym{t,s))t>s a strongly continous evolutionary process g enerated by (A + B(t))Pm. By the assum ption, (T(t))t> is uniform ly bounded, we se th a t (Xm(t))t> 0 is a im m ediately com pact,bounded Co sem igroup in Hm

By the C orollary 2.6, we show th a t, there exist a projection n m : Hm -> Hm and possitive co n stan ts a m ,ò m,c m such th a t

||( / m - n m) x m(í)|| < c m, v t e R , (3.7) ON T H E A S Y M P T O T I C E Q Ư IV A L EN C E O F SO L U T IO N S O F T H E L IN EA R EV O L Ư T IO N EQƯA TIO NS

for all m J Let

oo

J ( I m - n m)X m( í) B ( r ) y m(í, r)dr. (3.8)

Using L em m a 2.3 we show th a t there exists a positive num ber A = A (a ) (indepen- dent of ra) such th a t

■ m II _< a < 1, Vs > A Vra J.

We now prove th a t {Fm} is converging sequence of o perators as m —> oc.Indead, by (3.4) and (3.5) we o btain th a t for all m ,p G J :

x m+p(t - s)Pmt = Xm{t - s)Pm£, v<£ e H,

y m+ p (£ ,s)p m£ = y m(í,5 )P m^ , v í // Hence,

Fm+Pp m( = FmPmị ^ e H.

T h e convergence of {F,n} is followed from the following estim ate

| | F m + p - F m \\ = \\F m + p P m + p - F m P m II

= II F m + p ( P m + p - p m ) + {F rn + P - F m ) P m \\

= \\Fm+p(Pm+p - pm)||

< ||Fm+p||||Pm+p -

Pmll-for all m ,p J. Since the sequence { /\n } is convergent and the sequence {F,n}

is uniform ly bounded, we have th a t {F„j} is a convergent sequence Let QmX = ( / + F m) x , x i / m We now put:

F = lim Fm and Q = lim Qrn.

m —>00 m —>00

then, Q = I + F. Since ||F m|| < Oí < 1, Vra J Vs > A, we have

||F|| < a < 1, Vs > A

By th e invertibility of Q \ H -ỳ H and uniqueness of solutions of Eq.(3.1) and Eq.(3.2) we deduce th a t th e m ap Q is also a bijection between two sets of solutions

{x(t)} oĩ E q.(3.1) and {y(t)} of Eq.(3.2) P u t y0 = Q~ìx0 and consider xịt) = T(t - s)x0 and y(t) = Y(t,s)y0. T hen we have

lim PmVo = yo, lim Qmy0 = Qyo = x0.

m — K X > m — * o c

D enot x(t ;s, x0) = T(t - s)x 0, y(t;s,y0) = Y ( t s ) y 0. We can deduce th a t for any

£ > a r b itra ry given there exists 777] J sufficiently large such th a t for all m > m l

we ve

||y(í: s, t/o) - y ( t s , p my0)\\ <

8 D AN G DINH CHAƯ AND KIEU TH Ư LINH

O n th e o th e r hand, Theorem 2.4 implies ( Xm( t ) ) t> and s))t> s are

asymp-to ti c a l l y e q u iv a le n t.T h e r e íị r e , th e r e e x is ts To € (s , oo) s u c h t h a t for a ll t > T0 we

have

\\x(u 5,QimVo) y(t;stPmiyQ)\\ ^ 2’ thus,

||y(í; s, y0) - x{t\ s, x 0)|| < IIy(t; s y0) - y(f; s, P m, Ị/o)|| +

+ ||y (í,s ,P miyo) -

+ IIx(t;s.Qmiyo) - A-(í;s,j:0)||

- + + = £ ’ V í ^ T° ^ s ’

for each suíĩiciently large > This implies th a t lim ||z(t;s,x0) - y(í;s, yo)|| =

t — * O G

It m eans (T (£))t>0 and Y(t,s)t>9 are asym ptotically equivalent and the theorem is proved

□

By th e sam e m ethods as used in proof of Theorem 3.1, we obtain the following corol- lary Assume that A G L(H) is a compact self-adjoint operator and (T(t))t> 0 is a bounded u n iỊo rm ly Co Semigroup then ( T (t )) t >0 and Y (t ,s )t > s are asymptotically equivalent.

R E F E R E N C E S

[1] W A r e n d t, R N a g e l, S p in g e r V erlag, O n c -p a r a m e tte r S e m iy r o o p s o f p o sitiv e O p era to rs 2001 [2] D a n g D in h C h a u , O n th e a s y m p o tic eq u ivelen ce o f lin e a r d iffir e n tia l e q u a tio n s in H ilbert

sp a ces, V ie tn a m n a tio n a l U n iv e rsty , H an o i, J o u r n a l o f S cien ce M a th -P h y s.(2 0 ),.V o ,

8-17

[3] J K at.o , T h e a syrrip to tic e q u iva len ce o f Ịu n c tio n a l o f d iffe r e n tia l e q u a tio n s, D iff Eq (1 9 ), 6-332

[4] X G K r e in ,L in e a r e q u a tio n d iffe r e n tia l in B a n a c h space, " N a y k a " Mosscovv, 1967. [5] N L e v in so n , T h e a s y m p to ti c b e h a vio r o f s y s te m s o f lin e a r d iffe r e n ta l eq u a tio n s

A m e r J M a t h , ( 1946),1-6

[6] J M ik lo , A s y m p t o t i c re la tio n sh ip betiveen s o lu tio n o f tw o lin e a r d iffir e n tia l s y s te m s B tis la v a M a t h e m a t i c a B o h e m ic a (1 9 ), 163-175

[7] T N a ito ,N g u v e n V an M in h a n d J s S h in , N e w S e c tra l C n t e n a Ị o r A lm o s t p e n o d ic

S o u tio n s o f E v o lu tio n E q u a tio n s S tu d ia M a th e m a tic a (2 0 ),9 -1 1

[8] N g u y e n T h e H o a n , S o m e a s y m p to tic b eh a vio rs o f s o lu tio n s to T io n -lin ea r s y s te m o f d iffe r-

e n ttia l e q u a tio n s J D iff.E q (1 ), N o , 385-360 (R u s s ia n ).

[9] A P a z y , S e m ig r o u p s o f L in e a r O p era to rs a n d A p p lic a tio n s to P a r tia l D iffir e n tia l E quatiO ĩis, S p rin g e r-V e rla g , B erlin - N ew Y ork 1983

[10] E v V o sk o re se n sk i, A s y m p to tic equ iva ỉcn ce o f s y s te m s o f d iffe r e n tia l e q u a tio n s ,P ro g re s s o f M a th e m a tic S c ie n c e s ,5 (1 ) ,C ,N o (1 ),(Y M H 1985,T B C 24 -2 ) (R u s s ia n ) De p a r t m e n t o f Ma t h e m a t i c s, Ha n o i ƯN1VERSITY OF Sc i e n c e 3 Ng y e n Tr a i Ha n o i, VlETNAM

E -m ciil a d d r e s s : ch auddQ vnu e d u vn

V Ể s ự T Ư Ơ N G Đ Ư Ơ N G T I Ệ M C Ậ N C Ủ A C Á C P H Ư Ơ N G T R Ì N H VI P H Â N T U Y Ế N T Í N H V Ớ I B IẾ N s ố C H Ậ M

P h m T h ị T ỏ N ga, Đ ặ n g Đ ình C h u Trường Đ H K H T N - Đ H O G Hà N ội

Tóm tát Trong bùi báo chúng tơi s ẽ trình bàv sơ mở rộng cùa dịuli li Lưvinson cho trường hợp phương trình VI phán với biến sổ chậm t r o n g kliôiiỊỊ ỳ u n Banucli.

I Giới thiêu.

Trong khống gian Banach X xét phươna trình vi phàn dana

ở dâv: / : R ~ X X — X;c/ : R _ X X — X thoa mãn các điéu kiện đè các phươns tinh vi phàn (0.1) (0.2) có nghiệm duv toàn cực.

Chúng ta nhắc lại ràng cịng trình [8] đưa khái niệm vé sư tươna đưưna tiệm cận phương trình vi phàn sau: Hai phương trình (0.1) (0.2) 2ỌÍ là tương đương tiệm cận với nshiệm x(t) (0.1) đéư tổn nshièm vít) cua (0.2) sao cho lim \\y(t) — r(í )ịI = nsược lại Việc nshiẽn cứu tính tươnợ đươns tiệm cận cùa phuơns trình vi phàn tốn có V năhĩa quan trọna trons lí thuyết đinh

tính phương trình vi phàn ứng dụng rộng rãi tron2 thưc tiễn Kết qua đáu tiên vé sự tương đương tiệm cặn phưcns trình vi phân N.Levinson cịns bố trons [8] vào nãm 1946 Sau nhiều nhà tốn học khác mớ rơns phát triển theo

Tronơ báo chúng tơi trình bày số kết mớ rộn2 đinh lí Levinson (xem [8]) cho phương trình vi phàn tuyến tính với biến số chàm khỏns aian Banach Đàv vấn đé mang tính thời sự, nhiều người quan tâm Những kết n ơhièn cứu lĩnh vực áp duns irons lí thuyẽt mang nevvron thần kinh mỏ hình trí tuệ nhàn tao (xem [2]).

II K ế t q u c h in h

Tronơ khònơ ơian Banach X xét hai phươn2 trinh vi phàn tuyên tính

(0.1)

(0.2)

t—►+3C

nhiều hướng khác (xem [1] [3], [4] [5], [6] [7] [9] [10] [11])

dx{t)

—— = Ax( t ) ,

dy(t)

= Ay( t ) + ụ Bk{t)y{t + rk) (0.4)

Trong x , y e X; - h < T k < 0, (k = 1,2, t > 0; s Z(X) £;.(.) : ' : - o c ) -+ L(X),(k=l,2, ,q); liên tục, thoả mãn điều kiện

X ( t ) toán tứ Caưchy cùa (0.3).

N ( t , r ) toán tử giải (0.4)

G i ả sứ ọ(t) là h m liê n tục trê n [—/i;0Ị d ự a t h e o p h n p h p c h ứ n e minh [IX ,]

chúng ta dẻ dàng chứng minh kết sau:

Định lý 0.1 V ới hàm liên tục ậ(t.) cho trước, phưcmg trình (0.4) tơn rụi nlt nghiệm xác địnli trẽn [—/?.; -fccj, rliod mãn xị t ) = ọ ( t ) Ạ t € —h: 0j).

Định lý 0.2 Giá sứ diếu kiện (0.5) tho mãn kiìi dó i|.Y(í)| < M thi X i t r ) lừ toán tử giới nội.

1 Sư tương đương tièm cận cùa phương trình vi phàn với bien số chàm

trong không gian R rỉ

Trong phần chúna ta giả thiết X = R n

Bổ đé 0.3 Giả sứ ị|A'(í)ị| < +OC X ( t ) ln có tliẻ viết dạng X í t ) = Ư(t) + V( t ) i|L'(í)ị| < M e~ ut với t > 0,- ||V'(í):| < rn với Ví G R đáy M m.'jj lủ sô dương.

Chừng minh VI theo giả thiết X ( t ) € B C { Í0: — 3c); M n[R)) nèn ta có ’A'(í)ịị < +OC áp dụni7 hệ 2.11 trang 13 [15] ta suy tất 2Ìá trị riẽns cùa thoả mãn R e \ j ( A ) < và ơiá trị riêng Aj có phán thưc khịng đểu giá trị riêng đơn ( tức ỏ Jordan tương ứng với A có cỡ bầna 1), Hơn X ị t ) nứa nhóm liên tục áp dung định lí ánh xạ phổ ta suy ra:

(0.5)

Kí hiệu:

<x2 c {A e c :| A 1= 1} Gọi r chu tuyến đơn bao quanh ơị rfì<72 = Xét phép chiếu :

Dựa vào tính chất nừa nhóm U(t) ta dễ dàng chứng minh ư( t ) < Theo

cách xây dụng phép chiếu p giả thiết tính giới nội cùa X( t ) ta có: R t \ j [ ( ỉ - P) A' = 0 và Xj giá trị riêng đơn Mật khác ta ln có \'{t) = [I - p e:A = et ư~P A từ

đó ta suv ||V'(í)|| < m với Ví £ R bổ đề được chứna m i n h z

Định lý 0.4 Giả sứ ||X(í)Ị| < +oo điều kiện (0.5) tlioá mãn dó hai hệ (0.3) vả (0.4) lù rương dương tiệm cận

Chửng minh. T h e o đ ị n h lí v i m ỏ i h m l i è n t ụ c o ) x c đ i n h t r é n [ - h : ] p h n s

trình (0.4) có duv nghiêm thố mãn:

Mật khác theo bổ để 0.3 ta có: X[ t ) = u ( t ) - V( t ) theo cách xác định cua Ví t ) ta chi V( t — s) = X ( t — tữ)V(tũ — s).

Do V Ớ I t > t0 có

í

y(t) = X( t ) ộ( 0) + ụ / X [ t - s) s Bk(s)>j(s 4- T^.)dđ (t > i (o.ố) h

y(t) = ồ{t )vởi — h < t < 0 Đặt y(to) = yo, với to > nghiệm (0.4) có dạng:

Chọn t0 cho to > m a x ( ịr fc|) = tị. \<k<q

Để ý N ( t , r ) y(t) giới nội Đãt

+ ' ;•) (I ■>

Xo

Khi có

^0 — Vo + ^ Ị V{to — s) ^ Bk[à)y{t

^ Ác=l

/‘-ỉ-oc

= yo + ụ V{to - à) ^ B k(s).\ (.5 - Tjt t[j)y,jì

Jtữ k=l

í t q

y ( t ) = X ( t — ío)xo+/.t / 0 ( t — s ) ' £>;-(.s)/y(.5 — 7;.

^ ío fc=i

r+oc 7

/ ^ ( t — £ ) ^ " -ổ A: ( ) y (-5 — T; '

^ fc = l

và lúc nàv nghiệm x(í) phươno trình (0.3) với điéu kiện x! Vi X ( í — ío)xo-

Xét hlêu

ỉ/ơ)

q

x{t ) =ịi / ư ( t - s) ^ B k(.ỉ)ìj{s - Tk )ds fc=i

r — oc V

- u / V ị t — s) £ B :<{s)y{s - :<•/.: fc=i

Ta có đánh giá sau

||y(í) - x(t)l| < M / l|tf(í - 5)11 X ] !l5 ^ )iỉiỉy (-5 + :rf

^ / c = l

+ l/il [ \\V(t - s)|| :|Bt(.s)iri|y(.s -«=1

ị-t 1

< ' m U K \ \ y 0\\ / e - ^ - ^ I Ị ổ ^ Ị Ị s

^0 fc=l

/—DO 9 -f |/iỊmẤ'Ị|yo|| /

k = 1

í/.i.

Với t > 2ío ta có

r h

\\!j(t) - x(í)|| < \^ \M K \\ìjoị\ / e - ỹ \\Bkụ)\\<l.,

Jt° t l

r( A

+ Ị/xỊmA"Ị|.yo!l Ị B K.{s)\ị(l»

Từ dẻ dàng suy với € > tồn sô' T đu lớn cho vái t > T ta có:

IIy(t) - X'(í)|| < e hay lim \\y(t) - ,r(í)|| = í —o c

Ngược lại chúns ta đật

n—^c Q

z = ụ- / f0 -•■’’) y ] 5;.f i).V( - ; .//.V

thì chứna ta có

r — "X 1

l\z\\ < ImI / Ị|V(ío - .5)11 ^ ||Bfef.5'): Ví.5 -

«7í0

r — 3C fỉ

< \ f i \ m K II ^ ; | B f e ( s ) i | d

■'ío Jfc=i

7 1

Chon í > sao cho í/50 y ' ||Bfc(s)||ds < — -—

2 <fc=i _ H m A

Khi với to > t-2 ta đểu có \\z\\ < điểu có nahĩa toán tư (I+Z) kha ngược với to đủ lớn Vậy với nghiêm xị t ) cua (0.3) thoá mãn x ( t 0) — x,j ta chon

đ ợ c h m o { t ) l i è n t ụ c v i - h < t < í s a o c h o o(to) = - Z ' ~ :x,j k h i đ ó n s h i ẽ m Ịjít)

của (0 4) với điểu kiện đầu (/(í) = ậ ( t ) với — h < t < to thoá mãn Ị j [tữ) = - z _1x0

và cách đánh giá tươns tự trẽn ta có: lim l.y(í) - x ( í ) :i = Hav (0.3)

í — oc

và (0.4) tương đươns tiệm cận z

Từ chứn<2 minh đinh lí ta suy hệ sau.

Ví dụ I Nghiên cứu tương đương tiệm cận hai phươns trình vi phàn cáp 2

X "( t) + a 2x ( t ) = (0.7)

y " ( t ) + a ? y ( t ) + ỵ - ~ y ( t - - ) = (0.8)

Với — h < T < 0

đế nghiên cứu tương đương tiệm cận cua hai phương trình ta đưa vé nshièn c ứ u hai hệ phương trình sau:

•4 ) = x 2(t)

(0.9)

x'2 ( t ) = - a 2Xị ( t )

y[(t) = Ìp.it)

(0.10)

y'2(t) — - a 2yi(t) - - -) với - h < - < 0

Dẻ dàng thấy ràng ma trận hệ số A, Bít) tươns ÚT12 tronợ hè phươne trình (0.7) vù oc

(0.8) thoá mãn điều kiện ReX( A) = vù f = - < - s c Nên áp đuns hè

0

quá 0.5 ta có kết luận hệ phương trinh (0.7) (0.8) tươns đuơns tiệm càn vặv ta suy phương trình (0.7) (0.8) tương đươns tiệm cân.

2 Sự tương đương tiệm cặn cùa phương trình vi phán với bien sị chàm

trong khơng gian Banach

Bâv giá thiết X khòng gian Banach.

Bầnơ phươns pháp chứng minh tươna tự phán trước ta nhận đươc kết sau:

Bổ đề 0.6 Giá sử toán từ X { t ) viết dạng X ị t ) — Ư(t) — Ví t ), dơng rlìời

t n t i c c h ằ n g s ỏ ' d n g M , m , UI s a o c h o :

(a) \\U(t)\\ < M e ~ wtvớ N t € R~

(b) II V'(í) Ị| < m vớỉit R

Khi dó tổn sỏ t ‘ cho:

/»-:c 9

Đặt F = I + ỊX Ị+ °° V{to - s) Ế B k( s ) X ( s + rk, t0)ds fc=i

Từ kết luận bổ đề 0.6 ta có hệ quà sau:

Hệ 0.7 F : X —> X lừ toán tử khả ngược với to đủ lớn.

Nhờ bổ đề 0.6, hệ 0.10 sử dụng phươna pháp chứna minh hoàn toàn tươns tự như chúng minh định lí 0.4 nhận kết sau:

Định lý 0.8 Nêu X ị t ) tlioú mãn điêu kiện cùa bó dè 0.6 diêu kiện (0.5) dược thỏa mãn cúc phươngtrình (0.3) (0.4) rương dương tiệm cận.

Sau đâv chúng tòi xin trinh bàv số áp dụng cùa kết trẽn mỏt sò trườn2 hợp cụ thế:

Hệ 0.9 Giá sử diéit kiện (0.5) dược thỏa mãn (X ■ '•>!, lừ nửa nhỏm

c c t o n t c u m p a c t , g i i n ộ i t h ì h a i p h n g t r ì n h ( ) v i O A ) l ù n a n V Ị d n g t i ệ m c ậ n

Chứng minh Do (X(t.))t>0 nửa nhóm tốn tưcompact 2ÍỚÍ nội nén tập phổ cr(X' <- ' là tập dèm dược, đồns thời ta có <tLY(1)) c (A c : A < 1}.

K í hiệu ơ ( X{ i ) ) = ơ1\ J ơ-2 ơỵ c {A c : |Aị < 1} ƠỊ z {A -E c : A, = 1} \à

r chu tuyến đơn bao ơị thoả mãn điểư kiện r n ƠI = Theo tính chát cua nưa nhóm compuct ta có tập Ơ2 có hữu hạn phần tử.

Giá sử p phép chiếu xác định sau:

p = ~ í \ z l - e Ả r l dz

2/17 r

Đặt:

Ư{t) = PX{t y, V(t) = ự - P; X[ t )

Khi ta có (L '(l)) = ta suy rơ( ư( 1)) < Theo tính chất nứa nhóm ư( t ) ta chứng minh đươc Ị|í/(í)|| < với t > U - > Mặt khác theo tính chất X ( t ) cách xây dựng phép chiếu p ta ln có: V ( íjị| < m < -roc với Ví € 3?.

Như vậv X ( t ) thoả mãn điều kiện cùa bổ đề 0.3, nên áp dụng định lí 0.8 ta suy

quá chứng minh —

H è q u G i s ử l t o n t ứ c o m p a c t , t ự l i ê n h ợ p t r o n g k l i ó n g ‘ị i d n H i l b e r t H k h i

dó hệ phương trìnli (0.3) có tát cá cức nghiệm giới nội hai hệ (0.3) va (0.4) lừ

X Chừng minh Vì A tốn tử compact tự liên hợp nên ta có:

ơ{A) — {Ằk : Afc R, k -V cho lim = 0}

C h ọ n { e k } ^ l c s ò t r ự c c h u ẩ n g m c c v e c t r i ê n g c u a .4 k h i đ ó t r o n2 c Sũ n v m a

trận có dạng A=diag{A1, A-2, A n, }

Hơn (0.3) có tất nghiệm siới nội nèn R e A; < với k=1.2 Do X ị t ) = dtarj{eXlt, eẢ2t eAnt, } nshiệm xị t ) cua (0.3) có dans xị t ) = X ( t ) £ với Ẹ — ẸtCi Với n ~ -V ta kí hiệu p.,.v = V

Giá sứ e > bé tuỳ ý cho trước \-'d Ẹ e H ta có lim ( I - P; i = nén tổn số n0 n—*-x

6

sao cho: ị|(/ — Pnisíl < ~ T T với n > n,Q, trono À’ r - t()) - X * f,, ,1 < 2.1/,)

4-V/o

với Ví i?- ( N( t , to) lù toán từ giải (0.4)), A0 = Aj A } đó ịj(t) = N { t t o ) l nahiẽm cùa (0.4) thoả mãn điều kièn = rl- rl - H Hơn do Ao < nên ta ln tồn số T > t.j cho với ỉ > T ta có \ \ [ X ( t t o ) N ( t t o ) } P n ưẸ \ \ < ị

-Như với Ví > T ta có

\\y{t.) - •c(í)il = \\X{t - t0)Z - Vụ, í0)^j|

- IIX ( t - t o ) - Pn0)Ẹ - -V t ty,ì ỉ - p , í

< l + 2'V/o— = e.

- 4.1/0

Tức lun ||x(í) - y(í)|| = 0.

t—fCc _,

Hay (0.3) (0.4) là tươns đương tiệm cận

-V í du Tronơ khịns 2ian 1-2 xét tươna đươna tiệm cặn hai phương trinh vi phân dạng:

ị = A x (0.11)

dt

^ = Ay( t ) - (0.12)

dt

Trong - h < r < 0: t > to > 0: X, y € ụ

Với An ma trận cấp có dạng:

^- 10 o \

0 0 ^

l o l V

Khi tốn tử Cauchy X ( t ) cúa (0.11) có dạng X ị t ) = diag{AV A'j Với

( e 0 \

x n = c o s - s i n

-n Tì

V Slĩln CO*n I

Nhận thấy X ( t ) = di ag( L\ ( t ), 2{ t ) , n(t ) , ) + di ag(\ \ {t ) VẠt).

(e~l 0 o \

0 0

\ n[t) ) đâv:

ưn =

/o

v; =

0 ũ

0

° /

0 \

0 c o s ị — ■.sm

-C04 y

Dễ dàng nhận thấy IIí/(í) II < e _t với Ví R ~ ỊVr(í)!ị < m < với Ví R Vậv phương trinh (0.11) thoả mãn điều kiện định lí 0.8 Nếu Bí t ; thoa mãn điêu kiện / 0+o° \\B [t)\\dt < +OC thì (0.11) (0.12) tươns đươna tiệm cận.

3 Lời kết

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Cooke K L.1967, Asym ptotic theory fo r tlie delay- differenihiỉ ecỊimhons

J.Math.Analysis and Appl 19,1,160-173.

[2] C.M Macrcus, F.R Waugh, and R.M, VVestevelt, Nonhiiear clvnamics íincl Sỉabilưx o f analog neural networks, Physica D 51 (1991 ).pp 234-247.

[3] Dang Dinh Chau On the asymponc equivelence o f linear diffiren!ial ecỊiuitìons in Hilbert spaces Vietnam national umversty, Hanoi Joumal of Science Mathematics-

Physics Nq2 — 2002.pp 8-17.

[4] G.Eleutheriadis, M.Boudourides, On the problem o f cisxmptotic ec/uivalence o f orcli- nary diffirential equation, Ital, J Pure Appl Math 4(1998) p 61-72.

[5] E.V.Voskoresenski Asymptotic eqitivalence o f sxstems o f dijfereiuii.il equơtions Res

o f m a t h e m a t ic S c ie n c e N ( )

[6 ] K a t o J , 9 T h e a s y m p t o t i c e q u i v a l e n c e o f / u n c t i o n a l d i f f e r e i i t t ú i l e í Ị i u i t i o n s J d ií'-

ferenttial Equat.1,3, 306-332.

[7] Nguven The Hoan, 1975, Asymptotic equivaỉence o f sxstems o f differenĩial ec/naiions IZV.Acad Nauk ASSR N02, 35-40 (Russian).

[8] N.Levinson (1946), The asymptotic behavior o f systems o f ỉinear differentul equcitions Amer.J.Math, 63 p.1-6.

[9] Na uyen Van Minh, ỉntroduction to the Asymptotic Behavìor o f Differential Equations in Banach Spaces (2002)

[10] M.Svec, Itegral and asymptotic eqưivelence o f two systems o f diffrenỉial equarions Equađiff Proceedings of the fifth Czechoslovak conữece on diffirencial equations and Theư Application held in Bratislava 1981, Teubner Leipzig, 1982 p 329-338.

[11] Choi kvu Sun" Hoe Goo Yoon Jip Koo Nam Asymptoĩic equivalence benveen to linear cliffirentiơl svstems, Ann Differ Equation, 13(1997), 44-52.

PHIẾU ĐÁNG KÝ KẾT QỦA NGHIÊN cứu KHOA HỌC CỒNG NGHỆ

Tên đề tài: Dáng điệu nghiệm phương trinh vi phân phươns trình sai phàn khổng gian Banach Ithoảna vơ hạn sơ mỏ hình ứns duns Mã số: QT03.03

Cơ quan chủ trì để tài: Trường Đại học Khoa học Tư nhiên, ĐHQG Hà Nội Địa chỉ: 334 Nguyễn Trãi - Thanh Xuản - Hà Nội - Tel: 8585277

Cơ quan quản lý đé tài: Đại học Quốc gia Hà Nội

Địa chỉ: 144 Xuân Thuỷ - Cầu Giấy - Hà Nội - Tel: 8.340564

i Tổng kinh phí thực chi từ ngần sách Nhà nước: 15.000.000đ

Thời gian nghiên cứu: năm Thời gian bất đầu: 2003 Thời gian kết thúc: 2004

Tên cán phối hợp nghiên cứu: 1. T.s Hoàng Quốc Toàn

2 Thạc sỹ Nguyễn Minh Mẫn T.s Nguyễn Thị Hổng Minh Thạc sỹ Dư Đức Thắng Cử nhân Mai Ngọc Diệu Thạc sỹ Phạm Tố Nga

Sô' đăng ký đề tài Ngày:

SỐ chứng n h ậ n đ n g ký

kết q u ả n g h iê n cứu

t

Bảo mật:

a. Phổ biến rộng rãi: X

b Phổ biến hạn chế:

Tóm tắt kết nghiên cứu:

Đã hồn thành nghiên cứu vể lý thuyết theo đề án dự định:

- Sự tương đương tiêm cận phương trình vi phân khỏns gian Banach với biến

số chậm.

- Nghiên cứu tính chất cùa hệ động lực nhóm đặc biệt.

- Áp dụng kết nghiên cứu cho số mỏ hình thực tế như: mạng Nevvron thần kinh trí tuệ nhân tạo, sơ' tốn kinh tế sản xuất nơna nshiệp v.v

- Hoàn thành luận văn thạc sĩ (đã bảo vệ), chuẩn bị hoàn chành tiếp hai luận vãn thạc sĩ và luận văn tiến sĩ.

- Viết gửi đáng hai báo khoa học.

Kiến nghị quy mô đối tượng áp dụng nghiên cứu:

Các kết nghiên cứu sử dụng việc giảng dạy chuvèn đé cho sinh viên, cho cao học, đồng thời tiếp tục nghiẻn cứu để triển khai theo hướns ứng dụng

Chú nhiệm đé tài

Thù trường quan chủ trì đề

tài

Chủ tịch Hội đổns đánh giá

chính thức

Thú truờng quan quản lý

để tài

Họ tên: Đặng Đinh Châu ĩr a lĩ /VỹỂ/ P ỉvụ n t c ũ / h j >

Học hàm,

học vị Tiến sĩ <jfỉ / T ữ í ĩ ỉ i y t e

Ký đóng dấu

\ ' \

TI

K

i*

'ầ

w ww n o va pu bl is h ers co m /jo ur na ls /ev ol ut io n eq u at io n s.h tm l